Uitwerkingen Newton H4 Krachten in de sport

Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
62
4 Krachten in de sport
4.1
Inleiding
Voorkennis
1 Krachten
a Spierkracht, veerkracht, zwaartekracht, wrijvingskracht, elektrische kracht, magnetische kracht,
windkracht, opwaartse kracht.
Elke kracht heeft een grootte, een richting en een aangrijpingspunt.
Van sommige krachten kun je daar meer over zeggen: de zwaartekracht is naar het middelpunt
van de aarde gericht en de wrijvingskracht tegengesteld aan de (eventuele) bewegingsrichting.
b Krachten meet je met een veerbalans, veerunster of dynamometer (krachtmeter). Eenheid: N (newton).
c De nettokracht is de resulterende kracht van alle op een voorwerp werkende krachten samen.
d Het moment van een kracht geeft aan ‘hoe goed de kracht in staat is het voorwerp te laten draaien’.
Je kunt het moment als volgt berekenen: M = F · r (kracht maal arm). Het moment speelt vooral
een rol bij gereedschappen en hefconstructies.
2 Beweging
a Als er een nettokracht op een voorwerp werkt, versnelt of vertraagt het voorwerp.
De voorwaartse krachten zijn dan niet gelijk aan de achterwaartse krachten (geen evenwicht).
b De nettokracht is nul. De voorwaartse en achterwaartse krachten heffen elkaar op (zijn in evenwicht).
c Bij een krachtenevenwicht staat een voorwerp stil of beweegt eenparig in een rechte lijn.
Bij een momentenevenwicht draait het voorwerp niet of draait het eenparig (met een constante
hoeksnelheid) om een ‘vast’ draaipunt of om het zwaartepunt.
N.B. Terwijl er een krachtenevenwicht is, kan het voorwerp dus wel een eenparige of versnelde
draaibeweging maken (afhankelijk van of er een momentenevenwicht is).
Als er momentenevenwicht is kan het voorwerp (terwijl het niet draait of eenparig draait) versneld
van plaats veranderen, een cirkelbaan beschrijven, eenparig in een rechte lijn voortbewegen
of stilstaan (afhankelijk van of er een krachtenevenwicht is).
4.2
Krachten
Kennisvragen
5 A Fz = m · g
De massa en de zwaarteversnelling, beide recht evenredig met de zwaartekracht.
B Fv = C · u
De stugheid en de uitrekking van het materiaal, beide recht evenredig met de veerkracht.
C Schuifwrijving:
Fw,s = cs · Fn hangt af van de ruwheid van het oppervlak en van de normaalkracht
(en dus van de massa).
D Rolwrijving:
Fw,r = cr · Fn hangt af van de mate van vervorming van de oppervlakken en
van de normaalkracht (en dus van de massa).
2
E Luchtweerstand: Fw,l = ½ · cw · A · ρ · v
hangt af van de stroomlijn, het frontaal oppervlak,
de luchtdichtheid en de snelheid. Hoe groter elk van de factoren,
hoe groter de wrijving (cw is groter bij een slechtere stroomlijn).
F De normaalkracht Fn : hangt af van de grootte van de zwaartekracht Fz en dus van de massa m.
Bovendien hangt deze kracht ook nog af van de helling van de ondergrond.
Hoe groter de massa des te groter is de normaalkracht en
hoe groter de hellingshoek is des te kleiner is de normaalkracht.
G De spankracht Fn : hangt af van de grootte van de kracht die op het koord werkt.
De spankracht is even groot als de kracht die op het koord werkt en
die de spanning veroorzaakt.
Newton vwo deel 1
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
6 a Fz en Fn heffen elkaar op.
A
b In de figuur wordt naar rechts geduwd
(Fd is naar rechts gericht).
Als de snelheid constant is, geldt:
Fw is even groot als Fd én tegengesteld gericht.
63
B
C
Fn
Ft
Fn
Fw
c De tilkrachten kun je het beste als
één kracht Ft weergeven (de som van
de twee tilkrachten). Als de kist stil hangt
in de lucht geldt: Ft is even groot als Fz
Fz
maar tegengesteld van richting.
Elk van de twee tilkrachten is uiteraard de helft van Ft.
Fd
Fz
Fz
Ft
Ft
7 a De trampoline moet bij de zwaardere springer
een grotere kracht uitoefenen om de zwaartekracht
tegen te werken. Dat gebeurt dus bij een grotere
vervorming van de trampoline.
Fz
b Zie figuur hiernaast. Ft is de veerkracht van de trampoline.
Fz
8 a Het is het makkelijkste om alle krachten
vanuit één punt te tekenen.
De motorfiets heeft in verticale richting geen snelheid.
De krachten in verticale richting zijn dus in evenwicht.
De normaalkracht Fn (loodrecht op het vlakke wegdek)
is dus even groot als de zwaartekracht Fz.
In horizontale richting is de snelheid constant en
is er dus ook evenwicht. De kracht van de motor Fm
is dus even groot als de wrijvingskracht Fw
(die nog te splitsen is in rolwrijving en luchtweerstand).
b De luchtweerstand is groter, dus is
de kracht van de motor ook evenveel groter.
9 Zie figuur hiernaast.
De gravitatiekracht die de aarde
op de satelliet uitoefent (FG,2) is
naar het middelpunt van de aarde gericht.
De satelliet oefent een even grote gravitatiekracht (FG,1)
uit op de aarde (actie/reactiekracht).
FG,1
FG,2
aarde
satelliet
10 a Zie figuur hiernaast.
b De voorwaartse kracht wordt alleen
uitgeoefend tijdens de trap.
Fw
De normaalkracht werkt alleen
F
v
als de bal nog op de grond is.
Fn
De wrijvingskracht is tegengesteld
aan de snelheid en neemt af
als de snelheid kleiner wordt
(tengevolge van wrijving) en
Fz
verandert van richting.
De zwaartekracht verandert niet omdat de massa constant is.
