9 Sport en verkeer

9 Sport en verkeer
Arbeid, energie en vermogen | vwo
Uitwerkingen basisboek
9.1 INTRODUCTIE
1
[W] Voorkennistest
2
a
b
c
d
e
f
De snelheid is constant, de resulterende kracht is nul, dus de luchtweerstand is even
groot als de zwaartekracht.
𝐹z = 𝐹w,l  𝑚 ∙ 𝑔 = 𝑘 ∙ 𝑣 2  88 ∙ 9,8 = 𝑘 ∙ 482  𝑘 = 0,37.
Er is een grote vertraging, maar er is tijd nodig om de snelheid te laten dalen.
In korte tijd verandert de snelheid veel, dus de versnelling is groot en de kracht ook.
Uit 𝑚 ∙ 𝑔 = 𝑘 ∙ 𝑣 2 blijkt dat als de snelheid 10 x zo klein wordt, dat k dan 100 keer zo
groot moet worden. De factor k is dus met een factor 100 toegenomen.
Groter, want de resulterende kracht is omhoog.
3
a
b
c
d
De luchtweerstand en de rolweerstand.
De glijwrijving, want die kracht heb je nodig om af te zetten tegen het wegdek.
De rolweerstand en de glijwrijving.
Bij het remmen werkt alleen de schuifwrijvingskracht, dus 𝐹res = 𝐹w,s. Verder kun je
gebruiken dat 𝐹res = 𝑚 ∙ 𝑎 en 𝐹w,s = 𝑓 ∙ 𝐹n waarbij op een horizontale weg geldt dat
𝐹n = 𝑚 ∙ 𝑔, dus 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑓 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔  𝑎 = 𝑓 ∙ 𝑔  𝑓 =
𝑎
𝑔
9
= 9,8 = 0,9.
9.2 ENERGIE VOOR BEWEGEN
4
[W] Experiment: Warmte bij vallen
5
[W] Experiment: Pijltjes schieten
6
Waar of niet waar?
a Niet waar: Om een beweging in stand te houden is er toevoer van energie nodig als er
wrijvingskrachten werken.
b Waar
c Niet waar: Bij een rendement van 25% wordt een kwart van de energie gebruikt voor
het bewegen.
d Waar.
7
a
b
c
Bij een satelliet zijn er geen wrijvingskrachten
Het lichtspoor ontstaat doordat de lucht heel heet wordt.
De zwaartekracht, deze zet zwaarte-energie om in bewegingsenergie en de
luchtweerstand, deze zet bewegingsenergie om in warmte. De luchtweerstand zorgt
voor de grootste energieomzetting, want de meteoor verliest veel snelheid in de
dampkring, dus de luchtweerstand is veel groter dan de zwaartekracht
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 1 van 21
8
a
b
Het metaal mag niet te warm worden. Bij een groot oppervlak kan er meer warmte
aan de omgeving worden afgestaan.
Als de banden niet goed zijn opgepompt is de band wat platter. Daardoor is de
rolweerstand groter en dan wordt er meer energie omgezet in warmte. De banden
worden dus nog warmer.
9
a
b
c
De rest van de toegevoerde energie wordt omgezet in warmte.
Het rendement van de elektriciteitscentrale.
Als de elektrische energie duurzaam geproduceerd is, bijvoorbeeld met windmolens of
zonnepanelen.
a
b
c
De arbeid hangt af van de grootte van de kracht en van de verplaatsing.
Voor beide factoren is dat evenredig.
Arbeid = kracht x verplaatsing.
10
11
Eigen antwoord.
12
Arbeid (W) in newton∙meter (N∙m) of joule (J) is de hoeveelheid energie die door een
kracht wordt omgezet voor een beweging. De arbeid is te berekenen met 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠
waarbij de kracht (F) in newton (N) en de verplaatsing s in meter (m) dezelfde of
tegengestelde richting hebben.
Bij een energieomzetting wordt de ene soort energie omgezet in een andere energiesoort.
Bij het verbranden van een brandstof wordt chemische energie (Ech, in J) omgezet in
warmte. De chemische energie is te berekenen met 𝐸ch = 𝑟v ∙ 𝑉 waarbij rv de
verbrandingswarmte (in J/m3) is en V het volume van de brandstof (in m3) of met
𝐸ch = 𝑟m ∙ 𝑚 waarbij rm de verbrandingswarmte (in J/kg) is en m de massa van de
brandstof (in kg).
Het rendement (η) geeft aan welk gedeelte van omgezette (chemische) energie in de
motor wordt omgezet in arbeid: 𝑊uit = 𝜂 ∙ 𝐸in .
13
A In de bewegingsrichting werkt de voorwaartse kracht, deze verricht positieve arbeid.
Tegen de beweging in werken de rolweerstand en de luchtweerstand, deze verrichten
negatieve arbeid.
B In de bewegingsrichting werkt de duwkracht. Tegen de beweging in werkt de
schuifwrijving. Er wordt geen arbeid verricht.
C De spankracht werkt in de bewegingsrichting en verricht positieve arbeid. De
zwaartekracht werkt tegen de beweging in en verricht negatieve arbeid.
D De zwaartekracht werkt in de bewegingsrichting en verricht positieve arbeid. De
spankracht werkt tegen de beweging in en verricht negatieve arbeid.
E De (component van de) zwaartekracht werkt in de bewegingsrichting en verricht
positieve arbeid. De rolweerstand en luchtweerstand werken tegen de beweging in en
verrichten negatieve arbeid.
14
a
Als de snelheid nul is, zal de luchtweerstand ook nul zijn. Maar de rolweerstand blijft
constant, dus ook bij zeer lage snelheden zijn de totale tegenwerkende krachten niet
nul (maar vrijwel gelijk aan de rolweerstand).
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 2 van 21
b
De luchtweerstand is kwadratisch evenredig met de snelheid, dit verklaart de kromme
lijn (paraboolvorm) in de grafiek.
a
De voortstuwende kracht Fv wordt door de snelheid beïnvloedt, want deze moet bij
constante snelheid de tegenwerkende kracht opheffen en de totale tegenwerkende
kracht bestaat uit rolwrijving en luchtwrijving. De luchtwrijving is afhankelijk van de
snelheid.
Het brandstofverbruik wordt bepaald door:
De verbrandingswaarde rv van de brandstof, een omgekeerde evenredig verband,
Het rendement η van de motor, een omgekeerd evenredig verband,
De voorwaartse kracht Fv, een evenredig verband, maar deze voorwaartse kracht
wordt weer bepaald door de tegenwerkende rolweerstand en luchtweerstand.
Bij lage snelheden is de rolweerstand het belangrijkst. Deze is afhankelijk van de
massa m van de auto (voor de normaalkracht) en de rolwrijvingscoëfficiënt cr, voor
beiden een evenredig verband.
Bij hoge snelheden is de luchtweerstand het belangrijkst. Deze is afhankelijk van de
luchtweerstandscoëfficiënt cw, de luchtdichtheid ρ, het frontaal oppervlak A en de
snelheid v van het voertuig. De luchtweerstand is recht evenredig met de eerste 3
grootheden en kwadratisch evenredig met de snelheid.
15
b
16
Tijdens de draai oefent de discuswerper een kracht uit met zijn arm op de discus waardoor
de snelheid van de discus toeneemt. Deze kracht werkt over de afstand van de omtrek
van de cirkel die de discuswerper draait en dus wordt er arbeid verricht door de
discuswerper.
17
Je bepaalt de oppervlakte met behulp van de eenheden die langs de assen van de grafiek
staan. Horizontaal staat de afstand in m en verticaal de kracht in N, dus de bepaalde
arbeid wordt dan uitgedrukt in N∙m.
18
𝑊 = 𝐹v ∙ 𝑠 = 50 ∙ 103 ∙ 86 ∙ 103 = 4,3 ∙ 109 J 
𝜂=
𝐸nuttig
𝐸in
4,3∙109
𝑊
= 𝐸 = 2,4∙1010 = 0,18 = 18 %.
in
19
𝐸in = 𝑃 ∙ 𝑡 = 200 ∙ 11 = 2,2 ∙ 103 J  𝑊 = 𝐸nuttig = 𝜂 ∙ 𝐸in = 0,95 ∙ 2,2 ∙ 103 = 2,1 kJ.
20
𝐸in = 𝐸ch = 𝑟𝑉 ∙ 𝑉 = 6,7 ∙ 33 ∙ 106 = 2,2 ∙ 108 J en
3
𝐸nuttig = 𝑊 = 𝐹tegen ∙ 𝑠 = 480 ∙ 100 ∙ 10 = 4,8 ∙ 107 J 
𝜂=
𝐸nuttig
𝐸ch
𝑊
=𝐸
ch
4,8∙107
= 2,2∙108 = 0,22 = 22%.
21
c
Bij 60 km/h: 𝐹v = 𝐹tegen = 𝐹w,r + 𝐹w,l = 120 + 480 = 600 N.
