Topologie I

Topologie I - WPO
Prof. Dr. E. Colebunders
Academiejaar 2015 - 2016
Inhoudsopgave
1 Topologische ruimten
2
2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid
7
3 Convergentie en continuı̈teit
8
4 Separatie-eigenschappen
12
5 Compactheid
14
6 Samenhang
15
7 Initiale en finale structuren
16
8 Stabiliteit voor constructies
19
9 Compact Hausdorff en lokaal compact
21
1
Hoofdstuk 1
Topologische ruimten
1. Beschouw een topologische ruimte (X, T ). Beschrijf expliciet de overgangen tussen de open delen T en de omgevingen V.
2. Beschouw een topologische ruimte (X, T ). Beschrijf expliciet de overgangen tussen de open delen T en de sluiting-operator cl.
3. Indien
T (Ti )i∈I een
S verzameling topologieën is op een verzameling X, zijn
dan i∈I Ti en i∈I Ti topologieën op X?
4. Toon dat
T = {U ⊂ N | ∀x ∈ N : x ∈ U ∩ (2N + 1) ⇒ x + 1 ∈ U }
een topologie is op N.
5. Toon dat
T = {U ⊂ [0, 1] | ∀x ∈ [0, 1] : x ∈ U ⇒ x2 ∈ U }
een topologie is op [0, 1]. Vergelijk deze met de Euclidische topologie op
[0, 1].
6. Bewijs dat de verzameling
{A ⊂ R | ∀x ∈ A
∃ > 0
[x, x + [⊂ A}
een topologie is op R.
7. Zij X een verzameling en x ∈ X. Bewijs dat de verzameling
{A ⊂ X | A = X of x ∈
/ A}
een topologie is op X.
2
HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN
3
8. Toon dat
T = {U ⊂ R2 | ∀(x, y) ∈ R2 : (x, y) ∈ U ⇒ {(λx, λy) | λ ∈ [0, 1]} ⊂ U }
een topologie is op R2 . Vergelijk deze met de Euclidische topologie op R2 .
9. Toon dat
T = {U ⊂ R | 0 ∈ U ⇒ R \ U ⊂ Q}
een topologie is op R. Vergelijk T met de Euclidische topologie op R.
10. Voor m ∈ N en U ⊂ N × N stellen we
U
Sm
= {n ∈ N | (m, n) ∈
/ U }.
Toon dat
U
{U ⊂ N × N | (0, 0) ∈ U ⇒ {m ∈ N | Sm
is oneindig} is eindig}
een topologie is op N × N.
11. Voor m ∈ N en U ⊂ N × N stellen we
U
Sm
= {n ∈ N | (m, n) ∈
/ U}
en voor U ⊂ N × N stellen we
T U = {m ∈ N | (m, 0) ∈
/ U }.
Toon dat
U
T = {U ⊂ N×N | (0, 0) ∈ U ⇒ T U is eindig en (m, 0) ∈ U ⇒ Sm
is eindig}
een topologie is op N × N.
12. Toon dat
T = {U ⊂ R3 | (0, 0, 0) ∈ U ⇒ R3 \ U is hoogstens aftelbaar}
een topologie is op R3 .
13. Bewijs dat de verzamelingen
{[x, y] | x ≤ y, x ∈ Q, y ∈ Q},
{[x, y] | x ≤ y, x ∈ Q, y ∈ R \ Q},
en
{[x, y] | x ≤ y, x ∈ R \ Q, y ∈ R \ Q}
basissen zijn voor drie verschillende topologieën op R.
HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN
4
14. Is
B = {]q, +∞[| q ∈ Q} ∪ {∅, R}
een topologie op R? Zo niet, beschrijf expliciet de unieke topologie T op
R waarvoor B een subbasis is. Is B een basis voor T ?
