GETALLEN en ALGEBRAÏSCH REKENEN leerplan ABC

pla
ar
Philip Bogaert
Filip Geeurickx
Marc Muylaert
Roger Van Nieuwenhuyze
Erik Willockx
Pr
oe
leerplan ABC
fex
em
GETALLEN en
ALGEBRAÏSCH
REKENEN
m.m.v. Björn Carreyn
Cartoons
Dave Vanroye
3
Koen heeft op zijn spaarboek een bedrag van 300 euro staan.
Wouter heeft minder op zijn spaarboek staan, namelijk 250 euro.
Omdat ze op school goed hadden gewerkt, kregen ze van nonkel Gust elk 20 euro zakgeld
3 ) √2 op de getallenas
Heeft Wouter nog altijd minder dan Koen?
Functies van de eerste graad
3.3
Antwoord:
hier ligt √2.
pla
ar
om op de getallenas √2 voor te stellen, gebruiken we een rechthoekige gelijkbenige driehoek met twee recht250 Õ
300
250 +en
20straal
Õ 300|Ad|
+ 20snijdt
want 270
Õ 320
hoekszijden die gelijk zijn aanOplossing:
1. de cirkelboog
met
A als P
middelpunt
de getallenas
in punt C.
Wouter heeft op zijn spaarboekje nog steeds minder dan Koen.
Merk op dat √2 “onmeetbaar” is en toch op de getallenas geplaatst kan worden.
Ze kopen elk een game van 30 euro.
Heeft Wouter nu nog altijd minder dan Koen?
D
Oplossing:
Antwoord:
1 ) Definitie
Voorbeeld 1:
270 Õ 320
P
270 - 30 Õ 320 - 30 want 240 Õ 290
illustratie
Wouter heeft op zijn spaarboekje nog steeds minder dan Koen.
VOLGT
Voorbeeld 2:
1 1
270
250
Õ 1300
bij
beide
leden
bij beide leden
bij beide leden
Definities vind je op een
L K
optellen
-20 optellen
(-30
Een functie van de eerste graad is20een
functie die elk reëel
getal x afbeeldt op mx + q met m C R
en) optellen
q C R.
rode achtergrond,0 270 + (-30)
250
+
20
300
+
20
Õ
Het functievoorschrift mx + q is een veelterm van de eerste graad in x.
methodes staan in een
B
In symbolen:
270
320
240
Õ
oranje kader.
metC m C R0
en
qCR
A 1 f : x→Bmx+q
functie van de eerste graad
Æ
L K
Æ
B
Æ
{
fex
em
met
en
qCR
f is een functie van de
F
of f (x) =1mx + q
√2 m C R0
0 eerste graad
2 reëel
Als we bij beide leden van een ongelijkheid een zelfde
getal optellen, dan ontstaat e
of y = mx + q
met m C R0
en
qCR
Eigenschappen vind je op
zelfde zin.
Voorbeelden:
optelling en orde
f1: x → 2x − 6 of f1(x) = 2x − 6 of y = 2x − 6
een groene achtergrond.
2
√2
of y = x − √3
2
2
2
3
in woorden:
In het voorschrift f (x) = mx + q heeft
elk reëel getal juist één beeld. Bijgevolg isGeschiedenis
het domein vanvan
eende
functie van de
optelling
bewaart
de aan
orde.
eerste graad gelijk aan R. In dit De
geval
is ook in
hetRbeeld
gelijk
R.
Dus:
3
dom f = R
bld in
f =symbolen:
R
Aa, b, c C R:
en
2 ) Grafiek van f (x) = mx f2: x →
√2 x − √3 of f (x) = √2 x − √3
2
wiskunde en herkomst van
begrippen.
aÕb F a+cÕb+c
aÆb F a+cÆb+c
(m ≠ 0)
4
We stimuleren het gebruik
hoofdstuk 3
R E Ë L E F U N CT I E S
5
7,5
vaardigheden
Pr
oe
Vierkantswortels
Voorbeeld
1:
Voorbeeld 2:
van wiskundesoftware
We bewijzen de eerste eigenschap.
Vierkantswortels werden al heel lang geleden onder de ene of de andere vorm gebruikt.
zoals
GeoGebra.
5
10
20
40
1
2
3
4
zijde vierkant (cm)
tijd (minuten)
Gegeven:
a, b, c C R
•
De Babylonische wiskunde kende benaderende waarden voor getallen die we nu schrijven
a Õ b F a + c Õafgelegde
b+c
3
20 Tebewijzen:
40
80
160
4,5
6
omtrek (cm)
weg (km) 1,5
als √2 en √3.
Een punt “volgen”
Bewijs:
a op deÕgrafiek
b teken een punt dat op de grafiek van f ligt. Zorg dat het label van het punt aan staat en dat de waarde (hier de
Aan Aristoteles (384 – 322) wordt toegeschreven
dat hijB als eerste
zou aangetoond hebben
coördinaat van het punt) afgedrukt
is indefinitie
het tekenvenster.Õ
klik daarvoor met de rechtermuisknop op het punt, ga
afgelegde
omtrek
(km)
(cm)
naar Eigenschappen en vink Label tonen aan en kies ook weg
voor Naam
& waarde.
getal
300)
van
de stelling
dat √2 geen rationaal
b– a komt
0 behandeling
Πbij de
(40,
160is.
) EuclidesMet(365
de rechtermuisknop kun je het punt verslepen. de coördinaat van het punt blijft steeds afgedrukt.
8
160
(5; 7,5)
c en -copzijn
van Pythagoras en van de regelmatige veelhoeken en B
veelvlakken
eensymmetrische
aantal irrationale
Nulpunten van een functie bepalen
7
elementen
voor
de
optelling
120)
(4; 6)
typ in het commandovenster in: nulpunten[f].
uitdrukkingen(30,
terecht.
6 In GeoGebra worden de punten zelf als nulpunten be120
bIn-hetaalgebravenster
+ c - c wordenŒde nulpunten
0 afgedrukt.
schouwd.
5 van niet volkomen
Archimedes (287 – 212) kon langs meetkundige
weg vierkantswortels
(3; 4,5)
B
Merk op dat je dit ook in het rekenblad zichtbaar kunt maken.
(20, 80)
4
80
0
b + c - (a + c)
Œ
kwadraten benaderen.
4
3 Õ
B met definitie
(2;getal
3) als
De oorsprong van het woord wortel, dat zowel voor een
wortelteken
geschreven
40
a+c
b+c 2
(10, 40)
Õ
voor
van een algebraïsche vergelijking met één onbekende
gebruikt
1
20 de oplossing
) dient
(1; 1,5wordt,
(5, 20)
tijd
zijde
gezocht te worden bij de Arabieren.
(min)
(cm)
Algoarizmi (780 – 850) gebruikt hiervoor in 830 voor het eerst een woord dat wortel (vanpictogrammen
een plant)
In
deze voorbeelden
dat hetaquotiënt
maatgetallen TE
steeds
hetzelfde is.
