Hoofdstuk 1 Complexe getallen

Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1.1
Complexe getallen : definitie
De verzameling N van de natuurlijke getallen kan achtereenvolgens worden uitgebreid tot de verzamelingen Z van de gehele getallen, Q van de rationale getallen en
R van de reële getallen.
Deze opeenvolgende uitbreidingen zijn er o.a. gekomen om steeds ruimere klassen
van algebraı̈sche vergelijkingen te kunnen oplossen. De reële getallen volstaan niet
wanneer men oplossingen zoekt van vergelijkingen van de vorm x2 = c met c een
negatief getal. De invoering van de complexe getallen is precies bedoeld om ook
dat soort vergelijkingen te kunnen oplossen.
Er zijn verschillende definities voor een complex getal mogelijk. We kiezen hier voor
een definitie die een complex getal invoert als een koppel reële getallen.
R
DEFINITIE 1.1
complex getal
Een complex getal is een koppel (x, y) van reële getallen.
Het eerste element x van het koppel heet het reëel deel en het tweede element
y het imaginair deel van het complex getal.
De verzameling R × R bestaande uit alle koppels reële getallen, is aldus ook de
verzameling van de complexe getallen en we noteren deze als C.
De verzameling van de koppels met tweede element gelijk aan nul, {(x, 0) | x ∈ R},
is een deelverzameling van C
Identificeren we zulk een koppel (x, 0) met het reëel getal x, dan kunnen we de
verzameling R van de reële getallen opvatten als een deelverzameling van C.
De verzameling van de koppels met eerste element gelijk aan nul, {(0, y) | y ∈ R}, is
eveneens een deelverzameling van C
1–1
1–2
Complexe getallen
Een koppel (0, y) noemen we een zuiver imaginair getal.
In het bijzonder stellen we het zuiver imaginair getal (0, 1) voor met de letter1 j en
we noemen dit de imaginaire eenheid.
We kunnen het koppel (x, y) schrijven als som van de koppels (x, 0) en (0, y) en dus
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
zodat met de eerder gemaakte afspraken van identificatie geldt : (x, y) = x + yj
Deze notatie voor een complex getal zal voortaan de voorkeur genieten boven de
koppelnotatie.
Schrijft men z = x + yj dan noemt men het rechterlid ook de algebraı̈sche gedaante van het complex getal z.
Men duidt het reëel deel x en het imaginair deel y van z = x + yj ook aan met de
notaties x = Re(z) en y = Im(z).
1.2
1.2.1
Goniometrische gedaante van een complex getal
Meetkundige voorstelling van een complex getal
Vatten we het reëel en het imaginair deel van een complex getal z = x+yj = (x, y) op
als cartesiaanse coördinaten van een punt P in het vlak, dan kan aan ieder complex
getal precies één beeldpunt geassocieerd worden en omgekeerd.
Dus z = x + yj correspondeert met P (x, y).
Men noemt het puntenvlak waarin de punten complexe getallen voorstellen, ook
het complexe vlak of vlak van Gauss en de coördinaatassen worden reële en imaginaire as genoemd.
Complexe getallen traden voor het eerst op het voorplan in de 16de eeuw toen
de Italiaanse wiskundigen Niccolo Tartaglia and Gerolamo Cardano bij het oplossen van derde– en vierdegraadsvergelijkingen uitkwamen bij vierkantswortels uit
negatieve getallen.
Toch duurde het tot 1799 toen de Noor Caspar Wessel (1745–1818) een meetkundige
interpretatie gaf aan complexe getallen vooraleer ze algemeen werden aanvaard.
Deze meetkundige interpretatie waarbij complexe getallen worden voorgesteld als
punten in een vlak, werd ook gevonden door de Franse amateur–wiskundige Jean
Robert Argand (1768–1822) (argand–diagram) en is verder verspreid door Gauss.
1
De notatie j voor de imaginaire eenheid is vooral gebruikelijk in de techniek om een onderscheid te
maken met de i voor stroomsterkte. In zuiver wiskundige werken gebruikt men meestal de letter i voor
de imaginaire eenheid.
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–3
Figuur 1.1: Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
Het beeldpunt P van een complex getal kan ook nog geı̈nterpreteerd worden als
−→
eindpunt van de vector OP (met aangrijpingspunt in de oorsprong).
Met ieder complex getal z = x + yj correspondeert bijgevolg ook een vector ~z die
men de wijzer of fasor noemt. Het gebruik van fasoren is o.a. nuttig om sinusoı̈dale
trillingen voor te stellen (zie verder).
imaginaire as
z = x + yj
y = Im(z)
~z
x = Re(z)
reële as
Figuur 1.2: voorstelling van een complex getal in het vlak van Gauss
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–4
1.2.2
R
Complexe getallen
Toegevoegde van een complex getal
DEFINITIE 1.2
toegevoegd complex getal
Het toegevoegd complex getal van z = x + yj is het complex getal z̄ = x − yj .
De getallen z en z̄ hebben dus hetzelfde reëel deel, maar tegengesteld imaginair
deel.
De bijhorende beeldpunten in het complexe vlak liggen daarom symmetrisch t.o.v.
de reële as.
De enige complexe getallen die zelftoegevoegd zijn, zijn deze waarvan het imaginair
deel gelijk is aan nul, m.a.w. de reële getallen.
1.2.3
Goniometrische gedaante van een complex getal
Het beeldpunt P (x, y) geassocieerd aan het complex getal z = x+yj , kan ook bepaald
worden door middel van poolcoördinaten r en ϑ.
−→
Daarin is de voerstraal r gelijk aan de lengte van de vector ~z = OP .
Men noemt dit getal ook de modulus of absolute waarde van het complex getal
z = x + yj en men noteert deze als |z|.
Er geldt dus :
p
p
Re(z)2 + Im(z)2 =
r = |z| =
Voor een reëel getal z = x + 0j ≡ x is |z| =
√
x2 + y 2
x2 + 0 = |x|
De modulusfunctie is dus een uitbreiding van de reële absolutewaarde–functie.
Merk op dat |z̄| = |x − yj| =
p
x2 + y 2 = |x + yj| = |z|
−→
De poolhoek ϑ is de hoek die de vector ~z = OP maakt met de positieve reële as.
Men noemt ϑ ook het argument van het complex getal z , notatie ϑ = arg(z).
Dit argument is bepaald op een geheel veelvoud van 2π na.
In de praktijk kiest men meestal 0 ≤ ϑ < 2π (of soms −π ≤ ϑ ≤ π ) en men spreekt
dan over de hoofdwaarde van het argument of over het hoofdargument, notatie
Arg(z ).
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–5
Het argument van z = x + yj kan worden bepaald uit tan ϑ =
houden met het kwadrant)

of uit het stelsel
 cos ϑ = √
=
Re(z)
|z|
 sin ϑ =
=
Im(z)
|z|
x
x2 +y 2
√ y
x2 +y 2
y
Im(z)
=
(rekening
x
Re(z)
Is z = x + yj dan kunnen we ook schrijven : z = r cos ϑ + r sin ϑj = r(cos ϑ + j sin ϑ).
Het rechterlid van z = r (cos ϑ + j sin ϑ) noemt men ook de goniometrische gedaante van het complex getal z .
√
voorbeeld : bepaal de goniometrische gedaante van z = − 3 − j.
q
√
(− 3)2 + (−1)2 = 2.
−1
Het argument voldoet aan tan ϑ = √ . Vermits zowel het reëel als het imagi− 3
nair deel van z negatief zijn, ligt de hoofdwaarde van ϑ in het derde kwadrant,
1
π
7π
dus ϑ =arctan( √ ) + π = + π =
6
6 √
3
De goniometrische gedaante van z = − 3 − j is dus z = 2(cos 7π
+ j sin 7π
)
6
6
De modulus is r = |z| =
1.3
Exponentiële gedaante van een complex getal
In de reële analyse toont men aan dat de natuurlijke exponentiële functie een maclaurinreeksontwikkeling bezit die convergeert over R :
ex = 1 + x +
x2 x3 x4 x5 x6
+
+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
5!
6!
We passen nu deze reeksontwikkeling formeel toe op de uitdrukking ejx met imaginaire exponent
(jx)2 (jx)3 (jx)4 (jx)5 (jx)6
+
+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
5!
6!
x2
x3 x4
x5 x 6
= 1 + jx −
+ −j +
+j −
+ ...
2!
3!
4!
5!
6!
x2 x4 x6
x3 x5
= (1 −
+
−
+ . . .) + j(x −
+
− . . .)
2!
4!
6!
3!
5!
ejx = 1 + jx +
Daarin werd gebruik gemaakt van j 2 = −1 (en de daaruitvolgende hogere machten
van j : j 3 = −j , j 4 = 1 enz.) wat we verderop nog zullen aantonen.
In het reëel deel van deze uitdrukking herkent men de maclaurinreeks voor cos x en
in het imaginair deel deze van sin x.
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–6
Complexe getallen
Zo bekomen we de beroemde formule van Euler2 : ejx = cos x + j sin x
Door gebruik te maken van deze formule kan de goniometrische gedaante van een
complex getal nog in een andere vorm worden geschreven.
Immers, vertrekkend van z = r(cos ϑ + j sin ϑ) verkrijgen we met bovenstaande formule : z = r ejϑ of nog
z = |z| ej arg z
Men noemt dit de exponentiële gedaante of polaire gedaante van het complex
getal z.
π
In het bijzonder is j = ej 2 , −1 = ejπ , 1 = e0j en −j = ej
3π
2
De formule ej π + 1 = 0 wordt soms de “mooiste” formule uit de wiskunde genoemd
omdat ze in haar eenvoud de vijf belangrijkste wiskundige constanten 0, 1, e, j en
π bevat.
z = x + yj = r ejϑ
r = |z|
θ = argz
Figuur 1.3: Leonhard Euler (1707–1783)
Figuur 1.4: polaire gedaante van z
2
De veelzijdige Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707–1783) heeft o.a. bijgedragen tot de ontwikkeling van de algebra van de complexe getallen. De notatie i voor de imaginaire eenheid werd door
hem voor het eerst ingevoerd.
