OPTIE THEORIE

OPTIE THEORIE
1. Inleiding
Het begrip aandeel is ongetwijfeld bij velen bekend. Je kunt op de financiële pagina van een
willekeurige krant elke dag de aandelenkoersen van bekende en minder bekende ondernemingen bekijken. Formeel is een aandeel een bewijs van deelneming in het kapitaal van een
vennootschap, d.w.z. een NV of een BV. De eigenaar van een aandeel, de aandeelhouder,
is samen met eventuele andere aandeelhouders mede-eigenaar van de vennootschap. De
aandeelhouder deelt in de lusten en lasten van de vennootschap waarvan hij of zij medeeigenaar is. Dit betekent dat, bij een goede gang van zaken bij de onderneming, de aandeelhouder een hogere winstuitkering zal ontvangen; gaat het minder goed of slecht met
het bedrijf, dan zal de winstuitkering lager zijn of zelfs uitblijven. Een winstuitkering op
aandelen wordt dividend genoemd. Dividend wordt uitbetaald na afloop van het boekjaar,
nadat de jaarcijfers van de vennootschap door de algemene vergadering van aandeelhouders
zijn goedgekeurd.
Om aandeelhouder van een onderneming te worden zal men op de beurs een aandeel
moeten kopen. De prijs van een aandeel hangt in hoge mate af van de winst van de
onderneming en vooral ook van de winstverwachting van het bedrijf. In de prijs zit meestal
veel informatie en zelfs fantasie over de toekomst van het bedrijf verscholen. Tegenvallende
resultaten kunnen dan ook een sterk neerwaarts effect hebben op de koers van het aandeel.
Aan de andere kant kunnen onverwacht positieve resultaten de koers van het aandeel sterk
opdrijven. Al met al is het rendement van een belegging met aandelen in het algemeen
beduidend hoger dan van een spaarrekening, maar wel veel riskanter; je kunt ook een deel
van je geld verspelen.
Er zijn echter ook middelen om de risico’s bij aandelenspeculaties te verkleinen. Eén
van die middelen is een zogenaamde optie. Opties in aandelen kun je vergelijken met een
optie op een huis. Voor een bepaald bedrag, bijv. 5000 euro, kun je een optie nemen op
een huis en alvast een prijs afspreken (bijv. 250.000 euro) waarvoor je dat huis over een
jaar zal kopen. Als de prijzen van de huizen stijgen en dat huis over een jaar 300.000 euro
waard is, kan jij volgens afspraak nog steeds dat huis kopen voor 250.000 euro. Je optie is
dus in feite in waarde gestegen van 5000 naar 50000 euro. Vanwege de kleinere investering
zelfs relatief sneller dan het huis zelf. Op dezelfde manier kunnen op de optiebeurs opties
in aandelen gebruikt worden om met een kleinere investering gebruik te maken van de
koersstijgingen van de aandelen. De optiebeurs wordt wel eens afgeschilderd als een plaats
1
waar louter speculatief kan worden gehandeld. Dat is een nogal eenzijdige voorstelling van
zaken. Natuurlijk kan men op de optiebeurs speculeren met de daaraan verbonden grote
risico’s, maar opties kunnen juist ook antispeculatief worden gebruikt om effecten en ander
bezit tegen waardedaling te beschermen.
2. Opties
In een optiecontract maken twee partijen een afspraak die geldt voor een bepaalde termijn,
om in beginsel een bepaalde onderliggende waarde te verhandelen tegen een vooraf vastgestelde prijs. Bij een aandelenoptie bestaat deze onderliggende waarde uit aandelen. Er
zijn twee soorten aandelenopties: call-opties en put-opties.
Call-opties hebben betrekking op het kopen van aandelen:
een call-optie is het recht van de koper van de optie om tegen een vooraf vastgestelde prijs
te mogen kopen gedurende de geldigheidstermijn van het optiecontract.
Put-opties hebben betrekking op het verkopen van aandelen:
een put-optie is het recht van de koper van de optie om tegen een vooraf vastgestelde prijs
te mogen verkopen gedurende de geldigheidstermijn van het optiecontract.
De geldigheidstermijn van een optiecontract wordt de looptijd genoemd, de vooraf vastgestelde prijs heet de uitoefenprijs. Zij opgemerkt dat een optie een recht is; de koper
mag een bepaalde hoeveelheid aandelen kopen of verkopen, maar hoeft dit niet te doen.
Het risico voor de koper van een optie blijft dus beperkt tot maximaal de betaalde premie
verhoogd met de provisie van de bank of commissionair door wiens bemiddeling de affaire
is gesloten. Dit doet zich voor wanneer de koersontwikkeling van het betreffende aandeel
niet aan de verwachtingen van de koper beantwoordt en hij of zij derhalve van zijn koopof verkooprecht geen gebruik maakt.
Er wordt onderscheid gemaakt tussen Europese en Amerikaanse opties. Europese
opties mogen slechts uitgeoefend worden op het moment dat de in het optiecontract genoemde termijn afloopt, op wat men noemt de expiratiedatum. Amerikaanse opties mogen
