goochelen in een wiskundeles

GOOCHELEN IN EEN WISKUNDELES
SYLLABUS
DAG VAN DE WISKUNDE 24 NOVEMBER 2012
MICHEL ROELENS EN GILBERTE VERBEECK
ABSTRACT
Een goocheltruc trekt altijd de aandacht. “Hé, hoe is dat mogelijk?” Heel wat goocheltrucs steunen
op wiskundige principes. Deze workshop wil een aanzet geven om te goochelen in de wiskundeles,
als inleiding tot een wiskundig probleem of onderwerp van het leerplan.
We bieden in deze workshop een aantal goocheltrucs aan en tonen hoe je ze kunt inzetten in een
wiskundeles. Enerzijds zijn er heel wat trucs die aanzetten zijn om met leerlingen te werken rond
probleemoplossend denken, anderzijds sluiten er een aantal rechtstreeks aan bij onderwerpen van
de leerplannen. Het goochelen kan een teaser zijn voor de leerlingen, een motiverend element: hoe
zit de truc in elkaar? hoe werkt hij? is er onderliggend een wiskundig model op te stellen dat de truc
verklaart? Zonder een goochelaar te zijn, kan je met je leerlingen op zoek gaan, je leerlingen uitdagen
en zo de magie breken die de goochelaar tot een bovenaards wezen verheft.
We leren enkele goocheltrucs aan, zoomen in op de wiskundige achtergrondinformatie en bespreken
aan welke leerinhoud de truc gekoppeld kan worden. Na deze workshop kan je de volgende dag de
klas instappen en je leerlingen verrassen met een smaakmakertje!
We starten met het samen belichten van één truc. Vervolgens splitsen we op in groepen die elk een
verschillende truc inoefenen en onder de loep nemen. We eindigen met het actief uitwisselen van de
verschillende trucs.
INLEIDING
De workshop vindt zijn ontstaan in een artikel dat we schreven in het tijdschrift ‘Uitwiskeling’ (UW
28). Toen we de zoektocht startten naar goocheltrucs met een wiskundige invalshoek, stuitten we op
eerdere artikels. In UW 26/1 lieten we Job van de Groep aan het woord die er de truc ‘1089’ uit zijn
boekje ‘Gegoochel met getallen’ [1.1] voorstelt. In UW 22/2 werkten we een andere getallentruc uit.
In UW 17/4 verklaart de driehoek van Pascal een kaarttruc. Het is verrassend hoeveel wiskunde er in
heel wat trucs verborgen zit en hoe goed ze vaak bij de leerstof aansluiten.
We geven hier geen opleiding tot goochelaar, maar behandelen een aantal trucs uit het aanbod
waarmee je morgen de klas in kan. Waarmee je je leerlingen kan verbazen en motiveren.
Een goochelaar maakt een onderscheid tussen wiskundige trucs en de magie waarbij er toch altijd
weer iets gebeurt dat je niet verwacht, wat je moeilijk doorziet. Hij oefent op het misleiden, de show
en het bespelen van het publiek. Dit vraagt handigheid en show. Om echt te goochelen moet je veel
oefenen. Veel plezier er mee.
1 HET WONDERGETAL
Voorbereiding
Deze truc vereist geen enkele voorbereiding tenzij je de variant aanbiedt. Voor deze laatste moet je
vooraf in een boek dat in je klas ligt een woord opzoeken.
Uitvoering
Laat een leerling een willekeurig getal van 3 cijfers bedenken, een andere leerling dit getal
omdraaien en weer een andere leerling moet het kleinste van het grootste getal aftrekken. Laat dit
laatste getal weer omdraaien en deze laatste twee getallen met elkaar optellen. Doe alsof je
gedachten leest en onthul deze laatst bekomen som.
Om de show nog wat completer te maken, kan je een variant doen. Je vraagt je publiek om in het
boek dat je achteloos aan iemand geeft, het negende woord op de achtste regel van bladzijde tien te
zoeken. Verrassend maar waar: dit bord staat op de achterkant van je bord geschreven.
Uitleg
Aan de hand van een willekeurig voorbeeld, merk je snel dat we steeds hetzelfde getal vinden.
Bedenk een getal van drie cijfers: 782. Draai het om: 287. Trek het kleinste af van het grootste: 495.
Draai het om: 594. Tel de laatste twee getallen op: 1089.
Wiskunde achter de uitleg
We stellen de cijfers van het getal voor door letters. Het getal wordt dan abc en kunnen we ook
voorstellen door 100a + 10b + c. Als we dit getal omdraaien tot cba wordt dit 100c + 10b + a.
Het verschil van beide getallen kunnen we nu voorstellen door 100(a  c) + (c  a) = 99(a  c).
Neem deze 99-vouden eens onder de loep: 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891. We
bekijken enkel die getallen met drie cijfers en merken dat een getal met zijn ‘omgedraaide’
getal voorkomt. Het tweede cijfer is altijd een 9. Bovendien is de som van het eerste en het
laatste ook altijd 9. In de laatste stap moeten we twee 99-vouden optellen die elkaars
‘omgedraaide’ zijn. De som van de eenheden en van de honderdtallen zal dus 9 zijn en de
tientallen bij beide getallen is 9, met een som van 18. We krijgen 100  9 + 10  18 + 9 = 1089.