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1.4
1.4.1
1–7
Bewerkingen met complexe getallen
Optelling en aftrekking van complexe getallen
Definitie en optelling in algebraı̈sche gedaante
Is z1 = (x1 , y1 ) en z2 = (x2 , y2 ) dan definieert men de som z1 + z2 als (x1 + x2 , y1 + y2 ).
Maken we gebruik van de algebraı̈sche gedaante z1 = x1 + y1 j resp. z2 = x2 + y2 j dan
is dus :
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )j
Het reëel deel (resp. het imaginair deel) van de som is dus gelijk aan de som van
de reële (resp. van de imaginaire delen).
Beschouwen we i.h.b. twee reële getallen x1 = (x1 , 0) en x2 = (x2 , 0) dan is de som
daarvan in C gelijk aan (x1 + x2 , 0) = x1 + x2 , m.a.w. de optelling in C is een
uitbreiding van de optelling in R.
Associeert men de vectoren ~z1 en ~z2 met de complexe getallen z1 en z2 , dan bekomt
men de vector geassocieerd met de som z1 + z2 m.b.v. de parallellogramregel.
Optelling van complexe getallen correspondeert dus met de vectoroptelling.
z1 + z2
z2
z1
Figuur 1.5: optelling van complexe getallen
Optelling in goniometrische of polaire gedaante
Zijn z1 en z2 gegeven in goniometrische of exponentiële gedaante, dan kunnen we
de modulus en het argument van z1 + z2 berekenen in functie van de modulus en
het argument van z1 en z2 .
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–8
Complexe getallen
Immers, door toepassing van de cosinusregel in driehoek OP S met P het beeldpunt
van z1 en S het beeldpunt van z1 + z2 , vindt men :
|z1 + z2 | =
p
|z1 |2 + |z2 |2 − 2|z1 ||z2 | cos α met α de hoek in P.
Gelet op 2(ϑ2 − ϑ1 ) + 2α = 2π (som van de hoeken van een vierhoek), hebben we dat
α = π − (ϑ2 − ϑ1 ) en dus ook cos α = − cos(ϑ2 − ϑ1 ).
We besluiten :
|z1 + z2 | =
p
|z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 ||z2 | cos(ϑ2 − ϑ1 )
Merk op dat |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | waarbij de gelijkheid over het algemeen niet geldt.
Vermits Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) = |z1 | cos ϑ1 + |z2 | cos ϑ2
en Im(z
p 12+ z2 ) = Im(z1 )2+ Im(z2 ) = |z1 | sin ϑ1 + |z2 | sin ϑ2 kan men |z1 + z2 | ook vinden
uit Re (z1 + z2 ) + Im (z1 + z2 ) wat dezelfde formule oplevert.
Het argument ϑ van z1 +z2 vindt men uit : tan ϑ =
Im(z1 + z2 )
|z1 | sin ϑ1 + |z2 | sin ϑ2
=
Re(z1 + z2 )
|z1 | cos ϑ1 + |z2 | cos ϑ2
Opmerkingen :
1. Tellen we de complexe getallen (x, 0) ≡ x en (0, y) ≡ yj op, dan bekomen we :
(x) + (yj) = (x + 0j) + (0 + yj) = x + yj wat betekent dat het plusteken in
de algebraı̈sche gedaante van een complex getal dat het reëel deel met het
imaginair deel verbindt, kan worden opgevat als een echte optelling.
2. Men toont gemakkelijk volgende eigenschap aan : z1 + z2 = z̄1 +z̄2 (toegevoegde
van een som is gelijk aan de som van de toegevoegden)
3. Er geldt z + z̄ = (x + yj) + (x − yj) = 2x = 2 Re(z) ∈ R
Tegengestelde van een complex getal en aftrekking
Voor een complex getal z = x + yj noemt men het complex getal −z = (−x) + (−y)j
het tegengesteld complex getal.
Klaarblijkelijk is z + (−z) = 0 + 0j ≡ 0
De aftrekking van twee complexe getallen wordt nu gedefinieerd als de som van het
eerste getal met het tegengestelde van het tweede, dus z1 − z2 = z1 + (−z2 ).
Is z1 = x1 + y1 j resp. z2 = x2 + y2 j dan is dus :
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )j
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1.4.2
1–9
Vermenigvuldiging van complexe getallen
Definitie en vermenigvuldiging in algebraı̈sche gedaante
Is z1 = (x1 , y1 ) en z2 = (x2 , y2 ) dan definieert men het product z1 · z2 als :
(x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ).
Maken we gebruik van de algebraı̈sche gedaante z1 = x1 + y1 j resp. z2 = x2 + y2 j dan
is dus :
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + y1 x2 )j
In het bijzonder hebben we : (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) of dus met de eerder gemaakte
notatieafspraken : j · j = −1.
De formule j 2 = −1 (het kwadraat van de imaginaire eenheid is gelijk aan -1) is
een essentiële formule bij het rekenen met complexe getallen.
Formeel kan men het product van z1 = x1 + y1 j en z2 = x2 + y2 j berekenen als een
product van twee tweetermen, rekening houdend met j 2 = −1.
Inderdaad :
(x1 + y1 j) · (x2 + y2 j) = x1 x2 + x1 y2 j + y1 x2 j + y1 y2 j 2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + y1 x2 )j
Men gaat gemakkelijk na dat het product in C van twee reële getallen x1 en x2
(opgevat als complexe getallen (x1 , 0) en (x2 , 0)) gelijk is aan het complex getal
(x1 · x2 , 0), m.a.w. aan het reëel getal x1 x2 .
De vermenigvuldiging in C is dus een uitbreiding van de vermenigvuldiging in R.
Opmerkingen :
1. In het√bijzonder is z · z̄ = (x + yj) · (x − yj) = x2 + y 2 waaruit we ook hebben :
|z| =
z · z̄
2. Men toont gemakkelijk volgende eigenschap aan : z1 · z2 = z̄1 · z̄2 (toegevoegde
van een product is gelijk aan het product van de toegevoegden)
Vermenigvuldiging in goniometrische of polaire gedaante
Zijn de complexe getallen z1 en z2 gegeven in goniometrische of exponentiële gedaante, dan kan men de modulus en het argument van z1 · z2 berekenen in functie
van modulus en argument van z1 en z2
Is immers z1 = r1 (cos θ1 + j sin θ1 ) en z2 = r2 (cos θ2 + j sin θ2 ) dan is
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–10
Complexe getallen
z1 · z2 = r1 r2 (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 + j (cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2 ))
= r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + j sin(θ1 + θ2 )
waaruit we besluiten dat de modulus van het product gelijk is aan het product van
de moduli en het argument van het product gelijk aan de som van de argumenten.
Dat is ook duidelijk, wanneer we gebruik maken van de polaire gedaante :
z1 · z2 = r1 ejϑ1 · r2 ejϑ2
= r1 r2 ej (ϑ1 +ϑ2 )
We hebben dus : z1 · z2 = |z1 ||z2 | ej (arg z1 +arg z2 )
Meetkundige betekenis van de vermenigvuldiging
We hebben reeds gezien dat de optelling van twee complexe getallen meetkundig
neerkomt op de optelling van twee vectoren (parallellogramregel).
Voor het bepalen van het product z1 · z2 beschikt men over de volgende meetkundige
constructie : de geassocieerde vector van het product bekomt men door de vector
~z1 te “verlengen” met een factor |z2 | (naargelang |z2 | > 1, |z2 | < 1 of |z2 | = 1 is dit
verlengen, verkorten of lengte behouden) en vervolgens te roteren over een hoek ϑ2
(rotatie in tegenwijzerzin als ϑ2 > 0 en in wijzerzin als ϑ2 < 0)
z1 · z2
r1 r2
ϑ1 + ϑ 2
z2
z1
Figuur 1.6: vermenigvuldiging van complexe getallen
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–11
Bijzonder geval
In het bijzonder komt de vermenigvuldiging van een complex getal met een complex
getal waarvan de modulus 1 is en met argument ϑ > 0, meetkundig neer op een
draaiing over ϑ in tegenwijzerzin. Heel in het bijzonder betekent vermenigvuldiging
met de imaginaire eenheid j een draaiing over 90o in tegenwijzerzin.
1.4.3
Machtsverheffing van complexe getallen
Is z = x+yj, dan kan z n = (x+yj)n met n een natuurlijk getal groter dan 1, berekend
worden m.b.v. de formule voor de n−de macht van een tweeterm (binomium van
Newton), rekening houdend met j 2 = −1.
Het is evenwel gemakkelijker om gebruik te maken van de goniometrische of exponentiële gedaante van z
Immers : is z = rej ϑ dan is z n = z · z · · · · · z = rej ϑ · rej ϑ · · · · · rej ϑ = rn enjϑ (gelet op
de hierboven gevonden uitdrukking voor vermenigvuldiging van complexe getallen
in exponentiële gedaante).
De modulus van de n–de macht is dus gelijk aan de n–de macht van de modulus en
het argument van de n–de macht is gelijk aan n keer het argument.
√
voorbeeld : bereken (1 + j 3)6
√
π
We herschrijven πeerst z = 1 + j 3 in exponentiële gedaante, nl. z = 2 ej 3
Nu is z 6 = 26 ej 6· 3 = 64 ej 2π = 64
De formule van de Moivre
Is z een complex getal met modulus 1, dus z = ejϑ = cos ϑ + j sin ϑ, dan vindt
men voor de n−de macht ervan: z n = enjϑ = cos nϑ + j sin nϑ en anderzijds is
z n = (cos ϑ + j sin ϑ)n .
