Natuurkunde boek B - Energie uit onverwachte hoek

FRANS VAN LIEMPT
NATUURKUNDE BOEK B
DOWNLOAD GRATIS STUDIEBOEKEN OP
STUDENTENSUPPORT.NL
GEEN REGISTRATIE NODIG
Frans van Liempt
Natuurkundeboek B
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
© 2007 Frans van Liempt & Ventus Publishing ApS
ISBN 978-87-7681-225-1
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Inhoudsopgave
Inhoudsopgave
Inhoud Natuurkundeboek A
6
Voorwoord
7
Index
8
I Mechanica
12
1.
1.1
1.2
1.3
Impuls, krachten, energie
Impuls
Krachten
Energie
12
12
15
27
2.
2.1
2.2
Rchtlijnige bewegingen
Basisbegrippen
Bewegingsvergelijkingen
32
32
40
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
Krachten en beweging in 2 dimensies
Referentiesystemen
Vrije-lichaamsdiagrammen
Moment en rotatie
Bewegingen in 2 dimensies
52
52
56
61
63
II Wiskunde
70
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
70
70
71
72
72
Klik op de advertentie
Rekenen
Breuken
Haakjes wegwerken
Wortels
Machten
Topbedrijven die naar jóu toekomen. Dat noemen wij innovatie.
Droom jij van een topbaan bij een multinational of de overheid? En zoek jij de beste start van je carrière?
Begin eerst hier: werkenbijdeloitte.nl.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Klik op de advertentie
Natuurkundeboek B
Inhoudsopgave
74
75
76
79
84
90
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
Logaritmes
e-machten en natuurlijke logaritmes
Meetkunde
Goniometrische functies
Oplossen van vergelijkingen
Benaderingen
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
Functies
Differentiëren, afgeleide
Integreren, primitieve
Lijst met afgeleiden en primitieven
Differentiaalvergelijkingen
92
92
96
97
99
100
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
Vectoren
Vectoriële grootheden
Optellen en aftrekken
Vermenigvuldigen
Differentiëren
105
105
108
113
118
Tabellen
121
We zoeken engineers die aan
een half woord genoeg hebben.
Croon is Nederlands grootste specialist in elektrotechniek. Al meer dan 130 jaar staan we
bekend om ons vakmanschap. Ook van onze mensen vragen we ervaring en kennis van zaken.
Dus ben jij een engineer die net zo makkelijk een logische v­ olgordediagram leest als de krant,
dan willen we je graag een a
­ an­bieding doen. Scan met je mobiele telefoon de QR code of kijk
op onze website voor de vol­ledige vacatures. We leven elektrotechniek werkenbijcroon.nl
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Inhoud Natuurkundeboek A
Klik op de advertentie
Inhoud Natuurkundeboek A
1.
Highlights moderne natuurkunde
2.
Gassen, warmte
3.
Vloeistoffen, stroming
4.
Elektriciteit, elektromagnetisme, signalen
5.
Golven, optica
6.
Straling, kernfysica
Sign up for Vestas
Winnovation
Challenge now
- and win a trip around the world
Read more at vestas.com/winnovation
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Voorwoord
Voorwoord
Ook dit Natuurkundeboek B is bedoeld voor studenten die zich in het eerste jaar van het hoger
onderwijs voorbereiden op een cursus natuurkunde. Het gaat over twee onderwerpen: mechanica
en wiskunde.
Deel I bestaat uit drie hoofdstukken over mechanica. De lezer zal daar meer abstracte
formulemanipulaties tegenkomen dan in de boeken voor de middelbare school. Er wordt ook
gebruik gemaakt van vectornotatie, eenvoudige differentiaalvergelijkingen en vrijelichaamsdiagrammen. De bedoeling is bèta- en techniekstudenten uit te dagen tot een meer
abstracte werkwijze dan ze op de middelbare school gewend waren. Uitgangspunt is wel geweest
dat de benadering met eindexamenkennis begrijpelijk moet zijn en bovendien nuttig is voor de
aansluiting met colleges in het hoger onderwijs. Aanbevolen wordt de hoofdstukken te bestuderen
voorafgaande of in het begin van de mechanicacolleges en eventuele vragen erover mee te nemen
naar werkcolleges.
Deel II geeft een samenvatting van de wiskundekennis die bij natuurkundecursussen nodig is. De
onderwerpen variëren van elementair (breuken, machten, logaritmes, goniometrische functies,
vergelijkingen oplossen, differentiëren) tot meer gevorderde (benaderingen, oplossen van
differentiaalvergelijkingen en vectorrekening).
Net als in boek A volgt in dit boek na de inhoudsopgave een uitvoerige alfabetische index. Hierin
wordt ook verwezen naar de tabellen die verspreid over het boek staan.
Frans van Liempt
Amsterdam, december 2006
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Index
Index
A
D
afgelegde weg............................................34
afgeleide ....................................................93
arbeid
langs de baan.........................................30
assenstelsel ..........................................32, 52
horizontale worp ...................................65
rechtsdraaiend .....................................107
differentiaalvergelijkingen................ 41, 100
homogeen ................................41, 45, 100
lineair.................................................. 100
niet homogeen ...................................... 42
niet lineair............................................. 49
orde, 1ste, 2de ...41, 47, 100, 101, 102, 103
differentiëren
afgeleide functie ................................... 94
bewegingen........................................... 40
differentiaalquotient ............................. 93
kettingregel........................................... 96
lijst met afgeleiden ............................... 99
partieel .................................................. 95
puntnotatie ............................................ 95
regels .................................................... 96
discriminant 2de graadsvergelijking .. 43, 44,
88, 90
domein ...................................................... 92
driehoek .................................................... 77
B
bereik .........................................................92
bewegingen
baanvergelijking....................................63
cirkelbeweging ......................................67
horizontale worp ...................................65
parametervergelijking ...............64, 66, 67
worp in willekeurige richting ................66
bewegingsvergelijkingen...........................41
F=0 ........................................................41
F=constant.............................................42
F=-cv .....................................................47
F=-cv2 ....................................................49
F=-cx .....................................................45
inhalen, relatieve snelheid.....................53
numeriek integreren ..............................49
twee verticale bewegingen ....................43
val in vloeistof.......................................48
valversnelling, verticale worp ...............43
wetten van Newton................................40
breuken ......................................................70
C
complexe getallen....................................103
constante (van)
elementaire ladingshoeveelheid ............18
Newton ............................................16, 68
valversnelling ......................27, 43, 48, 55
wet van Coulomb ..................................17
Coulomb, wet van......................................17
E
elektrisch veld
homogeen veld ..................................... 19
veldsterkte ............................................ 18
energie
arbeid .................................................... 28
kinetische.............................................. 27
potentiële .............................................. 30
trillingsenergie...................................... 46
veerenergie ........................................... 28
evenwichtsvoorwaarden
moment................................................. 62
F
faculteit ..................................................... 75
fase............................................................ 82
functies...................................................... 92
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Index
spankracht............................................. 25
statische wrijving.................................. 24
veerkracht ............................................. 22
veldkrachten ......................................... 16
viskeuze, Stokes ............................. 46, 48
vormweerstand ..................................... 49
vrije-lichaamsdiagram .......................... 56
wrijvingscoëfficiënten .......................... 24
wrijvingskracht..................................... 22
zwaartekracht........................................ 55
G
gemiddelde door integratie ........................36
grondtal......................................................72
H
harmonische trilling
bewegingsvergelijking ..........................46
periode...................................................46
hoeken, F- en Z-hoek.................................76
Hooke, wet van....................................22, 25
I
L
impuls
behoud.............................................13, 15
definitie .................................................12
kracht.....................................................13
inertiaalstelsel............................................54
inhoud........................................................78
inproduct....................................................28
integreren...................................................97
bepaalde integraal .................................98
bewegingen ...........................................40
integratieconstanten ......38, 42, 48, 49, 97
lijst met primitieven ..............................99
primitieve functie ..................................97
Riemann oppervlakte ............................97
limiet ......................................................... 93
logaritmes ................................................. 74
K
kettingregel................................................96
krachten
actie, reactie ..........................................13
contactkrachten .....................................21
elektrische kracht ............................17, 18
gravitatiekracht......................................16
impulsverandering.................................13
Lorentzkracht ........................................20
middelpuntzoekende kracht ......21, 26, 60
moment .................................................61
normaalkracht........................................22
resulterende kracht ................................26
rolwrijving.............................................24
schijnkrachten .......................................55
schuifwrijving .......................................23
M
magnetisch veld
door bewegende lading......................... 20
magnetische inductie ............................ 21
methode van Euler .................................... 49
moment van een kracht ............................. 61
arm........................................................ 61
evenwichtsvoorwaarden ....................... 62
N
Newton, wetten van .......................12, 13, 40
constante van Newton .......................... 16
normaal ..................................................... 78
numeriek integreren .................................. 49
O
oplossen vergelijkingen ............................ 84
coefficientenmethode ........................... 87
differentiaalvergelijkingen ................. 100
karakteristieke vergelijking ................ 102
numeriek integreren............................ 104
substitutimethode.................................. 88
tweedegraads vergelijking .................... 88
oppervlakte ............................................... 78
P
parametervergelijking ......................... 64, 80
partieel differentiëren................................ 95
plaats
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
plaatsfunctie ....................................34, 37
verplaatsing ..................... Zie verplaatsing
primitieve functie ......................................97
Pythagoras, stelling van.............................77
R
radiaal ........................................................81
rechtlijnige bewegingen
assenstelsel ............................................32
differentieren en integreren ...................34
gemiddelde en momentane snelheid .....35
gemiddelde en momentane versnelling .37
grafieken................................................33
overzicht basisbegrippen.......................40
plaatsfunctie ..........................................37
snelheidsfunctie.....................................39
verplaatsing, afgelegde weg ..................34
referentiesysteem.......................................52
relatieve snelheid, inhalen.....................53
regels
differentiëren.........................................96
goniometrische functies ........................83
inproduct .............................................114
kettingregel............................................96
logaritmen .............................................75
machten .................................................73
natuurlijke logaritmen ...........................75
uitproduct ............................................117
vectoren differentiëren naar de tijd .....119
wortels...................................................72
rekenen
benaderingen .........................................90
breuken..................................................70
driehoek.................................................77
e-machten, natuurlijk logartime ............75
goiniometrische functies .......................79
haakjes wegwerken ...............................71
logaritmes..............................................74
machten .................................................72
meetkunde .............................................76
oplossen van vergelijkingen..................84
wortels...................................................72
Index
S
scheiden van variabelen .......................... 101
situatietekening ......................................... 32
snelheid
2 dimensionaal...................................... 66
baan ...................................................... 36
gemiddelde ........................................... 35
momentane ........................................... 36
snelheidsfunctie .............................. 34, 39
snelheidsverandering ...................... 34, 39
symbolen................................................... 93
T
tabellen
afgeleiden en primitieven ..................... 99
constanten e.a. numerieke waarden .... 123
enkele specifieke Engelse termen....... 124
grieks alfabet ...................................... 121
oppervlakte- en inhoudsformules ......... 78
vectorgrootheden ................................ 105
waarden voor sinus en cosinus ............. 81
wrijvingscoëfficiënten .......................... 24
traagheidswet ............................................ 12
twee vergelijkingen met twee onbekenden 54
tweedegraads vergelijking .................. 43, 88
U
uitproduct............................................ 21, 61
V
variabele, (on)afhankelijke- ...................... 92
vectoren............................................. 52, 105
componenten ...................................... 106
differentiëren, naar tijd en plaats 118, 119
eenheidsvector .................................... 107
gradiënt, divergentie, rotatie............... 119
grootte en richting .............................. 107
nablaoperator ...................................... 119
ontbinden .............................................. 64
optellen, aftrekken ...................... 108, 110
producten, in- en uit-product .............. 113
producten, in-, uit-product.......... 113, 115
veld
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Index
elektrisch ..................... Zie elektrisch veld
gravitatie................................................16
magnetisch ................Zie magnetisch veld
verplaatsing .........................................34, 37
2 dimensionaal ......................................66
versnelling
gemiddelde ............................................37
momentane ............................................37
versnellingsfunctie ................................34
verticale worp ............................................90
referentiesysteem ..................................42
viscositeit...................................................48
vrije-lichaamsdiagram .............................. 56
balk ....................................................... 62
cirkelbeweging ..................................... 60
deur....................................................... 63
helling................................................... 57
interne krachten .................................... 58
katrol..................................................... 58
W
wetenschappelijke notatie ......................... 73
wortels ...................................................... 72
wrijving......................................Zie krachten
Klik op de advertentie
what‘s missing in this equation?
You could be one of our future talents
MAERSK INTERNATIONAL TECHNOLOGY & SCIENCE PROGRAMME
Are you about to graduate as an engineer or geoscientist? Or have you already graduated?
If so, there may be an exciting future for you with A.P. Moller - Maersk.
www.maersk.com/mitas
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
I
Impuls, krachten, energie
Mechanica
1 . Impuls, krachten, energie
De wetten van Newton
De grondlegger van de theorie van de bewegingen van lichamen is Newton. De drie wetten die hij formuleerde
behoren tot de basisstof van de natuurkunde in het voortgezet onderwijs.
G
G
ƒ
De eerste wet is de traagheidswet: als F 0 , dan is v constant.
De grootte en/of de richting van de snelheid van een lichaam verandert alleen als er van buiten af een
kracht op werkt.
ƒ
De tweede wet stelt: F ma.
Een lichaam waarop een kracht F wordt uitgeoefend, krijgt een versnelling die evenredig is met F en
dezelfde richting heeft.
ƒ
De derde wet luidt FB , A
G
G
G
G
FA , B .
Als B een kracht uitoefent op A, dan oefent A op B een even grote kracht in tegengestelde richting uit.
De eerste en tweede wet van Newton leer je in het voortgezet onderwijs als een relatie tussen een kracht en de
snelheid respectievelijk de versnelling. Dit is niet de vorm waarin Newton deze wetten oorspronkelijk
presenteerde. In plaats van de begrippen snelheid en versnelling gebruikte hij het meer fundamentele begrip
impuls.
1.1 Impuls
De impuls p van een lichaam is het product van de massa m en de snelheid v. De impuls heeft behalve een
bepaalde grootte ook een richting. Het is een vectorgrootheid:
G
p
G
mv
Om je de impuls van een lichaam voor te stellen, kun je er aan denken aan je impuls overdraagt als je tegen iets
aan stoot. Om dezelfde snelheid te geven moet je een zwaar lichaam een grotere stoot geven dan een minder
zwaar lichaam, het krijgt een grotere impuls. Bij dezelfde stoot krijgt een zwaarder lichaam een kleinere snelheid
dan een minder zwaar lichaam.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
De wetten van Newton opnieuw
ƒ
De 1ste wet van Newton houdt in dat de impuls van een lichaam constant blijft zolang er geen
wisselwerking is met de omgeving, d.w.z. zolang er geen externe krachten op werken:
G
p = constant
ƒ
De 2de wet van Newton stelt dat een wisselwerking tussen een bewegend lichaam en zijn omgeving leidt
G
tot een verandering van de impuls dp . Op grond van deze wet is een definitie van kracht mogelijk.
Kracht is namelijk de sterkte van de wisselwerking, ofwel de impulsverandering per tijdseenheid:
G
dp
dt
G
F
Herschrijven van deze uitdrukking leidt tot de formule die je kent uit het voortgezet onderwijs en
meestal voor bewegingsvergelijkingen (zie volgende hoofdstuk) wordt gebruikt:
G
F
G
dp
dt
G
d (mv )
dt
G
dv
m
dt
G
ma
In deze afleiding is ervan uitgegaan dat de massa van het lichaam constant is. Indien dit niet het geval is,
zoals bij een regendruppel waarvan een deel tijdens de val verdampt of bij een raket die gas uitstoot, dan
is ook m een functie van de tijd:
G
F
ƒ
G
dp
dt
G
d (mv )
dt
G
dm
dv
v
m
dt
dt
De 3de wet van Newton houdt in dat bij een wisselwerking tussen een lichaam en de omgeving de totale
impuls behouden blijft.
Stel je bij ‘omgeving’ een tweede lichaam B voor dat tegen een lichaam A aanstoot. Samen kun je A en
B als één geïsoleerd systeem (lichaam) beschouwen. Volgens de 1ste wet verandert hiervan de (totale)
impuls niet. Er geldt:
G
¦p
constant
Wel kunnen A en B onderling impuls uitwisselen.
G
'p A
G
'p B
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Neemt de impuls van de een toe, dan neemt de impuls van de ander in gelijke mate af.
Omdat de wisselwerking voor beide lichamen even lang duurt, zijn volgens de 2de wet de krachten die A
en B op elkaar uitoefenen even groot kracht en tegengesteld van richting:
G
FAopB
G
FBopA
Voorbeeld: Impulsbehoud
Een roeiboot (M1=180 kg) ligt stil in het water. Iemand (M2=70 kg) springt er in met een snelheid v2=3 ms-1. De
‘landing’ in de boot duurt 0,6 s. Welke snelheid hebben de boot met inzittende na de sprong? En welke kracht
wordt tijdens de landing op de boot uitgeoefend?
M1
M2
x
v2
Klik op de advertentie
Figuur 1 Voor de sprong
OC&C Strategy Consultants adviseert als internationale
adviesfirma het topmanagement van vooraanstaande, veelal
Ben je geïnteresseerd in een uitdagende carrière of in een
van onze Strategy Courses, neem dan contact met ons op of
beursgenoteerde ondernemingen bij complexe strategische
vraagstukken. Verdere groei van de firma is noodzakelijk om
al onze cliënten te kunnen bedienen. Ook dit jaar hebben wij
bezoek onze website voor meer informatie.
weer ruimte om een selecte groep van zeer getalenteerde
academici zorgvuldig op te leiden en te coachen.
Weena 157 | 3013 CK Rotterdam
010 217 5555 | www.occstrategy.com
OC&C Strategy Consultants
Jonge professionals in ons team ervaren een onvergelijkbare
persoonlijke en professionele ontwikkeling. Een MBA aan
een bekende business school in Europa of Amerika kan deel
uitmaken van je loopbaan. Als OC&C-consultant werk je met
uiterst ambitieuze cliënten die prominent in hun branche
zijn. Er zijn ruime mogelijkheden voor internationale staffing.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
M1 + M2
x
u
Figuur 2 Na de sprong
Voor de sprong is de totale impuls:
¦p
p1 p 2
De totale impuls na de sprong is hieraan gelijk:
Hieruit volgt: u
M 1 ˜ 0 M 2 ˜ v2
¦ p M
1
M 2 ˜ u
M 2 v2
M 2 v2
M2
v2
M1 M 2
Invullen van de gegeven waarden: u
70
3
180 70
De impulsverandering van de boot is 'p
En de kracht is F
dp
dt
151
0,6
0,84 ms-1.
M 1 ˜ u M 1 ˜ 0 180 ˜ 0,84 1,5 10 2 kgms -1 .
2,5 10 2 N .
1.2 Krachten
Alle krachten die er zijn komen voort uit de 4 fundamentele krachten:
x
x
x
x
Elektromagnetische kracht
Gravitatie
Sterke wisselwerking
Zwakke wisselwerking
De vier fundamentele krachten zijn niet uit andere krachten te verklaren. Vaak krijg je te maken met krachten die
voortkomen uit een fundamentele kracht, bijvoorbeeld de zwaartekracht die voortkomt uit de gravitatie of
allerlei krachten die hun oorsprong in de elektrische kracht hebben.
We onderscheiden veld- en contactkrachten. Hieronder zullen een aantal veel voorkomende veld- en
contactkrachten beschreven worden.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Veldkrachten
Van veldkrachten wordt gezegd dat ze ‘op afstand’ werken, d.w.z. zonder contact tussen de lichamen en zonder
hulp van een medium, bijvoorbeeld de gravitatie en de elektromagnetische kracht. De elektromagnetische kracht
bestaat uit twee componenten, die we hier afzonderlijk beschrijven.
Gravitatiekracht
De gravitatiekracht is de onderlinge aantrekkingskracht tussen lichamen op grond van hun massa. De grootte van
de gravitatiekracht tussen twee lichamen met de massa’s m1 en m2 hangt af van de afstand tussen de
middelpunten r:
Fg
G
m1 m2
r2
De vectornotatie legt ook de richting vast:
G
Fg
G
m1 m2
rˆ
r2
Hierin is de massa in kilogrammen en is G de gravitatieconstante, ofwel de constante van Newton. G = 6,673.1011
G
Nm2kg-2. De richting van r̂ is van de oorsprong af. De gravitatiekracht Fg en r̂ hebben de tegengestelde
richting; het is altijd een aantrekkende kracht.
r
r̂
G
Fg
m1
m2
Figuur 3 Gravitatiekracht
Hierboven is de kracht van m1 op m2 getekend. De kracht van m2 op m1 is even groot en hieraan tegengesteld,
alleen r̂ verandert immers van teken.
