natuurkunde ontdekken

NATUURKUNDE ONTDEKKEN
4 HAVO
WERKBOEK 2
KRACHT en VERSNELLING
Inhoud
Inleiding:.............................................................................................................................. 4
KV 1
Vallende voorwerpen ....................................................................................... 5
KV 2
Kracht en versnelling ..................................................................................... 16
KV 3
Kracht als vector ............................................................................................. 30
Studiehulp ......................................................................................................................... 40
1 Vallende voorwerpen ...........................................................................................40
2 Kracht en versnelling .......................................................................................... 44
3 Kracht als vector ..................................................................................................47
Formules: .......................................................................................................................... 51
Natuurkunde-afdeling St-Vituscollege,
Bussum, juni 08
schooljaar 08/09
© Delen uit deze uitgave mogen alleen worden gebruikt na
voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
4H werkboek 2
5
KVI Vallende voorwerpen
Inleiding:
In de Oudheid werden de bewegingen niet bestudeerd door er nauwkeurig aan temeten, maar
door er over na te denken.
Plato (429-348 v.Chr.) meende dat de hemellichamen wel cirkelbanen moeten beschrijven
omdat voor deze onveranderlijke lichamen (onsterfelijke goden) alleen de meest volmaakte
beweging gepast is. De cirkelbeweging heeft een begin noch een einde. Zij is eeuwig en
onveranderlijk. Dit in tegenstelling tot de aardse bewegingen die aan verandering onderhevig
zijn. Het bestuderen van deze, tijdelijke, bewegingen kan daarom volgens Plato nooit tot ware
kennis leiden.
Aristoteles (384-322 v.Chr.),een andere grote filosoof uit de Oudheid, hield zich wel bezig
met de aardse bewegingen. Voor de vier elementen (aarde, water, lucht en vuur) was volgens
hem de rechtlijnige beweging de natuurlijke beweging. Twee van deze elementen, aarde en
water, streven "van nature" naar het middelpunt van de wereld en daarom is de aarde in het
middelpunt van de wereld. De twee andere elementen trachten zich zoveel mogelijk van het
centrum van de wereld te verwijderen.
Aristoteles zoekt naar het wezen der dingen, datgene wat het maakt tot wat het is, hun natuur
(physis). Hier komt de naam fysica, natuurkunde, vandaan.
Van het genie Aristoteles zijn tot in onze tijd veel geschriften bewaard gebleven. Ze bevatten
verhandelingen over onder andere de logica en de psychologie, waarvan hij als grondlegger
kan worden beschouwd. Verder zijn er verhandelingen over politieke wetenschap en over
verschillende biologische problemen, in het bijzonder de classificatie van planten en dieren.
Aristoteles heeft op al deze gebieden van wetenschap reusachtige bijdragen geleverd.
Helaas hebben zijn opvattingen over de bewegingen van aardse voorwerpen en
hemellichamen de vooruitgang van de wetenschap waarschijnlijk meer geschaad dan gediend.
Bij de herleving van het wetenschappelijk onderzoek tijdens de Renaissance hadden mensen
als Galileï een harde strijd te voeren om het juk van de Aristotelische natuuropvatting, die in
die tijd algemeen als het laatste woord op wetenschappelijk gebied werd beschouwd, (zodat
elk verder onderzoek naar de aard van de dingen overbodig was), af te werpen.
Opvallend in de verhandelingen van de Griekse filosofen over bewegingen is dat het woord
"kracht" niet voorkomt. Men beschouwt de beweging van voorwerpen als iets dat tot het
wezen van die voorwerpen behoort. Wij gebruiken wel al heel snel, misschien wel te snel, het
woord "kracht". Als ons gevraagd wordt hoe het komt dat iets valt, dan zeggen we al gauw :
Dat komt door de zwaartekracht!
Maar veel meer kunnen we niet over de zwaartekracht zeggen. En als er wat over gezegd
wordt dan is het vaak nog fout ook. Zo kun je wel eens horen dat de zwaartekracht een
magnetische kracht is. We hebben in de derde klas gezien dat dit fout is. Ook kun je wel eens
horen dat de zwaartekracht niet verder rijkt dan de dampkring. Dat is ook fout. De maan heeft
geen dampkring en toch is er zwaartekracht.
Galileï was van mening dat het zoeken naar de oorzaak van een beweging begint met het
nauwkeurig opmeten van hoe iets beweegt. Met, naar onze maatstaven, zeer gebrekkige
meetapparatuur onderzocht hij de zwaartekracht door te meten aan voorwerpen die bewegen
als gevolg van de zwaartekracht.
Jij gaat dit onderzoek nu zelf met modernere apparatuur doen.
4H werkboek 2
KVI
5
KVI Vallende voorwerpen
Vallende voorwerpen
Opgave 1
Men laat een kogel vanaf 1,00 m hoogte vallen.
a
b
c
Is deze beweging rechtlijnig?
Is deze beweging eenparig rechtlijnig?
Schets de plaats-tijd-grafiek van deze beweging.
Kies daarbij het punt van loslaten als O-punt. Het
laagste punt dat de kogel bereikt is dus 1,00 m.
Veronderstel dat de kogel 0,50 s over de val doet.
d
Dor welke kracht wordt de beweging veroorzaakt?
e
De proef wordt herhaald met een twee keer zo zware
kogel.
Hoe
zal
de
grafiek
veranderen
Galileï bestudeert de valbeweging
denk
je?
4H werkboek 2
6
KVI Vallende voorwerpen
Opgave 2
We gaan de beweging van vallende kogels nu nauwkeurig onderzoeken.
Bij onze meetopstelling kunnen we gelukkig gebruik maken van elektronische apparatuur (die ten tijde
van Galileï nog niet bestond).
Een kogel wordt opgehangen aan een elektromagneet. Met een druk op de knop wordt de stroom in
de spoel uitgeschakeld en tegelijkertijd een elektronische klok ingeschakeld. De kogel valt op een
schakelaar die de klok stil zet. De valtijd kan worden afgelezen.
Vraag het materiaal voor de valproef en maak de opstelling van figuur 1-lb volgens het schema van
figuur 1-la. Laat de schakeling controleren voordatje
de spanning inschakelt. Benodigdheden: moduul, 1
spoel van 1200 windingen met kern, 2 schakelaars, 1
teller, 1 T tafelklem, 1 statiefstang van 120 cm, 1
T
klem, een stalen, een plastic en een houten
kogel, 2 snoeren met zwarte stekers, 2 snoeren met
rode stekers, 2 speciale snoeren en 1
meetlat.
a Hang de kogel op ongeveer 1 m hoogte boven
de schakelaar aan de spoel. Meet vervolgens
nauwkeurig de valafstand.
Houd hierbij rekening met de diameter van de
kogel en de hoogte van de
.
fig 1-1b
fig 1- la
schakelaar
b Meet de valtijd van de kogel drie keer. Hoe nauwkeurig is deze meting ?
c
Herhaal b met een houten kogel en met een plastic kogel (een stukje ijzer in de houten
en in de plastic kogel zorgt ervoor dat de kogel aan de magneet blijft hangen).
Wat is je conclusie?
d
Meet de valtijden van de ijzeren kogel ook voor valafstanden van ongeveer 90, 80, 70. 60, 50, 40,
30, 20, 10 en 5,0 cm. Meet wel telkens nauwkeurig de werkelijk ingestelde afstand. Noteer je
waarnemingen in de tabel.
valafstand ongeveer
valafstand precies
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
4H werkboek 2
7
KVI Vallende voorwerpen
valtijd
e
f
g
Verwerk nu in figuur 1-2 je meetresultaten uit d en teken met potlood een mooie
vloeiende kromme de af stand-tij d-grafiek van de vallende kogel,
Ga na of je grafiek klopt met de
volgende gemeten valtijden. Je
kunt hieraan zien of je voldoende
nauwkeurig gewerkt hebt. Bij 36
cm hoort ongeveer 0,27 s; bij 53
cm 0,33 s en bij 75 cm hoort 0,39
s.
Hoe hoog is de kogel op 0,40 s.
Opgave 3
a
Bereken de snelheid van de
kogel op 0,30 s met de
raaklijnmethode.
b
Bereken de snelheid op andere
tijdstippen en maak een snelheid-tij
d-grafiek voor de beweging van de
vallende kogel.
c
d
Bereken de versnelling van de
vallende kogel.
e
Stel de snelheidsformule op voor de
beweging van de vallende kogel.
f
Waarom mag je zeggen dat de houten en
de plastic kogel ook vallen
met de versnelling uit d?
Bereken met de snelheid-tijd-grafiek
de afstand op 0,27 s en vergelijk
deze uitkomst met de grafiek in
figuur 1-2.
g
Hoe blijkt uit je grafiek dat de beweging van de vallende kogel een eenp
fig 1-2
Opgave 4
a
Haal een met olie gevulde buis, waarin een kogel zit en onderzoek wat voor soort
beweging deze kogel uitvoert als de buis verticaal gehouden wordt.
b
Wat voor soort beweging zou de kogel uitvoeren als er geen olie, maar lucht in de buis zou
zitten?
c
Welke krachten werken er op de kogel tijdens de beweging in de buis met olie?
4H werkboek 2
a
b
8
KVI Vallende voorwerpen
Laat tegelijkertijd een stalen kogel en een stukje schuimplastic van ongeveer 2,0 m hoogte
vallen en kijk welk voorwerp het eerste beneden is.
Haal een (vrijwel) luchtledige buis waarin een stalen kogel en een stukje schuimplastic zitten
en onderzoek of je daarbij hetzelfde verschil waarneemt als bij a.
c Wat was er bij a de oorzaak van dat de kogel en het stukje schuimplastic niet dezelfde valtijd
hadden?
d
•
•
•
•
•
•
In vacuüm is er geen luchtweerstand
Het blijkt dat in vacuüm alle voorwerpen op precies dezelfde manier vallen.
Als de invloed van de luchtweerstand verwaarloosd mag worden, blijkt de
beweging van alle vallende voorwerpen eenparig versneld te zijn met een
versnelling van 9,8 m/s2.
De snelheidsformule is dan v = 9,8-t. Onthoud deze formule
e
Als men een stalen kogel en een tafeltennisballetje van dezelfde afmetingen laat vallen, dan is er
een duidelijk verschil in de valtijd over de eerste twee meter. Waarom heeft hier de
luchtweerstand wel een duidelijk merkbare invloed op de beweging van het tafeltennisballetje,
maar geen merkbare invloed op de beweging van de stalen kogel?
f
•
Bij vallende voorwerpen hebben we altijd te maken met de luchtweerstand,
tenzij we de proef in het luchtledige uitvoeren.
De luchtweerstand is groter naarmate de snelheid van een voorwerp groter is.