Hieruit bekomt men de formule van De Moivre3 :
(cos ϑ + j sin ϑ)n = cos nϑ + j sin nϑ
Deze formule legt een verband tussen de theorie van de complexe getallen en de
goniometrie. Een aantal goniometrische identiteiten kunnen eenvoudig worden bewezen met deze formule.
voorbeeld :
3
De Franse wiskundige Abraham De Moivre was vooral werkzaam in het domein van de kansrekening
en de statistiek. De naar hem genoemde formule was wellicht ook reeds door sommige van zijn tijdgenoten
gekend.
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–12
Complexe getallen
Uit (cos ϑ + j sin ϑ)2 = cos 2ϑ + j sin 2ϑ volgt na uitwerking van het linkerlid dat
cos2 ϑ + 2j cos ϑ sin ϑ − sin2 ϑ = cos 2ϑ + j sin 2ϑ
Stellen we de reële en imaginaire delen van beide leden aan elkaar gelijk, dan bekomen we hieruit de identiteiten cos 2ϑ = cos2 ϑ − sin2 ϑ en sin 2ϑ = 2 sin ϑ cos ϑ
Figuur 1.7: Abraham De Moivre (1667–1754)
1.4.4
Deling van complexe getallen
Omgekeerde van een complex getal
Is z een van nul verschillend complex getal, dan definieert men het omgekeerde
complex getal z −1 =
1
als het unieke complex getal waarvoor z · z −1 = 1.
z
Is z = x + yj dan vindt men uit ½
(x + yj) · (a + bj) = 1 + 0j dat de onbekenden a en b
xa − yb = 1
waaruit :
moeten voldoen aan het stelsel
ya + xb = 0
−y
x
en b = 2
.
a= 2
2
x +y
x + y2
x
y
1
= 2
− 2
j
2
x + yj
x +y
x + y2
1
z̄
x − yj
x − yj
x
y
= =
=
= 2
= 2
− 2
j
2
2
z
z · z̄
(x + yj) · (x − yj)
x +y
x +y
x + y2
Bijgevolg is z −1 =
Nu is ook z −1
zodat de omgekeerde van z ook kan worden gevonden door teller en noemer van de
“breuk” z1 te vermenigvuldigen met het toegevoegde van de noemer.
In het bijzonder is
1
= −j
j
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–13
Deling in algebraı̈sche gedaante
Zijn z1 en z2 complexe getallen met z2 6= 0, dan is het quotiënt
1
z2
Zijn z1 = x1 + y1 j en z2 = x2 + y2 j dan is dus
z1
per definitie gelijk
z2
aan het product van z1 met
z1 · z̄2
z1
=
z2
z2 · z̄2
(x1 + y1 j) · (x2 − y2 j)
=
(x2 + y2 j) · (x2 − y2 j)
x1 x2 + y1 y2 + j (y1 x2 − x1 y2 )
=
x22 + y22
x1 x2 + y1 y2
y1 x2 − x1 y2
=
+j
2
2
x2 + y 2
x22 + y22
1 + 2j
3+j
1 + 2j
(1 + 2j) · (3 − j)
5 + 5j
1 1
=
=
= + j
3+j
(3 + j) · (3 − j)
10
2 2
voorbeeld : bereken
Deling in goniometrische of exponentiële gedaante
Is een van nul verschillend complex getal z gegeven in goniometrische of polaire
gedaante, z = r ej ϑ , dan is het omgekeerde van z gelijk aan :
1
z̄
z̄
r e−j ϑ
1
=
= 2 =
= e−j ϑ
2
z
z · z̄
|z|
r
r
Men vindt dus het omgekeerde door de modulus om te keren en het argument van
teken te veranderen.
Zijn nu twee complexe getallen gegeven in goniometrische of exponentiële gedaante
z1 = r1 ej ϑ1 en z2 = r2 ej ϑ2 , dan hebben we :
z1
= r1 ej ϑ1 ·
z2
1
r2
e−j ϑ2 =
r1 j (ϑ1 −ϑ2 )
e
r2
De modulus van het quotiënt is dus gelijk aan het quotiënt van de moduli en het
argument van het quotiënt is gelijk aan het verschil van de argumenten.
M.a.w. :
|z1 | j (arg z1 −arg z2 )
z1
=
e
z2
|z2 |
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–14
1.5
Complexe getallen
Het ongeordend veld van de complexe getallen
De verzameling C van de complexe getallen, voorzien van de optelling en de vermenigvuldiging zoals gedefinieerd in bovenstaande paragrafen, vormt een algebraı̈sche
structuur die men een veld noemt.
In zo’n structuur gelden bvb. de associatieve wetten z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 en
z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3 en de distributieve wet : z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3
De verzameling R van de reële getallen, voorzien van de optelling en de vermenigvuldiging vormt ook zo’n veldstructuur. Doordat de verzameling R kan worden
opgevat als een deelverzameling van C en doordat de bewerkingen in C uitbreidingen zijn van de overeenkomstige bewerkingen in R, zegt men dat het veld (R, +, ·)
een deelveld is van het veld (C, +, ·).
De verzameling van de reële getallen kan bovendien voorzien worden van een totale
orderelatie zó dat (R, +, ·, ≤) een totaal geordend veld wordt.
Dat betekent dat de orderelatie verenigbaar is met de veldstructuur hetgeen neerkomt op:
x ≤ y =⇒ x + u ≤ y + u voor alle x, y, u ∈ R
x ≤ y en u > 0 =⇒ x · u ≤ y · u voor alle x, y, u ∈ R
x ≤ y en u < 0 =⇒ x · u ≥ y · u voor alle x, y, u ∈ R
Het is ook mogelijk om de verzameling van de complexe getallen te voorzien van
een orderelatie, bvb. de lexicografische ordening.
Daarbij is z1 < z2 a.s.a. Re(z1 ) < Re(z2 ) of Re(z1 ) = Re(z2 ) én Im(z1 ) < Im(z2 ).
Deze orderelatie is verenigbaar met de optelling, maar niet met de vermenigvuldiging.
Immers, in die ordening is 0 < j , zodat verenigbaarheid zou betekenen dat ook
0 · j ≤ j · j , dus 0 < −1, een strijdigheid.
De verzameling C kan dus wel geordend worden, maar het veld (C, +, ·) kan niet
gestructureerd worden tot een geordend veld.
Om die reden zal men slechts zelden de orderelatie in de verzameling van de complexe getallen beschouwen.
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1.6
1–15
Worteltrekking uit complexe getallen
Een complex getal zi is per definitie een n−de machtswortel uit het complex getal
z als en slechts als zin = z
Is z = |z| ejϑ en zi = |zi | ejϑi dan geldt dus :
zin = z
⇐⇒ (|zi | ejϑi )n = |z| ejϑ
⇐⇒ |zi |n ejnϑi = |z| ejϑ

 |z |n = |z|
i
⇐⇒
 nϑ = ϑ + k2π (k ∈ Z)
i

p
 |zi | = n |z|
⇐⇒
 ϑi = ϑ + k2π (k ∈ Z)
n
We kunnen aan k oneindig veel waarden toekennen, die echter niet allemaal verschillende n–de machtswortels opleveren. Voor k = n is het argument nϑ + 2π wat
hetzelfde complex getal oplevert als de waarde k = 0.
We vinden uiteindelijk n verschillende n−de machtswortels voor k = 0, 1, . . . , n − 1.
Elk complex getal bezit dus precies n verschillende n−de machtswortels.
np
o
√
ϑ+k2π
Het symbool n z staat aldus voor de verzameling n |z| ej n | k = 0, 1, . . . , n − 1
De beeldpunten van deze n−de machtswortels vormen de hoekpunten van een regelmatige n−hoek.
voorbeeld : bepaal de 3-de machtswortels uit −8
De exponentiële gedaante van het complex
−8 is 8 ejπ eno dus zijn alle
n√getal
π+k2π
3−de machtswortels uit −8 gegeven door 3 8 ej 3 |k = 0, 1, 2
π
Voor k = 0 bekomt men : 2ej 3 = 2(cos π3 + j sin π3 ) = 2( 21 + j
√
3
)
2
=1+
√
3j
3π
Voor k = 1 bekomt men : 2ej 3 = 2(cos π + j sin π) = 2(−1 + j0) = −2
5π
Voor k = 2 bekomt men : 2ej 3 = 2(cos 5π
+ j sin 5π
) = 2( 12 − j
3
3
√
3
)
2
=1−
√
3j
Het getal −8 bezit dus drie 3−de machtswortels (één reële en twee complex
toegevoegde). De beeldpunten daarvan vormen de hoekpunten van een regelmatige (= gelijkzijdige) driehoek.
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–16
Complexe getallen
1.5
1
0.5
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
–0.5
–1
–1.5
Figuur 1.8: derdemachtswortels uit −8
1.7
De hoofdstelling van de algebra
¥ STELLING 1.1
hoofdstelling van de algebra
Elke n−de graadsvergelijking an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0 met complexe
coëfficiënten ai (i = 0, 1, . . . , n) bezit minstens één oplossing in C
De stelling werd voor het eerst geformuleerd (zonder bewijs) door Girard in 1629.
d’Alembert probeerde de stelling te bewijzen in 1746, maar het was Carl Friedrich
Gauss die voor het eerst een volwaardig bewijs gaf in zijn doctoraatsproefschrift in
1799.
Vandaag zijn verschillende bewijzen van de hoofdstelling gekend, sommige gebaseerd op technieken uit de complexe analyse, andere op topologische argumenten
en nog andere op meer algebraı̈sche methoden (echter steeds gebaseerd op resultaten
uit de analyse).
Het feit dat elke veeltermvergelijking over C van de n–de graad (n ≥ 1) oplossingen
bezit in C wordt ook verwoord als : “het veld van de complexe getallen is algebraı̈sch gesloten”.
