Berekening Optisch Maanlibratie

1
Wageningen 25 augustus 2001
Maan libraties beschreven met matrices.
Jean Meeus geeft in zijn boek: Astronomical algorithm’s een beschrijving op pagina 342 van de
Geocentrische optische en fysische Maanlibratie.
Echter de daarin gegeven formules zijn bedoeld voor een praktische aanpak, dus verder zonder veel
theorie.
Nu is het voor mij wenselijk om deze (schijnbare) slingeringen van de Maan te vatten in de
beschrijving via matrices. Hiermee kan het bestaande model van het Zonnestelsel modulair worden
aangevuld.
In vergelijking 51.1 uit Astronomical Algorithms geeft J. Meeus de volgende vergelijkingen :
W = λ - ∆ψ - Ω
sin W . cos β . cos I - sin β . sin I
Tan A = -----------------------------------------------------cos W . cos β
l’ = A - F
sin b’ = - sin W . cos β . sin I - sin β . cos I
Met l’en b’ de geocentrische optische libratie in lengte respectievelijk breedte.
Verder zijn de volgende grootheden (als funcite in de tijd) nodig :
I = (basis) inclinatie van de Maan equator (constante waarde)
λ = Schijnbare geocentrische lengte v/d Maan
β = Schijnbare geocentrische breedte van de Maan
∆ψ = Nutatie in lengte
F = afstand Maanpositie vanaf klimmende knoop. Zie verg. 45.5 (pagina 308) (Volgens mij zit in deze
polynoom benadering de berekening van de draconische Maandduur verwerkt)
A = optische libratie gerekend vanaf klimmende knoop van de Maanbaan (zonder Maanrotatie)
Omzetting naar matrices:
Met wat puzzelen is de libratie (A, b’) in cartesiaanse coördinaten om te zetten
X = cos A . cos b’
Y = sin A . cos b’
Z = sin b’
En vervolgens :
Y/X = tan A
Z = sin b’
( zie de vergelijkingen 51.1 van Jean Meeus)
Nu is het mogelijk om hieruit de inclinatie I als matrix te isoleren.
Het stelsel waarin de inclinatie wordt gedefinieerd heeft dus de volgende eigenschappen:
x-as => klimmende knoop van de Maanbaan geldig voor het middelb. equinox ecliptica van de datum.
y-as => 90° op x-as en z-as gelegen in het equatorvlak van de Maan
z-as => Noordpool van de Maan
Volgens het boek Astronomy Morsels (Jean meeus) wordt op blz. 29 de inclinatie gedefinieerd als een
rotatie van de Maanequator om de knopenlijn.
Met betrekking tot een ruimtelijke voorstelling kan dit in matrix vorm worden beschreven als een
rotatie van I om de x-as van het genoemde stelsel. De bewerking wordt aangegeven door ROT( x, I)
en genoteerd als de matrix Rx ( I ) (Zie voor de definitie van de matrices bijlage I (blz.6))
2
Voor het beschrijven van de diverse benodigde matrixtransformaties is het van belang een
referentiestelsel te kiezen. Voor het stelsel Aarde-Maan is het aannemelijk om de oorsprong van dit
orthogonaal stelsel geocentrisch te kiezen met de volgende eigenschappen:
x-as
x-y vlak
z-as
=> Lentepunt middelbare equinox en ecliptica van de datum
=> Middelbaar ecliptica van de datum
=> Middelbare ecliptica pool geldig voor het equinox van de datum
Hierna blijkt het ook mogelijk om het restant van de formules te ontbinden in een tweetal matrices.
De eerste een rotatie β om de y-as en een rotatie W om de z-as.
Worden deze matrices samengevoegd dan wordt een nieuwe matrix verkregen waaruit direct de
optische libratie kan worden afgeleid in de vorm van A en b’ ( van A moet nog even F worden
afgetrokken om de optische libratie in lengte l’ te verkrijgen.
