Bewijzen en verzamelingen

Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijzen en verzamelingen
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
8 september 2016
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Gerrit Oomens
(“gehele getallen”)
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
(“gehele getallen”)
Q
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
(“gehele getallen”)
Q = {p/q : p, q ∈ Z en q 6= 0}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
(“gehele getallen”)
Q = {p/q : p, q ∈ Z en q 6= 0}
Gerrit Oomens
(“rationale getallen”)
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
(“gehele getallen”)
Q = {p/q : p, q ∈ Z en q 6= 0}
(“rationale getallen”)
R
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Verzamelingen
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
(“gehele getallen”)
Q = {p/q : p, q ∈ Z en q 6= 0}
(“rationale getallen”)
(“reële getallen”)
R
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b]
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn,
waaronder verzamelingen:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn,
waaronder verzamelingen:
A = {∅, 3, koe}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn,
waaronder verzamelingen:
A = {∅, 3, koe},
B = {A, ∅, R}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn,
waaronder verzamelingen:
A = {∅, 3, koe},
B = {A, ∅, R}.
Let op: verzamelingen zijn ongeordend
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn,
waaronder verzamelingen:
A = {∅, 3, koe},
B = {A, ∅, R}.
Let op: verzamelingen zijn ongeordend en bevatten ieder element
maximaal één keer
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn,
waaronder verzamelingen:
A = {∅, 3, koe},
B = {A, ∅, R}.
Let op: verzamelingen zijn ongeordend en bevatten ieder element
maximaal één keer: {1, 1, 2}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn,
waaronder verzamelingen:
A = {∅, 3, koe},
B = {A, ∅, R}.
Let op: verzamelingen zijn ongeordend en bevatten ieder element
maximaal één keer: {1, 1, 2} = {1, 2}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De lege verzameling ∅ = {}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn,
waaronder verzamelingen:
A = {∅, 3, koe},
B = {A, ∅, R}.
Let op: verzamelingen zijn ongeordend en bevatten ieder element
maximaal één keer: {1, 1, 2} = {1, 2} = {2, 1}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Bovenstaande uitspraken zijn dan te schrijven als
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Bovenstaande uitspraken zijn dan te schrijven als
∃n, n > 3
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Bovenstaande uitspraken zijn dan te schrijven als
∃n, n > 3
∀n, (n ∈ N → n > 0).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Bovenstaande uitspraken zijn dan te schrijven als
∃n, n > 3
∀n, (n ∈ N → n > 0).
Voor dit soort uitspraken is de context belangrijk
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Bovenstaande uitspraken zijn dan te schrijven als
∃n, n > 3
∀n, (n ∈ N → n > 0).
Voor dit soort uitspraken is de context (het universum) belangrijk
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Bovenstaande uitspraken zijn dan te schrijven als
∃n, n > 3
∀n, (n ∈ N → n > 0).
Voor dit soort uitspraken is de context (het universum) belangrijk:
de eerste uitspraak is waar als we het hebben over R
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Bovenstaande uitspraken zijn dan te schrijven als
∃n, n > 3
∀n, (n ∈ N → n > 0).
Voor dit soort uitspraken is de context (het universum) belangrijk:
de eerste uitspraak is waar als we het hebben over R, maar onwaar
als we het hebben over [0, 1].
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Bovenstaande uitspraken zijn dan te schrijven als
∃n, n > 3
∀n, (n ∈ N → n > 0).
Voor dit soort uitspraken is de context (het universum) belangrijk:
de eerste uitspraak is waar als we het hebben over R, maar onwaar
als we het hebben over [0, 1]. Als dit niet uit de context duidelijk
is, moet het expliciet worden vermeld.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)”
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
In symbolen: ¬∃x, p(x)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
In symbolen: ¬∃x, p(x) is equivalent met ∀x, ¬p(x).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
In symbolen: ¬∃x, p(x) is equivalent met ∀x, ¬p(x).
Zo ook is ¬∀x, p(x)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
In symbolen: ¬∃x, p(x) is equivalent met ∀x, ¬p(x).