Bruikbaarheid in wiskundelessen
Deze truc past perfect in een les rond modelleren en rekenen met letters. Door de truc voor
verschillende getallen uit te voeren, merkt men al snel dat het resultaat altijd 1089 is. De basisvraag
aan de leerlingen is: “Kun jij een verklaring bedenken?” De leerstof van de eerste graad volstaat,
maar ook oudere leerlingen kunnen er zoekplezier aan beleven.
2
DE LAATSTE DRIE
Voorbereiding
Neem een standaard spel kaarten, maar haal hier de eventuele jokers en extra kaarten uit.
Uitvoering
Neem de kaarten in de hand en schud het pakje voldoende. De volgorde van de kaarten in de stapel
moet willekeurig zijn om het effect bij de leerlingen te vergroten. Geef het pakje speelkaarten aan
een van de leerlingen. Vraag hem om drie willekeurig gekozen kaarten uit het pak te halen en goed
te bekijken. Hij mag ze jou echter niet tonen! De overige kaarten neem je terug in de hand.
Tip: laat de leerling de kaarten op een blad papier noteren om discussie te voorkomen op het einde
van de truc.
Schema
Terwijl de leerlingen de kaarten bekijken en memoriseren,
maak je drie stapeltjes: een stapeltje met tien kaarten en
twee stapeltjes met elk vijftien kaarten. Deze drie stapels
leg je gedekt op de tafel. De overige negen kaarten hou je
in je hand. In eerste instantie kun je deze stapeltjes
stiekem maken, zodat de leerlingen niet meteen weten
hoeveel kaarten er in elk stapeltje zitten. Als ze dan later
zelf op zoek gaan naar een verklaring, kun je ze best
inlichten over deze verdeling.
K = kaarten in de stapel
L = kaarten van de leerling
Op tafel liggen naast elkaar:
10 K
15 K
15 K
9K
Laat de leerling een van zijn kaarten op het stapeltje van tien leggen. Vervolgens mag hij de tweede
stapel (één van de stapels van vijftien kaarten) willekeurig snijden en het afgenomen deel op de
stapel van tien (plus de eerste gekozen kaart) leggen. Vervolgens neemt de leerling zijn tweede kaart
en plaatst die op de stapel die hij net gesneden heeft. Hij plaatst deze stapel zo op de eerste stapel.
Hij snijdt de derde stapel en legt het afgenomen deel op de tweede stapel die bovenop de eerste ligt.
Tot slot plaatst hij zijn derde kaart op de
overgebleven kaarten. Deze stapel wordt op de
andere geplaatst, waardoor er enkel een grote stapel
overblijft met daarin de drie gekozen kaarten. Jij legt
de negen kaarten uit jouw hand bovenop de stapel.
“Hierdoor,” kun je nu vertellen, “zijn de kaarten op
willekeurige manier bedolven in de grote stapel. Ik zal
ze nu tevoorschijn toveren, maar eerst moeten er
drie kaarten van boven naar beneden. Die staan
symbool voor jullie drie gekozen kaarten. Vervolgens
moet er nog een vierde kaart van boven naar
beneden, omdat er blijkbaar storing zit op de
telepathische verbinding.” Als je dat gedaan hebt,
start de onthulling van de drie geselecteerde kaarten.
Opstelling vóór het
verplaatsen van de
vier kaarten
9K
1L
(15 – j) K
jK
1L
(15 – i) K
iK
1L
10 K
Opstelling na het
verplaatsen van de
vier kaarten
5K
1L
(15 – j) K
jK
1L
(15 – i) K
iK
1L
14 K
Draai de bovenste kaart om. We zeggen dat je de kaart in de zogenaamde op-positie plaatst. Hierbij
ziet iedereen de bedrukte kant van de kaart. De volgende kaart leg je gedekt neer naast de vorige
kaart. De derde kaart draai je opnieuw in de op-positie en plaats je op de eerste kaart in deze positie.
Dit blijf je herhalen. Zo draai je afwisselend kaarten in de op- en neer-positie en creëer je twee
stapels: een op- en neer-stapel. Als je alle kaarten doorlopen hebt, schuif je de stapel kaarten in de
op-positie aan de kant en herhaal je het proces met de kaarten in neer-positie. Let hierbij goed op
dat je telkens de bovenste kaart in de op-positie brengt. Na een tijdje hou je drie kaarten in de neerpositie over. Laat ze aan de leerlingen zien. Als alles goed is verlopen, zijn dat de gekozen kaarten van
je leerling.
Uitleg
Vóór je de vier kaarten naar beneden verhuisde, bestond de stapel uit, van boven naar onder, 9
kaarten, de derde ‘leerling’ kaart, 15 kaarten, de tweede ‘leerling’ kaart, 15 kaarten, de eerste
‘leerling’ kaart en tot slot 10 kaarten. Het snijden van de hoopjes maakt niets uit. Door de vier
kaarten naar beneden te sturen, zorg je ervoor dat de gekozen kaarten op de, van boven gezien,
zesde, tweeëntwintigste en achtendertigste plaats belanden. Er zullen steeds 15 kaarten tussen
zowel gekozen kaart twee en drie, als tussen gekozen kaart twee en één zitten. De reden waarom we
de kaarten net op die posities inbrengen, wordt in de volgende paragraaf duidelijk.
Wiskunde achter de uitleg
We kiezen hier niet zomaar voor het op-neer-proces.