√b = √a2bvan
a ⋅overeenkomstige
√b = √a ⋅ b.
en √de
betekent.
Hij vermeldt merk
ook dejeformules
ONTHOUDEN
20
40
80
160
1,5
3
4,5
6
Ons wortelteken,
(van radix) =is afkomstig
Christoff Rudolff (1525). Hij gebruikte de volgende
=
=
=vervorming
= 4 van de letter ren
=
= van
= 1,5
5 10 20 2 40
1
2
3
4
3
BETEKENIS
,
VV
voor
V
,
enz.
symbolen:
V
voor
V
De grootheden zijn dus in beide voorbeelden recht evenredig.
n
een macht werd
door Descartes met
in 1637
gebruikt
natuurlijke
exponenten.
De schrijfwijze
a voor
Als
je het eerste
coördinaatgetal
vermenigvuldigt
dit systematisch
constante getal,
krijgmet
je steeds
het getallen
tweede als
coördinaatgetal.
0
5 10
20
30
0
40
1
2
3
4
5
GESCHIEDENIS
De negatieve
gehele exponenten en rationale exponenten
werden in 1656 ingevoerd door John Wallis via zijn belangrijke werk
y
y
= 1,5 F y = 1,5 ⋅ x of f (x) = 1,5 ⋅ x
= 4 F y = 4x 146
of f (x) = 4x
en
REKENMACHINE
“Arithmetica
Infinitorum” en werden verder bestudeerd
door Isaac Newton.
x
x
Algemeen: • Als de variabelen x en y recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor m, dan is het verband
ICT van nul is.
tussen x en y de functie y = mx, waarbij m een constant getal verschillend
012_144-151_4-2_Vbtl3GetLw5.indd 146
•
•
•
003_033-039_1-3_Vbtl3GetLw5.indd 35
Omdat x in mx met
exponent 1 voorkomt, spreken we van een eerstegraadsfunctie.
Onderzoeksopdrachten:
De grafiek is een 1rechte
door de oorsprong.
Wat stelt het voorschrift f (x) = mx + 2 - 2m met parameter m ≠ 0 voor? Definieer hiervoor een schuifknop die
varieert van -5 naar 5 met stap 1. Laat m variëren van -5 tot 5 en bestudeer de grafieken. Hebben ze een
m noemen we de richtingscoëfficiënt
van de rechte.
gemeenschappelijk kenmerk?
2
Definieer in GeoGebra twee schuifknoppen m en n die variëren van -10 tot 10 met stappen van 1. Voer nadien in
het commandovenster f (x) = m *x + n in. Versleep de schuifknoppen en formuleer je bevindingen.
Plaats een willekeurig punt A op de rechte en gebruik het commando “spoor aan”. Laat m en n variëren.
Formuleer je bevindingen en verklaar.
pla
ar
10 ) Wortelvormen tot een macht verheffen
Omeenwortelvormtoteenmachtteverheffen,passenweeerstderekenregelvoordemachtvaneen
endaarnaderekenregelvoordemachtvaneenvierkantswortel.
Voorbeelden:
V O OR WOORD
(5√3)3 =53⋅(√3)3
=125⋅√33
(3√5)4 =34⋅(√5)4
(3√2+1)2 =(3√2)2+2⋅3√2⋅1+12 (3b√2b)3
=27b3√8b3 5
Aan het einde van elke
paragraaf vind je een
samenvatting.
2
=125⋅√3 ⋅3 =125⋅3√3
=375√3
=9⋅2+6√2+1 =19+6√2
11 ) Samenvatting
5
fex
em
6
Bij sommige oefeningen
vind je een of twee
sterretjes. Dit duidt de
moeilijkheidsgraad aan.
7
Elk hoofdstuk eindigt met
een vaardigheid.
Uitbreidingsleerstof
wordt aangeduid met een
blauwe U.
NUR: 126
Lay-out en opmaak: die Keure
Druk: die Keure
48
=34⋅52
=2025
=27b3√4b2⋅2b
=27b3⋅2b√2b
=54b4√2b
2
6√3 (bæ0)
7
(
)
Probleemoploss
2
a±b =
In de eerste graad leerde je dat bepaalde prob
We frissen het op.
hoofdstuk 1
•
Voorbeeld:
2,10 m a ⋅ b C R
1 HetvermenigvuldigenisinterninR.
Aa,bCR:
6
29
11
Wat
is
het
500ste
cijfer
na
de
komma
bij
de
decimale
schrijfwijze
van ? (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (
2 HetvermenigvuldigeninRisassociatief. Aa,b, cCR:
13 14 m
3 1ishetneutraalelementvoorhet
m
methode
1:
12vermenigvuldigeninR.
om
te zetten
in breukvorm?
1CRenAaCR:
a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
Is het mogelijk om 2,102003000400005...
★★
4 Elkreëelgetal(verschillendvan0)heefteen de regel van drie
1,8 m
ve
13symmetrischelementvoorhetvermenigvuldigen
een onderzoeksopdracht.
8
−1 m
m 0,E!a
1,80
AaCR
CR: a ⋅ a−1 = 1 = a−1
inR0,namelijkzijnomgekeerde. 2,10
2,10
m
Als in de noemer van een onvereenvoudigbare
getal staat,
2,1
5 HetvermenigvuldigeninRiscommutatief.
: breuk
een
Aa,bCR:
dat na ontbinding
a ⋅: b2,1
= b ⋅ a in p
1,80 14decimale
m
en geen 5 bevat, dan is de breuk te schrijven als een zuiver
repeterende
vorm. Illl
m
1m
2,10
S
voorbeelden.
⋅ 14
⋅ 14
• JeweetdathetvermenigvuldigendistributiefistenopzichtevanhetoptelleninR.
m
methode 1:
1,80
12(b+c
m )=a⋅(
m cCR: ⋅ 14m =a⋅
14Aa,b,
ve
de regel van drie 2,10
14 Welke
van de volgende
sommen
is gelijk
aan
10?
Aa,b, cCR: (a+b)⋅c=a⋅H
(
2,10 m
1,80 m
a
4,44…
+
5,55…
b
2,22…
+
6,66…
c
• JekuntdehoofdbewerkingeninRuitvoerenenjekentderekenregelsinverbandmet:
: 2,1
: 2,1
d 5,55… + 2,22…
- hettegengesteldevaneensom;
e 9,99…
+ 1,11…
Aa,bCR:1,80
−(a + b) = (−a) l
m gemaakt −1
1m
Foto’s: Shutterstock, fotostock die Keure,
Niets uit deze uitgave mag
verveelvoudigd
en/of
openbaar
de
boom
2,10
- hetomgekeerdevaneenproduct;
Antwoord:
Aa, bCR
: is 12
m(ahoog.
⋅ b) = a−1 ⋅ bS
0
JWO2009eersteronde,probleem2©VlaamseWiskundeOlympiadevzw
auteurs. worden door middel van⋅ 14
druk, fotokopie, microfilm
of op welke wijze
⋅ 14
- hettegengesteldevaneenproduct.
voorafgaande
schriftelijke
Aa,toestemming
bCR:1,80
van
deuitgever.
−(a ⋅ b) = (−a) ⋅(
ook zonder
⋅ 14 m = 12 m
14 m
Copyright by die Keure Brugge 8
No
part
of
this
book
may
be
reproduced
in
any
form
by
print,
2,10
15 De helft van 4 is gelijk aan
H
photoprint, microfilm orOpdracht
any other means without written permission
•
Jekentdedefinitievaneenmachtvaneenreëelgetal.
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure,
from the publisher.
los volgende vraagstukken op. Welke oplossi(
8
Kleine Pathoekeweg
- 2⋅a…a
N0: - België
anb=a
(nfactoren
AaCR,AnC
a 32-4 8000 Brugge
c 215)
d 44
e
H.R. Brugge 12.225
a
Juffrouw
Mattématticine
deed in klas A (
0
AaCR
: a =1
0
JWO2009eersteronde,probleem3©VlaamseWiskundeOlympiadevzw
de overhoring doet ze ook in klas B (met
Druk: 2011
1
Antwoord:
de boom is 12 m hoog.
AaCR0,AnCN: a−n= n
gemiddelde van alle leerlingen samen?
a
1
1
en
is gelijk aan
16 Het gemiddelde van
b Juffouw Ilke geeft voor de les chemie ee
0,222…
0,666…
Opdracht
dan heeft ze twee leerlingen over, maak
1
c 4
d 4,44…
a 3
b
los groepjes
volgendevan
vraagstukken
op.isWelke
oplossi
3 leerlingen
2 meer
dane h
0,44…
de klas van juf Ilke?
JWO2008eersteronde,probleem25©VlaamseWiskundeOlympiadevzw
a Juffrouw Mattématticine deed in klas A (
★★
Pr
oe
Bestelnr.: 94 505 0043
2 HetoptelleninRisassociatief.
g 0,3 Aa,b, cCR: (a + b) + c = am+
a 0,66
In de eerste graad leerde je dat bepaalde prob
3 0ishetneutraalelementvoorhetoptelleninR.
0CRenAaCR: a + 0 = 0 + a =
b 4,22…
h We
−4,144…
n
frissen het op.
4 Elkreëelgetalheefteensymmetrischelement
c 12,99
i 2,055…
o
voorhetoptelleninR,namelijkzijntegengestelde.
AaCR,E!−aCR: a + (−a) = 0 =p(
d 8,0505…
j −15,4545…
Voorbeeld:
5 HetoptelleninRiscommutatief.
k −5,12727…
Aa,bCR: a + b = b + a
e −12,4
Een boom heeft een schaduw
1,8 m van 14 m. op h
Kon. Bib.: D/2011/0147/201
=34⋅√54
f 5,005
l 0,121414…
r
persoon van 1,80 m lengte een schaduw van
• JekentdeeigenschappenvanhetvermenigvuldigeninR.
ISBN: 978 90 4860 922 2
62
• JekentdeeigenschappenvanhetoptelleninR. Een boom heeft een schaduw van 14 m. op h
noteer als een onvereenvoudigbare
1,80 mlengte
110HetoptellenisinterninR.
breuk.
persoon
van
Aa,bCR:
eenaschaduw
+ b C R van
8
Probleemoploss
( )
pla
ar
komt dit neer op bijna acht rondjes rond de aarde
in één seconde. De ouderdom van het heelal moet
je dan weer uitdrukken in miljarden jaren. Voor
het aantal dimensies heb je voldoende met het
eenvoudige, natuurlijke getal 4. De auteurs van dit boek hebben hun best
gedaan om wiskunde voor te stellen als een boeiende en levendige materie. Veel plezier ermee!
Pr
oe
fex
em
Neen hoor, wiskunde is geen saaie bedoening van
cijfers en lijnen. Het is een exacte wetenschap die
je elke dag nodig hebt. Zo moet je de diameter van ons heelal uitdrukken
in miljard lichtjaar, een eenheid die de afstand
meet dat het licht aflegt in één jaar. Dat licht gaat
ontzettend snel: bijna 300 000 kilometer per
seconde. Als je de omtrek van de aarde berekent
R eële getallen
1
Rationale getallen > 8
Reële getallen > 28
Vierkantswortel en derdemachtswortel
in R > 40
Rekenen met reële getallen > 46
fex
em
1.1
1.2
1.3
1.4
Vaardigheden:
Rekenvaardigheid: tienkamp > 63
V eeltermen
2
2.1
2.2
2.3
Veeltermen > 68
Merkwaardige producten > 81
Ontbinden in factoren > 91
Vaardigheden:
Probleemoplossend denken > 104
> 106
Pr
oe
Oplossingen
van de oefeningen
pla
ar
I n houd
Trefwoordenregister
> 114
pla
ar
bruik maken van getallen. Je zult je dus moeten
behelpen met bizarre omschrijvingen.
Uitgeschreven en voorgelezen?
Bekijk dan aandachtig onderstaande collage en
geef de voorbeelden een plaats in de getallenwereld.
Pr
oe
fex
em
Leven zonder getallen? Dat zou onmogelijk zijn.
Probeer dit groepswerk even uit.
Knutsel een nieuwsbulletin in elkaar. Schrijf het
volledig uit, inclusief politiek nieuws, sportuitslagen, wedstrijdverslagen en een weerbulletin.
Er is echter wel een beperking: je mag geen ge-
1.1
pla
ar
fex
em
6Omzetting breuken - kommagetallen > 22
Rationale getallen
1 Soorten getallen > 8
2 Bewerkingen met rationale getallen > 10
3 Werken met machten > 12
4 Breuken en decimale vormen > 13
5 Van breuk naar decimale vorm > 13
6 Van repeterende decimale vorm
naar breuk > 14
7 Rekenen met getallen, genoteerd in de
wetenschappelijke schrijfwijze > 15
8 Samenvatting > 17
9Oefeningen > 18
1.2
Reële getallen
1 De getallenas > 28
2 Reële getallen > 29
3 Reële getallen op de getallenas > 30
4 Begrensde deelverzamelingen van R > 31
5Onbegrensde intervallen in R > 32
6 Bijzondere deelverzamelingen van R > 33
7 Samenvatting > 34
8Oefeningen > 35
Pr
oe
Reële getallen
1.3
1
ierkantswortel en V
derdemachtswortel in R
1 Vierkantswortel van een reëel getal > 40
2 √2 is een irrationaal getal > 41
3 √2 op de getallenas > 42
4 Derdemachtswortel van een reëel getal > 43
5 Samenvatting > 43
6Oefeningen > 44
1.4
Rekenen met reële getallen
Vaardigheden
1 Eigenschappen van de optelling in R > 46
2 Eigenschappen van de vermenigvuldiging in R > 47
3 Distributiviteit > 48
4 Rekenen in R > 48
5 Eigenschappen van de vierkantswortel > 50
6 Een vierkantswortel vereenvoudigen > 51
7Optellen en aftrekken van wortelvormen > 52
8 Wortelvormen vermenigvuldigen > 52
9 Wortelvormen delen en de noemer
wortelvrij maken > 53
10 Wortelvormen tot een macht verheffen > 53
11 Samenvatting > 54
12Oefeningen > 56
Rekenvaardigheid: tienkamp > 63
1 ) Soorten getallen
n a t u u r l i j ke g e ta l le n
natuurlijk getal
pla
ar
Rationale getallen
1.1
In 1949
stond H
erman B
knaap v
osteels,
an twaa
als
lf, voor
de plan
h
e
t eerst o
ken bij
p
Toneelk
Vandaa
ring Vr
g is hij
ede.
77 en n
tief in d
og altijd
ezelfde
ackring. V
jaar op
ijfenzes
de plan
ti
g
ken, da
tatie die
t is een
aandach
p
r
e
s
t verdie
nt.
Een natuurlijk getal is het resultaat van een telling van een eindig
fex
em
aantal dingen.
Welke natuurlijke getallen herken je in dit
krantenartikel?
−4°
voorstelling:
N is de verzameling van de natuurlijke getallen
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5 …}
0°
−2°
g e h e le g e ta l le n
Bij het aftrekken van natuurlijke getallen, krijg je
0°
als resultaat niet altijd een natuurlijk getal.
Daarom werden gehele getallen ingevoerd.
Voorbeelden:
5 − 7 = −2
4 − 12 = −8
12 − 6 = 6
8−0=8
Pr
oe
Eind vorig jaar werd dit weer voorspeld in Europa.
Hoeveel gehele getallen staan er in deze
weersvoorspelling vermeld?
geheel getal
Een geheel getal is het verschil van twee natuurlijke getallen.
voorstelling:
Z is de verzameling van de gehele getallen
Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3 …}
Merk op dat alle natuurlijke getallen ook gehele getallen zijn.
notatie:
lees:
8
−8°
NGZ
N is een deelverzameling van Z
6°
2°
4°
hoo fdstuk 1
Bij het delen van twee gehele getallen is het
resultaat niet altijd een geheel getal. Daarom
hebben we rationale getallen ingevoerd.
Voorbeelden:
2
2 : 3 = 3
24 : (−3) = −8
4 : (−5) = −0,8
(−3) : (−8) = 0,375
R eël e geta llen
pla
ar
ra t i o n a le g e ta l le n
•
rationaal getal
Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarvan het tweede niet nul is.
Noteer vier rationale getallen die je hierboven terugvindt.
fex
em
voorstelling:
Q is de verzameling van de rationale getallen.
Merk op dat alle gehele getallen ook rationale getallen zijn.
notatie:
Maar:
NGZGQ
B
• Kan |AB| weergegeven worden
?
1
door een rationaal getal?
A
• Is √3 een rationaal getal?
2
C
√3 ≈ 1,7320508…
Pcirkel
2r
weergegeven worden door een
• Kan de verhouding
r
rationaal getal?
x² = 7
• Heeft x² = 7 oplossingen in Q?
B
Pr
oe
x=?
In wat volgt zullen we zien dat het antwoord op al deze vragen ‘neen’ is.
We kunnen de getallen handig voorstellen in een schema.
.0
.3
N
.2
. −1
Z
. 25,2
. −2
…
…
1
2
.
−3
4
. −16,8
. −3
.1
.
.
17
5
. −2,3838…
…
Q
. −@
. 0,1010010001…
. √7
…
. √3
.@
. −√11
9
o p te l le n
som van twee breuken
Werkwijze:Om de som te maken van twee breuken:
pla
ar
2 ) Bewerkingen met rationale getallen
1 vereenvoudig – indien mogelijk – elke breuk;
2 maak de breuken gelijknamig;
3 tel de tellers op en behoud de noemer;
4 vereenvoudig – indien mogelijk – het resultaat.
Voorbeelden:
( )
( )
( )
−9 −4 −1 −1 −4 −3 −7
+
+
+
=
=
= 27 16
3
4
12 12 12
fex
em
a f t re k ke n
−7 4 −21 20 −1
+ =
+
=
5 3 15 15 15
verschil van twee breuken
Werkwijze:Om het verschil te maken van twee breuken:
1 vereenvoudig – indien mogelijk – elke breuk;
2 maak de breuken gelijknamig;
3 trek de tellers af en behoud de noemer;
4 vereenvoudig – indien mogelijk – het resultaat.
Voorbeelden:
−7 4 −7 2 −9
=
= 11 22 11 11 11
( )
−4 −21 −4 21 −2 3 −8 9
1
+
=
+ =
+
=
=
6
28
6 28 3 4 12 12 12
ver m e n i g v u l d i g e n
product van twee breuken
Werkwijze:Om het product te maken van twee breuken:
1 bepaal het teken;
2 noteer een grote breukstreep;
3 vermenigvuldig de tellers met elkaar zonder dit product uit te werken;
4 vermenigvuldig de noemers met elkaar zonder dit product uit te werken;
5 vereenvoudig;
Pr
oe
Voorbeelden:
6 vermenigvuldig de resterende tellers met elkaar en de resterende noemers met elkaar.
( )
1
1
−3 −4
3⋅4
3 ⋅4
1
⋅
=
=
= 8 15 8 ⋅ 15 8 2 ⋅ 15 5 10
2
2 12 2 ⋅ 12 2 ⋅ 2 4
⋅
=
= =
18 5 18 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5 15
d e le n
quotiënt van twee breuken
Werkwijze:Om het quotiënt te berekenen van twee breuken (de tweede breuk mag niet 0 zijn),
10
vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. Volg dan de
werkwijze van de vermenigvuldiging.
Voorbeelden:
3
3
1
3⋅1
3
: (−4) =
⋅ - ==- 11
11
4
11 ⋅ 4
44
( )
m a c h te n
macht van een breuk
()
n
•
R eël e geta llen
pla
ar
hoo fdstuk 1
an
a
= n in woorden:Om een breuk tot een macht te verheffen,
b
b
verhef je de teller en de noemer tot die macht.
Voorbeelden:
Let echter op!
()
()
3
2
23
8
= 3=
5
125
5
2
−
2
4
= - 3
9
( )
−3
(−3) 9
= 2 =
5
25
5
2
2
−2 −2
=
32 9
volgorde van de bewerkingen
(−2)2 = 4
3
3
Staan er in je opgave meerdere bewerkingen, dan werk je deze als volgt uit.
1 Als er haakjes in de opgave staan, werk je die eerst uit.
2 Daarna bereken je alle machtsverheffingen en worteltrekkingen.
fex
em
3 Dan bereken je de vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts.
4 Ten slotte reken je de optellingen en aftrekkingen uit, ook van links naar rechts.
volgorde van de bewerkingen
1 haakjes
2 machtsverheffingen en worteltrekkingen
3 vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts
4 optellingen en aftrekkingen van links naar rechts
Als er binnen de haakjes meerdere bewerkingen voorkomen, dan pas je daar opnieuw de volgorde van de
bewerkingen toe.