Bij grote snelheden zal de luchtweerstand dus altijd een rol gaan spelen.
De luchtweerstand is ook groter naarmate de afmetingen van het vallende
voorwerp groter zijn.
We mogen de invloed van de luchtweerstand verwaarlozen als de zwaartekracht
veel groter is dan de luchtweerstand.
•
•
•
Nauwkeurige metingen leren dat de valversnelling op de noordpool 9,832 m/s2 is en op de evenaar
9,780 m/s2. Dit komt doordat de aantrekkingskracht van de aarde niet overal even groot is. Binas
vermeldt als gemiddelde waarde 9,81 m/s2.
Het blijkt dat de getallen van de valversnelling precies hetzelfde zijn als de getallen voor de
zwaartefactor. De zwaartefactor geeft de zwaartekracht per kg. Het wordt weergegeven met symbool
g.
De zwaartefactor op de noordpool is 9,832 N/kg.
De valversnelling op de noordpool is 9,832 m/s .
Het is niet zo verwonderlijk dat de zwaartefactor en de valversnelling met elkaar te maken hebben.
Een voorwerp krijgt immers een grotere versnelling als de kracht met de
versnellende werking groter is. Een grotere zwaartefactor heeft dus een grotere versnelling tot gevolg.
Opgave 6
Als we de metingen uit 2 met de stalen kogel herhalen in een luchtledige buis van 1,00 m lengte,
dan vinden we dezelfde plaats-tijd-grafiek. Hieruit volgt dat bij een proef als in 2 de invloed van
de luchtweerstand verwaarloosd mag worden.
a
Is
het
juist
te
veronderstellen
dat
voor
een
vallende
kogel
onbeperkt
de
4H werkboek 2
9
KVI Vallende voorwerpen
snelheidsformule v = 9,8-t geldt?
Licht het antwoord toe.
b
Als men van zeer grote hoogte een stalen kogel laat vallen, dan blijkt deze aanvankelijk
eenparig versneld te bewegen, maar het laatste gedeelte van de beweging is eenparig. Wanneer
is de luchtweerstand op de kogel niet meer verwaarloosbaar ten opzichte van de zwaartekracht?
Opgave 7
De stalen kogel uit vraag 2 valt met een versnelling van 9,8 m/s2. Als we aan deze kogel een ballon
bevestigen, dan heeft de luchtweerstand een duidelijk merkbare invloed op de beweging. Bij een
bepaalde ballon krijgt men een snelheid-tij d-grafiek zoals weergegeven met A in figuur 1-3.
a
Bij welke beweging hoort de onderbroken lijn?
fig 1-3
b
Wat gebeurt er met de snelheid van de kogel vanaf 3,2 s?
c
Beweegt de kogel tussen 0 en 3,2 s versneld?
d
Wat kun je zeggen van de versnelling van de kogel tussen 0 en 3,2 s?
e
Hoe blijkt uit de proef dat de luchtweerstand van de snelheid afhangt?
f
Bij welke snelheid is de luchtweerstand gelijk geworden aan de zwaartekracht?
g
Teken in figuur 1-3 hoe de grafiek zou zijn als op 2,0 s de bevestiging tussen de kogel en de
ballon
loslaat.
4H werkboek 2
10
KVI Vallende voorwerpen
Opgave 8
Op 1200 m hoogte hangt een helikopter. Op 0 s springt er een parachutist uit. Zie figuur 1-4.
De beweging is in het begin versneld, maar met het toenemen van de snelheid wordt ook de
luchtweerstand groter, zodat na 6,0 s de beweging eenparig
is met een snelheid van 40 m/s naar beneden.
Op 10 s is de parachutist op 900 m hoogte.
a
b
Op welke hoogte is de parachutist op 20 s?
Op 25 s wordt de parachute opengetrokken. De snelheid
verandert dan in zeer korte tijd van 40 m/s
tot 1,5 m/s. De parachutist valt verder eenparig met de
snelheid van 1,5 m/s tot hij op de grond is.
Teken nauwkeurig de bijbehorende hoogte-tijdgrafiek van 0 s tot 100 s. Hierin kan dus de hoogte
van de parachutist direct worden afgelezen als functie van
de tijd. Het beginstuk tot 6,0 s mag je schetsen.
fig 1-4
c
Teken nauwkeurig de snelheid-tij d-grafiek van de beweging van 0 s tot 100 s.
Neem hierbij de negatieve richting naar beneden.
d
Open de applet "parachutist". Je kunt tijdens de val de parachute openen. Waaruit blijkt dat hier
de luchtweerstand tijdens de vrije valk verwaarloosd wordt?
e Onderzoek hoe groot de parachute moet zijn om een parachutist van 75 kg met een snelheid
van
8,0
m/s
neer
te
laten
komen.
4H werkboek 2
11
KVI Vallende voorwerpen
Opgave 9
Als aan het oppervlak van de planeet Mars op 6,0 m hoogte een steen wordt losgelaten dan is de steen
na 1,8 s bij de grond.
a
Bereken de gemiddelde snelheid tijdens de val.
b
Bereken de eindsnelheid.
c
Bereken de valversnelling op Mars.
d
Controleer in BINAS je uitkomst bij c.
e
Open de applet "vallen" en controleer de uitkomsten bij deze opgave,
f
Bereken met deze applet de valversnelling op aarde en op de maan.
Opgave 10
Een kogel wordt met een snelheid van 22,6 m/s van een toren naar beneden gegooid. Na 2,35 s
bereikt de kogel de grond. De luchtweerstand mag worden verwaarloosd.
a
Hoe groot is de snelheid op 0 s (dat is direct na het loslaten)?
b
Stel de snelheidsformule op voor deze beweging.
c
Met welke snelheid komt de kogel beneden aan?
d
Bereken de gemiddelde snelheid voor het hele traject.
e
Bereken hoe hoog de toren is.
Opgave 11
Een kogel wordt op 0 s op een hoogte van 1,00 m losgelaten. Van de
beweging van de kogel is een stroboscopische foto gemaakt. Bij een
stroboscopische opname wordt in een donkere ruimte met korte
tussenpozen geflitst, terwijl de sluiter van de camera open blijft staan.
Zo komen er op één negatief verschillende beelden van de kogel. Elk
van deze beelden geeft de plaats aan van de kogel tijdens een flits.
Figuur 1 -5 toont de stroboscopische opname van de vallende kogel.
De flitsfrequentie is 30 Hz. (30 flitsen per seconde). Op de
meetlat kun je de afstand aflezen. Op 0 s is de plaats van de
kogel 0 m.
a
Bereken de tijd tussen twee opeenvolgende flitsen.
b
Bereken de gemiddelde snelheid van de kogel tussen de
laatste twee opnamen.
c
Bereken met je antwoord uit b hoeveel afbeeldingen van de
kogel
er
op
de
foto
staan.
fig 1-5
4H werkboek 2
12
KVI Vallende voorwerpen
Opgave 12
Een tennisbal wordt op 0,80 m boven een tafel losgelaten. Zie figuur l-6a. In figuur l-6b is de
snelheid van de bal gegeven als functie van de tijd, tot het moment dat de bal (na het stuiteren) weer
zijn hoogste punt bereikt.
a
fig 1-6
b
a
Op welk tijdstip stuitert de bal op de tafel?
b
Op welk tijdstip bereikt de bal na het stuiteren weer zijn hoogste punt?
c
Leg uit of de luchtweerstand tijdens het vallen verwaarloosbaar is.
d
Bereken hoe hoog de bal na de eerste keer stuiteren komt.
e
Schets hieronder de plaats-tij d-grafiek van de beweging van de bal tussen 0 en 0,6 s.
4H werkboek 2
13
KVI Vallende voorwerpen
In onderdeel e werd je gevraagd een grafiek te schetsen. Wat wordt daarmee bedoeld? Is dat iets
anders dan nauwkeurig tekenen?
We spreken nu af datje bij schetsen de belangrijke punten zoals begin- en eindpunt, hoogste en
laagste punt moet proberen aan te geven en dat verder bij het verloop van de grafiek alleen de vorm
juist moet zijn; loopt de lijn recht of steeds steiler of steeds minder steil? Voldoet je grafiek bij e
hieraan?
Als je een grafiek moet tekenen dan moeten alle punten van de grafiek correct zijn.
f
Teken hieronder de versnelling-tij d-grafiek van de beweging van de tennisbal tussen 0 en 0,6
s.
g Wat is het verschil als men je vraagt een grafiek te schetsen of als men je vraagt een grafiek te
tekenen?
4H werkboek 2
14
KVI Vallende voorwerpen
Opgave 13
Een stalen kogeltje hangt aan een elektromagneet. Het hangt recht boven een cilinderglas waarin zich
glycerol bevindt (zie figuur l-7a). Deze figuur is niet op schaal getekend. De stroom door de spoel van
de elektromagneet wordt verbroken, zodat het kogeltje valt. De valbeweging wordt onderzocht door
de tijd te meten die verloopt tijdens het afleggen van de afstand AX. Dit gebeurt als volgt: op het
moment dat het kogeltje punt A passeert, onderbreekt het een lichtstraal tussen lampje L, en fotocel
FP Hierdoor start een klok (t = 0). De klok stopt weer bij het onderbreken van de lichtstraal tussen L2
en F2. De aldus gemeten tijd noemen we de valtijd tussen A en X. De plaats van A verandert
gedurende het experiment niet. Door de houder met L2 en F2 verticaal te verplaatsen kan de afstand
AX worden gevarieerd. In figuur l-7b is de hoogte uitgezet als functie van de bijbehorende valtijd.
a
fig 1-7
b
a
Bepaal met behulp van figuur l-7b de grootte van de snelheid van de kogel op 15 cm hoogte.
b
Wat voor beweging voert de kogel uit in de glycerol?
c
Bepaal de afstand tussen punt A en het vloeistofoppervlak.
d
Bepaal de grootte van de snelheid van het kogeltje op het moment t = 0 als het punt A passeert.
4H werkboek 2
versnelling
16
KV 2 Kracht en
Samenvatting KV 1
■
Als voorwerpen uitsluitend onder invloed van de zwaartekracht bewegen dan
is die beweging eenparig veranderlijk. De snelheidsgrafiek is een rechte lijn.
■
Als de luchtweerstand te verwaarlozen is dan vallen alle voorwerpen op
precies dezelfde manier.
■
De valversnelling hangt af van de plaats op aarde. De gemiddelde waarde van
de valversnelling is 9,81 m/s2.
■
De grootte van de luchtweerstand die een voorwerp ondervindt, hangt af van de
afmetingen van het voorwerp en van de snelheid van het voorwerp.
4H werkboek 2
versnelling
16
KV 2
KV 2 Kracht en
Kracht en versnelling
Over krachten hebben we al een aantal zaken geleerd:
-
Een voorwerp dat stil ligt, komt in beweging onder invloed van een kracht. Als
de krachten elkaar opheffen dan blijft het voorwerp stil liggen.
Een kracht in de richting van de beweging noemen we een kracht met versnellende
werking.
Een kracht tegen de bewegingsrichting in noemen we een kracht met vertragende
werking.
Als de krachten met versnellende werking groter zijn dan de krachten met vertragende
werking dan is de beweging versneld.
Als de krachten met versnellende werking kleiner zijn dan de krachten met vertragende
werking dan is de beweging vertraagd.
-
Als de krachten met versnellende werking even groot zijn als de krachten met
vertragende werking dan beweegt het voorwerp eenparig.
In tekeningen worden krachten aangegeven met pijlen.
De richting van de pijl komt overeen met de richting van de kracht en de lengte van de
pijl komt overeen met de grootte van de kracht.