Zo ook is ¬∀x, p(x) equivalent met ∃x, ¬p(x).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
In symbolen: ¬∃x, p(x) is equivalent met ∀x, ¬p(x).
Zo ook is ¬∀x, p(x) equivalent met ∃x, ¬p(x).
Dit geeft
¬(∃y , ∀x, x + y = 0)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
In symbolen: ¬∃x, p(x) is equivalent met ∀x, ¬p(x).
Zo ook is ¬∀x, p(x) equivalent met ∃x, ¬p(x).
Dit geeft
¬(∃y , ∀x, x + y = 0)
⇔
Gerrit Oomens
∀y , ¬(∀x, x + y = 0)
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
In symbolen: ¬∃x, p(x) is equivalent met ∀x, ¬p(x).
Zo ook is ¬∀x, p(x) equivalent met ∃x, ¬p(x).
Dit geeft
¬(∃y , ∀x, x + y = 0)
⇔
∀y , ¬(∀x, x + y = 0)
⇔
∀y , ∃x, ¬(x + y = 0)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
In symbolen: ¬∃x, p(x) is equivalent met ∀x, ¬p(x).
Zo ook is ¬∀x, p(x) equivalent met ∃x, ¬p(x).
Dit geeft
¬(∃y , ∀x, x + y = 0)
⇔
∀y , ¬(∀x, x + y = 0)
⇔
∀y , ∃x, ¬(x + y = 0)
⇔
∀y , ∃x, x + y 6= 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
Gerrit Oomens
A
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Neem t ∈ T .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Neem t ∈ T . Dan is t = s 2 voor zekere s ∈ S.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Neem t ∈ T . Dan is t = s 2 voor zekere s ∈ S.
Het kwadraat van een oneven getal is oneven
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Neem t ∈ T . Dan is t = s 2 voor zekere s ∈ S.
Het kwadraat van een oneven getal is oneven, dus t ∈ S.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Neem t ∈ T . Dan is t = s 2 voor zekere s ∈ S.
Het kwadraat van een oneven getal is oneven, dus t ∈ S.
Om in te zien dat T 6= S
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Neem t ∈ T . Dan is t = s 2 voor zekere s ∈ S.
Het kwadraat van een oneven getal is oneven, dus t ∈ S.
Om in te zien dat T 6= S, is het voldoende op te merken dat
−1 ∈ S
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Neem t ∈ T . Dan is t = s 2 voor zekere s ∈ S.
Het kwadraat van een oneven getal is oneven, dus t ∈ S.
Om in te zien dat T 6= S, is het voldoende op te merken dat
−1 ∈ S, maar −1 6∈ T .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
B
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Neem t ∈ T . Dan is t = s 2 voor zekere s ∈ S.
Het kwadraat van een oneven getal is oneven, dus t ∈ S.
Om in te zien dat T 6= S, is het voldoende op te merken dat
−1 ∈ S, maar −1 6∈ T .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A∪B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A∩B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}. Dan is
A∪B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}. Dan is
A ∪ B = {1, 2, 3, 6}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}. Dan is
A ∪ B = {1, 2, 3, 6},
A∩B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}. Dan is
A ∪ B = {1, 2, 3, 6},
A ∩ B = {2, 3}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}. Dan is
A ∪ B = {1, 2, 3, 6},
A
A ∩ B = {2, 3}.
B
A∪B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}. Dan is
A ∪ B = {1, 2, 3, 6},
A
A ∩ B = {2, 3}.
B
A∪B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}. Dan is
A ∪ B = {1, 2, 3, 6},
A
A ∩ B = {2, 3}.
B
A∪B
A
A∩B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
B
Vereniging en doorsnede
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
De doorsnede is
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}. Dan is
A ∪ B = {1, 2, 3, 6},
A
A ∩ B = {2, 3}.
B
A∪B
A
A∩B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
B
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A\B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A\B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A \ B = {1}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A \ B = {1},
B \A
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A \ B = {1},
B \ A = {6}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A \ B = {1},
B \ A = {6},
Gerrit Oomens
Ac
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A \ B = {1},
B \ A = {6},
Gerrit Oomens
Ac = {4, 5, 6, . . .}.