Pr
oe
Voorbeelden:
2,5 − (3 + 1,52) + 0,3 : 5 ⋅ 2
= 2,5 − (3 + 2,25) + 0,3 : 5 ⋅ 2
= 2,5 − 5,25 + 0,3 : 5 ⋅ 2
= 2,5 − 5,25 + 0,12
= −2,63
=
=
=
=
=
1 3 1
− ⋅ − 3 ⋅ √9 − 5
2 4 2
1 3 1
− ⋅ − 3 ⋅ √4
2 4 2
1 3 1
− ⋅ −3⋅2
2 4 2
1 3
− −6
2 8
4 3 48
− 8 8 8
−47
8
11
Voorbeelden:
pla
ar
3 ) Werken met machten
1
(−5)3
−1
=
125
( ) ( ) ( )
()
(−2)4 ⋅ (−2)−7 = (−2)−3
[( ) ] ( )
( )
7
9
3
3
:
5
5
-2
3
5
2
5
=
3
25
=
9
(−5)−3 =
=
−
1
3
2 3
1
3
1
=
729
=
6
−
(−2x)2 = (−2)2 ⋅ x2
1
=
(−2)3
1
= −
8
fex
em
= 4x2
−3x3
4
3
=
(−3x3)3
43
−27 9
=
x
64
Herinner je de rekenregels voor bewerkingen met machten.
machten
{
an = a ⋅ a ⋅ … ⋅ a
n factoren
a is een rationaal
getal (≠ 0)
n is een natuurlijk
een grondtal tot de nulde macht verheffen
getal (≠ 0)
0
a =1
een macht met een negatieve exponent
1
−n
a = n
a
−n
bn
a
= n
b
a
()
eigenschappen
machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen
an ⋅ ap = an + p
→ behoud het grondtal en tel de exponenten bij elkaar op
Pr
oe
getallen (≠ 0)
machten met hetzelfde grondtal delen p en n zijn gehele
an : ap = an − p
getallen
→ behoud het grondtal en trek de exponenten van elkaar af
een macht tot een macht verheffen
(an)p = an ⋅ p
→ behoud het grondtal en vermenigvuldig de exponenten
een product tot een macht verheffen
(a ⋅ b)n = an ⋅ bn
→ verhef elke factor tot de macht
een quotiënt tot een macht verheffen
(a : b)n = an : bn
→ verhef deeltal en deler tot de macht
()
→ verhef teller en noemer tot de macht
n
n
a
a
= n b
b
12
a en b zijn rationale 4 ) Breuken en decimale vormen
•
R eël e geta llen
pla
ar
hoo fdstuk 1
Elk rationaal getal kun je noteren in breukvorm of in decimale vorm. De decimale vorm van een rationaal getal is
steeds begrensd of onbegrensd.
11
= 2,75
4
26
− = −2,36 36…
11
17
= 1,416 6…
12
Voorbeelden:
−
91
= −3,370 370…
27
4
= 0,571428 571428…
7
11
= 0,6470588235294117 6470588235294117…
17
BEGRENSDE
DECIMALE VORM
ZUIVER REPETERENDE
DECIMALE VORM
GEMENGD REPETERENDE
DECIMALE VORM
247
= 2,47
100
272
= 8,24 24…
33
160 513
= 16,2134 34…
9900
periode = 34
niet-repeterend deel = 21
fex
em
periode = 24
5 ) Van breuk naar decimale vorm
Om te begrijpen dat een rationaal getal in zijn decimale vorm steeds een periode heeft, volstaat het om de staartdeling uit te voeren, tot je een rest verkrijgt die je voordien al eens gevonden had.
4
= 0,571428 571428…
Voorbeeld:
7
4,000000 7
−
0
0,571428
40
− 35
50
−49
10
− 7
30
−28
20
−14
60
−56
4
De resten die je krijgt zijn:
4, 5, 1, 3, 2, 6, 4
STOP!
Je mag dus noteren dat:
4
= 0,571428 571428…
7
Pr
oe
Ook de rekenmachine kan je hier behulpzaam zijn.
- Deel 4 door 7 en je krijgt
0.571428571
de periode is af te lezen: 571428
- Deel −91 door 27 en je krijgt
−3.37037037
de periode is af te lezen: 370
Maar …
- Deel 17 door 9 en je krijgt
1.888888889
de periode is 8
In werkelijkheid is 17 : 9 = 1,88…
- Deel 14 door 19 en je krijgt
0.736842105
Hier is de periode helemaal niet meer af te lezen.
Met wiskundesoftware vind je
14
= 0,736842105263157894 736842105263157894…
19
13
pla
ar
6 ) Van repeterende decimale vorm naar breuk
Va n b e g re n s d e re p e te re n d e d e c i m a le vorm naar breuk
Als de decimale vorm begrensd is, kunnen we de breukvorm noteren met de machten van 10.
Voorbeeld 1:
0,3 =
3
10
van begrensde decimale vorm naar breuk
Voorbeeld 2:
−8,24 = −
824
824
206
= −
= −
102
100
25
Om een begrensde decimale vorm in breukvorm te noteren:
- schrijf als teller het getal zonder komma;
- schrijf als noemer een macht van 10 met als exponent het aantal cijfers na de komma;
fex
em
- vereenvoudig indien mogelijk het resultaat.
Va n o n b e g re n s d e re p e te re n d e d e c i m a le vorm naar breuk
Ook een onbegrensde repeterende decimale vorm kun je omzetten naar een breukvorm. Dat kan heel snel met de
grafische rekenmachine.
Voorbeeld:
0,1414… =
?
?
Geef het getal in de GRM in, met
Geef nu MATH 1: in (zo wordt de decimale vorm naar breukvorm
zoveel herhalingen van de periode,
omgezet). Bij de bovenste lijn behoud je de instelling MATH.
zodat je minstens één lijn op het
Pr
oe
scherm hebt vol staan.
Raar maar waar!
4,99… = ?
Met elk geheel getal of decimaal getal corresponderen twee repeterende decimale vormen: één met periode 0 en
één met periode 9. Zo is 5 = 5,00… maar ook 5 = 4,99…
14
•
hoo fdstuk 1
R eël e geta llen
pla
ar
7 ) Rekenen met getallen, genoteerd in de wetenschappelijke schrijfwijze
Vorig jaar heb je de wetenschappelijke schrijfwijze van reële getallen bestudeerd.
GETAL
WETENSCHAPPELIJKE
SCHRIJFWIJZE
0,000017
1,7 ⋅ 10−5
17 500 000
1,75 ⋅ 107
0,368
3,68 ⋅ 10−1
1 099 999
1,099999 ⋅ 106
wetenschappelijke notatie
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is een product van twee factoren:
1 een decimaal getal met één cijfer verschillend van 0 voor de komma;
Voorbeeld:
fex
em
2 een macht van 10.