op elk willekeurig moment voor of op de expiratiedatum worden uitgeoefend. Hoewel de
naamgeving iets anders doet vermoeden, worden op Europese effectenbeurzen voornamelijk
Amerikaanse opties verhandeld en op Amerikaanse effectenbeurzen vooral Europese opties.
De handel in opties vindt plaats op de optiebeurs en is volledig gestandaardiseerd. De
standaardisatie heeft betrekking op de contractgrootte, de looptijd en de expiratiedatum
van een optie. De contractgrootte bij opties van aandelen is bijna altijd gelijk aan 100.
De looptijd van een optie is meestal 3, 6, 9 of 12 maanden. De expiratiedatum is altijd de
zaterdag volgend op de derde vrijdag van de maand waarin de optie vervalt, tenzij deze
derde vrijdag geen beursdag zou zijn (bijv. door een feestdag). De laatste mogelijkheid
tot uitoefenen van aflopende opties is dus net voor sluitingstijd van de beurs op de derde
vrijdag van de maand waarop de optie afloopt.
Heb je een optie gekocht, dan kun je die uitoefenen of niet, maar ook is het mogelijk deze optie op de beurs weer te verkopen. Het verhandelen van een optie kan alleen
gedurende de looptijd van de optie.
2
Je kunt op de optiebeurs niet alleen opties kopen en verkopen, maar ook schrijven. Als
je een optie (call of put) schrijft, heb je de plicht om de vastgestelde hoeveelheid aandelen
tegen de uitoefenprijs te leveren (call) of te kopen (put) op het moment gedurende de
looptijd van de optie dat een koper van de optie zijn recht uitoefent. Als beloning daarvoor
krijg je dan een premie. Als schrijver van een optie ben je dus te tegenspeler van de koper
van dezelfde optie.
De optiebeurs stelt voor elk aandeel een aantal—meestal minstens drie—uitoefenprijzen
vast, die zo dicht mogelijk bij de beurskoers liggen. Wanneer bijvoorbeeld de beurskoers
van het aandeel ABC 80 is, dan zullen er optieseries ontstaan met als uitoefenprijzen 75,
80 en 85. Wanneer de beurskoers sterk gaat fluctueren, dan zullen nieuwe optieseries met
aangepaste uitoefenprijzen worden geı̈ntroduceerd. Bijvoorbeeld bij een stijging van de
koers naar 90 zal introductie van opties met een uitoefenprijs van 90 volgen. De series 75,
80 en 85 blijven dan genoteerd tot hun expiratiedatum, want de beleggers die daar een
belang bij hebben genomen moeten dit kunnen verhandelen.
Voorbeeld Bij een beurskoers van 52.20 kon men op 26 juli 1996 een call-optie Gist-Brocades oktober
96 met als uitoefenprijs 55.00 (toen nog guldens) kopen voor een bedrag van fl. 1.40. Aangezien de
contractgrootte 100 is, verkrijgt men voor fl. 140,- (exclusief provisie) het recht om voor oktober 96 voor
een bedrag van fl. 5500,-, 100 aandelen Gist-Brocades te kopen. Als iemand de call Gist-Brocades oktober
96 met uitoefenprijs 55 schrijft, neemt hij de plicht op zich om gedurende de looptijd 100 aandelen GistBrocades te leveren aan de koper van de call, op het moment dat deze zijn recht wil uitoefenen. Ter
vergoeding ontvangt de schrijver van de optie fl. 140,-.
Wanneer iemand een bepaalde optie in bezit heeft, bijvoorbeeld 3 stuks van bovengenoemde callopties Gist-Brocades oktober 96 met uitoefenprijs 55, heeft deze persoon het recht om tot op de derde
vrijdag van oktober 1996 driehonderd aandelen Gist-Brocades te kopen voor de prijs van fl. 55,- per stuk.
Als de koers even voor de expiratiedatum tot bijvoorbeeld fl. 60,- is gestegen, dan kan de bezitter van
die optie twee dingen doen: ten eerste het kooprecht uitoefenen en de aandelen tegen een goedkopere
koers (fl. 55,-) kopen dan op de effectenbeurs (fl. 60,-). Ten tweede—en dat wordt meestal gedaan— de
call-opties weer verkopen. De call-opties zullen immers door het stijgen van de onderliggende aandelen
zelf ook meer waard geworden zijn. Vaak is het mogelijk de opties op de beurs weer te verkopen voor een
hogere prijs dan die men er destijds zelf voor betaald heeft.
Uit bovenstaande zal duidelijk zijn dat een voordeel van opties is dat er slechts een beperkte
downside risk is. De prijs die je voor een optie hebt betaald is het maximum bedrag dat
je kunt verliezen. Bovendien hebben opties een onbeperkte upside potential. Er is immers
geen bovengrens aan het bedrag dat je ermee kunt verdienen.
Op de optiebeurs in Amsterdam worden opties verhandeld. Zowel professionele als
particuliere beleggers kunnen daar op werkdagen tussen 10.00 en 16.00 opties kopen en
verkopen. De prijzen van de meest verhandelde opties van de afgelopen dag zijn in de
meeste ochtendbladen terug te vinden. Voor meer actuele informatie (de prijs van een
optie kan binnen een dag behoorlijk schommelen) kun je ook Teletekst (pagina’s 575–577)