De pijlen, die de krachten op een voorwerp weergeven, worden getekend vanuit het
midden van het voorwerp.
-
Opgave 1
a
Welke krachten werken er op de kogel die in de buis met olie eenparig
naar beneden beweegt?
b
Zijn deze krachten even groot? Licht je antwoord toe.
Krachten meten we met een geijkte veer. Als eenheid van kracht is de newton
afgesproken. De grootheid massa kennen we als maat voor de hoeveelheid stof. Als
eenheid van massa is de kilogram afgesproken.
De zwaartekracht die op een massa van1,000 kg werkt, is niet overal even groot. Op
de evenaar is deze kracht 9,780 N en op de noordpool 9,832 N. Neem je dit stuk
ijzer mee naar het maanoppervlak dan is het nog steeds 1,000 kg ijzer, maar de
zwaartekracht is nu nog slechts 1,620 N want de geijkte veer geeft nu 1,620 N aan.
De hoeveelheid ijzer is nog steeds hetzelfde, maar de zwaartekracht die erop werkt
is veel minder.
De zwaartefactor op de evenaar is 9,780 N/kg en de zwaartefactor op de noordpool
is 9,832 N/kg en de zwaartefactor op de maan 1,620 N/kg.
De gemiddelde waarde van de zwaartefactor aan het aardoppervlak is 9,81 N/kg.
Opgave 2
Beantwoord de volgende vragen en gebruik eventueel Overzicht en Oefening klas
2 hoofdstuk 4 Stl tot en met St4 over hoeveelheid stof, volume, massa en gewicht.
a
Hoe is de eenheid van massa afgesproken?
b
Hoe bepaal je de massa van een voorwerp?
4H werkboek 2
versnelling
c
16
KV 2 Kracht en
Waarom is de zwaartekracht die op een voorwerp werkt niet goed bruikbaar om
een
hoeveelheid stof op te geven?
4H werkboek 2
17
KV 2 Kracht en versnelling
d
Wat is het volume van een voorwerp?
e
Waarom is het volume niet goed bruikbaar om een hoeveelheid stof op te geven?
f
Waarom is de massa van een voorwerp wel goed bruikbaar om de hoeveelheid stof van een
voorwerp op te geven?
Opgave 3
In Bussum geldt voor de zwaartefactor: g = 9,813 N/kg.
a
Bereken de zwaartekracht op 784 g lood in Bussum.
We laten dit stuk lood van twee meter hoogte vallen. De luchtweerstand mag dan
verwaarloosd worden.
b
Welke versnelling krijgt het stuk lood?
In KEI merkten we al op dat de valversnelling gelijk is aan de zwaartefactor.
Om de zwaartekracht te berekenen moet de massa van een voorwerp vermenigvuldigd
worden met de zwaartefactor.
Fz = m.g
De valversnelling is gelijk is aan de zwaartefactor. Je kunt de zwaartekracht dus ook
berekenen met massa x valversnelling
Dit is een opvallend eenvoudig verband tussen de kracht op een voorwerp en de versnelling die het
voorwerp als gevolg daarvan krijgt.
4H werkboek 2
18
KV 2 Kracht en versnelling
In 1687 werd het grote werk van Newton gepubliceerd; Phylosophiae naturalis principia mathematica
(Wiskundige beginselen van de natuurfilosofie). Een van de resultaten van deze geschriften, die bekend
staan als Newton's Principia, is dat het bovenstaande eenvoudige verband tussen massa, kracht en
versnelling niet alleen voor de bewegingen als gevolg van de zwaartekracht geldt maar voor alle
bewegingen.
Als er een kracht op een massa werkt, dan verandert de snelheid van die massa. De
versnelling die de massa dan krijgt kan berekend worden met de wet van Newton:
F=m•a
a
F
is de versnelling in m/s2 m
is de massa in kg
is de kracht in N.
Als op een massa van 1 kg een kracht werkt die een versnelling van 1 m/s2 tot
gevolg heeft, dan is die kracht 1 N groot
4H werkboek 2
19
KV 2 Kracht en versnelling
Opgave 4
Voor vallende voorwerpen kenden we deze wet dus eigenlijk al. Beantwoord voor de gegevens van
opgave 3 de volgende vragen.
a
Hoe groot is de kracht?
b
Hoe groot is de massa?
c
Ga na dat hier met F = m.a inderdaad de versnelling wordt gevonden.
d
Leg uit waarom een voorwerp waarop een zwaartekracht werkt van 4,3 N en een
voorwerp waarop een zwaartekracht werkt van 9,5 N dezelfde valversnelling hebben.
Opgave 5
Als op de maan een voorwerp met een massa van 2,5 kg op 4,0 m hoogte wordt losgelaten dan
bereikt het na 2,2 s de grond. (In opgave 1 vind je de zwaartefactor)
a
Toon aan dat het voorwerp de grond bereikt met een snelheid van 3,6 m/s.
b
Bereken de versnelling tijdens de val.
c
Bereken de zwaartekracht die het voorwerp tijdens de val ondervindt,
d
Hoe groot is de zwaartefactor op de maan?
In de nu volgende opgaven ga je leren hoe je met de wet van Newton moet omgaan als
er behalve de zwaartekracht ook nog andere krachten een rol spelen.
4H werkboek 2
20
KV 2 Kracht en versnelling
Opgave 6
Op de luchtglijbaan wordt een glijdertje van 83 g in beweging gebracht door een propeller. Zie figuur
2-1.Tijdens de proef is de kracht van de propeller voortdurend 0,53 N. Bij het begin van de proef
stond het glijdertje stil; v(0) = 0 m/s. De plaats van het glijdertje op de verschillende tijdstippen werd
nauwkeurig gemeten en is in de onderstaande tabel vermeld.
plaats (m)
0
0,10
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
tijd (s)
0
0,18
0,25
0,35
0,43
0,50
0,55
fig 2-1
a1
Bereken uit plaats en tijd op t = 0,35 s de gemiddelde snelheid tussen 0 en 0,35 s.
a2
Bereken hieruit de versnelling tussen 0 en 0,35 s.
b
Voer dezelfde berekening uit voor t = 0,55 s.
Je zou kunnen nagaan dat voor alle andere tijden dezelfde versnelling gevonden wordt.
De beweging is dus eenparig versneld.
c
Op het glijdertje werken drie krachten. Teken in figuur 2-1 de krachten volgens de
afspraken die aan het begin van KE 2 zijn genoemd. Geef aan hoe groot ze zijn.
d
Er zijn twee krachten die eikaars werking opheffen. Welke?
e
Leg uit waarom we in dit geval kunnen zeggen dat de versnelling veroorzaakt wordt door
een kracht van 0,53 N.
In deze opgave werken er drie krachten op de glijder. Het effect van deze drie krachten is even groot
als van één kracht van 0,53 N. We noemen deze kracht de resultante van de drie krachten. De
resultante is de "netto kracht"
Opgave 7
Ga op de luchtglijbaan in het kabinet globaal na
a
welke soort beweging er ontstaat als een glijdertje met draaiende propeller wordt losgelaten.
b
hoe deze beweging verandert als de massa verdubbeld wordt (dus als er een tweede glijdertje bij
geplaatst wordt).
c
hoe deze beweging verandert als het glijdertje door twee propellers wordt aangedreven.
4H werkboek 2
21
KV 2 Kracht en versnelling
Opgave 8
Men heeft de volgende vijf proeven op een luchtglijbaan uitgevoerd. Bij verschillende
propellerkrachten en massa's werd de versnelling bepaald.
Bij elk van de vijf proeven wordt uitgegaan van een stilstaand glijdertje (v0 = 0 m/s).
I
II
IV
V
Er wordt een glijdertje van 0,125 kg gebruikt. De propellerkracht is 0,050 N.
Er wordt met dezelfde propeller aan een glijdertje van 0,250 kg getrokken. III
Er wordt met dezelfde propeller aan een glijdertje van 0,375 kg getrokken.
Er wordt een glijdertje van 0,125 kg gebruikt en er wordt aan het glijdertje met een
propellerkracht van 0,150 N getrokken.
Er wordt aan hetzelfde glijdertje met een propeller-kracht van 0,300 N getrokken.
De meetresultaten zijn in onderstaande tabel weergegeven.
I
II
III
IV
V
a
massa
0,125 kg
0,250 kg
0,375 kg
0,125 kg
0,125 kg
propellerkracht
versnelling
0,050 N
0,41 m/s2
0,050 N
0,20 m/s2
0,050 N
0,14 m/s2
0,150 N
1,2 m/s2
0,300 N
2,5 m/s2
Waarom heeft bij al deze experimenten de zwaartekracht geen invloed op de
versnelling?
Wat is hier telkens de resultante?
Ga voor alle proeven na dat geldt: F = m.a
b
c
Opgave 9
Op de luchtglijbaan wordt nog een meting gedaan met een glijder van 0,250 kg. Deze beweging is
eenparig versneld met een versnelling van 0,60 m/s2. De beweging begint vanuit stilstand,
a Bereken de zwaartekracht.
b
Bereken de propellerkracht.
c
Hoe groot is de resultante?
d
Bereken de afstand die het glijdertje in de eerste 1,5 seconden zal afleggen.
Opgave 10
Op een glijder van 2,0 kg op een luchtglijbaan werkt een horizontale kracht van 3,0 N.
a
Bereken de versnelling.
b
Hoelang moet deze kracht werken om de snelheid op 15 m/s te brengen?
4H werkboek 2
22
KV 2 Kracht en versnelling
Opgave 11
Een kracht van 5,0 N geeft aan een voorwerp A een versnelling van 2,0 m/s2. Dezelfde kracht geeft een
voorwerp B een versnelling van 8,0 m/s2.
Beide voorwerpen worden aan elkaar vastgemaakt. Aan dit nieuwe voorwerp wordt met een kracht
van 5,0 N getrokken.
Bereken de versnelling die het voorwerp krijgt.
Opgave 12
Op een stilstaand glijdertje van 100 g op een luchtglijbaan werkt van 0 s tot 0,90 s een kracht naar
rechts. Tijdens deze 0,90 s verplaatst het glijdertje zich over 0,80 m.
a
Bereken de versnelling.
b
Bereken de kracht.
c
Open de applet "Wet van Newton". Een massa M wordt door een klein gewichtje aan een
touwtje versneld. Er wordt gemeten tot de glijder een poortje op de baan passeert. Dit poortje
kun je verschuiven. Voer de applet uit waarbij je de massa van de glijder verdubbeld. Let op
wat er met de versnelling gebeurt.
Opgave 13
Op een glijdertje van 200 g wordt een horizontale kracht van 0,50 N uitgeoefend,
•
•
•
•
•
a
Bereken de versnelling die het glijdertje krijgt.
b
Zou het dezelfde versnelling krijgen als er naast deze kracht van 0,50 N een tweede
kracht van 0,10 N zou werken in de tegengestelde richting? c
Teken de krachten uit b schematisch met pijlen.
d
Welke kracht zou dezelfde uitwerking hebben als de twee getekende krachten uit c?
e
f
Hoe groot is nu de resultante?
Bereken met de resultante de versnelling die het glijdertje krijgt.
Als je de versnelling wilt berekenen en en er werken meerdere krachten op een
voorwerp dan moeten eerst alle krachten vervangen worden door één kracht.
Deze kracht noemen we de resultante van de krachten.
Met deze resultante en de massa kan vervolgens de versnelling berekend worden.
De resultante van alle krachten geven we aan met ∑F. Het teken ∑ (spreek uit sigma ) is
de Griekse hoofdletter S. Dit teken wordt in de wiskunde algemeen gebruikt als
sommatieteken. De resultante van de krachten is dus de optelsom van alle krachten op
het voorwerp.
De wet van Newton wordt geschreven als : ∑F = m.a. Onthoud deze formule.
4H werkboek 2
23
KV 2 Kracht en versnelling
