Separation, Completeness and Compactness in Metrically

Separation, Completeness and Compactness in Metrically
Generated Theories
A. Gerlo
Faculteit Wetenschappen
Vakgroep Wiskunde
In deze thesis is de aandacht gericht op topologische constructs die bovendien “metrisch
gegenereerd” zijn. Dit zijn constructs X waarvoor er een natuurlijke functor K : C → X
bestaat van een “basiscategorie” C van (veralgemeende) metrische ruimten naar de categorie X. Met een (veralgemeende) metriek d kan men bijvoorbeeld een topologie Td ,
een uniformiteit Ud , een approach structuur δd of een bornologische structuur Bd associëren. In [3] werden nodige en voldoende voorwaarden geformuleerd waaraan zulke
functor K : C → X moet voldoen om te verkrijgen dat X voortgebracht is door “Cmetrizeerbare” ruimten, of equivalent, dat X isomorf is met een volle concreet coreflectieve deelconstruct van een modelcategorie MC waarvan de objecten verzamelingen zijn
die gestructureerd zijn door een collectie C-metrieken. Topologische constructs waarvoor
er zulke functor K : C → X bestaat heten C-metrisch gegenereerd. In deze thesis zal
uitsluitend gewerkt worden in het kader van metrisch gegenereerde theorieën.
Het wordt duidelijk dat deze context een algemene aanpak toelaat van vele interessante
onderwerpen uit de categorische topologie en dat we in staat zijn waardevolle resultaten
te tonen voor alle metrisch gegenereerde theorieën tegelijkertijd. We hebben verschillende
aspecten bestudeerd voor een C-metrisch gegenereerde construct.
1. Epimorfismenprobleem in X0 . Onder zwakke voorwaarden, geven we een
interne karakterisatie van de reguliere sluitingoperator r op X, bepaald door de deelconstruct X0 van T0 objecten van X. Resultaten uit [4] laten dan toe de epimorfismen in
X0 te beschrijven als de r-dichte contracties. Op deze manier vinden we vele reeds gekende resultaten terug maar onze methode levert ook antwoorden in constructs waar het
epimorfismenprobleem nog open was.
2. Compleetheid in X0 . In een metrisch gegenereerde construct X gaan we op
zoek naar completies die “voortgebracht” zijn door (bi)complete C-metrische ruimten in
de construct X0 van T0 objecten van X. Gebaseerd op enkele gekende resultaten voor
gesepareerde uniforme ruimten, bestuderen we de volgende problemen in X0 . We rusten
X uit met een zwak hereditaire en idempotente sluitingoperator s en we beschouwen
de klasse Us van s-dichte inbeddingen in X0 . We stellen ons de volgende twee vragen.
Zijn de (bi)compleet C0 -metrizeerbare objecten Us -injectief in X0 ? En is de klasse van
s-gesloten deelobjecten van producten van (bi)compleet C0 -metrizeerbare ruimten Us -firm
reflectief in X0 (volgens de terminologie van [1])? Onder zwakke voorwaarden slagen
we erin te bewijzen dat in onze context beide bovenstaande vragen gelijkwaardig zijn
en we formuleren bovendien een voorwaarde die een positief antwoord garandeert. Deze
resultaten worden dan ook toegepast op voorbeelden.
3. Compactheid en Hausdorff separatie in X. We veralgemenen de notie van
sluitingoperator door een eindig complete categorie X uit te rusten met een proper factor1
izatiesysteem en een concrete functor Λ : X → Prap naar de construct van pre-approach
ruimten en contracties. Op een natuurlijke manier treedt de volgende klasse “gesloten morfismen” (in de zin van [2]) op de voorgrond: FΛ := {f | Λf gesloten contractie in Prap}.
In [2] werd getoond dat er met zulke klasse gesloten morfismen geschikte noties FΛ compactheid en FΛ -Hausdorff ontstaan.
Een X-object X is FΛ -compact als de projectie pY : X × Y → Y tot FΛ behoort voor
elk X-object Y . Onder zekere voorwaarden op de functor Λ tonen we dat FΛ -compactheid
van X equivalent is met 0-compactheid van Λ(X) in Prap. We zijn ook in staat om de
FΛ -Hausdorff eigenschap te karakteriseren, die garandeert dat elk diagonaalmorfisme tot
FΛ behoort. Een X-object X is FΛ -Hausdorff als en slechts als de pretopologische reflectie
van Λ(X) Hausdorff is.
We passen onze resultaten toe op vele voorbeelden van metrisch gegenereerde constructs en vinden zowel bekende als nieuwe noties terug.
5. Quasi-uniforme gauge spaces compatibel met een gegeven approach
ruimte. We concentreren ons op de metrisch gegenereerde constructs Ap, qUG en deelconstructs [5,6]. We vinden voor deze constructs gekwantificeerde versies van de volgende
gekende resultaten in Top en Unif .
- Elke compacte volledig reguliere topologische ruimte is uniek uniformizeerbaar.
- Voor uniforme ruimten is compactheid equivalent met de combinatie van twee uniforme begrippen: compleetheid en totaal begrensdheid.
Bij deze studie komen de compactheidsnoties die we bij het vorige onderwerp verkregen in
Ap terug aan bod en worden noties van compleetheid en totaal begrensdheid ingevoerd
in qUG.
6. Cartesisch gesloten omhullende van M. We concentreren ons op de modelcategorieën MC en onderzoeken we of in deze constructs limieten en colimieten commuteren.
In het bijzonder tonen we dat de construct M, die een bovencategorie is van alle MC ’s
en dus ook van alle metrisch gegenereerde constructs, niet cartesisch gesloten is. We
pakken dit probleem aan door de cartesisch gesloten omhullende construct LM van M te
bepalen.
Referenties:
[1] G. C. L. Brümmer and E. Giuli. A categorical concept of completion of objects. Comment. Math.
Univ. Carolin., 33(1):131–147, 1992.
[2] M. M. Clementino, E. Giuli, and W. Tholen. A functional approach to general topology. In
Categorical foundations, volume 97 of Encyclopedia Math. Appl., pages 103–163. Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 2004.
[3] E. Colebunders and R. Lowen. Metrically generated theories. Proc. Amer. Math. Soc.,
133(5):1547–1556 (electronic), 2005.
[4] D. Dikranjan, E. Giuli, and A. Tozzi. Topological categories and closure operators. Quaestiones
Math., 11(3):323–337, 1988.
[5] R. Lowen. Approach spaces. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press Oxford
University Press, New York, 1997. The missing link in the topology-uniformity-metric triad, Oxford
Science Publications.
[6] R. Lowen and B. Windels. AUnif: a common supercategory of pMET and Unif. Internat. J.
Math. Math. Sci., 21(1):1–18, 1998.
2