Les 7: Quantumelektrodynamica
advertisement
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 8 December, 2009 Structuur der Materie Inhoud • Inleiding • Feynman berekeningen • Deeltjes • Interacties • Gouden regel • Feynman regels • Diagrammen • Relativistische kinematica • Lorentz transformaties • Viervectoren • Energie en impuls • Symmetrieën • Elektrodynamica • Dirac vergelijking • Werkzame doorsneden • Quarks en hadronen • Behoudwetten • Discrete symmetrieën • Elektron-quark interacties • Hadron productie in e+e- • Zwakke wisselwerking • Muon verval • Unificatie Najaar 2009 Jo van den Brand Diracvergelijking in impulsruimte Diracvergelijking Vlakke-golf oplossingen van de vorm Normering a Identificeer met energie en impuls Diracvergelijking in impulsruimte Als u hieraan voldoet, dan voldoet aan de Diracvergelijking Najaar 2009 Jo van den Brand 3 Vlakke-golf oplossingen Diracvergelijking We vinden Normering Najaar 2009 Jo van den Brand 4 Deeltje antideeltje time absorptie +e (+E,+p) e p (systeem) E e emissie (E,p) Voor een systeem is er geen verschil tussen: Emissie: Absorptie: Er geldt e iEt e i ( E )( t ) e met p =(+E,+p) e+ met p =(E, p) In termen van de geladen stroom (dichtheid): e+ e Ofwel: de volgende scenario’s zijn identiek! Najaar 2009 Jo van den Brand 5 Vlakke-golf oplossingen Diracvergelijking Interpretatie: ook antideeltjes hebben positieve energie met positieve energie u’s voldoen aan v’s aan Najaar 2009 Jo van den Brand 6 Lorentztransformaties van spinoren Boost het systeem in de x-richting Golffunctie transformeert niet met een Lorentztransformatie, dus niet als een vector Transformatie S is de 4 4 matrix Met en We zoeken een scalaire grootheid (bij viervectoren bedachten we covariantie) Definieer adjoint spinor Relativistisch invariant! Najaar 2009 Jo van den Brand 7 Pariteit Pariteit is gedefinieerd als ruimtelijke spiegeling door de oorsprong x' x; y ' y; z ' z; t ' t ; Beschouw Dirac spinor ( x, y, z , t ) Deze spinor is oplossing van de Diracvergelijking i i 1 i 2 i 3 mc 0 x y z c t Onder pariteit transformatie ' ( x' , y ' , z ' , t ' ) Pˆ ( x, y, z , t ) 0 Probeer Pˆ 0 en dus ' ( x' , y' , z ' , t ' ) ( x, y, z, t ) 0 2 1 ( x, y, z, t ) 0 ' ( x' , y' , z ' , t ' ) ' ' ' i ' i 2 0 i 3 0 mc 0 ' 0 0 x y z c t In termen van het primed systeem i 1 0 i 1 0 Najaar 2009 ' ' ' i ' i 2 0 i 3 0 mc 0 ' 0 0 x' y ' z ' c t ' Jo van den Brand 8 Intrinsieke pariteit i 1 0 ' ' ' i ' i 2 0 i 3 0 mc 0 ' 0 0 x' y ' z ' c t ' 0 1 2 3 Omdat anticommuteert met , , ' ' ' i ' i 0 1 i 0 2 i 0 3 mc 0 ' x' y' z ' c t ' Vermenigvuldigen met i 1 0 ' ' ' i ' i 2 i 3 mc ' 0 x' y ' z ' c t ' Dit is de Diracvergelijking in de nieuwe coordinaten Onder een pariteit transformatie verandert de Diracvergelijking niet als de spinoren transformeren als Pˆ 0 Deeltje in rust Deeltje en antideeltje in rust hebben tegengestelde intrinsieke pariteit Spinoren: hoe transformeren ze? Ergeldt Invariant onder pariteit transformatie: een echte scalar Definieer Gedrag onder pariteit pseudoscalar Transformatiegedrag van lineaire combinaties Basis van alle 4 4 matrices Najaar 2009 Jo van den Brand en 10 Ladingsconjugatie Ladingsconjugatie operator C voert spinor over in de ladingsgeconjugeerde spinor C Er geldt Als we deze operator laten werken op vinden we de geconjugeerde toestanden Najaar 2009 Jo van den Brand 11 Spinoren: normalisatie, orthogonaliteit en compleetheid Normalisatie Orthogonaliteit Compleetheid Najaar 2009 Jo van den Brand 12 Ijkinvariantie Najaar 2009 Jo van den Brand 13 Maxwellvergelijkigen en Lorentzinvariantie Maxwell Stel h/2=c=1 en introduceer potentiaal A=(V,A) en stroom j=(,j): Er geldt Compacter met FAA Najaar 2009 Jo van den Brand 14 Ijkinvariantie (gauge invariance) Vrijheid in de keuze van ijkveld A (gauge field) Omdat Gebruik vrijheid om A te vereenvoudigen (covariant) Lorentz conditie A is nog steeds niet uniek; omdat We kunnen bijvoorbeeld de oplossing kiezen (niet covariant) Najaar 2009 Coulomb conditie Jo van den Brand 