Opgave 14
Op een horizontaal tafelblad ligt een blok hout van 0,25 kg. Als men in horizontale richting aan het
blok hout trekt met een kracht van 2,3 N dan gaat het bewegen met een versnelling van 5,6 m/s2. Zie
figuur 2-2.
a
Bereken de resultante van
krachten.
b
Bereken de
glijweerstand.
grootte
van
de
fig 2-2
c
Welke vier krachten werken er
tijdens de beweging op het blok hout? Geef van elke kracht de naam en de grootte.
d
Teken het blok hout en de vier krachten. Neem 1 cm voor 1 N.
Opgave 15
Een auto van 800 kg heeft een snelheid van 30 m/s. Op 0 s
wordt geremd. De remweg van de auto is 60 m.
Figuur 2-3.
a
Bereken de vertraging van de auto
b
Bereken de kracht waarmee geremd wordt
c
Teken de remkracht in de figuur.
fig 2-3
Opgave 16
De auto uit opgave 15 rijdt vanuit stilstand weg. De motorkracht bedraagt 2,0 kN
a
Bereken de versnelling die de auto zou krijgen als de weerstand te verwaarlozen zou zijn.
b
In werkelijkheid is de versnelling 2,0 m/s2
Bereken de resultante ∑F.
c
Bereken de grootte van de weerstand
4H werkboek 2
24
KV 2 Kracht en versnelling
Opgave 17
Iemand laat vanaf de domtoren een kartonnen doos naar beneden vallen. In figuur 2-4 is de
snelheid-tijd-grafiek van doos gegeven. De massa van de doos is 80 g.
a
Bereken de zwaartekracht (Fz ) op de doos.
fig 2-4
b Hoe kun je zien dat de luchtweerstand tijdens de val steeds groter wordt?
c
d
Geef in de tekening de krachten aan die tijdens de val op de doos
werken en schrijf de namen erbij,
Bereken met de raaklijn-methode de versnelling op 0 s.
e
Leg uit hoe groot de luchtweerstand op 0 s is.
f
Bereken de versnelling op 1,0 s
g
Bereken de resultante SF van de krachten op 1,0 s.
h
Bereken de weerstand op 1,0 s
i
Bereken op dezelfde manier de weerstand op 2,0 s.
j
Hoe groot is de weerstand na 3,2 s?
k
Leg uit waarom de weerstand na 3,2 s niet meer toeneemt.
1
Schets hoe de grafiek verandert bij gebruik van een grotere doos van 80 g.
m
Schets hoe de grafiek zou lopen voor een loden kogel van 80 g.
4H werkboek 2
25
KV 2 Kracht en versnelling
Opgave 18
In figuur 2-5 geeft lijn a de snelheid-tij d-grafiek van een auto die vanuit stilstand met vol gas wegrijdt.
fig 2-5
a
Teken in figuur 2-6 de krachten die direct na 0 s op de auto
werken Schrijf de namen erbij.
b
Tussen welke tijdstippen is de beweging eenparig
versneld?
fig 2-6
c
Hoe komt het dat de versnelling in de loop van de tijd kleiner wordt?
d
Vanaf welk tijdstip is de versnelling 0?
e
Wat kun je zeggen van de resultante tijdens deze beweging?
f
Bereken de versnelling op 0 s.
g
Bereken de resultante op 0 s als gegeven is dat de massa van de (niet beladen) auto 15,6-103
kg is.
h
Als nog gegeven is dat de (constante) rolweerstand 20 kN bedraagt, bereken dan de grootte
van de motorkracht in het begin.
i
Vergelijk de grootte van de weerstand en de grootte van de motorkracht als de
versnelling
nul
is
geworden.
4H werkboek 2
26
KV 2 Kracht en versnelling
Opgave 19
In figuur 2-5 geeft lijn b de snelheid-tijd-grafiek van de auto uit 18 wanneer deze beladen vanuit
stilstand vol gas wegrijdt.
a Wat kun je over de grootte van de motorkracht zeggen bij beide bewegingen?
b Tussen welke tijdstippen is bij lijn b de beweging eenparig versneld?
c Tot welke snelheid is bij elk van de auto's de beweging eenparig versneld?
d Welk verschil merkje op in het eenparig versnelde deel als je de bewegingen vergelijkt?
e De grootte van de weerstand bij een onbeladen en een beladen auto zal niet zoveel
verschillen. Dit komt doordat de weerstand voornamelijk veroorzaakt wordt door de
luchtweerstand en die is voor een beladen en een onbeladen auto hetzelfde.
Wat kun je over de topsnelheid bij beide bewegingen uit figuur 2-2 zeggen als je de
weerstand in beide gevallen even groot veronderstelt?
f Bereken de versnelling van de beladen auto op 0 s.
g Bereken de massa van de beladen auto.(De motorkracht heb je bij 18 h al berekend)
4H werkboek 2
27
KV 2 Kracht en versnelling
Opgave 20
In figuur 2-7 is weergegeven hoe voor een bepaalde auto met een massa van 960 kg de weerstand
afhangt van de snelheid. De vorm van de grafiek kan als volgt verklaard worden. Een deel van de
weerstand is de rolweerstand. Deze treedt op doordat tijdens het rollen de banden steeds opnieuw op een
andere plaats worden ingeduwd. De rolweerstand blijkt nauwelijks afhankelijk van de snelheid te zijn.
(In dit voorbeeld is de rolweerstand 100 N).
fig 2-7
Een ander deel van de weerstand is de luchtweerstand. Deze is bij lage snelheid nauwelijks merkbaar
en is wel duidelijk afhankelijk van de snelheid,
a
Hoe groot is bij 30 m/s de luchtweerstand?
b
Hoe groot moet de motorkracht zijn als de auto constant met een snelheid van 25 m/s rijdt?
c
Bereken de versnelling van de auto bij een snelheid van 20 m/s als de
motorkracht 400 N is.
Als een voorwerp met niet al te grote snelheid over een oppervlak glijdt of gesleept wordt dan is er
glijweerstand. De glijweerstand hangt af van de aard van de oppervlakken die langs elkaar heen glijden
en van de mate waarin ze tegen elkaar aan gedrukt worden. De glijweerstand is vrijwel niet afhankelijk
van de snelheid.
Opgave 21
We kennen nu dus drie typen weerstand: de luchtweerstand, de glijweerstand en
derolweerstand. De eerste hangt sterk van de snelheid af. De andere twee nauwelijks
4H werkboek 2
28
KV 2 Kracht en versnelling
Als je in het verkeer rijdt is het belangrijk voldoende afstand te houden. Een auto van 800 kg rijdt met
een snelheid van 10 m/s en ziet plotseling iemand oversteken. Hij besluit direct zo snel mogelijk te
stoppen. In figuur 2-8 is met lijn A de snelheid-tijd-grafiek getekend van
deze auto. Het moment dat de automobilist de persoon ziet is in de grafiek met een pijl
aangegeven. We verwaarlozen de luchtweerstand bij deze opgave.
fig 2-8
a
fig 2-9
b
De tijd die verstrijkt tussen het zien en het indrukken van de rem wordt veroorzaakt door de
reactietijd.
Hoeveel bedraagt de reactietijd van de automobilist?
Bereken de afstand die hij bij beweging A in deze tijd nog aflegt.
c
Bereken de afstand die hij nog aflegt tijdens het afremmen.
d
Bereken de remkracht
e
Bij remmen maakt men wel onderscheid tussen de remafstand en de stopafstand. Met
remafstand bedoelt men de afstand die tijdens het remmen wordt afgelegd.
Hoe groot is de stopafstand hier?
f
g
In figuur 2-9 is de remafstand als functie van de snelheid weergegeven. Ga na dat de
remafstand bij 30 m/s juist is weergegeven,
Open de applet "stopafstand". Onderzoek hiermee je reactietijd.
h
De stroefheid van de weg wordt aangegeven met een getal. Als je dit getal vermenigvuldigt
met de zwaartekracht vindt je de maximale glijweerstand
Welk stroefheidsgetal is van toepassing op de grafiek van fig 2-9?
4H werkboek
30
KV 3 Kracht als vector
Samenvatting KV 2
■
Met een kracht kan een voorwerp versneld worden.
■
Als er meerdere krachten werken, dan moeten deze worden samengenomen. De resultante
van deze krachten (∑F) en de massa (m) bepaalt de grootte van de versnelling (a). De
tweede wet van newton luidt: ∑F = m.a.
■
Als er geen versnelling is staat een voorwerp stil óf het beweegt eenparig. In beide
gevallen geldt dan dat ∑F = 0.
■
De luchtweerstand hangt sterk af van de snelheid; rolweerstand en glijweerstand
hangen niet noemenswaardig van de snelheid af.
4H werkboek
30
KV 3 Kracht als vector
KV 3: Kracht als vector Opgave 1
Een boot ligt stil in het water. Zie figuur 3-1. De massa van de boot is 2,2-105 kg.
a
Behalve de zwaartekracht werkt er nog een kracht.
b
Teken beide krachten.
Leg uit hoe groot deze is.
Waarschijnlijk heb je in b twee pijlen getekend die vanuit een punt ongeveer
fig 3-1in het midden
van de boot beginnen. De hele zwaartekracht op de boot geven
we met één pijl aan. Hetzelfde geldt voor de opwaartse kracht van het water.
c
Het gezamenlijk effect van de krachten noemen we de resultante. We geven die aan met
Fres of ΣF
Hoe groot is de resultante van beide krachten?
Opgave 2
In een kanaal wordt een boot door twee sleepboten voortgetrokken. In een bovenaanzicht zijn de boten
getekend. De krachten waarmee de sleepboten trekken is in figuur 3-2 aangegeven.
a
Het is mogelijk de twee
sleepboten te vervangen door
één andere sleepboot zodat het
effect precies gelijk blijft. De
kracht van deze ene sleepboot
fig 3-2
noemen we weer de resultante.
Welke richting heeft de resultante en hoe groot is deze?
b
In figuur 3-3 trekken dezelfde twee sleepboten op niet zo'n slimme manier de grote boot.
fig 3-3
c
Hoe groot is hier ΣF en wat is de richting van ΣF? Opgave
3
In figuur 3-4 trekken de sleepboten elk met een kracht van 30 kN onder een hoek van 30°. Het
is weer mogelijk de twee boten te vervangen door één andere sleepboot zodat het effect
precies gelijk blijft. Deze vervangende kracht noemen we hier ook ΣF.
4H werkboek
31
KV 3 Kracht als vector
fig 3-4
a
Geef in de tekening de richting aan van deze resultante.
De vraag is hoe groot deze resultante is. Uit ervaring weten we dat de resultante kleiner wordt
als de hoek groter wordt.
b
Tussen welke grenzen kan de grootte van ΣF liggen? Opgave
4
In figuur 3-5a hangt een voorwerp van 1,0 kg aan twee touwen.
a
De twee touwen kunnen vervangen worden door één touw. Zie figuur b. Hoe
groot is de spankracht in dit touw?
b
De twee touwen in figuur a doen samen wat het ene touw in figuur b doet.
Hoe groot is de resultante van de twee span-krachten in figuur a? Welke richting heeft
deze resultante. Teken deze resultante.
c
Wat is de grootte en richting van de resultante als in figuur a een massa van 2,3 kg aan de
touwen hangt.
a
fig 3-5
b
4H werkboek
32
KV 3 Kracht als vector
Opgave 5
In figuur 3-6a zie je een opstelling waarmee de spankrachten kunnen worden gemeten.
a
fig 3-6
b
Een voorwerp van 3,5 N hangt aan een touw en wordt door twee andere touwen in evenwicht
gehouden. Met de veren 1 en 2 kunnen de spankrachten in de touwen gemeten worden. Veer
1 geeft 2,6 N aan en veer 2 geeft 2,1 Naan.