Tijdens de eerste uitvoering scheiden we de kaarten op even en oneven posities. De kaarten op
een even positie komen in de neer-positie terecht. Tegelijk is de volgorde omgewisseld: kaart 2
ligt onderaan, daarop ligt kaart 4 ... en bovenaan ligt kaart 52. De kaarten in de op-positie schuif
je aan de kant en je werkt dus verder met kaarten die op even posities zaten.

Met deze kaarten herhalen we het proces. We verdelen de stapel dus opnieuw in twee. De
kaarten op de viervoud-posities (52, 48, 44, ..., 4) komen nu in de op-positie en worden
geëlimineerd. De kaarten waar we mee verder werken (neer-positie) zijn nu, van boven naar
onder: 2, 6, 10, 14, 18, ... ,50. De posities zijn de even getallen die geen viervoud zijn, anders
gezegd, de getallen van de vorm 4k + 2 met k = 0, 1, 2, ..., 12.

Vervolgens worden de kaarten 2, 10, 18, ..., 42, 50 geëlimineerd (achtvouden plus 2) en werken
we verder met, van boven naar onder: 46, 38, ..., 14, 6 (de achtvouden plus 6).

Uiteindelijk elimineer je ook 46, 30 en 14 (de 16-vouden plus 14) en blijven de 16-vouden plus 6
over. Dit zijn precies de kaarten die oorspronkelijk op positie 6, 22 en 38 zaten. Dat zijn de
kaarten die door de leerling gekozen werden.
Bruikbaarheid in de wiskundelessen
Deze truc kun je perfect gebruiken als opwarmer voor de lessen rond deelbaarheid of euclidische
deling in de eerste graad (A-stroom). Het zal je les een zekere aantrekkelijkheid geven en, ondanks de
moeilijkheidsgraad, kun je zelfs de leerlingen uitdagen om de truc zelf te verklaren. Hiertoe moet je
ze misschien enkele tips geven, bv. dat ze moeten letten op het aantal kaarten tussen de gekozen
kaarten.
Een leuke aanvulling is de leerlingen varianten te laten bedenken. Zijn er misschien andere
mogelijkheden, zoals bijvoorbeeld 13 kaarten tussen de gekozen kaarten? Heb je dan steeds 52
kaarten nodig?
3 SYMBOOL VOORSPELLEN
Voorbereiding
Voor je aan deze truc kunt beginnen, heb je het onderstaande schema nodig.
Uitvoering
Laat je leerling een getal kiezen dat uit twee cijfers bestaat. Laat hem de som van de cijfers nemen en
van het gekozen getal aftrekken. Bijvoorbeeld: de leerling kiest 73. Dan berekent hij: 73 – (7 + 3).
Toon het schema en laat hem het symbool memoriseren dat bij zijn uitkomst hoort. Je kunt nu de
‘show’ starten. Zeg de leerling goed te denken aan het symbool. Doe alsof je je concentreert om zijn
gedachten te lezen. Neem een stukje krijt of een pen en teken het symbool.
Uitleg
De berekening levert altijd een negenvoud op. De leerling is zo gefocust op zijn getal en het
bijbehorende symbool, dat hij in eerste instantie de tabel niet grondig zal bestuderen. Doet hij dit
wel, dan zal het al snel opvallen dat bij de negenvouden – behalve bij 90  telkens hetzelfde symbool
getekend staat. Je moet dus, voor het uitvoeren, enkel kijken welk symbool er bij de negenvouden
staat.
Als je de truc meer dan één keer uitvoert, zorg je best voor verschillende versies van het schema om
te vermijden dat hetzelfde symbool telkens weer uit de bus komt. Je kunt de schema’s afdrukken van
de website [3.1]. In een klas met internet kun je ook de versie van deze website gebruiken; het
schema verandert dan automatisch.
Wiskunde achter de uitleg
De leerling kiest een willekeurig getal met twee cijfers; dit kunnen we voorstellen door 10a +b.
Hiervan moet hij a + b aftrekken (de som van de cijfers) en dat levert het volgende op:
10a  b   a  b   9a , een negenvoud. Bij alle negenvouden vind je in het bovenstaande schema een
zeshoek. Bij 90 is dit niet nodig omdat de leerling nooit 90 als uitkomst zal krijgen.
Bruikbaarheid in de wiskundelessen
De verklaring van deze truc laat de kracht zien van het rekenen met letters, een belangrijk onderwerp
in de eerste graad. Door de cijfers voor te stellen door letters a en b, voer je de berekening in feite
uit voor alle getallen van twee cijfers tegelijk. Het is ook belangrijk dat de leerlingen leren om het
getal te schrijven als 10a + b en niet als ab (want dit stelt het product van de cijfers voor).
Je kunt de leerlingen begeleiden met het aanbieden van verschillende tips. Je kunt bv. fiches uitdelen
waarop je, aangepast aan het niveau van de leerlingen, meer of minder informatie prijsgeeft.
Fiche 1
Stel het getal voor m.b.v. letters.
Fiche 2
Stel de twee cijfers van het getal voor door twee verschillende letters. Schrijf dan het
getal als een formule, rekening houdend met tientallen en eenheden.
Fiche 3
Je kunt een getal met twee verschillende cijfers a en b als volgt voorstellen: 10a + b.
Herhaal nu op deze voorstelling van je getal de bewerking die je moest uitvoeren.
Fiche 4
Schrijf voor een vijftal getallen uit wat je doet en vergelijk de uitkomsten die je krijgt met
elkaar. Zie je een verband tussen deze uitkomsten? Bekijk de tabel nauwkeurig. Welk
symbool staat er bij alle vijf de uitkomsten? Tracht nu de truc te doorgronden en schrijf
je bevinding uit in enkele verstaanbare zinnen.
4 REKENTRUCJES
4.1 IK LEES JE GEDACHTEN : OPTELSOM OF PRODUCT
Voorbereiding
Deze truc vereist geen enkele voorbereiding.
Uitvoering
Laat een leerling een willekeurig natuurlijk getal groter dan 2 in gedachten nemen. Laat hem zowel
de voorganger van het getal als het volgende getal erbij optellen. Vraag hem de uitkomst. Doe alsof
je zijn gedachten leest en onthul zijn gekozen getal. Meestal zullen de leerlingen vragen de truc te
herhalen. Om de truc niet meteen te moeten verklaren, kun je terugvallen op een variant van deze
truc. Laat één of alle leerlingen opnieuw een natuurlijk getal kiezen groter dan 2, maar ditmaal
moeten ze de voorganger van het getal vermenigvuldigen met de opvolger van het getal. Laat enkele
leerlingen hun uitkomst meedelen. Je kunt weer het oorspronkelijke getal raden.
Uitleg
1. De uitkomst die de leerling verkrijgt, is het drievoud van het gekozen getal. Je moet dus enkel
delen door drie om zo de ‘gedachten te lezen’.
2. Tel bij het antwoord van de leerling 1 op en neem dan de vierkantswortel. Dit zal het
oorspronkelijke gekozen getal zijn.
Wiskunde achter de uitleg
De wiskunde achter deze truc is vrij eenvoudig te achterhalen. De leerling telt in
feite driemaal hetzelfde getal op. De voorganger van het gekozen getal en de