Gravitatieveld
Het lichaam met massa m1 ondervindt een gravitatiekracht van alle overige massa in de kosmos. Samen vormt
die overige massa een gravitatieveld dat zich overal in de ruimte uitstrekt. De richting en grootte van dat veld
G
wordt in elk punt gegeven door een gravitatieversnelling g . Dan is:
G
Fg
G
m1 g
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Op aarde wordt het gravitatieveld gedomineerd door de massa van de aarde M . Daardoor is het naar het
middelpunt van de aarde gericht en is de absolute waarde:
g
g
G
M
r2
9,81 ms -2
Elektrische kracht
De elektrische kracht is de onderlinge kracht tussen lichamen op grond van hun elektrische lading. De lading q
kan positief of negatief zijn. Tegengestelde ladingen trekken elkaar aan, gelijknamige ladingen stoten elkaar af.
Net als de gravitatiekracht neemt de kracht tussen twee ladingen met r2 af volgens de wet van Coulomb:
Fe
1 q1 q 2
rˆ
4SH r 2
Fe
1 q1 q 2
4SH r 2
of voor alleen de grootte
De grootte van de kracht hangt mede af van het medium waarin de ladingen zich bevinden en dit wordt
1
4SH 0
f
8,988 ˜ 10 9 Nm2C-2.
Klik op de advertentie
uitgedrukt met de permittiviteit . In vacuüm is
ONTDEK TNO
WIJ ZOEKEN HIGH POTENTIALS MET TOMELOZE ENERGIE
OM SAMEN INNOVATIEVE OPLOSSINGEN TE VINDEN VOOR
ONTDEK TNO
VRAAGSTUKKEN
VAN MET
VANDAAG
MORGEN.
WIJ
ZOEKEN HIGH POTENTIALS
TOMELOZEEN
ENERGIE
OM SAMEN INNOVATIEVE OPLOSSINGEN TE VINDEN VOOR
VRAAGSTUKKEN VAN VANDAAG EN MORGEN.
WERKENBIJTNO.NL
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
De eenheid van lading is de Coulomb, de kleinst voorkomende lading (elementaire lading) is die van het
elektron: e=1,602.10-19 C.
De elektrische krachtconstante is een factor 1020 groter dan de gravitatieconstante, de elektrische kracht is sterker
dan de gravitatiekracht. Daarom zijn onderlinge krachten tussen voorwerpen op aarde overwegend elektrische
krachten.
Elektrisch veld
Het lichaam met lading q1 ondervindt een elektrische kracht van alle overige ladingen in de omringende ruimte.
Samen vormt die overige ladingen een elektrisch veld dat zich overal in de ruimte uitstrekt. De richting en
G
grootte van dat veld wordt in elk punt gegeven door een elektrische veldsterkte E . De kracht is dan:
G
Fe
G
q1 E
Uit beide voorafgaande formules volgt dat de grootte van de elektrische veldsterkte in de ruimte om een enkele
lading q2 in vacuüm gelijk is aan
E
q2
rˆ
4SH 0 r 2
1
G
De richting van E is van de oorsprong af rond een positieve lading en naar de oorsprong toe rond een negatieve
lading.
Voorbeeld: de elektrische veldsterkte
Elke elektrische lading heeft een elektrisch veld E om zich heen en in elk punt is er maar één (resulterende)
G
veldsterkte Esom . Van twee (of meer) ladingen Qi moeten de afzonderlijke velden vectorieel worden opgeteld.
Zie voor het optellen van vectoren eventueel boek B, hoofdstuk II.3.
Hieronder beschrijven we de manier waarop je de elektrische veldsterkte bepaalt in een punt in de buurt van
twee geladen lichamen.
In de figuur ligt de x-as langs de verbindingslijn van de twee ladingen en de y-as staat daar loodrecht op.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
G
E1
q
+
r
1
G
E2
G
Esom
r2
D
Q1
E
Q2
Figuur 4 De elektrische veldsterkte in een punt
De veldsterkte is:
G
E som
ƒ
G
G
E1 E 2
G
G
G
G
( E1, x E 2, x )iˆ ( E1, y E 2, y ) ˆj
fq1
zijn:
r12
De componenten van E1
E1, x
ƒ
G
fq1
cos D en E1, y
r12
fq1
sin D .
r12
Ontbind vervolgens ook E2 in componenten met behulp van de hoek E (die in dezelfde draairichting t.o.v.
de x as als D is gedefinieerd) en met een negatieve waarde voor q 2 .
ƒ
Tel de componenten in de x- en de y-richting bij elkaar op tot E som, x en E som , y .
ƒ
Bereken de grootte van E som met
E 2 som , x E 2 som , y
E som
G
en de hoek J van E som met de x-as met
J
arctan
E som , y
E som , x
Voor het bepalen van de veldsterktes in een gravitatieveld of magnetisch veld pas je een vergelijkbare werkwijze
toe.
Homogeen elektrisch veld tussen twee platen
Zet je tussen twee vlakke platen op (relatief kleine) afstand d een spanningsverschil V dan in deze ruimte het
veld overal even sterk en in dezelfde richting. Dit noem je een homogeen elektrische veld.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
+
+
+
+
+
+
G
E
r
-
-
V
-
-
-
-
Figuur 5 Homogeen elektrisch veld
De richting van het veld is loodrecht op de platen van de hoge naar de lage potentiaal en de grootte is:
V
r
E
In het algemeen is
G
Er
dV
rˆ
dr
waarin r̂ gerekend wordt vanaf de lage potentiaal.
Magnetische kracht
Klik op de advertentie
Elke bewegende lading heeft een magnetisch veld om zich heen. Zie boek a: elektromagnetisme.
Dit magnetische veld oefent een kracht uit op een bewegend geladen lichaam en deze kracht staat loodrecht op
de snelheidsvector. Deze kracht noem je de Lorentzkracht.
Doe mee aan de Vitae
Talent Awards!
Vitae is op zoek naar het mooiste en meest bijzondere HBOafstudeerprojecten Bouwkunde en Civiele Techniek van 2011. Wil je
meestrijden om een van de gerenommeerde Vitae Talent Awards?
Meld je dan nu aan! De winnaars worden bekend gemaakt tijdens
Celebrate Work: Talent! op 6 oktober 2011.
Kijk op www.celebratework.nl voor alle informatie en spelregels over
deelname aan de Talent Awards en informatie over Celebrate Work:
Talent! Ontmoet nieuw talent, ga in gesprek met ervaren vakgenoten en
laat je uitdagen en inspireren door het netwerk van Vitae!
www.celebratework.nl
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Net als bij het elektrische veld is het resulterende magnetische veld in een punt de (vector)som van de
magnetische velden van alle bewegende ladingen in de omringende ruimte. De richting en de grootte van het
G
magnetische veld worden in een punt gegeven door de magnetische inductie B .
G
G
G
De kracht op een lichaam met een lading q en een snelheid v volgt uit het uitproduct van v en B (zie boek B,
hoofdstuk II.3):
G
FL
G G
qv u B
of als het alleen om de grootte gaat:
qvB sin D
FL
G
G
G
G
waarin de hoek is tussen v en B . De kracht staat loodrecht op v en B en leidt tot het afbuigen van de baan van
een geladen deeltje. Het is een middelpuntzoekende kracht.
G
In een ruimte waar de richting en de grootte van B constant zijn (homogeen magnetisch veld) en een lichaam
loodrecht op de magnetische veldlijnen beweegt, is de Lorentz-kracht constant en staat die altijd loodrecht op de
baan. Het lichaam beschrijft dan een eenparige cirkelbeweging met een straal
r
mv
Bq
Merk op dat de volgorde van de symbolen in de uitdrukking voor Lorentzkracht verschilt van wat je in het
middelbaar onderwijs leert. Het is gebruikelijk om in de uitdrukking voor de grootte van de Lorentzkracht
dezelfde volgorde aan te houden als in het uitproduct, dus qvB en niet Bqv. Hetzelfde geldt voor de
Lorentzkracht tussen twee stroomkabels:
G
G G
FL I ( A u B)
G
FL I AB sin D
Contactkrachten
In deze paragraaf sommen we een aantal krachten op die in praktische situaties vaak voorkomen. Het zijn geen
fundamentele natuurkrachten, omdat ze alle op microscopisch niveau een diepere (elektrische) oorzaak hebben.
Hierop gaan we verder niet in.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Normaalkracht
Als twee lichamen tegen elkaar zijn gedrukt oefenen ze op elkaar een kracht uit. Je kunt de kracht op een
lichaam ontbinden in een component loodrecht op het contactoppervlak en een langs dit oppervlak. De
component loodrecht op het contactoppervlak heet normaalkracht en wordt aangeduid met FN. Op
microscopische schaal vindt de nomaalkracht zijn oorsprong in de elasticiteit van het materiaal. De component
evenwijdig aan het contactoppervlak heet wrijvingskracht. Zie de figuur bij ‘schuifwrijving’. Het ontbinden in
componenten of het vectorieel optellen van componenten staat beschreven in boek B, hoofdstuk II.3 over
vectoren.
Veerkracht
Een vast lichaam kan een normaalkracht uitoefenen doordat het zelf wordt ingedrukt en het rooster waaruit die
G
stof bestaat zich tegen het indrukken verzet. Voor alle vaste lichamen zijn er waarden voor de indrukking 'x
waarvoor de wet van Hooke geldt:
G
Fx
G
k'x
H
G
Hierin is Fx de kracht waarmee het lichaam zich tegen indrukken verzet en is k de krachtconstante, ook wel
veerconstante genoemd. Naarmate krachtconstante groter is noem je een veer stijver. Voor de meeste lichamen
G
geldt dat slechts voor kleine waarden van 'x de wet van Hooke geldig is, bij grotere uitrekking of indrukking
treedt plastische vervorming op.
G
'x
G
Fx
Figuur 6 Veerkracht
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Schuifwrijving
FN
FW
PFN
Fz
Figuur 7 Wrijving op een helling
De wrijvingskracht FW tussen twee lichamen die langs elkaar schuiven is recht evenredig met de normaalkracht
FN waarmee ze tegen elkaar worden gedrukt:
FW.d
P d FN
Hierin is Pd de dynamische wrijvingscoëfficiënt. Deze hangt af van de eigenschappen van de oppervlakken. De
index ‘d’ en de toevoeging ‘dynamisch’ geven aan dat deze coëfficiënt betrekking heeft op oppervlakken die ten
opzichte van elkaar bewegen.
Klik op de advertentie
Mathematiker talanxieren jetzt ihren Karrierestart.
Profitieren Sie vom Wachstum der drittgrößten deutschen Versicherungsgruppe, die
auch in Europa sehr erfolgreich ist. Setzen Sie Maßstäbe für Ihre individuelle Entwicklung.
Mit einem Wort: Talanxieren Sie Ihren Karrierestart.
Hochschulabsolventen (m/w)
der Mathematik gesucht, die von Anfang an tatkräftig mitgestalten wollen.
Wir bieten Ihnen ein pulsierendes Umfeld, eine professionelle Unterstützung Ihrer Teamkollegen, ein gutes Arbeitsklima und sehr gute Weiterbildungsmöglichkeiten zum Aktuar.
Wir setzen auf Ihr Talent, mathematische Fragestellungen in praktische Lösungen umzusetzen.
Wir freuen uns auf Ihre Bewerbung!
karriere.talanx.de
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Bij stilstand vanaf F=0 neemt de FW gelijk met F toe (het lichaam blijft immers in rust). In dit stadium spreek je
van statische wrijvingskracht. De oppervlakken gaan ten opzichte van elkaar bewegen als een bepaalde
maximale waarde FW, Max wordt overschreden:
P s FN
FW,max
Hierin is Ps de statische wrijvingscoëfficiënt. Ook Ps hangt van de eigenschappen van de oppervlakken af. Alleen
is Ps iets groter dan Pd. Je kunt je hierbij voorstellen dat de oneffenheden van de oppervlakken aanvankelijk in
elkaar haken en van elkaar moeten worden losgetrokken. En zolang de oppervlakken in beweging blijven, vallen
ze niet weer helemaal in de oude situatie terug. Vanwege dit verschil is een grotere kracht nodig om iets in
beweging te zetten, dan om het in beweging te houden. Een lichaam komt hierdoor altijd met een schok in
beweging, er is op dat moment immers een nettokracht Fw
( P s P d ) FN die het lichaam een versnelling
geeft.
Tabel 1 Wrijvingscoëfficiënten
Wrijving tussen
Statisch Ps
Dynamisch Pd
Rol Pr,d
Rubber en beton (nat)
0,30
0,25
Rubber en beton (droog)
1,0
0,80
± 0,05
Staal en staal
0,70
0,60
0,001 á 0,002
Glas en glas
0,90
0,40
Teflon en staal
0,04
0,04
Rolwrijving
Als een voorwerp over een oppervlak rolt, dan is er ook sprake van een wrijvingskracht. Ook deze
rolwrijvingskracht Fr is recht evenredig met de normaalkracht. Met Pr voor de rolwrijvingscoëfficiënt geldt
Frol
P r FN
De rolwrijvingscoëfficiënt is veel kleiner dan de coëfficiënten voor de schuifwrijving. Ook bij rolwrijving is er
verschil tussen de statische en dynamische wrijving. Daarom vertrekt een trein die begint te rijden, of een zware
kar, vaak met een merkbare schok.
Wrijving in een medium
Een ander type contactkracht dan hiervoor is beschreven, treedt op als een lichaam met een bepaalde snelheid
door een gas of vloeistof beweegt. Hierbij kunnen we te maken hebben met 2 krachten: de viskeuze wrijving bij
kleine snelheden en de vormweerstand die overheerst bij grote snelheden.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Vormweerstand
Tijdens de beweging botst het lichaam met de moleculen waaruit het medium bestaat. Een zekere hoeveelheid
ervan wordt gedwongen mee te bewegen en hiervoor wordt kinetische energie aan het lichaam onttrokken. De
botsende luchtmoleculen oefenen een kracht op het lichaam uit. Omdat dit type weerstand erg van de vorm van
het lichaam (stroomlijn) afhangt noem je dit de vormweerstandskracht (ook vaak wrijvingskracht genoemd of
luchtwrijving als het medium lucht is):
FW
1
2
UCAv 2
Hierin is de dichtheid van het medium, v de snelheid, A het oppervlak van de grootste dwarsdoorsnede van het
lichaam loodrecht op de bewegingsrichting en C is een constante die van de stroomlijn van het lichaam afhangt.
Viskeuze wrijving
In het eerste deel van dit boek is al de wrijvingskracht beschreven die een lichaam ondervindt als het met kleine
snelheid door een gas of vloeistof beweegt. De kracht is evenredig met de snelheid en afhankelijk van de
geometrie van het lichaam. Voor een bol geldt de wet van Stokes. Zie boek a, hoofdstuk I.2: stroming.
Spankracht
De trekkracht van een touw op een lichaam dat er aan hangt, vindt evenals de normaalkracht zijn oorsprong in
elastische krachten. De moleculen van de stof waaruit het touw bestaat verzetten zich tegen vervorming, zowel
tegen indrukken als tegen uitrekken. Over een klein traject is de uitrekking recht evenredig met de kracht en
geldt de wet van Hooke.
Touw
In veel situaties worden de massa en de rekbaarheid van het koord verwaarloosd. Dat is alleen toegestaan als de
kinetische energie van het touw te verwaarlozen is ten opzichte van de kinetische energie van de andere
lichamen. Of als de potentiële energie die het touw door zijn veerkracht opneemt klein is ten opzichte van de
arbeid die wordt uitgeoefend.
Soms heeft het touw wel degelijk invloed op de beweging. Bij bungeejumpen bijvoorbeeld is een rekbaar touw
essentieel voor de goede afloop van de sprong en is ook de massa niet verwaarloosbaar. De massa van het touw
zorgt dat de springer een versnelling groter dan g (vrije val) krijgt.
Resulterende kracht
Vectorsom
De versnelling van een lichaam hangt volgens de tweede wet van Newton af van de (vector)som van alle
krachten op dat lichaam:
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
G
¦F
G
ma
In hoofdstuk II.3 over vectoren wordt beschreven hoe je de somvector bepaalt. Bij het oplossen van problemen is
het belangrijk de krachtvectoren goed te visualiseren. Dit gebeurt in een vrije-lichaamsdiagram, waarop wordt
ingegaan in hoofdstuk I.3.
Middelpuntzoekende kracht
De middelpuntzoekende kracht bij een cirkelbeweging kan niet in een adem worden genoemd met de genoemde
veld- en contactkrachten. Daar gaat het om de oorsprong van de kracht, hier om een eigenschap van de
resulterende kracht op een voorwerp, die in principe een willekeurige oorsprong (of meerdere) kan hebben. De
kwestie is: een cirkelbeweging is alleen mogelijk indien de resulterende kracht middelpuntzoekend is. De
middelpuntzoekende kracht is geen bijdrage aan de resulterende kracht maar een mogelijk aspect ervan.
Voor een eenparige cirkelbeweging van een massa m met straal r, baansnelheid v of hoeksnelheid Z is een
resulterende kracht vereist die voldoet aan:
Klik op de advertentie
F
mZ 2 r of
F
mv 2
r
Join our green
innovation engine!
At Purac, we have a rich history and a bright future. Innovation is in our blood;
we have been leading the way for almost 80 years, thanks to our ability to constantly develop new food
preservatives and green chemicals. We are not only working on the company’s future, but also take
responsibility to improve the quality and sustainability of life.
Purac operates production plants in the Netherlands, the USA, Spain, Brazil and Thailand and markets its
products through a worldwide network of sales offices and distributors.
We are selected in 2010 and 2011 by the CRF as one of the Top Employers of the Netherlands.
www.purac.com/jobss
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
1.3 Energie
Vormen van energie
Kinetische energie
Een bewegend lichaam heeft louter op grond van de massa m en de grootte van de snelheid v een hoeveelheid
energie - de kinetische energie of bewegingsenergie Ek of K:
Ek
1
2
mv 2
Dit is de energie die in de vorm van arbeid moest worden toegevoerd om het lichaam vanuit rust de snelheid v te
geven. Of omgekeerd, de arbeid die het lichaam louter op grond van zijn beweging kan verrichten totdat het
stilstaat.
Energie is een scalaire grootheid, zie boek B, hoofdstuk II.3.
Potentiële energie
Een voorwerp dat zich in een bepaald krachtveld bevindt, bijvoorbeeld van de zwaartekracht, een elektrische
kracht of een veerkracht, kan een energie hebben die afhankelijk is van de positie in dit krachtveld. Dit heet de
potentiële energie van het voorwerp. Het verschil in potentiële energie tussen twee posities in het krachtveld is
gelijk aan de arbeid die het kost om het voorwerp van de ene plek naar de andere te verplaatsen. Dit is alleen
geldig als de arbeid alleen afhangt van de eindpunten en niet van de weg ertussen. Zie volgende paragraaf.
Voorbeelden van potentiële energie:
ƒ De potentiële energie tengevolge van de zwaartekracht hangt af van de hoogte:
EP
mgh
Hierin is m de massa, g de valversnelling en h de hoogte ten opzichte van het referentieniveau. Het
referentieniveau mag willekeurig gekozen worden. Het kan het middelpunt van de aarde zijn, de grond
of het laagste punt van een beweging. In de laatste figuur ligt de keuze van de laagste positie voor de
hand.
Aan de formule zie je dat steeds dezelfde arbeid nodig is om een lichaam over dezelfde hoogteverschil te
verplaatsen, ongeacht de weg die daarbij gevolgd wordt. Voor de berekening van de arbeid van de
zwaartekracht is alleen het hoogteverschil (en niet de afgelegde weg of verplaatsing) van belang.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
ƒ
Impuls, krachten, energie
De potentiële energie tengevolge van de elektrische kracht op een geladen lichaam hangt af van de
potentiaal:
EP
qV
Hierin is q de elektrische lading van het lichamen V de potentiaal ten opzichte van een referentieniveau.
Het referentieniveau mag willekeurig gekozen worden.
ƒ
G
De potentiële energie van een springveer, waarvoor de wet van Hooke ( Fu
G
kx ) geldt, hangt af van
de uitrekking of indrukking van de veer. Als we het nulpunt kiezen voor het geval er geen kracht op de
veer werkt en de veer dus in evenwicht is, is de potentiële energie:
1
2
U
kx 2
waarbij x de uitwijking uit de evenwichtsstand is en k de veerconstante. Afleiding:
x
x
³ F ˜ dx
x
³ kx ˜ dx
o
1
2
kx 2 |
0
o
1
2
kx 2
De uitwisseling van kinetische energie met veerenergie is omkeerbaar. De som van kinetische en
potentiële energie blijft behouden, net als een zwaartekrachtveld of een elektrisch veld.
Als de potentiële energie als functie van de plaats U ( x) bekend is, dan kun je de kracht op een lichaam
in iedere positie in het veld bepalen door te differentiëren:
F
dU
dx
Dit geeft een mogelijkheid om kracht te definiëren als de gradiënt van de beschikbare energie. Zie voor
het begrip gradiënt boek B, hoofdstuk II.3 over vectoren. In het geval van de springveer krijgen we
bijvoorbeeld F
Arbeid
d 1 2
kx
dx 2
kx , de wet van Hooke zoals we die al eerder zagen.