In het knooppunt K werken dus drie bekende krachten.
a
b
c
d
e
Teken vanuit K met een pijl de kracht van de linker veer. Neem 1 cm = 1 N.
Teken ook vanuit K de kracht van de rechter veer op schaal.
Hoe groot is de resultante van de twee getekende krachten?
Teken deze resultante ook vanuit K in de juiste richting en op schaal.
Verbind de pijlpunten van de twee spankrachten met de pijlpunt van de resultante.
f
Ga na dat je een parallellogram getekend hebt. De zijden van het parallellogram geven
de grootte en de richting van de spankrachten en de diagonaal geeft de grootte en de
richting van de resultante.
g
In figuur 3-6b is de hoek tussen de touwen wat veranderd. De gegevens staan weer in
de tekening.
Herhaal nauwkeurig de opdrachten a tot en met f.
h Open de applet "drie krachten in evenwicht" en onderzoek een paar
situaties.
4H werkboek
33
KV 3 Kracht als vector
Opgave 6
a
Het blijkt dus dat de resultante van twee gegeven krachten niet zomaar gevonden kan
worden door de krachten op te tellen.
Welk gegeven moet je nog meer hebben?
b In figuur 3-7 is de constructie nog eens weergegeven. F 1 en F2 zijn de afzonderlijke
krachten en ΣF is de resultante.
fig 3-7
Als F1 en F2 krachten zijn dan kun je de resultante van deze krachten ΣF vinden door de parallellogramconstructie. Zie figuur 3-7.
c
In figuur 3-8 is de tekening uit figuur 3-4 nog eens weergegeven.
fig 3-8
Zoals je ziet zijn de krachten van de twee sleepboten in P op schaal getekend. Bepaal de
grootte van de resultante.
4H werkboek
34
KV 3 Kracht als vector
Opgave 7
In figuur 3-9a t/m d zie je telkens twee krachten van 3,0 N. (1cm = 1N)
a Bepaal voor elke situatie met de parallellogramconstructie de resultante.
a
c
b
d
fig 3-9
b
In welke
figuur kun je de grootte van de resultante direct berekenen?
c
Tussen welke uiterste waarden ligt de grootte van de resultante bij twee krachten van
3,0 N?
d Bij welke hoek tussen de krachten is de resultante even groot als de afzonderlijke
krachten?
Opgave 8
In figuur 3-10 zijn twee krachten F1 en F2 getekend
(1 cm = 1,0 N). Ze staan loodrecht op elkaar.
a Teken de resultante van deze twee krachten.
b Meet de lengte van de resultante en bereken hieruit de
grootte.
c
Je kunt de grootte van SF ook met de stelling van
Pythagoras berekenen. Controleer hiermee je
antwoord uit b.
d
De hoek tussen ΣF en F2 noemen we a. Bereken tana met tana =
e
vervolgens de grootte van a.
Controleer je berekening door met je geo a op te meten.
fig 3-10
F1
en bereken
F2
4H werkboek
35
KV 3 Kracht als vector
Opgave 9
In figuur 3-11 is een voorwerp van 64 N aan twee touwen 1 en
2 opgehangen. De zwaartekracht op het voorwerp is met F 2
aangegeven.
De spankracht langs touw 1 is ook met een pijl
aangegeven
a
Op welke schaal is Fz getekend?
b
d
Hoe groot is de spankracht van touw 1 ?
c Teken in de figuur de grootte en de richting van de
resultante van de spankrachten in touw 1 en 2.
Bepaal nu met de parallellogramconstructie de grootte
van de spankracht in touw 2.
fig 3-11
Opgave
10
In figuur 3-12 hangt een uithangbord aan een touw 3. De touwen 1 en 2 houden het geheel in
evenwicht. De grootte van F2 is in de figuur
gegeven. I N = lcm.
a
Verschuif de pijl die F2 aangeeft tot hij in het knooppunt K
van de touwen begint.
b
Bepaal door een constructie de groottes van de
spankrachten in de touwen 1 en 2.
Krachten worden dus opgeteld met de
parallellogramconstructie. Er volgen nu een
aantal situaties waarbij een gegeven kracht ontbonden wordt in twee andere krachten.
fig 3-12
4H werkboek
36
Wiskundig intermezzo:
SOS CAS TOA
is de ezelsbrug om te onthouden dat:
sin
α=
O
S
cos α =
tan α =
A
S
O
A
NB
Je rekenmachine moet wel in graden (Deg) rekenen.
Opgave
11
a
Hoek α = 41°.
Bereken de lengte van AB en BC.
b
Hoek ß = 75°.
Bereken de lengte van DE en EF.
KV 3 Kracht als vector
4H werkboek
37
KV 3 Kracht als vector
Opgave 12
Eén kracht kun je door twee of meer krachten vervangen zodat het gezamenlijke effect van deze
krachten hetzelfde is als de oorspronkelijke kracht. We noemen dit het ontbinden van een kracht in twee
componenten. Als je vervolgens die componenten weer bij elkaar optelt dan moetje de
oorspronkelijke kracht terugkrijgen.
a
fig 3-13
b
a
In figuur 3-13a is een kracht F gegeven. Met stippellijnen zijn twee richtingen
aangegeven. Teken nu twee krachten die in de gestippelde richtingen moeten lopen zodat ze
opgeteld de gegeven kracht F geven. (Aanwijzing: maak eerst het parallellogram af.)
b
In figuur 3-13b is een kracht F ontbonden in een kracht F1 en een kracht F2. Deze
krachten staan loodrecht op elkaar. Bij ontbinden in 2 onderling loodrechte richtingen,
kunnen de componenten F1 en F2 makkelijk berekend worden. In figuur 3-13b is dit
F1
weergegeven. Als α de hoek is tussen F en F1 dan geldt: cos a = F en
sin a=
F2
F
Hieruit volgt:F1 = F-cosα en F2 = F-sinα.
Meet de lengten van F, Fl, F2 en de grootte van hoek a en laat met een berekening zien
dat F1 = F-cosα en F2 = F-sinα.
Soms worden de onderling loodrechte richtingen de x- en y-richting genoemd. De componenten
noemen we dan de x- en de y-component van de kracht F. We geven ze aan met Fx en Fy. Onthoud
de formules om deze componenten te kunnen berekenen. In figuur 3-13b zit hoek α tussen F 1 en F. F1
is de aanliggende zijde. Bij de aanliggende zijde hoort de component met “cos”.
Opgave 13
In figuur 3-14 is een kracht F getekend. F = 40 N.
a
Meet hoek a en bereken Fx en Fy.
b
Teken Fx en Fy.
fig 3-14
4H werkboek
38
KV 3 Kracht als vector
Opgave 14
Soms staan de assen schuin en willen we de componenten
langs de schuine assen weten. Bijvoorbeeld als een fietser van de
helling af rijdt. De massa van de fiets plus fietser is 90 kg. Zie
figuur 3-15.
a
Ontbindt de zwaartekracht in twee onderling loodrechte
componenten: één evenwijdig aan het tafelblad en één er
loodrecht op.
b
Bereken de grootte van deze componenten.
Opgave 15
De volgende proef wordt uitgevoerd. Zie figuur 3-16a.
Een karretje van 0,30 kg wordt op een tafel gezet.
0,30 kg
a Welke krachten werken op het karretje? Hoe
groot zijn ze?
fig 3-15
b Teken deze krachten. Neem 1 N = lcm
De kracht die je omhoog hebt getekend is de
fig 3-16a
steunkracht van de tafel. Deze kracht ontstaat
doordat de tafel (heel weinig) is ingeduwd. Je
kunt deze kracht opvatten als het terugduwen van de tafel. De richting van deze kracht is dus loodrecht
op het vlak. Hij wordt daarom ook normaalkracht genoemd en wordt aangegeven met FN.
Vervolgens wordt de tafel iets opgetild zodat de
hellingshoek 20° is. Om te voorkomen dat het karretje naar
beneden rolt wordt er met een geijkte veer langs het vlak
naar boven getrokken. Zie figuur 3-16b.
De veer blijkt 1,0 N aan te wijzen.
0.30 kg
c Teken vanuit het midden van het karretje de zwaartekracht en
de kracht van de geijkte veer.
De normaalkracht moet de resultante van de
andere twee krachten dus opheffen.
fig 3-16b
d Bepaal met de parallellogramconstructie de
resultante van zwaartekracht en veerkracht, e
Teken nu de normaalkracht.
f Ontbindt de zwaartekracht in twee onderling loodrechte componenten: één evenwijdig aan het
tafelblad en één er loodrecht op.
g Wat valt je op als je deze componenten vergelijkt met de normaalkracht en de kracht van de
veer?
Studiehulp 4H
40
Vallende voorwerpen KV1
Opgave 16
Een voorwerp van 26 N ligt stil op een helling van 11°. Zie figuur 3-17. We gaan de
zwaartekracht ontbinden in twee componenten die langs de stippellijnen lopen.
a
Hoe groot is de resultante van alle krachten
samen die op het voorwerp werken?
b
Ontbindt door constructie de zwaartekracht in
twee loodrechte componenten in de
gestippelde richtingen,
Bereken deze twee componenten.
c
d
Hoe groot is de weerstand die het blok ondervindt?
fig 3-17
Samenvatting
Als F 1 en F2 krachten zijn dan kun je ΣF vinden met de parallellogramconstructie. Zie figuur 3-18a.
F x = F -cosu
a
fig 3-18
b
Omgekeerd kun je een gegeven kracht vervangen door twee andere krachten
In figuur 3-18b is een kracht F ontbonden in twee componenten.
De x- en y-componenten van een vector F vind je met: Fx = F-cosα en Fy = F-sinα.
Hierbij is α de hoek tussen F en de positieve x-as.
Zijn de componenten Fx en Fy bekend dan kun je met de stelling van Pythagoras de grootte van de
resultante F uitrekenen.
F=
( Fx)2  ( Fy)2 en met tanα =
FY
FX
kun je de hoek α die de resultante met de x-as maakt berekenen.
Studiehulp 4H
40
Vallende voorwerpen KV1
Studiehulp
1 Vallende voorwerpen
la
lb
lc
ld
1e
ja.
nee, de beweging is versneld
 Zie linker figuur
zwaartekracht.
?
2a
2b
2c
2d
2e
2f
2g
proef.
op 0,01 s.
proef; dezelfde valtijd.
proef.
 zie rechter figuur
klopt?
Bij 0,40 s hoort een valafstand van 78 cm. De kogel is dan op 100 - 78 = 22 cm hoogte
3a
2 9m/s
 Gebruik fig 1-2.
3b  zie figuur
3c rechte lijn in v-t-grafiek.
 a = ∆v/∆t voor
interval of raaklijn
3d
9,8m/s2
3e
v = 9,8.t
3f
3g
uit proef 2c heb je dezelfde tijden gevonden.
0,36m
Bereken eerst de gemiddelde snelheid van
0,0 tot 0,27 s (l,3m/s). Dit is de snelheid
halverwege en bereken hiermee de
verplaatsing.
4a
4b
4c
eenparig rechtlijnig.
eenparig versneld rechtlijnig.
zwaartekracht en weerstand van de olie.
Studiehulp 4H
5e
41
5a de kogel.
5b nu geen verschil
5c de luchtweerstand
Bij de kogel is het verschil tussen de zwaartekracht en de luchtweerstand veel groter.
6a
Nee, want bij zeer grote snelheid wordt de luchtweerstand wel merkbaar.
6b Als de snelheid groot is.
7a
7d
7f
Vallende voorwerpen KV1
Bij de beweging van de vrij vallende kogel.
7b De snelheid blijft constant.
7c ja want de snelheid neemt toe..
De versnelling is in het begin 9,81 m/s2 en wordt steeds kleiner, want de helling van de
grafiek wordt steeds kleiner.
7e Bij grotere snelheden is de versnelling kleiner.
 als de snelheid constant is, want dan is de beweging eenparig
16 m/s
en zijn de krachten evengroot en tegengesteld.
7g dan zal vanaf 2,0 s de versnelling weer 9,81 m/s zijn.