opvolger van dat gekozen getal vormen samen het tweevoud van het gekozen getal. Je vindt
hiernaast een visualisatie. Je kunt er ook voor kiezen om dit probleempje door letters voor te stellen:
 n  1  n   n  1  3n .
De variant van deze truc is ook eenvoudig te verklaren. Stel dat de leerling
het getal zeven kiest, hij zal dan 6  8  48 krijgen. Door de bewerking krijg
je steeds één minder dan het kwadraat van het gekozen getal. Hiernaast
vind je weer een visualisatie. Het product van de voorganger en de
opvolger kun je voorstellen als een rechthoek van stippen waarvan de
lengte 2 meer is dan de breedte. Mits toevoeging van een eenheid kun je
de rechthoek tot een vierkant ‘herschikken’.
Algebraïsch is dit een mooie toepassing op een merkwaardig product:  n  1   n  1  n2  1 .
Bruikbaarheid in de wiskundelessen
Je kunt een les voor de eerste graad opbouwen met tips op verschillende niveaus. De leerlingen
kunnen ervoor kiezen om het probleem zonder tips op te lossen of met een hulpfiche. Hierbij kunnen
ze kiezen uit de volgende drie fiches.
Fiche 1 Stel het getal voor door n.
Fiche 2 Stel het getal voor door n. Stel vervolgens de voorganger en de opvolger voor. Maak voor
truc 1 de som van de getallen, wat vind je? Maak voor truc 2 het product van de voorganger
en de opvolger, wat vind je?
Fiche 3 Vul de volgende tabel aan. Onderaan in de tabel probeer je te veralgemenen wat je vond.
kies een getal
voorganger
opvolger
som van de
drie getallen
5
4
6
15
product
voorganger en
opvolger
24
verband met
het getal dat
je koos
N
4.2 SNEL REKENEN MET DE RIJ VAN FIBONNACI
Voorbereiding
Geen voorbereiding nodig. Je hebt bord, krijt, papier en pen nodig.
Uitvoering
Vraag een leerling om op het bord onder elkaar twee willekeurige getallen kleiner dan 10 te
schrijven. Ga met je rug naar het bord staan zodat je niet kunt zien wat je leerling noteert. Geef de
volgende rekenopdrachten: “Tel de twee getallen op en schrijf deze som onder de twee getallen. Tel
nu het tweede en het derde getal op en schrijf dit onder de drie vorige. Blijf dit doen tot je dertien
getallen onder elkaar hebt staan in een verticale kolom.” Als je leerling klaar is draai je je om, trek
een lijn onder de tien eerste getallen en vraag de leerling de som te maken van deze tien getallen.
Ondertussen schrijf jij op een andere plek van het bord of op een papiertje een getal en geef het aan
een andere leerling. Wat blijkt… het door jou genoteerde getal is de gevraagde som.
Uitleg
Je trekt van het voorlaatste getal (het twaalfde) het tweede getal af. Het dertiende getal laat je enkel
opschrijven om de aandacht van de truc af te leiden.
De wiskunde achter die uitleg
De leerling creëert een rij van getallen die doet denken aan de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
waarbij telkens de som gemaakt wordt van de twee voorgaande getallen in de rij. We kunnen deze rij
voorstellen als de rij { ti } met als recursief voorschrift: tn 2  tn  tn1 waarbij t1  t2  1 . Bij een
‘willekeurige rij van Fibonacci’ zijn de eerste twee termen niet noodzakelijk één of gelijk. De rij die de
leerling hierboven vormt is dus een willekeurige rij van Fibonacci { f i } met als recursief voorschrift:
f n 2  f n  f n1 . Eén van de identiteiten voor getallen uit elke rij van Fibonacci is de volgende:
f1  f 2 
 f n  f n 2  f 2 (1)
De som van de eerste tien getallen is dus inderdaad het twaalfde getal min het tweede.
Bruikbaarheid in wiskundelessen
Deze truc is geschikt als inleiding voor een les over rijen. Zo vindt hij een plaats in de tweede graad of
als warmmaker bij een herhalingsles in de derde graad. De leerlingen moeten de volgende begrippen
in de vorige lessen geleerd hebben: recursief voorschrift van een rij en de som van een eindig aantal
termen van een meetkundige rij. Het is juist deze som die de verklaring levert voor de truc.
De rij van Fibonacci komt in heel wat toepassingen voor en vormt een geschikte context om
leerlingen te leren bewijzen (zie bv. [10.1]). De getallen uit de rij voldoen aan identiteiten zoals (1)
waarvan de bewijzen toegankelijk zijn voor de leerlingen uit gemiddeld tot sterk wiskundige
richtingen. Andere identiteiten leveren mogelijks input voor varianten van de truc. Wat denk je van
t1  t3  t5 
 t2 n1  t2 n of t1  t2  t2  t3  t3  t4 
 t2 n1  t2n   t2n  als goochelinspiratie?
2
Een vraag die je aan leerlingen kunt stellen is precies om varianten te bedenken. De identiteit (1)
levert er alvast een aantal. Je kunt immers eender welke eindige som laten maken en snel het
resultaat vinden. Zo is de som van een rij van vijftien getallen, het zeventiende getal min het tweede
(zie [1.1]).
Een variant op bovenstaande truc die je in [1.1] vindt, is toegankelijk voor leerlingen van de eerste
graad. Hierbij laat je de leerling stoppen na het tiende getal en de som maken van deze getallen. Om
snel de som te vinden, onthoud je enkel het vierde getal geteld vanaf het onderste en
vermenigvuldig je dat met elf.
In een les ‘rekenen met letters’ kun je de leerlingen de rij getallen laten veralgemenen als volgt: a en
b zijn de willekeurige getallen van de leerling. De tien getallen die gevormd worden, zijn de volgende:
a, b, a  b, a  2b, 2a  3b, 3a  5b, 5a  8b, 8a  13b,13a  21b, 21a  34b . Nemen we de som van
deze tien getallen dan vinden we inderdaad 11 maal het vierde laatste getal:
a  b  a  b  a  2b  2a  3b  3a  5b  5a  8b  8a  13b  13a  21b  21a  34b
 a 1  1  1  2  3  5  8  13  21  b 1  1  2  3  5  8  13  21  34 
 55a  88b
 11 5a  8b 
Laten we de lesmogelijkheden van de goocheltruc voor de tweede graad verder bestuderen. We
kunnen de identiteit f1  f 2   f n  f n 2  f 2 op verschillende manieren bewijzen.
Een eerste mogelijk bewijs steunt op een bewijstechniek waarbij identiteiten lid aan lid opgeteld
worden om zo een nieuwe identiteit te creëren.
f1  f3  f 2
f 2  f 4  f3
f3  f5  f 4
f n  f n  2  f n 1
f1 
 f n  f n  2  f n 1  f n 1  f n 
f1 
 f n  f n2  f 2
 f 4  f3  f3  f 2
Een tweede mogelijk bewijs steunt op het expliciete voorschrift van de rij van Fibonacci en de
formule voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij. Het expliciete voorschrift is
heel wat moelijker dan het recursieve en komt in de handboeken vaak niet aan bod.
tn 