G
G
Arbeid is het inproduct van de kracht F en de afgelegde weg s :
W
G G
F
³ x ds
baan
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Zie voor het ‘inproduct’ boek B, hoofdstuk II.3.
In het eenvoudige geval van een rechtlijnige beweging waarbij de kracht F constant is en de richting van de
positieve x-as heeft, is:
F ˜ 'x
W
En als de kracht een hoek D met de positieve x-as maakt, dan is:
W
F ˜ 'x ˜ cos D
F
x
Figuur 8 Arbeid Fx.cosD
Klik op de advertentie
De energiemarkt heeft
de toekomst!
De energiemarkt ontwikkelt
zich razendsnel.
En Nuon ontwikkelt mee.
Al deze ontwikkelingen zorgen voor
ongekende mogelijkheden in je
loopbaan. Ook voor jou als (bijna)
afgestudeerde HBO’er of academicus.
Want Nuon heeft interessante
traineeships en aantrekkelijke stages
en startersfuncties op het gebied van
management, sales, finance, techniek
en ICT.
En heb je internationale aspiraties?
Nuon is onderdeel van de Zweedse
Vattenfall Group. Daarmee zijn er volop
internationale carrièremogelijkheden
binnen ons bedrijf. Kijk voor meer info
op www.nuon.nl/werken.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
Uit voorgaande volgt dat een kracht loodrecht op de bewegingsrichting geen arbeid uitoefent. Dit geldt voor de
zwaartekracht en normaalkracht bij een beweging langs een horizontale lijn, of voor de middelpuntzoekende
kracht bij een cirkelbeweging.
FW
S
FZ
Figuur 9 Arbeid 'langs de baan'
Voor het bepalen van de arbeid moet je eerst naar de afgelegde weg s kijken, niet naar de verplaatsing. Let in de
bovenstaande figuur op het verschil tussen de arbeid van de zwaartekracht FZ en die van de luchtweerstand FW
op een lichaam S in een verticaal opgesteld rad.
Na 1 omwenteling is
WFw
2 rFW
(terwijl de verplaatsing na 1 omwenteling nul is).
Voor de arbeid van de zwaartekracht in dit voorbeeld geldt na 1 omwenteling WFZ
0 , niet omdat de
verplaatsing nul is, maar omdat de integraal van de projecties van FZ langs de baan nul is.
In de figuur ‘arbeid langs de baan’ is er nog een verschil tussen de arbeid van de zwaartekracht en die van de
luchtweerstand: de luchtweerstand verricht altijd negatieve arbeid en de zwaartekracht verricht afwisselend
positieve en negatieve arbeid. De arbeid die de zwaartekracht verricht is omkeerbaar. Bij het omhooggaan wordt
potentiële energie opgebouwd en tijdens het neergaan wordt die in kinetische energie omgezet, en omgekeerd.
Wet van behoud van energie
De wet van behoud van energie stelt dat de totale energie in een systeem constant is als het systeem is geïsoleerd
van zijn omgeving. Energie kan niet uit het niets ontstaan of zo maar verdwijnen. Maar dit zegt nog niets over de
vormen waarin de energie voorkomt. Bij wrijving wordt bijvoorbeeld een deel van de energie in warmte
omgezet en dit kan niet worden omgekeerd. De som van kinetische en potentiële energie neemt dan af.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Impuls, krachten, energie
De kinetische en potentiële energie zijn vormen van mechanische energie. In geïdealiseerde situaties waarin
geen wrijving optreedt, is bij verplaatsingen de totale mechanische energie constant:
EP EK
constant
In het gravitatieveld geldt, als er geen wrijving is,
mgh1 12 mv1
2
mgh2 12 mv 2
2
waarbij de indices 1 en 2 staan voor twee posities in het gravitatieveld.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
2. Rechtlijnige bewegingen
2.1 Basisbegrippen
Coördinatensysteem en situatietekening
Het beschrijven van een beweging houdt in dat je voor elk tijdstip de plaats aangeeft. Dit begint altijd met het
kiezen van een coördinatensysteem. Wat is de richting van de (positieve) x-as? Waar is de oorsprong? Kies bij
een rechtlijnige beweging de x-as zo dat de beweging langs de as plaats vindt.
Geef in een schematische situatietekening de belangrijkste kenmerken van de beweging weer: de oorsprong, de
x-as, de plaats van het lichaam op een zeker tijdstip, de verplaatsing of (begin)snelheid e.d.
O
xt 't
xt
x as
G
'x
Klik op de advertentie
Figuur 10 Oorsprong en (positieve) richting
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
Grafieken interpreteren
Er wordt gebruik gemaakt van grafieken voor de plaats-, de snelheids- of de versnellingsfunctie. Interpreteer een
grafiek niet te snel. Bedenk altijd eerst met welke functie je te maken hebt, dus let op de grootheden langs de
assen.
Zie bijvoorbeeld de onderstaande grafiek. Pas als je weet welke grootheid langs de verticale as staat, kun je
antwoord geven op de volgende vragen:
ƒ
Wat betekent een negatieve waarde?
ƒ
Wat is er op t1 aan de hand?
ƒ
Wat betekent het stijgen/dalen van de grafiek?
ƒ
Wat betekent de extreme waarde op t 2 ?
?
t
t1
t2
Figuur 11 Let op de grootheid langs de as
Als langs de verticale as de plaats x uitstaat, dan slaat de grafiek op een beweging die links van de oorsprong
begint, op t1 door de oorsprong gaat en op t 2 omkeert richting oorsprong. Het zou een bal kunnen zijn die je
omhoog gooit en terugvalt.
O
xt1
xt 2
x as
Figuur 12 Situatieschets 1
Staat langs de verticale as de snelheid uit, dan gaat het om een beweging die eerst vertraagd naar links gaat, op
t1 omkeert, versnelt tot t 2 en daarna vertraagd verder gaat. Op welke plaatsen dit alles gebeurt, kun je niet aan
de v-t-grafiek zien.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
x as
xt2
xt1
Figuur 13 Situatieschets 2
Het is ook handig om eerst zelf een x-t-diagram te tekenen; je moet dan wel afspreken op welke positie xo het
voorwerp op t=0 is.
Extremen, differentiëren en integreren
De plaats xt , de snelheid vt en de versnelling a t als functie van de tijd worden voorgesteld door functies en
grafieken. In het voortgezet onderwijs leer je
ƒ
dat een functie een extreme waarde heeft als de afgeleide van die functie nul is. Bijvoorbeeld
xt
ƒ
4,9t 9,8t 2 heeft een maximum bij 4,9 19,6t
0
dat je door differentiëren van de plaatsfunctie xt de snelheidsfunctie vt vindt en vervolgens de
versnellingfunctie a t
ƒ
dat door integreren een snelheidsverandering 'v respectievelijk verplaatsing 'x uit a t respectievelijk
vt wordt verkregen.
Hieronder wordt dit eerst toegelicht. Zie voor differentiëren en integreren ook hoofdstuk II.2.
Verplaatsing en afgelegde weg
De verplaatsing vanaf het tijdstip t in een tijdsinterval 't is:
'x˜
xt
't
xt
In de getekende situatie is bij een verplaatsing naar links 'x negatief. Als dezelfde weg heen en terug wordt
afgelegd, is de verplaatsing 'xtotaal
'x 'x
0 . De rechte strepen geven aan dat de absolute waarde wordt
genomen.
De afgelegde weg is echter altijd positief en voor een beweging heen en terug geldt:
s
'x 'x
2 'x
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
Snelheid, gemiddeld en momentaan
De gemiddelde snelheid is gedefinieerd uitgaande van de verplaatsing als
v gem
'x
't
x
xt 't
'x
xt
't
t
t
Figuur 14 Gemiddelde en momentane snelheid
Klik op de advertentie
In het diagram hiernaast is dit de richtingscoëfficiënt van de koorde (het lijnstuk tussen twee punten op de
kromme) die hoort bij 't .
Julian Lienich, engineer
I can shape the future. Every day.
The E.ON graduate program requires my energy and creative input. In exchange I get to work with up-to-date
technologies in a team that supports my professional development. What about you?
Your energy shapes the future.
www.eon-career.com
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
Let op:
ƒ De koorde is niet een verplaatsing!
ƒ
De gemiddelde snelheid is niet hetzelfde is als de gemiddelde baansnelheid, die is gedefinieerd als
Als dezelfde weg heen en terug wordt afgelegd zijn 'x
0 en v gem
0 , maar
s
.
't
s
! 0.
't
De momentane snelheid is:
vt
dx
dt
vt
x t
of
In het diagram is dit de richtingscoëfficiënt van de raaklijn op t .
'x
.
't
Soms is de verplaatsing niet bekend, maar alleen de snelheidsfunctie. In dat geval kan het gemiddelde van vt
Hierboven werd de gemiddelde snelheid afgeleid uit een definitie uitgaande van de verplaatsing v gem
over een periode uit de integraal van de vt -functie of uit de grafiek worden afgeleid. In het vt -diagram vormt
v gem met het interval 't
t 2 t1 een even groot oppervlak als de grafiek van de functie (zie boek B, hoofdstuk
II.2)
t2
v gem 't
³ v dt
t
t1
v
v gem
t1
t2
t
Figuur 15 Gemiddelde snelheid
Hiermee bepalen we 'x in het interval 't .
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
In het algemeen geldt voor een functie q p dat het gemiddelde van q
over een interval 'p gelijk is aan
1
q p dp .
'p '³p
Kader 1 Gemiddelde
Versnelling, gemiddeld en momentaan
Op vergelijkbare manier geldt voor de gemiddelde en momentane versnelling
'v
't
a gem
d 2x
dt 2
dv
dt
at
Of, in andere notatie:
vt
at
xt
Stel dat de plaats-tijd-functie gegeven is als:
xt
(4t 2 t 2) m.
Hieruit volgen door een respectievelijk twee
maal differentiëren de snelheidsfunctie en de
versnellingsfunctie:
vt
x t
(8t 1) ms-1
at
vt
8 ms-2
Op t = 3 s is:
v3
23 ms-1
a3
8 ms-2
Kader 2 snelheid en versnelling
Verplaatsing en plaatsfunctie
Door differentiëren van de plaatsfunctie wordt de snelheidsfunctie verkregen. Omgekeerd kunnen we door de
snelheidsfunctie te integreren een algemene oplossing voor de plaatsfunctie bepalen. We kunnen schrijven voor
de plaats
x2
x1 v gem 't
x2
x1 ³ vt dt
en in het algemeen:
t2
t1
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
Stel dat alleen de snelheidsfunctie vt
8t 1 gegeven is.
Dan geeft integreren:
t
³ (8t 1)dt
t
(4t 2 t ) |
0
4t 2 t
0
Merk op dat hierdoor nog niets bekend is over de plaatsen
tijdens een beweging, maar alleen over de verplaatsing. Voor
het berekenen van plaatsen moeten extra informatie zijn
gegeven (bijvoorbeeld x 0 ).
Kader 3 Verplaatsing
Indien voor vt een functie bekend is, dan kan die worden geprimitiveerd. Dit leidt tot een verzameling functies
met C als integratieconstante. .Zie ook boek B, hoofdstuk II.2.
Klik op de advertentie
Als
grootste
elektriciteitsproducent
van
Nederland werken we iedere dag aan de
energie van morgen en op onze centrales
kun je de opwekking daarvan letterlijk voelen!
Voor technici een fascinerende wereld vol
mogelijkheden.
Voor
onze
nieuwe
kolen-/
biomassacentrale op de Maasvlakte in Rotterdam zijn we op zoek naar technisch talent.
Heb jij de ambitie om je kennis en kunde verder
Achthonderd megawatt in
bedwang houden?
Een centrale rol voor jou!
te ontwikkelen en door te groeien naar meer
technische uitdagingen in een internationaal
opererende organisatie?
Kijk dan op www.werkenbijelectrabel.nl. Wij
hebben een centrale rol voor jou!
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
Snelheidsverandering en snelheidsfunctie
De versnellingsfunctie kan vergelijkbaar aan de paragraaf hiervoor worden behandeld:
v1 a gem 't
v2
en in het algemeen:
t2
v1 ³ a t dt
v2
t1
De integraal over a t geeft alleen informatie over de snelheidsverandering, niet over momentane snelheden. Om
v 2 te berekenen moet uit een andere informatiebron de beginsnelheid v1 bekend zijn.
Als we uitgaan van de grafiek van a t
a en integreren vanaf t=0 dan volgen
na een respectievelijk twee keer primitiveren:
ƒ de snelheidsfunctie:
t
vt
v0 ³ adt
t
v0 (at ) |
0
v0 at
0
ƒ
en de plaatsfunctie:
t
xt
x 0 ³ (v 0 at )dt
t
x 0 (v0 t 12 at 2 ) |
0
x0 v 0 t 12 at 2
0
De snelheidsfunctie en de plaatsfunctie zijn pas volledig is als behalve de
versnelling nog de waarden voor x0 en v 0 gegeven zijn.
Kader 4 Snelheids- en plaatsfunctie
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
Overzicht van formules
Plaats
Differentiëren,
momentaan
Snelheid
vt
xt
vt
Versnelling
dx
dt
x t
at
at
'x
't
v gem
Gemiddeld
dv d 2 x
dt dt 2
vt xt
'v
't
a gem
t2
v gem 't
³ v dt
t
t2
a gem 't
t1
t2
Integreren
x2
xt
t
t1
t2
x1 ³ vt dt
v2
x0 v0 t 12 at 2
vt
t1
Voorbeeld: constante
versnelling
³ a dt
v1 ³ at dt
t1
v0 at
at
a
2.2 Bewegingsvergelijkingen
Uit F ma - de tweede wet van Newton - volgt dat de resulterende kracht bepaalt op welke manier de
beweging van een lichaam verandert. In het voortgezet onderwijs komen twee typen bewegingen uitvoerig aan
de orde:
ƒ
ƒ
de eenparige beweging waarbij F en a nul zijn en v=constant
de eenparig versnelde beweging waarbij F en a constant zijn en v=v0+at.
En ook wordt geleerd dat een sinusvormige trilling ontstaat als F = -kx.
In het algemeen geldt dat je de beweging van een lichaam beschrijft door uit te gaan van de 2de wet van Newton.
Hierin komt de versnelling voor die de tweede afgeleide van de plaats naar de tijd is. Als je een uitdrukking kunt
vinden voor de resulterende kracht FRES , dan vind je de versnelling – en uiteindelijk de plaats uit deze
vergelijking:
d 2x
dt 2
FRES
m
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
Dit is de bewegingsvergelijking van het lichaam. In de wiskunde noemt men dit een differentiaalvergelijking
(afgekort DV), in dit geval een (niet-homogene) lineaire DV van de 2de orde. Snelheid en plaats vind je
vervolgens door deze DV op te lossen.
In het algemeen is de resulterende kracht op een lichaam niet constant, maar afhankelijk van de plaats, de
snelheid of de tijd. Dit leidt tot allerlei types DV en tot allerlei oplossingsmethodes. Zie hoofdstuk II.2. Voor het
oplossen van DV’s is wiskundekennis nodig, plus enige ervaring, wat creativiteit en de bereidheid tot
uitproberen. Hieronder geven we enkele problemen en met hun oplossing. We beperken ons tot DV's die met
kennis van de vwo-wiskunde kunnen worden opgelost.
F = 0 : eenparige beweging
Met F
0 wordt de bewegingsvergelijking:
d 2x
dt 2
0
Klik op de advertentie
De oplossing ken je. Het gaat hier om een beweging met constante snelheid, de eenparige beweging.
Deze –meest eenvoudige- lineaire DV van de 2de orde is homogeen. (Zie hoofdstuk II.2.) je noemt de DW van de
2de orde, omdat de hoogste afgeleide die voorkomt de 2de afgeleide is. En de DV is homogeen omdat de niet van
t afhankelijke term nul is.
GOT-THE-ENERGY-TO-LEAD.COM
Wij vinden, dat ook een energiebedrijf moet blijven vernieuwen. Daarom zoeken we
ondernemende en creatieve collega’s die met ons de wereld willen veranderen. Wil je
weten wat we jou te bieden hebben en hoe we samen de toekomst van energie gaan
voorzien? Kijk dan snel op onze website.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
Na twee keer primitiveren krijg je:
C 2 C1t
xt
C1 en C 2 zijn de integratieconstanten. Met t=0 zie je dat x0=C2. Ook geldt dat v0=C2 . Omdat de snelheid
onveranderlijk is heb je voor de plaatsfunctie genoeg aan de begincondities:
x
x0 v0 t
Het rekenwerk zal in dit geval weinig moeite kosten. We beschrijven hier een toepassing.
F = constant : eenparig versnelde beweging
Zoals genoemd is voor F
constant de bewegingvergelijking
d 2x
dt 2
F
m
a
Deze DV is niet homogeen. Zie hoofdstuk II.2.
De oplossing voor x hebben we eerder afgeleid door twee keer integreren:
xt
x0 v0 t 12 at 2
Voorbeeld: valversnelling en verticale worp
x
m
F
O
Figuur 16 Val zonder wrijving
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
De val zonder wrijving van een lichaam waarop alleen de zwaartekracht werkt is een voorbeeld van een
beweging waarvoor de zojuist beschreven bewegingsvergelijking geldt. Kies eerst:
ƒ
ƒ
ƒ
het referentiesysteem (hier: de aarde)
de positieve x-as (hier: verticaal omhoog)
de oorsprong (hier: bij de grond)
De valversnelling is g
9,81 ms-2 en de zojuist beschreven keuzes is a=-g. De plaatsfunctie is nu
x0 v0 t 4,91 ˜ t 2
x
Is v 0 z 0 , dan spreekt men van een verticale worp.
In het geval dat v 0 ! 0 heeft de beweging een hoogste punt. Deze extreme waarde wordt bereikt op het tijdstip
waarop x c
0 , dit wil zeggen als v0 4,9t
0
Zie verder voor kenmerken van deze 2de graadsvergelijking en een voorbeeld met een verticale worp: hoofdstuk
II.1.
Voorbeeld: twee verticale bewegingen – discriminant
Een ballon daalt met v
2 ms-1. Als de mand op 36 m hoogte is, slaat iemand vanaf de grond een tennisbal recht
omhoog. Die raakt de mand net niet. Verwaarloos de luchtweerstand van de bal. Neem voor g
10 ms-2.
Bereken de beginsnelheid van de tennisbal.
x
A
x A, 0
v A, 0
v B ,0
B
O
g
Figuur 17 Twee verticale bewegingen
Op het tijdstip dat de bal de mand ‘net niet’ raakt is v B
vA
2 en x A
x B . Wij gaan door op de laatste
conditie en gaan met de discriminant (abc-formule) aan de slag. De plaatsfuncties zijn:
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
xA
xB
Gelijkstellen levert op: 5t 2 ( 2 v B , 0 )t 36
36 2t
v B , 0 t 5t 2
0
Omdat er één oplossing is, moet de discriminant nul zijn (zie hoofdstuk II.1.):
b 2 4ac
(2 v B ,0 ) 2 4 ˜ 36 ˜ 5
v 2 B ,0 4v B ,0 716
0
Hiervoor zijn twee mogelijke oplossingen:
4 r 16 4 ˜ 1 716 4 r 53,67
2
2
-1
Alleen de oplossing v 25 ms heeft in dit geval betekenis. Bij de andere oplossing zou alleen bij een
negatieve waarde voor t voldaan worden aan v B v A 2 .
Klik op de advertentie
v1, 2
Wij zoeken
collega’s
www.werkenbijwaternet.nl
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
F = -Cx : harmonische trilling
De kracht van het type F Cx ken je als veerkracht. Deze kracht treedt op bij tal van fysische systemen,
zoals bij alle elastische vervorming, bij slingers, bij trillingen van atomen in een vaste stof etc. De
bewegingsvergelijking wordt:
d 2x
dt 2
k
x
m
Jx
zodat
d 2x
Jx
dt 2
0
De oplossing van de bewegingsvergelijking is een harmonische trilling, met als beginvoorwaarde x0=0:
xt
A sin Zt.
Daaruit volgen:
vt
AZ cos Zt
AZ 2 sin Zt
at
Z 2 xt
Bijzonderheden van deze vergelijking zijn:
ƒ
ƒ
de uitwijking is maximaal als v=0
de snelheid is maximaal als a=0 en dus ook x=0.
xt
Figuur 18 Harmonische trilling
(bovenaanzicht van een horizontale veer. De valversnelling speelt hierin geen rol.)
Periode, eigenfrequentie
Invullen van xt
A sin Zt in de bewegingsvergelijking geeft:
Z 2 A sin Zt kA sin Zt
(k Z 2 ) A sin Zt
0
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
A sin Zt voldoet indien Z 2 k
Dit betekent dat de oplossing x
Met k
0.