Fw
Fw
Fz
Fz
Fz
11 a De kracht F vormt samen met de normaalkracht Fn een krachtenpaar omdat er sprake is
van 2 voorwerpen die op elkaar een kracht uitoefenen die even groot zijn en tegengesteld van richting.
b De normaalkracht Fn heft de zwaartekracht Fz op. Beide krachten werken op de persoon en
zijn even groot en tegengesteld van richting.
c Doordat de zwaartekracht Fz de persoon naar beneden trekt, kan deze persoon met dezelfde grootte
een kracht F op de plank uitoefenen. De plank buigt dan enigszins door en gaat op zijn beurt weer
een even grootte, omhoog gerichte kracht op de persoon uitoefenen, de normaalkracht Fn.
Newton vwo deel 1
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
64
12 A Door de draaiende beweging oefent het wiel een achterwaartse kracht F op het wegdek uit.
Als reactie hierop oefent het wegdek een voorwaartse kracht Fvw uit op het wiel.
B Bij het remmen oefent het wiel een voorwaartse kracht F op het wegdek uit. Het wegdek oefent
tegelijkertijd een achterwaartse (rem)kracht Frem op het wiel uit.
C In het geval van een beijzelde weg treedt er weinig wrijving op tussen de band en het wegdek.
De achterwaartse kracht kan dan niet zo groot worden. Het wiel gaat snel slippen. Daardoor is
de voorwaartse kracht ook maar klein en kom je dus moeilijk op gang.
D Door zijn vorm kan een draaiende schroef het water naar achteren duwen. Het water heeft echter massa
en laat zich niet zonder meer naar achteren duwen. In zijn verzet oefent het zelf een voorwaartse kracht
op de schroef uit.
E In een straalmotor wordt de sterk verhitte lucht door de straalmotor naar achteren geduwd.
Ook lucht heeft een zekere massa en kan in zijn verzet tegen deze duwkracht naar achteren
zelf een voorwaartse kracht op de straalmotor uitoefenen.
13 a Optellen van twee krachten
in dezelfde richting:
Optellen van twee krachten
in tegengestelde richting:
F1 + F2
F1
F2
F2
F1
F1
FR
F2
b Voorbeeld van ontbinden van
een kracht F in twee onderling
loodrechte componenten
bijvoorbeeld Fx (x-richting) en
Fy (y-richting) d.m.v. de ‘omgekeerde
parallellogram-methode’:
F2
y
y
F
Als je de vectoren nauwkeurig
volgens een krachtenschaal hebt
getekend, kun je de grootte
in de tekening opmeten.
Fr
tan
y
F2
y
FR
F2
F2
F1
F2
x
x
x
F1
F1
F1
y
y
F
F
F
Fy
b Zie figuur hiernaast.
F1 F cos
x
F sin
x
x
Fx
15 N.B. De figuren die hier getekend staan, zijn niet op dezelfde schaal getekend als in het verwerkingsboek!
A Optellen van twee krachten
in willekeurige richting
m.b.v. parallellogram-methode:
Fr : 2,3 cm
Fr = 2,3 25 = 57,5 N
Afgerond: Fr = 58 N
A
F1
F1
FR
F2
Vervolg op volgende bladzijde.
x
FX
y
y
F2
F
FY
x
14 a Zie figuur hiernaast.
F22
FR
F1 - F2
F1
Optellen van twee krachten
in willekeurige richting
m.b.v. parallellogram-methode
(of: kop aan staart leggen):
F12
FR
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
65
Vervolg van opgave 15.
B Optellen van twee krachten
in dezelfde richting:
Fr : 2,0 cm
Fr = 2,0 25 = 50 N
Afgerond: Fr = 50 N
B
F1 + F2
F1
FR
F2
C
C Optellen van twee krachten
in tegengestelde richting:
Fr : 0,5 cm
Fr = 0,5 25 = 12,5 N
1
Afgerond: Fr = 1 10 N
F2
FR
F1 - F2
F1
Fr
F12
16 Fr
F22
75 2
F1 = 75 N
150 2 = 168 N (zie figuur hiernaast)
F2 = 150 N
y
17 Zie figuur hiernaast.
2
F1 F cos
500 cos 30 = 433 N = 4,3·10 N
F2
F sin
F = 500 N
Fy
2
500 sin 30 = 250 N = 2,5·10 N
= 30 o
x
Fx
18 De grootte kun je opmeten en omrekenen volgens de krachtenschaal waarop je getekend hebt
(in de figuur van het boek is dat 1 cm ≡ 25 N).
y
y
x
x
y
Fx
F
Fx
C
Fy
Fx
B
A
F
Fy
Fy
F
19 Linkerfiguur
Rechterfiguur
Fn
Fn
y
y
FS
FS
Fw
Fw
x
FZ
FZ
x
In de linkerfiguur hoef je alleen de zwaartekracht te ontbinden. De andere krachten (spierkracht Fs,
wrijvingskracht Fw en normaalkracht Fn) hebben alleen een component in de getekende x- of y-richting.
In de rechterfiguur moet je zowel de normaalkracht, de spierkracht als de wrijvingskracht ontbinden
in x- en y-componenten.
Je kunt dus het beste de situatie van de linkerfiguur kiezen, want dan hoef je minder krachten te ontbinden.
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
66
figuur A
y
20 A Op de slee werken de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn,
de trekkracht Fs en de wrijvingskracht Fw (zie figuur A hiernaast).
Fn
Door een horizontale x-as en verticale y-as te kiezen,
hoef je alleen de spankracht te ontbinden:
Fs,x
Fs cos
30 cos 37
23,96 N
Afgerond: Fs,x = 24 N
Fs,y
Fs sin
30 sin 37
18,05 N
Afgerond: Fs,y = 18 N
De zwaartekracht Fz = m · g = 9,5 · 9,81 = 93,2 N
Afgerond: Fz = 93 N
De wrijvingskracht Fw = Fs,x
Afgerond: Fw = 24 N
Fs
Fs,y
Fw
37o
Fs,x
De normaalkracht Fn = Fz - Fs,y = 93,2 - 18,05 = 75,15 N
Afgerond: Fn = 75 N
x
Fz
figuur B
N.B. Krachten zijn niet in verhouding!
B Op de wielrenner werken de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn
en de wrijvingskracht Fw (zie figuur B hiernaast).
y
We nemen aan dat de wielrenner bij de afdaling niet
nog eens extra trapkracht uitoefent.