15. Zij d een metriek op een verzameling X. Voor elke x ∈ X en A ∈ P(X) \
{∅} definieert men de “afstand van x tot A” als d(x, A) = inf{d(x, a) | a ∈
A}. Bewijs de equivalentie van volgende uitspraken:
(a) x is afsluitingspunt van A in (X, Td )
(b) d(x, A) = 0
16. Indien D en D0 dicht zijn in de topologische ruimte X, is dan ook D ∩ D0
dicht in X?
17. Zij X een topologische ruimte en B een willekeurig deel van X. Bewijs
dan:
(a) voor een open deel A van X geldt
A ∩ B = ∅ ⇔ A ∩ clB = ∅
(b) B is gesloten in X als en slechts als voor elk deel C van X geldt dat
B ∪ clC = cl(B ∪ C).
18. Als X een topologische ruimte is en (Ai )i∈I een familie
S deelverzamelingen
S
van X, welke inclusie geldt dan i.h.a. tussen cl( i∈I Ai ) en i∈I clAi ?
Wat als I eindig is?
19. Indien T en T 0 topologieën zijn op een verzameling X, toon dan de equivalentie van volgende uitspraken:
(a) T ⊂ T 0 ,
(b) ∀A ⊂ X : intT A ⊂ intT 0 A,
(c) ∀A ⊂ X : clT 0 A ⊂ clT A,
(d) ∀x ∈ X : VT (x) ⊂ VT 0 (x).
20. Toon dat in een topologische ruimte (X, T ) volgende voorwaarden equivalent zijn:
(a) ∀x, x0 ∈ X : x ∈ cl{x0 } ⇒ x0 ∈ cl{x},
(b) ∀x ∈ X, ∀G ∈ T : x ∈ G ⇒ cl{x} ⊂ G,
(c) elk open deel in (X, T ) is een unie van gesloten delen,
(d) ∀x, x0 ∈ X : V(x) ⊂ V(x0 ) ⇒ V(x) = V(x0 ),
T
(e) ∀x ∈ X : cl{x} = V(x).
HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN
5
Topologische ruimten die aan een van vorige (en dus aan alle vorige) voorwaarden voldoen, heten symmetrische of R0 -ruimten.
21. Een deelverzameling van een topologische ruimte heet regulier open als ze
samenvalt met het inwendige van haar sluiting. Een topologische ruimte
heet semiregulier als ze een basis bezit bestaande uit regulier open verzamelingen.
(a) Toon dat het inwendige van een gesloten verzameling in een topologische ruimte steeds een regulier open verzameling is.
(b) Indien een overaftelbare verzameling X de topologie
{G ⊂ X | X \ G is hoogstens aftelbaar} ∪ {∅}
draagt, toon dan dat er slechts twee deelverzamelingen van X regulier
open zijn.
22. Indien A een deelverzameling is van een topologische ruimte X, toon dan
de equivalentie van volgende eigenschappen:
(a) ∂A = ∅,
(b) A is open en gesloten in X.
Indien A open is in X, bewijs dan dat ∂A een leeg inwendige heeft.
23. Zij X een topologische ruimte. Toon dat, voor elk deel A van X, de
elementen uit de collectie
G = {intA, ∂A, int(X \ A)}
S
twee aan twee disjunct zijn en dat G = X.
24. Zij X een topologische ruimte en A ⊂ X. Toon dat intA ∪ (X \ A) dicht
is in X.
25. Zij (X, T ) een topologische ruimte, A ⊂ X, TA de spoortopologie van T
op A. Bewijs dan voor een deel B van A:
cl(A,TA ) (B) = cl(X,T ) (B) ∩ A.
26. Toon dat voor een deel A ⊂ X in een topologische ruimte (X, T ) de
volgende voorwaarden equivalent zijn:
(a) Er bestaat een open deel B in (X, T ) en een gesloten deel C in (X, T )
zodat A = B ∩ C.
(b) A is open in de deelruimte clA van (X, T ) .
(c) Voor elke a ∈ A bestaat een open omgeving U van a in (X, T ) zodat
U ∩ A open is in de deelruimte clA van (X, T ) .
HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN
6
Een deel A dat aan de vorige equivalente eigenschappen voldoet heet lokaal
gesloten in (X, T ). De ruimte (X, T ) heet gecomplementeerd indien elk
lokaal gesloten deel van (X, T ) gesloten is.
27. Indien X en Y topologische ruimten zijn, A ⊂ X, B ⊂ Y , toon dan dat
voor de rand ∂(A × B) van A × B in de productruimte X × Y geldt
∂(A × B) = (∂A × clB) ∪ (clA × ∂B).
Hoofdstuk 2
Metriseerbaarheid en
aftelbaarheid
1. Zij X een verzameling met #X ≥ 2. Indien A ∈ P(X) \ {∅, X}, toon dan
dat {∅, A, X} een niet metrizeerbare topologie is op X.
2. Bewijs dat een topologische ruimte met eindige drager metrizeerbaar is als
en slechts als ze discreet is.
3. Onderzoek voor volgende topologieën of ze aan het eerste en/of het tweede
aftelbaarheidsaxioma voldoen en of ze separabel zijn:
(a) de topologie in oefening 4 in Hoofdstuk 1,
(b) de topologie in oefening 5 in Hoofdstuk 1,
(c) de topologie in oefening 6 in Hoofdstuk 1,
(d) de topologie in oefening 9 in Hoofdstuk 1,
(e) de topologie in oefening 12 in Hoofdstuk 1.
7
Hoofdstuk 3
Convergentie en
continuı̈teit
1. Zij T de in oefening 11 in Hoofdstuk 1 gedefinieerde topologie op X =
N × N. Bewijs dan:
(a) De rij N → X : n 7→ (n, 0) is convergent naar (0, 0) in (X, T ).
(b) Voor elke m ∈ N is de rij N → X : n 7→ (m, n) convergent naar (m, 0)
in (X, T ).
(c) In (X, T ) is (0, 0) een afsluitingspunt van Y = N0 × N0 , hoewel er
geen rij bestaat in Y die in (X, T ) naar (0, 0) convergeert.
2. Beschouw de in oefening 12 in Hoofdstuk 1 ingevoerde topologische ruimte
(R3 , T ). Bewijs dat (0, 0, 0) een afsluitingspunt is van Y = R3 \ {(0, 0, 0)},
hoewel er geen rij bestaat in Y die naar (0, 0, 0) convergeert.
3. Zij F een filter op een verzameling
T X en B een eindige, niet lege deelverzameling van F, toon dan dat B ∈ F.
4. Zij (Fi )i∈I T
een niet lege familie filters op een verzameling X. Toon dat de
intersectie i∈I Fi opnieuw een filter is op X en dat
\
i∈I
Fi = {
[
Fi ; ∀i ∈ I : Fi ∈ Fi }.
i∈I
Toon dat de unie van (Fi )i∈I in het algemeen geen filter op X hoeft te
zijn.
5. Zij X een verzameling, U een ultrafilter op X en F1 en F2 filters op X,
toon dan
F1 ∩ F2 ⊂ U ⇔ F1 ⊂ U of F2 ⊂ U.
6. Bewijs:
8
HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT
9
(a) De doorsnede van twee filters met hoogstens aftelbare basis op X is
een filter met hoogstens aftelbare basis op X.
(b) Voor een overaftelbare verzameling X heeft de filter {A ⊂ X; X \
A is eindig} geen hoogstens aftelbare basis.
7. Een filter A op een verzameling X heet een elementaire filter op X indien
een rij (xn )n in X bestaat zodat A = {A ⊂ X; {n; xn ∈
/ A} is eindig}.
Bewijs:
(a) De doorsnede van twee elementaire filters op X is een elementaire
filter op X.
(b) Indien een filter F op X een aftelbare basis heeft, dan bestaat een
elementaire filter A op X zodat F ⊂ A en F is de intersectie van alle
elementaire filters op X die F omvatten.