Voor deze “gemodificeerde” optische libratie matrix R’ geldt :
Ry( β ) x Rz( - W ) x Rx( -I ) = R’
( Rx is de rotatie om de x-as , Ry om de y-as enz.)
De betekenis wordt duidelijk : R’ wordt gevormd door een rotatie Ry(β) van het referentiestelsel, dit
geroteerde stelsel worden vervolgens gedraaid door de rotatie Rz(-W ) en tenslotte wordt op het tot nu
toe geroteerde stelsel nog de inclinatie Rx(-I) hierop uitgevoerd. (men spreekt hierbij ook wel van
relatieve transformaties; het referentiestelsel verandert steeds mee)
Echter om de echte optische libratie te kunnen berekenen dient de rotatie van de Maan zelf nog te
worden meegenomen.
Na de laatste transformatie wordt de Maanrotatie-as gevormd door de z’’’ as van het laatste stelsel,
zodat de Maanrotatie (F) als een rotatie om deze z-as kan worden toegevoegd aan het geheel. De
uiteindelijke optische libratie matrix krijgt nu de gedaante:
Ry( β ) x Rz( - W ) x Rx( -I ) x Rz( F ) = R
Nog handiger is het om de positie van de Maan via een matrix is de formulering mee te nemen.
De geocentrische schijnbare positie van de Maan wordt beschreven via de ELP2000-85 theorie van
Chapront. De cartesiaanse coördinaten worden opgeslagen in matrix M . Deze matrix wordt gevormd
door M = TRANS(x,y,z) (zie bijlage I (blz.5)) met :
x =R cos λ . cos β
y =R sin λ . cos β
z =R sin β
R = de ware geocentrische afstand van de Maan
3
Vervolgens kan R ook worden uitgedrukt in de vorm van:
M x Rz( Ω ) x Rx( -I ) x Rz( F ) = R
Dit laatste levert het grote voordeel dat wanneer M geocentrisch ecliptisch wordt beschreven ook R in
dit stelsel wordt uitgedrukt. En vervolgens wanneer M topocentrisch is, ook R topocentrisch wordt
uitgedrukt.
Wanneer de fysische libratie ook wordt mee genomen is deze techniek ( even puzzelen met de
quantities van Eckhardt ) zie verg. 51.2 op blz. 343 van Astronomical algoritms van Jean Meeus.
Wanneer ik ervan uitga dat:
ρ = Maan inclinatie variatie in de tijd (= tijd vanaf J2000).
σ = Stand Maan-as variatie
τ = Variatie in de Maanrotatie
Dan kan dit geheel met in acht neming van de door Jean Meeus gegeven vergelijkingen (51.2)
l” = -τ + ( ρ cos A + σ sin A ) . tan b’
b” = σ cos A - ρ sin A
De matrix R worden uitgebouwd en wordt als volgt beschreven als totale libratie matrix R
M x Rz( Ω ) x Rx (- ρ - I ) x Ry ( -σ ) x Rz ( τ + F ) = R
Ook hier kan M worden vervangen door een de Maan positie uitgedrukt in een ander stelsel
Zo kan de topocentrische libratie worden berekend door de matrix M te vervangen door de matrix Mp
die de positie van de maan in Azimut en hoogte beschrijft.
Alles blijft precies hetzelfde, het enige dat nu nodig is zijn de coördinaten van de positie van de Maan
in het azimutale (topocentrische) stelsel.
Mp wordt berekend uit de volgende matrixtransformaties:
T3 x T2 x M = Mp
T3 beschrijft de transformatie (terug) van het topocentrum (voor opgegeven geodetische positie op de
WGS84 ellipsoïde) naar het ware equatoriale coördinatensysteem.
T2 beschrijft de transformatie (terug) van het ware equatoriale coördinatensysteem naar het
middelbare ecliptische coördinaten stelsel (incl. nutatie in lengte, breedte, en helling van de equator)
Doordat de matrix transformaties vanuit het geocentrum zijn gestart, wordt de libratie vanuit het
selenocentrum teruggerekend naar de ruimtelijke hoek naar het stelsel van waaruit is gestart.