Fn
In dit geval kun je het beste een x-richting kiezen evenwijdig
aan de berghelling en een y-richting daar loodrecht op.
Je hoeft dan alleen de zwaartekracht Fz te ontbinden in componenten.
1
De zwaartekracht Fz = m · g = 80 · 9,81 = 785 N
Fz,x Fz sin
785 sin10 136,3 N
Afgerond: Fz = 78 10 N
1
Afgerond: Fz,x = 14 10 N
Fz,y
Afgerond: Fz,y = 77 10 N
Fz cos
785 cos10
Fw
1
772,9 N
Fz,x
x
1
De normaalkracht Fn = Fz,y
Afgerond: Fn = 77 10 N
10o
Fz,y
Fz
figuur C
C Op de kogel werken de zwaartekracht Fz en
de spierkracht Fs (zie figuur C hiernaast).
y
Fs
In dit geval kun je het beste de x-richting horizontaal kiezen
evenwijdig en de y-richting verticaal.
Fs,y
Je hoeft dan alleen de spierkracht Fs te ontbinden in componenten:
Fs,x Fs cos
95 cos 41 71,7 N
Afgerond: Fs,x = 72 N
Fs,y
Fs sin
95 sin 41
De zwaartekracht Fz = m · g = 6,0 · 9,81 = 58,9 N
21 en 22
41o
Afgerond: Fs,y = 62 N
62,3 N
x
Fs,x
Afgerond: Fz = 59 N
Fz
Kijk ook nog eens in het informatieboek.
23 Via het tekenen van een krachtenparallellogram: teken de krachten nauwkeurig op schaal.
Bepaal de grootte van de resultante in de tekening en bereken met behulp van de schaal
de grootte van de kracht.
Via het ontbinden van één van de twee krachten:
kies een rechthoekig assenstelsel, waarbij één van
de krachten langs één van de assen ligt bijvoorbeeld F1
(zie hiernaast). Ga na dat m.b.v. de ontbindingsregels
van een krachtenrechthoek en de stelling van Pythagoras:
Fr
F1 F2, x
2
F2, y
2
F1
2
F2
2
2 F1 F2 cos
y
Fr
F2
F2 y
F2 y
F2 x
F1
x
F1 + F2 x
Newton vwo deel 1
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
67
Oefenopgaven
27 Parasailing
Fp
a Zie figuur hiernaast. De parasailer gaat horizontaal vooruit,
dus de luchtwrijvingskracht op het lichaam werkt horizontaal
naar achteren. De luchtwrijvingskracht op het lichaam is
overigens klein ten opzichte van de overige krachten.
Fw
Fs
b De parachute oefent een kracht uit op de parasailer:
schuin naar boven/achter. Deze kracht wordt uitgeoefend
door de gezamenlijke parachutetouwen.
De (gemiddelde) richting van de kracht is te vinden
door ongeveer het midden te nemen van de parachutetouwen.
Fz
28 Skiën
Fn
a Op de skiër werken de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn
en de wrijvingskracht Fw = Fw,lucht + Fw,schuif (zie figuur hiernaast).
Fw
b De luchtwrijvingskracht is te verkleinen
door een lage lichaamshouding aan te nemen.
De schuifwrijving is te verminderen door een nieuwe,
gladde waxlaag aan te brengen onder de ski’s.
c Door de schuifwrijving te vergroten door de ski’s overdwars
te zetten of door een minder sterk dalende baan te volgen,
meer dwars over de piste.
Fz
29 Fietshouding
a De luchtweerstand wordt gegeven door: Fw ,l
1
2
cw ρ A v 2
Bij de voorovergebogen houding
worden de cw-waarde en het frontaal oppervlak A (het oppervlak van voren gezien) kleiner.
2
b Om het frontaal oppervlak uit te rekenen moet je het aantal mm proberen te tellen en/of te schatten.
2
Hierbij kom je waarschijnlijk uit in de buurt van 630 mm . De schaal is 1 mm
3 cm in werkelijkheid,
2
2
dus 1 mm komt overeen met 9 cm .
2
2
2
A = 630 9 = 5670 cm = 0,567 m
Afgerond: A = 0,57 m
v = 15 km/h = 4,17 m/s
Fw,l
1
2
cw ρ A v 2
1
2
1,1 1,2 0,57 ( 4,17) 2 = 6,53 N
Afgerond: Fw,l = 6,5 N
c De grootte van het frontaal oppervlak is in de voorovergebogen houding naar schatting
2
2
2
2
ongeveer 400 mm
A = 400 9 = 3600 cm = 0,360 m
A = 0,36 m .
Ingevuld levert dit op: Fw,l
1
2
0,88 1,2 0,36 ( 4,17) 2 = 3,30 N
Daarmee is de luchtwrijvingskracht
6,5
= 2,0 keer zo klein.
3,3
Fs = 134 N
30 Kogelstoten
a Een voorwerp versnelt in de richting van
de resulterende kracht (tweede wet van Newton: Fres = m · a).
Het voorwerp wordt onder een hoek van 45º weggestoten,
dus de resulterende kracht staat ook onder een hoek
van 45º met de grond.
De spierkracht Fs moet hoger gericht zijn
dan de resultante Fr omdat deze laatste de som is
van spierkracht Fs en zwaartekracht Fz.
Dat betekent dat Fr de diagonaal moet vormen
van een parallellogram waarvan Fz en Fs de zijden zijn.
Fr = 95 N
Fr
60o
45o
FZ = 49,1 N
FZ
b Teken de bekende krachten Fr en Fz nauwkeurig op schaal.
Verplaats de vector van de zwaartekracht (zonder de richting te veranderen),
zodat deze met zijn kop aan de kop van de resulterende kracht komt te liggen.
De spierkracht is dan de vector die van de bal naar de staart van de zwaartekracht gaat.
(Bedenk dat Fr de diagonaal moet vormen van een parallellogram waarvan Fz en Fs de zijden zijn.)
Je vindt dan: - de spierkracht Fs = 134 N en deze staat onder
- een hoek van 60° met de horizontale richting.