C
volgt hieruit
m
C
m
Z2
en met Z
2S
volgt hieruit de periode T en de (eigen)frequentie f:
T
T
m
C
2S
1
2S
f
C
m
Trillingsenergie
De trillingsenergie van een lichaam met massa m dat een harmonische trilling uitvoert is:
E tr
1
2
mZ 2 A 2
2mS 2 A 2 f
2
Hierin is A de amplitude en f de frequentie. Verder geldt:
Z
2f
De afleiding van de uitdrukking voor Etr is mogelijk op 2 manieren:
De trillingsenergie is de maximale kinetische energie met v max
ZA (zie ‘harmonische trilling’ in het volgende
hoofdstuk):
E tr
1
2
mv max
2
1
2
mZ 2 A 2
De trillingsenergie is ook gelijk aan de maximale veerenergie E tr
1
2
CA 2 .
F = -qv : viskeuze wrijving
De wrijvingskracht op een lichaam dat met kleine snelheid door een gas of vloeistof gaat, wordt vooral
veroorzaakt door laagjes van het gas of de vloeistof die langs het lichaam stromen. Deze viskeuze
wrijvingskracht is evenredig met de snelheid F qv .
Stel dat dit de enige kracht is. Denk bijvoorbeeld aan een houten paal die net onder de oppervlakte in het water
drijft en door een kleine stoot een snelheid v0 krijgt.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
vo
Figuur 19 Viskeuze wrijving
De bewegingsvergelijking is:
d 2x
dt 2
Vereenvoudig dit met k
dv
q
tot
kv
dt
m
F
m
0 .De oplossing is (zie hoofdstuk II.2):
v
v0 e kt
© 2010 Accenture. All rights reserved.
It’s not where you started, it’s
where you’re going that matters.
Just another day at the office
for a high performer.
Klik op de advertentie
q
v
m
Maak elke dag het verschil en kies voor een carrière vol uitdagingen
en mogelijkheden bij Accenture. Een professionele omgeving waar
je samenwerkt met getalenteerde collega’s en jij je razendsnel kunt
ontwikkelen. Je profiteert van onze ruime ervaring en helpt onze
klanten high performers te worden. Is dit jouw idee van een typische
werkdag? Dan is Accenture de plek voor jou.
Visit www.accenture.nl/carriere
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
De plaatsfunctie vind je door te integreren en met C
x
Merk op dat de term
t
1
v0 e kt | x0
0
k
x0 is:
1
1
v0 e kt v0 e 0 x0
k
k
v0
(1 e kt ) x0
k
v0
(1 e kt ) de uitkomst is van de integraal en de eenheid m heeft.
k
De snelheid neemt exponentieel met de tijd af. De plaats nadert exponentieel naar het eindpunt.
Voorbeeld: vallende knikker in vloeistof
Bij een ‘vrije val’ van een knikker in een vloeistof hebben we niet alleen te maken met de viskeuze
wrijvingskracht, maar ook met de zwaartekracht en de opwaartse kracht. Alle drie de krachten samen geven de
resulterende kracht die in de BV komt te staan:
dv
dt
g UvlVg
m
q
v
m
De versnelling a is niet gelijk aan de valversnelling g omdat je naast de zwaartekracht ook de opwaartse kracht
en de wrijvingskracht in rekening moet brengen.
Let op de mintekens in de BV: de zwaartekracht is negatief omdat die naar beneden is gericht (en we naar boven
positief kiezen), de opwaartse kracht is naar boven gericht en positief en de wrijvingskracht heeft een minteken
omdat die in de tegengestelde richting van de snelheid is gericht.
-qv
mg-Fopw
x
Figuur 20 Vallende knikker in vloeistof
Voor een bolvormig lichaam met straal R geldt voor de wrijvingskracht de formule van Stokes F
6SK Rv .
Daarin is de viscositeit van de vloeistof.
Zie voor de oplossingsmethode hoofdstuk II.2. De oplossing voor v is:
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
vt
q
t ·
m§
V Ug
m
g
Ce
¨
¸
q©
m
¹
De integratieconstante C volgt uit de beginvoorwaarde. Als v 0
vt
Als je g UvlVg
m
0 krijg je
q
t ·
m§
V Ug ·§
m
¨ g ¸ ¨1 Ce ¸
q©
m ¹©
¹
gelijk stelt aan b , dan neemt de snelheid toe totdat b q
v
m
0 , dus als v
mb
. De
q
formule voor vt nadert naar deze waarde als t nadert naar oneindig.
F = -cv2 : vormweerstand
De wrijvingskracht op een lichaam dat met grote snelheid door een gas of vloeistof gaat, wordt in hoofdzaak
door de botsingen met de gas- of vloeistofmoleculen veroorzaakt. Het is een vormweerstand. De kracht is dan
F
cv 2 en de bewegingsvergelijking
d 2x
dt 2
c § dx ·
¨ ¸
m © dt ¹
2
Deze DV is niet lineair en niet op de beschreven manieren op te lossen. In concrete gevallen is wel iets over
begin- of eindwaarden te zeggen. Bijvoorbeeld bij een vrije val (waarbij je de zwaartekracht en de opwaartse
kracht aan de bovenstaande bewegingsvergelijking moet toevoegen): de snelheid is maximaal als de versnelling
nul is, dus als mg Fopw cv 2
0 . Dan is constante ‘eind’snelheid
v
mg Fopw
c
Numeriek integreren, methode van Euler
Als je geen directe oplossing weet, kun je altijd nog in een spreadsheet numeriek integreren volgens de methode
van Euler.
Deze methode houdt het volgende in:
1. ga uit van een tijdstip t waarop beginwaarden bekend zijn voor alle variabelen (F,a,v,x) en constanten
(m,c,etc);
2. vind een uitdrukking voor de versnelling a als functie van F, m, c, v en x (niet van t);
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
3. verdeel het integratie-interval in voldoende kleine tijdsintervallen 't waarin de waarden van a, v en x
niet significant veranderen en beschouw a, v en x in een tijdsinterval 't als constant
4. bereken voor het tijdstip t 't nieuwe waarden voor a, v en x met
a. de opgestelde uitdrukking voor a
b.
vn
v n 1 a n 1 't
c.
xn
x n 1 v n 1 't
5. herhaal dit voor het volgende tijdsinterval
6. enzovoort tot een eindvoorwaarde is bereikt, bijvoorbeeld dat n, v of x een bepaalde waarde
overschrijden.
Voorbeeld: vormweerstand
Een automobilist haalt bij 30 ms-1 zijn voet van het gas. De auto wordt dan voornamelijk door de luchtweerstand
afgeremd. Stel dat bekend is dat FW
1,5v 2 en de auto 1100 kg weegt. Hoe verandert dan de snelheid als
functie van de tijd?
1. Op t=0 zijn x0
0 en v0
30 .
2. Voor de versnelling a stellen we de uitdrukking op a
FW
m
1,5 2
v
1100
0,0014v 2 .
cd1210vv105
3. In de spreadsheet krijgt elke grootheid een kolom en worden de beginwaarden en algoritmes ingevoerd. Zie
onderstaande tabel.
Klik op de advertentie
Rijkswaterstaat verbindt!
Bij Rijkswaterstaat werken we aan verbindingen. Over weg
en water. Met de politiek, met aannemers en (vaar)weg­
gebruikers. Tussen maatschappelijke dilemma’s en
­effectieve oplossingen. En natuurlijk met onze medewerkers,
want verbinden begint bij je eigen mensen. In 2010
behoorden we volgens Intermediair tot de beste publieke
werkgevers van Nederland. En daar zijn we trots op!
Kijk op www.rijkswaterstaat.nl naar de uitdagende projec­
ten die we op dit moment uitvoeren op weg en water.
Meer informatie
www.rijkswaterstaat.nl of bel 0800 - 8002
(ma t/m zo 06.00 - 22.30 uur, gratis)
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rechtlijnige bewegingen
4. In elke volgende rij berken je de waarden voor de grootheden na een stap 't . In het voorbeeld hieronder
nemen we aan dat 't 1 s voldoende klein is ten opzichte van de tijd voor het tot stilstand komen van de auto.
Anders moet een getal kleiner dan 1 worden ingevoerd, bijvoorbeeld: A3=A2+0,2.
Maak, nadat rij 3 goed is ingevuld, gebruik van de kopieerfunctie om alle volgende rijen te vullen.
5. Ga naar de functie voor het weergeven van resultaten en selecteer de waarden die je wilt weergeven, zoals in
de onderstaande figuur.
Tabel 2 Numeriek integreren in een spreadsheet
2
3
4
A
t (s)
=0
=A2+1
=A3+1
B
x (m)
=0
=B2+(C2*1)
=B3+(C3*1)
C
v (m.s^-1)
=30
=C2+(D2*1)
=C3+(D3*1)
D
A (m.s^-2)
=–0,0014*C2*C2
=–0,0014*C3*C3
=–0,0014*C4*C4
1
2
3
4
A
t (s)
0
1
2
B
x (m)
0
30
59
C
v (m.s^-1)
30
29
28
D
A (m.s^-2)
-1,26
-1,16
-1,07
v (m/s)
30
vt – grafiek
vormweerstand
25
20
15
10
5
0
0
60
120
180
240
t (s)
Figuur 21 Snelheid en vormweerstand
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
3. Krachten en beweging in 2 dimensies
Op een lichaam werken vaak meerdere krachten en die kunnen verschillende hoeken ten opzichte van de baan
maken. Om in deze gevallen de beweging te beschrijven is een beschouwing in 2 of 3 dimensies nodig. Daarover
gaat dit hoofdstuk. Belangrijk is dat grootheden als kracht, versnelling, impuls, snelheid en verplaatsing zowel
een grootte als een richting hebben. Het zijn vectoren en daarvoor gelden speciale rekenregels. In hoofdstuk II.3
worden die behandeld; in dit hoofdstuk gebruiken we ze zonder nadere uitleg.
We beginnen met enkele algemene opmerkingen over de keuze van een referentiesysteem en plaatsen een
kanttekening bij het begrip zwaartekracht. Vervolgens gaan we in op het gebruik van vrije-lichaamsdiagrammen
om de krachten in een systeem te analyseren. Daarna behandelen we het begrip ‘krachtmoment’ dat nodig is om
de beweging te beschrijven van lichamen die een bepaalde uitgebreidheid hebben en kunnen roteren. Ten slotte
bekijken we enkele veel voorkomende bewegingen in 2 dimensies en de daarbij gebruikelijke
parametervoorstellingen.
3.1 Referentiesystemen
Het beschrijven van een beweging begint (wel of niet bewust) met het kiezen van een referentiesysteem en een
assenstelsel dat aan dit referentiesysteem is gekoppeld.
Een referentiesysteem is een lichaam met een zekere afmeting waarvan de delen ten opzichte van elkaar in rust
zijn. Het lichaam mag geen punt zijn omdat niet alleen de oorsprong van het assenstelsel maar ook de richting
van de assen moet worden vastgelegd. De keuze van een goed referentiesysteem vereist enige creativiteit en
vooral inzicht in het probleem. Enkele tips:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Maak een bewuste keuze van het referentiesysteem en het assenstelsel.
Overweeg een referentiesysteem waarin zo weinig mogelijk lichamen bewegen.
Kies een as evenwijdig met een bewegingsrichting die niet verandert.
Maak een schematische tekening.
Bedenk vooraf welke formules je nodig hebt en kies een assenstelsel waarbij die zo eenvoudig mogelijk
worden.
Alternatieve referentiesystemen
Stel, je moet de beweging beschrijven van iemand die het dek van een varend schip oversteekt. Welk
referentiesysteem je kiest hangt af van de vraag of er andere lichamen dan het schip en de persoon in de
beschouwing worden betrokken. Is dit niet het geval, dan kies je het schip als referentiesysteem. De oorspong
kan elk punt op het schip zijn, bijvoorbeeld het punt waar de persoon begon te lopen of de boeg van het schip.
De positieve x-as kan ook vrij worden gekozen, bijvoorbeeld de bewegingsrichting van de persoon, of de as van
het schip.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
x
x
x
x
x
Figuur 22 Alternatieve referentiesystemen
Is ook een lichaam in het water of op de wal van belang, dan zijn andere keuzes te overwegen. In bijgaande
figuur zijn enkele varianten getekend. Hecht je het referentiesysteem aan een lichaam dat in het oude systeem
beweegt, dan veranderen van elk object de coördinaten en de richtingen en de groottes van de snelheden.
Voorbeeld: inhalen, relatieve snelheid
Een eenvoudig probleem:
twee lichamen A en B bewegen met constante snelheden in de richting van de positieve x -as.
Voor A is x A,0
120 m en v A
20 ms -1 en voor B is xB,0
40 m en v B
4 ms -1 .
Klik op de advertentie
Gratis via
Nobilescarriereg
ids.nl
Nobiles informeert en inspireert bij het maken van de juiste keuze voor studie en werkgever
*&## +)%
&'!*#&%
LUNCHEN
BIJ HYVES
0
"*+
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
Op welk tijdstip wordt B door A ingehaald?
vA
O
A
B
x as
vB
Figuur 23 Situatieschets 3
Er zijn 2 lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden:
x A,t
x A,0 v A t
120 20t m
x B,t
x B,0 v B t
40 4t m
Voor een oplossingsmethode zie hoofdstuk II.1.
Kies B als referentiesysteem: B is nu
steeds in de oorsprong en heeft ten
opzichte van dit syteem snelheid 0. Het
lichaam A is op t 0 op x 160 m en
zijn snelheid ten opzichte van A is 16 ms-1.
Men noemt dit de relatieve snelheid van A
ten opzichte van B. De plaatsfunctie van A
is nu:
xt ,A t.o.v. B
en met x
160 16t
0 volgt opnieuw t
10 s.
Je moet zelf beoordelen of deze methode
handig is.
Om de plaats in het oude
referentiesysteem te berekenen, moet je
voor A of B weer terugkeren naar het oude
referentiesyteem (x=80 m).
Kader 5 Nieuw referentiesysteem kiezen
Inertiaalstelsel
Een referentiesysteem dat niet versnelt, is een inertiaalstelsel. Voor een lichaam dat binnen dit intertiaalstelsel
beweegt geldt de 2de wet van Newton.
Elk referentiesysteem dat met constante snelheid een rechtlijnige beweging ten opzichte van een inertiaalstelsel
uitvoert, is opnieuw een inertiaalstelsel.
Een referentiesysteem dat draait of versnelt ten opzichte van een inertiaalsysteem, is geen inertiaalstelsel. Op een
lichaam dat zich in dit draaiende of versnellende referentiesysteem bevindt, verschijnt een versnelling zonder dat
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
er een aanwijsbare kracht is. Denk bijvoorbeeld aan de centrifugale kracht die je ondervindt in een auto die een
bocht maakt. Ten opzichte van een referentiesysteem langs de weg voor de bocht is er helemaal geen kracht en
geldt de eerste wet van Newton. Men wijt een dergelijke versnelling dan aan een schijnkracht. De centrifugale
kracht is een voorbeeld van een schijnkracht, evenals de Corioliskracht op luchtstromen in de atmosfeer.
Fcen
Fmpz
Fg
Fzw
Figuur 24 Zwaartekracht
Voorbeeld: zwaartekracht
Vaak stelt men de zwaartekracht gelijk aan de gravitatiekracht tussen de aarde en het lichaam. Dat is niet
helemaal juist. De gravitatie zorgt niet alleen voor de zwaartekracht, maar ook voor een middelpuntzoekende
kracht die een lichaam met de aarde laat meedraaien. De zwaartekracht is de verschilvector van de
G
gravitatiekracht en de middelpuntzoekende kracht: Fzw
G
G
Fg Fmpz Behalve op de polen is de zwaartekracht
hierdoor kleiner dan de gravitatiekracht. Bovendien heeft de zwaartekracht overal tussen de polen en de evenaar
een component langs het aardoppervlak in de richting van de evenaar. In de figuur is dit (sterk overdreven)
weergegeven.
Op 500 Noorderbreedte is de middelpuntzoekende versnelling evenwijdig aan het vlak van de evenaar ongeveer
0,02 ms-2 en vertoont de zwaartekracht een afwijking van ongeveer 0,10 naar het zuiden. Is de plek op aarde het
referentiesysteem dan lijkt er een versnelling in de richting van de evenaar te zijn zonder dat er een aanwijsbare
kracht voor is. Het is dus strikt genomen geen inertiaalsysteem. Omdat de afwijking voor veel toepassingen
verwaarloosbaar is, mag je de aarde niettemin als systeem beschouwen waarin de wetten van newton gelden.
Vanuit de aarde als referentiesysteem wijt men de kleine afwijking van de versnelling aan een schijnkracht,
G
namelijk de centrifugale kracht Fcen . Zie de figuur. Anders dan in Nederlandse schoolboeken komt het begrip
centrifugale kracht in de internationale literatuur vaak voor. Een andere schijnkracht is de Corioliskracht die
verantwoordelijk is voor de draaiing van luchtstromen in de atmosfeer.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
3.2 Vrije-lichaamsdiagrammen
Eén systeem
Om helder te analyseren waardoor de resulterende kracht op een lichaam wordt veroorzaakt, teken je een vrijlichaamsdiagram. De eisen aan het vrije-lichaamsdiagram zijn:
ƒ
ƒ
Klik op de advertentie
ƒ
ƒ
Teken schematisch alleen het lichaam waarvan je de beweging beschrijft. Er komt geen enkel ander
lichaam in de figuur voor: geen ondersteunende helling, geen koord waar het aan hangt, geen veer die
het wegduwt, etc.
Geef alle krachten die van buitenaf de verplaatsing beïnvloeden aan met pijlen in de juiste richting en
met de juiste relatieve lengte. Dus in plaats van een helling een normaalkracht en een wrijvingskracht, in
plaats van een touw een trekkracht etc. Teken geen inwendige krachten want die hebben geen invloed op
de beweging.
Geef de richting van de assen aan.
Als er alleen verplaatsing is en geen rotatie optreedt, dan is de vorm van het lichaam in de tekening
onbelangrijk. Teken dan het lichaam als een kleine rechthoek, een kleine cirkel, een stip of een recht
kruis en laat alle krachten in het zelfde punt beginnen.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
Wrijving op een helling
Een stalen doos ligt in rust op een eveneens stalen helling. De doos weegt 5 kg. Door een kleine trilling van de
helling glijdt de doos naar beneden. Met welke versnelling? Neem g = 10 ms-2, Ps = 0,7 en Pd = 0,6.
We tekenen eerst het vrije-lichaamsdiagram.
y
FN
PFN
FW
35 0
x
35 0
Fz
Figuur 25 Vrije-lichaamsdiagram doos op helling
1. Toestand in rust:
¦F
y
dus FN
¦F
x
0 Ÿ FN mg cos D
0
mg cos D
0 Ÿ mg sin D P s FN
dus P s FN
0
mg sin D
Delen geeft
Ps
tan D
Ÿ D
35 0
arctan 0,70
2. Toestand in beweging:
¦F
x
G
ma x
Ÿ mg sin D P d FN
Invullen van mg sin D
P s FN P d FN
P s FN en FN
( P s P d )mg cos D
ma x
mg cos D geeft:
ma x
en hieruit volgt
ax
( P s P d ) g cos D
Ÿ ax
(0,7 0,6) ˜ 10 ˜ cos 35 0
0,8 ms -2
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
Twee deelsystemen
Derde wet van Newton
Soms bestaat een systeem uit twee met elkaar verbonden objecten. Dan kan het handig zijn het systeem in twee
deelsystemen A en B te splitsen. In plaats van een verbinding worden dan de interne krachten aangewezen die zij
op elkaar uitoefenen. Volgens de derde wet van Newton is de kracht die A op B uitoefent even groot als de
kracht die B op A uitoefent en tegengesteld gericht:
G
FA oB
G
FBoA
Twee diagrammen
Als je twee deelsystemen wilt beschrijven, dan moet je voor beide deelsystemen apart een vrije-lichaamsdiagram
tekenen. Wat in het volledige systeem interne krachten zijn, bijvoorbeeld de spankracht in een touw tussen twee
blokken, worden nu een externe kracht voor elk deelsysteem apart en moet in de vrije lichaamsdiagrammen voor
de deelsystemen opgenomen worden.
Voorbeeld: blok op tafel
Op een tafel ligt een blok hout van 6 kg. Het wordt voortgetrokken door een gewicht van 4 kg aan de zijkant van
de tafel. Het koord tussen het blok en het gewicht loopt over een katrol. De versnelling van het systeem is 1 ms-2.
Bereken Pd.
Verwaarloos de massa en de wrijving van het koord en de katrol. Neem voor g = 10 ms-2.
Figuur 26 Tafel met twee blokken
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
Blok A
Blok B
FN
PFN
Fs
Fs
x
mB g
mA g
xc
Figuur 27 Vrije-lichaamsdiagram deelsystemen
Aanpak: Bereken bij blok B dat Fs = 36 N en vervolgens bij blok A dat PFN = 30 N.
We’ve added
lots of colors
to the sky
Klik op de advertentie
Are you ready to add color to your life?
One out of every three aircraft is painted with
our coatings. They can withstand sudden
temperature variations from minus 60 to plus
40 degrees centigrade. They also weigh less.