8. Zij (X, T ) een topologische ruimte en B een filterbasis op X. Toon de
equivalentie van volgende voorwaarden:
(a) B is convergent in (X, T ),
(b) voor iedere open overdekking G van X bestaat er B ∈ B en G ∈ G
zodat B ⊂ G.
9. Zij (X, T ) een topologische ruimte, A ⊂ X en x ∈ A. Toon de equivalentie
van volgende voorwaarden:
(a) x ∈ intA,
(b) voor iedere filterbasis B op X die convergeert naar x in (X, T ) geldt
A ∈ stackB.
10. Beschouw de topologische ruimte (R, T ) zoals ingevoerd in oefening 9 in
Hoofdstuk 1. Bepaal in (R, T ) alle convergentie- en adherentiepunten van
de filter stack{R \ Q}.
11. Zij X een topologische ruimte. Als F een filter is op X en x ∈ X, stellen
we Fx = {F ∈ F; x ∈ F }. Bewijs:
(a) Fx is een filter op X,
(b) Fx ⊂ F,
(c) voor elke x0 ∈ X geldt Fx → x0 ⇒ F → x0 ,
(d) Fx → x ⇔ F → x.
Toon verder dat voor een topologische ruimte X de volgende voorwaarden
equivalent zijn:
(a) X is symmetrisch,
(b) voor elke filter F op X en voor elke x ∈ X geldt
F → x ⇔ Fx is convergent.
HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT
10
12. Zij X een topologische ruimte. Indien F een filter is op X, ga na dat
{O ⊂ X; O is open in X en O ∈ F}
basis is voor een filter F ◦ op X. Bewijs dat voor x ∈ X de filter F ◦ naar
x convergeert als en slechts als de filter F naar x convergeert. Toon dat
de filter F ◦ aan x adhereert indien de filter F aan x adhereert.
13. Bewijs voor een topologische ruimte X de equivalentie van volgende voorwaarden:
(a) Elke filter op X convergeert in X,
T
(b) {cl{x}; x ∈ X} =
6 ∅,
(c) elke open overdekking van X bevat X,
(d) er bestaat een x ∈ X met V(x) = {X}.
14. Zijn (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten en f : X → Y een afbeelding.
Toon de equivalentie van volgende voorwaarden:
(a) f : (X, T ) → (Y, S) is continu,
(b) voor elke deelverzameling B van Y geldt cl(X,T ) f −1 (B) ⊂ f −1 (cl(Y,S) B).
15. Als op [0, 1] de topologie
T = {U ⊂ [0, 1]; ∀x ∈ [0, 1] : x ∈ U ⇒ x2 ∈ U }
uit oefening 5 van Hoofdstuk 1 beschouwd wordt, onderzoek dan of de
afbeeldingen
([0, 1], T ) → ([0, 1], T ) : x 7→ x2
en
([0, 1], T ) → ([0, 1], T ) : x 7→ 1 − x
continu zijn.
16. Zijn (X, T ) en (Y, U) topologische ruimten, S een subbasis voor U, f :
X → Y een afbeelding en D de deelverzameling van X bestaande uit alle
punten waarin f niet continu is, bewijs dan
[
D=
f −1 (S) \ intf −1 (S).
S∈S
17. Als f : X → Y een continue afbeelding is tussen topologische ruimten X
en Y , en als D een dicht deel is van X, is dan f (D) een dicht deel van Y ?
18. Bewijs dat voor een bijectie f : X → Y tussen topologische ruimten (X, T )
en (Y, S) de volgende voorwaarden equivalent zijn:
(a) f : (X, T ) → (Y, S) is een homeomorfisme,
HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT
11
(b) voor elke basis B van T is {f (B); B ∈ B} een basis van S.
19. Zijn X en Y twee homeomorfe topologische ruimten. Toon dat uit de
metrizeerbaarheid van X de metrizeerbaarheid van Y volgt.