0,000017 = 1,7 ⋅ 10−5
150 000 000 = 1,5 ⋅ …
macht van 10
decimaal getal met één van nul
150 000 000 = 1,5 ⋅ 108
verschillend cijfer voor de komma
re ke n e n m e t re ë le g e ta l le n , g e n o te e rd
8 cijfers
naar links
i n h u n we te n s c h a p p e l i j ke s c h r i j f w i j z e
Voorbeelden:
3 ⋅ 104
7,5 ⋅ 102
3
⋅ 102
7,5
30
⋅ 102
=
75
(3,5 ⋅ 10−3)2
=
= 12,25 ⋅ 10−6
= 0,4 ⋅ 102
= 4 ⋅ 10−1 ⋅ 102
5,6 ⋅ 10−5
= 1,4 ⋅ 10−5 + 10
4 ⋅ 10−10
Pr
oe
=
= 4 ⋅ 101
(3,5)2 ⋅ 10−6
= 1,225 ⋅ 10−5
= 1,4 ⋅ 105
Om getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze op te tellen (of af te trekken),
0,000015 = 1,5 ⋅ …
0,000015 = 1,5 ⋅ 10−5
5 cijfers
naar rechts
1,5 ⋅ 108 = 150 000 000
8 cijfers
naar rechts
schrijven we de getallen met eenzelfde macht van 10.
4,02 ⋅ 104 + 4 ⋅ 102
= 4,02 ⋅ 104 + 4 ⋅ 104 ⋅ 10−2
= 4,02 ⋅ 104 + 0,04 ⋅ 104
= 4,06 ⋅ 104
1,5 ⋅ 10−5 = 0,000015
5 cijfers
naar links
15
pla
ar
d e m a c h t va n 1 0
De wetenschappelijke schrijfwijze van getallen zijn erg nuttig in de astronomie, fysica, chemie en biologie. Niet voor
niets wordt de uitdrukking ‘astronomisch groot’gebruikt. Deze getallen zijn ook moeilijk in te beelden. Als jij 53
kg weegt en een lengte van 1,68 m hebt of je woont op 3,5 km van de school, dan kun je je dat perfect voorstellen.
Maar beeld je eens in dat we een reis van 1020 m of 100 000 000 000 000 000 000 m maken, wat kom je dan allemaal
tegen?
Misschien maken volgende getallen wel indruk op jou …
Lengte:
afstand aarde tot het verst gekende sterrenstelsel: 4 ⋅ 1024 m
afstand aarde tot de dichtse ster (Pr⋅ Centauri) 4 ⋅ 1022 m
lichtjaar: 9,5 ⋅ 1015 m
gemiddelde afstand aarde-zon: 1,5 ⋅ 1011 m
gemiddelde aardstraal: 6,4 ⋅ 106 m
afstand Brussel-Gent: 5 ⋅ 104 m
gemiddelde lengte van de mens: 1,7 m
gemiddelde lengte van een vlieg: 5 ⋅ 10 m
afmeting van de meeste levende cellen: 1 ⋅ 10−5 m
mens: 7 ⋅ 10 kg
diameter van een waterstofatoom: 1 ⋅ 10−10 m
bacterie: 1 ⋅ 10−15 kg
diameter van een atoomkern: 1 ⋅ 10−14 m
waterstofatoom: 1,7 ⋅ 10−27 kg
diameter van een proton: 1 ⋅ 10
electron: 9,1 ⋅ 10−31 kg
Massa:
heelal: 1 ⋅ 1052 kg
zon: 2 ⋅ 1030 kg
aarde: 6 ⋅ 1024 kg
fex
em
−5
−15
m
Tijd:
leeftijd heelal: 5 ⋅ 1017 s
leeftijd aarde: 1,3 ⋅ 1017 s
leeftijd mens: 2,4 ⋅ 109 s
jaar: 3,2 ⋅ 107 s
dag: 8,6 ⋅ 104 s
periode hartslag: 8 ⋅ 10-1 s
periode hoorbare geluidsgolven: 1 ⋅ 10−3 s
periode typische radiogolven: 1 ⋅ 10-6 s
periode atoomvibraties in vaste stof: 1 ⋅ 10-13 s
periode van zichtbaar licht: 2 ⋅ 10-15 s
duur van nucleaire botsing: 1 ⋅ 10-22 s
1013 m of 10 miljard km
Pr
oe
Ziehier de banen van de buitenplaneten. Allen in hetzelfde
vlak, behalve de baan van de planeet Pluto.
1010 m of 10 miljoen km
Hier zijn we in ons zonnestelsel. De groene band
is de baan van de aarde
in 4 dagen. Je kan er ook
de baan van onze maan in
terugvinden.
16
108 m of 100 000 km
104 m of 10 km
Ziehier een planeet,
onderweg in de ruimte
met enkele miljarden
passagiers. Elk uur legt
de aarde een afstand af zo
breed als de werkelijkheid
op deze foto.
We naderen onze picknick.
Aan de oever van het
immense meer ‘Lake
Michigan’ kan je de stad
Chicago aanschouwen.
103 m of 1 km
Eindelijk zicht op echt
menselijk leven. Bootjes
in de haven, auto's op de
autosnelweg ...
101 m of 10 meter
10−5 m of 10 micrometer
10−7 m of 0,1 micron
Onder de huid raken we
verzeild in een haarvat
waar bloed doorkruipt. Je
ziet een witte bloedcel.
En dit zijn spiraalgedraaide
strengen DNA. Hierover
leer je later nog wel meer
...
© Power of 10
Zoemen we even in op de
hand van de man die ligt
te dagdromen. Onze huid,
sterk uitvergroot.
R eël e geta llen
fex
em
Een ontspannen picknick,
tussen de jachthaven en
een snelweg in Chicago. De
foto is genomen op 10 m
hoogte. Tien keer groter of
tien keer kleiner, kun je je
wellicht wel voorstellen. De
camera bevindt zich dan op
100 m of op 1 m boven het
echtpaar. 10−2 m of 1 cm
•
pla
ar
hoo fdstuk 1
m e t d e re ke n m a c h i n e
Om je rekenmachine steeds de wetenschappelijke notatie te laten
weergeven:
mode 

enter
Om je rekenmachine weer de normale notatie te laten weergeven:
mode 
enter
JE TYPT
JE ZIET
Om je rekenmachine steeds de wetenschappelijke notatie te laten
weergeven:
mode 

enter
Pr
oe
Om je rekenmachine weer de normale notatie te laten weergeven:
mode 
enter
… om het eerste voorbeeld in te tikken:
n
x10 n
.

3
6
2
d
enter
JE TYPT
9
10 n
x
(–)
JE ZIET
3
JE TYPT
JE ZIET
3.6 2nd EE 2 / 9 2nd EE – 3
17
pla
ar
8 ) Samenvatting
• Je kunt getallenverzamelingen voorstellen als N, Z en Q.
• Je kunt rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
• Je kunt een rationaal getal tot een macht verheffen.
• Je kent de volgorde van de bewerkingen.
