Tensoren

Algemene relativiteitstheorie
HOVO cursus
Jo van den Brand
Les 2: 12 november 2015
Copyright (C) Vrije Universiteit 2015
Differentiaaltopologie
Ruimte: verzameling met structuur
3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn
4D ruimtetijd in ART met lokaal een
Minkowski structuur
Temperatuur als scalarveld
Topologische objecten in een ruimte
Scalarveld
Vectorveld
In het algemeen: tensorveld
Tensoren: geometrische grootheden, los
staand van eventuele referentiesystemen
Relativiteitsprincipe: de natuurwetten zijn
onafhankelijk van de keuze van het
referentiesysteem
Door gebruik te maken van tensoren kan een
beschrijving verkregen worden die
onafhankelijk is van het referentiesysteem
Ruimtetijd heeft additionele structuur: metrische
tensor, waardoor we inproduct kunnen definiëren
Oppervlaktewind als vectorveld
Differentieerbare variëteit
Puntgebeurtenis (event) is een primitief object
Vergelijk met punt in Euclidische meetkunde
Limietgeval van een gebeurtenis die op een
oneindig klein gebied plaats heeft en oneindig kort
duurt
Ruimtetijd: de verzameling van alle mogelijke
puntgebeurtenissen
Kaart: beschrijving van het `aardoppervlak’ met een
stukje R2 Atlas: verzameling kaarten van S
Kaarten kunnen verschillende afbeeldingen
geven in het overlapgebied
De relatie tussen deze coördinaten karakteriseert de
differentieerbaarheidsklasse van de variëteit
Variëteit lijkt lokaal op de Euclidische ruimte: hij is
`glad’ en heeft een bepaald aantal dimensies
Differentieerbare variëteit: S kan overdekt worden met (overlappende)
deelgebiedjes. De overgangen tussen de verschillende coördinatenstelsels zijn
voldoende vaak differentieerbaar
Metriek
Differentieerbare variëteit geeft ordening van
de verzameling
Berekenen van afstanden is echter niet mogelijk
zonder additionele informatie: de afstand tussen
Montreal en Parijs lijkt even groot als die tussen
Bogota en Lagos
Metriek: extra structuur die nodig is om
afstanden te bepalen
In de ART gebruiken we hiervoor de
metrische tensor
Curve
Pad: reeks verbonden punten in ruimtetijd
Curve: geparametriseerd pad
De afbeelding van een interval in R1 naar een pad in ruimtetijd
Er geldt
Als we de parameter vervangen door
Krijgen we een nieuwe curve
Deze curve beschrijft hetzelfde pad in ruimtetijd
Er zijn dus oneindig veel curven die hetzelfde pad beschrijven
Als parameter wordt typisch de tijd op de klok van een meereizende
waarnemer gebruikt (de eigentijd t)
Scalairveld
We definiëren een scalairveld
op elk punt van de variëteit
Neem aan dat deze functie overal gedifferentieerd kan worden
Denk aan de temperatuurverdeling van het aardoppervlak
We brengen een deel in kaart,
en op die kaart geldt
Voor een andere kaart geldt bijvoorbeeld
Het veld in elk punt in het overlapgebied verandert niet
Er geldt
In het algemeen geldt
En de inverse overgangsfuncties
Bestudeer het voorbeeld op bladzijde 69 van het dictaat
(zie http://www.nikhef.nl/~jo/quantum/qm/gw/dictaat.pdf )
Vectorveld
Vectoren: bekend van begrippen als snelheid en versnelling
Kunnen worden opgeteld en met een getal worden vermenigvuldigd
Topologisch object: onafhankelijk van referentiesysteem
Vectorveld dient in de variëteit te liggen, dus niet erbuiten
Vectorveld: horizontale windsnelheid op aardoppervlak
“Hairy ball” theorema
Vectorveld
De vectoren zijn gebonden aan hun plaats
We kunnen vectoren expanderen in een basis
We schrijven
De vector heeft componenten a en b in het referentiesysteem van
waarnemer , bijvoorbeeld het (x, y) systeem
We kunnen ook schrijven
Voor een andere waarnemer,
, geldt dan
Vectorveld
Basis: elke complete set kan gebruikt worden
De vector verandert niet als we een andere basis kiezen
Natuurlijke basis: gebruik richtingsafgeleiden
Tangentenruimte: raakruimte in punt P
Voorbeeld: Euclidische ruimte
Cartesische coördinaten
Niet-cartesische coördinaten
Er geldt
En ook
Natuurlijke basis
Vectorveld
Notatie
uitdrukken als
met basis
langs de coördinaten
Transformatie vectorcomponenten
Beschouw verplaatsingsvector
Notatie
In systeem
geldt
Transformatiegedrag
Notatie: index boven voor vectorcomponent
Definitie: een vector is een verzameling getallen
(de componenten in basis ) die transformeren volgens
Componenten in basis
zijn dus
De componenten
van een vector t.o.v. de natuurlijke basis
worden de contravariante componenten genoemd
Een dergelijk object noemen we ook een
tensor
Transformatie van de basis
Er geldt
Ook geldt
Hiermee vinden we de transformatiewet voor basisvectoren
Dat is de relatie tussen
en
We schrijven
We vinden
Notatie: index beneden voor basisvectoren
Basisvectoren transformeren tegengesteld aan vectorcomponten
Hier komt het woord `contravariant’ vandaan
Voor de inverse transformaties geldt
Deze notatie is van Jan Arnoldus Schouten
(een van de oprichters CWI in Amsterdam)
Verder nog
Voorbeeld: poolcoördinaten
O  x, y
O  r ,  
We hadden ook
Voorbeeld: poolcoördinaten
We hadden ook

Vector V
is onafhankelijk van coördinatenstelsel

    
e1  ex  i , e2  e y  j


'
V  V e  V e '
Gradiënt als 1- vorm
Beschouw wereldlijn van een waarnemer
Beschouw een scalairveld
Parametriseer wereldlijn met de eigentijd
Er geldt dan
De viersnelheid is
Duidelijk een viervector (verplaatsingvector gedeeld
door een getal)
Er geldt ook
De verandering van het veld op de wereldlijn (dat is de
afgeleide) is
Dit is de definitie van de gradient, de 1 – vorm met
componenten
Notatie:
Algemene tensorvelden
De
tensor heeft 2 vectorargumenten
Voorbeeld: inproduct van 2 vectoren (metrische tensor)
Voorbeeld: product van twee 1 – vormen
Als en de 1 – vormen zijn, dan is
Met argumenten
en
de gezochte
tensor
levert dit het getal
Dit noemen we het tensorproduct
Tensorproduct is niet commutatief:
De meest algemene
tensor
is geen eenvoudig tensorproduct
We kunnen het altijd schrijven als de som van dergelijke producten
Er geldt
De waarden zijn dan
In totaal heeft
dus 16 componenten
Tensorbasis
Kunnen we een basis vormen voor deze
Kunnen we 16 verschillende
tensor?
tensoren definieren, zodat
Dan dient te gelden
Dan moet dus gelden
We concluderen
De tensoren
vormen de basis voor alle
tensoren
Er geldt dus
Een algemene
tensor is een som over eenvoudige tensorproduct tensoren
Een
tensor is een lineaire afbeelding van M 1 – vormen en N vectoren naar de
reële getallen (zie het weer als een apparaat met M+N sleuven)
De tensor is een topologisch object, met componenten op de basis
en
Metrische tensor
Tot nu toe is onze variëteit een amorfe verzameling van topologische objecten
Er is geen connectie tussen vectorruimte en zijn duale.
Ook is er geen inproduct gedefinieerd: er is geen meetkunde
De
tensor g (van gravitatie) gaat dienst doen als metriek van de variëteit
Dan verkrijgen we een Riemannse variëteit
Definitie
Metrische tensor is symmetrisch
en lineair in zijn argumenten
De definitie maakt geen gebruik van componenten van vectoren
De metriek is weer een topologisch object
In basis
zijn de componenten van de metriek
Metriek als afbeelding
Metriek is een afbeelding tussen 1 – vormen en vectoren
Beschouw metrische tensor g en vector
Dan is
een functie van vectoren: een afbeelding naar reële getallen
We noemen het de 1 – vorm
Er geldt
Voor vector
vinden we dan
De componenten van
zijn
De relatie tussen vector en 1 – vorm is dus
in basis
We onderscheiden de componenten van de vector van die van de 1 – vorm enkel door de
positie van de index
De inverse van de metriek bestaat ook
Hiermee vinden we