20. Voor een deel A van een verzameling X is IA de indicatorfunctie van A
1 als x ∈ A
X → R : x 7→
.
0 als x ∈
/A
Indien nu A een deel is van een topologische ruimte (X, T ), x ∈ X en
TE de Euclidische topologie op R, toon dan de equivalentie van volgende
voorwaarden:
(a) x ∈ ∂A,
(b) IA : (X, T ) → (R, TE ) is niet continu in x.
21. Bewijs dat, indien (X, T ) een symmetrische topologische ruimte is, (Y, S)
een willekeurige topologische ruimte en f : (X, T ) → (Y, S) een continue
gesloten surjectie, (Y, S) een symmetrische topologische ruimte is.
22. Zijn (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten, A een basis van T en f : X →
Y een afbeelding. Bewijs de equivalentie van volgende voorwaarden:
(a) f is open,
(b) voor elke A ∈ A is f (A) open in (Y, S).
Geldt de equivalentie ook in het geval dat A slechts een subbasis van T
is?
23. Toon dat, met de Euclidische topologieën op [0, 2π], [−1, 1] en op R, de
afbeelding
[0, 2π] → R : x 7→ sin x
gesloten is, maar niet open en dat de afbeelding
R → [−1, 1] : x 7→ sin x
open is, maar niet gesloten.
24. Indien (X, T ) en (Z, S) topologische ruimten zijn, (Y, TY ) een deelruimte
van (X, T ), en f : Z → X een functie met f (Z) ⊂ Y , bewijs dan dat
volgende uitspraken equivalent zijn:
(a) f : (Z, S) → (X, T ) is continu,
(b) f : (Z, S) → (Y, TY ) is continu.
Hoofdstuk 4
Separatie-eigenschappen
1. Zij X een topologische ruimte. Bewijs de equivalentie van volgende voorwaarden:
(a) X is T1,
(b) voor elk element x ∈ X en elk deel A ⊂ X is x een ophopingspunt van
A in X als en slechts als elke omgeving van x oneindig veel elementen
van A bevat.
2. Toon dat in een A1-ruimte X de volgende voorwaarden equivalent zijn:
(a) X is een Hausdorff-ruimte,
(b) elke convergente rij in X heeft juist een convergentiepunt.
3. Zij (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten met (Y, S) Hausdorff. Indien
f : (X, T ) → (Y, S) en g : (X, T ) → (Y, S) continue afbeeldingen zijn,
toon dan dat {x ∈ X; f (x) = g(x)} gesloten is in (X, T ).
4. Zij (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten met (X, T ) Hausdorff. Indien
f : (X, T ) → (Y, S) en g : (Y, S) → (X, T ) continue afbeeldingen zijn met
f ◦ g = idY , bewijs dan dat dat g(Y ) gesloten in (X, T ).
5. In een topologische ruimte X definiëren we voor elk deel A van X een deel
w(A) van X door
w(A) = {x ∈ X; elke omgeving van x snijdt elke omgeving van A}.
Bewijs de volgende eigenschappen:
(a) voor elk deel A van X geldt clA ⊂ w(A),
(b) als A open is, geldt clA = w(A),
(c) X is regulier als en slechts als voor elk deel A van X geldt dat clA =
w(A).
12
HOOFDSTUK 4. SEPARATIE-EIGENSCHAPPEN
13
6. Met de notaties van opgave 3.12, toon de equivalentie van:
(a) X is regulier,
(b) voor elke filter F op X en voor elke x ∈ X adhereert F aan x als en
slechts als de filter F ◦ aan x adhereert.
7. Bewijs dat de Sierpinski normaal is maar niet regulier.
Hoofdstuk 5
Compactheid
1. Bewijs dat elke compacte metriseerbare ruimte separabel is.
2. Zij Tcof de topologie der eindige complementen op een oneindige verzameling X. Bepaal alle convergentiepunten van de filter Tcof \ {∅} en van een
willekeurige ultrafilter op X in (X, Tcof ). Leid af dat (X, Tcof ) compact
is.