Studiehulp 4H
8a
op 500m
8b
 Zie linker figuur
42
Vallende voorwerpen KV1
 Bereken de valafstand tussen 10 en 20 s en trek die af van de
Op 10 s gegeven hoogte.
Vanaf 6,0 tot 25 s is de beweging eenparig met een snelheid van 40 m/s. Omdat op 10s
de hoogte 900 m is moet de hoogte op 6,0 s 1040 m en op 25 s 300 m zijn. Na 25 s is de
beweging eenparig met een snelheid van 1,5 m/s.
8c Zie rechter figuur.
Voor de eenparige gedeelten van de beweging zijn de snelheden gegeven. Voor de
eerste 6,0 s schets je een versnelde beweging met een steeds kleiner wordende
versnelling. 8e
8e 22 m2
8f Hij moet op minimaal 100 m de parachute openen.
9a
9b
3.3m/s
6,6m/s
9c
3 7m/s2
9d
klopt
Gebruik vgem = afstand / tijdsduur
vgem isde snelheid halverwege.
 Bereken met de gemiddelde snelheid eerst v(l,8)
en bereken daarmee dan a = v / t
(6,6m/s)

10a 22,6m/s
 Als s = 0 boven is en de beweging naar de grond een
10b 22,6+9,8t
is verwaarloosbaar dus de valversnelling is
 De weerstand
2
beweging in de positieve richting is.
10c 45,6m/s
9,81 m/s .
 Gebruik de snelheidsformule en de gegeven valtijd.
10d 34,1m/s
 Gebruik de begin- en de eindsnelheid om de gemiddelde
10e
Gebruik de gemiddelde snelheid uit d en de gegeven tijd om
snelheid uit te rekenen.
de verplaatsing te berekenen.
11a 0.033s
11b 4.2m/s
1 1 c 14 afbeeldingen
 Bereken met 30 flitsen per 1 s de tijd tussen twee flitsen.
 Gebruik vgem = afstand / tijdsduur = 14 (cm): 0,033.
 Op 84 cmls de snelheid 4,2 m/s, a = 9,81 m/s2, dus op 0,43 s
is de kogel op 84 cm. Dit zijn 0,43/0,033 = 13 flitsen. Plus de
flits op 92 cm.
Studiehulp 4H
12a op 0,40s
43
Vallende voorwerpen KV1