Bij 120 km/h is de snelheid tweemaal zo groot, dus zal de luchtwrijving viermaal zo
groot worden:
𝐹v = 𝐹tegen = 𝐹w,r + 𝐹w,l = 120 + 4 ∙ 480 = 2040 = 2,04 ∙ 103 N = 2,04 kN.
d
Het brandstofverbruik is evenredig met de tegenwerkende kracht, dus 2040 / 600 =
3,4 keer zo groot.
a
Bij 60 km/h: 𝑊uit = 𝐹w ∙ 𝑠 = 3,6 ∙ 102 ∙ 100 ∙ 103 = 3,6 ∙ 107 J 
22
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 3 van 21
𝑊uit = 𝜂 ∙ 𝐸ch  𝐸ch =
𝑊uit
𝜂
=
3,6∙107
0,21
7
Bij 100 km/h: 𝑊 = 6,8 ∙ 10 J  𝐸ch
=
Bij 100 km/h: 𝑊 = 9,0 ∙ 107 J  𝐸ch
=
= 1,7 ∙ 108 J.
6,8∙107
0,21
9,0∙107
0,21
= 3,2 ∙ 108 J.
= 4,3 ∙ 108 J.
b
De arbeid is evenredig met de totale tegenwerkende kracht, en bij gelijk rendement is
het brandstofverbruik ook daarmee evenredig.
c
Bij 60 km/h: 𝐸ch = 𝑟V ∙ 𝑉 
Bij 100 km/h: 𝑉
=
Bij 130 km/h: 𝑉
=
3,2∙108
33∙106
4,3∙108
33∙106
𝑉=
𝐸ch
𝑟V
=
1,7∙108
33∙106
= 5,2 L/100 km.
= 9,7 L/100 km.
= 13 L/100 km.
23
a
b
Het hellingspercentage is gelijk aan de sinus van de hoek van de helling, dus
sin 𝛼 = 0,060  𝛼 = 3,4°.
De component van de zwaartekracht langs de helling is 6,0% van de zwaartekracht:
𝐹z,x = 0,060 ∙ 𝐹z = 0,060 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 = 0,060 ∙ 1200 ∙ 9,81 = 706 N.
De snelheid blijft constant dus 𝐹res = 0 dus 𝐹z,x = 𝐹w,r + 𝐹w,l + 𝐹rem 
706 = 200 + 150 + 𝐹rem  𝐹rem = 356 = 3,6 ∙ 102 N.
c
De arbeid die de remmen gezamenlijk verrichten is te berekenen met 𝑊 = 𝐹rem ∙ 𝑠 =
356 ∙ 8,5 ∙ 103 = 3,03 ∙ 106 J. De arbeid die elke rem verricht is 1/4e deel daarvan,
dus 𝑊rem
d
=
3,03∙106
4
= 7,57 ∙ 103 J = 757 kJ
De temperatuurtoename per rem is ∆𝑇
24
[W] World Solar Challenge
25
[W] Vuurpijl
26
[W] Dieselmotor
=
757
4,5
= 168 = 1,7 ∙ 102 °C.
27
a
b
c
De wind duwt tegen het zeil, dat is de kracht van de wind op het zeil. Als reactie
daarop duwt het zeil terug met de kracht van het zeil op de lucht (het zeil houdt de
lucht tegen), het is een krachtenpaar.
De weerstand hangt af van het oppervlak loodrecht op de bewegingsrichting. Bij een
beweging in dwarsrichting is het oppervlak loodrecht op de bewegingsrichting veel
groter dan bij een beweging in lengterichting, dus is de weerstand in dwarsrichting
veel groter en daarmee de snelheid in dwarsrichting heel klein.
Ontbind zowel de Fwind op boot als de vboot in een component in vaarrichting en een
component dwars op de vaarrichting en bepaal de grootte van deze componenten.
Bereken dan in de vaarrichting en ook dwars daarop het vermogen met 𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑣 en
tel het vermogen in vaarrichting en het vermogen dwars op de vaarrichting bij elkaar
op.
28
a
De scherpe ijzers bewegen veel moeilijker in dwarsrichting dan een boot in het water
dat doet.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 4 van 21
b
De kracht van de lucht op het zeil is schuin naar voren gericht, de luchtweerstand
recht naar achteren. Dat is dus geen krachtenpaar. Als de snelheid eenmaal constant
is geworden dan zijn de twee krachten wel even groot, maar bij versnellen en
vertragen niet.
a
Met een voorwaartse snelheid van 11 m/s en een dwarswind van 10 m/s is de
snelheid van de wind ten opzichte van de boot te berekenen met de stelling van
Pythagoras: 𝑣wind = √112 + 102 = 15 m/s. Zie ook de figuur.
b
Door het botsen van de lucht tegen het zeil verandert deze van richting en oefent
daarbij een kracht op het zeil uit. Zie figuur.
c
De kracht van de wind op het zeil is
29
𝐹wind op zeil = 250 ∙ 𝑣wind 2 = 250 ∙ 152 = 5,6 ∙ 104 N.
De krachtcomponent die in de vaarrichting werkt is de projectie van de kracht van de
wind op het zeil in de vaarrichting:
𝐹wind op zeil in vaarrichting = 𝐹wind op zeil ∙ cos 𝛼 = 5,6 ∙ 104 ∙ cos 60 = 2,8 ∙ 104 N.
4
d
𝑊wind = 𝐹wind op zeil in vaarrichting ∙ 𝑠 = 2,8 ∙ 10 ∙ 200 ∙ 103 = 5,6 ∙ 109 J.
e
De arbeid die geleverd kan worden van 1 m 3 stookolie is
𝑊 = 𝜂 ∙ 𝑟v = 0,30 ∙ 40,6 = 12,18 GJ.
De besparing is dus
5,6
12,18
= 0,46 m3 = 0,46 ∙ € 300 = € 138.
30
a
b
Er is in elk geval een zijwaartse component van de wind nodig om tegen het zeil aan
te duwen. Bij pure tegenwind kan de wind niet zijwaarts tegen het zeil aan duwen.
Met de grote windmolen bovenop de auto wordt een turbine aangedreven die weer de
wielen van de wagen aandrijft.
9.3 ENERGIE BIJ BEWEGINGEN
31
[W] Experiment: Snelheid en arbeid
32
[W] Experiment: Arbeid en hoogte
33
Waar of niet waar?
a Waar
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 5 van 21
b
c
d
e
f
34
Waar
Niet waar: Bij een vallend voorwerp neemt de zwaarte-energie af.
Waar
Niet waar: Door arbeid gaat energie over van het ene voorwerp naar het andere, je
kunt arbeid niet opslaan.
Niet waar: Veerenergie kan nooit negatief zijn.
Als de tegenwerkende kracht groter is dan de voorwaartse kracht, is de arbeid van de
tegenwerkende kracht ook groter. Netto verdwijnt er dan energie uit het voorwerp
35
a
b
De zwaartekracht.
De energie is omgezet in warmte.
a
b
c
Er zijn geen andere krachten dan de zwaartekracht.
Van zwaarte-energie naar bewegingsenergie.
De kracht is constant, de afstand is de helft, dus is de helft van de totale arbeid
verricht en dus is ook de helft van de energie omgezet.
De totale (mechanische) energie is constant, de zwaarte-energie neemt af dus de
bewegingsenergie neemt toe.
36
d
37
a
b
c
d
e
Van veerenergie naar bewegingsenergie.
De veerkracht van het elastiek.
Van bewegingsenergie naar zwaarte-energie.
De zwaartekracht.
In het hoogste punt is er alleen zwaarte-energie, de bewegingsenergie is daar nul. Na
het hoogste punt wordt zwaarte-energie omgezet in bewegingsenergie door de
zwaartekracht.
a
b
Bij een grotere massa moet de kracht ook groter zijn voor dezelfde versnelling.
De versnelling is constant, dan duurt het twee keer zo lang om een twee keer zo grote
snelheid te krijgen.
De tijd is tweemaal zo groot, de gemiddelde snelheid is ook tweemaal zo groot, dus is
de afstand (𝑠 = 𝑣gem ∙ 𝑡) viermaal zo groot: 4 x 35 m = 140 m.
38
c
d
39
Bij een verdubbeling van de snelheid is de afstand is viermaal zo groot, dus is ook de
arbeid is viermaal zo groot. Het verband tussen de snelheid en de bewegingsenergie
zal kwadratisch zijn.
De bewegingsenergie is maximaal als de snelheid maximaal is. Zodra je op de
trampoline komt is de veerkracht nog erg klein en dus is de zwaartekracht dan
groter dan de veerkracht. Dat betekent dat je dan nog versnelt en dus neemt de
bewegingsenergie nog toe. Op het moment dat de veerkracht even groot is als
de zwaartekracht, is de snelheid maximaal en dus ook de bewegingsenergie.
De trampoline is dan een beetje ingeveerd.
De zwaarte-energie is maximaal in het hoogste punt en de veerenergie is
maximaal in het laagste punt.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 6 van 21
40
De druk in de ballon is (kennelijk) constant. Dan is de dichtheid constant en het volume is
3
gelijk aan het volume van de ingeblazen lucht. Per cm ingeblazen lucht wordt evenveel
arbeid verricht. De totale energie is dus evenredig met het volume. Uitspraak A is juist.
41
a
b
c
d
e
Zonder tegenwerkende krachten is de voortstuwende kracht gelijk aan de
resulterende kracht en 𝐹res = 𝑚 ∙ 𝑎. Als de massa 2 x zo groot is zal de voortstuwende
kracht ook 2 x zo groot zijn. En als de voortstuwende kracht 2 x zo groot is, dan is de
verrichtte arbeid 2 x zo groot en dus wordt de bewegingsenergie 2 x zo groot. De
bewegingsenergie is recht evenredig met de massa.
