Opdracht Havo-4 wb1,2: Regelmatige veelhoeken

Regelmatige veelhoeken
Groepswerk voor 2 (evt. 3) personen
In deze opdracht ga je kijken naar regelmatige veelhoeken. Je gaat onderzoeken of je iets kunt
zeggen over de hoeken in een regelmatige veelhoek en of je formules kunt maken van
oppervlakte en omtrek.
Wiskundig onderzoek bestaat vaak uit de volgende stappen (plan van aanpak):
 Reken eerst bij een aantal voorbeelden door (te beginnen bij de makkelijke voorbeelden).
 Zet je resultaten in een tabel.
 Zoek naar de regelmaat en beschrijf deze in woorden.
 Maak een formule bij de regelmaat die je gevonden hebt.
Die stappen gaan we ook doorlopen en we beginnen bij (zowat) de makkelijkste regelmatige
veelhoek: de gelijkzijdige driehoek.
1) De driehoek:
a) Teken een regelmatige (dus gelijkzijdige) driehoek met zijde 6 cm.
b) Wat is de som van alle hoeken samen?
c) Wat is het aantal graden per hoek?
d) Wat is de omtrek?
e) Bereken de oppervlakte. Geef een duidelijke berekening.
We gaan verder met de volgende regelmatige veelhoek: de regelmatige vierhoek, ook wel,
omdat hij zo regelmatig is, vierkant genoemd.
2) De vierhoek:
a) Teken een regelmatige vierhoek met zijde 6 cm.
b) Wat is de som van alle hoeken samen?
c) Wat is het aantal graden per hoek?
d) Wat is de omtrek?
e) Bereken de oppervlakte.
Nu wordt het wat moeilijker: de regelmatige vijfhoek. Die is wat
lastiger te tekenen. Wil je een mooie regelmatige vijfhoek
tekenen, dan is het handig om met de middelpuntshoek te
werken. Zie in de schets punt M. Om een mooie tekening te
maken berekenen we eerst de middelpuntshoek M (de hoek die
je maakt als je van een hoekpunt naar M gaat en dan terug naar
een naastgelegen hoekpunt, bijv.  AMB).
3) De vijfhoek:
a) Laat met een berekening zien dat de middelpuntshoek bij een vijfhoek 72o is.
b) Wat is het aantal graden per hoek van de veelhoek (bijv. EAB)? Geef een duidelijke
berekening.
c) Wat is de som van alle vijf hoeken van de vijfhoek samen?
d) Teken een regelmatige vijfhoek met zijde 6 cm.
e) Wat is de omtrek?
f) Bereken de oppervlakte. Laat je berekening duidelijk zien.
4) We gaan verder met de zeshoek:
a) Bereken de middelpuntshoek van een zeshoek.
b) Wat is het aantal graden per hoek? Geef een duidelijke berekening.
c) Wat is de som van alle zes hoeken van de zeshoek samen?
d) Teken een regelmatige zeshoek met zijde 6 cm.
e) Wat is de omtrek?
f) Bereken de oppervlakte. Laat je berekening duidelijk zien.
5) We slaan de zevenhoek voor het gemak even over en gaan verder met de achthoek:
a) Bereken de middelpuntshoek van een achthoek.
b) Wat is het aantal graden per hoek? Geef een duidelijke berekening.
c) Wat is de som van alle acht hoeken van de achthoek samen?
d) Teken een regelmatige achthoek met zijde 6 cm. Teken eventueel op schaal.
e) Wat is de omtrek?
f) Bereken de oppervlakte. Laat je berekening duidelijk zien.
6) Waarschijnlijk heb je nu voldoende informatie om je gegevens overzichtelijk op te
schrijven. We komen op deze manier bij het tweede punt van ons plan van aanpak.
Neem daarom onderstaande tabel over en schrijf je resultaten erin. De gegevens van de
zevenhoek krijg je cadeau.
veelhoeken met
zijden van 6 cm
Driehoek
Vierhoek
Vijfhoek
Zeshoek
Zevenhoek
Achthoek
Middelpuntshoek
som van de
hoeken
Aantal graden
per hoek
900o
128 4/7 o
Omtrek Oppervlakte
72o
51 2/7 o
42
130,82
Laat je tabel zien aan de docent!
Nu gaan we naar het derde punt van ons wiskundige plan van aanpak: zoek naar de regelmaat
en beschrijf deze in woorden. Eventueel kunnen we direct het laatste punt behandelen:
beschrijf de regelmaat die je ontdekt hebt met behulp van een formule.
7) We gaan de eerste drie kolommen stuk voor stuk af:
a) Zijn de resultaten van de eerste drie kolommen afhankelijk van de lengte van de zijden
van de veelhoek? Leg je antwoord uit.
b) Zie je regelmaat als het gaat om de middelpuntshoek? Kun je een formule maken van
de middelpuntshoek van een regelmatige n-hoek, uitgedrukt in n? Leg uit hoe je tot je
formule gekomen bent.
c) Zie je regelmaat als het gaat om de som van de hoeken? Kun je een formule maken
van de som van de hoeken van een regelmatige n-hoek, uitgedrukt in n? Leg uit hoe je
tot je formule gekomen bent, eventueel met een berekening.
d) Zie je regelmaat als het gaat om het aantal graden per hoek? Kun je een formule
maken van het aantal graden per hoek van een regelmatige n-hoek, uitgedrukt in n?
Leg uit hoe je tot je formule gekomen bent.
8) Nu kijken we naar de laatste twee kolommen.
a) Zijn de resultaten van de laatste twee kolommen afhankelijk van de lengte van de
zijden van de veelhoek? Leg je antwoord uit.
b) Neem een driehoek met zijde x cm. Druk de omtrek uit in x. Doe dit ook met een
vierhoek, een vijfhoek en een zeshoek. Maak een formule die de omtrek beschrijft van
een regelmatige n-hoek met zijde x cm. Leg uit hoe je tot je formule gekomen bent.
c) Voor de echte wiskundigen (als je hier niet helemaal uit komt: een half antwoord is
vaak beter dan helemaal niets):
i) Neem een driehoek met zijde x cm. Maak een formule die de oppervlakte van deze
driehoek geeft, uitgedrukt in x (lastig). Leg uit hoe je tot je formule gekomen bent.
ii) Neem een vierhoek met zijde x cm. Maak een formule die de oppervlakte van deze
vierhoek geeft, uitgedrukt in x (makkelijk). Leg uit hoe je tot je formule gekomen
bent.
iii) Neem een vijfhoek met zijde x cm. Maak een formule die de oppervlakte van deze
vijfhoek geeft, uitgedrukt in x (lastig). Leg uit hoe je tot je formule gekomen bent.
iv) Neem een zeshoek met zijde x cm. Maak een formule die de oppervlakte van deze
zeshoek geeft, uitgedrukt in x (lastig). Leg uit hoe je tot je formule gekomen bent.
v) Algemeen: neem een n-hoek met zijde x cm. Maak een formule die de oppervlakte
van deze n-hoek geeft, uitgedrukt in n en x (lastig!). Leg uit hoe je tot je formule
gekomen bent. Controleer je formule voor de zevenhoek en de achthoek.