De snelheid zal dan op zijn grootst zijn en bij het stuiteren
verandert de richting van de snelheid.
12b op 0,60s
 Op het hoogste punt keert de bewegingsrichting om en is de
snelheid dus even 0.
12c Ja want de beweging is eenparig versneld met een versnelling van 9,8 m/s2.

12d
Bereken eerst de gemiddelde snelheid voor dit deel van de
0,20m
beweging (tussen 0,40 en 0,60 s) en dan de verplaatsing.
12e
zie linker figuur

12f
Zie rechter figuur.
0,14m/s
12g Bij het schetsen geef je de belangrijke punten zoals beginpunt, eindpunt, hoogste of laagste punt
en verder moet de vorm van de grafiek juist zijn. Bij tekenen van een grafiek moet elk punt
kloppen.

13a
v
=
As/At
van
interval
of
raaklijn.
0,14m/s
13c
50cm
0,14m/s
13d -0,97m/s
13b Eerst vertraagd maar al snel eenparig.
 Bepaal eerst in de grafiek het tijdstip/de hoogte waarop de
vertraging begint (0,25 s) en bereken dan de afstand.
 Gebruik raaklijn.
Studiehulp 4H
44
Vallende voorwerpen KV1
2 Kracht en versnelling
la
lb
Zwaartekracht en weerstand van de olie.
Ja, want de kogel beweegt eenparig.
2a
2b
De massa van een voorwerp is 1,0 kg als het evenveel weegt als 1,0 liter water van 4°C.
Door evenwicht te maken op een balans of door het gewicht te delen door de
zwaartefactor of met een weegschaal die voor die plaats geijkt is.
De zwaartekracht verandert bij verplaatsen zonder dat de hoeveelheid verandert, want
je hebt er geen stof bijgedaan of afgehaald.
de ruimte die het voorwerp inneemt.
Als een stuk ijzer bij verwarmen uitzet, verandert het volume wel maar de hoeveelheid
niet wantje hebt er geen stof bijgedaan.
De massa verandert alleen als je er iets bij doet of afhaalt, de massa verandert niet bij
verwarmen of verplaatsen.
2c
2d
2e
2f
3a
7,60N

3b
9,81 m/s2

4a
7,60N

Zie 3a.
4b
0,784kg

Zie 3a.
4c
4d
Gebruik de zwaartefactor.
Zonder weerstand vallen alle voorwerpen met deze
versnelling, zie KVE1 opg 7g.
Ja, deel 7,69 door 0,784 want a = F/m.
de massa's van de voorwerpen zijn in verhouding met de gewichten. Dus als je een gewicht deelt
door de massa komt er steeds hetzelfde uit.
5a
klopt