raadplegen. Een nuttige pagina op het internet is die van de AEX-optiebeurs, met URL
http://www.aex-optiebeurs.nl/home.htm.
3
3. De prijs van een optie
De premie die de koper van een optie aan de schrijver betaalt, vormt voor deze laatste de
beloning voor het risico dat hij loopt door de op zich genomen verplichting om de vooraf
bepaalde aantallen aandelen te leveren. De hoogte van die premie, dit is de prijs van de
optie, hangt af van de volgende variabelen:
S: de huidige koers van het aandeel
K: de uitoefenprijs
r: de rente
t: de resterende looptijd (tijd tot expiratie)
σ: de volatiliteit (beweeglijkheid) van het aandeel
D: de hoogte van het dividend.
We zullen achtereenvolgens de invloed van de verschillende variabelen beschouwen.
We beginnen met S en K. We beperken ons in eerste instantie tot een call-optie en
duiden de prijs van de call-optie aan met C. Het moge duidelijk zijn dat C afhangt van
S, de koers van het aandeel op het beschouwde tijdstip en van K, maar we kunnen daar
wel iets meer over zeggen. Laten we de prijs van een call-optie eerst eens bepalen op de
expiratiedatum. We duiden dan met S ∗ de koers van het aandeel aan op de expiratiedatum.
Als we C ∗ schrijven voor de prijs van de optie op expiratie, dan geldt op het tijdstip van
expiratie
(3.1)
C ∗ = max[0, S ∗ − K] .
Dit is niet moeilijk in te zien. De call-optie geeft het recht om op dat moment 100 aandelen
te kopen voor de prijs van K euro. Er zijn twee mogelijkheden: S ∗ > K of S ∗ ≤ K. Als
S ∗ > K, is het het beste om dat recht inderdaad te gebruiken. Je koopt dan de aandelen
voor de prijs K, lager dan de eigenlijke waarde S ∗ . Eventueel verkoop je de aandelen
meteen weer voor de dan geldende koers van S ∗ euro. De winst is dan S ∗ − K > 0 euro
per aandeel en dat is op de expiratiedatum dus de juiste prijs voor de optie. Is S ∗ ≤ K,
dan is de call-optie niets waard. Het is dan beter de optie te laten expireren. Uitoefenen
van het recht levert immers verlies op.
Willen we iets zeggen over de prijs C van een call-optie op een moment vóór expiratie,
dan lukt het op deze manier niet meer om een gelijkheid af te leiden: we verkrijgen slechts
ondergrenzen. Hiertoe moeten we ook onderscheid maken tussen Amerikaanse en Europese
opties. We beschouwen eerst Amerikaanse call-opties. Voor een Amerikaanse call-optie
geldt
C ≥ max[0, S − K] ,
waar C en S de prijs van de call-optie en het onderliggende aandeel voorstellen op het
beschouwde tijdstip. Dit volgt, omdat de optie het recht verleent om op elk moment tot
expiratie aandelen te kopen tegen de uitoefenprijs, ook op het beschouwde tijdstip zelf.
Analoog aan bovenstaande redenatie voor C ∗ volgt dan namelijk dat C minstens zo groot
moet zijn als max[0, S − K], eventueel meer omdat de eigenaar van de optie ook de keuze
4
heeft om te wachten met het uitoefenen van zijn recht. Voor deze gunstige positie betaalt
de eigenaar van de optie dan iets meer.
De waarde max[0, S − K], wordt de intrinsieke waarde van de call-optie genoemd.
Het verschil tussen C en de intrinsieke waarde heet de tijdswaarde van de optie. Merk op
dat met C en S, ook de intrinsieke waarde en de tijdswaarde van het beschouwde tijdstip
afhangen; zo zal de tijdswaarde afnemen naarmate de expiratiedatum nadert.
Opdracht 3.1
– Geef een formule voor de intrinsieke waarde van een Amerikaanse put-optie.
Laat P de prijs van zo’n put-optie voorstellen, P ∗ de prijs van de put-optie op expiratie.
– Laat zien dat op de expiratiedatum geldt: P ∗ + C ∗ = |S ∗ − K|.
De tijdswaarde van een optie heeft ook te maken met de hoogte van de rente, aangeduid
met r, die we tot nu toe buiten beschouwing hebben gelaten. Om het niet al te ingewikkeld
te maken, nemen we aan dat de opties niet voor de expiratiedatum uitgeoefend kunnen
worden, d.w.z. we beperken ons nu tot Europese opties.
Allereerst dienen we vast te stellen wat we precies bedoelen met de hoogte van de
rente. De hoogte van de rente hangt om te beginnen af van hoe lang je het geld vastzet.
Voor 10 jaar vast krijg je een hogere rente dan op een rekening waar je je hele bedrag ten
allen tijde mag opnemen. Dat kan zelfs nog van bank tot bank verschillen. De Nederlandse
Bank, bijvoorbeeld, heeft (variabele) standaard tarieven voor rentes voor 1 en 10 jaar vast
en voor daggeld rente voor bedragen die altijd opgenomen mogen worden.
Voorts is er nog een verschil tussen jaarlijkse rente en continue rente. Laten we
aannemen dat er een vast bedrag van EUR 100,- op een rekening staat tegen een jaarlijkse
rente van 6%. Bank 1 geeft na een jaar een bedrag van EUR 6,- aan rente. Bank 2 geeft
twee keer per jaar 3% rente; eerst EUR 3,- (3% van 100), de tweede keer EUR 3,09 (3%