3. Beschouw topologische ruimten (X, T ) en (Y, S), een afbeelding f : X →
Y en veronderstel dat de grafiek Gf = {(x, f (x)) ∈ X × Y ; x ∈ X} van f
een gesloten deel is van de productruimte (X × Y, T × S). Bewijs dan dat
f (K) gesloten is in (Y, S) voor elk compact deel K van (X, T ).
4. Zijn X en Y twee topologische ruimten, A een compact deel van X, B een
compact deel van Y en zij W een omgeving van A×B in de productruimte
X × Y . Bewijs dat er omgevingen U van A in X en V van B in Y bestaan
zodat U × V ⊂ W .
5. Toon dat voor een convergente rij (xn )n met convergentiepunt x in een
topologische ruimte X de verzameling {xn ; n} ∪ {x} compact is in X.
6. Zij (X, T ) een topologische ruimte en A ⊂ X, bewijs dan de equivalentie
van volgende voorwaarden:
(a) De deelruimte (A, TA ) is compact,
S
0
(b) elk deel
S 0G ⊂ T met A ⊂ G bezit een eindig deel G ⊂ G met
A⊂ G.
7. Toon dat in een A1-ruimte X de volgende voorwaarden equivalent zijn:
(a) X is een Hausdorff-ruimte,
(b) elke convergente rij in X heeft juist een convergentiepunt,
(c) X is T1 en elk compact deel van X is gesloten in X.
14
Hoofdstuk 6
Samenhang
1. Laat door tegenvoorbeelden zien dat, indien A en B samenhangende delen
zijn van een topologische ruimte X, de delen A ∩ B, A ∪ B, ∂A en intA
niet samenhangend hoeven te zijn.
2. Wordt een verzameling X voorzien van de topologie
Tcof = {A ⊂ X; X \ A is eindig} ∪ {∅},
bewijs dan dat (X, Tcof ) samenhangend is als en slechts als X ten hoogste
een element bevat of oneindig is.
3. Zij X een topologische ruimte. Bewijs dat de ring C(X, R) meer dan twee
idempotenten heeft (f (x).f (x) = f (x) voor alle x ∈ X) als en slechts als
X niet samenhangend is.
15
Hoofdstuk 7
Initiale en finale structuren
1. Zij TE de Euclidische topologie op R. Bepaal de initiale topologie op R
voor de afbeelding f : R → (R, TE ) gedefinieerd door f (x) = |x|.
2. Is (fi : (X, T ) → (Xi , Ti ))i∈I een initiale bron, J een verzameling met I ⊂
J en (fj : (X, T ) → (Xj , Tj ))j∈J\I een bron van continue afbeeldingen,
bewijs dan dat ook (fj : (X, T ) → (Xj , Tj ))j∈J een initiale bron is.
3. Zij (fi : (X, T ) → (Xi , Ti ))i∈I een continue bron zodat, voor een k ∈
I, fk : (X, T ) → (Xk , Tk ) een homeomorfisme is, bewijs dan dat (fi :
(X, T ) → (Xi , Ti ))i∈I een initiale bron is.
4. Zij (fi : (X, T ) → (Xi , Ti ))i∈I een continue bron zodat voor elk deel A van
X en elk element x ∈ X \ clX A een i ∈ I bestaat met fi (x) ∈
/ clXi fi (A).
Bewijs dat (fi : (X, T ) → (Xi , Ti ))i∈I initiaal is.
5. Zij X een verzameling, T een topologie op X en (Ti )i∈I een verzameling
topologieën op X, toon dan dat de bron (idX : (X, T ) → (X, Ti ))i∈I
initiaal is als en slechts als T de supremumtopologie is van de familie
(Ti )i∈I .