15 Foton golffunctie In vacuüm j=0 en daarom Met als oplossingen (vlakke golven) Gauge keuze: Lorentz conditie Coulomb conditie In plaats van 4 vrijheidsgraden () slechts 2 transversaal circulair cos sin 0 sin cos 0 0 1 / 2 0 i / 2 1 0 cos i sin / 2 ei 1 / 2 i sin i cos / 2 e i / 2 0 0 rotatie rond de z-axis: Najaar 2009 Jo van den Brand 16 Interactie van spin-½ deeltjes met het fotonveld Quantumelektrodynamica Najaar 2009 Jo van den Brand 17 Relatie tussen stroom en vectorveld B pD pB pA A D Beschouw elektron-muon verstrooiing pC e C En de overgangsamplitude wordt dus (q=pA-pC=pD-pB) uB f g q 2 uD ie 4 V ie 4 uA i Najaar 2009 Jo van den Brand uC 18 Feynman regels voor QED (S=1/2) Externe lijnen u u v v * Vertices i q m Propagatoren 2 q m2 Najaar 2009 Jo van den Brand 19 QED e+ e- Fundamentele interacties: t Bhabha verstrooiing e e e e paar annihilatie/creatie e e Möller verstrooiing ee ee Compton verstrooiing e e Najaar 2009 Jo van den Brand 20 Relativistische spin B D q p A pC pD pB Relativistische spin e e (1 diagram) A e C Voor |M|2 volgt dus lepton tensor Najaar 2009 Jo van den Brand 21 De elektron lepton tensor k m k m C 2 A k k’ k k Hoewel je van deze uitdrukking op het eerste gezicht niet vrolijk wordt, geldt wel 1) 2) Geen spinoren meer: via compleetheid relaties De spoorberekening is rechtoe-rechtaan: m.b.v. enkele regels Najaar 2009 Jo van den Brand `Casimir’s 22 trick’ Sporen met -matrices Gebruik altijd: producten van matrices sporen van producten van matrices Zwakke wisselwerking Najaar 2009 Jo van den Brand 23 Berekening e–e+ –+ vB Feynman regels geven ie 4 uA t /4 ig q2 ie 4 uC P A k p P B PC k P D p De spin algebra geeft een spoor 2 vD 2 u /4 En dit wordt in de extreem relativistische limiet Najaar 2009 Jo van den Brand 24 Werkzame doorsnede e–e+ –+ Najaar 2009 Jo van den Brand 25 Hoekverdelingen: e–e+ –+ en –+ Najaar 2009 Jo van den Brand 26 En nu heb je ook e–e+ qq gedaan! Met drie kleuren u, c, t d, s, b R d 4 2 16 2 2 1cos tot d 9 4s 27 s 2 q : 3 qq q 1 : 3 e quarks 2 colour colour 4 2 4 2 27 s 9s udsc e qq e e Najaar 2009 d 1 1cos2 tot 4 d 9 4s 27 s 2 16 2 16 2 27 s 9s uds 4 2 3s udsc no color Jo van den Brand s27 Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden Elektronen aan lood: - 502 MeV - 208Pb spinloos - 12 decaden Model-onafhankelijke informatie over ladingsverdeling van nucleon en kernen Najaar 2009 Jo van den Brand 28 Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden Elektron-goud verstrooiing - energie: 153 MeV ladingsverdeling: Najaar 2009 Jo van den Brand 29 Ladingsdichtheid is constant! Elastische elektron-proton verstrooiïng Proton structuur - niet puntvormig - geen Dirac deeltje (g=2) - straal is 0.8 fm - exponentiele vormfactor Najaar 2009 Jo van den Brand 30 Ladingsverdeling van het neutron n= p + n 0 +... Experiment - 720 MeV elektronen - elektronpolarisatie 0.7 - deuterium atoombundel - D-polarisatie 0.7 Najaar 2009 van den Brand - elektron-neutron coincidentie Jometing 31 Diep-inelastische verstrooiïng DIS definitie: - Vierimpuls Q2 > 1 (GeV/c)2 - Invariante massa W > 2 GeV puntvormige deeltjes: partonen (=quarks) Najaar 2009 Jo van den Brand 32 DIS – Bjørken schaling Schaling: structuurfuncties enkel functie van x Najaar 2009 Jo van den Brand 33 DIS – Bjørken schaling Callan-Gross relatie Quarks spin 1/2 Decompositie: Najaar 2009 Gluon bijdrage van Q2 evolutie van F2 Jo van den Brand 34 Elektron-positron annihilatie Muon productie spinfactor integreer Elektron, muon en tau zijn identiek, afgezien van massa en levensduur fractionele ladingen Twee-jet productie Najaar 2009 kleur fragmentatie Jo van den Brand 35 Elektron-positron annihilatie Twee-jet productie 1 + cos2 Voor E < 3.5 GeV R Quarks hebben spin 1/2 Quarks hebben kleur en fractionele lading Najaar 2009 Jo van den Brand 36 Elektron-positron annihilatie Drie-jet productie spin 0 spin 1 Gluonen hebben spin 1 Najaar 2009 Jo van den Brand 37 Z0-resonantie e+e- verstrooiing Drie generaties! Najaar 2009 Jo van den Brand 38