Hiertoe dient de libratie matrix te worden geïnverteerd : Q = R-1
(Normaal is inverteren een tamelijke tijdrovende bezigheid, maar de opbouw van de beschreven
matrices voldoen steeds aan een vergelijkbare opbouw en blijven te allen tijde 4 rijen en 4 kolommen
houden. (zie bijlage II (bladz.11, (routine MATINV)). Uiteindelijk is de inverteerbewerking relatief erg
eenvoudig! )
4
Om vervolgens de libratie uit de matrix terug te rekenen, zijn alleen de kentallen uit de laatste kolom
van Q relevant. Uit dit deel wordt de libratie in cartesiaanse coördinaten direct afgelezen:
De libratie in lengte l en in breedte b wordt gevonden :
l = arctan (y24 / x14 )
(denk om het kwadrant en e.v.t door 0 deling)
b = arcsin (z34 / ( x14 2 + y242 + z34 2 )
½
)
(Bij controle met de opgegeven voorbeelden van J.Meeus en gepubliceerde data van de
Geocentrische Maanlibratie blijkt dat de uitkomsten van de beschreven berekeningen inderdaad goed
overeenkomen).
NB : Het leuke is dat de matrix M in principe van alles mag zijn , misschien is het wel wenselijk om de
maan-libratie vanuit Mars te bekijken. Hiertoe dient de positie van de Maan te worden beschreven
vanuit een topomartiaans stelsel. Een kind kan dan de “was” doen om de benodigde transformaties uit
te rekenen.
VRAAG:
Ik zoek overigens nog naar betrouwbare topocentrische data voor een opgegeven Geografische
plaats. Ik kom hierbij regelmatig data tegen waarbij er onderling (in de 2 decimaal achter de komma)
verschillen te bespeuren zijn.
Literatuur:
A practical introduction to Computer Graphics
Astronomical Algorithms
Astronomy morsels
Lunar Tables and programs
Ian O Angell
Jean Meeus
Jean Meeus
Chapront
Rz (-τ- F) x Ry (σ) x Rx ( ρ + I ) x Rz( - Ω ) x M = Rl
ISBN 0-333-31082-9
ISBN 0-943396-35-2
ISBN 0-943396-51-4
ISBN 0-943396-33-6
5
BIJLAGE I MATRICES
Zoals aangegeven kunnen de omzettingen van en naar de verschillende assenstelsels worden
opgevat als transformaties van deze stelsels.
De transformaties kunnen een translatie beschrijven in de x,y of z richting van een (orthogonale)
ruimte of een rotatie over een of meerdere van de genoemde assen.
In totaal worden alle vrijheidsgraden (3 translaties en 3 rotaties) in de ruimte vastgelegd.
Door deze matrices te vermenigvuldigen vindt er een koppeling plaats tussen de een of meerdere
transformaties.
Deze koppeling wordt zodanig uitgevoerd dat het laatst berekende stelsel steeds de referentie vormt
voor de nieuwe transformatie. Hierbij wordt ook wel gesproken van relatieve transformaties, dit zijn
dus koppelingen ten opzichte van elkaar.
Omdat matrixvermenigvuldiging niet commutatief is, dient de volgorde van berekenen strikt te worden
gehandhaafd, immers geldt : A x B ≠ B x A (A en B zijn matrices met gelijke rijen en kolommen).
De beschrijving van de hemellichamen vindt plaats in een 3-dimensionale lineaire ruimte, hiermee kan
dus worden volstaan met het berekenen van 3-dimensionale vectoren.
Omdat een vector slechts de grootte en de richting beschrijft en niet de oriëntatie zal er extra
informatie moeten worden meegegeven.