van 103). Door het cumulatieve effect van rente op rente is het resultaat van bank 2 na
een jaar EUR 106,09.
Opdracht 3.2
– Als bank nr. n op n tijdstippen in het jaar 6/n% rente geeft over het totale bedrag op
dat moment, wat is dan het resulterende bedrag na een jaar?
– Laat zien dat het resultaat een stijgende functie is van n.
– Wat is de limiet voor n → ∞?
Wij zullen afspreken dat als de (daggeld) rente gelijk is aan r, bij inleg van 1 euro op
tijdstip t = 0, na tijdstip t (gemeten in jaren) een bedrag van ert euro teruggevorderd kan
worden.
We hebben al benadrukt dat we de prijs C van een call-optie of P van een put-optie
beschouwen op een bepaald tijdstip. Dat tijdstip drukken we vanaf nu uit door middel van
de variabele t, de resterende looptijd van de optie. Een hogere waarde van t betekent dus
een langere tijd tot de expiratiedatum; t = 0 komt overeen met de expiratie.
Een belangrijk economisch principe kan ons helpen om in ieder geval grenzen te
bepalen aan C en P , de arbitrage-regel. Deze luidt
5
Het mag niet mogelijk zijn om zonder risico’s of zonder investering een gegarandeerde winst
te behalen.
Laten we dit principe eens toepassen om te laten zien dat voor een Europese call-optie
geldt
(3.2)
C ≥ S − Ke−rt .
Stel dat C < S − Ke−rt . Dan kunnen we door de volgende strategie altijd winst behalen.
Koop de call-optie voor het bedrag C, verkoop het aandeel voor het bedrag S en zet een
bedrag Ke−rt op een rekening met rente r. Dit levert netto een bedrag op van S −Ke−rt −
C > 0 euro. Op de expiratiedatum zijn er twee mogelijkheden: S ∗ ≥ K of S ∗ < K. In het
eerste geval kan de call uitgeoefend worden en kopen we het aandeel terug voor de prijs
van K euro. Dit kan gefinancierd worden uit de opbrengst van het bedrag op de rekening
dat inmiddels precies K euro waard is geworden. Als S ∗ < K laten we de call expireren
en kopen we het aandeel op de beurs voor S ∗ euro. Dit kunnen we weer betalen uit de
opbrengst van het bedrag van K euro op de rekening en we halen zelfs een extra winst van
K − S ∗ euro.
Opdracht 3.3
– Leid voor de prijs P van een Europese put-optie met resterende looptijd t, uitoefenprijs
K, aandeelprijs S en rente r een ondergrens af analoog aan (3.2).
De ongelijkheid (3.2) en Opdracht 3.3 maken aannemelijk dat C een stijgende functie en
P een dalende functie van r is.
Tenslotte komt de volatiliteit van het onderliggende aandeel aan bod. We concentreren
ons eerst weer op de call-optie. Om de invloed van de volatiliteit te bekijken, beschouwen
we de situatie dat op een bepaald moment voor de expiratiedatum de koers van het aandeel
onder de uitoefenprijs ligt, dus S < K en de intrinsieke waarde van de call is nul. Let wel,
dit hoeft nog niet te betekenen dat C = 0; het betekent alleen dat de waarde van de call
alleen uit tijdswaarde bestaat. Hoe hoger de volatiliteit, hoe sneller en vaker de koers weer
boven K kan noteren, en hoe meer mogelijkheden er zijn om de call daadwerkelijk uit te
oefenen. Dit voordeel uit zich in een hogere prijs voor de call bij een hogere volatiliteit
van het aandeel.
Voor de volledigheid noemen we nog de invloed van dividend. In deze opdracht zullen
we de invloed van dividend steeds verwaarlozen. Het is echter in werkelijkheid zo dat
call-opties dalen in waarde en put-opties stijgen in waarde bij een hoger dividend, mits dat
dividend wordt uitgekeerd gedurende de looptijd van de optie. Dit heeft te maken met het
feit dat het aandeel op de dag dat het dividend wordt uitgekeerd “ex-dividend” gaat. Dat
wil zeggen dat de koers van het aandeel op die dag verminderd wordt met het bedrag dat
aan dividend wordt uitgekeerd. In de prijs van de optie zit dat gegeven al verwerkt. Het
blijkt dat het bij een call-optie van een aandeel dat gedurende de looptijd geen dividend
uitkeert nooit gunstig is om voor expiratie het kooprecht uit te oefenen, in verband met
de tijdswaarde van de optie. Zodoende zal in zo’n geval de prijs van twee voor het overige
identieke call-opties Amerikaans en Europees aan elkaar gelijk zijn. Dit is echter niet het
6
geval voor een put-optie. Daar kan het wel zo zijn dat het gunstig is om het verkooprecht
voor expiratie al uit te oefenen; de prijs van een Amerikaanse put-optie kan dus iets hoger
zijn dan die van de Europese put-optie met dezelfde expiratie en uitoefenprijs. De analyse
die we in de volgende paragraaf zullen uitvoeren geldt voor Europese opties. Omdat op de
Europese markt voornamelijk in Amerikaanse opties wordt gehandeld, zou het kunnen zijn
dat bij de laatste opdracht (Opdracht 6.3) de gevonden prijzen van met name de put-opties
iets te laag uitkomen in vergelijking met de echte prijzen in de markt.
Globaal kunnen we het volgende schema maken voor het effect van een stijging van
de zojuist genoemde factoren op de prijzen van opties.
factor
huidige koers aandeel (S)
uitoefenprijs (K)
rente (r)
resterende looptijd (t)
volatiliteit (σ)
dividend (D)
P
↓
↑
↓
↑
↑
↑
C
↑
↓
↑
↑
↑
↓
Tabel 3.1. Effect van bepalende factoren op optieprijs
4. Een binomiaal model voor de prijzen van opties
We zullen in deze paragraaf nagaan hoe de prijs van een optie meeverandert met de koers
van het onderliggende aandeel. We gaan ons daarvoor om te beginnen eens concentreren
op één handelsperiode en we nemen aan dat dat de laatste handelsperiode is voor het
bereiken van de expiratiedatum van de optie. Later breiden we uit naar twee en naar meer
handelsperioden. Wederom beperken we ons in eerste instantie tot call-opties. We nemen
voor het gemak aan dat het aandeel geen dividend betaalt gedurende de looptijd van de
optie, dat de rente r constant is en we vergeten even alle belastingen en provisies.
We zullen hier leren dat een call-optie equivalent is aan een portefeuille van een aantal
van de betreffende aandelen en een bedrag waarover rente gevangen kan worden. Een
verandering over één handelsperiode van de koers van het aandeel en het bedrag—door
rente—resulteert dan in een door die portefeuille bepaalde verandering van de prijs van
de call-optie. De relatie tussen de prijs van de call-optie en de portefeuille wordt gegeven
door
(4.1)
C = S∆ + B .
Hier is C de prijs van de call-optie op een bepaald tijdstip, S de koers van het betreffende
aandeel op datzelfde tijdstip, ∆ een vaste hoeveelheid van die aandelen (niet noodzakelijk
geheel) en B de hoogte van het bedrag op de rekening. Dat bedrag B varieert ook met
7
de tijd, doordat er een rente op gegeven wordt van r · 100%. Als de koers van het aandeel
stijgt of daalt over een bepaalde tijdsperiode, stijgt of daalt de prijs van de call-optie mee
op een manier die bepaald wordt door (4.1).
We beginnen eenvoudig en stellen ons in de denkbeeldige situatie dat alleen op bepaalde
perioden gehandeld kan worden en dat er op dit moment nog één zo’n handelsperiode te
gaan is voordat de optie expireert. De rente over één handelsperiode zullen we gelijk stellen
aan r̂, hetgeen betekent dat een bedrag van B euro na een handelsperiode (1 + r̂)B euro
waard is. Voor het gemak definiëren we ρ = 1 + r̂. Verder nemen we aan dat de koers
van het aandeel over een handelsperiode ofwel omhoog kan naar u · S ofwel omlaag naar
d · S. Deze u en d zullen we later, als we de call-optie en het aandeel zullen volgen over
meer dan één handelsperiode, gelijk nemen voor elke handelsperiode. De kans dat de koers
stijgt is q en de kans dat de koers daalt is 1 − q. We zullen nu over deze ene handelsperiode
de prijsontwikkeling van de call-optie en van de equivalente portefeuille bestuderen. Eén
handelsperiode voor expiratie is de prijs van de call C en de koers van het aandeel S. Na
het eind van de handelsperiode zijn er voor de portefeuille twee mogelijkheden:
S∆ + B wordt
uS∆ + ρB , met kans q
dS∆ + ρB , met kans 1 − q .
Aan de andere kant geldt voor de call-optie, omdat deze na de handelsperiode expireert,
dat
Cu = max[0, uS − K] , met kans q
C wordt
Cd = max[0, dS − K] , met kans 1 − q .
Het aandeel kan gestegen of gedaald zijn. We kunnen ervoor zorgen dat in beide gevallen
de waarde van de equivalente portefeuille, niet alleen op dit moment, maar ook na deze
ene handelsperiode, gelijk is aan de prijs van de call-optie.
Opdracht 4.1 Uit dit gegeven volgen twee vergelijkingen.
– Los hieruit ∆ en B op.
– Druk ze uit in d, u, ρ, S, Cu en Cd .
– Druk nu m.b.v. (4.1) ook C uit in dezelfde grootheden.
Door de arbitrage-regel volgt dat voor de ∆ en B, gevonden in Opdracht 4.1, C = S∆ + B
de correcte prijs voor de call-optie moet zijn op het betreffende moment, d.w.z. één periode
voor expiratie. Immers, als C > S∆ + B, dan verkopen we de call-optie en kopen we de
portefeuille. Dit levert een positief netto-bedrag op van C − (S∆ + B) euro. Aan het
eind van de handelsperiode kopen we eenvoudig de call-optie terug en verkopen we de
portefeuille weer. We hebben gezien dat ook aan het eind van de handelsperiode de waarde
van de call en de portefeuille gelijk zijn. We hebben de portefeuille immers met zorg zo
samengesteld. Deze slot-transactie levert dus niets op maar kost ook niets. We kunnen zo
zonder enig risico een bedrag van C − (S∆ + B) euro in onze zak steken. En: wat één keer
kan, kan ook in het honderd- of duizendvoudige. Dergelijke zaken moeten niet mogelijk
zijn. Dat is de arbitrage-regel.
8
Opdracht 4.2
– Bedenk zelf een strategie waarmee zonder risico geld verdiend kan worden in het geval
dat C < S∆ + B.
Uit Opdracht 4.1 blijkt dat
(4.2)
C = ρ−1 [pCu + (1 − p)Cd ] ,
ρ−d
. Men kan p opvatten als de waarde die q zou hebben als de verwachte koers
waar p = u−d
van het aandeel na een handelsperiode gelijk zou zijn aan wat je van een bedrag zou terug
krijgen als je het zonder risico op een rekening zet. Met andere woorden, p is de oplossing
voor q van de vergelijking
quS + (1 − q)dS = ρS .
Het blijkt, verrassend genoeg, dat de “echte” kans waarmee de koers van het aandeel
omhoog of omlaag gaat, helemaal niet van invloed is op de prijs van de optie. Er is
hier een sterkere macht in het spel die als het ware de prijs van de optie dicteert, de
arbitrage-regel. Bij overtreden daarvan kan met absolute zekerheid, zonder enig risico, een
onbegrensde hoeveelheid geld verdiend worden. Dit is uitgesloten.
In de volgende opdracht zullen we de call-optie bekijken met nog twee handelsperioden
te gaan voor expiratie. De koers van het aandeel op dat moment, S, kan beide keren ofwel
omhoog (vermenigvuldigd met u) ofwel omlaag (vermenigvuldigd met d).
Opdracht 4.3 Stel voor het gemak dat ρ = 1 (de rente is dus 0). Stel dat S = 36,
u = 3/2 en d = 2/3.
– Maak een binaire boom met in de knopen de koersontwikkeling van het aandeel over
twee handelsperioden.
– Maak een tweede binaire boom waar aan de uiteinden de prijzen ingevuld zijn van een
call-optie van dat aandeel met als uitoefenprijs K = 30, voor de bijbehorende expiratiekoersen van het aandeel. Gebruik hierbij (4.2) om de prijs van de call-optie te vinden één
periode voor expiratie. Gebruik (4.2) nogmaals om de prijs van de call-optie twee perioden
voor expiratie te vinden.
Laten we Cuu schrijven voor de waarde van de call twee periodes van nu als de koers van
het onderliggende aandeel twee keer omhoog is gegaan; Cud , Cdu en Cdd definiëren we
analoog. Het moge duidelijk zijn dat Cud = Cdu .
Opdracht 4.4
– Gebruik het principe van Opdracht 4.3 om af te leiden dat
C = ρ−2 p2 Cuu + 2p(1 − p)Cud + (1 − p)2 Cdd .
– Controleer of deze uitkomst overeenkomt met de uitkomst van Opdracht 4.3.
9
In Opdracht 4.3 hebben we een voorbeeld gezien waar we de prijs van een call-optie als
het ware teruggaand in de tijd hebben gereconstrueerd. De prijs van de call op expiratie
ligt vast door middel van (3.1) en stap voor stap konden we gebruik maken van (4.2) voor
alle knopen van de lagen daarvoor. De basis van (4.2) was een denkbeeldige portefeuille,
bestaande uit ∆ van de onderliggende aandelen en een bedrag B op een rekening die zowel
op als na het betreffende tijdstip dezelfde waarde heeft als de call-optie. De bijbehorende
waarden van ∆ en B (de precieze samenstelling van de portefeuille) hebben we in een
tussenstap bepaald, in Opdracht 4.1.
Opdracht 4.5
– Schrijf in de boom van Opdracht 4.3 met de prijzen van de call-opties de waarden van
∆ en B erbij, één handelsperiode voor expiratie.
– Doe hetzelfde twee handelsperioden voor expiratie. Controleer steeds of C = S∆ + B
geldt.
N.B. negatieve waarden zijn in principe mogelijk, zowel voor ∆ als voor B.
In Opdracht 4.5 hebben we in feite een strategie beschreven om de call-optie over twee handelsperioden te volgen m.b.v. een portefeuille van aandelen en een bedrag op een rekening,
die op elk moment dezelfde waarde heeft als de call-optie.
Opdracht 4.6
– Volg een pad in de boom van Opdracht 4.3 en 4.5. Begin twee perioden voor expiratie en
beschrijf op elk moment hoe de portefeuille is samengesteld en hoe de portefeuille aangepast
moet worden om ervoor te zorgen dat ook op het volgende moment de portefeuille en de
call-optie gelijke waarde hebben.
Stel dat twee perioden voor expiratie de call op de markt te kopen en te verkopen is voor
een prijs van een euro meer dan de prijs gevonden in Opdracht 4.3.
– Beschrijf voor het gekozen pad in de boom een strategie om, zonder risico, een euro te
verdienen.
We gaan nu nog een stapje verder en we breiden uit naar n handelsperioden. C en S
zijn nu de prijs van de call-optie en het onderliggende aandeel, op het tijdstip van n
handelsperioden voor expiratie. Stel dat over deze n periodes de prijs van het aandeel
j keer is gestegen en n − j keer is gedaald. Dan is op de expiratiedatum de koers van
het aandeel dus gelijk aan uj dn−j S. Voor de prijs van de bijbehorende call op expiratie,
aangeduid met Cuj dn−j , geldt dus
(4.3)
Cuj dn−j = max[0, uj dn−j S − K] .
Opdracht 4.7
– Werk terug vanaf de expiratiedatum en pas herhaaldelijk formule (4.2) toe. Laat zien
10
dat
C = ρ−n
(4.4)