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
68
31 Tuibrug
a Kabels (en ook touwen, koorden etc.) kunnen alleen een kracht uitoefenen in de richting van de kabel.
De spankracht van de kabel heeft dus een hoek van 45º met het wegdek.
b Zie de figuur hiernaast.
Je bepaalt eerst op welke schaal je de krachten
gaat tekenen. Daarna teken je de kracht Ft
nauwkeurig én in de goede richting.
Vervolgens kun je deze kracht ontbinden in twee
componenten in de richting van de tuikabels,
die elk een hoek van 45º met het wegdek hebben.
Hiermee vind je de spankrachten Fs.
Door hun lengte op te meten, kun je daarna
bereken hoe groot de krachten zijn:
8
Fs = 1,4·10 N zowel naar links als rechts.
Ft
45 o
Controle met berekening:
Door de aanwezigheid van de hoeken van 45º
krijg je in de contructie-figuur driehoeken met
een hoek van 90º. Hierdoor geldt:
Fs
cos 45
Fs Ft cos 45 2,0 108 cos 45
Ft
1,41 10 8
Dikte (of diameter) kabel: cirkel A
0,30 10 9 A
1,41 108 N
8
Afgerond: Fs = 1,4·10 N
1,41 108
Afgerond: A ≥ 0,47 m
0,47 m2
0,30 109
De kabel zal dikker moeten zijn, want bij het berekende dwarsdoorsnedeoppervlak
wordt de kabel maximaal belast en staat de kabel dus al op knappen.
Bovendien moet in verband met de veiligheid misschien ook rekening gehouden worden
met een grotere belasting dan hier opgegeven.
c Fs,max
0,30 10 9 A
FS
FS
d2
4
r2
A
2
d2
4
0,47
d
4 0,47
0,774 m
Afgerond: d = 0,77 m
4.3
Krachten in evenwicht
Kennisvragen
33 Als de som van alle krachten die op het voorwerp werken nul is ( F 0 oftwel: Fr = 0).
Dat wil zeggen dat de (componenten van) de krachten die naar boven werken samen even groot zijn
als de (componenten van) de krachten die naar beneden werken samen: F
F .
Hetzelfde geldt voor naar links en rechts: F
F .
Het voorwerp voert dan een eenparige rechtlijnige beweging uit of is in een bijzonder geval in rust.
(N.B. Tegelijkertijd kan het voorwerp een roterende beweging maken om een as of om zijn zwaartepunt.)
34 Bijvoorbeeld bij een voorwerp dat op een tafel staat of aan een touw hangt.
Andere voorbeelden zijn: een lamp die aan een kabel hangt dat over een straat gehangen is of
een auto die met constante snelheid rijdt. Zie figuren hieronder.
Fn
Fs
Fs
Fn
Fs
Fvw
Fw
Fz
Fz
Fz
35 Zie figuur hiernaast. In alle gevallen
A
is sprake van een krachtenevenwicht,
want de kast staat stil of beweegt eenparig.
In het tweede geval B is de duwkracht gelijk aan
de schuifwrijvingskracht (die kleiner is dan
de maximale statische schuifwrijvingskracht).
In het derde geval C is de duwkracht gelijk aan
de dynamische schuifwrijvingskracht
(die in het algemeen iets kleiner is dan
de maximale statische schuifwrijvingskracht).
FN
B
Fd
Fw
FZ
C
FN
FZ
FN
Fw
Fd
FZ
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
69
36 A De krachten houden elkaar in evenwicht, zowel in horizontale richting als in verticale richting.
B De krachten houden elkaar in evenwicht, zowel in horizontale richting als in verticale richting.
C De voorwaartse kracht op het voorwerp is groter dan de achterwaartse kracht.
De resulterende kracht in horizontale richting veroorzaakt een versnelde beweging.
In verticale richting houden de krachten elkaar in evenwicht.
D De achterwaartse kracht op het voorwerp is groter dan de voorwaartse kracht.
De resulterende kracht in horizontale richting veroorzaakt een vertraagde beweging.
In verticale richting houden de krachten elkaar in evenwicht.
a
b
Fn
37 a Zie figuur a hiernaast. Als je de momenten
van de krachten mag verwaarlozen, kun je
voor de overzichtelijkheid van de tekening
alle krachten op één punt laten aangrijpen,
bijvoorbeeld op het zwaartepunt.
F = 7,5 N
Fw,s
Fn
Fw,s
F = 10 N
b 10 N, zie figuur b hiernaast.
Fz = 63 N
38 a Zie figuur a hieronder.
In dit geval is Fz Fs Fopw
a
Fs
Fopw
b1
0,48 0,40 = 0,08 N.
Fz
c
b2
Fop
Fop
Fop
Fw
Fs
Fs,v
Fs
Fz
Fop
Fw
Fs,h
Fs
Fz
Fz = 63 N
Fs,v
Fs
Fz
50 cm
Fw
Fs,h
Fz
30 cm
b Zie bovenstaande figuur b1.
Het beste is om hier te kiezen voor een verticale en horizontale asrichting. Ontbind de spankracht Fs
in een verticale component Fs,y en een horizontale component Fs,x (zie figuur b2).
De verticale component van de spankracht blijft 0,08 N omdat in de verticale richting blijft gelden
dat Fz Fs,y Fopw . Er is nog steeds sprake van evenwicht.
Berekeningen:
De rechthoekige driehoek tussen Fs en Fs,y is gelijkvormig met de driehoek die wordt gevormd
door het touw en de denkbeeldige lijn vanaf de ballon loodrecht naar de grond.
Uit de stelling van Pythagoras volgt dat de afstand van de ballon tot de grond 50 2
De zijden van de driehoek verhouden zich dus als 3 : 4 : 5.
Fs,x 3
Fs,x 3
De kracht van de wind: Fw = Fs,x
Fw = Fs,x = 0,06 N.
Fs,y 4
0,08 4
De (totale) spankracht:
Fs
Fs,y
5
4
Fs
Fs,y
5
4
0,08
30 2 = 40 cm is.
5
= 0,10 N
4
c In verticale richting verandert het evenwicht niet: Fs,y blijft hetzelfde.