1
1 5
n
, de gulden snede.
n  1    met hierin  
2
5
Dit tweede bewijs is enkel bedoeld voor leerlingen die deze expliciete formules al eens zijn
tegengekomen.
Voor de rij van Fibonacci wordt de identiteit (1): t1  t2   tn  tn 2  1.
t1  t2 
n
n
i 1
i 1
 t n   ti  

1
i
i  1   
5

n 1
1  n i n
1  n 1  1 1     1 
i 




1




 


1    1 
5  i 1
5    1
i 1

n 1
n2
n2
1  n 1  1 1     1  1      1       1 













1



5    1
5





n  2  1   
5
n2

1  2
 tn  2  1
5
In de getallenrij f i komt de rij van Fibonacci als volgt bovendrijven:
a , t1b , t1a  t2b , t2 a  t3b ,
, t8a  t9b,
fi  ti 2 a  ti 1b voor i  3 met f1  a en f 2  b
of
In de truc moet de leerling de getallen optellen. Laat nu sn de som van de eerste n ‘Fibonaccitermen’ zijn. Dan vinden we voor de som die de leerling maakte de volgende veralgemening:
f1  f 2 
 f n  a 1  t1  t2 
 tn  2   b  t1  t2 
 tn 2  tn 1   a  1  sn 2   b  sn 1
 a 1  tn  1  b   tn 1  1  a  tn  b  tn 1  b  f n  2  f 2
Hiermee hebben we opnieuw de identiteit (1) aangetoond. De voorlaatste stap van het bewijs
hierboven levert aan Fibonacci-specialisten een variant. Als je de termen van de rij van Fibonacci
goed van buiten kent, dan kun je elke willekeurige som van een willekeurige Fibonacci-rij snel
berekenen
van
zodra
je
leerling
zijn
eerste
getallen
gekozen
heeft:
f1  f 2   f n  a  tn  b   tn1  1 .
5 DE ZES DOBBELSTENEN
Voorbereiding
Je hebt voor deze truc zes dobbelstenen nodig zoals op de
foto hiernaast. Elke dobbelsteen heeft een welbepaalde kleur
met op elk zijvlak een ander getal:

Blauw 855 657 459 954 558 756

Eigeel 377 872 971 179 278 773

Rood

Zwart 642 543 345 840 147 741

Groen 762 960 168 564 366 663
483 384 285 780 186 681
Uitvoering
Familiebezoek bij een redactielid. Luc vertelt: “Gisteren kwam mijn jongste nichtje, Lotte, op bezoek.
Ze was geïnteresseerd in mijn oude goocheldoos, die uit de speelgoedkast gehaald werd. De meeste
van de trucs kon ik nog uitleggen zonder in de handleiding te kijken. Maar de truc met de vijf
dobbelstenen is niet voor de hand liggend. Je werpt ermee en je kunt meteen de som zeggen ...
sneller zelfs dan iemand de getallen kan intikken op een rekenmachine.”
Uitleg
Om uit te leggen hoe het werkt, nemen we het voorbeeld van de foto. Tel de laatste cijfers op:
7  3  4  2  6  22 . Daarna trek je dit getal van 50 af: 50  22  28 . De gezochte som is 2822. Je
gelooft het niet? Reken maar na.
Wiskunde achter de uitleg
Het eerste wat opvalt is dat het tweede cijfer, dat van de tientallen, enkel afhangt van de
dobbelsteen en niet van welk zijvlak bovenaan ligt. De som van de tweede cijfers van de vijf
dobbelstenen is 30. Dit geeft een vast aandeel van 300 in de som van de vijf getallen.
Het volstaat dus te kijken naar de buitenste cijfers, die van de honderdtallen en de eenheden. De
som van deze buitenste cijfers is ook weer enkel afhankelijk van de dobbelsteen. Bij blauw is de som
13, bij eigeel 10, bij rood 7, bij zwart 8 en bij groen 9. De volledige som zal bijgevolg enkel afhangen
van de som van de laatste cijfers. Laten we dit eens in detail narekenen.
Noem de laatste cijfers volgens de kleur van de dobbelsteen b, e, r, z en g. Dan is het eerste cijfer van
blauw 13  b en analoog ken je nu alle cijfers voor de honderdtallen. De som van de vijf getallen is:
100  13  b  10  e  7  r  8  z  9  g   10  30   b  e  r  z  g 
 4700  100   b  e  r  z  g   300   b  e  r  z  g 
 5000  100   b  e  r  z  g    b  e  r  z  g 
 100   50   b  e  r  z  g     b  e  r  z  g 
Hiermee is de truc aangetoond: maak de som van de laatste cijfers, trek dit getal af van 50. Dit
laatste getal vermenigvuldigd met 100 levert de eerste twee cijfers van de uitkomst. Tel hierbij de
som van de eenheden op en dit geeft de totale som.
Bruikbaarheid in wiskundelessen
Deze truc past weer perfect in een les rond modelleren en rekenen met letters. De basisvraag aan de
leerlingen is: “Kun jij een verklaring bedenken voor de werking van deze stenen?” De leerstof van de
eerste graad volstaat, maar ook oudere leerlingen kunnen er zoekplezier aan beleven.
6 DE KRACHTIGE DRIE
Voorbereiding
Neem een gewoon pak met 52 speelkaarten. Haal de koningen, dames en boeren uit het pakje.
Uitvoering
Overhandig de kaarten aan een van de leerlingen en laat hem de
kaarten schudden. Vertel de leerling dat hij zo meteen drie
kaarten uit het pakje moet trekken. Draai je om zo dat je niet ziet
welke kaarten er getrokken worden. Stel dat hij, zoals op de
figuur hiernaast, de kaarten drie, vijf en acht trekt.
Vervolgens moet de leerling de waarde van elke kaart vermenigvuldigen met drie. Hierbij heeft de
aas de waarde één. Vertrekken we van het voorbeeld, dan moet de leerling drie vermenigvuldigen
met drie en verkrijgt hij negen. Laat de leerling een kaart met waarde negen uit het pak nemen en
die op de volgende rij leggen. Als je vijf vermenigvuldigt met drie, krijg je vijftien. Helaas is hier geen
speelkaart voor. In zulke gevallen moet de leerling de waarde vormen met meerdere kaarten. Dat
doet hij als volgt: vijftien wordt gevormd door een aas en een vijf, vierentwintig door twee en vier.
Laat de leerling de eerste drie kaarten terug in het hoopje kaarten steken. Daarna moet hij de
kaarten die op tafel liggen, schudden en één voor één op de tafel leggen. Laat hem de vorige stap
(het vermenigvuldigen met drie) herhalen. In de figuur hieronder zie je het resultaat na de tweede
vermenigvuldiging. Mogelijk heb je voor deze bewerking meer azen nodig dan er voorzien zijn in het
spel. Je mag twee azen dan vervangen door een twee of drie azen door een drie.
Tot slot mag de leerling de bovenste rij kaarten weer wegsteken en de laatste rij kaarten schudden
zoveel hij wil. Hij kiest uit deze kaarten één kaart en legt deze gedekt op tafel (de grijze kaart
hieronder). De overige kaarten blijven liggen. Jij bekijkt wat er op tafel ligt en voorspelt de waarde
van de gedekte kaart!
Uitleg
Je moet enkel de zichtbare kaarten optellen en deze som aftrekken van het eerst volgende
negenvoud. Het verschil zal automatisch de waarde van de gedekte kaart zijn.
In het voorbeeld hierboven krijg je vierentwintig als je alle zichtbare kaarten optelt. Vierentwintig is
geen negenvoud en het eerst volgende negenvoud is zevenentwintig. De gedekte kaart heeft dus
waarde drie.
De eerste drie gekozen kaarten zijn van geen belang. Je mag dus nooit zeggen dat je die kaarten zal
voorspellen! Nee, zeg eerder: “Kies drie willekeurige kaarten uit het pak. Ik zal de waarde van één
kaart voorspellen. Maar iedereen heeft zijn lievelingskaarten, dus zou het niet eerlijk zijn om nu de
drie kaarten in je hand te voorspellen. Dat is trouwens te eenvoudig voor mij, als goochelaar! Je gaat
enkele bewerkingen moeten uitvoeren en de kaart die je dan uitkomt, zal ik voorspellen!”
Wiskunde achter de uitleg
Zoals je in de uitleg kon lezen, zijn de eerste drie kaarten van geen belang. Wat echter wel belangrijk
is, is dat de leerling op een ‘verdoken manier’ vermenigvuldigt met negen. Door het opsplitsen van
de truc in kleine stappen/onderdelen (er is twee keer met drie vermenigvuldigd), valt dit minder op.
Laten we de eerste drie kaarten willekeurig voorstellen door a, b en c. De eerste stap van de truc is
het vermenigvuldigen van elke waarde met drie. Dit geeft ons: 3a, 3b en 3c. Na deze stap heeft de
leerling dan tussen de drie en de zes kaarten. De kaarten die na deze stap op tafel liggen, stellen de
cijfers voor van de drievouden 3a, 3b en 3c. Als je deze allemaal optelt, krijg je een drievoud.
Vervolgens mag de leerling de verkregen kaarten schudden, waardoor de volgorde van de kaarten
willekeurig wordt. De leerling vermenigvuldigt elk cijfer met drie en legt kaarten die
overeenstemmen met de cijfers van deze nieuwe drievouden. Er is nu geen directe relatie meer met
de oorspronkelijke getallen a, b en c. Tellen we echter de waarden van de laatste rij kaarten op, dan