Bij dezelfde voortstuwende kracht is de versnelling ook hetzelfde. Het duurt dan 2 x zo
lang om een 2 x zo grote eindsnelheid te krijgen (gebruik 𝑣eind = 𝑎 ∙ 𝑡).
Als de eindsnelheid 2 x zo groot is, dan is de gemiddelde snelheid ook 2 x zo groot.
Daarnaast duurt het 2 x zo lang om die eindsnelheid te bereiken, dus is de afgelegde
afstand 4 x zo groot (gebruik 𝑠 = 𝑣gem ∙ 𝑡).
Als de snelheid twee keer zo groot is, dan is de afgelegde weg 4 x zo groot. De kracht
blijft gelijk dus zal de verrichte arbeid ook 4 x zo groot zijn (gebruik 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠). De
bewegingsenergie is dan ook 4 x zo groot. Er is een kwadratisch verband tussen de
bewegingsenergie van een voorwerp en zijn snelheid.
De bewegingsenergie is evenredig met m en met v2. De formule zal eruit zien als
𝐸bew = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2.
42
Eigen antwoord.
43
De bewegingsenergie (Ek) in joule (J) van een voorwerp hangt af van de snelheid v (in
m/s) en de massa m (in kg) van het voorwerp: 𝐸k = ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 .
Zwaarte-energie (Ez) in joule (J) van een voorwerp hangt af van de valversnelling g (in
m/s2) en de hoogte h (in m) waarover het voorwerp is verplaatst: 𝐸Z = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ.
De veerenergie (Ev) in joule (J) van een voorwerp hangt af van de uitrekking u (in m) en de
veerconstante C (in N/m) van veer: 𝐸𝑣 = ½ ∙ 𝐶 ∙ 𝑢2 .
Bij een vrije val wordt de luchtweerstand verwaarloosd. Alle zwaarte-energie wordt
omgezet in bewegingsenergie of andersom. Je kunt dan gebruik maken van 𝐸Z = 𝐸k en
𝑣 2 = 2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ.
44
a
b
c
d
Groter.
𝑊 = 𝐹 · 𝑠 . De arbeid is gelijk aan de bewegingsenergie. F·s is dus constant, dan is s
omgekeerd evenredig met F.
De remkracht is 2 x zo klein, dus is de remweg 2 x zo groot: s = 120 m.
De bewegingsenergie is dan 2² = 4 x zo klein. De kracht is 2 x zo klein, dus de
remweg is 4/2 = 2 x zo klein.
45
a
b
Groter.
c
De massa is 1,5 keer zo groot, dus is de remweg ook 1,5 keer zo groot:
1,5 x 60 = 90 m.
𝐸k = ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2. De bewegingsenergie is evenredig met de massa en de arbeid is
gelijk aan de bewegingsenergie: 𝑊 = 𝐹 · 𝑠 , dus dan is s evenredig met m.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 7 van 21
d
De bewegingsenergie is door de grotere massa 1,5 x zo groot, en door de lagere
snelheid 1,5² = 2,25 x zo klein. De energie is dus 2,25/1,5 = 1,5 x zo klein. De kracht
is constant, dus is de remweg 1,5 x zo klein.
a
Alle bewegingsenergie wordt omgezet in zwaarte-energie. De zwaarte-energie is
evenredig met de hoogte.
De bewegingsenergie is 22 = 4 x zo groot dus komt de bal ook 4 x zo hoog.
De totale energie is constant, dus op gelijke hoogte is de bewegingsenergie even
groot.
46
b
c
47
a
b
c
d
e
De paarse lijn is de zwaarte-energie, de rode de bewegingsenergie en de groene de
veerenergie.
Op t = 0,0 s is de bal op het hoogste punt.
Op t = 2,6 s heeft de bal de hoogste snelheid.
De maximale bewegingsenergie en zwaarte-energie zijn na een stuit lager dan ervoor.
Als er energie verloren gaat door luchtweerstand, is de bewegingsenergie vlak vóór
de stuit niet even groot als het verschil in zwaarte-energie tussen het begin van de val
en het moment vlak vóór de stuit. Je moet dan dus de zwaarte-energie op t = 2,6 s
afhalen van de zwaarte-energie op t = 0,0 s en dit vergelijken met de
bewegingsenergie op t = 2,6 s.
48
a
b
c
49
Je kunt gebruik maken van 𝐸z = 𝐸k  𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2  𝑣 2 = 2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ.
Omdat de massa wegvalt uit de vergelijking heb je deze dus niet nodig om uit te
rekenen hoe hoog het steentje komt.
De snelheid heeft nu een horizontale en een verticale component. Alleen de verticale
component zorgt ervoor dat het steentje omhoog gaat, maar je weet niet hoe groot
deze verticale component is.
De bewegingsenergie wordt gedeeltelijk omgezet in hoogte-energie en bij het vallen
wordt dat deel weer omgezet in bewegingsenergie. De totale energie blijft constant,
dus op gelijke hoogte is de bewegingsenergie, en dus ook de snelheid, even groot.
1
1
1
2
2
2
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 = (𝑚 ∙ 𝑎) ∙ 𝑠 = (𝑚 ∙ 𝑎) ∙ ( ∙ 𝑎 ∙ 𝑡 2 ) = ∙ 𝑚 ∙ (𝑎 ∙ 𝑡)2 = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 .
1
Of, zonder gebruik van 𝑠 = ∙ 𝑎 ∙ 𝑡 2
2
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 = (𝑚 ∙ 𝑎) ∙ 𝑠 = (𝑚 ∙
1
1
= ∙ 𝑚 ∙ 𝑣eind 2 = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2
2
2
𝑣eind
𝑣eind
) ∙ (𝑣gem ∙ 𝑡) = (𝑚 ∙ 𝑣eind ) ∙ (
)
𝑡
2
50
𝐸z = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ  2,3 ∙ 103 = 140 ∙ 9,81 ∙ ℎ  ℎ = 1,7 m.
51
Uit de figuur valt af te lezen dat de trein een kinetische energie van 17,0 MJ krijgt.
𝐸k = ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2  17,0 ∙ 106 = 0,5 ∙ 6,96 ∙ 104 ∙ 𝑣 2  𝑣 = 22,1 m/s.
52
a
b
Op gelijke hoogte is de kinetische energie gelijk, dus ook de snelheid.
In punt C is de zwaarte-energie hoger dan in punt B, dat betekent dat de kinetische
energie lager is, dus zal de snelheid in punt C lager zijn dan in punt B.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 8 van 21
c
𝐸z = 𝐸k  ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ  𝑣 2 = 2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ  𝑣 = √2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ.
In B: ℎ = 80 − 20 = 60 m  𝑣 = √2 ∙ 9,8 ∙ 60 = 34 m/s.
In C: ℎ = 80 − 40 = 40 m  𝑣 = √2 ∙ 9,8 ∙ 40 = 28 m/s.
In D is de snelheid gelijk aan A, dus 34 m/s.
53
a
b
c
𝐸k,afzet = ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 = 0,5 ∙ 60 ∙ 4,02 = 4,8 · 102 J.
Bij de afzet is 𝐸z,afzet = m ∙ g ∙ h = 60 ∙ 9,8 ∙ 1,0 = 588 J.
𝐸tot = 𝐸k,afzet + 𝐸z,afzet = 480 + 588 = 1,07 · 10³ J. Bovenin is 𝐸tot = 𝐸z , dus
𝐸z = 1,1 · 10³ J.
𝐸z = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ  1,07 · 10³ = 60 ∙ 9,8 ∙ ℎ  ℎ = 1,8 m. De lat ligt op 1,7 m, dus hij
kan over de lat heen springen.
54
a
b
c
55
Tijdens de val wordt de hoogte-energie omgezet in bewegingsenergie: 𝐸Z = 𝐸k.
𝐸Z = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 70 ∙ 9,8 ∙ (3,5 − 1,0) = 1,7 kJ en 𝐸k = ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 
1,7 · 10³ = 0,5 ∙ 70 ∙ 𝑣²  𝑣 = 7,0 m/s.
Zwaarte-energie plus bewegingsenergie worden omgezet in veerenergie.
In het laagste punt is 𝐸k = 0 en 𝐸veer = 𝐸z = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ. De totale hoogte is de
afstand die de voeten afleggen tot het laagste punt.
ℎ = 3,5 – 1,0 + 0,55 = 3,05 m  𝐸veer = 70 ∙ 9,8 ∙ 3,05 = 2,1 ∙ 103 J
[W] Vergelijking brandstofverbruik hybride auto en normale benzineauto
56
a
De oppervlakte van een cirkel is te berekenen met 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟 2 en
𝑑
𝑟=2=
b
c
d
f
g
2
= 32,5 m  𝐴 = 𝜋 ∙ 32,52 = 3,3 ∙ 103 m.
Per seconde vliegt er 𝑉 = 𝐴 ∙ 𝑣 = 3,3 ∙ 103 ∙ 12,5 = 4,15 ∙ 104 m3 lucht door de
rotor. De massa daarvan is 𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉 = 1,2 ∙ 4,15 ∙ 104 = 5,0 ∙ 104 kg.
𝐸k = ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 = 0,5 ∙ 5,0 ∙ 104 ∙ 12,52 = 3,9 ∙ 106 J.