Fs,x houdt de windkracht in evenwicht en moet dus groter worden.
Als Fs,x groter wordt en Fs,y hetzelfde blijft, staat de resultante van die twee, Fs, dus schuiner.
Zie bovenstaande figuur c. De hoek wordt dus kleiner.
39 Ga zelf nog eens na én overleg met een klasgenoot welke stappen die achtereenvolgens gezet heeft.
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
70
Oefenopgaven
y
43 Gewichtheffen
a De spierkracht moet even groot zijn als de zwaartekracht:
Fz m g (10 45 45) 9,81 = 981 N.
Per arm is de spierkracht de helft: 491 N.
In de tweede situatie geldt:
Fs sin 75 Fs,vert = 491 N (zie nevenstaande figuur)
Fs
Fs
Fs,y
75o
75o
x
491
2
= 5,1·10 N
sin 75
b In het tweede geval is de kracht groter (de gewichtheffer is namelijk tegelijkertijd de stang
aan het ‘uitrekken’). De stang is op deze manier echter dichter langs het lichaam te tillen, waardoor
de kracht op de rug van de gewichtheffer kleiner is (blessures!) en de halter beter stabiel is te houden.
44 Plankzeilen
a In de linker situatie geldt: F2 = F1 = 250 N
omdat beide krachten tegengesteld gericht zijn.
In de rechtersituatie moet de kacht F2
ontbonden worden in een x-component
tegengesteld aan de windkracht F1 en
een y-component.
De x-component F2,x moet even groot zijn als F1 .
F2,x
cos
Uit de figuur hiernaast is af te leiden dat:
F2
Meting van de hoek levert op: = 15 .
F2,x
250
250
cos
cos 15
F2
F2
F2
cos 15
2
Afgerond: F2 = 2,6·10 N
F1
F2
F2,x
.
F1
F2
258,8 N
b De tweede houding geeft meer stabiliteit. Veranderingen in de windkracht kunnen gemakkelijker
opgevangen worden omdat je je gewicht vanuit die lichaamshouding gemakkelijker kunt verplaatsen en
daardoor de kracht F2 beter kunt variëren zowel van grootte als van richting.
45 Vliegtuig
figuur a
a Ja. Als een voorwerp met constante
snelheid in een rechte lijn beweegt,
is er sprake van een krachten-evenwicht.
De resulterende kracht is dan 0 N.
FL
Fs
Fz,x
b Neem de bewegingsrichting van
het vliegtuig en de richting daar loodrecht op.
Je hoeft dan alleen de zwaartekracht te ontbinden
(zie de figuren a en b hiernaast).
Evenwicht in de x-richting:
Fs Fw Fz,x
Fw
Fz,y
Fz
figuur b
Fz,x
Fw
Fs
Fz,x
Fw
Fs
Fz sin15
Fw
11 10 4
4
(20 103 9,81) sin15 = 5,9·10 N
Evenwicht in de y-richting: FL
Fz,y
5
Fz cos 15 = 1,9·10 N
Fz,y
15 o
Fz
Newton vwo deel 1
4.4
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
71
Momentenevenwicht
Kennisvragen
47 Als de som van alle momenten die op het voorwerp werken nul is ( M 0 ). Dat wil zeggen dat
de krachtmomenten die het voorwerp linksom zouden kunnen doen draaien bij elkaar opgeteld even groot
zijn als de krachtmomenten die het voorwerp rechtsom zouden kunnen doen draaien: Mlinksom
Mrechtsom .
In veel voorbeelden zal het voorwerp stilstaan en niet draaien, maar het kan ook eenparig roteren
(met constante rotatiesnelheid). Het voorwerp (als geheel) kan tegelijkertijd elk soort beweging maken
(want er hoeft geen krachtenevenwicht te zijn): het kan in rust zijn, eenparig voortbewegen
(al dan niet in een rechte lijn) en het kan versneld bewegen.
N.B. Ingeval van een statisch voorwerp (dat in rust is), is er dus zowel een momentenevenwicht als
een krachtenevenwicht. De krachten met een moment kun je berekenen met het momentenevenwicht,
de kracht die in het draaipunt wordt uitgeoefend, bereken je vervolgens met het krachtenevenwicht.
48 Bijvoorbeeld een wipwap met twee personen (die in balans) is of bij een kruiwagen die opgetild is.
Een ander voorbeeld: de momenten op een tandwiel bij het fietsen, waarbij de snelheid constant is.
Verder zie voorbeelden uit het boek.
Ft
Fz,l
Fz,r
Fz
49 Met de kruissleutel kun je met dezelfde kracht een groter moment uitoefenen omdat de krachtarm
over het algemeen wat groter is én er bovendien door 2 krachten een moment kan worden uitgeoefend
aan weerszijden van de draaias (koppel van krachten).
2
50 a Fz = m · g = 30 · 9,81 = 294,3 N
Afgerond: Fz = 2,9·10 N
b De as van de kruiwagen is het draaipunt.
Evenwicht, dus: M = 0 of Mlinksdraaiend = Mrechtsdraaiend
Fs·rs = Fz·rz
Fs
Fz
rz
rs
Meet de armen op in de figuur: de lengte van de loodlijntjes van de as naar de werklijnen
1,2
2
van de krachten
=117,7 N
Afgerond: Fs = 1,7·10 N
Fs 294
3,0
c Het draaipunt (de as van de kruiwagen) levert het resterende deel
van de benodigde kracht om het gewicht van de kruiwagen te dragen.
F
z
Fz
r = 120 cm
51 Bij het kantelen kan de kist gaan draaien om het punt rechtsonder
(zie figuur hiernaast). Als de kracht net niet groot genoeg is
om de kist te laten kantelen, is er momentenevenwicht:
Mrechtsdraaiend = Mlinksdraaiend
F·r = Fz·rz
(Fz heeft een linksdraaiend moment t.o.v. het draaipunt)
r
36
2
F = Fz z (84 9,81)
= 247,2 N
Afgerond: F = 2,5·10 N
r
120
De kist gaat kantelen als de kracht F net iets groter is dan in de situatie
van momentenevenwicht.