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A \ B = {1},
A
B \ A = {6},
Ac = {4, 5, 6, . . .}.
B
A\B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A \ B = {1},
A
B \ A = {6},
Ac = {4, 5, 6, . . .}.
B
A\B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A \ B = {1},
A
B \ A = {6},
Ac = {4, 5, 6, . . .}.
B
A
Ac
A\B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
B
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
A \ B = {1},
A
B \ A = {6},
Ac = {4, 5, 6, . . .}.
B
A
Ac
A\B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
B
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A
B
C
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∪ (B ∩ C )
A
B
C
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∪ (B ∩ C )
A
B
C
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∪ (B ∩ C )
A
B
C
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∪ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A
B
A
C
Gerrit Oomens
B
Basiswiskunde Hoorcollege 2
C
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∪ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A
B
A
C
Gerrit Oomens
B
Basiswiskunde Hoorcollege 2
C
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∪ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A
B
A
C
Gerrit Oomens
B
Basiswiskunde Hoorcollege 2
C
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∪ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A
B
A
C
Gerrit Oomens
B
Basiswiskunde Hoorcollege 2
C
Een distributieve wet
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∪ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A
B
A
C
B
Is dit een bewijs?
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
C
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Merk op dat A = B dan en slechts dan als A ⊆ B en B ⊆ A
beiden gelden.
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C .
We onderscheiden twee gevallen: x ∈ A en x 6∈ A.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C .
We onderscheiden twee gevallen: x ∈ A en x 6∈ A.
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ (B ∩ C ).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C .
We onderscheiden twee gevallen: x ∈ A en x 6∈ A.
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ (B ∩ C ).
Als x 6∈ A
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C .
We onderscheiden twee gevallen: x ∈ A en x 6∈ A.
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ (B ∩ C ).
Als x 6∈ A, dan moet x ∈ B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C .
We onderscheiden twee gevallen: x ∈ A en x 6∈ A.
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ (B ∩ C ).
Als x 6∈ A, dan moet x ∈ B en x ∈ C .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C .
We onderscheiden twee gevallen: x ∈ A en x 6∈ A.
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ (B ∩ C ).
Als x 6∈ A, dan moet x ∈ B en x ∈ C . Dus x ∈ B ∩ C .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gelijkheid van verzamelingen
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C .
We onderscheiden twee gevallen: x ∈ A en x 6∈ A.
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ (B ∩ C ).
Als x 6∈ A, dan moet x ∈ B en x ∈ C . Dus x ∈ B ∩ C .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2 is even
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2 is even
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2 is even
⇒
n is even.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2 is even
⇒
n is even.
m en n zijn beide even
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2 is even
⇒
n is even.
m en n zijn beide even, dus deelbaar door 2.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2 is even
⇒
n is even.
m en n zijn beide even, dus deelbaar door 2.
Tegenspraak!
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2 is even
⇒
n is even.
m en n zijn beide even, dus deelbaar door 2.
√
Tegenspraak! Dus 2 is niet rationaal.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2 is even
⇒
n is even.
m en n zijn beide even, dus deelbaar door 2.
√
Tegenspraak! Dus 2 is niet rationaal.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x|
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y |
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy |
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy .
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy .
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x|
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy |
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy .
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y )
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Als y ≥ 0 en x < 0
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Als y ≥ 0 en x < 0, dan is |x| = −x, |y | = y
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Als y ≥ 0 en x < 0, dan is |x| = −x, |y | = y en |xy |
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Als y ≥ 0 en x < 0, dan is |x| = −x, |y | = y en |xy | = −xy :
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Als y ≥ 0 en x < 0, dan is |x| = −x, |y | = y en |xy | = −xy :
|xy | = −xy
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Als y ≥ 0 en x < 0, dan is |x| = −x, |y | = y en |xy | = −xy :
|xy | = −xy = (−x)y
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Als y ≥ 0 en x < 0, dan is |x| = −x, |y | = y en |xy | = −xy :
|xy | = −xy = (−x)y = |x||y |.
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Als y ≥ 0 en x < 0, dan is |x| = −x, |y | = y en |xy | = −xy :
|xy | = −xy = (−x)y = |x||y |.
