Rijen VWO Wiskunde A

dhr. R. de Punder & dhr. S. Thijssen, dPT Wiskunde c
Rijen VWO Wiskunde A
Er zijn veel praktische situaties waarin een rijtje getallen met een onderliggende relatie tussen de getallen
voorkomt. Dat rijtje getallen bestuderen we in dit deelgebied van de wiskunde. Een voorbeeld:
Voorbeeld 1 Gegeven is de rij: {2, 4, 6, 8, ...}. Welk getal komt er na de 8? Zonder kennis van rijen zeg
je direct: 10. Maar hoe kom je hieraan? Je hebt (wellicht onbewust) de relatie gezocht tussen de getallen. In
woorden is zo’n beschrijving van de vorm:
”het volgende getal is het vorige getal plus twee met als startterm het getal twee”
Recursieve formule
De beschrijving van de relatie in woorden steken we nu in een wiskundig jasje met als doel dat we voor heel
veel rijtjes getallen de relatie snel kunnen beschrijven. We geven de termen van ons rijtje de namen: u0 , u1 , u2 ,
u3 , .... uN . Let op: De tweede term heet dan dus u1 en niet u2 ! En om de zelfde reden hebben we in totaal N + 1
termen. Als we nu het volgende getal un noemen, is het vorige getal un 1 . We hebben de recursieve formule
gevonden van het rijtje: {2, 4, 6, 8, ...}:
un = un
1 + 2,
met u0 = 2
Bij een recursieve formule moet je altijd het begin van de rij geven. Immers, zonder u0 = 2 kan je formule
net zo goed de rij {-3, -1, 1, 3, 5, 7, ...} definiëren. Een ander belangrijk gegeven is de variabele n die we nu
gebruiken i.p.v. x. De conventie is dat n een zogenaamd ”natuurlijk getal” is. Dit betekent dat n alleen maar
niet-negatieve gehele getallen mag zijn, dus: 0, 1, 2, 3, etc.. Omdat n hetplabeltje is van de term is dit inderdaad
een handigere variabele dan x. Anders zou je kunnen spreken over de 2 p-de term van de rij.
Voorbeeld 2 Geef de recursieve formule van de volgende rijen.
• {10, 7 12 , 5, 2 12 , ... } ) un = un
• {3, 1, 13 , 19 , ...} ) un = un
1
1 · 3,
• {7, 8, 10, 13, 16, ...} ) un = un
1
2 12 , met u0 = 10
met u0 = 3
1 + n,
met u0 = 7
Zie je het niet meteen? Schrijf de termen dan netjes uit.
Voorbeeld 3 Geef de recursieve formule van de rij: {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}
n = 0 ! u0 = 1
n = 1 ! u1 = 1
n = 2 ! u2 = 2 = u0 + u1
n = 3 ! u3 = 3 = u1 + u2
n = 4 ! u4 = 5 = u2 + u3
...
) un = un
1 + un 2 ,
met u0 = 1 en u1 = 1
1
dhr. R. de Punder & dhr. S. Thijssen, dPT Wiskunde c
Directe formule
Zoals gezegd worden rijen in veel praktische toepassingen gebruikt. Met behulp van de recursieve relatie
worden bij banken en verzekeringsinstellingen met de computer super snel rijen berekend. Omdat wij nog geen
computer mogen gebruiken, proberen we nu de directe formule (ook wel: rangnummerformule) van bepaalde
rijen te vinden. Dit soort formules moeten we zo opstellen dat ik de n-de term van mijn rij in één keer kan
berekenen, zonder dat ik daarvoor alle voorgaande termen berekend moet hebben.
Voorbeeld 4 Gegeven is de rij: {2, 4, 6, 8, ...}. Bereken term 58. Van deze rij kennen we inmiddels de
recursieve formule: un = un 1 + 2, met u0 = 2. Als er bij elke stap 2 bijkomt, is er na n stappen 2 · n bijgekomen.
In formulevorm: un = u0 + 2n. De 58e term is u57 . Invullen van n = 57 in de gevonden formule geeft dan:
u57 = 2 + 2 · 57 = 116.
Voorbeeld 5 Gegeven is de recursieve relatie un = un 1 · 13 , met u0 = 3. Vind de directe formule. Als bij elke
n
stap wordt vermenigvuldigd met 13 , is er na n stappen met 13 vermenigvuldigd. Immers de vierde term kunnen
we vinden door: u3 = 13 · u2 = 13 · ( 13 · u1 ) = 13 ·
1
3
· ( 13 u0 ) =
13
3 ·3
= 19 .