These technological advantages have made us
a world leader in aerospace coatings. Coatings
is just one of the many activities of AkzoNobel,
an international and multicultural company with
leading positions in paints, coatings and specialty
chemicals.
Want to know more? www.akzonobel.nl
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
Cirkelbeweging
Een cirkelbeweging treedt op als in elk punt van de baan de resulterende kracht op hetzelfde punt is gericht.
Fspan
r
mg
Figuur 28 Zweefmolen
Een zweefmolen is een voorbeeld van een cirkelbeweging. Op een stoeltje werken twee krachten die het een
eenparige cirkelbeweging laten uitvoeren. De snelheid in de getekende situatie staat loodrecht op het vlak van
tekening.
De versnelling die nodig is om een cirkelbeweging met de straal r en met de baansnelheid v af te leggen, is:
ac
v2
r
ac
Z 2r
Fc
mv 2
r
Fc
mZ 2 r
of
met de hoeksnelheid Z
v
.
r
Er is een middelpuntzoekende kracht vereist
of
Het vrije-lichaamsdiagram van een stoeltje in een zweefmolen laat twee krachten zien: de zwaartekracht
verticaal omlaag en schuin omhoog de spankracht in de kabel. De resulterende kracht heeft op elk punt van de
horizontale cirkelbaan dezelfde grootte en is steeds naar het middelpunt gericht. De resulterende kracht hoort
niet in het vrije-lichaamsdiagram.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
3.3 Moment en rotatie
Tot nu toe is er van uitgegaan dat een (resulterende) kracht alleen tot een verplaatsing leidt. Daarbij wordt een
lichaam als een punt beschouwd en wordt aangenomen dat elke kracht op dit punt wordt uitgeoefend. Bij
uitgebreide lichamen is dit echter niet geoorloofd. Ze kunnen om een bepaald punt (massamiddelpunt) draaien en
daarom is het belangrijk te letten op de werklijn van een kracht ten opzichte van dit draaipunt.
De rotatie van een uitgebreid lichaam wordt veroorzaakt door een moment.
Krachtmoment
G
G
G
Het moment van een kracht is het uitproduct van de arm r en de kracht F . Hierin is r de vector vanuit het
G
draaipunt naar het aangrijpingspunt van F . In tegenstelling tot wat meestal in het vwo geleerd wordt is de arm
niet per definitie de kortste afstand d van het draaipunt tot de werklijn.
F
D
G
G
r
d
Figuur 29 Krachtmoment
Hoe ga je te werk?
ƒ
Verschuif de vectoren langs hun werklijnen tot ze hetzelfde beginpunt hebben.
ƒ
Draai r over de kleinste hoek naar F ; krom de vingers van de rechterhand in deze richting. De duim
ƒ
geeft de richting van de krachtmomentvector M . In de tekening is de richting van M uit het blad naar je
toe. Volgens afspraak is deze draairichting positief.
In tegenstelling tot de volgorde die in het vwo gebruikelijk is schrijf je niet M=Fr maar
G
G
G
G
M
ƒ
De uitkomst is M
rF sin D
G
G G
r uF
dF .
Van een kracht parallel aan de arm is het moment gelijk aan 0.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
Evenwichtsvoorwaarden
De snelheid en de rotatie van een lichaam veranderen niet als aan twee voorwaarden is voldaan:
G
¦F
G
¦M
0
0
Je noemt dit de evenwichtsvoorwaarden.Dus, als deze voorwaarden gelden, dan
- blijft een lichaam in rust, als het al in rust was;
- blijft het lichaam in een eenparige rechtlijnige beweging.
Vrije-lichaamsdiagram voor een uitgebreid lichaam
Eerder is opgemerkt dat bij uitgebreide lichamen krachten niet evenwijdig aan hun werklijn mogen worden
verschoven. Dan verandert immers het moment. Dit betekent dat in het vrije-lichaamsdiagram van een uitgebreid
lichaam ook een draai- of kantelpunt moet worden aangegeven en de arm van elke kracht.
Klik op de advertentie
Geef het lichaam weer door middel van een zo eenvoudig mogelijke figuur. Vaak volstaat een lijnstuk.
Bijvoorbeeld een horizontale balk die in twee punten wordt ondersteund:
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
y
FN1
FN2
Z
x
r2
r1
mg
Figuur 30 Vrije-lichaamsdiagram van een horizontale balk
Soms is een rechthoek of een andere tweedimensionale figuur nodig. Bijvoorbeeld een deur die op twee
scharnieren S1 en S2 in een kozijn hangt:
y
S2
Z
x
S1
mg
Figuur 31 Deur
3.4 Bewegingen in 2 dimensies
Parametervoorstelling
De beweging van een lichaam in twee dimensies kan men beschrijven met een baanvergelijking. Die drukt het
verband tussen de coördinaten uit. Voor een cirkelbeweging zou dit de vergelijking ( x a ) 2 ( y b) 2
kunnen zijn en voor een horizontale worp y
r2
k ( x a) 2 b .
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
y
r
b
t=0
x
a
Figuur 32 Cirkelbaan
G
v0
x
G
s
G
g
G
vx
G
vy
G
vt
y
Figuur 33 Horizontale worp
De baanvergelijking geeft geen informatie over het tijdstip waarop het lichaam zich in een bepaald punt bevindt.
Daarom beschrijf je de beweging liever in de vorm van een parametervoorstelling. Dit houdt in dat je de x- en de
y-coördinaat afzonderlijk beschrijft als functie van dezelfde parameter t:
xt
f (t )
yt
g (t )
Ontbinden in componenten
K
G
G
G
G
Grootheden als verplaatsing 'x , snelheid v , versnelling a , kracht F en impuls p zijn vectorgrootheden en
kunnen in componenten langs de x- en de y-as worden ontbonden. Deze componenten zijn onafhankelijk van
elkaar. Zie hoofdstuk II.3 over vectoren voor uitleg over het ontbinden in componenten.
De onafhankelijkheid van de componenten maakt het ook mogelijk het assenstelsel zo te kiezen dat langs elk van
de assen een herkenbare - en vooral gemakkelijk oplosbare - bewegingsvergelijking ontstaat. Op deze manier
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
krijg je bij een tweedimensionale beweging twee onafhankelijke eendimensionale BV’s, waarvan een aantal in
het vorige hoofdstuk beschreven zijn.
Horizontale worp
De ‘horizontale worp’ is een eenvoudig voorbeeld van een beweging die tweeën kan worden gesplitst. Omdat de
valversnelling een rol speelt ligt het voor de hand een as verticaal te kiezen. Een horizontale beginsnelheid zoals
in de figuur is afgebeeld heeft geen component langs de verticale as en daarom geen invloed op de verticale
beweging. Onafhankelijk van elkaar vindt dus een versnelde beweging omlaag plaats en tegelijkertijd een
eenparige beweging naar rechts. Indien wrijving en andere krachten geen rol spelen is de parametervoorstelling
van de horizontale worp
v0 t x0
xt
yt
1
2
gt 2 y 0
Klik op de advertentie
Opmerkingen:
- Als het beginpunt als oorsprong wordt gekozen, dan zijn x0 en y0 gelijk aan nul.
- Als de y-as omhoog positief wordt genomen, dan zet je in de vergelijking voor yt het minteken.
- Als luchtweerstand een rol speelt, dan wordt de invloed daarvan afzonderlijk op elk van de bewegingen
in rekening gebracht.
Studenten
50%
korting
De hele krant voor de halve prijs
Als student betaal je tot je 27ste maar liefst 50% minder voor
een Volkskrantabonnement. Het kost je slechts € 13,45 per maand. Bovendien krijg
je naast de krant gratis toegang tot de Volkskrant online en het digitale archief.
Neem nu zo’n Studentenabonnement via volkskrant.nl/studenten.
volkskrant.nl/studenten
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
G
De verplaatsing s is de vector tussen de plaatsen op twee tijdstippen, dus tussen twee punten op de baan:
G
s
G
G
'x 'y
De snelheid langs de baan op een bepaald tijdstip is de vectorsom van de snelheden langs elke van de assen op
dit tijdstip:
G
vt
G G
vx v y
Het berekenen van de lengte van een somvector en de hoek met de x-as wordt beschreven in hoofdstuk II-3.
Voorbeeld: weggeschoten munt
Een munt wordt met een beginsnelheid v0 van een gladde tafel geschoven en raakt de grond onder een hoek M.
De hoogte van de tafel is h. Druk M uit in v0 en h.
Neem de figuur ‘horizontale worp’ als uitgangspunt.
Voor M geldt: tan M
Langs de y-as geldt h
dus v y
gt Ÿ v y
Met v x
v0 is tan M
vy
vx
1
2
gt 2
Ÿ t
2h
,
g
2 gh
vy
vx
2 gh
v0
2 gh
2
v0
Ÿ M
arctan
2 gh
2
v0
Worp in willekeurige richting
Maakt de beginsnelheid een hoek D met de x-as, dan ontbinden we de snelheid in twee componenten:
v 0, x
vo cos D
en
v 0, y
vo sin D .
Daarmee worden de snelheid- en plaatsfuncties::
v x ,t
vo cos D
xt
v0 t cos D x0
v y ,t
gt vo sin D
en
yt
1
2
gt 2 vo t sin D y 0
Hier gelden dezelfde opmerkingen als bij de horizontale worp.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
Voorbeeld: basketballer
Een basketballer werpt een bal naar een medespeler op een afstand van 6 m. Uit videobeelden blijkt dat de bal
daar 0,8 s over doet. Het begin en eindpunt van de bal zijn op dezelfde hoogte. Bereken het hoogste punt van de
bal ten opzichte van zijn beginpunt.
Het begin en eindpunt zijn op gelijke hoogte. Dit betekent: 'y t
yt
gt v0 y t y 0
1
2
2
Uit 'y t
v0 y
1
2
gt
Ÿ 'y t
0 volgt 12 gt v0 y
gt v0 y t
1
2
0
( gt v0 y )t
2
1
2
0
4
In het hoogste punt is v y ,t
Daarmee leidt v y ,t
0.
v0 y gt tot: 0
Invullen van t en v0y in 'y t
4 10t Ÿ t
12 gt 2 v 0 y t geeft 'y t
0,4
12 ˜ 10 ˜ 0,4 2 4 ˜ 0,4
0,8
Het hoogste punt ligt 0,80 m hoger dan het begin en eindpunt.
Cirkelbeweging
Een cirkelbeweging kan worden voorgesteld door de parametervoorstelling::
xt
a r cos Zt
yt
b r sin Zt
Hierin is Z de hoeksnelheid. De straal r noemt men ook wel amplitude.
De beweging is periodiek met T als de periode of omlooptijd en met f als de frequentie. Met behulp van
vT 2 r is gemakkelijk in te zien dat:
Z
2
T
2f
Voorbeeld: polaire satellieten
Rond de aarde cirkelt een aantal satellieten in banen over de noord- en de zuidpool. Deze polaire banen hebben
een periode van ongeveer 1,5 uur. Wat is de straal van deze banen?
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
Aanpak:
De hoeksnelheid voor deze beweging is Z
De versnelling die is vereist, is a c
2S
(rad)s-1.
1,5 ˜ 3600
Z 2r .
De versnelling wordt geleverd door de gravitatie:
gr
G
M
r2
Hierin is G de constante van Newton en M de massa van de aarde. De waarde van beide kan in de tabellen
worden opgezocht. Gelijkstellen van beide uitdrukkingen voor de versnelling geeft:
Z 2r 3
GM
Klik op de advertentie
Hieruit kan r als de enige onbekende worden opgelost.
We’re looking for people
who believe this is the best
place to dump four million
plastic detergent bottles.
Ja, het uitzicht is adembenemend. Maar denk even verder. En vraag je af wat je voor
Yellowstone Park zou kunnen betekenen met meer dan vier miljoen lege wasmiddelflessen. Wij hebben er wandelpaden van gemaakt. Ontwikkel jij ook creatieve oplossingen
waar anderen alleen problemen zien? Dan krijg je van ons wat je nodig hebt voor een
mooie carrière bij Unilever. Op www.unilever.nl/werken lees je meer.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Krachten en beweging in 2 deminsies
Voorbeeld: afbuiging van elektronen in een magnetische veld
Neem aan dat ten gevolge van een spanningsverschil elektronen een snelheid van 3.106 ms-1 in westelijke
richting krijgen. Welk effect heeft het aardmagnetische veld op de elektronen? De inclinatie van het
aardmagnetisch veld is 500 en de sterkte 4.10-5 T.
G
G
-e( v u B )
G
v
50
o
G
B
G G
vuB
Figuur 34 Afbuiging in aardmagnetisch veld
Uitwerking:
Het aardmagnetisch veld veroorzaakt een Lorentz-kracht op elk elektron
G
FL
G G
e (v u B)
G
G
en die ligt –net als vector B - in het verticale vlak loodrecht op de snelheid v.
ƒ
G G
G G
Bepaal eerst de richting van (v u B ) met de rechterhandregel. De vector v u B staat loodrecht op het vlak
ƒ
door v en B , dat 500 is gekanteld ten opzichte van het horizontale vlak.
Bepaal de richting van de Lorentz-kracht. Omdat elektronen een negatieve lading hebben is die
G
G
G
G
G
tegengesteld aan de richting van (v u B ) : FL maakt een hoek van 400 omhoog met de horizontaal naar
het Noorden.
ƒ
De grootte is: FL
Dus FL
qvB sin D , met D
90 0
1,6.10 19 ˜ 3.10 6 ˜ 4.10 5 ˜ sin 90 0
2.10 17 N , waaruit de versnelling kan worden
berekend.
De afbuigingsstraal is: r
mv
Bq
9,1.10 31 ˜ 3.10 6
4.10 5 ˜ 1,6.10 19
4.10 1 m.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
II Wiskunde
1 . Rekenen
1.1 Breuken
Optellen, aftrekken
Breuken optellen of van elkaar aftrekken kan alleen als ze gelijknamig zijn. Optellen en aftrekken
gebeurt met de tellers.
a c
b b
a˜
1
1
c˜
b
b
(a c) ˜
1
b
ac
b
2 3
b b
1
b
Gelijknamig maken
De waarde van een breuk verandert niet als hij met 1 wordt vermenigvuldigd.
En 1 kan worden geschreven als een breuk met de andere noemer:
a c
b d
ad bc
bd bd
ad bc
bd
2 1
3 4
8
3
12 12
1
23
1
5
11
12
Splitsen
Tellers kunnen worden gesplitst, noemers niet.
ab
cd
a
b
cd cd
maar niet:
z
1 1
2 3
5
6
Vermenigvuldigen, delen
Het vermenigvuldigen en het delen van een breuk is een operatie die op de teller wordt toegepast.
Verschijnt in de teller een breuk, dan vereenvoudig je het geheel met een nieuwe noemer.
a 1
˜
b c
a
yc
b
a˜ 1
b
a
c
b
c
a
(bc)
a
(bc)
Bedenk dat bij het delen door een breuk geldt
2 1
˜
7 3
2
21
2
y3
7
2
21
1
{ n.
1
n
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Immers, 1 moet gelijk zijn aan 3 ‘derde’, of 10 ‘tiende’ delen, etc. Vandaar de veelgebruikte
geheugensteun: ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’:
a c
y
b d
ad
bc
2 1
y
7 3
2 3
˜
7 1
6
7
1.2 Haakjes wegwerken
Haakjes
Haakjes maken duidelijk welke termen van een uitdrukking wel vermenigvuldigd moeten worden
en welke niet:
a ˜ (b c ) d
ab ac d
( a b)(c d )
ac ad bc bd
Bijzondere producten
a 2 2ab b 2
( a b) ˜ ( a b)
a 2 2ab b 2
( a b) ˜ ( a b)
a2 b2
Klik op de advertentie
( a b) ˜ ( a b)
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
1.3 Wortels
Een wortel ontstaat uit een machtsfunctie. Zie subparagraaf 4: machten.
Rekenregels
Het splitsen van wortels is alleen geoorloofd bij producten en quotiënten. Voor het
vereenvoudigen van wortels gebruikt men vaak de volgende regels:
a ˜b
a
b
a
m
a˜ b
a
b
pq
a mp
a p ˜ aq
ap
1.4 Machten
Definitie
Bij machtsverheffen wordt een grondtal a herhaaldelijk met ditzelfde getal a vermenigvuldigd.
a r . Hierin is a het grondtal en r de exponent. We
De machtsfunctie wordt geschreven als y
onderscheiden 3 domeinen voor r:
Met r ! 1 is y een groeifunctie van de graad r:
a0
0de graad
1
a
1
a
a
r
a ˜ a ˜! ˜ a
ste
1 graad
r
de
graad
10 0
1
10
1
10
10
r
10 ˜ 10 ˜ ! ˜ 10 100 ! 0
Met 0 r 1 is y een wortelfunctie:
m
1
a
a2
3
a
an
n
a
an
a2
m
1
a3
n
am
n
an
n
1
an
am
1
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Met r 0 geeft het negatieve teken aan dat y een breuk is en bepaalt de absolute waarde van r of
de noemer een groeifunctie dan wel een wortelfunctie is:
1
a
1 1
1
˜ ˜!˜
a a
a
a 1
a r
graad -1
1
ar
graad -r
Rekenregels
a nm
an ˜ am
an y am
a nm
a p ˜bp
ab p
an
a
Merk op dat 10 ( 2
3
m
m
n
)
(a n ) m
10 2 ˜ 10 3
10 1
10 2 y 10 3
10 5
10 2 ˜ 10 2
a m˜n
(10 2 ) 3
100 2
10 6
1
n
a
m
92
9
3
10 8 .
Wetenschappelijke notatie
Volgens de regels van de wetenschappelijke notatie bestaat de getalwaarde van een grootheid uit
2 delen:
- een getal met alle significante cijfers,
- een macht van 10.
Achter de getalwaarde hoort de eenheid van de betreffende grootheid. De macht van 10 wordt
vervangen door voorvoegsel uit de tabel achterin. Equivalent is:
1386 m
1,386 ˜ 10 6 ˜ 10 3 m = 1,386 ˜ 10 6 mm.
Voordat je grootheden kunt optellen of aftrekken moeten ze eerst in dezelfde grootteorde worden
uitgedrukt. Bijvoorbeeld:
Verplaatsing 1 = 1,386 km
Verplaatsing 2 = 114 m in dezelfde richting
De totale verplaatsing 1,386 km + 0,114 km = 1,500 km
Scheid bij het bereken van producten en quotiënten de significante getallen van de machten van
10, het bespaart werk door de machten apart (uit het hoofd) te berekenen.
9,24 ˜ 105 u 3,6 ˜ 103
2,8 ˜ 104 u 7,5 ˜ 102
9,24 u 3,6 105 u 103
˜
2,8 u 7,5 104 u 102
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
waarin
Rekenen
105 u 103
104 u 102
105 3 4 2
10 4
1.5 Logaritmes
Definitie
Elk positief reëel getal b kan geschreven worden als een macht van een ander getal a .
De exponent r bij die macht heet de r-logaritme van b. Als het grondtal 10 is, dan wordt de 10
niet genoemd.
b
r
a
Klik op de advertentie
efficiency
ar
a
100 10 2
logb
8
log a 1
a
reliability
2
3
log a
3
n
10
2
n
a
2
log 100
log 100
log 8
log 1 0
delivery
As a leading technology company in the field of geophysical science, PGS can offer exciting
opportunities in offshore seismic exploration.
We are looking for new BSc, MSc and PhD graduates with Geoscience, engineering and other
numerate backgrounds to join us.
To learn more our career opportunities, please visit www.pgs.com/careers
A Clearer Image
www.pgs.com
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Rekenregels
De regels voor het rekenen met logaritmes corresponderen met de regels voor machten.
a
log(b ˜ c)
a
log(10 3 ˜10 2 )
log b a log c
3 2
5
3
10
) 3 2 1
10 2
log 10 6 3˜ log 10 2
b
log( ) a log b a log c
c
a
log b m m˜ a log b
a
log(
1.6 e-machten en natuurlijke logaritmes
Definities e en ln
Een e-macht is een macht met het grondtal:
e
2,71828 ...
ex
1 x x 2 x3
....
2! 3!
met x 1 . Het symbool ‘3!’ staat voor ‘3 faculteit’, dit is het cumulatieve product van alle
natuurlijke getallen d 3. Dus 3! 1 ˜ 2 ˜ 3
6 . Door het differentiëren van de reeks naar x
ontstaat de reeks opnieuw, ofwel de afgeleide van e x is e x :
de x
dx
ex .
De logaritme met het grondtal e noemt men de natuurlijke logaritme, met notatie ‘ln’:
a
ex
Ÿ x
ln a
Rekenregels
Voor e-machten en natuurlijke logaritmes gelden dezelfde regels als voor andere machten en
logaritmes. Bijzonderheden zijn:
ln x
ln 10 ˜ log x
ln x ln a˜ a log x
ln e 1 en ln 1 0
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
1.7 Meetkunde
Gelijke en complementaire hoeken
180- D3
D2
D1
Figuur 35 F- en Z-hoeken
Als een recht lijn twee evenwijdige lijnen snijdt, dan zijn:
* D1
D2
Deze noemt men F-hoeken omdat ze zijn ingesloten door de staande en de
liggende lijnen van de F (in de figuur is F gedraaid en gespiegeld). Ze vallen na
verschuiving over elkaar.
* D1
D3
Deze noemt men Z-hoeken omdat ze overeenkomen met de bij een Z gevormde
scherpe hoeken. Ze vallen na 1800 draaien over elkaar.
*D 2
D3
Bij twee snijdende lijnen zijn de tegenover elkaar liggende hoeken gelijk.
De naast elkaar liggende hoeken bij twee snijdende lijnen zijn complementair (samen 180o).
Hoeken en zijden in een driehoek
+
b
a
c
Figuur 36 Hoeken en zijden van een driehoek
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
In een driehoek is de som van de drie hoeken gelijk aan 180o
en verder geldt:
a
sin D
b
sin E
c
sin J
a2
b 2 c 2 2bc ˜ cos D
b2
a 2 c 2 2ac ˜ cos E
c2
a 2 b 2 2ab ˜ cos J
(Zie §8 voor sinus en cosinus.)
Bij een rechthoekige driehoek vervalt de derde term en gaan de vergelijkingen over in de stelling
van Pythagoras:
Klik op de advertentie
a2
b2 c2
Volgende
g
stapp
in je carrière?
JobTrack.nl
De meeste vacatu
res in jouw regio
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Basis en hoogte van een driehoek
h
a
Figuur 37 Basis en hoogtelijn in een driehoek
De basis en de hoogte van een driehoek hangen met elkaar samen. Men kan elke zijde als basis
kiezen. Is de zijde a de basis, dan is de hoogte de lengte van de loodlijn h die op a is neergelaten
uit de overstaande hoek.
De normaal
De loodlijn door een punt op een oppervlak noemt men de normaal. Is het oppervlak een vlak met
een rechthoekig assenstelsel x en y, dan staat de normaal loodrecht op beide assen. Bij een
gekromd oppervlak staat de normaal loodrecht op het raakvlak. De normaal in een punt op een
bol is de rechte door dit punt en het middelpunt van de bol.
Oppervlakte- en inhoudsformules
Tabel 3 Formules voor oppervlakten en inhouden
b=basis, h=hoogte en r=straal
Oppervlak
Driehoek
½bh
Parallellogram
Bh
Cirkel
r2
Bol
4r2
Cilindermantel
2rh (zonder grondvlakken)
Inhoud
Bol
4/3 r3
Cilinder
r2h
Kegel
r2h
Piramide
.grondoppervlak.h
.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
1.8 Goniometrische functies
y
/2
P
r.sin
r
a
0
b
x
r.cos
bg
3/2
Figuur 38 Goniometrische begrippen in een cirkel
Definitie sinus, cosinus, tangens
In de figuur is de rechthoekige driehoek met de zijden r, a en b en de hoek getekend. De hoek
wordt gemeten ten opzicht van de positieve x-as, tegen de wijzers van de klok. Het deel van de
cirkel voor 0 d D 90 0 noemt men het 1ste kwadrant. Er geldt:
sin D
cos D
tan D
a
r
b
r
a
b
Een geheugensteun voor deze definities is het anagram soscastoa: Sinus = Overstaand/Schuin;
Cosinus = Aanliggend/Schuin; Tangens = Overstaand/Aanliggend.
Definitie arcsin, arctan
Terugrekenen van een waarde voor de sinus, cosinus of tangens naar de waarde van de hoek
gebeurt met de functies arcsinus, arccos en arctangens.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
arcsin
De functie arcsin
a
r
D
arc cos
b
r
D
arctan
a
b
D
a
a
betekent ‘de hoek waarvan de sinus
is’.
r
r
Voor arcsin en arctan wordt vaak sin-1 en tan-1 geschreven (het betekent dan bij uitzondering niet
1
1
). Correcter is: INV sin (inverse functie van sin).
of
sin
tan
Parametervoorstelling van een cirkelbaan
De plaats van een punt P op een cirkel in het x,y-vlak kan men geven in de vorm van een
parametervoorstelling. Zie de figuur met de basiscirkel. Dit betekent dat de x- en de y-coördinaat
afzonderlijk worden uitgedrukt als functie van dezelfde (veranderlijke) parameter, bijvoorbeeld
de hoek :
xP D
r ˜ cos D
yPD
r ˜ sin D
Klik op de advertentie
Is bekend, dan zijn ook de x- en de y-coördinaat bekend.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Door de parameter te elimineren ontstaat een baanvergelijking in x, y en r.:
x2 y2
r2
Indien de x- en de y-coördinaat bekend zijn, volgen r en uit:
x 2p y 2p
r
en
D
arctan
yp
xp
Definitie radiaal
Een radiaal (symbool: rad) is de hoek a waarbij de lengte van de boog bgD gelijk is aan de
straal r . Omdat de omtrek van een cirkel 2r is, is
360 o
2S
1 rad
x graden
360 o
6,28
57,32 o
x
˜ 2S rad
360 0
In de figuur op de vorige pagina is:
D rad
bgD
r
Veelvoorkomende waarden van sinus en cosinus
.
Tabel 4 Veelvoorkomende waarden van sin en cos
in graden
0o
30o
45o
60o
90o
In rad
0
/6
/4
/3
/2
Sin
0
½
½2=0,71
½3=0,86
1
Cos
1
½3=0,86
½2=0,71
½
0
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
De grafieken van ya = sin a en ya = cos a
Indien we in de basiscirkel aan het begin van deze paragraaf de straal r gelijk aan 1 maken, dan
geven sin D en cos D de uitwijking van P ten opzicht van x-as en de y-as. Als functie van zijn
dit de onderstaande grafieken.
1
sinus
0,5
cosinus
0,866
0
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
0,707
-0,707
-0,5
-0,866
-1
Figuur 39 Grafieken van sinus en cosinus; eenheid langs x-as is 2
Periodieke oplossingen
De sinus en cosinus zijn periodieke functie met periode 2 als de hoeken in radialen worden
uitgedrukt of met een periode van 3600 als dit in graden gebeurt. Uitgaande van een hoek in het
eerste kwadrant geldt:
als y1
sin D1 , dan is ook y1
sin(D1 2S ) en
y1
sin((S D1 ) 2S )
als y1
cosD1 , dan is ook y1
cos(D1 2S ) en
y1
cos(D1 2S )
Fase en gereduceerde fase
De fase drukt uit hoe vaak en hoe ver een periode verstreken is M
D rad
of
2S rad
D0
3600
,
De gereduceerde fase drukt uit hoe ver de laatste periode verstreken is: in de uitkomst voor worden alle cijfers voor de komma weggelaten.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Rekenregels
In de driehoek in het 1ste kwadrant is gemakkelijk te controleren dat:
sin(90 0 D )
cos D
cos(90 D )
sin D
0
sin 2 D cos 2 D
sin D
tan D
cos D
1
Op grond van spiegeling ten opzichte van een van de assen of ten opzichte van de oorsprong geldt
voor hoeken in andere kwadranten:
sin(S D )
sin D
cos(S D )
cos D
sin(S D ) sin D
sin( 2S D ) sin( D )
cos(S D ) cos D
cos(2S D ) cos(D )
sin( D )
cos(D )
sin D
cos D
Klik op de advertentie
LET OP: Actie loopt t/m 31-januari 2011
Prijswijzigingen en zet/drukfouten voorbehouden.
De Algemene Voorwaarden van Wireless Campus
BV zijn van toepassing.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Bijzondere relaties zijn:
º
ª1
º
ª1
2 sin « (D r E )» cos « (D B E )»
¼
¬2
¼
¬2
sin(D r E ) sin D cos E r cos D sin E
cos(a r E ) cos D cos E B sin D sin E
sin 2D 2 sin D cos D
sin D r sin E
cos 2D
cos 2 D sin 2 D
1
sin D
2
1 cos D
2
1
cos D
2
1 cos D
2
1.9 Oplossen van vergelijkingen
Het teken ‘=’ in een vergelijking betekent niet ‘er volgt een uitkomst’ maar drukt de gelijkheid
van het linkerdeel en het rechterdeel van de vergelijking uit. En die gelijkheid blijft gelden als je
links en rechts hetzelfde doet: met hetzelfde getal vermenigvuldigt, deelt, optelt of er op een
geoorloofde wijze een functie op toepast, zoals de logaritme nemen, tot een macht verheffen, een
sinuswaarde van neemt etc.
Een vergelijking met een onbekende
ƒ
Werk de haakjes weg en maak termen waarin x (of een en
andere grootheid) de enige onbekende is.
ƒ
Zet alle uitdrukkingen met x links van het = teken en zet de
overige rechts
Vereenvoudig opnieuw: maak 1 uitdrukking in x links van
het = teken en maak voor de rest 1 uitdrukking rechts van
het = teken. Pas links en rechts van het = teken zo nodig
een inverse of een andere functie toe.
Maak x vrij en bereken de waarde van x door links en rechts
van het = teken dezelfde functie toe te passen: wortels,
logaritme, macht, etc.
ƒ
ƒ
Kader 6 Werkwijze voor het oplossen van vergelijkingen
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Voorbeeld 1:
1
7
3
3
3 x 1 7 x 1
7
3
3 1
x 1 x 1 7 3
73 9
7
x 1 21 21
4
2
x 1 21
x 1 21
4
2
4 ˜ 21
x 1
42 Ÿ x 43
2
Los x op uit
Voorbeeld 2
10 2,3˜ x
Los x op uit 1,2 ˜ 10 3
10
2 , 3˜ x
1,2 ˜10
log(10 2 ,3˜ x )
2,3 ˜ x
(a
3
b
x
is oplosbaar als a ! 0 )
log 1,2 ˜10 3
(log 1,2 ˜10 3 )
x 1,3
Voorbeeld 3
Los x op uit log3 x log2x
2,74
log 3 log x log 2 log x
2,74
log( 2 ˜ 3) 2 log x
2,74 log 6 1,96
2 log x
log x
x
2,74
0,98
10 0, 98
9,55
Twee bijzonderheden bij het oplossen van een goniometrische functie zijn dat er – vanwege
symmetrie – twee oplossingen zijn en dat de oplossing periodiek zijn. Zie hiervoor paragraaf 8.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Voorbeeld 4
Los x op uit 1 2sin(3 x 4)
2,76
Voorwaarde oplossing: 1 d sin( 3 x 4) d 1
2,76 1
0,88
2
arcsin 0,88 1,08 rad
sin( 3 x 4)
3x 4
opl.1 :
3x 4 1,08 r n ˜ 2S
1,08 4 r n ˜ 2S
3
opl.2 :
x
3x 4
S 1,08 r n ˜ 2S
S 1,08 4 r n ˜ 2S
3
0,64 r n ˜ 23 S rad
Klik op de advertentie
x
0,97 r n ˜ 23 S rad
Auteursrecht afbeelding [newphotoservice], 2009 Gebruikt onder licentie van Shutterstock, Inc."
Tijd voor wat anders?
Metrojobs.nl heeft dé baan voor jou!
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Twee vergelijkingen met 2 onbekenden
Los x en y op uit:
2 x 3 y 16
3 x 4 y 14
Methode 1: door bewerking van coëfficiënten
2 x 3 y 16 0 (u3)
3 x 4 y 14 0 (u2)
ƒ
ƒ
6 x 9 y 48 0
6 x 8 y 28 0 ( trek af)
0 9 y ( 8 y ) 48 ( 28) 0
3
17 y 20 0 Ÿ y 1
17
3
16 0
17
9
8
12
2 x 16 3
17
17
ƒ
2 x 3 ˜1
Ÿ
x
6
4
17
ƒ
ƒ
ƒ
schrijf beide vergelijkingen in de
vorm ax by c 0 onder elkaar
bewerk de vergelijkingen zodanig
dat één variabele, bijvoorbeeld x, in
beide vergelijkingen dezelfde
coëfficiënt krijgt. Dat lukt altijd als
alle termen van één vergelijking met
de coëfficiënt uit de andere
vergelijking wordt vermenigvuldigd.
(Als alle termen van dezelfde
vergelijking met hetzelfde getal
worden vermenigvuldigd, verandert
dit niets aan de oplossing.)
trek de ene vergelijking van de
andere af
los y op
vul y in één vergelijking in
los x op
Kader 7 Coëfficiëntenmethode
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Methode 2: door substitutie
ƒ
16 3 y
2
16 3 y
3˜
4 y 14
2
48 9 y 2 ˜ 4 y 2 ˜14
17 y 48 28 0
17 y 20
x
y 1
ƒ
ƒ
3
17
ƒ
ƒ
16 3
x
9
17
8
17
2
12
2
6
4
17
ga uit van één vergelijking en
druk één variabele (bijv. x) uit
in de andere
vul de uitdrukking voor x in in
de andere vergelijking. Er
ontstaat nu één vergelijking
met één onbekende: y
los y op
vul y in in de eerder gevonden
uitdrukking voor x
los x op
Kader 8 Substitutiemethode
Tweedegraads graadsvergelijking
De algemene vorm van een 2de graadsvergelijking is:
yx
ax 2 bx c
Je kent hem misschien als abc-formule. Er zijn oplossingen voor y x
0 als voor de discriminant
geldt b 2 4ac t 0
x1, 2
De functie is symmetrisch om x
b r b 2 4ac
2a
b
.
2a
Dit betekent dat de functie y x voor deze waarde van x een minimum (of een maximum) heeft:
y max,min
c
b2
4a
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
50
b
2a
40
30
20
10
0
-10
0
4
8
12
16
20
-20
-30
Klik op de advertentie
Figuur 40 Kenmerken 2de graadsvergelijking
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Rekenen
Voorbeeld 1
Los x op uit x 2 16 x 40
x1, 2
0
(16) r (16) 2 4 ˜ 1 ˜ 40
2
16 r 256 160
2
x1
12,9
x2
3,1
8 r 24
Voorbeeld 2: verticale worp omhoog
Een voorwerp wordt vanaf een hoogte x
Neem g
yt
5 m met een snelheid v
10 ms -1 omhoog gegooid.
10 ms -2 . Op welk tijdstip en hoe hoog bereikt het zijn top?
1 2
gt v 0 t x 0
2
Omhoog is positief, dus g
10 ms -2 en y t
Het hoogste punt wordt bereikt als t
Dan is y max
b2
c
4a
10 2
5
4 ˜ (5)
b
2a
5t 2 10t 5
10
2 ˜ (5)
1s
10 m
1.10 Benaderingen
Bij producten
Als a en b beide groter zijn dan 1 en als b a , dan is zeker ook b 2 a 2 .
In de bijzondere producten in subsectie 2b wordt b 2 dan vaak verwaarloosd:
(a b) ˜ (a b) # a 2 2ab
( a b) ˜ ( a b ) # a 2
Bijvoorbeeld: 5,8 u 5,8
(6 0,2)(6 0,2)
6 2 2 ˜ 0,2 .. # 35,6
(fout = 0,04)
Bij machten
Een vergelijkbare benadering als hierboven wordt ook bij hogere machten toegepast, zoals in
uitdrukkingen die geschreven kunnen worden als
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
a ˜ 1 x a ˜ 1 x Rekenen
r
r
Als x klein genoeg is ten opzichte van 1, dan worden de 2de en hogere machten van x worden
vaak verwaarloosd. Veel gebruikte benaderingen zijn:
(1 x) r # 1 rx
(1 x) r # 1 rx
1
(1 x) r
1
(1 x) r
1 x r
# 1 rx
1 x r
# 1 rx
Bij kleine hoeken
In de wiskunde worden de functies sin en cos met de reeksen benaderd:
sin D
cos D
Hieruit volgt voor kleine D (in radialen):
D
1
D3
3!
D2
2!
D5
5!
D4
4!
...
...
sin D # D
cosD # 1
tan D # D
In veel gevallen is de eerste benadering voor hoeken tot 150 nog acceptabel.
r
b
l
c
Figuur 41 Benadering bij kleine hoeken
Bekijken we een deel van een cirkel met straal r en de booglengte l. Daarin wordt de rechthoekige
driehoek met rechthoekszijden b en c ingesloten. Bij kleine hoeken D gelden b # l en c # r .
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
2. Differentiëren, integreren,
differentiaalvergelijkingen
2.1 Functies
Een natuurkundige grootheid g kan uitgedrukt worden als een wiskundige functie f van een
variabele, bijvoorbeeld g f (t ) . De functie f drukt uit dat er voor elke mogelijke waarde van
Klik op de advertentie
variabele t één (ondubbelzinnige) waarde van f(t) is. Indien dit alleen maar geldt voor een eindig
interval, dan wordt dit interval bij de functie gegeven, bijvoorbeeld: t t 0 of t  N .
Het interval noemt men het domein van de functie, de verzameling van de mogelijke
functiewaarden f(t) heet het bereik. Men noemt f(t) de afhankelijke variabele en t de
onafhankelijke variabele.
Ambitieuze starter? Get Selected!
Student Select Recruitment is de specialist voor een ambitieuze eerste stap op de arbeidsmarkt. Wij adviseren,
begeleiden en geven richting aan afgestudeerde toptalenten. Student Select Recruitment biedt exclusieve
traineeships en startersfuncties.
Student Select heeft leuke, interessante starterfuncties bij de meest gewilde werkgevers in o.a. de sectoren:
financiële & zakelijke dienstverlening, FMCG, ICT en Media.
Je kunt terecht op verschillende functiegebieden zoals: Sales, Marketing, Financieel of Consultancy. Ben jij dit jaar
afgestudeerd als Bachelor of Master en geïnteresseerd in een snelle start van je carrière?
Schrijf je dan nu online in. Get Selected!
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
Symbolen
In de wiskunde op school werden bijna altijd y en x voor de afhankelijke en onafhankelijke
variabelen gebruikt. In de natuurkunde is dat niet gebruikelijk. Daar wordt gewerkt met veel
verschillende grootheden en om die uit elkaar te houden hebben ze vaste symbolen. Een lijst met
symbolen van basisgrootheden staat achter in dit boek. De tijd heeft als onafhankelijke variabele
altijd het symbool t . Voor de plaats in een rechthoekig assenstelsel gebruikt men x, y en z voor de
coördinaten. In de plaats-tijdfunctie is x de afhankelijke variabele.
Het symboolgebruik bij natuurkunde is hoofdlettergevoelig. De temperatuur is altijd hoofdletter
T.
Meerdere variabelen
De grootheid g kan afhankelijk zijn van meerdere variabelen, bijvoorbeeld t en x en m of nog
andere. Men schrijft dan g
f t , x, m of g t , x ,m , eventueel met de bijbehorende domeinen.
Bijvoorbeeld, bij golven op een wateroppervlak is de uitwijking u zowel van de plaats als van de
tijd afhankelijk, dus u(x,t). En dat geldt ook voor de temperatuurverdeling in een muur als aan één
kant de temperatuur verandert, dus T(x,t).
Limiet
De functie f (t ) heeft voor t
t1 een limiet L wil zeggen: f(t) nadert naar L als t nadert naar t1 .
Dit wordt geschreven als:
lim f t t ot1
L
Wiskundig gezien betekent dit dat we f(t) zo dicht bij L kunnen laten komen als we willen door t
maar dicht genoeg bij, maar ongelijk aan, t1 te kiezen.
Merk op dat dit in de natuur niet realistisch is. De natuur is eindig. Het heeft in de natuurkunde
geen betekenis om te praten over afstanden kleiner dan 10-35 m of tijdsverschillen kleiner dan 1043
s.
2.2 Differentiëren, afgeleide
Afgeleide, differentiaalquotiënt
De afgeleide of het differentiaalquotiënt van een functie f(t) in het punt t=T is gedefinieerd als de
limiet van het differentiequotiënt
'f
als 't o 0 :
't
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
df (t )
dt t
ª f (T 't ) f (T ) º
lim «
»¼
't o 0
't
¬
T
In de grafiek van f(t) is de afgeleide van f in het punt T de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in
het punt T. De afgeleide geeft aan hoe de waarde van een functie verandert in de buurt van een
bepaalde waarde van de onafhankelijke variabele.
f (t )
f T 't
'f
fT
't
t
T
Figuur 42 De grootheid g = f(t) tegen t
'f
een breuk is. Voor het differentiaalquotiënt geldt dit niet en daarom nadert die
't
niet naar oneindig als 't o 0 . Het ontstaat door het uitvoeren van een operatie op de functie en
Merk op dat
niet door het delen van twee grootheden df en dt. Om dit operatiekarakter te benadrukken wordt
deze notatie gebruikt
d
f (t ) .
dt
Afgeleide functie, differentiëren
De afgeleide functie (ook gewoon afgeleide genaamd) is de verzameling differentiaalquotiënten
voor alle waarden van variabele t. Het is een nieuwe functie. Het bepalen van deze afgeleide
functie heet differentiëren. De afgeleide van een functie f kan genoteerd worden met behulp van
een accent:
f'
df
dt
d
f (t )
dt
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
Puntnotatie
Nadeel hiervan is dat je er niet aan kunt zien wat de variabele is. Omdat we in de natuurkunde
werken met zoveel verschillende variabelen, is dat onhandig. Alleen als de variabele de tijd is
(altijd weergegeven door de letter t), dan gebruiken we de punt notatie:
f
df
dt
f
d2 f
dt 2
Door herhaaldelijk te differentiëren kunnen hogere afgeleiden verkregen worden, de tweede
afgeleide van f(t) is bijvoorbeeld:
d2 f
dt 2
d df
dt dt
d f
dt
f
Partieel differentiëren
Klik op de advertentie
Een grootheid kan van meer dan 1 variabele afhangen, bijvoorbeeld f(t,x). (staat er al eerder)
Hierdoor zijn in één punt meerdere afgeleiden mogelijk. De functie f(t,x) kan dan partieel, dat wil
zeggen naar één van de variabelen, worden gedifferentieerd. Daarbij behandelt men t als een
constante als de afgeleide naar x wordt bepaald en x als een constante bij het bepalen van de
afgeleide naar t.