52 De as van de aanhangwagen vormt het draaipunt.
draaipunt
Het zwaartepunt moet links van de as liggen omdat er anders geen
rz = 36 cm
kracht op de trekhaak wordt uitgeoefend (kans op rechtsom kantelen).
werklijn
Mlinksdraaiend = Mrechtsdraaiend
Fz·rz = Fv·rv
Fv rv 150 (1,25 1,50)
= 0,1682 m
Afgerond:rz = 0,168 m links van de as
rz
Fz
250 9,81
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
53 a De horizontale component van de spankracht
in de scheerlijn is gelijk aan F1 (de spankracht van
het tentdoek). De spankracht in de scheerlijn is dus groter,
want die heeft ook nog een verticale component.
(De tentstok houdt deze verticale component in evenwicht.)
b F2,hor = F1 = 200 N. Uit figuur b hiernaast volgt dat
de hoek tussen F2,hor en F2 gelijk is aan de hoek
tussen de scheerlijn en de grond (z-hoeken).
1,80
= 53,1º
tan
1,35
F2,hor
200
= 333 N
F2
cos
cos 53,1
Andere manier (gelijkvormige driehoeken):
∆ABC ~ ∆CDE, dus:
F2
F2,hor
 scheerlijn
1,35
F2
200
1,352 1,802
1,35
72
F2,h
D
b
1,80 m
F2
E
scheerlijn
A
B
1,35 m
F2,h
c
F2 = 333 N
c Vergelijk figuur c met figuur b.
Hoe schuiner de scheerlijn staat (hoe meer in de richting
van de horizontale component), hoe kleiner
de verticale component van kracht F2 is
F1 = 200 N
C
F1
F2,v
F2
scheerlijn
(bij gelijkblijvende horizontale component). F2 wordt dus kleiner, want F2 = (F2,hor )2
(F2,ver )2 .
54 Ga zelf nog eens na én overleg met een klasgenoot welke stappen die achtereenvolgens gezet heeft.
Oefenopgaven
Fbi
57 Armspieren
a Zie figuur hiernaast.
b Mbiceps = Mzwaarte
Fbi · rbi = Fz · rz
Fz rz 5 9,81 24
2
= 294 N Afgerond: Fbi = 3·10 N
Fbi
rbi
4
N.B. Fel, de kracht die de bovenarm in het ellebooggewricht
uitoefent op de onderarm heeft geen moment ten opzichte
van het draaipunt, want hiervan is de arm r = 0 cm.
Deze kracht is uit te rekenen m.b.v. het krachtenevenwicht.
4 cm
33 cm
Fz = 49 N
Fel
c Onderbeen (knie), bovenarm (schouder), hand (pols).
Fn = 510 N
58 Slagboom
a Zie de linker figuur hiernaast.
b Gevraagd: x, de afstand van links tot het draaipunt
(de ‘ligging’ van het draaipunt). Het zwaartepunt van
het contragewicht ligt op 20 cm van het linker uiteinde
van de slagboom. Momentenevenwicht: Mcontra = Mslagboom
Fcontra · rcontra = Fslagboom · rslagboom
40 9,81 ( x 0,20) 12 9,81 (1,50 x )
392,4 x 78,48 176,6 117,7 x
255,1
= 0,50 m
x
510,2
40 cm
3,00 m
x
draaipunt
Fz,c = 392 N
c Door de slagboom over 45 te kantelen worden de krachtarmen korter.
Omdat het zwaartepunt van het contragewicht zich lager bevindt
dan dat van de slagboom, neemt de krachtarm rc,nieuw echter
meer af dan rs,nieuw van de slagboom.
Uit de figuur hiernaast blijkt: rs,nieuw = rs · cos 45 .
Dit geldt echter niet voor het contragewicht: rc,nieuw < rc · cos 45 .
Dat betekent dat in deze situatie Mcontra < Mslagboom
Conclusie: er is geen evenwicht.
Fz,s = 118 N
rc,nieuw
45o
rs,nieuw
Fz,c
Fz,s
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
73
59 Mobile
De ophangpunten van de staafjes dienen als draaipunt.
Het lange deel van de staafjes is twee keer zo groot als het korte deel,
dus op het korte deel moet een twee keer zo grote kracht worden uitgeoefend.
Links van B werkt een kracht van 1,5 N, dus in B moet Fz,B half zo groot zijn: Fz,B = 0,75 N.
Rechts van C werkt in totaal een kracht van 1,5 + 0,75 = 2,25 N,
dus Fz,C moet twee keer zo groot zijn: Fz,C = 4,50 N.
Links van A werkt in totaal een kracht van 4,50 + 2,25 = 6,75 N,
dus Fz,A moet half zo groot zijn: Fz,A = 3,38 N.
60 Fietsoverbrenging
a Kort: Fw
Ft
rt N v
rw Na
18
15 32
= 4,7 N
35 52
(de straal van het voortandwiel is een overbodig gegeven)
Uitgebreid: Voor de kracht op het voortandwiel Fv (= de kracht op de ketting = de kracht op
r
15
Fv Ft t 18
het achtertandwiel) geldt: Fv r v Ft r t
= 27 N
rv
10
Het aantal tanden op een tandwiel is recht evenredig met de omtrek en dus met de straal (omtrek = 2 r).
Na
32
10
Voor de straal van het achtertandwiel geldt dus: ra rv
= 6,15 cm
Nv
52
Voor de kracht op het achterwiel geldt: Fw r w
b Dan wordt rv
4.5
Fa ra
42
keer zo groot, dus wordt de kracht: Fw ,2
52
Fw
Fa
Fw ,1
ra
rw
52
42
27
4,7
6,15
= 4,7 N
35
52
= 5,8 N
42
Afsluiting
Oefenopgaven
64 Kabelbaan
In beide plaatjes kun je de krachten het beste ontbinden in de bewegingsrichting (de richting van
de trekkabel) en de richting loodrecht daarop, want dan hoef je alleen Fz te ontbinden.
Bij een eenparige, rechtlijnige beweging is de resultante nul.
Zowel in de x- als in de y-richting is de som van de krachten nul.