vinden we een negenvoud. De kaart die bedekt is, moet bijgevolg de waarde hebben van de som van
de zichtbare kaarten afgetrokken van het eerstvolgende negenvoud.
Bruikbaarheid in de wiskundelessen
Deze truc kan gebruikt worden tijdens de lessen rond veelvouden of de kenmerken van deelbaarheid
in de eerste graad. Daarnaast wordt er ook gebruik gemaakt van het rekenen met letters. We geven
hieronder twee mogelijkheden om in de klas rond wiskundige vaardigheden te werken, vertrekkend
van deze truc.
We werken eerst rond deelbaarheid en we gebruiken het concrete voorbeeld (zie hoger) om op te
redeneren. De drievouden van de oorspronkelijke getallen 3, 5 en 8 zijn respectievelijk 9, 15 en 24.
Als we van elk drievoud de cijfers optellen, krijgen we 9, 6 en 6. Dit zijn allemaal veelvouden van 3 en
illustreert het deelbaarheidskenmerk ‘Een getal is deelbaar door drie als en slechts als de som van de
cijfers deelbaar is door drie.’ Elke som kunnen we dus voorstellen als 3n met n een natuurlijk getal.
Zo is 9  3n, 1  5  3m en 2  4  3 p . In het vervolg van de truc beschouwen we de cijfers waaruit
deze getallen opgebouwd zijn: 9, 1, 5, 2 en 4. Als we deze cijfers optellen (niet nodig in de truc)
krijgen we 21 en dit is uiteraard een veelvoud van 3. Met de notatie hierboven maken we dit mooi
visueel:
9  1  5  2  4  3n  3m  3 p  3 n  m  p  .
In de volgende stap vermenigvuldigen we elk cijfer nogmaals met 3. Zo levert 9 levert het getal 27, de
cijfers 1 en 5 geven de getallen 3 en 15 en de cijfers 2 en 4 worden vermenigvuldigd tot de getallen 6
en 12. De som van deze getallen is een veelvoud van 9:
27  3  15  6  12  3   9  1  5  2  4   3  3  n  m  p   9  q .
We kunnen naar aanleiding van deze truc ook het kenmerk van de deelbaarheid door 9 aantonen
voor een getal met een vast aantal cijfers. Het veralgemenen van het voorstellen van getallen m.b.v.
cijfers is een zinvolle techniek om in een wiskundeles te behandelen. Hieronder vind je een bewijs
waarbij we vertrekken van een getal bestaande uit vier cijfers a, b, c en d. Merk op dat deze cijfers
niets meer te maken hebben met de ‘kaartengetallen’ hierboven.
a.1000 + b.100 + c.10 + d
= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d
= a + b + c + d + 999a + 99b + 9c
= a + b + c + d + 9(111a + 11b + c)
Als nu de som van de cijfers een negenvoud is, is het getal zelf de som van twee negenvouden en dus
zelf ook een negenvoud. Omgekeerd, als het getal een negenvoud is, dan is de som van de cijfers een
negenvoud (als verschil van twee negenvouden):
a.1000 + b.100 + c.10 + d  9(111a + 11b + c) = a + b + c + d.
7 MEETKUNDIG VERDWIJNEN
Voorbereiding
De hele truc is opgebouwd rond een doosje dat in totaal 7
eenheden lang, 6 eenheden breed en 1 eenheid hoog is zoals op de
coverfoto. In het doosje zitten puzzelstukjes die het geheel
opvullen. Verder heb je twee extra puzzelstukjes nodig: een balkje
van 2 op 1 op 1 en kubusje van 1 op 1 op 1. In de figuur hiernaast
tekenen we de tweedimensionale variant (het bovenaanzicht)
waarop we in het vervolg van deze paragraaf verder redeneren. De
puzzelstukjes hebben een welbepaalde vorm, zoals je op de
afbeelding kunt zien.
Leg het doosje zichtbaar voor de klas. Stop vooraf de twee extra
blokjes in je jas- of broekzak. Goochelaars dragen vaak jassen met
mouwen en zakken… waar ze vooraf een en ander in verstoppen.
Uitvoering
Fig. 1
Je vertelt dat je op de zolder van een oud huis in een houten
doosje-met-schuifdeksel een bijzondere houten legpuzzel
gevonden hebt. Er zat een briefje bij waarop stond dat de
puzzel eigenlijk onoplosbaar is en dat hij moeilijk weer in elkaar
gelegd kan worden. Uiteraard ben je uitgedaagd en heb jij de
puzzel gevonden. Benieuwd of de leerlingen even snugger zijn.
Om na te gaan of dat inderdaad zo is, keer je het doosje om,
zodat de stukjes op tafel vallen en roer je ze door elkaar. Roep
de hulp van een leerling in en daag hem uit om met de stukjes
weer een rechthoek te maken die in het doosje past. Laat de
leerling zijn gang gaan. Wellicht vindt hij na een tijdje de puzzel.
Maar… je voelt in je broek-, vest- of jaszak en wat merk je? Je
vindt nog een balkvormig puzzelstukje. Dat zou er nog bij
moeten. De leerling bekijkt alles en vermoedt wellicht dat het stukje er niet bij zal kunnen… het
doosje is immers vol. Kieper het doosje terug om, begin aan de puzzel en tot grote verbazing maak jij
opnieuw een rechthoek in het doosje met het extra puzzelstukje er bij. Je voelt opnieuw in je zakken
en wat vind je? Inderdaad, nog een stukje en wel een kubusje. Je maakt de puzzel nogmaals en krijgt
hem na wat proberen netjes terug in het doosje. Hoe kan dat?
Uitleg
Het doosje in de beginsituatie ziet eruit als figuur 1 hierboven. Het is goed gevuld met 9
puzzelstukjes. Als je de eerste maal de stukjes op de tafel gooit, neem je onopvallend een stukje (a)
weg. Dit is een stukje van 3 op 1. Je vult dus het doosje met slechts 8 stukjes. De oppervlakte
verkleint van 42 (oppervlakte)eenheden naar 39 eenheden. De leerling of jij maakt de puzzel zoals in
figuur 2 van de volgende bladzijde. De blokjes zullen nu iets losser in de doos zitten door het kleine
verschil in gevulde oppervlakte. Vervolgens is het verhaal dat de twee puzzelstukjes (b) en (c) netjes
de ruimte van (a) kunnen opvullen. De puzzel is zo gemaakt dat dit op twee manieren kan gebeuren.
Het maakt niet uit welk blokje je eerst uit je broekzak tovert. In figuur 3 hieronder zie je de puzzel als
eerst blokje (b) bijgevoegd wordt, in figuur 4 is blokje (c) eerst uit de broekzak ‘getoverd’. Wanneer
we beide blokjes toevoegen, krijgen we terug de situatie uit figuur 1.
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
De wiskunde achter die uitleg
Het geheel is gebaseerd op gezichtsbedrog. De doos blijft natuurlijk even groot, maar de rechthoek
gevormd door de puzzelstukken verandert (lichtjes) van oppervlakte. De rechthoek in figuur 2 heeft
de kleinste oppervlakte, gevolgd door de rechthoeken in figuur 4 en figuur 3. Wanneer zowel (b) als
(c) zijn toegevoegd, heeft de rechthoek terug de oorspronkelijke oppervlakte als in figuur 1.
Bruikbaarheid in de wiskundelessen
Deze puzzel kan gebruikt worden in de eerste graad om de leerlingen te laten nadenken over de
verdwenen oppervlakte. Enkele vragen die je kan stellen bij figuur 2.