Topbedrijven die naar jóu toekomen. Dat noemen wij innovatie.
Droom jij van een topbaan bij een multinational of de overheid? En zoek jij de beste start van je carrière?
Begin eerst hier: werkenbijdeloitte.nl.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
Partiële afgeleiden worden geschreven met speciale tekens, de kromme d’s ( w, niet G ):
w ( xt 2 )
wx
t2
en
w ( xt 2 )
wt
2 xt .
Regels voor differentiëren
Voor het nemen van een afgeleide van een functie bestaan eenvoudige regels, die we zonder
afleiding geven. Als f en h twee functies zijn met dezelfde variabele t en als c een constante is,
geldt voor het differentiëren van
d
df dh
cf r h c r
dt
dt dt
d
df
dh
cfh c h cf
dt
dt
dt
dh df
f
h
d § f ·
dt dt
¨ ¸
dt © h ¹
h2
een som, verschil
een product
een quotiënt
Kettingregel
Belangrijk is ook de kettingregel:
Als f een kettingfunctie is: f(t)=f(h(t)), dan geldt voor de afgeleide:
d
f (t )
dt
Bijvoorbeeld
d 1 x
dx
2
df (h) dh(t )
dh dt
d 1 x 21 x dx
d 1 x d 1 x
2
1
2
x
12
1 x
x
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
2.3 Integreren, primitieve
De primitieve functie (ook gewoon primitieve genaamd) is in zekere zin het omgekeerde van de
afgeleide. De primitieve van f(t) geven we aan met F(t). Als men F(t) differentieert, dan is f(t)
daarvan de afgeleide. Bijvoorbeeld:
f (t ) cos t
heeft als primitieve:
F (t ) sin t C
Integreren is het bepalen van de primitieve van een functie.
De primitieve functie noemt men ook de onbepaalde integraal:
F (t )
³ f (t )dt
Integratieconstante
In de primitieve is C de integratieconstante. Voor elke waarde van C is de afgeleide van F(t)
gelijk aan f(t), omdat de afgeleide van een constante gelijk aan 0 is. Deze constante is dus nodig
om de volledige verzameling primitieve functies weer te geven met dezelfde afgeleide f(t). In een
bepaalde situatie moet/mag C zodanig gekozen worden dat dit bij de situatie past door
bijvoorbeeld een beginwaarde vast te leggen.
Bijvoorbeeld, bij een snelheidsfunctie
vt
f (t )
gt v0
is de primitieve
xt
F (t )
1
2
gt 2 v0t C
Het ligt voor de hand C in overeenstemming te brengen met de waarde van x op t=0: C=x0.
Integraal als oppervlak
In het vwo heb je een integraal als een oppervlak leren kennen. In het diagram met de grafiek van
f t is ‘het oppervlak onder de grafiek’ voor het interval 't gelijk aan de integraal van de functie
over dit interval:
f gem 't
³ f dt
t
't
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
fgem
ft
t
Figuur 43 Integraal als oppervlak
Let op dat de eenheid van ‘het oppervlak’ hier niet m2 is, maar dat die volgt uit het product van de
afhankelijke en de onafhankelijke variabele.
In diverse onderdelen van de natuurkunde komen naast integralen over een interval (1 dimensie)
ook integralen over een oppervlak (2 dimensies) voor, of over een ruimtelijk gebied (3
dimensies). Het idee van de integraal als een ‘oppervlak’ moet je dan loslaten.
Een bepaalde integraal berekenen
Een integraal die begrensd is door een bepaald domein heet een bepaalde integraal. Indien van
f(t) het functievoorschrift bekend is, dan vindt men de bepaalde integraal door de primitieve
functie op te stellen en het verschil te berekenen tussen de eindwaarde en de beginwaarde van
deze primitieve:
t2
³ f (t )dt
t
F (t2 ) F (t1 )
F (t ) t2
1
t1
Bijvoorbeeld:
³
3
1
x 2 dx
1
3
3
x3 |
1
9 13
8 23
Achter de primitieve geeft een verticale streep aan dat het verschil moet worden berekend tussen
het einde van het domein (boven) en het begin (onder).
Het afleiden van de primitieve uit het functievoorschrift heb je vaak nodig bij het oplossen van
een belangrijk type vergelijkingen: de differentiaalvergelijkingen.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
2.4 Lijst met afgeleiden en primitieven
Tabel 5 Lijst van afgeleiden en primitieven
Afgeleide
Functie
Primitieve
0
0
C
0
a
at + C
nt n 1
tn
1 n 1
t (n z 1) + C
n 1
1
t2
1
t
ln | t | + C
1
t
ln t
ae at
e at
a cos at
sin at
a sin at
cos at
t ln t t
t ! 0 + C
1 at
e +C
a
1
cos at + C
a
1
sin at + C
a
Klik op de advertentie
.
Merk op dat je een gevonden primitieve functie kunt controleren door die te differentiëren.
We zoeken engineers die aan
een half woord genoeg hebben.
Croon is Nederlands grootste specialist in elektrotechniek. Al meer dan 130 jaar staan we
bekend om ons vakmanschap. Ook van onze mensen vragen we ervaring en kennis van zaken.
Dus ben jij een engineer die net zo makkelijk een logische v­ olgordediagram leest als de krant,
dan willen we je graag een a
­ an­bieding doen. Scan met je mobiele telefoon de QR code of kijk
op onze website voor de vol­ledige vacatures. We leven elektrotechniek werkenbijcroon.nl
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
2.5 Differentiaalvergelijkingen
Een vergelijking die minstens 1 afgeleide bevat, noemen we een differentiaalvergelijking. We
korten dit af met ‘DV’. Talloze natuurkundige problemen worden door met behulp van DV's
beschreven.
Er zijn verschillende types DV's en voor elk type zijn er aanbevolen, want succesvolle,
oplossingmethodes. Daarvan worden er hier 3 beschreven. We kiezen steeds t als de
onafhankelijke variabele. De oplossing bestaat altijd uit een verzameling functies. Door een
goede keuze van de integratieconstante selecteert je de functie die past bij het werkelijke
probleem.
Typering DV
Bij een specifiek systeem hoort vaak een bepaald type DV. Ook zijn oplossingsmethodes vaak
gebonden aan het type DV. Typering gebeurt op grond van de volgende criteria:
Orde
In de DV bepaalt de nde afgeleide met de grootste n welke orde de DV heeft. Wij beperken ons tot
DV’s van de eerste en de tweede orde. De algemene vorm is:
a0
d2 f
df
a1
a2 f
2
dt
dt
E
Lineair/niet-lineair
De DV is lineair als f en alle afgeleiden van f alleen in de 1ste macht voorkomen. Een DV
2
§ df ·
waarin f of ¨
¸ voorkomt is dus niet lineair.
© dt ¹
2
Homogeen/inhomogeen
Als in de vergelijking alleen termen voorkomen die van t afhankelijk zijn - dus als E
de DV homogeen. Dus m
d f
dt 2
0 - dan is
2
2
0 is homogeen, m
d f
dt 2
g is niet homogeen.
Oplossen van een lineaire DV
Sommige DV's kun je analytisch oplossen.
Daarvoor zijn de volgende methodes te gebruiken.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
Integratie
Oplossen door simpelweg te integreren is in enkele gevallen mogelijk, namelijk als er maar één
term met f of een afgeleide van f in de DV voorkomt.
Bijvoorbeeld:
d2 f
dt 2
g
met als oplossing:
df
dt
gt C1 o f (t ) 12 gt 2 C1t C2
Deze vergelijking beschrijft bijvoorbeeld de vrije val van een voorwerp.
Scheiden van variabelen
Het scheiden van variabelen is een iets algemenere methode dan de vorige, maar werkt alleen bij
sommige eerste orde DV's, bijvoorbeeld:
df
kf
dt
0
Dit is een homogene lineaire DV van de 1ste orde. Dit type kom je tegen bij radioactief verval, bij
de snelheid van bewegingen waarin alleen wrijving een rol speelt en bij het (ont)laden van een
condensator.
Het oplossen gaat als volgt:
Breng alle termen met f naar de ene en alle
termen met t naar de andere kant
df
f
kdt
Integreer beide kanten
³ f df ³ kdt
Bereken het resultaat van de integratie
ln f
Maak f vrij en kies C passend bij de situatie
f
1
kt C
e kt C
f (0)e kt
Soms kan een 2e orde lineaire DV herschreven worden als een 1e orde DV zodat deze toch door
scheiding van variabelen opgelost kan worden, bijvoorbeeld:
d2 f
df
a g
2
dt
dt
dh
ah g
dt
wordt met
h
df
dt
met als oplossing:
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
dh
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
(ah g )dt o
1
ln(ah g )
a
dh
ah g
1
dh ³ dt o
ah g
g 1 at aC
e at aC o h
e e
a a
dt o ³
t C o ah g
Deze vergelijking beschrijft bijvoorbeeld een vrije val met wrijving.
Karakteristieke vergelijking
Lineaire homogene DV's komen in de natuurkunde veel voor. De algemene oplossingsmethode
maakt gebruik van de karakteristieke vergelijking.
We nemen de algemene vorm voor een lineaire homogene DV van de 2e orde:
a0
d2 f
df
a1
a2 f
2
dt
dt
0
Het oplossen gaat als volgt:
Substitueer voor f een exponentiële functie, bijvoorbeeld e Dt .
Na invullen en differentiëren blijft staan:
Klik op de advertentie
D 2 a 0 e Dt Da1e Dt a 2 e Dt
(a 0D 2 a1D a 2 )eDt
0
Sign up for Vestas
Winnovation
Challenge now
- and win a trip around the world
Read more at vestas.com/winnovation
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
De e-macht kan buiten haakjes gehaald worden. Er geldt dus dat wat binnen de haakjes staat
gelijk moet zijn aan 0: a0D 2 a1 D a2
0.
Deze laatste 2de graadsvergelijking in D heet de karakteristieke vergelijking en heeft 2
oplossingen: D1, 2
a0 r a12 4a0 a2
2a1
De algemene oplossing is nu de som van beide mogelijke oplossingen:
f (t ) C1eD1t C2 eD 2t
Is er sprake van een inhomogene DV, dan is de bovengenoemde oplossingsmethode niet
toereikend. We kunnen hem echter wel gebruiken om de uiteindelijke oplossing te vinden,
vanwege de volgende stelling, die hier zonder bewijs wordt gegeven:
De algemene oplossing van een inhomogene lineaire DV is de som van:
1. de algemene oplossing van de homogene DV
2. een particuliere oplossing voor de inhomogene DV.
Een particuliere oplossing is een concrete oplossing, zonder integratieconstanten. Het vinden van
een particuliere oplossing is vaak wat gepuzzel.
Voorbeeld: een massaveersysteem
Dit systeem wordt beschreven door de volgende DV:
d 2x
J x
dt 2
g
Een particuliere oplossing van deze inhomogene DV is:
g
x(t )
J
De oplossing van de homogene DV vinden we m.b.v. de karakteristieke vergelijking:
D2 J
0
Je ziet: we vinden op deze manier heel snel en elegant een oplossing voor D , als we maar de
wortel konden nemen van een negatief getal D
toekennen aan
r k . Dat kan echter alleen als we betekenis
1 . Dit gebeurt in de theorie van de complexe getallen, waar
i
1
en
e iM
cos M i sin M .
Maar dit valt buiten het bestek van dit boek.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
Methode van Euler
De differentiaalvergelijking
d 2x
dt 2
E § dx ·
2
¨ ¸ is niet lineair, omdat de eerste afgeleide in het
m © dt ¹
kwadraat voorkomt. Een algemene oplossing vinden lukt nu niet. Het is wel mogelijk de DV voor
een bepaald geval door numeriek integreren op te lossen. Een eenvoudige methode hiervoor is de
methode van Euler.
Zie het boek b, hoofdstuk I.2 over ‘rechtlijnige bewegingen’ voor de methode en een voorbeeld.
Klik op de advertentie
what‘s missing in this equation?
You could be one of our future talents
MAERSK INTERNATIONAL TECHNOLOGY & SCIENCE PROGRAMME
Are you about to graduate as an engineer or geoscientist? Or have you already graduated?
If so, there may be an exciting future for you with A.P. Moller - Maersk.
www.maersk.com/mitas
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
3. Vectoren
3.1 Vectoriële grootheden
Tabel 6 Vectorgrootheden
Afstand, temperatuur, volume, massa, energie zijn
voorbeelden van scalaire grootheden. Ze hebben alleen een
grootte (met een bepaalde eenheid).
Veel grootheden hebben ook een richting. Een voorbeeld is de
verplaatsing. De nieuwe plaats van een voorwerp weet je pas
als je én de richting én de grootte van de verplaatsing kent.
Grootheden die een grootte en een richting hebben, heten
vectoren.
Vectoren worden aangeduid met een pijl boven het symbool
G
van de grootheid. Zo noteert men verplaatsing als 'r .
De grootte van een vector wordt eenvoudig zonder pijl
G
aangeduid, als 'r , of met rechte strepen 'r .
In dit hoofdstuk behandelen we de rekenregels voor vectoren.
De meeste zijn in het voortgezet onderwijs toegepast zonder
erbij stil te staan.
Symbool
G
'r
G
v
G
a
G
F
G
p
G
S
G
r
G
M
G
Z
G
L
G
E
G
B
.
Grootheid
Verplaatsing
Snelheid
Versnelling
Kracht
Impuls
Stoot (krachtstoot)
Arm
Moment
Hoeksnelheid
Impulsmoment
Elektrische
veldsterkte
Magnetische
inductie
Let op: scalair zijn
Verschuiven
Twee vectoren zijn gelijk als hun grootte en richting gelijk
zijn. Een vector verandert niet door een verschuiving.
G
A
G
B als A
G G
B en A en B dezelfde richting hebben.
G
A
s
Afgelegde weg
v
Gemiddelde
baansnelheid
I
Stroomsterkte
Flux
G
B
Figuur 44 Verschuiven
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
Ontbinden in componenten
Elke vector kan worden gesplitst in twee willekeurige vectoren en dus ook in twee vectoren die
evenwijdig zijn aan de assen van het gekozen assenstelsel. Men noemt dit ontbinden in
componenten. Het ontbinden in componenten gaat aan bijna alle bewerkingen met vectoren
vooraf.
G
A
G
Ay
G
Ax
Figuur 45 Vectoren beschrijven
G
Wij gaan in dit boek uit van een rechthoekig assenstelsel ( x, y ) . De vector A in bovenstaande
G
figuur kan men ontbinden in een vector Ax evenwijdig aan de x-as met de lengte Ax en een vector
G
Ax evenwijdig aan de y-as met de lengte Ay .
Er geldt voor de grootte:
Klik op de advertentie
A
Ax2 Ay2
OC&C Strategy Consultants adviseert als internationale
adviesfirma het topmanagement van vooraanstaande, veelal
Ben je geïnteresseerd in een uitdagende carrière of in een
van onze Strategy Courses, neem dan contact met ons op of
beursgenoteerde ondernemingen bij complexe strategische
vraagstukken. Verdere groei van de firma is noodzakelijk om
al onze cliënten te kunnen bedienen. Ook dit jaar hebben wij
bezoek onze website voor meer informatie.
weer ruimte om een selecte groep van zeer getalenteerde
academici zorgvuldig op te leiden en te coachen.
Weena 157 | 3013 CK Rotterdam
010 217 5555 | www.occstrategy.com
OC&C Strategy Consultants
Jonge professionals in ons team ervaren een onvergelijkbare
persoonlijke en professionele ontwikkeling. Een MBA aan
een bekende business school in Europa of Amerika kan deel
uitmaken van je loopbaan. Als OC&C-consultant werk je met
uiterst ambitieuze cliënten die prominent in hun branche
zijn. Er zijn ruime mogelijkheden voor internationale staffing.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
G
en voor de hoek M tussen de x-as en A :
M
arctan
Ay
Ax
Ook geldt
Ax
A ˜ cos M
en
Ay
A ˜ sin M
Eenheidsvector
G
Om de relatie tussen de vector A en de scalaire grootheden Ax en Ay correct te beschrijven,
moeten vectoren evenwijdig aan de x-as en de y-as worden gedefinieerd. Dit gebeurt
respectievelijk met de eenheidsvectoren iˆ en ĵ . De eenheidsvectoren hebben per definitie de
lengte 1 en geen eenheid en hebben daardoor geen invloed op de berekening van de lengte of de
G
hoek. De vector A in de figuur ‘vectoren beschrijven’ wordt geschreven als
G
A
G
G
Ax Ay
Ax iˆ Ay ˆj
z
k̂
ĵ
y
iˆ
x
Figuur 46 Eenheidsvectoren
Een driedimensionale ruimte beschrijven wij in dit boek met een rechthoekig assenstelsel
( x, y, z ) en drie eenheidsvectoren (iˆ, ˆj , kˆ) . Volgens afspraak werken we met een
rechtsdraaiend assenstelsel. De eenheidsvector k̂ past volgens de rechterhandregel bij iˆ en ĵ .
G
Een veel gebruikte notatie voor vectoren is A
( Ax , Ay , Az )
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
3.2 Optellen en aftrekken
Optellen, somvector
G
G
De somvector van twee vectoren A en B vind je grafisch door
ƒ
G
G
B te laten aansluiten op A ,
ƒ
de vector te nemen vanaf het beginpunt van A naar het eindpunt van B :
G
G
C
G
G G
A B
G
G
Bij het optellen mag de volgorde worden verwisseld, dus A B
G
G
G
G G
B A.
Men kan A en B een parallellogram laten vormen, C is dan de diagonaal vanuit het
gemeenschappelijke beginpunt.
G
C
G
B
By
Cy
G
A
Ay
Ax
Bx
Cx
Figuur 47 De somvector
Ga voor het berekenen de somvector als volgt te werk:
1. ontbind beide vectoren in componenten,
2. tel de componenten langs de x-as op en doe hetzelfde langs de y-as,
3. schrijf de somvector met behulp van de eenheidsvectoren,
4. bereken de lengte van de somvector en de hoek die de somvector maakt met de x-as.
G
Voor C
G G
A B houdt dit in
G
C
G G
A B
Ax iˆ Ay ˆj Bx iˆ By ˆj
( Ax Bx )iˆ ( Ay By ) ˆj
Cx iˆ C y ˆj
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
Dus
1. bepaal Ax , Ay , B x en B y - eventueel met de sinus- en cosinusformule
2. bepaal C x
G
3. schrijf C
Ax B x en C y
Ay B y
C x iˆ C y ˆj
4. substitueer C x en C y in de formules voor de lengte en de richting.
Toepassingen
Klik op de advertentie
Enkele veelvoorkomende situaties waarbij somvectoren aan de orde zijn:
ƒ als je het resultaat van verschillende verplaatsingen wilt weten
ƒ als je de snelheid moet bepalen op een zeker tijdstip
o na een ‘horizontale worp’
o van iets dat in een medium beweegt terwijl dat medium zelf beweegt
ƒ als je een resulterende kracht op een lichaam moet berekenen
ƒ als je de elektrische veldsterkte wilt bepalen in de buurt van geladen deeltjes
ƒ als je het magnetische veld van twee of meer magneten of elektrische stromen wilt
kennen
ONTDEK TNO
WIJ ZOEKEN HIGH POTENTIALS MET TOMELOZE ENERGIE
OM SAMEN INNOVATIEVE OPLOSSINGEN TE VINDEN VOOR
ONTDEK TNO
VRAAGSTUKKEN
VAN MET
VANDAAG
MORGEN.
WIJ
ZOEKEN HIGH POTENTIALS
TOMELOZEEN
ENERGIE
OM SAMEN INNOVATIEVE OPLOSSINGEN TE VINDEN VOOR
VRAAGSTUKKEN VAN VANDAAG EN MORGEN.