Uit de hoofdstelling volgen een aantal belangrijke nevenresultaten :
1. elke n−de graadsvergelijking an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0 met complexe
coëfficiënten ai (i = 0, 1, . . . , n) bezit precies n oplossingen in C indien men rekening houdt met de multipliciteit van deze oplossingen.
Daarbij zegt men dat een oplossing (of wortel) z0 van een veeltermvergelijking
p(z) = 0 multipliciteit m bezit als en slechts als p(z) = (z − z0 )m q(z) met q(z)
een veelterm die z0 niet als nulpunt bezit.
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–17
Dit gevolg zegt dus dat een n–de graadsvergelijking over C steeds n (niet
noodzakelijk verschillende) wortels bezit.
Gevolg : elke veelterm van de n−de graad met complexe coëfficiënten kan
ontbonden worden in complexe lineaire factoren (eventueel met multipliciteit).
2. Beschouwen we nu in het bijzonder een n−de graadsvergelijking met reële
coëfficiënten. Dan zal deze in C n (niet noodzakelijk verschillende) oplossingen
bezitten.
Omdat voor iedere oplossing z0 ook de complex toegevoegde z̄0 een oplossing
is van de vergelijking (dit volgt uit pn (z̄0 ) = pn (z0 ), kunnen we de niet–reële
oplossingen van de n–de graadsvergelijking dus groeperen in paren.
Bijgevolg kan pn (x) ontbonden worden in reële lineaire factoren x − x0 met x0
reëel en in reële kwadratische factoren (x − c)(x − c̄) = x2 − (c + c̄)x + cc̄ (reëel
omdat c + c̄ ∈ R en cc̄ = |c|2 ∈ R).
Elke veelterm van de n–de graad met reële coëfficiënten kan worden ontbonden
in reële lineaire en irreduciebele kwadratische factoren (eventueel met multipliciteit)
Uit het voorgaande volgt ook i.h.b. dat een n−de graadsvergelijking met reële
coëfficiënten en met n oneven minstens één reëel nulpunt bezit.
1.8
De sinus– en cosinus van een complex getal
Wegens de formule van Euler hebben we :
ejϑ = cos ϑ + j sin ϑ en ook e−jϑ = cos(−ϑ) + j sin(−ϑ) = cos ϑ − j sin ϑ
Daaruit volgt : cos ϑ =
ejϑ + e−jϑ
ejϑ − e−jϑ
en sin ϑ =
2
2j
De cosinus en de sinus van een reëel getal ϑ kunnen dus geschreven worden m.b.v. complexe uitdrukkingen.
Vervangen we in deze formules de reële ϑ formeel door een complexe z , dan bekomen
we definities voor de cosinus en de sinus van een complex getal.
cos z =
Hoofdstuk 1
ejz + e−jz
ejz − e−jz
en sin z =
2
2j
• Algebra voor ingenieurs •
1–18
Complexe getallen
M.b.v. deze definities toont men gemakkelijk aan dat cos2 z + sin2 z = 1 voor elke
z ∈ C zodat de grondformule van de goniometrie ook geldig blijft in het complex
geval.
Maken we gebruik van Euler’s formule, dan kunnen we schrijven :
ejz + e−jz
2
ej(x+yj) + e−j(x+yj)
=
2
ejx e−y + e−jx ey
=
2
(cos x + j sin x)e−y + (cos x − j sin x)ey
=
2
ey + e−y
ey − e−y
= cos x.
− j sin x.
2
2
cos z =
= cos x. cosh y − j sin x. sinh y
De cosinus van een complex getal is dus zelf een complex getal. In het bijzonder is
de cosinus van een zuiver reëel en van een zuiver imaginair getal telkens reëel. We
zien o.a. dat cos(0 + yj) = cosh y en stellen dus vast dat de cosinus van het zuiver
imaginair getal yj niets anders is dan de cosinus hyperbolicus van het reëel getal y .
cosh y = cos(jy) voor elke y ∈ R
Volledig analoge beschouwingen voor de sinus leiden o.a. tot :
sinh y = 1j sin(jy) =−j sin(jy) voor elke y ∈ R
Zo zien we hoe de reële hyperbolische functies een verband hebben met de “gewone”sinus en cosinus van een complex argument, wat hun benaming rechtvaardigt
(zie analyse).
1.9
De logaritme van een complex getal
Voor een van nul verschillend complex getal z definieert men :
w = ln z ⇐⇒ z = exp(w)
Stelt men z = x + yj en w = α + βj dan is dus :
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–19
w = ln z ⇐⇒ eα+βj = x + yj
⇐⇒ eα eβj = x + yj
⇐⇒ eα (cos β + j sin β) = x + yj

 eα cos β = x
⇐⇒
 eα sin β = y
Gelet op z = x+yj = |z| (cos(arg z)+j sin(arg z)) bekomen we dat eα = |z| en β = arg z
of nog α = ln |z| en β = arg z = Arg z + k 2π (k ∈ Z)
We besluiten dus :
ln z = ln |z| + j (Arg z + k 2π)
Een van nul verschillend complex getal bezit dus oneindig veel logaritmen. Deze
logaritmen zijn zelf complexe getallen, alle met hetzelfde reëel deel (de reële logaritme van de modulus van het complex getal) en met imaginair deel gelijk aan het
argument van dat complex getal (bepaald op een geheel veelvoud van 2π na).
Voor k = 0 bekomt men de zogeheten hoofdlogaritme (genoteerd met hoofdletter) :
Ln z = ln |z| + j Arg z met 0 ≤ Arg z ≤ 2π
Neemt men i.h.b. z = x + 0j , dan is |z| = |x| (absolute waarde van x ∈ R) en Arg
z = 0 of π naargelang x > 0 of x < 0
Bijgevolg is Ln(x + 0j) = ln |x| + j0 = ln x voor x > 0 en Ln(x + 0j) = ln |x| + jπ =
ln(−x) + jπ voor x < 0
Zo kan men nu de (complexe) logaritme van een negatief reëel getal bepalen.
√
voorbeelden : Ln(−1) = jπ en Ln(1 + j ) = ln( 2) + j
Hoofdstuk 1
π
4
• Algebra voor ingenieurs •
1–20
1.10
Complexe getallen
Toepassingen van complexe getallen
Het nut van complexe getallen in de wetenschap en de techniek is bijzonder groot.
O.a. bij de studie van harmonische trillingen en golven, bij de studie van elektrische wisselstromen en in de systeemtheorie en regeltechniek biedt een aanpak met
complexe getallen heel wat voordelen.
Daarnaast vormen complexe getallen de basisverzameling voor de complexe analyse waarin complexwaardige functies van een complexe veranderlijke worden bestudeerd. Deze complexe analyse heeft dan zelf weer toepassingen in de reële analyse
(berekenen van oneigenlijke integralen), in de stromingsleer (warmtestromen, vloeistofstromen, . . .), bij de studie van fractalen etc.
We geven hieronder een onvolledig overzicht van enkele interessante toepassingen.
1.10.1
Harmonische trillingen en complexe getallen
Beschouw een sinusoı̈dale trilling beschreven door de tijdsafhankelijke functie
y = A sin(ωt + φ) met A de amplitude, ω de cirkelfrequentie en φ de beginfase.
Deze trilling kan in een wijzerdiagram of fasordiagram voorgesteld worden door een
roterende vector (wijzer) met lengte A die met hoeksnelheid ω rond de oorsprong
roteert in positieve zin (tegenwijzerzin). De wijzer maakt daarbij op het tijdstip
t = 0 een hoek φ (de beginfase) met de horizontale as.
Interpreteert men het vlak waarin de wijzer roteert als het vlak van Gauss, dan is
het eindpunt van de roterende wijzer het beeldpunt van het complex getal
z = A ej (ωt+φ) = A (cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ)).
De sinusoı̈dale trilling y = A sin(ωt + φ) is niets anders dan het imaginair deel van
dit complex getal dat we ook als Ȳ noteren, y = Im(Ȳ ).
Het complex getal A ej (ωt+φ) kan nog geschreven worden als :
Ȳ = A ej φ · ej ωt = Ā ej ωt
De tijdsonafhankelijke factor Ā = A ej φ noemt men de complexe amplitude en ej ωt
heet de tijdfunctie van de complexe voorstelling van de trilling.
Merk op dat de amplitude en de beginfase van de trilling precies de modulus en het
argument zijn van de complexe amplitude : A = |Ā| en φ = arg(Ā)
Opmerking :
Een gelijkaardige redenering kan worden gemaakt bij het complex beschrijven van
een cosinustrilling y = A cos(ωt + φ). Deze kan worden opgevat als het reëel deel
van het roterend complex getal Ȳ = A ej (ωt+φ) .
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–21
Bij de studie van trillingsproblemen heeft de complexe rekenwijze verschillende voordelen t.o.v. de reële rekenwijze. Als voorbeeld bekijken we de superpositie van twee
trillingen met dezelfde frequentie.
Zij y1 = A1 sin(ωt + φ1 ) en y2 = A2 sin(ωt + φ2 ) twee sinusoı̈dale trillingen.
De superpositie van deze twee resulteert in een trilling met dezelfde frequentie
y = y1 + y2 = A sin(ωt + φ).
We willen nu de amplitude A en de fasehoek φ van deze trilling berekenen uit de
amplitudes en beginfases van de samengetelde trillingen.
Stellen we beide trillingen complex voor : Ȳ1 = Ā1 ej ωt en Ȳ2 = Ā2 ej ωt .
De superpositie van beide trillingen in complexe vorm geeft :
Ȳ1 + Ȳ2 = Ā1 ej ωt + Ā2 ej ωt = (Ā1 + Ā2 ) ej ωt = Ā ej ωt
Bijgevolg is de complexe amplitude van de som van de trillingen gelijk aan de som
van de complexe amplituden van de enkelvoudige trillingen.