n X
n

j=0
j
pj (1 − p)n−j Cuj dn−j


,

met Cuj dn−j als in (4.3).
We definieren nu a als het kleinste positieve gehele getal, zodanig dat ua dn−a S > K.
Opdracht 4.8
– Laat met behulp van (4.3) zien door C in (4.4) in twee termen te verdelen dat
(4.5)
C=S

n X
n

j=a
j
j n−j
pj (1 − p)n−j
u d
ρn



− Kρ−n

n X
n

j=a
j
pj (1 − p)n−j


.

5. De formule van Black-Scholes
Het is natuurlijk om iedere handelsperiode in de vorige paragraaf te associeren met een
tijdsinterval met een bepaalde lengte, bijvoorbeeld een dag. Als je dit bedenkt, is het model
van de vorige paragraaf niet erg bevredigend. Ten eerste zijn er na een dag handelen wel
meer dan twee mogelijke koersen van het aandeel denkbaar. Ten tweede wordt er niet een
keer op een dag gehandeld maar veel vaker; handel vindt eigenlijk continu plaats.
Gelukkig is het model dat we ontwikkeld hebben tegen deze tegenwerpingen bestand.
Niets weerhoudt ons ervan om veel kleinere intervallen te bekijken, een uur, een minuut,
of nog veel korter. Dan zijn er na een dag veel meer dan twee koersen mogelijk en we
hebben de mogelijkheid ingebouwd om veel vaker dan een maal per dag te handelen. We
moeten er dan echter wel voor zorgen dat de waarden van u, d en q voor een model waar
eens per dag gehandeld wordt verschillen van die waar eens per minuut of nog veel vaker
gehandeld wordt. Bij kleinere tijdsintervallen zullen we u en d om te beginnen veel dichter
bij 1 kiezen.
Om dit alles preciezer te maken, laten we t de kalendertijd voorstellen (in jaren) tot
expiratie van de optie. We verdelen t in n tijdsintervallen van gelijke lengte en noemen deze
lengte h, dus h = t/n. De resterende looptijd t zelf zal niet van het aantal handelsperioden
afhangen. Naarmate handelen vaker plaatsvindt, wordt h kleiner en kleiner. We passen
dan de variabelen u, d en ρ (die van de lengte van de handelsperiode afhangen) aan, zodanig
dat we realistische resultaten krijgen voor n → ∞. De variabelen u, d en ρ hangen dus af
van n!
11
Laat r̂ de rente zijn over één handelsperiode, ρ = 1 + r̂, en laat r de daggeld rente
voorstellen. De rente over n handelsperioden (ρn ) over een tijd t (in jaren) moet dan gelijk
zijn aan ert , m.a.w. ρ = ert/n .
De koers van het aandeel op het moment waar we de optie willen prijzen noemen we
weer S; S ∗ stelt de koers van het aandeel op expiratie voor. Tijdens iedere handelsperiode
gaat de koers van het aandeel, onafhankelijk van de gebeurtenissen van alle andere handelsperioden, omhoog (vermenigvuldigd met u, met kans q) of omlaag (vermenigvuldigd met
d, met kans 1 − q). Laat N een stochastische grootheid zijn met een binomiale verdeling
met parameters n en p. Dan kunnen we de laatste som van (4.5) ook lezen als
(5.1)
n X
n
j=a
j
pj (1 − p)n−j = P (N ≥ a) = 1 − P (N ≤ a − 1) .
Als p = q, dan kunnen we N zien als het aantal keer dat het aandeel in koers gestegen is.
Opdracht 5.1
– Laat zien dat voor een of andere ε ∈ [0, 1),
(5.2)
a−1=
log(K/S) − n log d
−ε .
log(u/d)
We hebben al gesuggereerd dat we een realistisch model krijgen als we u, d, ρ en
daarmee ook p en a van n laten afhangen. We zullen van nu af aan al deze grootheden
dan ook consequent van een subscript voorzien. Hoe kunnen we die afhankelijkheid op
een redelijke manier introduceren? Hoe groter n, hoe korter de handelsperiode t/n en hoe
minder de aandelen omhoog of omlaag kunnen gaan tijdens één periode. Zowel un als dn
zullen dan dus dichter bij 1 liggen en wel op een zodanige manier dat un → 1 en dn → 1
als n → ∞. Een handige manier om dat te doen is te kiezen
√
√
(5.3)
un = eσ t/n ,
dn = e−σ t/n ,
voor zekere σ > 0. Deze σ wordt de jaarlijkse volatiliteit van het aandeel genoemd. Merk
op dat un · dn = 1, d.w.z. de sprong omhoog is relatief even groot als de sprong omlaag
over één handelsperiode. Met ρn = ert/n zien we dat
√
ρn − d n
ert/n − e−σ t/n
√
= √
.
(5.4)
pn =
un − dn
eσ t/n − e−σ t/n
Het is bekend dat als X een binomiale verdeling met parameters n en q, voor vaste
q ∈ (0, 1),
(5.5)
X − nq
D
p
→ N (0, 1) .
nq(1 − q)
12
Dit is een bijzonder geval van de centrale limietstelling. We willen voor (5.1) ook een
normale benadering als (5.5) toepassen. Alleen: bij ons is q niet vast, maar varieert met
n. De centrale limietstelling blijkt toch op te gaan, mits q = qn convergeert naar een
constante in (0, 1).
Opdracht 5.2
– Laat zien dat voor pn , gedefinieerd door (5.4), geldt:
2
1 r − σ2
pn ≈ +
2
2σ
(5.6)
r
t
.
n
– Pas nu de centrale limietstelling toe en laat met behulp van (5.1), (5.2) en (5.6) zien dat
als n → ∞,
(5.7)
n X
n j
log(Ke−rt /S) 1 √
n−j
√
+ σ t .
1−
p (1 − pn )
→Φ
2
j n
σ t
j=a
n
We hebben hiermee een relatief eenvoudige uitdrukking gevonden voor het laatste gedeelte
van (4.5). Het eerste gedeelte van (4.5) kan op een analoge manier ook aangepakt worden.
We nemen dan p0n = (un /ρn )pn .
Opdracht 5.3
– Laat zien, gebruik makend van (5.3), dat
2
1 r + σ2
0
pn ≈ +
2
2σ
(5.8)
r
t
.
n
– Pas weer de centrale limietstelling toe en laat met behulp van (5.1), (5.2) en (5.8) zien
dat als n → ∞,
(5.9)
n j n−j
X
n j
log(Ke−rt /S) 1 √
n−j un dn
√
1−
p (1 − pn )
→Φ
− σ t .
j n
ρnn
2
σ t
j=a
n
Opdracht 5.4
– Combineer (4.5), (5.7), (5.9) en de symmetrie-eigenschap van de verdelingsfunctie van
de standaard normale verdeling,
Φ(z) = 1 − Φ(−z) ,
13
dat
(5.10)