Zonder op de afleiding hiervan in te gaan wordt deze vector weergegeven als een 4x4 matrix met de
onderstaande algemene gedaante:
a11
a12
a13
x14
a21
a22
a23
y24
a31
a32
a33
z34
0
0
0
1
De Laatste kolom x, y en z beschrijft het translatie deel, terwijl het gedeelte a11 t/m a33 de oriëntatie
(=rotatiedeel) in de ruimte vastlegt.
De laatste rij is noodzakelijk om de matrix gelijke rijen en kolommen te geven, zodat elke
matrixproduct te allen tijde een 4x4 matrix oplevert.
Er wordt een dimensie meer toegevoegd dan in de ruimte waarin gerekend wordt.
TRANSLATIE
Zoals besproken kan een assenstelsel in de ruimte worden verschoven naar nieuwe coördinaten,
terwijl de oriëntatie in deze ruimte behouden blijft.
De beschrijving van de matrix die een dergelijk verschuiving (=translatie) uitvoert ziet er als volgt uit:
1
0
0
x
0
1
0
y
0
0
1
z
0
0
0
1
TRANS(x,y,z) =
De matrix TRANS(x,y,z) beschrijft de translatie van een assenstelsels naar een nieuwe positie met de
coördinaten (x,y,z) ten opzichte van het oude stelsel.
6
ROTATIE
Op eenzelfde wijze waarop een transformatie naar een nieuwe positie plaats vindt, kan de oriëntatie
(=rotatie) worden gewijzigd ten opzichte van het voorgaande.
Echter deze beschrijving in enigszins complexer dan bij het beschrijven van de translatie, er dient voor
elke basis rotatie een aparte matrix te worden opgesteld.
Deze basisrotaties beschrijven de draaiingen om de drie assen (x, y en z) van het orthogonale
assenstelsel.
Zonder op de afleiding in te gaan kunnen worden deze basis rotaties in matrixvorm gegeven:
De rotatie van een hoek ϕ om de x-as ziet er als volgt uit:
1
0
0
0
0
COSϕ
-SINϕ
0
0
SINϕ
COSϕ
0
0
0
0
1
ROT(x,ϕ) =
De rotatie van een hoek ϕ om de y-as ziet er als volgt uit:
COSϕ
0
SINϕ
0
0
1
0
0
-SINϕ
0
COSϕ
0
0
0
0
1
ROT(y,ϕ) =
De rotatie van een hoek ϕ om de z-as ziet er als volgt uit:
COSϕ -SINϕ
0
0
SINϕ
COSϕ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
ROT(z,ϕ) =
Met de bovenstaande 3 matrices kunnen alle denkbare oriëntaties in de ruimte worden
beschreven/vastgelegd.
7
EIGENSCHAPPEN:
De beschreven transformaties zijn geldig voor een rechtsdraaiend orthogonaal assenstelsel.
Grafisch gezien heeft dit stelsel de onderstaande gedaante:
Hierin zijn de richtingen en draaiingen positief getekend (orthogonaal, rechtsdraaiend assenstelsel).
Zoals vermeld vindt koppelingen van de beschreven matrices plaats door deze te vermenigvuldigen.
Voorbeeld: Stel een transformatiematrix T is als volgt opgebouwd:
T = ROT(y,β) x ROT(x,-α) x TRANS(x,y,z)
Hiermee wordt het volgende beschreven:
Een (referentie) assenstelsel wordt om de y-as over een hoek β verdraaid, vervolgens wordt dit zelfde
stelsel om de nieuw gevormde x-as over een hoek -α gedraaid.
Tenslotte vindt er een translatie over x,y,z plaats vanuit de laatst berekende oriëntatie.
FRAMES:
Zoals uit bovenstaande voorbeeld blijkt kan de matrix T worden opgevat als een transformatie om
vanuit een willekeurige plaats A naar plaats B te komen.