Door de modulus en het argument te nemen van de complexe amplitude van de
som, bekomt men de amplitude A en de fasehoek φ van de resulterende trilling.
voorbeeld :
Bepaal de som van de trillingen y1 = 100 sin(ωt + π6 ) en y2 = 200 sin(ωt + π4 ).
De som in complexe gedaante
is gelijk
aan
j (ωt+ π6 )
j (ωt+ π4 )
Ȳ = Ȳ1 + Ȳ2 = 100 e
+ 200 e
.
π
π
De complexe amplitude van de som is dan 100 ej 6 + 200 ej 4
Gaan we over op de algebraı̈sche gedaante, dan bekomen
we :
√
Ā = 100 (cos π6 + j sin π6 ) + 200 (cos π4 + j sin π4 ) = 100 (
228 + j 191
Bijgevolg is A = |Ā| =
3
2
+ j 12 ) + 200 (
√
2
2
+j
√
2
)
2
≈
p
(228)2 + (191)2 ≈ 297 en φ = arctan 191
≈ 0, 69
228
De som van beide trillingen is dus y = 297 sin(ωt + 0, 69)
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–22
1.10.2
Complexe getallen
Wisselstromen en complexe getallen
Complexe getallen kunnen erg nuttig zijn bij het oplossen van elektrische netwerken
met wisselstroom.
Stelt men de sinusoı̈dale wisselspanning u = u0 sin(ωt + φu ) en de erdoor voortgebrachte wisselstroom i = i0 sin(ωt + φi ) voor in complexe gedaante :
Ū = Ū0 ej ωt met Ū0 = u0 ej φu de complexe spanningsamplitude en I¯ = I¯0 ej ωt met
Ū
I¯0 = i0 ej φi de complexe stroomsterkteamplitude, dan wordt de verhouding Z̄ = ¯
I
de impedantie genoemd.
Ū
u
Deze is nog gelijk aan Z̄ = ¯0 = 0 eφu −φi .
i0
I0
De modulus van de impedantie is dus
u0
en het argument van de impedantie is het
i0
faseverschil φu − φi tussen spanning en stroom.
De complexe impedantie kan ook in algebraı̈sche gedaante worden geschreven Z̄ =
R + j X.
Het reëel deel ervan Re(Z̄) = R noemt men de weerstand en het imaginair deel
Im(Z̄) = X de reactantie.
Wanneer nu in een wisselstroomnetwerk verschillende elementen aanwezig zijn zoals ohmse weerstanden, condensatoren en spoelen, dan kan men voor elk van deze
elementen de bijhorende complexe impedantie bepalen.
Voor een ohmse weerstand R is u = R · i (wet van Ohm) en dan ook Ū = R · I¯.
De complexe impedantie van de ohmse weerstand is bijgevolg reëel en gelijk aan
Z̄R = R + 0 j .
Omdat het argument van de impedantie hier nul is, is het faseverschil tussen spanning en stroom nul bij een ohmse weerstand.
Bij een condensator met capaciteit C is q = C · u waaruit door afleiding naar de
dq
du
dŪ
=C·
en dan ook I¯ = C ·
of dus I¯0 ej ωt = C · Ū0 j ω ejωt . De
tijd volgt i =
dt
dt
dt
1
complexe impedantie van de condensator is bijgevolg Z̄C = jωC
Dit is nog gelijk aan −
1
j , de impedantie van een condensator is zuiver imaginair.
ωC
Het faseverschil tussen stroomsterkte en spanning is het argument van dit complex
getal en bedraagt hier − π2 . Bij een condensator loopt de spanning dus 90o achter
op de stroom.
Bij een spoel met zelfinductie L tenslotte volgt uit de inductiewet dat u = L ·
• Algebra voor ingenieurs •
di
en
dt
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–23
dI¯
dan ook Ū = L ·
of dus Ū0 ej ωt = L · I¯0 j ω ejωt . De complexe impedantie van de
dt
spoel is bijgevolg Z̄L = Lω j .
Dit is een zuiver imaginair getal met argument π2 zodat bij een spoel de spanning
90o voorijlt op de stroom.
Men kan nu, rekening houdend met voorgaande resultaten, schakelingen beschouwen
waarin verschillende componenten in serie of in parallel staan.
In het geval van een serieschakeling is de totale impedantie de som van de impedanties van de afzonderlijke componenten.
Bij een parallelschakeling is het omgekeerde van de impedantie gelijk aan de som
van de omgekeerden van de impedanties van de afzonderlijke componenten.
1
.
Z̄
In algebraı̈sche notatie is Ȳ = G + j B waarbij het reëel deel G de conductantie of
geleidbaarheid en het imaginair deel B de susceptantie wordt genoemd.
Men noemt de omgekeerde van de impedantie ook wel de admittantie Ȳ =
voorbeeld :
Op een wisselstroomnet i(t) = 220 sin(100π t) zijn in serie aangesloten een ohmse
weerstand van 100 Ω, een condensator met capaciteit C = 20 µF en een spoel met
coëfficiënt van zelfinductie L = 0, 1 H. Bepaal het faseverschil tussen spanning en
stroom.
De impedanties van de weerstand, de condensator en de spoel zijn resp. gelijk
1
1
j=−
j en Z̄L = ωL j = 100π · 0, 1 j
ωC
100π · 20 · 10−6
1
De totale impedantie is bijgevolg gelijk aan Z = R + j (ωL −
) = 100 +
ωC
j (31, 42 − 159, 15) = 100 − j 127, 73.
aan Z̄R = R = 100, Z̄C = −
Het argument van dit complex getal volgt uit tan φ = − 127,73
en dus (gelet op
100
o
het kwadrant) φ = −51, 9 .
Dit argument geeft het faseverschil tussen spanning en stroomsterkte. De
spanning zal dus 51,9o naijlen op de stroom.
1.10.3
Systeemtheorie en complexe getallen
Vele tijdsafhankelijke “systemen” worden wiskundig beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen. Schematisch kan een systeem dan worden voorgesteld door
een blok dat tengevolge van een bepaalde input f (t) een bepaalde output y(t) produceert.
In de systeemtheorie zal men dikwijls een transformatie uitvoeren waarbij het tijdsdomein wordt omgezet naar het frequentiedomein d.m.v. de laplacetransformatie.
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–24
Complexe getallen
De schematische voorstelling van het systeem bevat nu een inputfunctie F (s) en een
outputfunctie (responsie) Y (s).
Zo wordt het tweede orde systeem dat geassocieerd is met de lineaire differentiaalvergelijking ay 00 + by 0 + c = f (t) (met beginvoorwaarden y(0) = y 0 (0) = 0 na transformatie naar het s–domein (as2 + bs + c) Y (s) = F (s) of schematisch voorgesteld
door
inputfunctie F (s) −−−→
De verhouding
as2
1
−−−→ responsiefunctie Y (s)
+ bs + c
Y (s)
wordt genoteerd als H(s) en wordt de transferfunctie van het
F (s)
systeem genoemd.
De ligging van de complexe nulpunten en de polen van de bekomen transferfunctie
van een complexe veranderlijke zijn van groot belang om het gedrag van het systeem beter te kennen.
Zo geldt bijvoorbeeld dat een systeem stabiel is (d.w.z. dat een begrensde inputfunctie een begrensde responsiefunctie oplevert) wanneer alle polen van de transferfunctie links van de imaginaire as liggen (dus een negatief reëel deel bezitten).
Bij de studie van lineaire systemen worden ook een aantal diagrammen gebruikt
die de functie H(s) voor s = jω grafisch voorstellen. Zo heeft men o.a. het Bode–
diagram, het Nyquist–diagram en het Nichols–Black–diagram.
Bij het Bode–diagram worden de modulus en het argument van H(jω) afzonderlijk
voorgesteld als functie van ω .
Bij de voorstelling van |H(jω)| werkt men met een logaritmische schaalverdeling op
de ω –as en een logaritmische schaalverdeling (geijkt in dB) op de ordinaatas volgens
M = 20 log[10]|H(jω)|.
Bij de voorstelling van arg(H(jω)) (fasediagram) gebruikt men een logaritmische
schaalverdeling op de ω –as.
Er bestaan methodes om snel een manuele schets (asymptotische benadering) te
maken van beide Bode–plots met behulp van de kennis van de nulpunten en de
polen van de transferfunctie.
Wanneer men de waarden van de functie H(jω) (dat zijn complexe getallen) uitzet
als beeldpunten in het vlak van Gauss, dan bekomt men een kromme die men het
polair diagram of Nyquist–diagram noemt. De vorm van deze kromme zal ook weer
afhangen van de ligging van de nulpunten en de polen van de transferfunctie.
Tenslotte is er nog het Nichols–Black–diagram waarbij de modulus |H(jω)| met een
logaritmische schaalverdeling wordt uitgezet tegenover het argument arg(H(jω)).
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–25
100
1
w
10
.1e–2
|H(jw)|
.1e–1
.1
10
100
0
–1
.1e–2
.1e–1
.1
10
arg(H(jw))
100
w
–2
–3
.1
Figuur 1.9: voorbeeld van een Bode–diagram (modulus en fase)
Een ander belangrijk begrip bij de studie van systemen is de poolbaan of rootlocus.
Om de ligging van polen en nulpunten van een systeem met transferfunctie H(s) te
kennen, kan men gebruik maken van de transferfunctie Hc (s) =
bijhorende gesloten loop–systeem met versterkingsfactor K .
K H(s)
van het
1 + K H(s)
De kromme die beschreven wordt in het vlak van Gauss door de nulpunten van
de noemer van Hc (s) (= de polen van Hc (s)) wanneer K varieert van 0 tot oneindig noemt men de poolbaan of rootlocus. Meestal bestaat deze uit verschillende
“takken”. Uit de kennis van de rootlocus kan heel wat informatie over het systeem
worden afgelezen, zoals de stabiliteit ervan voor verschillende waarden van K .