De trekkracht van de hijskabel is te berekenen met het evenwicht in de x-richting:
3
Ft 0 Fz sin 30 600 9,81 sin 30 = 2,9·10 N
Ft Fw Fz,x
De spankracht in de vaste kabel is te berekenen met het evenwicht in de y-richting.
De spankrachten van de kabel in de y-richting leveren namelijk de normaalkracht.
Als je de spankracht in de y-richting hebt berekend, kun je de werkelijke spankracht in de kabel berekenen:
3
Fn Fz,y Fz cos 30 600 9,81 cos 30 = 5,1·10 N
De normaalkracht is in feite de spankracht in de kabel in de y-richting (Fs,y), dus geldt:
Fn
Fs1,y Fs2,y
De normaalkracht wordt door Fs1,y en door Fs1,y samen geleverd, daarom moet
2
de normaalkracht door 2 gedeeld worden.
Fn
Fs sin 4
Fs,1 en Fs,2 zijn even groot en worden hier beide even Fs genoemd.
2
Fs
Fn
2 sin 4
5,1 10 3
4
= 3,7·10 N
2 sin 4
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
74
65 Ongelijkarmige balans
Om te bepalen of de schaalverdeling lineair is, kun je berekenen of de verschuiving
van het contragewicht twee keer zo groot wordt als je een gewicht en vervolgens een twee keer
zo zwaar gewicht op het schaaltje zet.
Het is dan wel handig om eerst de massa van het contragewicht bepalen,
zodat je die bij de berekeningen kunt gebruiken:
r z,g
30
Fz,c rz,c = Fz,g r z,g
= 0,45 kg
mz,c mz,g
0,060
mz,c g rz,c mz,g g rz,g
r z,c
4,0
Als je twee verschillende gewichten op het schaaltje zet, kun je bepalen of de schaalverdeling lineair is:
mz,g
100 60
100 g erbij: mz,c rz,c mz,g rz,g
r z,c
r z,g
30 = 10,67 cm
mz,c
450
De verschuiving: ∆r = 10,67 – 4,0 = 6,67 cm
200 g erbij: mz,c rz,c
mz,g rz,g
r z,c
mz,g
mz,c
r z,g
200 60
30 = 17,33 cm
450
De verschuiving: ∆r = 17,33 – 4,0 = 13,33 cm
Als de massa twee keer zo groot wordt, wordt de verschuiving 2 6,67 = 13,33 cm
dus ook twee keer zo groot. De schaalverdeling is dus lineair.
m 100
De schaalwaarde is
= 15 g/cm.
r
6,67
66 Jetski
Oriëntatie:
Gevraagd: grootte van de topsnelheid vmax.
2
Gegeven: Fvw = 20 · (40 - v) ; Fw,l = 1,0 · v ; andere wrijvingskrachten zijn verwaarloosbaar klein.
Planning:
Als de jetski een constante snelheid heeft geldt: Fr = 0 d.w.z. Fvw = Fw,l
Als je de gegeven wiskundige uitdrukkingen voor Fvw en Fw,l gaat invullen, krijg je een vergelijking
waarin de snelheid v als enige onbekende voorkomt. Deze kun je dus oplossen.
Uitvoering:
2
2
Fvw = Fw,l
20 · (40 - v) = 1,0 · v
1,0 · v + 20 · v - 800 = 0
Dit is een kwadratische vergelijking waaruit je de mogelijke oplossingen voor v kunt bepalen
met de vergelijkingsoplosser van je grafische rekenmachine of de abc-formule of door te ontbinden.
Ontbinden: (v 40) (v 20) 0 . Dit geeft 2 oplossingen: v = - 40 m/s én v = 20 m/s.
Controle:
De oplossing v = – 40 m/s is natuurkundig gezien geen
zinnig antwoord. De oplossing v = 20 m/s is de juiste.
N.B. Een andere manier is de grafische oplossing.
Je tekent in één diagram de grafieklijnen voor zowel Fvw als Fw,l.
(Hiervoor moet je eerst een aantal punten uitrekenen).
Zie diagram hiernaast.
Vervolgens ga je na bij welke snelheid Fvw = Fw,l.
Dit levert dan de gevraagde snelheid v = 20 m/s.
Conclusie: de topsnelheid vmax = 20 m/s (= 72 km/h).
600
F 500
(N)
400
300
Fw,l
200
Fvw
100
0
0
2
10
20
30
40
v (m/s)
N.B. De vergelijking 1,0 · v + 20 · v - 800 = 0
kun je oplossen, door de vergelijkingen
voor Fv = 20 · (40 - v) en
2
Fa = 1,0 · v in te voeren in je grafische
rekenmachine (zie schermafbeeldingen)
en het snijpunt te berekenen
(want daar is Fv gelijk aan Fa).
Doe dit als volgt:
Druk op Y=. Y1 is de formule voor de voorwaartse kracht Fv (X = v).
Y2 is de formule voor de achterwaartse kracht Fa.
Druk op GRAPH. Het snijpunt van Y1 en Y2 moet zichtbaar zijn in het scherm wil je dat kunnen
berekenen. Dit kun je instellen onder WINDOW (zie het hierboven afgebeelde schermpje). Je kunt ook de
ZOOM-functie gebruiken om het snijpunt in beeld te krijgen.
Bereken het snijpunt van Y1 en Y2: toets in 2nd [CALC] 5:intersect ENTER ENTER ENTER.
Lees af: de snelheid v = 20 m/s (= 72 km/h) (X). Hierbij zijn Fv en Fa beide gelijk aan 400 N (Y).
50
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
75
67 Afdaling
Oriëntatie:
Gevraagd: maximale snelheid vmax van wielrenner zonder te trappen.
Gegeven: helling 15% d.w.z. 15 m dalen op 100 m afgelegde weg; m = 81 kg;
1
2
1
2
Fw = Fw,r + Fw,l = cr Fn + /2 cw
A v of Fw = 0,003 Fn + /2 0,88 1,2 0,36 v
Planning:
Een wielrenner die zonder trappen een afdaling maakt, ondervindt
een voorwaartse kracht Fvw die veroorzaakt wordt door de component
van de zwaartekracht Fz,x evenwijdig aan het wegdek (zie de figuur).