WERKENBIJTNO.NL
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
Voorbeeld: zwemmer
Iemand zwemt naar de overkant van een rivier en is op elk moment loodrecht op de oevers
gericht. Zijn snelheid loodrecht op de oever is 0,8 ms -1 . De stroomsnelheid van het water is
overal 0,1 ms -1 . Bereken de hoek tussen de baan van de zwemmer en de kortste verbindingslijn
tussen de oevers.
vy
vx
M
oever
Figuur 48 Zwemmer
Uitwerking:
G
We kiezen de oever als de x-as en een loodlijn daarop als de y-as. De snelheid v van de
zwemmer ten opzichte van iemand die op de oever staat te kijken wordt bepaald door 2
componenten:
0,1 ms 1 en v y
0,8 ms -1 .
G
De vectorvoorstelling is v vx ˜ iˆ v y ˜ ˆj ms -1
vx
De hoek M volgt uit M
arctan
vx
vy
arctan
1
Ÿ M
8
70
Aftrekken, verschilvector
Er zijn twee manieren om de verschilvector grafisch te bepalen:
G
G
G
G
G
1. De verschilvector A B kan worden opgevat als de somvector A ( B) . De vector B is
G
even groot als B en heeft de tegengestelde richting.
ƒ
ƒ
G
G
laat B aansluiten op A
volg de oplossingsmethode voor de somvector die hierboven is beschreven.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
G
B
G
C
G
B
G
A
G
A
G
B
G
C
Figuur 49 Verschilvector tekenen
G
G
1. Hebben in een tekening de vectoren A en B al hetzelfde beginpunt, bedenk dan dat
G G
G
G
A B de vector is die bij B moet worden opgeteld om A te krijgen.
G
G
G
ƒ C is de vector die gaat van de punt van B naar de punt van A . En niet omgekeerd!
Het berekenen van de verschilvector is het makkelijkst met behulp van componenten.
G
Voor C
G G
A B geldt C x
Ax B x en C y
Ay B y .
Voorbeeld: helikopter
Een helikopter vliegt bij een zuidenwind van 10 ms-1 in een rechte lijn naar het noordoosten. In
die richting is de snelheid ten opzichte van de grond 60 ms-1. De lengteas van de helikopter maakt
een hoek M ten opzichte van het noordoosten. Bereken M .
noord
hx
G
h
hy
G
v
D
o
w y 45
oost
Figuur 50 Helikopter
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
Uitwerking:
G
De snelheid v in noordoostelijke richting die is gegeven, is de som van twee vectoren:
G
- de snelheid h van de helikopter ten opzichte van de lucht en
G
- de snelheid w waarmee de helikopter met de wind meedrijft. Deze vector is ook gegeven.
G
G
De lengteas van de helikopter heeft dezelfde richting als de verschilvector van v en w .
We kiezen de x-as naar het oosten en de y-as naar het noorden. Dan is de gevraagde hoek
M
D 45 o .
Er geldt:
vy
vx
Nu is hx
v cos 45
vx
0
1
2 ms -1
2
42 ms -1 en h y
De hoek D volgt uit D
Klik op de advertentie
60 ˜
arctan
42 ms -1 .
v y wy
hx
hy
arctan
42 10
42
32
32 ms -1
53 0
Ÿ M
80
Doe mee aan de Vitae
Talent Awards!
Vitae is op zoek naar het mooiste en meest bijzondere HBOafstudeerprojecten Bouwkunde en Civiele Techniek van 2011. Wil je
meestrijden om een van de gerenommeerde Vitae Talent Awards?
Meld je dan nu aan! De winnaars worden bekend gemaakt tijdens
Celebrate Work: Talent! op 6 oktober 2011.
Kijk op www.celebratework.nl voor alle informatie en spelregels over
deelname aan de Talent Awards en informatie over Celebrate Work:
Talent! Ontmoet nieuw talent, ga in gesprek met ervaren vakgenoten en
laat je uitdagen en inspireren door het netwerk van Vitae!
www.celebratework.nl
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
3.3 Vermenigvuldigen
Product met een scalar
Het vermenigvuldigen van een vector met een positief getal heeft geen invloed op de richting,
alleen op de lengte:
G
aA a Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ
Een negatieve scalar keert de richting om, bijvoorbeeld in de wet van Hooke:
G
F
G
D ˜ x
Inproduct
Het inproduct is een product tussen twee vectoren met een scalar als resultaat.
Het symbool is x , vandaar ‘dot product’ in het Engels.
G
G
In een driedimensionale ruimte is het inproduct van B en C :
A
G G
BxC
Bx C x B y C y Bz C z
G
B
M
G
C
Figuur 51 Inproduct
Mag het assenstelsel vrij worden gekozen, neem dan de x as langs de ene vector en
de y as loodrecht daarop.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
G
Met de x as langs C is:
A
G G
BxC
Bx C x B y ˜ 0
Bx C x
of
A
BC cos M
Het inproduct heeft alleen een waarde z 0 als de twee vectoren een component in dezelfde of in
tegengestelde richting hebben. Staan de vectoren loodrecht op elkaar dan is hun inproduct gelijk
aan 0 .
Rekenregels inproduct
G
A x B AB cos M
G G
A x A A2
G G G G
B x A Ax B
G G G G G G G
BC x A Bx AC x A
G
G
G G
B x (DA) D ( B x A)
iˆ x iˆ 1 ˆj x ˆj 1 kˆ x kˆ 1
iˆ x ˆj
0
ˆj x kˆ
0 kˆ x iˆ
0
Toepassingen
De arbeid verricht door een kracht op een voorwerp is een scalar en wordt gegeven door het
inproduct van de kracht op het voorwerp en de afgelegde weg W
G G
F xs
Fs cos M .
x
De zwaartekracht verricht geen arbeid op een voorwerp dat langs een horizontale weg
beweegt (cos M 0) .
x
De spankracht in de touwen van een schommel verricht geen arbeid omdat deze kracht
loodrecht op de bewegingsrichting van de schommel staat (cos M 0) .
x
De energie van een geladen deeltje verandert niet als het beweegt in een
equipotentiaalvlak. De elektrische veldsterkte (en kracht) staan loodrecht op dit
vlak cos M 0 .
In het vwo leert men dat de magnetische flux door een omsloten oppervlak in een homogeen veld
wordt gegeven door
) BA cos D
G
met D de hoek tussen B en de loodlijn op het oppervlak. Voor het berekenen van de flux is dat
voldoende. In de wetenschappelijke notatie moet echter tot uitdrukking komen dat
G
G
zowel B als A vectoren zijn en hun product een scalair inproduct is:
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
)
G
G
B
x
d
A
³³
Het dubbele integraalteken geeft aan dat geïntegreerd wordt in 2 dimensies.Een oppervlakte-
G
element dA is een vector loodrecht op het oppervlak.
Uitproduct
Het uitproduct is een product tussen twee vectoren, met als uitkomst weer een vector. Voor het
G
G
uitproduct gebruikt men het teken u , zoals in A u B . De Engelse term is ‘cross product’.
Richting uitproduct
G
G
G
G
De richting van A u B staat loodrecht op die van A en B en kan gevonden worden met de
rechterhandregel:
ƒ draai de eerstgenoemde vector over de kleinste hoek naar de tweede vector
ƒ krom de vingers van de rechterhand in de draairichting
ƒ dan geeft de duim de richting van het uitproduct.
Klik op de advertentie
Mathematiker talanxieren jetzt ihren Karrierestart.
Profitieren Sie vom Wachstum der drittgrößten deutschen Versicherungsgruppe, die
auch in Europa sehr erfolgreich ist. Setzen Sie Maßstäbe für Ihre individuelle Entwicklung.
Mit einem Wort: Talanxieren Sie Ihren Karrierestart.
Hochschulabsolventen (m/w)
der Mathematik gesucht, die von Anfang an tatkräftig mitgestalten wollen.
Wir bieten Ihnen ein pulsierendes Umfeld, eine professionelle Unterstützung Ihrer Teamkollegen, ein gutes Arbeitsklima und sehr gute Weiterbildungsmöglichkeiten zum Aktuar.
Wir setzen auf Ihr Talent, mathematische Fragestellungen in praktische Lösungen umzusetzen.
Wir freuen uns auf Ihre Bewerbung!
karriere.talanx.de
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
Verwisselen van de volgorde heeft een vector in de tegengestelde richting als uitkomst, dat wil
zeggen: met een minteken. Dus pas op!
G
B
D
G
A
Figuur 52 Uitproduct
Grootte uitproduct met een sinus
In tegenstelling tot bij het inproduct, waar alleen de (anti)parallelle componenten effectief zijn,
zijn bij het uitproduct alleen de loodrecht op elkaar staande componenten effectief. Voor de
G
G G
A u B , met D de kleinste hoek tussen beide vectoren, geldt:
C AB sin D
grootte van het uitproduct C
Determinantmethode
Het uitproduct kan ook bepaald worden door gebruik te maken van de eenheidsvectoren.
Hiervoor grijpen we terug op het plaatje voor de eenheidsvectoren in een rechtsdraaiend,
rechthoekig assenstelsel.
z
k̂
ĵ
y
iˆ
x
Figuur 53 Eenheidsvectoren
Hierin is per definitie iˆ u ˆj
Controleer dat ook geldt:
kˆ
ˆj u kˆ
iˆ en kˆ u iˆ
ˆj en dat iˆ u kˆ
ˆj
(Geheugensteun: houd de volgorde i, j, k, i.. aan.)
G
G
Uitschrijven van A u B m.b.v. eenheidsvectoren geeft nu:
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
G
C
G G
Au B
( Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ) u ( Bx iˆ By ˆj Bz kˆ)
( Ay Bz Az By )iˆ ( Az Bx Ax Bz ) ˆj ( Ax By Ay Bx ) kˆ
Waarom gebruikt men voor ‘cross product’ het teken ‘ u ’?
Analyseer de volgende schrijfwijze, waarin gebruik wordt gemaakt van determinanten, en ga na
welke coëfficiënten een bijdrage leveren aan C x en welke – na het cyclisch verwisselen van de
indices – aan C y .
C x iˆ
C y ˆj
C kˆ
iˆ
ˆj
kˆ
Ax
Ay
Az
Bx
By
C x iˆ
ˆj
kˆ
.... Ay
Az
iˆ
kˆ
iˆ
.... Az
Ax
ˆj
C y ˆj
Bz
.... B z B x
.... B y B z
G
G
Bedenk dat de coëfficiënten van A en B langs de x-as geen bijdrage leveren aan C x omdat de
z
uitproducten van iˆ met ˆj en kˆ nul zijn. Controleer dit zelf.
Duidelijk is ook dat –indien mogelijk- het berekenen van het uitproduct met de sinusfactor
eenvoudiger is.
Rekenregels uitproduct
iˆ kˆ u iˆ
ˆj
iˆ u iˆ 0 ˆj u ˆj 0 kˆ u kˆ
G G
A u B AB sin D
G G
G
A u B B u A
G
G G
G
A u DB D ( A u B )
0
iˆ u ˆj
kˆ
ˆj u kˆ
Toepassingen
Zonder het te beseffen werken scholieren met het vectoriële uitproduct. Bijvoorbeeld voor het
benoemen van de richting van het krachtmoment ( M Fr ) of van de richting van de Lorentzkracht bij een bewegende lading ( F Bqv ) of bij een stroomvoerende draad( F BIl sin D ). In
het vwo wordt de richting echter los van de grootte behandeld en niet scherp door de gebruikte
formules gedefinieerd. Ook is de volgorde waarin de grootheden worden genoemd ongelukkig.
Hieronder volgen enkele voorbeelden van toepassingen waar het uitproduct expliciet benoemd
wordt. In mechanicacolleges over rotaties (ook bij bouwmechanica en biomechanica) en bij de
colleges over elektriciteit en magnetisme zullen geregeld uitproducten aan de orde komen.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
3.4 Differentiëren
Differentiëren naar de tijd
Differentiëren naar de tijd is een scalaire operatie. Het differentiëren van een vectorgrootheid naar
de tijd levert opnieuw een vector op.
G
dq
dt
I
en
dp
dt
G
F
Differentieer eerst elke component en bepaal daarna de vectorsom:
G
dp
dt
d
p x iˆ p y ˆj p z kˆ
dt
dpx ˆ dp y ˆ dpz ˆ
i
j
k
dt
dt
dt
Fx iˆ Fy ˆj Fz kˆ
G
F
Klik op de advertentie
Bij pool- en bolcoördinaten zijn niet alle eenheidsvectoren altijd constant en moet bij het
differentiëren de kettingregel worden toegepast.
Join our green
innovation engine!
At Purac, we have a rich history and a bright future. Innovation is in our blood;
we have been leading the way for almost 80 years, thanks to our ability to constantly develop new food
preservatives and green chemicals. We are not only working on the company’s future, but also take
responsibility to improve the quality and sustainability of life.
Purac operates production plants in the Netherlands, the USA, Spain, Brazil and Thailand and markets its
products through a worldwide network of sales offices and distributors.
We are selected in 2010 and 2011 by the CRF as one of the Top Employers of the Netherlands.
www.purac.com/jobss
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
Rekenregels differentiëren naar de tijd
G
G
d G G
dA dB
( A B)
dt
dt dt
G
G dE
d G
dA
( E A) A
E
dt
dt
dt
G
G
G dB
d G G
dA
( A x B)
x B Ax
dt
dt
dt
G
G
d G G
dA G G dB
( A u B)
u B Au
dt
dt
dt
Nabla-operator: differentiëren naar de plaats
Grootheden waaraan in elk punt van een ruimte een waarde kan worden toegekend heten
veldgrootheden en deze grootheden kan men differentiëren naar de plaats. Je differentieert dan
afzonderlijk langs elke as van het assenstelsel. Deze operatie heeft een richting en wordt als een
G
vector geschreven. Het symbool is ’ (Hamiltonoperator of Nabla; Engels ‘Del operator’):
G
’
d ˆ d ˆ d ˆ
i
j k
dx
dy
dz
Er zijn met de nabla-operator 3 mogelijkheden:
Gradiënt
G
o
De gradiënt in een scalair veld U (symbool ’U of grad U ; ook in het Engels).
G
’U
dU ˆ dU ˆ dU ˆ
i
j
k
dx
dy
dz
Hierbij is de veldgrootheid een scalar, bijvoorbeeld: de hoogte in het landschap (2 dimensionaal)
en de temperatuur in de atmosfeer (3 dimensionaal). De uitkomst is een vector. De vector geeft
aan in welke richting de veldgrootheid het sterkst verandert.
In de natuurkunde voor het vwo komt een gradiëntoperatie voor bij de beschrijving van het
elektrische veld (homogeen veld, 1 dimensie):
E
dV
dx
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Vectoren
G
In woorden: de elektrische veldsterkte is de negatieve gradiënt van de potentiaal. Als x loodrecht
op het equipotentiaalvlak staat, dan is
Divergentie
dV
dy
0 en
dV
dz
0.
G
G
De divergentie is het inproduct van ’ met een vectorveld U .
G
G
Het symbool is div U of ’U . In het Engels spreekt men van divergence. De uitkomst is een
scalar.
G G
’ xU
dU x dU y dU z
dx
dy
dz
Een voorbeeld van een vectorveld zijn de windrichtingen op een weerkaart (2 dimensionaal). En
ook het elektrische en magnetische veld zijn vectorvelden. In het elektrische veld heeft de
divergentie van de veldsterkte de volgende betekenis:
G G
’xE
Q
H0
De divergentie geeft aan of op het gehele oppervlak dat een ruimte omsluit evenveel veldlijnen
G
G
inkomen als er uitgaan. Als ’ x E ! 0 , dan wordt een positieve lading omsloten.
G
G
Voor het magnetische veld geldt altijd ’ x B 0 . Want er bestaan geen magnetische monopolen
en hierdoor keren altijd evenveel veldlijnen op de zuidpool van de magneet terug als op de
noordpool vertrekken.
Rotatie
G
G
De rotatie is het uitproduct van ’ met een vectorveld U .
o
G
o
Het symbool is rot of ’ u , in het Engels curl . De uitkomst is een vector loodrecht op de
veldgrootheid.
G G
’ uU
(
dU z dU y ˆ dU x dU z ˆ dU y dU x ˆ
)i (
)j(
)k
dy
dz
dz
dx
dx
dy
Een voorbeeld dat velen wel ‘in woorden’ kennen, is
G
dB
dt
G G
’u E
Dit is de inductiewet van Faraday: een verandering van het magnetische veld wekt een elektrisch
G
G
veld op en kan leiden tot een wervelstroom. Een vectorveld waarin ’ u A
wervelvrije ruimte.
0 noemt men een
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Tabellen
Tabellen
Grieks alfabet
Zie tekenset Word: > Insert > Symbol > Greek – basic > toelichting symbool
Basisgrootheden SI
Grootheid
Symbool
Eenheid
Symbool
Lengte
A
meter
m
Massa
M
kilogram
kg
Tijd
t
seconde
s
stroomsterkte
I
Ampère
A
temperatuur
T
Kelvin
K
Lichtsterkte
I
candela
cd
hoeveelheid stof
N
Mol
mol
Voorvoegsels
voorvoegsel
Naam
voorvoegsel
naam
10-1
d
Deci
101
da
deca
10-2
c
Centi
102
h
hecto
10-3
m
Milli
103
K
Kilo
10-6
Micro
106
M
Mega
10-9
n
Nano
109
G
Giga
10-12
p
Pico
1012
T
Tera
10-15
f
Femto
1015
P
Peta
10-18
a
Atto
1018
E
Exa
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Tabellen
Constanten e.a. numerieke waarden
Naam
Symbool
Waarde
maarde = 5,9742.1024 kg
Aarde massa
Straal
Raarde = 6,371.106 m
afstand tot de zon
Raarde-zon = 1,496.1011 m
afstand tot de maan
Raarde-zon = 384,5.106 m
g
9,81 m.s-2
Absolute nulpunt
K
0 K = - 273,15.. 0C
Atomaire massa-eenheid
u (amu)
1,660538.10-27 kg
Valversnelling
Atoomstraal 1H-atoom (Bohr)
5,29177.10-11 m
Avogadro (getal van )
NA
6,022141.1023
Boltzmann (constante van)
k
1,380650.10-23 J.K-1
Coulomb (elektrische krachtconstante)
f = 1/40
8,987551.109 Nm2C-2 (vacuüm)
Elektronvolt
eV
1,602176.10-0 eV
Elementaire ladingshoeveelheid
e
1,602176.10-19 C
Gasconstante (universele -)
R
8,314472 J.K-1.mol-1
Gravitatieconstante (- van Newton)
G
6,673.10-11 Nm2kg-2
Lichtsnelheid (vacuüm)
c
2,997924.108 m.s-1
mmaan = 73,5.1021 kg
Maan massa
Rmaan = 1,738.106 m
Straal
me
9,109381.10-31 kg
Proton
mp
1,672621.10-26 kg
Neutron
mn
1,674927.10-26 kg
Massa elektron
Massa-energieequivalent (1u.c2)
931 MeV
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Permittiviteit (elektrisch veld)
0
8,854187.10-12 F.m-1 (vacuüm)
Premeabiliteit (magnetisch veld)
0
4.10-7 Wb.m-2 (vacuüm)
Planck (constante van)
h
6,626068.10-34 Js
Standaard atmosferische druk
patm
101,325 kPa
Stefan – Botzmann (constante van)
5,670400.10-8 Wm-2K-4
Wien (constante van)
kW
2,8978.10-3 mK
Zon massa
Mzon = 1,989.1030 kg
Straal
Rzon = 6,96.108 m
uitgestraald vermogen
P = 3,8.1026 W
temperatuur oppervlak
T = 5780 K
zonneconstante (buiten atmosfeer)
I = 1,40 kW.m-2
zonneconstante (aardoppervlak)
I 1 kW.m-2
De energiemarkt heeft
de toekomst!
Klik op de advertentie
Tabellen
De energiemarkt ontwikkelt
zich razendsnel.
En Nuon ontwikkelt mee.
Al deze ontwikkelingen zorgen voor
ongekende mogelijkheden in je
loopbaan. Ook voor jou als (bijna)
afgestudeerde HBO’er of academicus.
Want Nuon heeft interessante
traineeships en aantrekkelijke stages
en startersfuncties op het gebied van
management, sales, finance, techniek
en ICT.
En heb je internationale aspiraties?
Nuon is onderdeel van de Zweedse
Vattenfall Group. Daarmee zijn er volop
internationale carrièremogelijkheden
binnen ons bedrijf. Kijk voor meer info
op www.nuon.nl/werken.
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon
Natuurkundeboek B
Tabellen
Enkele specifieke Engelse termen
Afgelegde weg
Afgeleide
Total displacement
Derivative
Baansnelheid (gemiddelde)
Begin-(voorwaarde/waarde)
Speed
Initial (condition/value)
Dynamische- (wrijving)
Kinetic (friction)
Hefboom (arm)
Helling (richtingscoëfficiënt)
Lever (arm)
Slope
Impuls
Impulsmoment
Momentum
Angular momentum
Momentane (...)
Moment (van een kracht)
Instantaneous (...)
Torque
Raaklijn
Rolwrijving
Tangent
Rolling friction
Snelheid (momentaan)
Stoot (krachtstoot)
Velocity
Impulse
Verplaatsing
Vormweerstand
Net displacement
Drag
Wrijving
Friction
Gratis ebooks | Digitale boeken downloaden | Bookboon