4
2
0 –3
–2
–0.6
–0.1
–2
–4
Figuur 1.10: voorbeeld van een poolbaan of rootlocus
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–26
1.10.4
Complexe getallen
Fractalen en complexe getallen
Fractalen zijn bijzondere meetkundige structuren met als voornaamste kenmerk
“zelfgelijkvormigheid”(self–similarity) wat betekent dat bij uitvergroting van een
deel van de figuur de oorspronkelijke figuur kan teruggevonden worden.
Een belangrijke klasse van fractalen wordt aangetroffen bij de studie van niet–
lineaire dynamische systemen.
Deze fractalen komen tot stand door eigenschappen van punten in het complexe
vlak te onderzoeken onder herhaald toepassen van een functie (iteratie). Een belangrijk voorbeeld daarvan zijn de Julia–fractalen.
Wanneer we het iteratief voorschrift zn+1 = zn 2 +c met c ∈ C bekijken in het complexe
vlak, dan wordt vertrekkend van een startwaarde z0 een rij punten z0 , z1 , z2 , z3 , . . .
gegenereerd. Blijft deze rij begrensd, dan wordt het startpunt z0 in het vlak van
Gauss geplot.
De Julia–verzameling Jc geassocieerd aan de functie f (z) = z 2 + c bestaat uit alle
punten z0 waarvoor de bijhorende rij z0 , z1 , z2 , . . . begrensd is.
Bijvoorbeeld voor c = 0 bestaat J0 uit de punten van een cirkelschijf met straal 1.
De rand van een Julia–verzameling wordt een “Julia–fractaal” genoemd.
De vorm van een Julia–verzameling Jc hangt af van de waarde van c.
Een fundamentele stelling, in 1919 onafhankelijk van elkaar bewezen door de Franse
wiskundigen Gaston Julia en Pierre Fatou, stelt dat er slechts twee soorten Julia–
verzamelingen bestaan : samenhangende en niet–samenhangende.
Een samenhangende Julia–verzameling bestaat uit één deel terwijl een niet–samenhangende Julia–verzameling is opgebouwd uit oneindig veel delen die elk uit slechts
één punt bestaan. Zo’n onsamenhangende verzameling wordt ook een Cantorverzameling genoemd.
Het al dan niet samenhangend zijn van Jc wordt bepaald door de baan van de
bijzondere startwaarde z0 = 0 onder het iteratief voorschrift. De verzameling is
samenhangend als en slechts als deze baan niet naar oneindig voert.
De Pools–Franse wiskundige Benoit Mandelbrot die in 1977 het begrip fractaal
introduceerde, ontdekte dat de complexe getallen waarvoor Jc samenhangend is,
alle behoren tot een welbepaalde verzameling die nu de Mandelbrot–verzameling
wordt genoemd en die wellicht de meest besproken figuur is in de context van
fractalen.
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–27
Figuur 1.11: De Mandelbrot–verzameling en voorbeelden van Julia–verzamelingen
Fractalen vinden toepassingen in heel wat domeinen, bij groeipatronen van planten
en kristallen, bij de structuur van wolken en bergen, bij de vorm van kustlijnen,
etc... . Als onderdeel van de chaostheorie die volledig is gebaseerd op de eigenaardige gedragingen van niet–lineaire systemen, komen fractalen dikwijls voor bij
simulatie of voorspelling van natuurlijke verschijnselen zoals bij weerpatronen en
klimatologische veranderingen, bij chemische reacties met chaotische kenmerken,
onvoorspelbare turbulenties in gas– en vloeistofstromen en bij complexe economische verschijnselen.
De kleurrijke voorstellingen van fractalen in het complexe vlak (toevoeging van
kleuren gebeurt naargelang de snelheid waarmee bepaalde punten naar een vast
punt convergeren in het iteratief proces) maken deze objecten ook aantrekkelijk.
Fractalen kunnen zelfs hoorbaar worden gemaakt door het visueel beeld te scannen
en iedere kleur te laten corresponderen met een muzikale parameter zoals toonhoogte (fractale muziek).
1.10.5
Complexe analyse
In de complexe analyse worden complexwaardige functies van een complexe veranderlijke bestudeerd, dus functies van C naar C
Stelt men f (z) = f (x + yj) = u(x, y) + v(x, y)j dan worden de reëelwaardige functies
u en v resp. het reëel en het imaginair deel van f genoemd.
Een belangrijke klasse van complexe functies wordt gevormd door de holomorfe
functies.
Voor een R − R functie werd de afleidbaarheid in een (inwendig) punt van de defi(x0 )
nitieverzameling gedefinieerd door te eisen dat lim f (x)−f
bestaat en eindig is.
x−x0
x→x0
Willen we deze definitie uitbreiden naar C − C functies, dan moeten we opmerken
(z0 )
niet ondubbelzinnig bepaald is.
dat lim f (z)−f
z−z0
z→z0
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–28
Complexe getallen
Immers daar waar men op de reële rechte enkel langs links of langs rechts kan
naderen naar x0 , kan men in het complexe vlak op oneindig veel manieren naderen
naar z0 .
Daarom definieert men : f is complex afleidbaar in z0 als lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
onafhanz − z0
kelijk is van de wijze waarop z naar z0 nadert en als deze limiet eindig is.
In het bijzonder kan men in het geval van een complex afleidbare functie in z0 de
(z0 )
waarde van lim f (z)−f
berekenen door z naar z0 te laten naderen evenwijdig met
z−z0
z→z0
de reële as, resp. evenwijdig met de imaginaire as en men bekomt dan :
lim
z→z0
f (z)−f (z0 )
z−z0
resp. lim
z→z0
= lim
∆x→0
f (z)−f (z0 )
z−z0
f (x0 +∆x+y0 j)−f (x0 +y0 j)
∆x
= lim
∆y→0
f (x0 +(y0 +∆y)j)−f (x0 +y0 j)
j∆y
Identificeert men de verzameling C met de verzameling R2 van de koppels reële
getallen, door x + yj te vereenzelvigen met (x, y), dan kan men een functie van een
complexe veranderlijke ook opvatten als een functie van twee reële veranderlijken
f (x + yj) ≡ f (x, y).
Door deze identificatie kunnen bovenstaande limieten opgevat worden als de partiële
afgeleiden van f (x, y) naar x resp. naar y.
We besluiten : als f complex afleidbaar is, dan is f (na de identificatie) ook partieel
afleidbaar naar x en y en er geldt :
Dz f =
∂f
1 ∂f
=
∂x
j ∂y
Gelet op 1j = −j hebben we dan ook dat de partiële afgeleiden voldoen aan de
betrekking
∂f
∂f
+j
=0
∂x
∂y
Men noemt dit de voorwaarde van Cauchy–Riemann.
Stelt men f (z) = f (x + yj) = u(x, y) + jv(x, y) dan gaat men gemakkelijk na dat deze
voorwaarde gelijkwaardig is met de twee voorwaarden samen :
∂v
∂u
∂v
∂u
=
en
=−
∂x
∂y
∂y
∂x
die men ook de voorwaarden van Cauchy–Riemann noemt.
Deze voorwaarden zijn dus nodige voorwaarden voor het complex afleidbaar zijn
van een functie f.
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–29
Goursat heeft aangetoond dat deze voorwaarden ook voldoende zijn.
Een functie f die voldoet aan de voorwaarde van Cauchy–Riemann en die bovendien
van de klasse C1 is (d.w.z. het reëel deel en het imaginair deel van f zijn continue
functies met continue partiële afgeleiden), wordt een holomorfe functie genoemd.
voorbeelden :
• De functie f : z → z 2 is holomorf.
Immers : f (x + yj) = (x + yj)2 = (x2 − y 2 ) + 2xyj
De voorwaarden van Cauchy–Riemann zijn vervuld :
∂u
∂x
= 2x =
∂v
∂y
en
∂u
∂y
∂v
= −2y = − ∂x
De complexe afgeleide is gegeven door
Dz z 2 =
∂f
∂x
=
∂u
∂x
∂v
+ j ∂x
= 2x + 2yj = 2(x + yj) = 2z
• De functie f : z → z is niet holomorf.
Immers : f (x + yj) = x − yj zodat
∂u
∂x
= 1 6=
∂v
∂y
= −1
Holomorfe functies bezitten bijzondere eigenschappen. Eén daarvan heeft betrekking op integratie.
Zij f een C − C functie die gedefinieerd is over een gebied Ω en onderstel dat f
continu is over Ω.
Zij verder K een pad in Ω van z1 = x1 + y1 j naar z2 = x2 + y2 j
We definiëren de integraal van f over K m.b.t. z als :
R
K
f (z) dz =
(xR
2 ,y2 )
(xR
2 ,y2 )
(x1 ,y1 )
(x1 ,y1 )
(u + jv)(dx + jdy) =
udx − vdy + j
(xR
2 ,y2 )
vdx + udy
(x1 ,y1 )
waarbij f (x + yj) = u(x, y) + v(x, y)j werd gesteld.
Met deze definitie wordt de integraal van een functie van een complexe veranderlijke
teruggebracht tot de berekening van twee lijnintegralen van reëelwaardige functies
van twee reële veranderlijken (zie vectoranalyse). De waarde van de integraal is
over het algemeen een complex getal.
In bovenstaande definitie werd zowel de kromme K waarlangs men integreert als
het begin– en eindpunt van deze kromme betrokken.
Over het algemeen zal een andere keuze van K met zelfde begin– en eindpunt een
andere integraalwaarde opleveren.
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–30
Complexe getallen
We kunnen
ons afvragen onder welke voorwaarden de keuze van K geen rol speelt
R
zodat f (z) dz enkel afhangt van de randpunten z1 = (x1 , y1 ) en z2 = (x2 , y2 ) en
K
zodat we in dat geval ondubbelzinnig de notatie
Rz2
f (z) dz kunnen gebruiken.
z1
Het antwoord op die vraag is een gevolg van de belangrijke stelling van Cauchy :
Zij Ω een gesloten gebied inH het vlak van Gauss met geöriënteerde randkromme K en zij
f holomorf over Ω. Dan is K f (z) dz = 0
Uit deze stelling volgt: is de functie f holomorf in een gesloten
gebied ΩHen zijn K1
H
en K2 twee paden binnen Ω met randpunten z1 en z2 , dan is K1 f (z) dz = K2 f (z) dz.
