Inhoudsopgave

Inhoudsopgave
2 Inleiding
2 Deelvraag 1 Hoe snel gaat het vliegtuig?
5 Deelvraag 2 Hoe lang na elkaar verlaten de parachutisten het vliegtuig?
5 Deelvraag 3 Hoe snel vallen de parachutisten?
7 Deelvraag 4 Hoe snel verplaatst de lucht zich?
7 Hoofdvraag: Hoe kan het dat parachutisten die op verschillende punten het vliegtuig verlaten elkaar later
weer tegen komen?
9 Hoe zouden mijn bevindingen in de praktijk gebruikt moeten worden?
9 Na woord
9 Bronnenlijst
Inleiding
Parachute springen is een sport die op zich al veel wiskunde met zich meebrengt. Hoe hoog open ik mijn
parachute? Op welk punt verlaat ik het vliegtuig om op mijn doel te landen? Wat is de daalhoek van mijn
parachute? En ga zo nog maar een tijdje door...
Het leek mij wel interessant om een fenomeen wat ik heb mee gemaakt zelf iets beter te begrijpen en
mijzelf daar in te verdiepen. Niet alleen omdat het interessant is maar ook omdat parachutespringen één
van de meer praktische toepassingen is voor de exacte vakken. Door te begrijpen wat er gebeurd kan je
beter je beslissingen maken en veiliger springen.
Het was een mooie Zaterdag middag en mijn Vader en Ik waren alleen op het paracentrum. Er kwam een
mevrouw aan om een tandemsprong te maken en mijn vader nam haar mee omhoog. Ik besloot de
andere 2 plekken in het vliegtuig te bezeten . Het weer was perfect afgezien van het feit dat het boven in
de lucht nogal hard waaide. Na een kort overleg besluit mijn vader dat ik maar 5 seconden na hem eruit
moet springen. Dit was om te voorkomen dat we elkaar tegen zouden komen omdat een botsing heel
gevaarlijk is (verschil in snelheid).Mijn pa springt af en ik kijk hem na terwijl ik hard op zit te tellen.5
seconden later verlaat ik het vliegtuig. Nadat ik klaar ben met mijn oefeningen in vrije val maak ik me klaar
om mn parachute open te trekken.Net als ik mijn hand op mijn ripcord (wel beter bekent als “Touwtje”) heb
zie ik iets in mijn ooghoek. Het is mijn vader waar ik op een afstand van een meter of 20 rakelings met
ongeveer 190 kilometer per uur langs schiet. Hoe kon dit? Ik had netjes 5 seconden gewacht en dat zou in
principe genoeg moeten zijn. En dit brengt mij dus ook bij mijn vraagstuk: Hoe kan het dat parachutisten
die op verschillende punten het vliegtuig verlaten elkaar later weer tegen komen?
Zoals vaak bij (bijna) ongelukken in deze sport is het dat het ligt aan verschillende factoren. Doordat er
zoveel marges in het springen ingebouwd zitten moet er vaak meer dan één ding mis gaan. En om al
deze factoren te begrijpen heb ik de deelvragen op volgorde van sprong over deze factoren gemaakt.
Hoe snel gaat het vliegtuig?
Het is belangrijk om te weten hoe snel het vliegtuig gaat om de horizontale afstand tussen de eerste en de
tweede parachutist te bereken. Ook is hier de bijkomende factor van de voorwaartse worp belangrijk om in
de gaten te houden. Integendeel van wat er vaak word gedacht heeft de parachutist bij het verlaten van
het vliegtuig zelf ook nog voorwaartse snelheid. Hij vertraagt (voorwaarts) zodra hij het vliegtuig loslaat.
Maar de factor van vertraging verschilt per oefening. Dit heeft dus ook invloed op de horizontale afstand
tussen de eerste en de tweede parachutist. De oefeningen zijn heel gemakkelijk op te delen, je hebt de
zogenaamde “plat-vallers”, die vallen in de basispositie op hun buik waarbij er meer weerstand is. De
andere groep zijn de “onstabiele” parachutisten die in elke positie (zittend, op de kop, enz) vallen en dus
minder weerstand hebben.