In eerste instantie zal de snelheid toenemen én tegelijkertijd
ook de wrijvingskracht Fw. De snelheid blijft constant als Fvw = Fw .
De wielrenner heeft dan zijn maximale snelheid vmax bereikt.
Fvw = Fw
Fz,x
Fz
1
Fz,x
15 m
2
Fz,x = 0,03 Fn + /2 0,88 1,2 0,36 v
Nieuwe onbekenden: Fz,x en Fn
15
15
sin
Nieuwe onbekende: Fz
Fz,x Fz sin
Fz
100
100
Fz,m = m g = 81 9,81 = 794,6 N
Fz,y
cos
Fn = Fz,y en
Fz,y Fz cos
Fz
Uitvoering:
15
15
sin 1
sin
100
100
Fn
100 m
Fz,y
794,6 cos 8,63
Fz
Nieuw onbekende:
= 8,63º
785,6 N
15
119,2 N
100
1
2
119,2 = 0,003 785,6 + /2 0,88 1,2 0,36 v
Fvw
Fz,x
794,6
119,2 = 2,357 + 0,190 v
2
v
119,2 2,357
0,190
24,79 m/s
Afgerond: v = 25 m/s
Controle:
Conclusie: de wielrenner behaalt op deze manier een snelheid van 25 m/s (= 89 km/h)
Fz,y
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
76
68 Catamaran
Oriëntatie
Gevraagd Kan de catamaran met de nieuwe mast slagzij maken tot 50 .
Gegeven: nieuwe mast m = 600 kg met lengte ℓ = 20 m;
elke romp heeft een massa mromp = 1000 kg;
afstand Zl tot Zr is 6,0 m (zie figuur).
Stel dat de catamaran over
een hoek van 50 kantelt
rond het zwaartepunt Zr.
Je krijgt dan de situatie
zoals in de figuur hiernaast
is weergegeven.
Zm
10 m
Fz,m
Het zwaartepunt Zm van
de mast bevindt zich
halverwege op een afstand
van 10 m van de lijn Zl -Zr.
Zl
Zr
Zl
De catamaran is nog
stabiel als in deze situatie
geldt dat Ml > Mm .
of Fz,l · rl > Fz,m · rm .
3,0 m
Fz,l
6,0 m
Zr
50o
rl
rm
Planning
Ml > Mm
Fz,l · rl > Fz,m · rm.
Nieuwe onbekenden: Fz,l , rl , Fz,m en rm.
3
3
Fz,l = m g = 1000 9,81 = 9,81 10 N en Fz,m = 600 9,81 = 5,89 10 N
r
rl is te bereken m.b.v. l
cosα
rl Zr Zl cos
6,0 cos50 3,86 m
Zr Zl
rm is moeilijker te bereken. Door de figuur nauwkeurig op schaal te tekenen is echter
ook een redelijke schatting voor de arm rm te maken: rm = ca. 5,7 m.
Uitvoering
Figuur op schaal: rr = ca. 5,7 m.
3
3
Ml = Fz,l · rl = 9,81 10 · 3,86 = 37,8 10 Nm
3
3
Mr = Fz,m · rm = 5,89 10 · 5,7 = 33,6 10 Nm
3
Ml = 38 10 Nm
3
Mr = 34 10 Nm
Controle
Conclusie: Het moment Ml is inderdaad groter dan Mm bij een kanteling over 50 .
De nieuwe mast voldoet aan de gestelde eis van stabiliteit tot 50 slagzij.
Zm
N.B. rm is ook te bereken:
rm = AC - AB (zie de figuur hiernaast).
AC
sin
AC AZm sin
10 sin 50
AZm
AB
cos
AB AZr cos
AZr
rm = 7,66 - 1,93 = 5,73 m
7,66 m
50o
3,0 cos 50
1,93 m
Zl
A
Je kunt ook berekenen tot welke hoek precies de boot
nog stabiel is. Als de catamaran op het punt staat om te kantelen
(rond Zr), geldt: Mlinksdraaiend Mrechtsdraaiend , dus:
50o
Fz,l rl
rl
rm
Fz,m rm
AC AB
AZm sin
(ml g ) ( ZlZr cos )
9810 6,0 cos
10 cos
3 cos
13
10
tan
1,3
20
sin
2
3 cos )
13 cos
Uit nevenstaande driehoek volgt:
sin
cos
Zr
AZr cos )
6,0
cos )
2
(600 9,81) (
5886 (10 sin
10 sin
rm
AZr cos
(mm g ) ( AZm sin
(1000 9,81) (6,0 cos )
C
B
50o
sin
cos
= 52,4º
a
c
b
c
sin
cos
10 sin
a
b
13
10
c
b
tan
Afgerond:
= 52º
a
Uitwerkingen Hoofdstuk 4 – Krachten in de sport
Newton vwo deel 1
77
69 Lier
Kort: Flast
Fspier
rspier N groot
rlast
350
Nklein
30 80
= 26250 N
8,0
8
2
mlast
Flast
g
26250
= 2675,8 kg
9,81
3
Afgerond: mlast = 2,7·10 kg
Uitgebreid: (zie onderstaande figuur)
Flast
mlast
g
Flast rlast
Fgroot rgroot
Fklein rklein
rklein
Nieuwe onbekende: Fgroot = Fklein
Fspier rspier
rgroot
Nklein
N groot
40
8
= 4,0 cm
80
(De omtrek = 2 r, dus als de omtrek 10 keer zo klein wordt, wordt r ook 10 keer zo klein.)
rspier
30
Fklein Fspier
350
= 2625 N
rklein
4,0
Flast rlast
Flast
mlast
Fgroot rgroot waarbij Fgroot = Fklein = 2625 N en waarbij rlast
Fgroot
Flast
g
rgroot
2625
rlast
40
4,0
asdiameter
2
8,0
= 4,0 cm
2
2625 10 = 26250 N
26250
= 2675,8 kg
9,81
3
Afgerond: mlast = 2,7·10 kg
Fklein
Flast
Fspier
rspier
rlast
Flast
Fgroot
rklein
rgroot