Voor een holomorfe functie (in het andere geval niet !) kunnen we dus de notatie
Rz2
f (z) dz gebruiken, zonder dat het pad dat z1 met z2 verbindt, moet gespecifieerd
z1
worden.
Een R − R functie f die onbeperkt afleidbaar is in een omgeving van een punt x0
van haar definitieverzameling kan ontwikkeld worden in een machtreeks rond x0
(taylorreeks).
Voor een holomorfe C − C functie f beschikt men over een gelijkaardige stelling :
f (z) =
+∞
P
n=0
an (z − z0 )n met an =
(Dzn f )(z0 )
voor alle z in een omgeving van z0
n!
De Franse wiskundige Pierre Laurent breidde het resultaat uit door het invoeren
van reeksen met zowel positieve als negatieve gehele exponenten. Dit is de stelling
van Laurent :
Zij f holomorf in Ω \ {z0 }. Dan geldt voor elke z in een schijfvormig gebied binnen Ω met
middelpunt z0 :
+∞
+∞
P
P
bm
f (z) =
an (z − z0 )n +
m
n=0
m=1 (z − z0 )
H
H
f (z)
1
1
met an = 2πj
en
b
=
f (z)(z − z0 )m−1 dz waarbij de kringintegralen
m
2πj
(z − z0 )n+1
worden berekend langs de rand van het beschouwde schijfvormig gebied.
De laurentreeks is geen machtreeks, maar bevat wel een machtreeksgedeelte (met
+∞
P
positieve gehele exponenten)
an (z − z0 )n dat men het analytisch deel van de lau-
n=0
rentreeks noemt. Het gedeelte met de negatieve gehele machten
men het hoofddeel van de laurentreeks.
• Algebra voor ingenieurs •
+∞
P
bm
noemt
m
m=1 (z − z0 )
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–31
Laurentreeksen werden ingevoerd om een functie te kunnen ontwikkelen in een
omgeving van punten waarin ze niet holomorf is. Men noemt deze punten ook
singuliere punten of singulariteiten.
De (geı̈soleerde) singuliere punten van een functie kunnen worden geclassificeerd op
basis van de bijhorende laurentreeks. Men onderscheidt :
• bm = 0 voor alle m = 1, 2, . . . De laurentreeks rond z0 bestaat dus enkel uit een
analytisch deel. Men zegt dat z0 een ophefbaar geı̈soleerd singulier punt is.
voorbeeld : z0 = 0 is een ophefbaar singulier punt van de functie f (z) =
3
sin z
.
z
5
Immers, gelet op de Maclaurinreeks voor sin z = z − z3! + z5! − . . . bekomen we :
sin z
=1−
z
z2
3!
+
z4
5!
− ...
Deze laurentreeks bevat enkel een analytisch deel.
• bm 6= 0 voor slechts een eindig aantal m–waarden. Het hoofddeel in de Laurentreeks rond z0 is dus een afbrekende reeks. Stelt men p = max{m | bm 6= 0}
dan noemt men het geı̈soleerd singulier punt z0 een pool van de orde p.
voorbeeld : z0 = 0 is een pool van de functie f (z) =
Immers :
z4
z4
1
− z5
1
1
= 4
5
−z
z (1 − z)
1
1−z
=
1
z4
·
=
1
z4
· (1 + z + z 2 + z 3 + . . .)
=
1
z4
+
1
z3
+
1
z2
+
1
z
+ 1 + z + ...
We zien dat het hoofddeel een afbrekende reeks is met slechts vier termen.
Bijgevolg is z0 = 0 een pool van de vierde orde.
• bm 6= 0 voor een oneindig aantal m–waarden. Het hoofddeel in de laurentreeks
rond z0 is dus een reeks met oneindig veel termen. In dit geval noemt men z0
een wezenlijk geı̈soleerd singulier punt.
voorbeeld : z0 = 0 is een wezenlijk geı̈soleerd singulier punt van de functie
1
f (z) = z 2 e− z
1
Immers : e− z = 1 + (− z1 ) + 2!1 (− z1 )2 + 3!1 (− z1 )3 + . . .
1
zodat z 2 e− z = z 2 − z + 2!1 −
1
3!z
+
1
4!z 2
− ...
Het hoofddeel van deze laurentreeks is een oneindige reeks.
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–32
Complexe getallen
Eén van de belangrijkste stellingen uit de complexe analyse is ongetwijfeld de residustelling.
Is z0 een pool of een wezenlijk geı̈soleerd singulier punt van f , dan noemt men de
coëfficiënt b1 in de laurentreeks van f rond z0 het residu van f in z0
H
1
Dit residu kan berekend worden als een kringintegraal : b1 = 2πj
f (z)dz waarbij
geı̈ntegreerd wordt over een cirkel met middelpunt in z0 of het kan gewoon afgelezen
worden uit de laurentreeks van f rond z0 indien deze gegeven is.
In het bijzonder geval van een pool, beschikt men nog over een andere handige
formule om het residu te bepalen.
Er geldt namelijk :
Res(f ; z0 ) =
1
lim
(p−1)! z−→z
0
Dzp−1 ((z − z0 )p f (z))
indien z0 een pool is van de orde p.
Formuleren we nu de residustelling :
Zij Ω ⊆ C en zij f holomorf in Ω uitgenomen in een eindig aantal polen of wezenlijk
geı̈soleerde singuliere punten.
Zij verder K de randkromme van een gesloten deelgebied van Ω dat de polen of wezenlijk
geı̈soleerde singuliere punten z1 , z2 , . . . , zk bevat als inwendige punten.
k
H
P
Res(f ; zi )
Dan geldt : f (z) dz = 2πj
i=1
K
De residustelling heeft verrassende toepassingsgebieden zoals de berekening van
bepaalde klassen oneigenlijke integralen van reëlwaardige functies (die enkel via
technieken van de reële analyse niet kunnen berekend worden).
Door het integratieinterval te beschouwen als onderdeel van een gesloten contour in
het complexe vlak kan men deze integralen wel berekenen uit de contourintegraal
waarvan de waarde wordt gevonden met de residustelling.
Z
+∞
voorbeeld :
0
π
sin x
=
x
2
De complexe analyse vormt ook een zeer geschikt kader voor het oplossen van problemen uit de potentiaaltheorie.
In deze tak van de wiskunde bestudeert men de oplossingen van de vergelijking van
Laplace ∇2 Φ = 0, één van de belangrijkste partiële differentiaalvergelijkingen. Deze
oplossingen worden harmonische functies genoemd.
De overgang van de reële harmonische functie Φ naar de complexe functie F = Φ+j Ψ
met Ψ de toegevoegde harmonische functie van Φ (dit is : Φ en Ψ voldoen aan de
voorwaarden van Cauchy–Riemann, m.a.w. F = Φ + j Ψ is holomorf) biedt heel
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–33
wat voordelen en deze techniek wordt ondermeer toegepast in de stromingsleer
(berekening van snelheid van stromingsveld), in de warmteleer (bepalen van warmtestroomlijnen en isothermen) en in de elektriciteit (potentiaalberekeningen).
1.10.6
Transformaties van het complexe vlak
Wanneer men een puntenverzameling van het complexe vlak onderwerpt aan een
complexe functie f dan is de beeldverzameling opnieuw een puntenverzameling van
het complexe vlak. Men zegt ook wel dat de functie f een transformatie van het
complexe vlak bepaalt.
Is z = x + y j en w = f (z) = u + v j dan zegt men dat w het beeldpunt is van z onder
de transformatie.
Enkele eenvoudige voorbeelden van transformaties van het complexe vlak zijn :
• translaties : f (z) = z + K met K = a + bj een vast complex getal.
• dilataties : f (z) = z · K met K een vast positief reëel getal.
• rotaties : f (z) = z · K met K = ej α een vast complex getal met modulus 1.
Elke samenstelling van translaties, dilataties en rotaties noemt men een lineaire
transformatie van het complexe vlak.
Dit soort afbeeldingen f (z) = Az + B met A en B vaste complexe getallen, zijn
bijecties van het complexe vlak waarbij rechten worden afgebeeld op rechten.
Lineaire transformaties zijn ook steeds hoektrouwe afbeeldingen, d.w.z. dat de hoek
tussen twee krommen in een punt dezelfde is als de hoek tussen de beeldkrommen
in het beeldpunt.
Er zijn natuurlijk ook nog andere hoektrouwe afbeeldingen buiten de lineaire.
Een hoektrouwe afbeelding die bovendien ook de oriëntatie van de hoek behoudt,
noemt men een conforme afbeelding van het complexe vlak. Het belang van conforme afbeeldingen wordt duidelijk bij volgende stelling :
Is f een functie van de klasse C1 (continu met continue afgeleiden), dan zijn volgende
uitspraken gelijkwaardig : (i) f is conform in elk punt van een open gebied Ω en (ii) f is
holomorf in Ω met een afgeleide die nergens nul is
De conforme afbeeldingen zijn dus precies de holomorfe functies.
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–34
Complexe getallen
Voorbeelden daarvan zijn er in overvloed : de complexe sinusfunctie, de complexe
exponentiële functie, de complexe machtfuncties, . . ..
Een uiterst belangrijke groep van voorbeelden wordt gevormd door de Möbius–
transformaties, ook gekend als lineaire rationale transformaties.
az + b
Deze zijn gedefinieerd door f (z) =
met a, b, c, d vaste complexe getallen waarcz + d
voor ad − bc 6= 0.