Voorbeeld 6 Gegeven is de rij {7, 8, 10, 13, 16, ...}. Vind de directe formule. Nu hebben we niet te maken
met een constant verschil of een constant product. Overigens is de toename van het verschil wel constant. Dit
laten we zien door de termen netjes uit te schrijven:
n = 0 ! u0 = 7
n = 1 ! u1 = 7 + 1 = u0 + s1
n = 2 ! u2 = 7 + 1 + 2 = u0 + s2
n = 3 ! u3 = 7 + 1 + 2 + 3 = u0 + s3
n = 4 ! u4 = 7 + 1 + 2 + 3 + 4 = u0 + s4
...
Stel ik definieer de eenvoudige rij: {1, 2, 3, 4, ...} (met recursieve formule an = an 1 + 1, met a0 = 1 en
directe formule an = n + 1) en ik laat sn de somrij zijn van deze rij, met sn de som van de eerste n termen van
de rij {1, 2, 3, 4, ...} zodat bijvoorbeeld s3 = 1 + 2 + 3. De directe formule voor {7, 8, 10, 13, 16, ...} is dan
un = u0 + sn . Het enige wat we nu nog zouden willen is het vinden van de directe formule van sn zodat we weer
snel de 58e term van un kunnen vinden. Hiervoor hebben we eerst nog wat meer theorie nodig:
De rekenkundige rij
• In woorden: "de volgende term is de vorige term plus een constante met als startterm u0 "
• Recursieve formule: un = un
1 +C,
met u0 = u0 of u1 = u1
• Directe formule startend bij u0 : un = u0 +C · n, startend bij u1 : un = u1 +C · (n
• Somformule rij startend bij u0 : sn = Âni=01 ui = 12 · n u0 + un
• Somformule in woorden:
1
2
1
1)
, bij u1 : sn = Âni=1 ui = 12 · n u0 + un
· aantal termen(eerste term + laatste term)
Voorbeeld 6 (vervolg) De rij {1, 2, 3, 4, ...} is een rekenkundige rij startend bij a0 . De somrij {s1 , s2 , ... ,sN }
heeft directe formule: sn = 12 · n a0 + an 1 = 12 · n a0 + n (omdat an 1 = (n 1) + 1). Hieruit volgt dat de
directe formule van de rij {7, 8, 10, 13, 16, ...} gegeven wordt door un = u0 + 12 · n a0 + n = 7 + 12 n(n + 1).
2
dhr. R. de Punder & dhr. S. Thijssen, dPT Wiskunde c
Voorbeeld 7 Bereken de som van de eerste 18 termen van de rij {-8, -3, 2, 7, ... }. Bij het beantwoorden van
dit soort vragen is het advies de hierboven gegeven opsomming stap voor stap af te lopen:
• Recursieve formule: un = un
1 + 5,
met u0 = 8
• Directe formule: un = 8 + 5 · n ) u17 = 8 + 5 · 17 = 77 (18e term)
1
1
• Somformule: s18 = Â17
i=0 ui = 2 · n u0 + u17 = 2 · 18( 8 + 77) = 621
De meetkundige rij
• In woorden: "de volgende term is de vorige term maal een constante met als startterm u0 "
• Recursieve formule: un = un
1 · r,
met u0 = u0 of u1 = u1
• Directe formule rij startend bij u0 : un = u0 · rn , startend bij u1 : un = u1 · rn
• Somformule rij startend bij u0 : sn = Âni=01 ui =
• Somformule in woorden:
un u0
r 1 ,
1
startend bij u1 : sn = Âni=1 ui =
un+1 u1
r 1 .
volgende term eerste term
reden 1
Voorbeeld 8 Bereken de som van de eerste 20 termen van de rij {3, 1, 13 , 19 , ...}. Opnieuw lopen we de stappen
van de opsomming af:
• Recursieve formule: un = un
1
1 · 3,
met u0 = 3
n
• Directe formule: un = 3 · 13 ) u20 = 3 · 13
• Somformule: s20 = Â19
i=0 ui =
u20 u0
1
3 1
⇡
3
2
3
20
⇡ 8, 60 · 10
10
(21e term)
= 4 12
Voorbeeld 3 (vervolg) In voorbeeld 3 stelden we een recursieve relatie op voor de rij {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...},
de lastigste rij van dit overzicht omdat een volgende term door maar liefst twee voorgaande termen verklaard
wordt. De rij heet de Rij van Fibonacci en is bekend vanwege zijn vele toepassingen in de natuur. Kunnen
we van zo0 n rij ook een directe formule bepalen? Nee, voor nu is dat nog te lastig. Wel kun je nagaan dat het
inderdaad juist is dat onderstaande formule de bijbehorende directe formule is:
p
p n
(1 + 5)n (1
5)
p
un =
n
2 5
3