Hoeveel kleiner is de oppervlakte van de totale rechthoek als rechthoek (a) is weggenomen?

Wat is de oppervlakte van rechthoek (a)? Welke breedte heeft een rechthoek met lengte 7
en dezelfde oppervlakte als rechthoek (a)?
Bij figuren 3 en 4 kun je analoge vragen stellen.
De puzzel is nauw verwant met Curry’s Paradox [12.2], waarop we nu ingaan. Hij is genoemd naar
Paul Curry, een amateurgoochelaar uit New York die de paradox verzon. De puzzel is inzetbaar bij
lessen in alle graden. Hij biedt concreet materiaal voor leerstofonderdelen van de tweede graad en
uitbreiding in de derde graad.
We zien in elke figuur hieronder drie driehoeken A, B en C. In figuur 2 zijn driehoeken B en C van
plaats verwisseld t.o.v. in figuur 1. In figuur 2 zijn er echter 16 gearceerde vierkantjes en in figuur 1
slechts 15.
Fig. 1
Fig. 2
Bekijken we de figuren hieronder, dan merk je dat de twee gearceerde rechthoeken van figuren 1 en
2 in 2 stukken D en E verdeeld zijn. Het maakt het geheel tot iets merkwaardigs. Als we de
driehoeken B en C en de stukken D en E herschikken, krijgen we een figuur met een gat in, zoals in
figuur 4.
Fig. 3
Fig. 4
De paradox vindt zijn verklaring bij het leerstofonderdeel ‘vergelijkingen van rechten’. We bekijken
figuren 1 en 2 grondiger en definiëren een assenstelsel zodat het punt X als coördinaat  5,2  heeft
en Y als coördinaat 8,3 . Het lijkt alsof X en Y beide op de diagonaal van de rechthoek liggen. In
werkelijkheid is dat echter niet het geval.
Fig. 5
Fig. 6
Je kunt dit behandelen in een les over de richtingscoëfficiënt van een rechte. We beschouwen enkel
figuur 5. Door ruitjes te tellen, kun je de richtingscoëfficiënt van de diagonaal aflezen. Die is
5
 0,3846 . Door de rechten OX en XP door X te beschouwen, kunnen we nagaan dat deze niet in
13
elkaars verlengde liggen en dus niet samenvallen met de diagonaal. De richtingscoëfficiënt van de
2
3
rechte OX is gelijk aan  0,4 en de rechte XP heeft richtingscoëfficiënt  0,375 . We merken
5
8
onmiddellijk dat de richtingscoëfficiënten verschillend zijn.
Je kunt evengoed in een les over de vergelijkingen van rechten, alle vergelijkingen laten opstellen en
de leerlingen de opdracht geven op deze figuur een goed gekozen assenstelsel te plaatsen. De
hoekpunten van de rechthoek krijgen de coördinaten O  0,0 en P 13,5 en de andere zonder naam
13,0 en 0,5 .
De vergelijking van de diagonaal is y 
5
x . Het punt X  5,2  ligt niet op de
13
25
 1,92 . Aangezien 2  1,92 weet je bovendien dat X ‘boven’ de diagonaal
13
ligt. De puzzelstukjes overlappen dus. Het verschil is echter minimaal, net zoals de oppervlaktes die
verdwijnen of bijkomen in het doosje hierboven. Het knelt een beetje.
diagonaal omdat 2 
De redenering op figuur 6 is analoog. Het hoekpunt Y van de gearceerde rechthoek zal er onder de
diagonaal liggen. Waar in figuur 2 of 5 het gezichtsbedrog zit in een hoekpunt dat eigenlijk boven de
diagonaal uitkomt en er dus oppervlakte te veel is om een rechthoek van 5 op 13 te vullen, is er in
figuur 1 of 6 oppervlakte te weinig. . In figuur 5 overlappen de puzzelstukken elkaar over een
bepaalde oppervlakte net boven de diagonaal. In figuur 6 is er een langgerekte opening over een
bepaalde oppervlakte net onder de diagonaal. Beide oppervlaktes zijn omwille van de symmetrie
even groot en vormen samen het mysterieuze verdwenen extra vierkantje. Het ligt als het ware
uitgespreid over de diagonaal. Je vindt hiervan een mooie illustratie op [12.6].
Via formules uit de analytische meetkunde kun je in de klas de leerlingen laten berekenen dat de
oppervlakte van de OPX 0,5 (oppervlakte)eenheid is.


194 1
5  5  13  2
1   oppOXP  2 194  2
d  X , OP  


194
194 
OP  132  52  194
Op een analoge manier vind je dat de oppervlakte van OPY gelijk is aan 0,5.
TOT SLOT
Goocheltrucjes kunnen leuk zijn, als afwisseling in de les, maar het is niet meer dan een hulpmiddel,
en dus op zichzelf even onbelangrijk als andere hulpmiddelen (bijvoorbeeld computers). De
wiskundige inhoud van de les en de keuze van de opgaven vinden we belangrijker dan de gebruikte
media. Afwisseling is de beste saus om leerlingen gemotiveerd en aandachtig te houden: denk dus
niet dat we ervoor pleiten om dagelijks of wekelijks te gaan goochelen.
Bibliografie
De bibliografie is ingedeeld per paragraaf. Het getal vóór het punt is het paragraafnummer.
[1.1] J. van de Groep, Gegoochel met getallen, PrePressMediaPartners, Wolvega, 2006
[1.2] G. Verbeeck, L. Van den Broeck, Hoeveel planeten van ons zonnestelsel hebben een maan?, Uitwiskeling
22/2 (2006)
[2.1] The Final 3 - Amazing Math Card Trick (2009), http://www.youtube.com/watch?v=oLjEulT6ssM,
geraadpleegd op 21 februari 2012
[3.1] Mindreader Nine (2009), http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Magic/MindReaderNine.shtml,
geraadpleegd op 30 januari 2012
[4.1] Themanummer Begründen, Mathematik Lehren 110 (2002)
[6.1] R. E. Neale. Tricks of the imagination, Hermetic Press, Inc., Seattle, Washington, 1991
[7.1] M. Tomatis, La magia dei numeri. Come scoprire con la matematica tutti i segreti del paranormale,
Kowalski, Milano, 2010
[8.1] zie [7.1]
[9.1] Power of three Mathematical Card Trick (2009), http://www.youtube.com/watch?v=7-x_vskp6fM,
geraadpleegd 21 februari 2012
[10.1] albrecht-durer.org (2002), http://www.albrecht-durer.org, geraadpleegd op 20 februari 2012
[11.1] W. Kleijne, T. Konings, De gulden snede, Zebraboekje nr. 4, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 5de druk 2010
[11.2] Zie [1.1].
[11.3] M. Gardner, Mathematics Magic and Mystery, Dover Publications, New York, 1956
[12.1] J. van de Groep, Gegoochel met getallen, Nascholing CNO, Universiteit Antwerpen.
[12.2] Geometrical vanishes, http://library.thinkquest.org/28049/geometrical_vanishes.htm, geraadpleegd op 3
december 2011
[12.3] Curry’s paradox: how is it possible,
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Fallacies/CurryParadox.shtml, geraadpleegd op 3 december
2011
[12.4] Missing square puzzle solution,
http://www.youtube.com/watch?v=ExUV3GOTDqE&feature=endscreen&NR=1, geraadpleegd op 3
december 2011
[12.5] Triangle paradox solution, http://www.youtube.com/watch?v=vvVTfUNSgzI, geraadpleegd op 3
december 2011
[12. 6] Curry’s paradox: solution, http://www.youtube.com/watch?v=h8RJ-8S6Ouo, geraadpleegd op 3
december 2011
[14.1] J. Aerts, De stelling van Jordan, Pythagoras 44/2 (2004), 4-7
[15.1] M. Kindt, J. de Lange, Hewet wiskunde: kansverdelingen, Educaboek, Culemborg, 1985
[15.2] http://www.random.org/analysis/Analysis2005.pdf (vanaf p. 50), geraadpleegd op 24 februari 2012
[15.3] http://www.csun.edu/~hcmth031/LongRunPredictions.pdf, geraadpleegd op 24 februari 2012