• Je kent de definities van machten
{
an = a ⋅ a ⋅ … ⋅ a
n factoren
een grondtal tot de nulde macht verheffen
a = 1
een macht met een negatieve exponent
1
−n
a = n
a
−n
bn
a
= n
a
b
()
fex
em
0
a is een rationaal
getal (≠ 0)
n is een natuurlijk
getal (≠ 0)
• Je kent de rekenregels voor bewerkingen met machten.
machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen
an ⋅ ap = an + p
machten met hetzelfde grondtal delen
an : ap = an − p
een macht tot een macht verheffen
(an)p = an ⋅ p een product tot een macht verheffen
(a ⋅ b)n = an ⋅ bn
p en n zijn gehele
getallen
→ verhef elke factor tot de macht
een quotiënt tot een macht verheffen
(a : b)n = an : bn
→ verhef deeltal en deler tot de macht
()
→ verhef teller en noemer tot de macht
a
a
= n b
b
a en b zijn rationale getallen (≠ 0)
→ behoud het grondtal en vermenigvuldig de exponenten
n
→ behoud het grondtal en trek de exponenten van elkaar af
n
→ behoud het grondtal en tel de exponenten bij elkaar op • Je weet wat een begrensde en onbegrensde decimale vorm is.
• Je weet wat een periode is en wat bedoeld wordt met een zuiver repeterende en een gemengd repeterende
decimale vorm.
Pr
oe
• Je weet dat je de decimale vorm van een breuk verkrijgt door de teller te delen door de noemer.
• Je kunt een decimale vorm omzetten in een breuk.
• Je kent de betekenis van de wetenschappelijke schrijfwijze van een getal en je kan rekenen met getallen
18
die gegeven zijn in deze schrijfwijze.
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is een product van twee factoren:
1 een decimaal getal met één cijfer verschillend van 0 voor de komma;
2 een macht van 10.
9 ) Oefeningen
1 Bereken uit het hoofd.
•
R eël e geta llen
pla
ar
hoo fdstuk 1
k
24 =
_ ___________________________________
l
- 32 =
_ ___________________________________
m
(-4)2 = _ ___________________________________
n
- (-1) =
_ ___________________________________
o
- (-2) =
_ ___________________________________
p
√64 =
_ ___________________________________
q 3√9 =
_ ___________________________________
a
-36 + 58 =
_____________________________________ b
(-27) + (-48) =
_____________________________________ c
-15 - 26 =
_____________________________________ d
17 - (-19) = _____________________________________ e
2,5 + 3 = _____________________________________ f
13,6 + 22,3 =
_____________________________________ g
17,8 + 4,5 = _____________________________________ h
29,6 - 8,3 =
_____________________________________ r
√25 + √16 =
_ ___________________________________
i
37,5 - 9,4 =
_____________________________________ s
0,1 ⋅ 16,3 =
_ ___________________________________
j
14,4 - 5,7 =
_____________________________________ t
0,01 ⋅ 0,2 =
_ ___________________________________
4
fex
em
3
2 Bereken.
a
1 1
+ =
2 3
e
7
8
+
= 10 15
b
1 1
- =
4 3
f
4 5
+ =
9 6
c
5 2
+ =
6 3
g
−4 7
+
= 5 20
d
3 1
- =
8 4
h
−5 1
- = 12 8
1
=
2
e
3 2
: =
2 3
f
4:
Pr
oe
3 Bereken.
a 3 ⋅
b
−1 2
⋅ =
4 3
c
3 −4
⋅
=
8 9
( )
g
2
: (-5) = 3
d
( )( )
h
( )
−15 −7
⋅
=
14
27
1
= 2
−5 1
: = 12 6
19
a
(-3)3 =
e
(23)4 =
b
(-2)3 ⋅ (-2)2 =
f
()
c
(52)-1 =
g
()
d 45 ⋅ 4-4 =
h
76
=
74
-2
=
3
5
=
3
i
65
=
68
j
23 ⋅ 8-1 =
k
4
=
25
l
3−3
= 3
fex
em
2
3
pla
ar
4 Bereken.
5 Rekenslierten. Vul de ontbrekende gf.
a
b
2
3
2
3
1
2
( )2
−1
⋅2
⋅3
⋅2
⋅
3
4
:4
+1
+
3
2
+
2
3
⋅9
Pr
oe
−
20
c
3
hoo fdstuk 1
•
R eël e geta llen
a 32 + 9 ⋅ 2 : 3 - 42
pla
ar
6 Vind de juiste letters en vorm hiermee de naam van een bekende voetballer…
★
Resultaat LETTER
E
1
b -42 - √81 : 3 ⋅ 5 + 11
1
c 2 - ⋅ 4 - 22 ⋅ 6 : 3
2
fex
em
( )
1 1
2
d (-3) ⋅ 4 : 12 - : : (-2)
2 4
e 64 : 4 : (-2) ⋅ 8 + 4 ⋅ 5 : 2
Pr
oe
U
0
V
Resultaat LETTER
L
−20
−1
12
E
−64
D
Resultaat LETTER
W
2
−2
A
−6
L
Resultaat LETTER
P
−4
13
E
4
K
4
Resultaat LETTER
U
−54
11
O
ander getal
V
f
-8 - (4 - 6) : 2 + 18 : 2 ⋅ 3
2
Resultaat LETTER
T
21
17
K
ander getal
H
Bekende voetballer:
21
a 5 _________ N
b −6 _________ N
f
−1
_________ Z
6
g 1 _________ Q
c 7 _________ Z
h −100 _________ Z
d
2
_________ Q
3
i
3
_________ N
4
e
2,73 _________ Q
j
b
−4 Ç N
c
2
CQ
3
d
1
ÇZ
5
e
0CZ
f
−8 C Q
g
Pr
oe
h
lees je als:
… is geen
… is een
G
element van …
element van …
lees je als:
2 is een natuurlijk getal
fex
em
−3 C Z
Ç
lees je als:
2,5353… _________ N
2CN
a
C
… is een deelverzameling van …
8 Vervolledig volgende tabel.
22
pla
ar
7 Vul aan met C of Ç.
3,66 is een rationaal getal
−9
is geen natuurlijk getal
5
i
−77 is een geheel getal
j
−20,02 is geen geheel getal
hoo fdstuk 1
•
R eël e geta llen
pla
ar
9 Bepaal de decimale vorm van de volgende rationale getallen. Gebruik je rekenmachine. Noteer telkens of het een
begrensde decimale vorm, een zuiver repeterende of gemengd repeterende decimale vorm is. Zoek de periode van
het niet-repeterende deel.