5b
1,6m/s2

Gebruik a = Av/At voor interval of raaklijn.
5c
4,0N

Gebruik F = m.a.
5d
1,6N/Kg

Fz=
6al
2,3 m/s

Gebruik vgem = AslAt. Bedenk dat vgem = v haiverwe ge-
6a2
6,5 m/s2

Gebruik a = Av/At
6b
6,5 m/s2

zie a
6c
6d
6e
7a
7b
7c
Veerkracht 0,53 N en zwaartekracht 0,81 N, en kracht van de baan omhoog 0,81 N.
De twee verticale krachten heffen eikaars werking op.
Zie d.
versneld.
versneld maar met kleinere versnelling.
versneld maar nu met grotere versnelling.
8a
8b
8c
In verticale richting heffen de krachten elkaar op.
De propellerkracht.
Klopt mooi.
bereken eerst de gemiddelde snelheid v m = As/At. Deze
uitkomst geeft de snelheid halverwege en Dereken daarna de
eindsnelheid ; de beginsnelheid bij loslaten is 0.
m.g.
Studiehulp 4H
45
Vallende voorwerpen KV1
9a
2,5N
 Gebruik F = m.g.
9b
0,15N
 Gebruik F= tn.a.
9c
0,15N
 Bedenk dat Fz wordt tegengewerkt door de opwaartse kracht
9d
68cm
 Bereken eerst v(l,5), bereken dan vgem tussen 0 en 1,5 s en
van de uitstomende lucht.
bereken daarmee de verplaatsing.
10
10s
 Bereken eerst a=F/m en dan met de snelheidsformule de tijd.
11
1,6m/2
 Bereken eerst mA (massa van A) en mB met F= m.a en
daarna a=F/(mA+ mB).
12a
2,0m/s2
12b
0,20N
 Bereken eerst vgem, bereken dan v(0,90) en bereken daarmee a,
a= Δ v/ Δ t.
 F = m.a
13a
2,5m/s2
 Gebruik F=m.a.
13b Nee, 0,10 N werkt remmend dus
kleinere a.
13c 
13d E e n k r a c h t van 0.40 N n a a r rechts.
0,10 N
13e0,40N
14a
1,4N
 Gebruik F=m.a
 Gebruik  F=m.a.
14b
0.9N
 Gebruik
13f2,0m./s2

F=F1-F2
14c  zie figuur
trekkracht is 2,3 N, glijweerstand is 0,9 N,
zwaartekracht is 2,5 n, en steunkracht van de
tafel is 2,5 N.
14d  zie figuur
15a
7,5m/s2
15b
15c
6,0kN
16a
2.5m/s2
16b
16c
1.6kN
vgem tijdens het
remmen is 15 m/s
 F = m-a
  F = m -a
 F = m - f l
0,4kN
17a 0,78N
17b De grafiek gaat steeds minder steil lopen
17c Zwaartekracht (Fz) en weerstand (Fw)
17d
9,8m/s2
 gelijk aan de valversnelling.
0,50 N
Studiehulp 4H
17e
0N
17f
17g
6,7
17h
0,24N
0,44N
m/s2
0,54N
46
Vallende voorwerpen KV1
 De snelheid is nog 0.
 teken raaklijn aan de grafiek en bepaal Δ v/ Δ t.



F=m.a = F z - F w

F = Fz-F W .F Z = 0,78 N
2
17i
 a = 4,3 m/s
0,78N
 Gelijk aan Fz want  F=m.a=0.
17j
17k De snelheid wordt niet meer groter.
171 De helling op t = 0 blijft even groot maar daarna loopt de grafiek sneller horizontaal.
17m De snelheidgrafiek blijft recht.
18a Zwaartekracht en steunkracht van de weg in verticale
richting. De zwaartekracht en de steunkracht zijn evengroot
en tegengesteld.
Motorkracht en rolweerstand in horizontale richting. De
auto beweegt nog niet, dus er is geen luchtweerstand.
18b
0 tot 3s
 Dan is de grafiek van a nog een
rechte lijn.
De luchtweerstand wordt steeds groter.
 Bedenk dat de grafiek dan
Vanaf 15s
horizontaal is.
18e Die wordt steeds kleiner omdat de luchtweerstand groter wordt.
18f
 Gebruik a = Av/At voor interval of raaklijn, let erop dat de
4,2m/s2
snelheid in de grafiek in km/u is.
 Gebruik  F=m.a.
18g 65kN
18h 85kN
  F= Fm - Frol.
18c
18d
85kN
18i
  F=0 dus F1=F2 en tegengesteld.
19a evengroot, de motor is hetzelfde
19b Bij b:0-5,0s
 Het stijgende deel is een rechte lijn.
19c Voor beide tot 50 km/u.
19d De beladen auto heeft een kleinere versnelling bij dezelfde motorkracht.
19e Dezelfde topsnelheid.
19f
 Bereken a = Av/At met raaklijn voor grafiek b, maar reken
2,5m/s2
eerst km/u om in m/s.
19g 34.103kg
 Gebruik  F=m.a
20a
20b
3,2.102N
3,3.102kg
 Totale weerstand (zie grafiek) - rolweerstand (zie grafiek).
 Gebruik grafiek.
20c
0,16m/s2
 Bereken eerst
21a
0,5 s
5,0 ,m
21b

21c 10 ,m

21d 4,0 kN

21e 15 m

21f v e e m = 15 m/s en t = 6,0 s
21g 0,7 ongeveer

F=F;+F2 en bereken dan a=  F/m.
s=vt
vgem= 5,0 m/s en t = 2,0 s
a = 5,0 m/s2-► Fw = 4,0 kN
reactieafstand + remafstand
Studiehulp 4H
47
3 Kracht als vector
3.1 Kracht
la
b
c
Het zelfde als de zwaartekracht maar dan omhoog dus
2,2-106 N.
Zie figuur
0
2a
b
55 kN naar rechts,
5 kN naar rechts
3a
b
Iets minder dan 60 kN
4a
b
c
9,81 N.
9,81 N recht naar boven,
2,3-9,81= 23 N
5a
Zie linker figuur
b
c
g
3,5 N
Zie rechter figuur. Zelfde resultaat
Vallende voorwerpen KV1
Studiehulp 4H
48
Vallende voorwerpen KV1
6a De hoek tussen de krachten,
c
b
c
d
In a. Met Pythagoras,
Tussen 0 en 6,0 N.
Bij een hoek van 120°
8a+ b Zie figuur.
c
3,0 2  4,0 2 =5,0
d
e
tan a = 3/4 - > a = 37°
Klopt het? Hopelijk wel!
9a
b
c
d
De pijl is 3,2 cm lang ->1 cm = 20 N.
Deze pijl is 2,7 cm lang -► 54 N.
Zie figuur
Zie figuur 40 N.
fig 2-11
Studiehulp 4H
49
Vallende voorwerpen KV1
10a
Fz = 2,0
11a
b
N
cos 41° = AB/16 -> AB = 16 x cos 41° = 12,1 sin
41° = BC/16 -> BC = 16 x sin 41° = 10,5
cos 75° = DE/2,5 -> DE = 2,5 x cos 75° = 0,657 sin
75° = EF/2,5 -> EF = 2,5 x sin 75° = 2,41
12a
b
 = 40°. F = 4,5 N -> F1 = 4,5·cos40 = 3,5 N en F2 = 4,5·sin40 = 2,9 N
13a
 = 42° -> Fy = F ·sin  = 40·sin42 = 27 N en Fx = 40·cos42 = 30 N
b
Zie figuur.
y
Studiehulp 4H
50
Vallende voorwerpen KV1
14a zie figuur
b
Fevenw=Fz·sin  = 90·9,8·sinl0 = 153 N
FloodrechtFzcos 1 1 = 90·9,8·cosl0 = 869 N.
15a Fz en F N . Ze zijn even groot 0,30·9,81 = 2,9 N
b Zie figuur a.
fig a
fig b
Studiehulp 4H
50
c+d+e+f: zie figuur b
g
Feven=Fven Floodrecht=FN
16a 0 N want het voorwerp ligt stil.
b
Zie figuur.
c
Fevenw = Fz·sin  = 26·sinl 1 = 5,0 N
F loodrecht = Fz·cos 11 = 26 N.
d
Fw=Fevenw->Fw=5,0N.
Vallende voorwerpen KV1
Studiehulp 4H
50
Vallende voorwerpen KV1
Formules:
1
vgem
s
t
Toepassing 1:
Met de raaklijnmethode kun je uit een (s,t)-diagram de snelheid v op tijdstip t bepalen. Toepassing
2:
2
Met een middelende lijn kun je de gemiddelde snelheid bepalen in een (v,t)-diagram. A v
v
a=
t
Toepassing: met de raaklijnmethode kun je uit een (v,t)-diagram de versnelling a op tijdstip t bepalen.
3
v(t) = v( 0 ) + a · t voor een eenparig versnelde beweging
4
v(t) = 9,8 · t bij een valbeweging zonder beginsnelheid
5

6
F z = m ·g
F = F res= m·a
De tweede wet van Newton
Formule voor zwaartekracht.