6. Zij (X, T ) een topologische ruimte, S2 = ({0, 1}, {∅, {1}, {0, 1}}) de Sierpinski ruimte, I de verzameling van alle continue afbeeldingen (X, T ) → S2
en, voor elke i ∈ I, fi = i, bewijs dan dat de bron
(fi : (X, T ) → (Xi , Ti ))i∈I
initiaal is.
7. Beschouw een verzameling X, een topologische ruimte (Y, S) en een afbeelding f : X → Y . Stel verder
G = {G ⊂ X; f (G) ∈ S},
T de topologie op X met G als subbasis en I de initiale topologie op X
voor de bron (f : X → (Y, S)). Bewijs dan:
16
HOOFDSTUK 7. INITIALE EN FINALE STRUCTUREN
17
(a) indien f surjectief is, dan is f : (X, T ) → (Y, S) continu,
(b) indien f injectief is, dan is T ⊂ I,
(c) indien f bijectief is, dan is G = T = I.
8. Bewijs dat een inbedding f : (X, T ) → (Y, S) open (resp. gesloten) is als
en slechts als f (X) open (resp. gesloten) is in (Y, S).
9. Beschouw een familie ((Xi , Ti ))i∈I van topologische ruimten en een element (ai )i∈I ∈ Πi∈I Xi . Stel
D = {(xi )i∈I ∈ Πi∈I Xi ; {i ∈ I; xi 6= ai } is eindig}
en bewijs dat D dicht is in de productruimte (Πi∈I Xi , Πi∈I Ti ).
10. (a) Geef een voorbeeld van een projectie prk : (Πi∈I Xi , Πi∈I Ti ) → (Xk , Tk )
die niet gesloten is.
(b) Geef een voorbeeld van een deel A van Πi∈I Xi dat niet open is voor
Πi∈I Ti maar waarvoor toch alle projecties pri (A) open zijn.
11. Is (fi : (Xi , Ti ) → (X, T ))i∈I een finale sink, J een verzameling met
I ⊂ J en (fj : (Xj , Tj ) → (X, T ))j∈J\I een sink van continue afbeeldingen,
bewijs dan dat (fj : (Xj , Tj ) → (X, T ))j∈J een finale sink is.
12. Zij (fi : (Xi , Ti ) → (X, T ))i∈I een continue sink zodat, voor een k ∈ I, fk :
(Xk , Tk ) → (X, T ) een homeomorfisme is, bewijs dan dat (fi : (Xi , Ti ) →
(X, T ))i∈I een finale sink is.
13. Zij D2 een discrete topologische ruimte met twee punten. Bewijs dat D2
een quotiënt is van Q met de Euclidische topologie.
14. Bewijs dat N (als deelruimte van R met de Euclidische topologie) een
quotiënt is van R \ Q (als deelruimte van R met de Euclidische topologie).
15. Beschouw een groep G van homeomorfismen van een topologische ruimte
X. Bewijs dat door
xRy ⇔ ∃g ∈ G : g(x) = y
een equivalentierelatie R op X wordt gedefinieerd. Toon dat de canonische
quotiëntafbeelding X → X|R open is.
16. Zij (X, T ) een topologische ruimte, R een equivalentierelatie op X, X|R
de quotiëntverzameling, ϕ : X → X|R de canonische quotiëntafbeelding
en T |R de quotiënttopologie op X|R. Voor A ⊂ X stellen we S(A) =
{x ∈ X; ∀y ∈ X : yRx ⇒ y ∈ A}. Bewijs dat ϕ : (X, T ) → (X|R, T |R)
open is als en slechts als voor elk gesloten deel A van (X, T ), S(A) een
gesloten deel is van (X, T ).
