Les 5: Feynman calculus

Elementaire Deeltjesfysica
FEW Cursus
Jo van den Brand
24 November, 2009
Structuur der Materie
Inhoud
• Inleiding
• Feynman berekeningen
• Deeltjes
• Interacties
• Gouden regel
• Feynman regels
• Diagrammen
• Relativistische kinematica
• Lorentz transformaties
• Viervectoren
• Energie en impuls
• Symmetrieën
• Elektrodynamica
• Dirac vergelijking
• Werkzame doorsneden
• Quarks en hadronen
• Behoudwetten
• Discrete symmetrieën
• Elektron-quark interacties
• Hadron productie in e+e-
• Zwakke wisselwerking
• Muon verval
• Unificatie
Najaar 2009
Jo van den Brand
2
Levensduur
Bijna alle elementaire deeltjes vervallen! d.w.z.
mB
mC
mA
c.m. systeem
verschillende
vervalskanalen, b.v.
Levensduur:
Vertakkingsverhouding
Eenheden
b.v.
Najaar 2009
Jo van den Brand
3
Werkzame doorsnede
Telsnelheid A + B  C + D
Reactiekans: effectief oppervlak / totaal oppervlak
Najaar 2009
Jo van den Brand
4
Voorbeelden
Foton-koolstof/lood
n-238U
Najaar 2009
Jo van den Brand
5
Voorbeeld: verstrooiing aan een harde bol
Verstrooiing aan een massieve bol:
Berekening werkzame doorsnede

b
Geometrie


R
Berekening werkzame doorsnede:
(vgl. Rutherford verstrooiing)
Totale werkzame doorsnede,
oppervlak zoals de bundel die ziet:
Najaar 2009
Jo van den Brand
6
Voorbeeld: Rutherford verstrooiïng
Marsden en Geiger
rond 1910
Alfa deeltjes: Tb = 4 – 7 MeV
Coulomb potentiaal
Najaar 2009
Jo van den Brand
7
Rutherford verstrooiïng
Coulomb potentiaal
Klassieke mechanica
Werkzame doorsnede
Voor bb < b < bb+dbb
Najaar 2009
Jo van den Brand
8
Rutherford verstrooiïng
Geldig voor b > bmin=R + Rt ofwel
Meet interactieafstand bmin versus A
Eigenlijk bmin R + Rt + Rs
Najaar 2009
Jo van den Brand
9
Rutherford verstrooiïng
Plot bmin versus A1/3
Er geldt
Goede beschrijving dus
- Coulombwet geldig op
korte afstand (femtometers)
- Sterke WW korte dracht
- Alle lading zit in kleine bol
Rutherford vond
Najaar 2009
Jo van den Brand
10
Gouden regel van Fermi
In deeltjesfysica werken we voornamelijk met interacties
tussen deeltjes en verval van deeltjes: overgangen tussen
toestanden
Overgangswaarschijnlijkheid volgt uit Fermi’s Golden Rule
Amplitude
bevat alle dynamische informatie en
berekenen we met de Feynman regels.
Dit bevat de fundamentele fysica.
Faseruimte
bevat alle kinematische informatie en hangt
af van massa’s, energieën en impulsen
Voor de afleiding: zie dictaat quantummechanica.
Verder eisen wij een Lorentzinvariante beschrijving.
Najaar 2009
Jo van den Brand
11
Faseruimte – Klassiek
Faseruimte in 1D:
Klassiek neemt elke toestand
een punt met (x, px) in
In QM hebben we rekening te
houden met xpx 
h
h
Volume van elke toestand is h
Faseruimte met volume Lp
Lp
bevat N cellen,
N
2
3
3
Celvolume in 3D is h  (2 )
3
3
Aantal toestanden in volume d xd p is
Aantal toestanden per volume eenheid
Toestandsdichtheid
Najaar 2009
 (E) 
dN 
1
(2 )
3
3
d
xd
p
3
dN
d3 p
dn  3 
d x (2 )3
dn
dE
Jo van den Brand
12
Delta functie van Dirac
In de berekeningen maken we veelvuldig gebruik van de
Dirac d functie: `een oneindig smalle piek met integraal 1’
Elke functie met bovenstaande eigenschappen kan
d(x) representeren, bijvoorbeeld Lim a →0
In relativistische quantummechanica zijn delta functies nuttig voor
integralen over de faseruimte, bijvoorbeeld in het verval a  1 + 2.
Ze drukken dan energie en impulsbehoud uit.
Najaar 2009
Jo van den Brand
13
Delta functie van een functie
We zoeken een uitdrukking voor d( f(x) )
Stel dat f(x) een enkel nulpunt heeft voor x = x0
Dan geldt
Schrijft y = f(x)
Er geldt dan
Omschrijven levert
Najaar 2009
Jo van den Brand
14
Voorbeeld: Delta functie van een functie
Meerdere nulpunten:
Opgave: Vereenvoudig de uitdrukking
Oplossing: Er geldt
Nulpunten voor x1 = 1 en x2 = -2
Afgeleide
Dus
Najaar 2009
en
Jo van den Brand
15
Voorbeeld: Delta functie van een functie
Deeltjesverval a  1 + 2 in CM systeem

I   d (ma  E1  E2 )d p1
 2
I   d (ma  p1  m12 
Bereken
 2

p1  m22 )d p1
dit is je functie f(x)
df
 
d p1
Er geldt
Stel
Dan

p*

p1
 2
p1  m12

a


p1  p2
dit dx

p1


p1 p1
 E1  E2





p
1
 2
2
E
E
E1 E2
1
2
p1  m2
is de waarde van de impuls waarvoor

f ( p1 )  0
E1 E2 1
I
E1  E2 p *
Najaar 2009
Jo van den Brand
16
Gouden regel van Fermi – revisited
Gouden regel van Fermi: niet-relativistisch
Faseruimte is dichtheid van de eindtoestanden  ( E f )
We schrijven (met Ei = Ef)
De gouden regel luidt nu
 (E f ) 
 fi 
2
dn
dE
Ef
M

2
fi
dn
d ( E  Ei )dE
dE
d ( E  Ei )dn
dn 
Met impulsbehoud en a  1 + 2
 fi 
(2 )4
M
2
fi
d p
(2 )3
3
3
d
p
d
p2
3
1
d ( Ea  E1  E2 )d ( pa  p1  p2 )
(2 )3 (2 )3
energiebehoud
Najaar 2009
Integreer over alle mogelijke
toestanden met elke energie,
3
merk op dat
Jo van den Brand
impulsbehoud
toestandsdichtheid
17
Lorentzinvariante faseruimte
*

  dV  1
In niet-relativistische QM normeren we op 1 deeltje / volume eenheid
Relativistische contraheert volume met
Deeltjesdichtheid neemt toe met
  E / mc 2
  E / mc
2
a
a
a
a
a/
a
Conventie:
Gebruik
*' '

  dV 
Normeer op 2E deeltjes / volume eenheid
2E
c
3
2E 3
 '

c
Lorentzinvariant matrixelement
Najaar 2009
ˆ |  '  '   2 E1
M LI


'


'

|
H
fi
1
2
n 1
n
c

Jo van den Brand
3
2 E2
c
3

2 En
c
3
1
2

 M fi
 18
Lorentzinvariante vervalsnelheid
Beschouw het verval 1  2 + 3 + 4 + … + n
E1
Deeltje i heeft vierimpuls pi = (Ei/c, pi)
tijddilatatie
Energie Ei is een functie van pi vanwege
We gaan er van uit dat deeltje 1 in rust is, dus p1 = (m1c, 0)
S is het product van statistische factoren: 1/j! voor elke
groep van j identieke deeltjes in de eindtoestand
Formule geeft de differentiële vervalsnelheid, waarbij de impuls
van deeltje 2 in het gebied d3p2 rond de waarde p2 ligt, etc. In het
algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand.
Bijvoorbeeld voor 1  2 + 3
Najaar 2009
Jo van den Brand
19
Voorbeeld: 0    
Bereken vervalsnelheid voor 1  2 + 3 met m1 = m2 = 0; amplitude M(p2, p3)
Herschrijf delta functie
Er geldt
en dus
Sferische coördinaten
Hoekintegratie
We vinden
Er geldt
Najaar 2009
Jo van den Brand
S = ½ voor 0 20  
Tweedeeltjesverval
Bereken vervalsnelheid voor 1  2 + 3
Er geldt
. Integreer over p3
Sferische coördinaten en hoekintegratie. Met  = | p2 | vinden we
We moeten nu nog over de delta functie integreren
Dat kan in principe met
We doen het nu echter met een andere methode
Najaar 2009
Jo van den Brand
21
Tweedeeltjesverval
We hebben
Verander van variabele
Er geldt
Mits m1 > m2 + m3, anders niet in het integratie interval!
Merk op dat 0 de waarde van  (= | p2 | ) is waarvoor E = m1c2
Je vindt
Uiteindelijk
Najaar 2009
Jo van den Brand
Bij meer dan 2 deeltjes moet je
integreren over het matrixelement
22
Gouden regel voor verstrooiing
Beschouw de botsing 1 + 2  3 + 4 + … + n
Formule geeft de differentiële werkzame doorsnede, waarbij de
impuls van deeltje 3 in het gebied d3p3 rond de waarde p3 ligt,
etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de
eindtoestand en zijn we bijvoorbeeld geinteresseerd in enkel de
hoekverdeling van deeltje 3.
Uitdrukking volgt uit Telsnelheid  n1(v1 + v2) n2 s  s  fi / (v1 + v2)
Vervolgens wordt de fluxfactor Lorentzinvariant geschreven
F  2E1E2 (v1  v2 )
In LAB
Najaar 2009
F 4
( p1  p2 )2  (m1m2c 2 )2
Jo van den Brand
23
Elastische verstrooiing in het CM systeem
3
Beschouw de botsing 1 + 2  3 + 4 in CM systeem
Dan geldt
2
p1  p2  E1E2 / c  p1
1
2
( p1  p2 )2  (m1m2c 2 )2  (E1  E2 ) p1 / c
4
2
p2 = -p1
Dus
Herschrijf de delta functie
Integreer over impuls delta functie:
Najaar 2009
p4   p3
Gebruik
Jo van den Brand
E1  c mi2c 2  pi2
24
Elastische verstrooiing in het CM systeem
We vinden
Het matrixelement hangt in principe van alle impulsen af. Echter p2   p1
en p4   p3 , dus geldt M ( p1 , p3 ) . Omdat p1 vastligt, geldt M ( p3 , ) .
Gebruik
We vinden
Najaar 2009
Jo van den Brand
25
Lorentzinvariante werkzame doorsnede
pi*  p*f
Voor elastische verstrooiing geldt
Dan geldt
2 2
c
s elastisch 
*
S
M
d