Door deze transformaties worden cirkels afgebeeld op cirkels of op rechten en rechten
worden afgebeeld op rechten of cirkels.
1
z
De eenvoudigste Möbiustransformatie is een inversie f (z) = .
Het beeld van een punt z = x + y j is dus het punt w =
omgekeerde van een complex getal).
–4
–3
–2
–1
x2
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
x
y
− 2
j (zie
2
+y
x + y2
1
2
3
4
Figuur 1.12: Beeld van een rechthoekig raster onder een inversie
Een ander belangrijk voorbeeld van een conforme afbeelding van het complexe vlak
1
is de transformatie van Joukowski f (z) = z + . Het beeld van cirkels door (−1, 0)
z
die het punt (1, 0) omsluiten zijn gesloten krommen die optreden als profiel bij vliegtuigvleugels.
Uit de kennis van de luchtstromingen rond een cirkel kan men aldus het stromingsgedrag rond het vleugelprofiel afleiden door toepassing van de Joukowski transformatie wat voor het eerst werd opgemerkt door de Russische wiskundige naar wie
de transformatie is genoemd.
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–35
1.11
Maple–commando’s voor complexe getallen
1.11.1
Een complex getal invoeren
De imaginaire eenheid j wordt in Maple standaard voorgesteld door de hoofdletter
I.
Complexe getallen worden ingevoerd in algebraı̈sche gedaante x + yI
voorbeeld :
>
z:=x+y*I;
z := x + y I
>
w:=3-2*I;
w := 3 − 2 I
Men kan de imaginaire eenheid vervangen door een andere letter (bvb. de gebruikelijke i of j ) door het commando interface(imaginaryunit=j). Hou er wel rekening
mee dat deze instelling verdwijnt na een restart.
>
interface(imaginaryunit=j);
j
>
z:=2*j;
z := 2 j
>
z^2;
−4
>
>
restart:
z:=2*j;
z := 2 j
>
z^2;
4 j2
1.11.2
Overgang tussen algebraı̈sche en polaire gedaante
Is een complex getal ingevoerd in de algebraı̈sche gedaante, dan kan men daaruit
de goniometrische en de polaire gedaante vinden door berekening van de modulus
en het argument.
Deze worden bepaald met de commando’s abs(z) en argument(z) .
Het gevonden argument is daarbij steeds het hoofdargument gelegen tussen −π en π .
voorbeeld :
>
z:=1-I;
z := 1 − I
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–36
>
>
Complexe getallen
abs(z);
√
2
argument(z);
−
π
4
Modulus en argument kunnen ook in één keer samen worden bepaald met het commando convert(...,polar)
>
convert(z,polar);
√
π
polar( 2, − )
4
Wordt een complex getal ingevoerd in polaire gedaante (met exp) dan wordt dit
automatisch omgezet door Maple in algebraı̈sche gedaante voor bijzondere waarden
van het argument (zoals π4 , π6 e.a.).
In de overige gevallen, kan men de algebraı̈sche gedaante vinden door eerst het reëel
en het imaginair deel te bepalen met de commando’s Re(z) en Im(z)
voorbeelden :
>
z:=2*exp(Pi/6*I);
z :=
>
z:=2*exp(-Pi/4*I);
z :=
>
√
√
3+I
2−
√
2I
z:=2*exp(Pi/8*I);
z := 2 e(1/8 I π)
>
>
>
>
Re(z);
π
2 cos( )
8
Im(z);
π
2 sin( )
8
z:=Re(z)+Im(z)*I;
evalf(%);
π
π
z := 2 cos( ) + 2 I sin( )
8
8
1.847759065 + 0.7653668650 I
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1.11.3
1–37
Bewerkingen uitvoeren met complexe getallen
De bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing van complexe getallen in algebraı̈sche gedaante, worden uitgevoerd op de gebruikelijke wijze (net zoals bij reële getallen).
voorbeelden :
>
z[1]:=2-3*I;
z1 := 2 − 3 I
>
z[2]:=3-2*I;
z2 := 3 − 2 I
>
z[1]+z[2];
5 − 5I
>
z[1]*z[2];
−13 I
>
>
z[1]/z[2];
z[1]^3;
12
5
−
I
13 13
−46 − 9 I
Wanneer men bewerkingen uitvoert met “niet–numerieke”complexe getallen (d.i. complexe getallen waarin letters optreden), dan wordt het resultaat van een bewerking
niet vanzelf in de eenvoudigste algebraı̈sch gedaante gezet. Men kan dat wel forceren door gebruik te maken van evalc(z) .
voorbeelden :
>
z:=x+y*I;
z := x + y I
>
w:=u+v*I;
w := u + v I
>
z+w;
x+yI +u+vI
>
evalc(z+w);
x + u + (y + v) I
>
z*w;
(x + y I) (u + v I)
>
evalc(z*w);
x u − y v + (x v + y u) I
>
1/z;
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–38
Complexe getallen
1
x+yI
>
evalc(1/z);
x2
x
yI
− 2
2
+y
x + y2
Voor het complex toegevoegde van een complex getal beschikt men over het commando conjugate(z) .
voorbeeld :
>
conjugate(x+y*I);
(x + y I)
>
evalc(%);
x−yI
>
conjugate(1/4-2*I);
1
+ 2I
4
1.11.4
Een complex getal meetkundig voorstellen
Complexe getallen kunnen worden voorgesteld als punten in het vlak met het commando complexplot(L,x=a..b,y=c..d,style=point,opties) .
Het eerste argument is de lijst L van de complexe getallen die moeten worden voorgesteld. De optionele bereiken voor x en y bepalen welk deel van het vlak van
Gauss moet worden weergegeven en de optie style=point zorgt voor een weergave
waarbij de complexe getallen worden voorgesteld als punten (zonder verbinding).
Het symbool dat hiervoor wordt gebruikt (een cirkel, een kruisje, . . .) en de grootte
en kleur daarvan kan worden gekozen met bijkomende opties.
voorbeelden :
>
>
>
>
with(plots):
z[1]:=1+I;z[2]:=2-I;z[3]:=3+2*I;
z1 := 1 + I
z2 := 2 − I
z3 := 3 + 2 I
complexplot([z[1],z[2],z[3]],x=0..4,y=-1..3,style=point,symbol=circle
,symbolsize=20
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–39
3
2
y
1
0
1
2
x
3
4
–1
1.11.5
Wortels uit een complex getal bepalen
De n–de machtswortels uit een complex getal c worden gevonden door de vergelijking
z n = c op te lossen (commando solve).
De bekomen oplossingen kunnen in eenvoudigste algebraı̈sche gedaante worden gezet door eventueel nog evalc toe te passen.
Zoals bekend vormen de beeldpunten van de n–de machtswortels de hoekpunten
van een regelmatige n–hoek (voor te stellen met complexplot).
voorbeeld :
>
>
>
>
vergelijking:=z^4+1=0;
vergelijking := z 4 + 1 = 0
wortels:=solve(vergelijking,z);
√
√
√
√
2 1 √
2 1 √
2 1 √
2 1 √
+ I 2, −
+ I 2, −
− I 2,
− I 2
wortels :=
2
2
2
2
2
2
2
2
for k from 1 to 4 do r[k]=abs(wortels[k]) ;
Arg(z[k])=simplify(argument(wortels[k])) end do;
r1 = 1
π
Arg(z1 ) =
4
r2 = 1
3π
Arg(z2 ) =
4
r3 = 1
3π
Arg(z3 ) = −
4
r4 = 1
π
Arg(z4 ) = −
4
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •
1–40
>
>
Complexe getallen
with(plots):complexplot([wortels],x=-1..1,y=-1..1,style=point,
symbolsize=30,scaling=constrained);
1
0.8
y
0.6
0.4
0.2
–1–0.8
–0.4 0
–0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
–0.4
–0.6
–0.8
–1
>
vergelijking:=z^6=I;
vergelijking := z 6 = I
wortels:=solve(vergelijking,z);
p
p
p
√
√ p
√
√ √
2I + 2 3
2I + 2 3
2I − 2 3
2I − 2 3
2 1 √
wortels :=
,−
,
,−
,
− I 2,
2
2
2
2
2
2
√
2 1 √
−
+ I 2
2
2
>
>
for k from 1 to 6 do z[k]=evalc(wortels[k]) end do;
√
√
√
√
6
2
6
2
z1 =
+
+(
−
)I
4
4
4
4
√
√
√
√
6
2
6
2
z2 = −
−
+ (−
+
)I
4
4
4
4
√
√
√
√
6
2
6
2
−
+(
+
)I
z3 =
4
4
4
4
√
√
√
√
6
2
6
2
z4 = −
+
+ (−
−
)I
4
4
4
4
√
2 1 √
− I 2
z5 =
2
2
√
2 1 √
+ I 2
z6 = −
2
2
>
complexplot([wortels],style=point,symbol=cross,symbolsize=40,color=bl
ue,scaling=constrained);
>
• Algebra voor ingenieurs •
Hoofdstuk 1
Complexe getallen
1–41
1
0.5
–1
–0.5
0.5
1
–0.5
–1
1.11.6
Sinus, cosinus en logaritme van een complex getal
bepalen
De sinus, cosinus en hoofdlogaritme van een complex getal kunnen worden bepaald
met de functies sin, cos en ln (gevolgd door evalc).
voorbeeld :
>
sin(x+y*I);
sin(x + y I)
>
evalc(%);
sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y) I
>
cos(x+y*I);
cos(x + y I)
>
>
>
>
>
evalc(%);
cos(x) cosh(y) − sin(x) sinh(y) I
evalc(sin(Pi/3+Pi/4*I));
1
π
1√
π
3 cosh( ) + I sinh( )
2
4
2
4
ln(1+I);
ln(1 + I)
evalc(%);
1
1
ln(2) + I π
2
4
ln(-5);
ln(5) + π I
Hoofdstuk 1
• Algebra voor ingenieurs •