n n 

X
j n−j 
X
n j
n j
u d
n−j
C=S
− Kρ−n
p
(1
−
p
)
pn (1 − pn )n−j n nn
n
n



j n
j
ρn 
j=an
j=an
log(S/(Ke−rt )) 1 √
log(S/(Ke−rt )) 1 √
−rt
√
√
→ SΦ
+ σ t − Ke Φ
− σ t .
2
2
σ t
σ t
We hebben de formule van Black-Scholes voor call-opties afgeleid. De prijs van een putoptie is nu niet moeilijk meer: die volgt uit de zogenaamde put-call parity, geldig voor
Europese opties
P = C − S + Ke−rt
(5.11)
die we niet zullen bewijzen.
Opdracht 5.5
– Leid een formule af voor P .
6. Toepassen van de formule van Black-Scholes
Om de formule van Black-scholes toe te passen, moeten alle variabelen S, K, t, σ en r
ons bekend zijn. Zodra we op een bepaald moment hebben vastgesteld om welke optie het
gaat, liggen daarmee K en t vast. Deze laatste is het resterende aantal beursdagen tot de
expiratiedatum, en dat gedeeld door het aantal beursdagen in een jaar, ongeveer 250. Als
de looptijd van de optie niet al te kort is (meer dan een maand) kan men als benadering
ook het aantal kalenderdagen tot expiratiedatum nemen, gedeeld door 365. De koers van
het aandeel is op te zoeken in de krant, evenals de hoogte van de rente. De enige onbekende
is daarmee σ, de jaarlijkse volatiliteit van het aandeel. We zullen deze gaan schatten.
Laten we als voorbeeld de wekelijkse slotkoersen bekijken van het aandeel Hagemeyer:
190496
260496
030596
100596
170596
240596
310596
070696
113.20
116.70
115.50
118.00
115.30
116.60
117.50
124.80
140696
210696
280696
050796
120796
190796
260796
020896
121.20
121.00
121.60
130.00
129.00
131.00
129.00
124.00
Tabel 6.1. Wekelijkse slotkoersen van Hagemeyer
14
Vaak wordt aangenomen dat de logaritme van de koersen van aandelen normaal verdeeld
is en dat de logaritme van de relatieve koers (d.w.z. de huidige koers gedeeld door de vorige
koers) over een periode (hier een week) een normale verdeling heeft met verwachting en
variantie proportioneel met de lengte van de periode. Bovendien wordt dan aangenomen
dat de relatieve koersen onderling onafhankelijk zijn. De eerste vier koersen van Tabel 6.1
zijn bijvoorbeeld 113.20, 116.70, 115.50 en 118.00, dus de eerste drie relatieve koersen zijn
116.70/113.20 = 1.031, 115.30/116.70 = 0.990 en 118.00/115.50 = 1.022. De natuurlijke
logaritmen daarvan zijn log(1.031) = 0.0305, log(0.990) = −0.0101 en log(1.022) = 0.0218.
Onder de zojuist genoemde voorwaarden vormen deze drie een onderling onafhankelijke
steekproef uit een normale verdeling met als standaard deviatie σ̃ de wekelijkse volatiliteit
van het aandeel. Als we de volledige data van Tabel 6.1 zouden gebruiken, dan hadden we
een onafhankelijke steekproef van lengte 15 uit deze normale verdeling.
Algemeen, als Sk de prijs van het aandeel is in week k, dan is log(Rk ) = log(Sk /Sk−1 )
normaal verdeeld met parameters µ̃ en σ̃ 2 . Een zuivere schatter voor σ̃ 2 wordt dan gegeven
door
ˆ2 =
σ̃
n
1 X
ˆ 2,
(log Rk − µ̃)
n−1
k=1
met
n
X
ˆ= 1
µ̃
log Rk .
n
k=1
2
ˆ en de jaarlijkse volatiliteit σ die
De jaarlijkse variantie kan dan geschat worden met 52σ̃
we in de formule van Black-Scholes gebruiken met de wortel daarvan.
Opdracht 6.1
– Schat de jaarlijkse volatiliteit van Hagemeyer op grond van de data uit Tabel 6.1.
Ook op grond van dagelijkse slotkoersen kunnen we σ 2 schatten. We gaan dan weer uit
van 250 beursdagen in een jaar.
Opdracht 6.2 Verzamel van het aandeel Ahold de slotkoersen van de 40 meest recente
beursdagen.
– Schat op grond daarvan de jaarlijkse volatiliteit van het aandeel.
Slotkoersen staan bijvoorbeeld in de Volkskrant. Deze zijn te raadplegen bij de Persdocumentatie van de bibliotheek van de VU, eerste verdieping van het hoofdgebouw, de meest
recente op papier, oudere op microfiche. Raadpleeg een medewerker daar.
Opdracht 6.3
Beschouw weer het aandeel Ahold
– Bepaal de prijzen van calls en puts voor de drie dichtstbijzijnde expiratie-data op de dag
15
van de vorige opdracht. Neem twee uitoefenprijzen: de twee die zich het dichtst bij de
huidige koers bevinden. In totaal moeten dus 12 opties (6 calls en 6 puts) geprijsd worden.
Gebruik hierbij de geschatte volatiliteit van Opdracht 6.2.
– Vergelijk de berekende prijzen met prijzen uit de krant en/of internet (http://www.debeurs.nl),
voorzover die beschikbaar zijn.
– Bereken tevens de prijzen van een zelf gekozen langlopende (2 of 3 jaar) Ahold optie,
zowel call als put.
– Stel dat de koers van het aandeel precies een jaar later 5,- euro gestegen is, wat is dan
op dat moment de prijs van de call-optie?
– Vergelijk de procentuele stijging van de call-optie met die van het aandeel.
NB. Vermeld bij deze opdracht duidelijk welke bronnen (m.n. welke dagen) geraadpleegd
zijn, op welk moment de opties geprijsd zijn en wat op dat moment de koers van het
aandeel was.
16