HOOFDSTUK 7. INITIALE EN FINALE STRUCTUREN
18
17. Neem ξ ∈
/ [0, 1], stel Y = [0, 1] ∪ {ξ} en beschouw de deelruimte [−1, 1]
van de R met de Euclidische topologie. Stel Q de quotiënttopologie op Y
voor de surjectie
ξ
als x = −1
f : [−1, 1] → R : x 7→
|x| als x 6= −1
Bewijs:
(a) f : [−1, 1] → (Y, Q) is een open afbeelding,
(b) (Y, Q) is geen Hausdorffruimte,
(c) {(x, x0 ) ∈ [−1, 1]2 ; f (x) = f (x0 )} is niet gesloten in [−1, 1]2 .
18. Zij X een topologische ruimte. Bewijs de equivalentie van volgende uitspraken:
(a) X is homeomorf met een coproduct van indiscrete ruimten.
(b) In X is elk open deel gesloten.
Hoofdstuk 8
Stabiliteit voor constructies
1. Laat R de Euclidische topologie dragen en Q de spoortopologie. Definieer
de equivalentie R op R door
xRy ⇔ x − y ∈ Q.
Bewijs dat de quotiëntruimte R|R indiscreet is.
2. Zij (X, T ) een topologische ruimte. Beschouw de equivalentierelatie
R = {(x, x0 ) ∈ X × X; cl{x} = cl{x0 }}
op X, X|R de quotiëntverzameling, ϕR : X → X|R de quotiëntafbeelding
en T |R de quotiënttopologie op X|R voor R. Bewijs dat
ϕR : (X, T ) → (X|R, T |R)
zowel initiaal als finaal is. Toon verder, indien (X, T ) regulier is, dat
(X|R, T |R) een reguliere Hausdorffruimte is.
(Toon dat alle open delen van (X, T ) R-verzadigd zijn.)
3. Neem een gesloten deel A van een T3-ruimte X en definieer de equivalentie
R op X door
xRx0 ⇔ x = x0 of {x, x0 } ⊂ A.
Toon dat de quotiëntruimte X|R Hausdorff is.
4. Een topologische ruimte X heet een T0-ruimte indien voor elke x, y ∈ X
geldt:
(cl{x} = cl{y}) ⇔ y = x.
(a) Geef een voorbeeld van een T0-ruimte die geen T1-ruimte is.
(b) Toon voor een willekeurige topologische ruimte (X, T ) de quotiëntruimte
(X|R, T |R), zoals geconstrueerd in opgave 2, een T0-ruimte is.
19
HOOFDSTUK 8. STABILITEIT VOOR CONSTRUCTIES
20
(c) Toon voor een willekeurige topologische ruimte (X, T ) de equivalentie
van volgende eigenschappen:
i. (X, T ) is een T0-ruimte,
ii. elke initiale bron (fi : (X, T ) → (Xi , Ti ))i∈I is puntenscheidend,
iii. elke initiale afbeelding f : (X, T ) → (Y, S) is injectief.
5. Zij (fi : (X, T ) → (Xi , Ti ))i∈I een initiale bron met voor elke i ∈ I (Xi , Ti )
een Hausdorffruimte. Toon dat (X, T ) Hausdorff is als en slechts als (X, T )
T0 is.
6. Stel X = {0, 1, 2, 3} en T = {∅, {0}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 1, 2}, X}. Bewijs dat
(X, T ) normaal is maar dat niet iedere deelruimte van (X, T ) normaal is.
Hoofdstuk 9
Compact Hausdorff en
lokaal compact
1. Bewijs dat Q als deelruimte van R met de Euclidische topologie niet lokaal
compact is.
2. Toon dat voor een lokaal compacte Hausdorffruimte (X, T ) en een deel A
van X de volgende voorwaarden equivalent zijn:
(a) (A, TA ) is lokaal compact,
(b) A is lokaal gesloten in (X, T ). (zie opgave 26 in Hoofdstuk 1)
3. Indien X lokaal compact is en Y een retract van X, bewijs dan dat ook
Y lokaal compact is.
4. Zij gegeven een niet-compacte topologische ruimte (X, T ). Bewijs dat
(X ∗ , T ∗ ) T1 is indien (X, T ) T1 is.
21