Wanneer deze plaats A een bepaalde positie en oriëntatie in de ruimte voorstelt, welke beschreven is
als matrix A, kan B worden berekend door hierop een transformatie T uit te voeren:
AxT=B
let op:
AxT≠TxA
Deze techniek maakt het mogelijk om in een lineaire ruimte meerdere assenstelsels te leggen die ten
opzichte van elkaar, middels een transformatiematrix kunnen worden beschreven.
Met de aldus berekende transformatiematrix is het eenvoudig om coördinaten in de gedaante van een
homogene vector te transformeren naar de verschillende assenstelsels.
De te beschrijven vector dient er als volgt uit te zien:
v =
x
y
z
1
Transformatie van vector v uitgedrukt in plaats A wordt in plaats B beschreven via de
transformatiematrix T als:
w = T.v
8
Wanneer T dient te worden opgevat als nieuwe referentie (= referentie stelsel) dient de inverse van T
te worden berekend; transformaties van vectoren met behulp van T-1 beschrijven deze vectoren in het
nieuw te beschouwen stelsel.
Zoals reeds is opgemerkt kan de 4e kolom van een transformatiematrix worden opgevat als
kolomvector van deze matrix; immers de kentallen van de 4e kolom zijn indentiek aan de
getransformeerde vector w wanneer de nulvector v0 (=oorsprong refentiestelsel) met deze matrix
wordt vermenigvuldigd.
a11
a12
a13
x14
a21
a22
a23
y24
a31
a32
a33
z34
0
z34
0
0
0
1
1
1
T
0
x14
0
*
*
=
v0
=
y24
w
9
SCHALING:
In de gevallen wanneer er een transformatie op een assenstelsel moet worden uitgevoerd op basis
van een vast verhoudingsgetal (schaalfactor) kan dit worden uitgevoerd met behulp van een
opschaalmatrix met de volgende gedaante:
S
=
sx
0
0
0
0
sy
0
0
0
0
sz
0
0
0
0
1
SCAL(sx,sy,sz) =
sx,sy en sz zijn de lineaire schaalfactoren op de 3 afzonderlijke assen.
Het onderstaande illustreert een transformatie van een stelsel A naar een stelsel B gelegen in een
vooraf gedefinieerde ruimte:
SxA =B
De relatie met betrekking tot de vectoren in de stelsels A en B is als volgt:
Transformatie van de positie vector u naar een vector v in het stelsel A:
A.u =v
Evenzo de transformatie in B op de vectoren u en w:
B.u=w
In de gevallen dat er sprake is van een uniforme schaalfactor ( sx = sy =sz ) vindt de transformatie
feitelijk plaats als een scalair vector product s op de vector v plaats.
s. v = w
In de gevallen wanneer er sprake is van een dergelijke scalaire vermenigvuldiging kan de kolom
vector van matrix B ook direct worden beschreven als :
B =
a11
a12
a13
s.x14
a21
a22
a23
s.y24
a31
a32
a33
s.z34
0
0
0
1
10
23 juli 1995
BIJLAGE II PASCAL routines matrices.
{ÈÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍͼ}
PROCEDURE trans(tx,ty,tz:real;VAR A:matrix);
{deze procedure berekent de TRANSLATIE MATRIX}
VAR i,j:integer;
BEGIN
FOR i:=1 TO 4 DO
BEGIN
FOR j:=1 TO 4 DO A[i,j]:=0;
A[i,i]:=1
END;
A[1,4]:=tx;
A[2,4]:=ty;
A[3,4]:=tz
END;
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}
PROCEDURE rot(m:integer;phi:real;VAR A:matrix);
{deze procedure berekent de ROTATIEMATRIX}
VAR theta:real;
C,S :real;
i,j :integer;
m1,m2:integer;
BEGIN
theta:=(pi/180)*phi;
FOR i:=1 TO 4 DO
FOR j:=1 TO 4 DO A[i,j]:=0;
A[4,4]:=1;
A[m,m]:=1;
m1:=(m mod 3)+1;
m2:=(m1 mod 3)+1;
C:=COS(theta);S:=SIN(theta);
A[m1,m1]:=C;
A[m2,m2]:=C;
A[m1,m2]:=-S;
A[m2,m1]:=S
END;
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}
PROCEDURE Rotk(k:vector;phi:real;VAR A:matrix);
{Deze proc. voer een rotatie uit om een ruimtelijke vector }
{k over een hoek phi [°], het resultaat is een 4x4 matrix }
VAR x,y,z,n:real;
{----------------------------------------------------------}
FUNCTION vsin(a,b,c:real):real;
BEGIN
vsin:=a*b*(1-COS(phi))+c*SIN(phi);
END;
{----------------------------------------------------------}
FUNCTION vcos(a,b,c:real):real;
BEGIN
vcos:=a*b*(1-COS(phi))+c*COS(phi);
END;
{----------------------------------------------------------}
BEGIN
phi:=pi*phi/180;
{omzetten naar Rad}
n:=norm(k);
x:=k[1]/n;y:=k[2]/n;z:=k[3]/n;
primematrix(A);
A[1,1]:=vcos(x,x,1); A[1,2]:=vsin(y,x,-z);
A[2,1]:=vsin(x,y,z); A[2,2]:=vcos(y,y,1);
A[3,1]:=vsin(x,z,-y); A[3,2]:=vsin(y,z,x);
A[1,3]:=vsin(z,x,y);
A[2,3]:=vsin(z,y,-x);
A[3,3]:=vcos(z,z,1);
END;
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}
11
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}
PROCEDURE scale(sx,sy,sz:real;VAR A:matrix);
{deze procedure berekent de SCHALINGSMATRIX}
VAR i,j:integer;
BEGIN
FOR i:=1 TO 4 DO
FOR j:=1 TO 4 DO
A[i,j]:=0;
A[1,1]:=sx;
A[2,2]:=sy;
A[3,3]:=sz;
A[4,4]:=1
END;
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}
PROCEDURE mult(A,B:matrix;VAR T:matrix);
{deze procedure berekent het MATRIXPRODUCT}
VAR i,j,k:integer;
hulp :matrix;
AB
:real;
BEGIN
FOR i:=1 TO 4 DO
FOR j:=1 TO 4 DO
BEGIN
AB:=0;
FOR k:=1 TO 4 DO AB:=AB+A[i,k]*B[k,j];
hulp[i,j]:=AB
END;
FOR i:=1 TO 4 DO
FOR j:=1 TO 4 DO T[i,j]:=hulp[i,j]
END;
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}
PROCEDURE matinv(T:matrix;VAR Tinv:matrix);
{deze procedure berekent de INVERSEMATRIX}
VAR i,j:integer;
BEGIN
FOR i:=1 TO 3 DO
BEGIN
FOR j:= 1 TO 3 DO Tinv[i,j]:=T[j,i];
Tinv[i,4]:=-(T[1,i]*T[1,4]+T[2,i]*T[2,4]+T[3,i]*T[3,4]);
Tinv[4,i]:=0
END;
Tinv[4,4]:=1
END;
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}
PROCEDURE primematrix(VAR A:matrix);
VAR i,j:integer;
BEGIN
FOR i:=1 TO 4 DO
FOR j:=1 TO 4 DO IF i=j THEN A[i,j]:=1
ELSE A[i,j]:=0
END;
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}
FUNCTION inproduct(V1,V2:vector):real;
BEGIN
inproduct:=V1[1]*V2[1]+V1[2]*V2[2]+V1[3]*V2[3]
END;
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}
PROCEDURE uitproduct(V1,V2:vector;VAR V3:vector);
BEGIN
V3[1]:=V1[2]*V2[3]-V1[3]*V2[2];
V3[2]:=V1[3]*V2[1]-V1[1]*V2[3];
V3[3]:=V1[1]*V2[2]-V1[2]*V2[1]
END;
{ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ}