De gulden snede

Collegeweek 2:
De Gulden Snede
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
1
Inhoud
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
De regelmatige veelvlakken
Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken
Van Paciola tot Escher
De regelmatige vijfhoek
Een bijzonder verhoudingsgetal
Penrose-betegelingen
Constructies van regelmatige veelhoeken
Carl Friedrich Gauss
De rij van Fibonacci
Leonardo van Pisa (Fibonacci)
Bifurcaties op een ananas
Enige literatuur
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
2
I. De regelmatige veelvlakken
•
De vijf regelmatige veelvlakken worden naar Plato de platonische
lichamen genoemd
.
Het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) is bijzonder vanwege
de regelmatige vijfhoeken als zijvlakken.
De dodecaëder is duaal met de icosaëder (rolverwisseling
hoekpunten en zijvlakken), zoals ook kubus en octaëder duaal
zijn, en zoals de tetraëder zelf-duaal is.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
3
II. Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken
(1)
•
•
•
•
•
•
•
Door de eeuwen heen heeft het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) een
bijzondere rol gespeeld. Reeds bij de Grieken vertegenwoordigde de
dodecaëder het heelal. Hierbinnen bevinden zich de vier elementen, die zijn
verbeeld op de volgende dia:
Tetraëder
= vuur
Kubus (hexaëder)
= aarde
Octaëder
= lucht
Icosaëder
= water
Zie de hiernavolgende tekeningen.
N.B. Ook bij de Romeinen speelde de dodecaëder een bijzondere rol,
gezien de terpvondst. Er zijn in Europa tientallen vergelijkbare Romeinse
dodecaëders aangetroffen. Niet waarschijnlijk lijkt dat het hier om
gebruiksvoorwerpen gaat.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
4
II. Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken (2)
Deze tekeningen zijn van Johannes Kepler (1571-1630)
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
5
III. Van Paciola tot Escher (1)
•
Fra Luca Paciola (ca. 1445-1509): De divina proportione, “over de
goddelijke verhouding”. Dit boek over de gulden snede werd van
illustraties voorzien door Leonardo da Vinci.
•
In het boek geeft Paciola een overzicht van het voorkomen van de
gulden snede, steeds in verband met de regelmatige vijfhoek, het
regelmatig twaalfvlak of het regelmatig twintigvlak.
•
•
De belangrijkste eigenschap is:
- de diagonaal en de zijde van een regelmatige vijfhoek
verhouden zich als de gulden snede
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
6
III. Van Paciola tot Escher (2)
Een andere eigenschap:
Neem drie rechthoeken waarvan de lengte en de breedte zich
verhouden als de gulden snede, plaats deze met hun middelpunten
in hetzelfde punt, zodanig dat de lengte-assen van die rechthoeken
twee aan twee loodrecht op elkaar staan. Dan zijn hun hoekpunten
de hoekpunten van een icosaëder.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
7
III. Van Paciola tot Escher (3)
•
•
Leonardo da Vinci (1452-1519) tekende op aanwijzing van Vitruvius
een man op basis van de gulden snede.
Hij schilderde ook de Mona Lisa. Let hieronder op de (later)
getekende ‘gouden rechthoeken’.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
8
III. Van Paciola tot Escher (4)
Johannes Kepler (1571-1630) meende dat de Schepper gebruik had
gemaakt van de gulden snede. Later kwam hij hier op terug.
Hij stelde de banen van de planeten voor op concentrische bollen,
die worden gescheiden door de platonische lichamen, van
binnenuit octaëder, icosaëder, dodecaëder, tetraëder en kubus.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
9
III. Van Paciola tot Escher (5)
• Le Corbusier (1887-1965) ontwierp met de zgn. Modulor,
die hij had gebaseerd op de gulden snede.
• Hierboven zijn ‘Stad voor 3 miljoen’.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
10
III. Van Paciola tot Escher (6)
M.C. Escher
(1898-1972),
Reptielen.
“De dodeaëder is
het hoogste dat kan
worden bereikt.”
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
11
IV. De regelmatige vijfhoek (1)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Een beschouwing van de hoeken leert:
- de hoeken van de vijfhoek zijn 108º,
- deze worden in elk hoekpunt door de diagonalen in drie gelijke
hoeken van 36º verdeeld.
Het bewijs hiervan maakt gebruik van verwisselende binnenhoeken
en doet verder een beroep op de symmetrie in de figuur.
In de figuur komt de gelijkbenige driehoek
met een tophoek van 36º in drie formaten
voor. Dit is de ‘gouden driehoek’. In elke
gouden driehoek geldt dezelfde
verhouding van lengte en breedte:
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
12
IV. De regelmatige vijfhoek (2)
•
•
•
•
(2a+b) : (a+b) = (a+b) : a
(1e)
(a+b) : a = a : b
(2e)
Met andere woorden: a+b is middelevenredig tussen 2a+b en a, en
a is middelevenredig tussen a+b en b
N.B.1. Eén van deze beide evenredigheden zou al genoeg zijn.
N.B.2. Het eerste stuk van de 1e evenredigheid geeft de verhouding
van de diagonaal en de zijde van de vijfhoek.
•
•
•
De 1e en de 2e evenredigheid zijn beide te herleiden tot:
(3e)
a2 – ab - b2 = 0
Hieruit volgt dat a/b = ½ + ½√5 (≈ 1,618….). De andere wortel van
de 3e vergelijking is negatief en moet daarom vervallen.
•
Het verhoudingsgetal ½ + ½√5 is de gulden snede.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
13
V. Een bijzonder verhoudingsgetal (1)
•
•
•
De gulden snede is van betekenis vanwege haar voorkomen in de
regelmatige vijfhoek.
Gezegd wordt, dat een rechthoek waarvan lengte en breedte zich
verhouden als de gulden snede, er mooi uitziet. Zie Le Corbusier.
•
•
De welbekende bankpasjes, creditcards etc hebben alle deze mooie vorm.
Ze hebben bovendien dezelfde absolute maten.
Opdracht: neem twee van zulke pasjes of cards en leg ze tegen elkaar aan,
de ene liggend en de andere staand, met de onderkanten op dezelfde regel.
Verbind de beide hoekpunten die het verst van elkaar liggen met elkaar.
Zie de volgende dia.
Wat valt nu op?
•
•
•
Leid vervolgens de vergelijking voor de gulden snede af:
(l+b) : l = l : b, en dus
l2 – lb – b2 = 0
•
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
14
V. Een bijzonder verhoudingsgetal (2)
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
15
V. Een bijzonder verhoudingsgetal (3)
•
•
•
•
•
Je kunt gemakkelijk een
rechthoek construeren
waarvan de zijden zich
verhouden als de gulden
snede.
•
•
•
•
N.B. De letter φ is een
gebruikelijke aanduiding
voor het getal
½ + ½√5
•
•
Vanwege φ2 – φ - 1 = 0 geldt
de relatie φ – 1 = φ-1
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
16
V. Een bijzonder verhoudingsgetal (4)
•
•
•
Uitgaande van een ‘gouden rechthoek’ kun je er een vierkant
afhalen. Dan houd je een (kleinere) gouden rechthoek over.
Omgekeerd kun je aan de grootste zijde van een gouden rechthoek
een vierkant plakken en zo weer een gouden rechthoek krijgen.
Hiermee kan een ‘golden spiral’ worden geconstrueerd.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
17
VI. Penrose-betegelingen (1)
Aperiodic Penrose tilings
De wiskundige Roger Penrose
(1931) ontwierp nietperiodieke vlakvullingen
(m.a.w. die zich niet herhalen).
Hierin is onder meer de gulden
snede verwerkt.
Zoek de tienhoeken!
Literatuur: Marjorie Senechal, Quasicrystals and geometry (1995).
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
18
VI. Penrose-betegelingen (2)
•
Een simpeler Penrose-betegeling
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Penrose kon uitgaan van
eenvoudiger figuren met
de ‘gouden driehoek’ (blauw).
De zijdelengtes van de
blauwe driehoeken zijn
1, φ en φ
[Opdracht: geef de hoeken
en de lengtes van de zijden
van de rode driehoeken.]
•
•
•
•
Periodieke herhalingen zijn
voorkomen door het plaatsen
van rode en blauwe driehoeken
doordacht af te wisselen.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
19
VI. Penrose-betegelingen (3)
•
Reeds Kepler tekende verschillende tegelpatronen, waaronder
patroon Aa met vijfhoeken (het grootste patroon in de tekening). Dit
patroon kon niet regelmatig worden uitgebreid (is onherhaalbaar).
De Penrose-betegeling (2) is in essentie een uitbreiding van Aa.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
20
VI. Penrose-betegelingen (4)
•
In de islamitische kunst komen verspreid vijfhoeken en tienhoeken
voor. Niet bekend is of aan de gulden snede een diepere betekenis
werd gehecht. Het patroon uit Bagdad (1227-1234) herhaalt zich
wel. Het vertoont (enige) gelijkenis met een Penrose-betegeling.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
21
VI. Penrose-betegelingen (5)
•
•
•
•
•
•
De Penrose-betegelingen
zijn verwant met de zgn.
quasikristallen. Hierbij
is er een afwisseling,
vergelijkbaar met die
bij Penrose.
•
•
•
•
Op de foto is:
- wit = Al
- blauw = Co
- rood = Cu.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
22
VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (1)
•
Met behulp van de gulden snede kun je een regelmatige vijfhoek
construeren louter met gebruikmaking van passer en liniaal. Hieronder
gebeurt dit in een gegeven cirkel. Er zijn vele methoden om deze
constructie uit te voeren. Hier wordt ervoor gekozen een hoek van 72º te
construeren.
•
Constructie: construeer een gouden rechthoek, en gebruik de zijden om
een gelijkbenige driehoek met tophoek van 36º te construeren. De
basishoeken zijn dan 72º. Breng zo’n basishoek over naar het middelpunt
van de cirkel. Klaar!
•
•
Opdracht: zoek andere constructies op het internet.
_______________________________________________________
•
Euclides (circa 300 v. Chr.) gaf eveneens een constructie, maar niet de
bovenstaande. Euclides vermeed zijdelengtes en hoekgroottes en al
helemaal irrationale getallen als ½ + ½√5.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
23
VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (2)
•
•
•
•
•
De Grieken kenden dus reeds de constructie van de regelmatige vijfhoek.
Daarmee is ook de constructie van de regelmatige tienhoek bekend, de
regelmatige twintighoek, enz.
Veel bekender, en behorend tot de schoolstof, is de constructie van de
regelmatige driehoek en de regelmatige vierhoek. Daarmee ook die van de
regelmatige zeshoek, achthoek, twaalfhoek, enz.
Eeuwenlang, meer dan tweeduizend jaar, is gezocht naar een constructie
van de regelmatige zevenhoek met passer en liniaal.
De constructie van de regelmatige negenhoek vergt de trisectie van een
hoek van 120º. De trisectie van de hoek is één van de drie grote zgn.
Delische problemen. In de 19e eeuw werd met de theorie van Evariste
Galois (1811-1832) bewezen dat de trisectie van een hoek in het
algemeen niet mogelijk is met passer en liniaal – alleen in zeer speciale
gevallen is dit mogelijk (hoek van 900 verdelen in drie hoeken van 300 is
mogelijk).
We concentreren ons hier op de constructie van een regelmatige n-hoek in
geval n een priemgetal is.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
24
VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (3)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) loste het probleem van de constructie van
een regelmatige p-hoek met p priem, volledig op, en wel in 1796, toen hij
nog maar 19 jaar was.
Namelijk: een regelmatige p-hoek met p priem, is precies dan
construeerbaar met passer en liniaal, als p van de vorm 22k + 1 is,
d.w.z. een Fermat-priemgetal.
k=0
->
p=3
k=1
->
p=5
k=2
->
p = 17
k=3
->
p = 257
k=4
->
p = 65537
Dit zijn allemaal priemgetallen, maar voor k = 5 ontstaat een samengesteld
getal: 4.294.967.297 = 641 x 6.700.417 . Deze ontbinding werd ontdekt
door Leonhard Euler (1707-1783); Pierre de Fermat (1601-1665) meende
nog dat alle getallen van bovengenoemde vorm priemgetallen waren.
Gauss gaf ook daadwerkelijk de constructie van een regelmatige 17-hoek
met passer en liniaal. Hij verzocht bovendien dat op zijn grafsteen een
regelmatige 17-hoek zou worden gebeiteld.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
25
VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (4)
•
Hoeken van regelmatige n-hoeken die zijn ingeschreven in een cirkel
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
n = ..
omtrekshoek
middelpuntshoek
3
60º
120º
4
90º
90º
5
108º
72º
6
120º
60º
8
135º
45º
10
144º
36º
12
150º
30º
15
156º
24º
Voor al deze hoeken geldt dat de sinus en de cosinus worden berekend uit
tweedegraads vergelijkingen. Dit geldt ook als n = 17.
Voor n = 7, n = 9, n = 11 e.d. is niet een tweedegraads vergelijking mogelijk.
•
•
Opdracht: bereken de cosinus van 72º , d.w.z. druk deze uit in breuken en
tweedegraads wortels.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
26
VIII. Carl Friedrich Gauss
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Geniaal wiskundige, natuurkundige, sterrenkundige, …
Werkte vanaf 1805 te Göttingen.
Legendarisch is zijn oplossing van 1 + 2 + 3 + ……. + 100 = …. , toen hij
nog op de lagere school zat.
Ontwerper van:
- niet-euclidische meetkunde
- conforme afbeeldingen
- kleinste kwadratenmethode
- formule voor de Paasdatum
Bewees:
- kwadratische reciprociteit
- fundamentaalstelling van de algebra
Onderzocht:
- normale verdeling (Gauss-kromme)
- baankrommes van planetoïden
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
27
IX. De rij van Fibonacci (1)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
In de vijfhoek is er een opvolging van lijnsegmenten b, a, a+b, 2a+b, waarin
telkens de volgende term φ maal groter is dan de vorige. Elke term is ook
gelijk is aan de som van de beide vorige termen. De volgende term zou zijn
3a + 2b, en deze is ook weer φ maal de voorafgaande term (bewijs dit!).
Hier sterk mee verwant is de rij van Fibonacci:
f1, f2, f3, f4, …….. =: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ………
De eerste en de tweede term zijn gelijk aan 1 en elke volgende term is
gelijk aan de som van de voorafgaande twee termen.
Door de recurrente betrekking fn+2 = fn+1 + fn , samen met de begintermen
f1 = 1 en f2 = 1 , is de rij volledig vastgelegd.
Deze rij bezit vele fraaie eigenschappen, zo geldt bijvoorbeeld dat
1 x 2 – 12 = 1, 1 x 3 - 22 = -1, 2 x 5 – 32 = 1, 3 x 8 – 52 = -1, ….. ,
in formulevorm fn x fn+2 – fn+12 = (-1)n+1
Het quotiënt van twee opeenvolgende termen nadert naar φ als n -> ∞
Deze eigenschappen moeten natuurlijk nog wel worden bewezen.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
28
IX. De rij van Fibonacci (2)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Voor de bepaling van een formule voor de rij van Fibonacci wordt de
recurrente betrekking gebruikt als differentievergelijking:
stel dat de termen voldoen aan fn = c.xn,
dan volgt uit fn+2 = fn+1 + fn dat x2 – x – 1 = 0
De oplossing hiervan is x = ½ ± ½√5
Hieruit volgt dat x = φ of x = -(φ–1) = 1-φ en zodoende geldt
fn = c.φn + d.(1-φ)n
Vul twee waarden voor n in om c en d te krijgen:
c = 1/√5 en d = -1/√5
fn = 1/√5 . (φn - (1-φ)n)
(*)
De eerder genoemde rekenkundige eigenschappen kunnen worden bewezen
met behulp van vergelijking (*). Deze eigenschappen kunnen eveneens met
volledige inductie worden bewezen.
Omdat (1-φ)n naar 0 gaat als n -> ∞, geldt dat fn+1/fn naar φ nadert als n -> ∞
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
29
IX. De rij van Fibonacci (3)
•
Beroemd zijn de konijnen. Realistisch?
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
30
IX. De rij van Fibonacci (4)
•
•
•
Gedicht van Marjolein Kool,
uit Wis- en natuurlyriek (2001),
geschreven samen met Drs. P.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
31
IX. De rij van Fibonacci (5)
•
Eenzelfde groeipatroon wordt verondersteld voor sommige bloemen
en planten. Realistisch!
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
32
IX. De rij van Fibonacci (6)
•
De rij van Fibonacci als groeipatroon (phyllotaxis).
•
•
De konijnen, zie het gedicht van
Marjolein Kool.
•
•
•
•
•
•
De bloemkronen, zie o.a. de
zonnebloem. Bij de vorming
van nieuwe vertakkingen geldt
het groeiproces.
Hier ziet men 55 spiralen linksom
en 34 spiralen rechtsom.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
33
IX. De rij van Fibonacci (7)
Ter vergelijking een
echte
zonnebloem.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
34
IX. De rij van Fibonacci (8)
•
•
•
•
Hiernaast is een Fibonacci-rechthoek getekend.
Opdracht: beschrijf het bouwschema.
Je kunt hierbij een Fibonacci-spiraal tekenen.
Vraag: geef twee verschillen met de ‘golden spiral’.
•
•
•
•
Een verwante rij is de Lucas-rij:
g1, g2, g3, g4, …… =: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, …..
Ook hiervoor gelden vele bijzondere eigenschappen. Daarnaast gelden er
eigenschappen in combinatie met de Fibonacci-rij, zoals
fn x gn+1 – fn+1 x gn = 2 x (-1)n+1
•
gn = fn-1 + fn+1
•
En ook voor de Lucas-rij geldt dat het quotiënt van twee opeenvolgende
termen naar φ nadert als n -> ∞
•
Meer in The Fibonacci Quarterly en/of op het internet.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
35
IX. De rij van Fibonacci (9)
•
In de kansrekening komt zo nu en dan een getal uit de rij van
Fibonacci voor. Zo is de kans dat er bij n keer tossen met een munt
geen twee maal achtereen een kop zit, gelijk aan fn+2/2n
•
Het aantal mogelijkheden om een rechthoek van 2 bij n te beleggen
met wit-zwarte dominostenen is fn .
Let in de figuur op mogelijkheden tot draaiing over 1800.
•
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
36
X. Leonardo van Pisa (Fibonacci)
Leonardo van Pisa (1170? – 1250?). De naam
Fibonacci betekent ‘zoon van Bonacci.’
Zijn vader was koopman en bezocht Arabische
landen. In Algerije maakte Leonardo van Pisa
kennis met Arabische geschriften. Hij ontsloot
Arabische en Griekse wiskunde.
Publicatie: Liber abaci (eerste versie 1202).
Hij gebruikte de indisch-arabische cijfers, in plaats
van de romeinse. Hij liet het getal 0 toe als
oplossing van een vergelijking. Hij gebruikte – zij het
nog alleen in een toepassing (schulden) – negatieve
getallen. Hij werkte ook met irrationale getallen en
gaf hiervoor benaderingen. De naar hem genoemde
rij was al vóór hem bekend.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
37
XI. Bifurcaties op een ananas (1)
•
•
•
Heel bekend zijn de
groeispiralen op een
ananas.
•
•
•
Er zijn meerdere
spiralen op één
ananas.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
38
XI. Bifurcaties op een ananas (2)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Alan Turing (1912-1954) werd beroemd vanwege het kraken van de
Enigma-code in de Tweede Wereldoorlog, en door zijn ontwerp van
de Turing-machine.
Hij beschouwde de phyllotaxis als een dynamisch proces.
Dit onderzoek van Turing
bleef geruime tijd onontdekt.
Later werd door meerdere
onderzoekers geprobeerd
de phyllotaxis te beschrijven.
In 1977 gaf Mitchison een
bevredigende beschrijving,
inclusief bifurcaties.
groeischema van een ananas
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
39
XII. Enige literatuur
Algemeen:
- H.S.M. Coxeter, Introduction to geometry (1e druk uit 1961). Dit boek is een
klassieker. Het geeft een overzicht van alle takken van de meetkunde. Op
de gulden snede wordt vrij uitvoerig ingegaan.
- Robin Hartshorne, Euclid and beyond (2000). Dit boek behandelt op
nauwkeurige wijze de meetkunde van Euclides vanuit een hedendaags
gezichtspunt. De bijdrage van Gauss wordt uitvoerig behandeld.
Specifiek:
- Wim Kleijne en Ton Konings, De gulden snede (1e druk uit 2000). Dit
boekje maakt deel uit van de Zebra-reeks voor vwo-leerlingen. Het bevat
meerdere vraagstukken. Het Hovo-college is misschien iets vollediger!
En verder:
- Diverse websites op het internet, met veelal prachtige plaatjes. Men zij
echter beducht voor ongecontroleerde beweringen, bijvoorbeeld: de
piramiden in Egypte zouden zijn gebouwd met de gulden snede als
leidraad, Leonardo da Vinci zou een nazaat zijn van Leonardo van Pisa, en
met de Romeinse dodecaëders zou men zaaidata kunnen bepalen.
Wiskunde door de eeuwen heen,
De Gulden Snede
40