De zithouding.
De basispositie.
Verder is het belangrijk om te bedenken dat de oefeningen altijd in de relatieve wind worden uitgevoerd.
Bij het verlaten van het vliegtuig komt de relatieve wind van voren vanwege de voorwaartse snelheid. In
de opbouw naar eindsnelheid veranderd de richting van de relatieve wind naar beneden. Dit is in feite
voor te stellen als een soort glijbaan van lucht. Deze glijbaan word in de spring sport ook wel “the hill”
genoemd. De persoon in de basispositie zal zijn buik in de wind leggen en in een rechtstaan positie het
vliegtuig verlaten waarna hij 90 graden zal draaien en uiteindelijk met zijn buik naar de grond zal komen te
vallen. De persoon in de zitpositie zal als het ware liggend er uit gaan (met zijn knieën gebogen) en
uiteindelijk in een zithouding relatief tot de grond naar beneden vallen.
3 parachutisten op ‘’the hill’’.
Om dit verschil te bereken is het eerst nodig om dat factor van versnelling (of in dit geval vertraging) te
verkrijgen. F= m . a is de formule voor de kracht van de acceleratie. De factor acceleratie is de verhouding
tussen de kracht van de weerstand en de massa. Voor het berekenen van de kracht van de weerstand is
de volgende formule van kracht: F= (A . Cw . P . V²):2 waarbij A het oppervlak in M² is, Cw de weerstands
coëfficiënt, P de dichtheid van de lucht in Kg/M³, en V de snelheid in M/s is.
Omdat ik niet de middelen heb om de weerstands coëfficiënt uit te rekenen stel ik die voor het gemak
maar op 1.Ook heb ik het probleem dat ik slechts het gemiddelde van de kracht kan bereken omdat ik
alleen de beginsnelheid (de snelheid van het vliegtuig) en de eindsnelheid (0) weet. Hierbij ga ik dus uit
van een constante vertraging van de parachutist. Door de kracht van de vertraging te delen door de
massa kom ik op de gemiddelde factor van vertraging (a in m/s²). Door de snelheid van het vliegtuig te
delen door de factor van vertraging kom ik op het aantal seconden dat het duurt voordat de parachutist
een voorwaartse snelheid van 0 heeft bereikt. Door daarna de acceleratie maal de tijd in het kwadraat
gedeeld door twee te berekenen weet ik de afstand tussen het punt waar de parachutist het vliegtuig
loslaat en het punt waar hij geen voorwaartse snelheid meer heeft. Op deze manier is het verschil in de
voorwaartse worp te berekenen (het verschil in oppervlak of massa) en dat is één van de factoren die er
voor kan zorgen dat je elkaar tegen komt.
In deze berekening ga ik uit van 2 mensen met hetzelfde gewicht maar met een ander oppervlak vanwege
verschillende oefeningen. De ene persoon ligt in de basis positie waarbij hij zijn romp tot aan de knieën in
de wind heeft liggen en de andere persoon iemand die in een zit houding het vliegtuig verlaat waarbij
slechts het zitvlak en de onderkant van voeten in de wind liggen. Verdere grote in oppervlak is volgens mij
te verwaarlozen.
Voor het gemak bereken ik de oppervlakken als vierkanten. Ik heb mijzelf opgemeten. Mijn romp is 32 cm
breed en de afstand tussen mijn schouder en mijn knie bedraagt ongeveer 100 cm dit is dus 32*100=3200
cm²=0,32 m².Voor de afstand tussen mijn rug en knie is ongeveer 55 cm lang en 30 cm breed dus
55*30=1650cm²=0,165m² .Deze getallen zijn behoorlijk benaderd en kunnen dus wel afwijken van
werkelijkheid maar wat wel duidelijk is, is dat de zithouding aanzienlijk minder oppervlak heeft dan de
basispositie.
De dichtheid van de lucht op grond niveau is 1,293 kg/m³ maar aangezien we uitgaan van hoogte van 3
kilometer zal dit iets anders zijn. Volgens Wikipedia is op 32 kilometer hoogte de luchtdichtheid 1% van
wat die op de grond is. Dus door 32 te delen door 99 weet ik hoeveel % de luchtdichtheid daalt per
kilometer.99/32=3,09% per kilometer dus is de luchtdichtheid op 3 kilometer 100%-3*3,09%=90.73% van
wat die op de grond is en is dus 1,173 kg/m³
De snelheid van het vliegtuig is 80 knopen waarbij één knoop gelijk is aan 0,51444 m/s en 80 knopen
gelijk is aan een snelheid van 41,15 m/s
Dus dit brengt mij tot de volgende berekening voor de persoon in de basispositie:
(0,32*1*1,173*41,15²):2=F= 317,8027668 newton
En voor de persoon in de zithouding is deze berekening van kracht:
(0,165*0,5*1,173*41,15²):2=F=163,86705163125 newton
Nu hoef ik slechts de kracht van de vertraging (F) te delen door de massa (m) om de factor van vertraging
te krijgen (a). Aangezien ik bij de oppervlaktes van mijzelf ben uitgegaan ga ik dat bij gewicht ook doen. Ik
weeg ongeveer een kilo 0f 60.Dus de basispositie: 317,8027668/60= 5,29671278.De zithouding:
163,86705163125 /60=2,7311175271875.
Nu ik de factor van vertraging weet kan ik berekenen hoelang het duurt voordat er een voorwaartse
snelheid van nul is bereikt. Dit doe ik door de snelheid te delen door de factor van vertraging:
De basispositie – 41,15/5,29671278=7,77 seconden
De zithouding -41,15/2,7311175271875=15,07 seconden
Nu ik weet na hoeveel seconden het duurt voordat de springer niet meer vooruit gaat kan ik ook de
afstand van de voorwaartse worp uitrekenen. Dit doe ik als volgt:
De basispositie: 0,5*5,29671278*7,77²=159,89 meter
De zithouding: 05,* 2,7311175271875*15,07²=310,13 meter
Het is vrij duidelijk dat de basis positie aanzienlijk minder “voorwaartse worp” heeft dan de zithouding. Dit
verschil is dus belangrijk om in de gaten te houden omdat als de persoon in de zithouding er als eerst het
vliegtuig verlaat de horizontale afstand tussen hem en de volgende springer een stuk kleiner is dan dat die
zou zijn bij de persoon in de basispositie.
Hoe lang na elkaar verlaten de parachutisten het vliegtuig?
Wat in ieder geval een factor is die meespeelt, is de tijd die tussen de afsprongen zit. Omdat het vliegtuig
door blijft vliegen kom je elke seconde dat je langer wacht met afspringen verder van de eerste
parachutist af. Dit is dus een factor die de parachutisten van elkaar verwijdert. Natuurlijk kan er niet te
lang gewacht worden omdat de parachutist zijn parachute ook nog naar het landingspunt moet sturen. Te
ver en je haalt het niet meer terug. Aangezien de snelheid van het vliegtuig bekend is, is het niet moeilijk
om uit te rekenen hoeveel verder je komt door te wachten. De snelheid van het vliegtuig is 41,15 meter
per seconden. Wacht je bijvoorbeeld 5 seconden dan is het vliegtuig 5*41,15= 205,75 meter verder
gevlogen.
Hoe snel vallen de parachutisten?
Verschil in valsnelheid is een factor die bepalend is voor de verticale afstand. Als de parachutist met de
hoogste valsnelheid als eerste gaat word de afstand tussen hem en de volgende parachutist alleen maar
groter. Draai je de volgorde om dan word de afstand alleen maar kleiner.
Valsnelheid wordt door 2 factoren bepaald. Gewicht (massa) en weerstand. Aangezien de massa van de
parachutisten in mijn berekening gelijk is, ga ik uit van de weerstand. Voor valsnelheid zonder
luchtweerstand zou de volgende formule V=g*t waarbij V de snelheid is in m/s, g de gravitatie in m/s² en t
de tijd in seconden. Alleen zou dit betekenen dat beide parachutisten even snel gaan en dat ze zouden
blijven versnellen. Daarom moet er rekening worden gehouden met de weerstand. Zodra de weerstand
even groot is als de zwaarte kracht is een zogenaamde eindsnelheid bereikt. Dit is voor te stellen als een
vergelijking waar bij het aantal newton dat de zwaartekracht op de parachutist uitoefent gelijk is aan het
aantal newton van de wrijvingskracht en waarbij de snelheid de onbekende waarde is. Het is belangrijk
om in deze berekening de wortel van de verhouding tussen de gravitatie en de weerstand te nemen
omdat de snelheid op dat punt niet meer toeneemt.
Ik ga weer uit van de 2 parachutisten met het zelfde gewicht waarbij de ene de basispositie aan neemt en
de andere de zitpositie. Voor het de wrijvingsfactor gebruik ik ook weer dezelfde formule die ik bij de
eerste deel vraag heb gebruikt. De vergelijking is dus als volgt weer te geven. V=√(2*M*G/(P*Cw*A).
De massa is 60 kg. De gravitatie verschilt per plek op de aarde, maar in mijn scenario ga ik ervan uit dat
er in de Benelux word gesprongen waar de gravitatie 9,812 m/s² bedraagt. De dichtheid is net als
hierboven 1,173 kg/m³ en de weerstandscoëfficiënt weer 1. Het oppervlak van de springer in de basis
positie bedraagt weer 0,32 m² en voor de springer in de zitpositie weer 0,165m².
Voor de parachutist in de basis positie geld dan de volgende berekening V= √(2*60*9,812 /(1,173
*1*0,32)= √ (1177,44/(1,173 *1*0,32)= √ (1177,44/0,37536)=56 m/s. Voor de parachutist in de zithouding
is dan deze berekening van toepassing V= √ (1177,44/(1,173 *1*0,165)= √ (1177,44/0,193545)= 77 m/s.
Hieruit blijkt een aanzienlijk verschil in valsnelheid. Als de parachutist in de basispositie als eerst zou
vertrekken en 2000 meter zou vallen zou hij na 35 seconden op openingshoogte zijn. De parachutist in de
zithouding zou die hoogte na 25 seconden al hebben bereikt. En met een separatie tijd van 5 seconden
de eerste parachutist na 30 seconden op het verticale vlak de tweede inhaalt. Daarom is het ook normaal
dat de parachutisten met de hoogste valsnelheid het eerst het vliegtuig verlaten om de meeste afstand
tussen elkaar te creëren.
Hoe snel verplaatst de lucht zich?
Wat eigenlijk altijd meespeelt in het springen is de wind. De wind heeft invloed op waar je het vliegtuig
verlaat, hoe je je parachute vliegt en waar je de laatste draai inzet. Wind heeft ook bij het afstand houden
van elkaar in vrije val te maken. De wind kan zorgen voor een enorme verplaatsing in vrije val. Omdat
alles wat zich in de wind bevindt (ongeveer) even snel gaat is de verplaatsing eenvoudig te bereken Wat
ook belangrijk is om voor te stellen dat de wind op 1 km hoogte een zacht briesje kan zijn terwijl tegelijker
tijd op 3 tot 1,5 km hoogte de wind heel hard kan waaien. Zo was ook het geval bij mijn incident en van die
situatie ga ik ook uit bij mijn stelling. Ik open mijn parachute meestal op 1,5 km en op een hoogte van 1
km is die dan volledig geopend.
Dit betekent in principe dat ik 1,5 km val. Als ik dit in de basispositie doe, dan doe ik er 1500/65= 23
seconden over om mijn openingshoogte te bereiken. Dit betekent dan ook dat ik me met de snelheid van
de wind op het horizontale vlak verplaats zolang ik door de 3 tot 1,5 km “luchtstrook” heen val. Dus is de
wind bijvoorbeeld 10 m/s dan verplaats ik mij 10*23= 230 meter op het horizontale vlak. Als de persoon in
de zithouding dit doet zal die in (1500/77=)19 seconden zicht (19*10=) 190 meter op het horizontale vlak
verplaatsen.
Wat ook een gegeven is, is dat het vliegtuig de jumprun (de lijn die het vliegtuig vliegt als de parachutisten
het vliegtuig verlaten) altijd tegen de wind in is. De reden hiervoor is, is dat A. mocht je ver van je
landingspunt het vliegtuig verlaten hebt je met de wind mee weer makkelijk terugkomt en B. dat het
vliegtuig tegen de wind in optimaal vliegt en minder hoogte verliest (het vliegtuig neemt gas terug als de
springers eruit springen anders zouden ze van de vleugel afwaaien).Hierdoor zal de 2e springer altijd naar
de 1e springer afwaaien.
Hoe kan het dat parachutisten die op verschillende punten het vliegtuig verlaten elkaar later weer
tegen komen?
Nu alle berekeningen bekend zijn is het mogelijk om de horizontale en verticale (en dankzij Pythagoras
ook de diagonale) afstand te berekenen. Eerst de horizontale afstand die door het verschil in voorwaartse
worp word veroorzaakt. In mijn voorbeeld gaat de parachutist met de hoogste valsnelheid het eerst. Dit is
de parachutist in de zithouding. De parachutist in de basis positie verlaat het vliegtuig 5 seconden daarna.
Het verschil in afstand van voorwaartse worp zorgt voor een kleinere afstand als de eerste worp verder
komt dan de tweede.
Ik ga er van uit dat er gesprongen word uit een Cessna 182 die op de “jumprun” vliegt met een snelheid
van 80 knopen en dat is gelijk aan 41 meter per seconde dus de horizontale afstand die door het wachten
gecreëerd word is 205 meter. De afstand van de worp voor de parachutist in de zitpositie is 310 meter en
voor de parachutist in de basispositie 159,89 meter. Het verschil is 151 meter dus 205-151=54.De
overgebleven horizontale afstand is 50 meter.
Nu deze afstand bekend is kan de horizontale afstand verder worden berekend door de invloed van de
wind te bereken. In mijn voorbeeld stel ik de bovenwind op 10 meter per seconde tot een hoogte van 1,5
kilometer. De parachutisten verlaten het vliegtuig op een hoogte van 3 kilometer.
Dit betekent dat de parachutist in de basispositie 1500/65=23 seconden zich met 10 meter per seconde
verplaatst en de parachutist in de zithouding 1500/77=19 seconden zich met 10 meter per seconde
verplaatst. Ook hierbij geld het verschil in afstand. 23*10=230 meter en 19*10=190 meter. Het verschil is
190+50-230=10 meter. Dit is niet erg veel.
Verder is er de verticale afstand. Na 19 seconden is de 1e parachutist op openingshoogte (1500 meter) en
is de 2e parachutist nog maar 14 seconden (19-5) begonnen aan zijn sprong. Hij bevind zich dan op een
hoogte van 14*65-3000=2090 meter. Hij moet nog 590 meter afleggen voordat die zich op
openingshoogte bevind en dit duurt dus nog 590/65=9 seconden. Ik stel dat de opening even snel is.
Verder ga ik er van uit dat de gemiddelde daalsnelheid van een parachute 5,6 meter per seconde is. Dit
houd dus om dat het verschil dan nog 9*5,6=50,4 meter is. De minimale afstand tussen de 2 springers is
dan nog maar 50,4²+10²=√ 2640,16=51 meter.