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Onderscheiden van gevallen.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Onderscheiden van gevallen.
Opsplitsen in eenvoudigere beweringen.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Onderscheiden van gevallen.
Opsplitsen in eenvoudigere beweringen.
Voorbeeld van het laatste:
Stelling
Zij k een geheel getal. Dan is k even dan en slechts dan als k 2
even is.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Onderscheiden van gevallen.
Opsplitsen in eenvoudigere beweringen.
Voorbeeld van het laatste:
Stelling
Zij k een geheel getal. Dan is k even dan en slechts dan als k 2
even is.
Bewijs.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Onderscheiden van gevallen.
Opsplitsen in eenvoudigere beweringen.
Voorbeeld van het laatste:
Stelling
Zij k een geheel getal. Dan is k even dan en slechts dan als k 2
even is.
Bewijs.
We moeten hier twee dingen bewijzen:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Onderscheiden van gevallen.
Opsplitsen in eenvoudigere beweringen.
Voorbeeld van het laatste:
Stelling
Zij k een geheel getal. Dan is k even dan en slechts dan als k 2
even is.
Bewijs.
We moeten hier twee dingen bewijzen:
Als k even is, dan is k 2 even.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Onderscheiden van gevallen.
Opsplitsen in eenvoudigere beweringen.
Voorbeeld van het laatste:
Stelling
Zij k een geheel getal. Dan is k even dan en slechts dan als k 2
even is.
Bewijs.
We moeten hier twee dingen bewijzen:
Als k even is, dan is k 2 even.
Als k 2 even is, dan is k even.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Onderscheiden van gevallen.
Opsplitsen in eenvoudigere beweringen.
Voorbeeld van het laatste:
Stelling
Zij k een geheel getal. Dan is k even dan en slechts dan als k 2
even is.
Bewijs.
We moeten hier twee dingen bewijzen:
Als k even is, dan is k 2 even.
Als k 2 even is, dan is k even.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is, dan is het
voldoende om één x ∈ Z aan te wijzen waarvoor de claim niet
geldt
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is, dan is het
voldoende om één x ∈ Z aan te wijzen waarvoor de claim niet
geldt (een tegenvoorbeeld).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is, dan is het
voldoende om één x ∈ Z aan te wijzen waarvoor de claim niet
geldt (een tegenvoorbeeld). In dit geval voldoet x = 3.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is, dan is het
voldoende om één x ∈ Z aan te wijzen waarvoor de claim niet
geldt (een tegenvoorbeeld). In dit geval voldoet x = 3.
Voorbeeld
Bewijs of ontkracht: voor elke n ∈ Z+ is n2 + n + 41 priem.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is, dan is het
voldoende om één x ∈ Z aan te wijzen waarvoor de claim niet
geldt (een tegenvoorbeeld). In dit geval voldoet x = 3.
Voorbeeld
Bewijs of ontkracht: voor elke n ∈ Z+ is n2 + n + 41 priem.
De eerste waarden zijn 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is, dan is het
voldoende om één x ∈ Z aan te wijzen waarvoor de claim niet
geldt (een tegenvoorbeeld). In dit geval voldoet x = 3.
Voorbeeld
Bewijs of ontkracht: voor elke n ∈ Z+ is n2 + n + 41 priem.
De eerste waarden zijn 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97. Maar voor n = 41:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is, dan is het
voldoende om één x ∈ Z aan te wijzen waarvoor de claim niet
geldt (een tegenvoorbeeld). In dit geval voldoet x = 3.
Voorbeeld
Bewijs of ontkracht: voor elke n ∈ Z+ is n2 + n + 41 priem.
De eerste waarden zijn 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97. Maar voor n = 41:
412 + 41 + 41
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijs en tegenvoorbeeld
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is, dan is het
voldoende om één x ∈ Z aan te wijzen waarvoor de claim niet
geldt (een tegenvoorbeeld). In dit geval voldoet x = 3.
Voorbeeld
Bewijs of ontkracht: voor elke n ∈ Z+ is n2 + n + 41 priem.
De eerste waarden zijn 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97. Maar voor n = 41:
412 + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2