fi

2
64 2 s
Dit geldt ook in de limiet Ei  mi
Merk op dat de differentiële werkzame doorsnede NIET Lorentinvariant is
ds  c 
 
d   8 
2
S M fi
2
( E1  E2 )
pf
2
ds 
pi
2 2
c
p*f
64 2 s pi*
De hoeken refereren naar het CM systeem! d   d (cos  )d
*
*
2
S M fi d *
*
Voor een algemeen geldige vergelijking: druk d uit in viervectoren
Vierimpuls overdracht
t  q 2  ( p1  p 3 ) 2
Najaar 2009
Jo van den Brand
26
Lorentzinvariante werkzame doorsnede
*
Druk d uit in termen van de Lorentzinvariant dt
t  ( p1  p3 )  p12  p32  2 p1 p3  m12  m32  2 p1  p3
2
In CM frame:
(
 (E , p
p1*  E1* , 0, 0, p1*
p3*
*
3
*
3
)
sin  * , 0, p3* cos  *
p1 p3   E1* E3*  p1* p3* cos  *
)
t  m12  m32  2 E1* E3*  2 p1* p3* cos  *
Dit geeft
en dus
dtd *
dt  2 p p cos 
d   d (cos  )d 
*
*
2
p
p
*
1
3
2 2
2 2
2
2
c p3
c
*
*
ds 
S
M
d


S
M
d

dt
fi
fi
2
2
*
2
*
64 s p1
2  64 s p1
*
1
Integratie over d geeft
*
Najaar 2009
*
3
*
*
2 2
ds
c

S M fi
2
*
dt 64 s p
1
Jo van den Brand
*
*
2
Lorentzinvariant
27
Fluxfactor voor A + B …
c.m. stelsel:
P1=(E1,+p)
P2=(E2,p)
note :
lab stelsel:
P1=(E, p)
P2=(m2,0)
Najaar 2009
Jo van den Brand
28

 p
v
E
Toy-model: ABC theorie
Drie deeltjes: A, B en C
Ieder deeltje is zijn eigen antideeltje
Spin van de deeltjes is 0
mA > mB + mC
Najaar 2009
Jo van den Brand
29
Feynman regels
Berekening van de amplitude -iM:
Hiervoor is de dynamica van wisselwerking nodig. In het vervolg zullen we de amplitudes
berekenen voor elektromagnetische, sterke en zwakke wisselwerkingen.
Om een idee te krijgen eerst de amplitude voor een hypothetisch model, 3 toy-model:
Feynman regels ABC theorie:
p2
p1
A
ig
B
p3
C
B p1
p2
q
ig C ig
p3
p4
A
Najaar 2009
Jo van den Brand
B
A
30
Levensduur (3 toy-model)
Het matrixelement
is [g]=[GeV]
B
iM  ig
A
g
C
De vervalsbreedte wordt
met Fermi’s regel:
En de levensduur
van deeltje A is dus
1


De impuls van B (of C) kan bepaald worden, in c.m. systeem:
Najaar 2009
Jo van den Brand
31
Verstrooiing A+A  B+B (3 toy-model)
A
p2
(A)
p4
B
Tweede diagram!
A
C q
A
p1
(B)
p2
C
q
p3
B
A
p1
B
p4
p3
B
(A):
(B):
(A+B):
Najaar 2009
Jo van den Brand
32
Verstrooiing A+A  B+B (3 toy-model)
B

A
In het c.m. stelsel
Veronderstel mA=mB=m en mC=0
B
A
c.m. frame
Twee identieke deeltjes in eindtoestand
(dus een extra factor ½!=½)
Werkzame doorsnede:
Najaar 2009
Jo van den Brand
33
Verstrooiing A+B  A+B (3 toy-model)
A
p2
(A)
C
B
p1
p4
B
q
p3
Twee diagrammen
dragen bij!
A
p2
p1
A
(B)
q
C
B
p4
p3
A
B
(A):
(B):
(A+B):
Najaar 2009
Jo van den Brand
34
Verstrooiing A+B  A+B (3 toy-model)
B

A
In het c.m. stelsel
Veronderstel mA=mB=m en mC=0
A
B
c.m. frame
Werkzame doorsnede:
Najaar 2009
Jo van den Brand
35