Het theoretisch maximaal haalbare elektrisch vermogen wordt behaald als alle
kinetische energie van de lucht wordt omgezet in elektrische energie:
𝑃max =
e
65
𝐸k
𝑡
=
3,9∙106
1
= 3,9 ∙ 106 W.
De lucht geeft niet alle bewegingsenergie aan de rotor af, de lucht heeft nog steeds
een snelheid nadat het uit de rotor komt en het rendement van de dynamo is niet 1.
Als de windsnelheid 2 x zo klein is, is de massa die per seconde door de rotor vliegt
ook 2 x zo klein. De bewegingsenergie is evenredig met de massa en met het
kwadraat van de snelheid, dus zal de bewegingsenergie van de lucht die per seconde
e
door het rotoroppervlak waait 8 keer zo klein zijn. De bewegingsenergie is dus 1/8 =
12,5% van de energie bij 12 m/s.
De snelheid is
12,5
5
= 2,5 keer zo klein, dus is de bewegingsenergie 2,53 = 15,6
keer zo klein. Het elektrisch vermogen is dan ook 15,6 keer zo klein:
3
𝑃 = 15,6 = 0,19 MW.
57
Door de gekozen opstelling in rijen staan de meeste turbines bij deze windrichting in de
afvoerende luchtstroom van de turbine die daarvoor staat. De windsnelheid na een
turbine is lager en bovendien nogal turbulent en daarom niet gunstig als aanvoerende
luchtstroom voor de zich erachter bevindende turbine.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 9 van 21
9.4 OMZETTEN VAN ENERGIE
58
[W] Experiment: Energie voor ophijsen
59
[W] Experiment: Waterkrachtcentrale
60
Waar of niet waar?
a Waar
b Niet waar: Alleen bij bewegingen waarbij er geen andere krachten werken dan de
zwaartekracht geldt de wet van behoud van mechanische energie.
c Niet waar: De energie van de meeste bewegingen wordt uiteindelijk omgezet in
warmte.
d Waar
e Niet waar: Arbeid is de hoeveelheid energie die door een kracht wordt omgezet.
f
Waar (tenzij de bal lek is).
g Waar
61
a
b
c
De wet van behoud van energie
Er zijn altijd wrijvingskrachten waardoor de energie afneemt.
Nee, er is daar ook een heel klein beetje wrijving.
a
b
c
De wet van behoud van energie betekent dat de totale hoeveelheid energie gelijk blijft.
Klopt niet, want niet alle energie is even bruikbaar.
Arbeid betekent dat energie wordt omgezet, het verdwijnt niet.
a
b
c
De mechanische energie is constant als er geen kracht van buiten op werkt.
Ja, bewegingsenergie wordt dan omgezet in zwaarte-energie.
Ja, bij de beweging van de aarde rond de zon is de mechanische energie van de
aarde constant.
a
b
c
d
De bal heeft dan veerenergie.
In de ingedeukte bal.
De veerkracht van de bal.
De snelheid is iets kleiner geworden, de bal komt minder hoog.
a
b
c
Ja, bij een constante snelheid is de kinetische energie constant.
Ja, de energie wordt omgezet in warmte.
Van zwaarte-energie naar bewegingsenergie (zwaartekracht) en van
bewegingsenergie naar warmte (luchtweerstand).
a
b
c
d
Ja, er is altijd energiebehoud.
Zwaarte-energie en bewegingsenergie
𝐸k,A = 𝐸z,B + 𝐸z,B.
𝐸k,A = 𝐸k,B + 𝐸z,B + 𝑊lucht (of 𝐸k,A − 𝑊lucht = 𝐸k,B + 𝐸z,B).
62
63
64
65
66
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 10 van 21
67
[W] Stuiterend golfballetje
68
Eigen antwoord.
69
Met de wet van behoud van energie kun je een energievergelijking opstellen.
Een vrije val is een valbeweging zonder luchtweerstand en met beginsnelheid nul. De
energievergelijking voor een vrije val is: 𝐸z,A = 𝐸k,B + 𝐸z,B .
Bij een verticale worp is er wél sprake van een beginsnelheid. De energievergelijking is
dan: 𝐸k,A + 𝐸z,A = 𝐸k,B + 𝐸z,B .
De kreukelzone zorgt ervoor dat bij een botsing de botsafstand groter is, zodat de
krachten die optreden tijdens de klap kleiner zijn. Botsafstand en remkracht zijn
omgekeerd evenredig.
70
a
b
71
Een vrije val.
Als de steen de grond raakt wordt zijn kinetische energie omgezet in warmte.
Hoogspringers landen met een grote verticale snelheid op het kussen omdat de zwaarteenergie is omgezet in kinetische energie. Door te landen in een zacht kussen is de
remafstand groter en zal de (rem)kracht op de hoogspringer kleiner zijn.
Bij verspringers gaat het vooral om de horizontale snelheid en dus om de remafstand in
horizontale richting, die kun je goed verlengen met behulp van een zandbak. Bovendien
kan de verspringer bij de landing doorrollen.
72
100 2
a
𝐸k = ½ · 𝑚 · 𝑣 2 = 0,5 ∙ 1,2 · 103 ∙ (
b
c
𝑊 = 𝐹 · 𝑠 geeft 4,6 · 105 = 𝐹 ∙ 60  𝐹 = 7,7 · 103 N
𝑚 = 1,2 · 103 + 0,7 · 103 ∙ 1,9 · 103 kg, dus
3,6
) = 4,6 · 105 J.
100 2
𝐸k = ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 = ½ ∙ 1,9 · 103 ∙ ( 3,6 ) = 7,3 · 105 J. 𝐹 = 7,7 · 10³ N en
𝑊 = 𝐹 · 𝑠 dus 𝑠 =
d
73
𝑊
𝐹
7,3·105
= 7,7·103 = 95 m
(of: m wordt 1,9/1,2 = 1,58 x zo groot, dus s ook: s = 1,58x60 = 95 m).
Ek moet even groot zijn: ½ ∙ 1,9 · 103 ∙ 𝑣 2 = 4,6 · 105  𝑣 = 22 m⁄s = 79 km/h.
a
𝐸k,A = ½ · 𝑚 · 𝑣A ² = 0,5 ∙ 0,20 ∙ 8,02 = 6,4 J en
𝐸z = 𝑚 · 𝑔 ∙ ℎ = 0,20 ∙ 9,81 ∙ 3,0 = 5,9 J
b
De kinetische energie en de zwaarte-energie van de bal bovenaan worden omgezet in
alleen maar kinetische energie vlak boven het wateroppervlak: ∑ 𝐸in = ∑ 𝐸uit 
𝐸k,A + 𝐸z = 𝐸k,B  6,4 + 5,9 = ½ · 𝑚 · 𝑣A ²  12,3 = ½ · 0,20 · 𝑣A ² 
𝑣A = 11 m/s.
74
a
Gebruik twee keer dat ∑ 𝐸in = ∑ 𝐸uit :
Voor het vallen vanaf 4,0 m naar de grond geldt: 𝐸z,A = 𝐸k,A 
𝑚 · 𝑔 ∙ ℎA = ½ · 𝑚 · 𝑣A ²  𝑔 ∙ ℎA = ½ · 𝑣A ² 
𝑣A = √2 ∙ 𝑔 ∙ ℎA = √2 ∙ 9,81 ∙ 4,0 = 8,859 m/s.
Voor het omhoog stuiteren van de grond naar 3,5 m geldt: 𝐸k,B = 𝐸z,B 
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 11 van 21
𝑣B = √2 ∙ 𝑔 ∙ ℎB = √2 ∙ 9,81 ∙ 3,5 = 8,287 m/s.
De afname van de snelheid is
b
8,859−8,2879
8,859
∙ 100% = 6,5%.
Vergelijk het moment van de opslag met het moment vlak voor de stuit:
∑ 𝐸in = ∑ 𝐸uit : 𝐸z,A + 𝐸k,A = 𝐸k,B  𝑚 · 𝑔 ∙ ℎA + ½ · 𝑚 · 𝑣A 2 = ½ · 𝑚 · 𝑣B 2 
100 2
𝑔 ∙ ℎA + ½ · 𝑣A 2 = ½ · 𝑣B 2  9,81 ∙ 3,0 + ½ · ( 3,6 ) = ½ · 𝑣B 2  𝑣B = 28,8 m/s,
c
75
90
a
𝑣 = 3,6 = 25 m/s  𝐸k = ½ · 𝑚 · 𝑣 2 = 0,5 ∙ 15 ∙ 103 ∙ 252 = 4,7 ∙ 106 J.
b
c
∆𝐸k = 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠rem  4,7 ∙ 106 = 𝐹 ∙ 50  𝐹 = 9,4 ∙ 104 .
d
76
dat is de snelheid vlak voor de stuit. De bal verliest 6,5% van zijn snelheid bij de stuit,
dus is de snelheid na de stuit: 𝑣 = 93,5% ∙ 28,8 = 27 m/s = 37 ∙ 3,6 = 97 km/h.
De verticale component van de snelheid is 𝑣vert = 27 ∙ sin 20 = 9,23 m/s.
Vergelijk nu het moment na de stuit tot aan het hoogste punt met ∑ 𝐸in = ∑ 𝐸uit en
gebruik daarbij alleen de verticale component van de snelheid: 𝐸k,A = 𝐸z,B 
½ · 𝑚 · 𝑣A 2 = 𝑚 · 𝑔 ∙ ℎB  ½ · 𝑣A 2 = 𝑔 ∙ ℎB  ½ · 9,232 = 9,81 ∙ ℎB 
ℎB = 4,3 m.
De bewegingsenergie van de vrachtwagen verdwijnt door arbeid van de remkracht
(wordt omgezet in warmte).
𝐹 ∙ 𝑠rem = ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 = 4,7 ∙ 106 J. Als de remkracht 0,75 keer zo groot wordt, zal de
remweg 0,75 keer zo klein worden. Dat is 1/0,75 = 1,33 keer zo groot, de remweg
wordt 𝑠rem = 50 ∙ 1,33 = 67 m.
Vergelijk de uiterste stand met de evenwichtsstand: ∑ 𝐸in = ∑ 𝐸uit 𝐸z = 𝐸k 
𝑚 · 𝑔 ∙ ℎ = ½ · 𝑚 · 𝑣 2  𝑔 ∙ ℎ = ½ · 𝑣 2  9,81 ∙ 0,045 = ½ · 𝑣 2  𝑣 = 0,94 m/s.
77
a
40 2
𝐸k = ½ · 𝑚 · 𝑣 2 = 0,5 ∙ 80 ∙ (3,6) = 4,9 ∙ 103 J.
b
c
𝑊 = 𝐹 · 𝑠 geeft 4,9 · 103 = 𝐹 ∙ (0,20 + 0,15)  𝐹 = 1,4 · 104 N.
a
∆𝐸k = ½ · 𝑚 · 𝑣B 2 − ½ · 𝑚 · 𝑣A 2 = 0,5 ∙ 0,800 ∙ 302 − 0,5 ∙ 0,800 ∙ 52
= 3,5 ∙ 102 J.
b
De speerwerper is in het plaatje ongeveer 2,5 cm lang. In werkelijkheid zal hij
ongeveer 1,8 m zijn. De speer legt ongeveer 1,5 cm af, dus dat is in werkelijkheid
1,8 ∙ 1,5/2,5 = 1,1 m.
∆𝐸k = 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠  3,5 ∙ 102 = 𝐹 ∙ 1,1  𝐹 = 3,2 ∙ 102 N.
Tijdens het ‘klimmen’ wordt bewegingsenergie omgezet in zwaarte-energie.
𝐸k,B + 𝐸z,B = 𝐸k,C + 𝐸z,C  ½ · 𝑚 · 𝑣B 2 + 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎB = ½ · 𝑚 · 𝑣C 2 + 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎC 
W is hetzelfde, s gaat van 35 naar 52 cm, dat is 1,5 x zo groot, dus F is 1,5 x zo klein.
78
c
d
e
0,5 ∙ 0,800 ∙ 302 + 0,800 ∙ 9,8 ∙ 2,0 = 0,5 · 0,800 · 𝑣C 2 + 0,800 ∙ 9,8 ∙ 18,0 
𝑣C = 24 m/s.
f
Schuin naar beneden (ongeveer net zo schuin als dat de speer geworpen wordt).
a
Tijdens de afzet wordt de horizontale snelheid van de aanloop deels omgezet in
veerenergie van de polsstok en die wordt weer omgezet in verticale snelheid.
Daarnaast kan de polsstokspringer nog verder omhoog in de polsstok ‘klimmen’.
79
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 12 van 21
b
c
d
e
De atleet is in het eerste plaatje ongeveer 2,5 cm lang, dat zal in werkelijkheid
ongeveer 2 m zijn. Het zwaartepunt van de atleet komt in de foto ongeveer 5 cm
omhoog, dus dat is in werkelijkheid ongeveer 4 m.
𝐸k = ½ · 𝑚 · 𝑣 2 = 0,5 ∙ 84 ∙ 92 = 3,40 ∙ 103 J 
𝐸v = 90% ∙ 𝐸k = 0,90 ∙ 3,40 ∙ 103 = 3,06 ∙ 103 J 
∆𝐸z = 80% ∙ 𝐸v = 0,80 ∙ 3,06 ∙ 103 = 2,45 ∙ 103 J.
∆𝐸z = 𝑚 · 𝑔 ∙ ∆ℎ  2,45 ∙ 103 = 84 ∙ 9,81 ∙ ∆ℎ  ∆ℎ = 2,97 = 3 m.
De atleet klimt 1 m omhoog, de verrichte arbeid is gelijk aan de toename van de
zwaarte-energie van de atleet: 𝑊 = ∆𝐸z = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ = 84 ∙ 9,81 ∙ 1 = 8 ∙ 102 J.
De arbeid is 8∙102 J en de afstand waarover hij deze arbeid verricht is ongeveer 4 m,
dus is de kracht 𝐹
=
𝑊
𝑠
=
8∙102
4
= 2 ∙ 102 N.
80
a
b
𝑊 = ∆𝐸z = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ = 90 ∙ 9,81 ∙ 1,5 = 1,3 ∙ 103 J.
De arbeid die de fietser levert om de wrijvingskrachten te overwinnen bij het fietsen op
een rechte weg, levert hij nog steeds bij het omhoog rijden. We kunnen dus gebruiken
dat 𝑊fietser = 𝑊wrijving . Er gaat dus alleen energie ‘verloren’ aan hoogte.
∑ 𝐸in = ∑ 𝐸uit : 𝐸k,A + 𝑊fietser = 𝐸z,B + 𝐸k,B + 𝑊wrijving  𝐸k,A = 𝐸z,B + 𝐸k,B 
½ · 𝑚 · 𝑣A 2 = 𝑚 · 𝑔 ∙ ℎB + ½ · 𝑚 · 𝑣B 2  ½ · 𝑣A 2 = 𝑔 ∙ ℎB + ½ · 𝑣B 2 
21 2
½ · (3,6) = 9,81 ∙ 1,5 + ½ · 𝑣B 2  𝑣B = 2,1 m/s = 2,1 ∙ 3,6 = 7,7 km/h.
81
a
b
c
Vergelijk de energie van de bungeejumper aan het begin van de sprong en op het
laagste punt met ∑ 𝐸in = ∑ 𝐸uit en bedenk daarbij dat aan het begin van de sprong en
op het laagste punt de snelheid en dus ook Ek nul is:
𝐸z = 𝐸v  𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = ½ · 𝐶 · 𝑢2  70 ∙ 9,81 ∙ 80 = ½ ∙ 𝐶 ∙ (80 − 35)2 
𝐶 = 54 N/m.
ℓoud = 35 m dus ℓnieuw = 𝑥 ∙ 35.
Voor de maximale uitrekking geldt: 𝑢 = 80 − ℓnieuw = 80 − 𝑥 ∙ 35.
𝐸z = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 85 ∙ 9,81 ∙ 80 = 66708 = 6,7 ∙ 104 J.
𝐸v = ½ · 𝐶 · 𝑢2 = ½ ∙
=
d
27
𝑥
∙ (80 − 35𝑥 )2.
𝐶oud
54
∙ (80 − 𝑥 ∙ 35)2 = ½ ∙
∙ (80 − 𝑥 ∙ 35)2
𝑥
𝑥
4
𝐸z = 𝐸v  6,67 ∙ 10 =
27
𝑥
∙ (80 − 35𝑥 )2 
66708 ∙ 𝑥 = 27 ∙ (6400 − 5600𝑥 + 1225𝑥 2 ) 
33075𝑥 2 − 217908𝑥 + 172800 = 0, met de abc-formule:
𝑥=
217908±√2179082 −4∙33075∙172800
2∙33075
=
217908±156915
66150
 𝑥 = 0,92 of 𝑥 = 5,7.
Het tweede antwoord levert een langer touw op in plaats van een korter touw en is
dus niet relevant.
ℓnieuw = 𝑥 ∙ 35 = 0,92 ∙ 35 = 32 m. Het koord moet 3 m worden ingekort.
82
[W] Experiment: Rollende eieren
83
a
De rotatie-energie.
b
Een basketbal is een holle bol, met dunne wand, dus is 𝐸rot = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 .
1
3
De zwaarte-energie is omgezet in kinetische en rotatie-energie:
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 13 van 21
1
1
3
2
5
2
3
6
6
6
𝐸z = 𝐸k + 𝐸rot = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 + ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 + ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 .
e
Dus van de zwaarte-energie is 2/5 deel omgezet in rotatie-energie, dat is 40%.
84
a
b
c
85
Bij een holle bol zit alle massa aan de buitenkant. De massa aan de buitenkant draait
met een grotere snelheid dan wanneer de massa meer naar het midden toe zou zitten
en dus is de bewegingsenergie van deze massa groter.
Ze vallen even snel.
De massieve bol zal sneller naar beneden rollen, omdat er minder rotatie-energie
ontstaat en dus meer kinetische energie.
Oriëntatie:
Gebruik bij deze opgave de gegevens uit figuur 44. Bij een massieve bol is de rotatieenergie het kleinst, dus is daarbij het gedeelte van de zwaarte-energie dat wordt omgezet
in kinetische energie het grootst zijn. Een massieve bol krijgt de grootste snelheid van de
vier in de tabel genoemde voorwerpen.
Uitwerking:
a De volle fles is eerder beneden, want bij een massieve cilinder is de rotatie-energie
een kleiner gedeelte van de zwaarte-energie dan bij een holle cilinder. Bij de lege fles
gaat er dus een groter gedeelte van de zwaarte energie in rotatie-energie zitten.
b Het water in de fles zal niet meebewegen. De rotatie-energie van een fles met water is
dus een kleiner gedeelte van de zwaarte-energie dan bij een fles met zand. De fles
met water zal dus het snelst beneden zijn, dan de fles met zand en daarna de lege
fles.
c Het water in de fles krijgt geen rotatie-energie, maar levert wel extra zwaarte-energie,
De massa van het water is minstens zoveel als van de fles zelf, dus neemt de
zwaarte-energie met een factor 2 toe en zal de fles met water sneller beneden zijn
dan de biljartbal. Bij een massieve bol wordt een kleiner gedeelte van de zwaarteenergie omgezet in rotatie-energie dan bij een massieve cilinder, dus na de fles water
zal de biljartbal beneden aankomen, vervolgens de fles met zand en als laatste de
lege fles.
86
a
1
Voor een massieve cilinder geldt: 𝐸rot = · 𝑚 · 𝑣 2 , gebruik dit in ∑ 𝐸in = ∑ 𝐸uit :
4
1
1
𝐸z = 𝐸k + 𝐸rot  𝑚 · 𝑔 ∙ ℎ = · 𝑚 · 𝑣 2 + · 𝑚 · 𝑣 2
2
3
3
4
𝑔 ∙ ℎ = 4 · 𝑣 2  9,81 ∙ 0,75 = 4 · 𝑣 2  𝑣 = 3,13 = 3,1 m/s.
b
c
𝑣gem =
𝑣eind
2
=
3,13
2
𝑠 = 𝑣gem ∙ 𝑡  𝑡 =
= 1,56 = 1,6 m/s.
𝑠
𝑣gem
=
2,50
1,56
= 1,60 s.
1
Voor een holle cilinder geldt: 𝐸rot = · 𝑚 · 𝑣 2 dus komt er uit de energievergelijking:
2
𝑔 ∙ ℎ = 𝑣 2  𝑣 = √𝑔 ∙ ℎ = √9,81 ∙ 0,75 = 2,7 m/s en 𝑣gem =
2,7
2
= 1,4 m/s.
De tijd die de cilinder erover doet is te berekenen met 𝑠 = 𝑣gem ∙ 𝑡  𝑡
Voor de massieve cilinder is de tijd: 𝑡
𝑡=
2,50
3,1
=
2,50
3,1
=𝑣
𝑠
gem
.
= 1,60 s en voor holle cilinder is dat
= 1,84 s. De holle cilinder doet er 0,24 s langer over.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 14 van 21
87
a
1
𝐸rot = 50 MJ en voor een massieve cilinder geldt: 𝐸rot = · 𝑚 · 𝑣 2 
4
1
· 400 · 𝑣 2 = 50 ∙ 106  𝑣 = 707 = 7,1 ∙ 102 m/s.
4
𝑣
707
= 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓  𝑓 = 𝜋∙𝑑 = 𝜋∙0,50 = 450 = 4,5 ∙ 102 Hz.
Voor de baansnelheid geldt: 𝑣 =
c
Als je bij het afremmen de kinetische energie overdraagt aan het vliegwiel, dan kun je
bij het optrekken de rotatie-energie van het vliegwiel weer gebruiken. Hierdoor
bespaar je vooral in de stad energie.
Een vliegwiel neemt veel ruimte in en is zwaar. Door de extra massa die de auto
meeneemt, neemt het brandstofverbruik juist weer toe.
d
88
𝜋∙𝑑
b
𝑇
Als de molen in beweging is gebracht bevat de molen met de kinderen daarop een
bepaalde hoeveelheid rotatie-energie. Als de kinderen naar het midden toe bewegen gaat
er meer massa naar het midden van de molen toe en die massa gaat met een kleinere
snelheid ronddraaien, waardoor de rotatie-energie van deze massa zou afnemen. Maar de
totale rotatie-energie blijft gelijk en dus zal de rotatiesnelheid van de molen moeten
toenemen om dit te compenseren.
9.5 VERMOGEN EN SNELHEID
89
[W] Experiment: Je eigen vermogen meten
90
[W] Experiment: Vermogen van een dynamo
91
[W] Kracht en vermogen bij fietsen
92
[W] De optimale rensnelheid
93
[W] Verschillen in topsnelheid
94
Waar of niet waar?
a Niet waar: Het mechanisch vermogen van een automotor is de arbeid die de motor
per seconde verricht.
b Waar
c Niet waar: Het vermogen tijdens een sprint is veel groter dan het vermogen tijdens
een marathon.
d Waar
e Niet waar: Een sporter fietst Alpe d’Huez op en begint langzaam in een lage
versnelling ‘om energie te sparen’.
f
Niet waar: …. Teun zegt: ‘De accu levert te weinig vermogen’.
95
a
b
c
Bij explosieve sporten heb je meer kracht nodig.
Vermogen is de arbeid per seconde.
Duursporters hebben meestal niet zoveel spiermassa.
a
Het mechanisch vermogen is de arbeid die per seconde wordt verricht door een mens
of machine.
watt x seconde = joule
en
joule / meter = newton
96
b
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 15 van 21
c
d
Bij het elektrisch vermogen gaat het om de gebruikte energie, bij het mechanisch
vermogen gaat het om de geleverde arbeid.
Neem de tijd op dat de boormachine arbeid levert en vermenigvuldig dit met het
elektrisch vermogen om de verbruikte elektrische energie te berekenen. Het
rendement = verrichtte arbeid / elektrische energie.
a
b
De luchtwrijving en de afstand die per seconde wordt afgelegd zijn groter.
Van het vermogen en van de tegenwerkende krachten.
a
b
c
In de 4 versnelling is de kracht op het pedaal het grootst.
In de 3e versnelling is het beentempo het grootst.
Het mechanisch vermogen is constant, want de snelheid en de tegenwerkende
krachten zijn constant.
a
b
De tegenwerkende krachten en de snelheid.
Als de snelheid groter wordt, wordt in dezelfde tijd een grotere afstand afgelegd, dus
is de arbeid per seconde groter. Als de tegenwerkende kracht groter wordt, wordt de
arbeid ook groter. Dus het vermogen is evenredig met de snelheid en evenredig met
de tegenwerkende kracht.
Vermogen = kracht x snelheid, want het vermogen is evenredig met kracht en met
snelheid.
97
98
e
99
c
100 Eigen antwoord.
101
a
b
Kracht en afstand zijn gelijk, dus gelijke arbeid.
Het snelste kind levert per seconde meer energie, dus een groter vermogen.
a
b
c
Bij het zwaardere voorwerp is de kracht groter, de arbeid dus ook.
Nee, de tijd is gelijk en de arbeid niet, dus het vermogen is ook niet gelijk.
Nee, de snelheid neemt toe, dus de afstand per seconde wordt groter. Het vermogen
wordt dan ook steeds groter.
102
103 Als de snelheid 2 x zo groot wordt dan wordt Fvw ook (flink) groter (zie figuur 49). Het
vermogen wordt dan veel meer dan 2 x zo groot.
104 De tijd is omgekeerd evenredig met de snelheid, dus bij een hogere snelheid duurt
dezelfde reis korter. Maar het mechanisch vermogen is niet evenredig met de snelheid: bij
een toename van de snelheid neemt het vermogen meer dan evenredig toe omdat zowel
de tegenwerkende krachten als de snelheid toenemen. Els heeft dus gelijk.
105 De motor levert een kracht 𝐹m. De resulterende kracht is dan 𝐹res = 𝐹m − 𝐹w en voor de
resulterende kracht geldt: 𝐹res = 𝑚 ∙ 𝑎. De motorkracht is hiermee uit te drukken als:
𝐹m = 𝐹res + 𝐹w = 𝑚 ∙ 𝑎 + 𝐹w . Het geleverde vermogen is dan te berekenen met:
𝑃m = 𝐹m ∙ 𝑣  𝑃m = (𝑚 ∙ 𝑎 + 𝐹w ) ∙ 𝑣 .
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 16 van 21
106
a
b
c
𝐹z = 𝑚 ∙ 𝑔 = 75 ∙ 9,8 = 735 N  𝑃m = 𝐹z ∙ 𝑣 = 735 ∙ 1 = 735 W.
a
Bij een fiets is de rolweerstand erg klein, de luchtweerstand is evenredig met het
kwadraat van de snelheid.
Bij 2,0 m/s: 𝐹vw = 8,0 N en 𝑃m = 𝐹vw ∙ 𝑣 = 8,0 ∙ 2,0 = 16 W.
Bij 4,0 m/s: 𝐹vw = 20 N en 𝑃m = 𝐹vw ∙ 𝑣 = 20 ∙ 4,0 = 80 W.
Bij 6,0 m/s: 𝐹vw = 40 N en 𝑃m = 𝐹vw ∙ 𝑣 = 40 ∙ 6,0 = 2,4 ∙ 102 W.
Het mechanisch vermogen neemt sneller dan evenredig met het kwadraat van de
snelheid toe. Dat komt doordat Fvw evenredig met het kwadraat van v toeneem, en
𝑃m = 𝐹vw ∙ 𝑣 neemt dan sneller toe.
Het is geen kracht maar een vermogen.
De snelheid waarmee een man, met een zak van 75 kg op zijn rug, een ladder
omhoog kan lopen is ongeveer 20 cm per seconde. Dat is dus 5 keer zo langzaam als
dat een paard een zak van 75 kg omhoog trekt. Er werden waarschijnlijk ongeveer 5
mannen vervangen door één paard.
107
b
c
108 𝑃m = 𝐹vw ∙ 𝑣  110 ∙ 103
216
= 𝐹vw ∙ ( 3,6 )  𝐹vw = 1,8 ∙ 103 N
109
a
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠  144 ∙ 103 = 𝐹 ∙ 400  𝐹 = 360 N.
b
𝑃m =
a
b
c
𝐹vw = 30,3 N.
𝑃 = 𝐹vw ∙ 𝑣 = 30,3 ∙ 12,5 = 375 = 379 W.
De snelheid moet 2,5% hoger worden  𝑣 = 1,025 ∙ 12,5 = 12,8 m/s.
𝐹vw = 31,5 N  𝑃m = 𝐹vw ∙ 𝑣 = 31,5 ∙ 12,8 = 403 W.
𝑊
𝑡
=
144∙103
4,00∙60
= 600 W.
110
De toename is
400
403−379
379
∙ 100% = 6,3%.
d
𝑣=
a
𝑃m = 𝐹tegen ∙ 𝑣 = 0,21 ∙ 𝑣 2 ∙ 𝑣 = 0,21 ∙ 𝑣 3  1500 = 0,21 ∙ 𝑣 3 
𝑣 = 19 m/s = 69 km/h.
b
De arbeid per seconde is 1500 J en in één seconde legt het pedaal 2,0 m af.
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠  1500 = 𝐹 ∙ 2,0  𝐹 = 7,5 ∙ 102 N.
In de eindsprint leveren de renners hun maximale vermogen (door o.a. op de trappers
te gaan staan), in een tijdrit gaat het om het (lagere) duurvermogen.
111
c
26
= 15,4 m/s  𝐹vw = 44 N  𝑃m = 𝐹vw ∙ 𝑣 = 44,5 ∙ 15,4 = 6,9 ∙ 102 W.
48 3
d
𝑃m = 𝐹tegen ∙ 𝑣 = 0,15 ∙ 𝑣 2 ∙ 𝑣 = 0,15 ∙ 𝑣 3 = 0,15 ∙ (3,6) = 3,6 ∙ 102 W.
e
36 km/h = 10 m/s  𝑃 = 0,15 ∙ 𝑣 3 = 0,15 ∙ 103 = 1,5 ∙ 102 W. Dat ligt ver onder zijn
gemiddelde vermogen tijdens de tijdrit.
a
𝐹w = 243 + 0,53 ∙ 𝑣 2 = 243 + 0,53 ∙ 152 = 3,62 ∙ 102 N 
𝑃m = 𝐹tegen ∙ 𝑣 = 3,62 ∙ 102 ∙ 15 = 5434 = 5,4 ∙ 103 W.
112
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 17 van 21
b
c
d
De snelheid zit kwadratisch in de formule voor de wrijvingskracht dus zal de
wrijvingskracht al gauw minstens 2 x zo groot worden bij een 2 x zo grote snelheid.
Om het vermogen te berekenen wordt de wrijvingskracht met de snelheid
vermenigvuldigd. Het benodigde vermogen is dus meer dan 2 x zo groot.
𝐹w = 243 + 0,53 ∙ 𝑣 2 = 243 + 0,53 ∙ 302 = 7,20 ∙ 102 N 
𝑃m = 𝐹tegen ∙ 𝑣 = 7,20 ∙ 102 ∙ 30 = 21600 = 2,2 ∙ 104 W.
21600
= 4,0 x zo groot.
5434
113 Oriëntatie:
Bereken eerst de massa van de hoeveelheid water met 𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉. Bereken dan de
zwaarte-energie van het water dat omhoog gepompt wordt. Het vermogen bereken je met
𝑃 = 𝐸/𝑡 .
Uitwerking:
𝑚 = 0,998 ∙ 103 ∙ 4,4 = 4,4 ∙ 103 kg 
𝐸z = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 4,4 ∙ 103 ∙ 9,8 ∙ 1,3 = 5,6 ∙ 104 J  𝑃 =
114
5,6∙104
1,5∙3600
= 10 W
a
Bij hoge snelheid is de luchtwrijving veel groter dan de rolwrijving en 𝐹w,l ~𝑣 2 . Je kunt
dan de rolwrijving weglaten en zeggen dat 𝐹tegen ~𝑣 2 . Het mechanisch vermogen is
𝑃m = 𝐹tegen ∙ 𝑣 dus 𝑃m ~𝑣 3.
b
Bij het klimmen in een bergetappe is de snelheid erg klein. De belangrijkste
tegenwerkende kracht is dan de component van de zwaartekracht. Je kunt dan
zeggen dat 𝐹tegen = constant. Het mechanisch vermogen is 𝑃m = 𝐹tegen ∙ 𝑣 dus
c
𝑃m ~𝑣.
1. Bergop geldt 𝑃m ~𝑣 dus is de snelheid ook 10% groter.
2. In een vlakke etappe geldt 𝑃m ~𝑣 3 . Het vermogen is 1,1 keer zo groot dus de
snelheid is 3√1,1 = 1,03 keer zo groot. De snelheid is 3% groter.
115
a
𝐹z = 𝑚 ∙ 𝑔 = (54 + 8,5) ∙ 9,8 = 613 N  𝐹z,x = 𝐹z ∙ sin 𝛼 = 613 ∙ 0,077 = 47 N.
b
𝑣gem = 𝑡 = 37∙60+15 = 6,2 m/s.
c
d
e
𝑠
13,8∙103
𝐹tegen = 𝐹z,x + 𝐹w,r + 𝐹w,l = 47 + 3,0 + 8,0 = 58 N 
𝑃m = 𝐹tegen ∙ 𝑣gem = 58 ∙ 6,2 = 3,6 ∙ 102 W.
𝐹z = 𝑚 ∙ 𝑔 = 82 ∙ 9,8 = 804 N  𝐹z,x = 𝐹z ∙ sin 𝛼 = 804 ∙ 0,077 = 62 N.
𝐹tegen = 𝐹z,x + 𝐹w,r + 𝐹w,l = 62 + 11 = 73 N.
𝑃m = 𝐹tegen ∙ 𝑣gem  180 = 73 ∙ 𝑣gem  𝑣gem = 2,47 m/s.
𝑠 = 𝑣gem ∙ 𝑡  13,8 ∙ 103 = 2,47 ∙ 𝑡  𝑡 = 5,6 ∙ 103 s = 93 minuten.
116 Oriëntatie:
Voor de luchtwrijvingskracht geldt 𝐹w,l = const ∙ 𝑣 2 en dit is de enige tegenwerkende
kracht. De snelheid op de dag zonder wind is te berekenen met
𝑠
𝑣 = en het vermogen is
𝑡
dan 𝑃m = 𝐹w,l ∙ 𝑣 = const ∙ 𝑣 3 . Hieruit is dan de waarde van de constante te berekenen.
Op de dag met tegenwind is de snelheid waarmee de lucht tegen de wielrenner aankomt 6
m/s groter dan de fietssnelheid, dus de luchtwrijving is dan: 𝐹w,l = const ∙ (𝑣 + 6,0)2 . Het
vermogen is dan 𝑃m = const ∙ (𝑣 + 6,0)2 ∙ 𝑣. Dit vermogen is weer 200 W dus nu is met
de GR het snijpunt te bepalen van 2 functies om v op te lossen. Bereken tenslotte hoe
lang Joost over de rit doet met 𝑡 = 𝑠⁄𝑣 .
Uitwerking:
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 18 van 21
Zonder wind: 𝑣
=
18000
1800
= 10 m/s, dit invullen in 𝑃m = const ∙ 𝑣 3 geeft
200 = const ∙ 103  const = 0,20, dus 𝐹w,l = 0,20 ∙ 𝑣 2 .
Met tegenwind: 𝑃m = 0,20 ∙ (𝑣 + 6,0)2 ∙ 𝑣  200 = 0,20 ∙ (𝑣 + 6,0)2 ∙ 𝑣 . Vul 2 functies
𝑠
in in de GR: y=200 en y=0,20(x+6)2∙x en bepaal het snijpunt  𝑣 = 6,45 m/s  𝑡 = =
18000
6,45
𝑣
= 2791 s = 47 minuten.
117
a
b
Het benodigde vermogen om te kunnen vliegen neemt bij een grote vogel meer toe
dan zijn spierkracht. Grote vogels vliegen moeten dus relatief meer inspanning doen
om in de lucht te blijven en op constante snelheid te vliegen. Dit kunnen ze dan
minder lang volhouden dan kleine vogels.
Een heel lange vleugel heeft een groot vleugeloppervlak, zodat de liftkracht groot
genoeg is, terwijl het frontaal oppervlak dat een rol speelt bij de luchtweerstand
relatief minder groot is. Bij lage snelheid is de luchtweerstand ook minder groot en zo
kan de vogel minder spierkracht gebruiken terwijl er toch voldoende liftkracht is.
118
35
a
𝑃m = 𝐹w,l ∙ 𝑣  184 = 𝐹w,l ∙ (
b
De luchtweerstand moet zo klein mogelijk zijn (veel kleiner dan Flift) zodat het vliegtuig
niet ‘wegwaait’. 19 N is veel kleiner dan de zwaartekracht.
Daardoor is de luchtweerstand klein.
𝐹lift = 𝐹z  𝐹lift = 𝑚 ∙ 𝑔 = 115 ∙ 9,81 = 1128 N.
c
d
𝐹lift
𝐹w,l
=
1128
18,9
)  𝐹w,l = 18,9 = 19 N
3,6
= 60.
119
a
b
De massa moet 10 x zo groot worden, dus moet het volume 10 x zo groot zijn. Dat
3
betekend dat de factor 𝑥 = √10 = 2,2 is.
Het vermogen van de supermeeuw is 𝑥 3,5 keer zo groot dus
3
𝑃 = ( √10)
c
3,5
∙ 10 = 1,5 ∙ 102 W.
Het vermogen van de supermeeuw is gelijk aan dat van een zwaan.
9.6 AFSLUITING
120 Eigen antwoord.
121
a
b
c
d
e
f
Zwaartekracht, veerkracht, schuifwrijving, rolweerstand, luchtweerstand, spankracht,
normaalkracht, gewicht.
Arbeid W in joule (J) of newton∙meter (N∙m), energie E in joule (J) en vermogen P in
watt (W).
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠, arbeid = kracht x afstand waarover de kracht werkt.
𝑃m = 𝐹 ∙ 𝑣, vermogen = kracht x snelheid.
Bewegingsenergie, chemische energie, warmte, zwaarte-energie, elektrische energie.
Als de snelheid constant is, want dan is de voorwaartse kracht gelijk aan de totale
tegenwerkende kracht.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 19 van 21
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
Wrijvingsarbeid is de omzetting van bewegingsenergie in warmte door
wrijvingskrachten.
Je gebruikt dan de component van de kracht in de richting van de verplaatsing:
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 ∙ cos(𝛼) waarbij α de hoek tussen de richting van de kracht en de richting
van de verplaatsing is.
Arbeid is negatief als de richting van de kracht en de richting van de verplaatsing
tegengesteld zijn.
Als de kracht gedurende de verplaatsing niet constant is kun je de arbeid bepalen uit
de grafiek van de kracht tegen de verplaatsing. De arbeid is dan de oppervlakte onder
de lijn van de grafiek.
De som van de zwaarte-energie en de kinetische energie (ook wel de mechanische
energie genoemd) is constant als er, behalve de zwaartekracht, geen andere kracht is
die arbeid op het voorwerp verricht.
Het brandstofverbruik van een auto wordt bepaald door de verbrandingswarmte van
de brandstof, het rendement van de motor en de grootte van de totale tegenwerkende
kracht.
Liter per 100 kilometer (L/100 km) en km per liter (km/L, ook wel 1 op ….).
Verbrandingswarmte van een vloeistof of gas wordt uitgedrukt in J/m 3,
verbrandingswarmte van een vaste stof wordt uitgedrukt in J/kg.
Als je precies bijhoudt hoeveel energie er is verdwenen en hoeveel energie er is
bijgekomen, kun je door eenvoudig optellen en aftrekken berekenen hoeveel energie
er daarna nog over is. Bij boekhouden doe je ditzelfde met geld.
Bij remmen en botsen wordt bewegingsenergie omgezet in wrijvingsarbeid:
½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 = 𝐹 ∙ 𝑠. De afremmende kracht en de afstand zijn omgekeerd evenredig.
Een ergometer meet de kracht, de afgelegde afstand en de tijd en bepaalt daaruit het
vermogen.
Het rendement (η) geeft aan welk gedeelte van de totale omgezette energie
(bijvoorbeeld chemische energie) wordt omgezet in nuttige energie (bijvoorbeeld
arbeid): 𝜂
=
𝐸nuttig
𝐸in
.
s
Bij constante snelheid is het mechanisch vermogen te berekenen met de
tegenwerkenden kracht en de snelheid: 𝑃m = 𝐹tegen ∙ 𝑣.
a
𝐹w,l = ½ ∙ 𝑐w ∙ 𝐴 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣 2 = ½ ∙ 0,11 ∙ 0,30 ∙ 1,09 ∙ 𝑣 2 = 0,018 ∙ 𝑣 2 dus
𝑃m = (𝐹tegen ) ∙ 𝑣 = (𝐹w,r + 𝐹w,l ) ∙ 𝑣 = (3,1 + 0,018 ∙ 𝑣 2 ) ∙ 𝑣
Bij 133,3 km/h = 37,03 m/s: 𝑃m = (3,1 + 0,018 ∙ 37,032 ) ∙ 37,03 = 1,0 ∙ 103 W.
Bij 86,5 km/h = 24,03 m/s: 𝑃m = (3,1 + 0,018 ∙ 24,032 ) ∙ 24,03 = 3,2 ∙ 102 W.
𝑃m = (0,018 ∙ 𝑣 2 ) ∙ 𝑣  400 = 0,018 ∙ 𝑣 3  𝑣 = 28,1 m⁄s = 1,0 ∙ 102 km/h.
𝑃m = (3,1 + 0,018 ∙ 𝑣 2 ) ∙ 𝑣  400 = (3,1 + 0,018 ∙ 𝑣 2 ) ∙ 𝑣
122
b
c
d
2
Vul 2 functies in in de GR: y=400 en y=(3,1+0,018∙x )∙x en bepaal het snijpunt:
𝑣 = 26,08 m/s = 94 km/h.
123
a
b
Het vermogen voor de luchtweerstand is 75% van het totaal benodigde vermogen.
Door de tegenwind wordt de windsnelheid 1,5 keer zo groot. De luchtweerstand is
2
evenredig met v , dus die wordt 1,52 = 2,25 keer zo groot. Het benodigde vermogen
voor de luchtweerstand wordt dus 2,25 ∙ 75% = 169% (en het vermogen voor de
rolweerstand blijft gelijk).
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 20 van 21
c
Bauke moet dus 169% − 75% = 94% extra vermogen leveren om dezelfde snelheid
te kunnen blijven rijden.
Doordat je zelf rijdt staat de wind schuin en dat geeft een extra tegenwerkende kracht.
124 Oriëntatie:
Als het doek 55 cm doorzakt, is de uitrekking van de veren te berekenen met behulp van
onderstaande figuur.
Vergelijk de energie van de trampolinespringer in het hoogste punt met de energie in het
laagste punt.
Uitwerking:
De schuine zijde in de figuur is √1,82 + 0,552 = 1,882 m dus de uitrekking van de veren
is 1,882 − 1,8 = 0,082 m.
Zwaarte-energie wordt omgezet in veerenergie van de 72 veren:
𝐸z = 𝐸v met 𝑢 = 0,08 m.  𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 72 ∙ ½ ∙ 𝐶 ∙ 𝑢2 
100 ∙ 9,8 ∙ ℎ = 72 ∙ ½ ∙ 7,1 ∙ 103 ∙ 0,0822  ℎ = 1,76 m.
Gerekend vanaf het horizontale doek is de spronghoogte: 1,76 − 0,55 = 1,2 m.
125 Oriëntatie:
In een afstand-tijd diagram is de snelheid op een bepaal punt te bepalen door de raaklijn
te tekenen en daarvan de helling te bepalen.
De arbeid die de springer verricht tijdens de afzet is de toename van de zwaarte-energie
plus de toename van de kinetische energie.
a Teken een raaklijn op het tijdstip 𝑡 = 0,90 s. Deze raaklijn loopt van (0,6 , 0) naar
(1,1 , 1,8), dus 𝑣
=
∆ℎ
∆𝑡
1,8−0
= 1,1−0,6 = 3,6 m/s 
𝐸k = ½ · 𝑚 · 𝑣 2 = ½ · 76 · 3,62 = 4,9 ∙ 102 J.
b
Het zwaartepunt van de springer verplaatst tijdens de sprong van 0,95 m naar 1,25 m.
𝑃 = ∆𝐸z + ∆𝐸k = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ + 4,9 ∙ 102 = 76 ∙ 9,8 ∙ (1,25 − 0,95) + 4,9 ∙ 102 =
7,1 ∙ 102 J.
De afzet duurt van 0,60 s tot 0,90 s, dus ∆𝑡 = 0,30 s 
𝑊
𝑃 = ∆𝑡 =
7,1∙102
0,30
= 2,4 ∙ 103 W.
126
a
Van de grond tot 3,0 m: 𝑊nut = 𝐸z + 𝐸k = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ + ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2
= 2,0 ∙ 103 ∙ 9,81 ∙ 3,0 + 0,5 ∙ 2,0 ∙ 103 ∙ 122 = 2,03 ∙ 105 J 
𝑃nut =
b
c
𝑊nut
𝑡
=
2,03∙105
0,50
= 4,1 ∙ 105 W.
Vanaf 𝑡 = 2,6 s daalt de snelheid in een rechte lijn met een helling van -9,8 m/s/s (de
gravitatieversnelling).
𝐸z + 𝐸k = constant  𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ + ½ ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 = constant. Dus op t = 2,6 s:
2,0 ∙ 103 ∙ 9,81 ∙ 24 + 0,5 ∙ 2,0 ∙ 103 ∙ 202 = 8,7 ∙ 105 J.
Op het hoogste punt is de snelheid 0 m/s en dus Ek = 0.
2,0 ∙ 103 ∙ 9,81 ∙ ℎ + 0 = 8,7 ∙ 105 J  ℎ = 44 m.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 21 van 21