decimale
vorm
17
450
0,0377…
−2
3
−0,66…
4
9
b
−12
90
c
13
52
d
periode
niet-repeterend deel
X
7
03
6
6
11
e
−3
330
f
100
18
g
11
2
h
−1
101
i
8
13
23
120
Pr
oe
j
X
gemengd
repeterend
fex
em
a
zuiver
repeterend
k
6
91
l
−5
18
m
83
225
n
−1
220
23
pla
ar
10 Noteer als een onvereenvoudigbare breuk.
a
3,25 =
________________________________
f
29,0201 =
________________________________
b
4,08 =
________________________________
g
-5,5 =
________________________________
c
-2,0115 = ________________________________
h
4,21 =
________________________________
d
22,3 =
________________________________
i
-28,06 =
________________________________
e
-45,11 =
________________________________
j
3,33 =
________________________________
________________________________
11 Noteer als een onvereenvoudigbare breuk.
a
16,99… =
________________________________
f
2,106106… =
b
17,500… =
________________________________
g
0,00050005… =
________________________________
c
4,1515… =
________________________________
h
0,792792… =
________________________________
d
-22,0303… =
________________________________
i
3,1414… =
________________________________
e
-3,22… = ________________________________
j
31,4141… =
________________________________
fex
em
12 Werk uit door een gepaste rekenregel toe te passen.
a 25 ⋅ 2−3 =
__________________________________________________________________________________________________________
b 102 ⋅ 10 ⋅ 103 =
__________________________________________________________________________________________________________
c
(22)3 =
__________________________________________________________________________________________________________
d
(a ⋅ b)4 =
__________________________________________________________________________________________________________
e
( )
−2
=
3
__________________________________________________________________________________________________________
f
a2 ⋅ a3
=
a4
__________________________________________________________________________________________________________
g 55 : 53 =
__________________________________________________________________________________________________________
h
m−3 ⋅ m2
=
(m−3)2
__________________________________________________________________________________________________________
i
23 ⋅ 22
= 24 ⋅ 2−3
__________________________________________________________________________________________________________
Pr
oe
3
★
★
24
hoo fdstuk 1
•
R eël e geta llen
pla
ar
13 Zet volgende getallen om in de wetenschappelijke schrijfwijze.
a De Japanse hogesnelheidstrein rijdt tegen een snelheid
van 550 km/h.
b De afstand van de aarde tot de zon bedraagt 149 500 000 000 m.
c De diameter van een elektron is 0,000 000 000 000 014 m.
d Een zeer gevoelige stroomsterktemeter, meet tot op
0,0001 ampère
e De snelheid van het geluid bedraagt 330 m/s of 1188 km/h.
f
De snelheid van het licht is 299 790 000 m/s of
1 079 244 000 km/h.
fex
em
gOnze wereld weegt 5 976 000 000 000 000 000 000 000 kg.
h De afstand van de aarde tot de maan is 380 000 000 m.
i
Één potje yoghurt bevat 350 000 000 bacteriën.
j
In de kernfysica werkt men soms met heel
kleine oppervlakten. Zo is 1 barn gelijk aan 0,000 000 000 000 000 000 000 000 1 mm2.
k Bereken de massa van de zon, die 300 000 keer
groter is dan deze van de aarde.
Eén lichtjaar is de afstand die het licht in één jaar aflegt,
ongeveer 9 467 100 000 000 km.
Pr
oe
l
m Als je een blad papier 50 keer zou kunnen plooien,
dan zou je met de stapel bijna aan de zon zitten. De zon bevindt zich op 149 500 000 km van de aarde.
n Die zon is eigenlijk een ster die al 4,6 miljard jaar brandt.
Verwacht wordt dat ze nog 4 600 000 000 jaar zal branden.
o
Terug naar ons blad papier. Als we dat niet 50 keer maar
100 keer zouden kunnen plooien, dan hebben we een heel dik pak papier op elkaar liggen. Hoe dik? 12 miljard lichtjaren of
113 605 200 000 000 000 000 000 km dik! Dat is de grootte van
ons heelal …
25
pla
ar
14 Zet deze getallen om in de correcte wetenschappelijke schrijfwijze.
a −310,5 ⋅ 103 =
________________________________
e 0,000472 ⋅ 107 =
________________________________
b 25 000 ⋅ 10−4 =
________________________________
f
0,01 ⋅ 10−2 =
________________________________
c 100 =
________________________________
g 5 =
________________________________
d −1836,5 ⋅ 108 =
________________________________
h −0,0000001 ⋅ 103 =
________________________________
15 Schrijf volgende getallen zonder macht van 10.
a 7,45 ⋅ 104 =
________________________________
e 4,3 ⋅ 10−4 =
________________________________
b −9,3 ⋅ 106 =
________________________________
f
−2 ⋅ 10−5 =
________________________________
c 2 ⋅ 108 =
________________________________
g 7,21 ⋅ 10−3 =
________________________________
d −4,362 ⋅ 102 =
fex
em
________________________________
h −3,4934 ⋅ 10−1 =
________________________________
16 Wat weegt het meest?
a Een kolibrie van 2 g
b Een mus van 3,5 ⋅ 10−2 kg
c Vierhonderd bijen van 0,1 g elk
d Een half miljoen fruitvliegen van 0,075 mg elk
e Drie miljard bacteriën van 10−13 kg elk.
JWO 2004 1ste ronde, probleem 25 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
17 Een miljard gedeeld door vijfhonderdduizend is gelijk aan
a tweeduizend
c tweehonderdduizend
b twintigduizend
d twee miljoen
JWO 2004 2de ronde, probleem 1 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Pr
oe
e twintig miljoen
Grote en kleine getallen: de voorvoegsels
De officiële voorvoegsels, gebruikt voor rekenkundige veelvouden en onderverdelingen van de machten van 10 zijn:
atto
a
10−18
kilo
k
103
femto f
10−15
mega M
106
pico
p
10 gigz
G
109
nano n
10−9
tera
T
1012
micro μ
10 peta P
1015
milli
10−3
exa m
−12
−6
1018
E
Iets bekender zijn de voorzetsels: centi (10 ), deci (10 ), deka (101) en hecto (102)
−2
−1
Maar kan je je wel echt zo’n grote getallen voorstellen?
1022 m (of 1 miljoen lichtjaren), is de doorsnede van ons melkwegstelsel.
1016 m (of 1 lichtjaar) is de afstand die het licht in 1 jaar aflegt.
107 m (of tienduizend kilometer) is de diameter van de aarde.
100 m (of 1 meter) is de lengte van de veer van een pauw.
26
hoo fdstuk 1
•
R eël e geta llen
a
(5 ⋅ 10-1) ⋅ (1,2 ⋅ 10-2)
b
c
d
e
6,25 ⋅ 103 ⋅ 5 ⋅ 103
2,5 ⋅ 104
(1,5 ⋅ 10) ⋅ (-2 ⋅ 104)
g
★
9,33 ⋅ 104
3,11 ⋅ 103 ⋅ 2 ⋅ 10
(6,25 ⋅ 10-4) ⋅ (5 ⋅ 106) ⋅ (2 ⋅ 10-3)
h
(1,3 ⋅ 10-8)2
5 ⋅ 10−1
2,5 ⋅ 103
Pr
oe
f
fex
em
pla
ar
18 Bereken. Plaats je resultaat in de wetenschappelijke notatie.
i
★
(5 ⋅ 10-1)3
−4,5 ⋅ 102
9 ⋅ 10−3
j
★★
(-3 ⋅ 105)3 ⋅ (-2 ⋅ 10-1)4
27