De separatie is in principe nog vrij hoog in dit voorbeeld. Maar wat je hier ook bij moet bedenken is dat de
ene parachutist net 9 seconden aan zijn parachute hangt en nog bezig is met het controleren van diverse
zaken op de parachute en zich aan het oriënteren is. Hij ziet niet wat er om zich heen gebeurt (althans hij
is er niet mee bezig).En dan vind ik 51 meter helemaal niet zo´n grote afstand aangezien parachutisten op
dat moment veel aan hun hoofd hebben.
In de situatie die ik zelf heb meegemaakt had mijn vader niet alleen een hogere valsnelheid dan mij maar
opende hij ook hoger als mij. De bovenwind was heel hard en hier hadden we blijkbaar meer rekeningen
mee moeten houden want 5 seconden was blijkbaar niet lang genoeg.
Hoe zouden mijn bevindingen in de praktijk gebruikt moeten worden?
Het zou makkelijk zijn om een aantal vuistregels uit deze berekeningen te halen. Helaas is dit niet echt
handig omdat deze regels nogal tegenstrijdig zouden zijn. Als je kijkt naar bijvoorbeeld 2 situaties: in de 1 e
situatie gaat de parachutist met de hoogste valsnelheid eerst en de parachutist met de laagste valsnelheid
als laatst. Als er dan boven wind is dan word de horizontale afstand alleen maar kleiner maar is de
verticale afstand nog wel vrij groot. Draai je de situatie om dan krijg je ook het omgekeerde resultaat. De
parachutisten zijn wel een grote horizontale afstand uit elkaar maar komen elkaar rond openingshoogte
wel op hetzelfde niveau tegen.
Aan de andere kant zou je nog kunnen bedenken om de separatie tijd te vergroten door de 2 e parachutist
langer te laten wachten. Dit is ook niet altijd handig aangezien je ook nog op je landingspunt wil landen.
Op sommige plaatsen in Nederland is het niet zo erg om een buiten landing te maken aangezien het
vliegveld zich toch midden tussen de weilanden bevind. Maar op andere plaatsen moet je daar mee
uitkijken, als je op Ameland te lang wacht dan haal je in sommige situaties het eiland niet meer terug.
Verder is het belangrijk om rekening te houden met mensen hun niveau. Beginnende parachutisten
hebben nog wel eens dat ze niet recht naar beneden vallen maar onbewust naar voren of naar achteren
vliegen. Helaas merken ze dit niet omdat ze geen referentie hebben. In het geval van een zeer onervaren
parachutist laat je die als eerst afspringen
Uiteindelijk is het aller belangrijkste dat behalve goede afspraken over wie wat doet, dat je voor elkaar uit
kijkt. Mijn vader en ik hadden dergelijke afspraken ook gemaakt maar als ik er blind van uit was gegaan
dat alles ook klopte dan had het bijna ongeluk best wel eens echt ongeluk kunnen zijn.
Nawoord
Ik vond het leuk om dit PO te maken omdat ik eindelijk eens school en parachute springen kon
combineren. Ik vond het best interessant om eens op deze manier met het springen bezig te zijn.
Doorgaans trek ik mijn conclusies uit zulke verhalen van andere parachutisten die dit soort berekeningen
maken. Het was voor mij erg leuk om een op deze manier te verdiepen in mijn sport.
Ik vond het wel moeilijk om de natuurkundige formules toe te passen aangezien ik al een jaar geen
natuurkunde meer had gehad. En ik was daarom ook een beetje onzeker over dat ik niet een natuurkunde
PO in plaats van een wiskunde PO aan het maken was. Maar aan de andere kant toegepaste wiskunde is
al snel natuurkunde.
Bronnen
Websites
www.Wikipedia.Org (veel formules en schema´s voor omrekenen van eenheden)
www.Natuurkunde.nl
www.iit.edu/~kallend/skydive/ (de website van John Kallend, professor in natuurkunde op een
Amerikaanse universiteit en sportparachutist met vrij veel ervaring daarover)
Boeken
The parachute handbook – Diverse auteurs