Deel 1 - Hoofdstuk 2-7

Natuurkunde 1
Inhoudsopgave
SYLLABUS NATUURKUNDE 2012 ...................................................................................................................................3
HOOFDSTUK 1 – BEWEGING ...........................................................................................................................................4
§1 EENPARIGE RECHTLIJNIGE BEWEGING .............................................................................................................................4
§2 HET PLAATS-TIJD-DIAGRAM ............................................................................................................................................4
§3 AFGELEGDE WEG EN VERPLAATSING ...............................................................................................................................5
§4 SNELHEID OP EEN TIJDSTIP ..............................................................................................................................................5
§5 EENPARIG VERSNELDE RECHTLIJNIGE BEWEGING (1) ......................................................................................................5
§6 EENPARIG VERSNELDE RECHTLIJNIGE BEWEGING (2) ......................................................................................................6
§7 VALBEWEGING: ONDERZOEK VAN EEN VRIJE VAL ...........................................................................................................6
§8 VALBEWEGING MET WRIJVING ........................................................................................................................................6
HOOFDSTUK 2 – KRACHT EN MOMENT......................................................................................................................7
§1 KRACHT ALS VECTOR ......................................................................................................................................................7
§2 ‘KRACHTEN IN EVENWICHT’ ............................................................................................................................................7
§3 EERSTE WET VAN NEWTON (WET VAN DE TRAAGHEID) ...................................................................................................7
§4 TWEEDE WET VAN NEWTON ............................................................................................................................................7
§5 ZWAARTEKRACHT, NORMAALKRACHT, VEERKRACHT EN SPANKRACHT ..........................................................................8
§6 SCHUIFWRIJVING, ROLWRIJVING EN LUCHTWRIJVING ......................................................................................................8
§7 ZWAARTEPUNT ................................................................................................................................................................8
§8 MOMENT VAN EEN KRACHT .............................................................................................................................................9
§9 HEFBOOM EN HEFBOOMWET ............................................................................................................................................9
§10 TOEPASSINGEN VAN DE HEFBOOM(WET) .......................................................................................................................9
HOOFDSTUK 4: KRACHT EN BEWEGING ................................................................................................................. 10
§1 HORIZONTALE WORP ..................................................................................................................................................... 10
§2 EENPARIGE CIRKELBEWEGING ....................................................................................................................................... 10
§3 MIDDELPUNT ZOEKENDE KRACHT ................................................................................................................................. 10
§4 TOEPASSINGEN .............................................................................................................................................................. 10
§5 GRAVITATIEKRACHT ..................................................................................................................................................... 11
§6 DE BEWEGING VAN PLANETEN EN SATELLIETEN ............................................................................................................ 11
HOOFDSTUK 5 – ARBEID EN ENERGIE ...................................................................................................................... 12
§1 VERRICHTEN VAN ARBEID (1)........................................................................................................................................ 12
§2 VERRICHTEN VAN ARBEID (2)........................................................................................................................................ 12
§3 ARBEID EN ENERGIE ...................................................................................................................................................... 12
§4 WET VAN BEHOUD VAN ENERGIE ................................................................................................................................... 12
§5 WET VAN BEHOUD VAN ENERGIE: TOEPASSINGEN ......................................................................................................... 13
§6 VERMOGEN ................................................................................................................................................................... 13
§7 RENDEMENT EN ENERGIEVERBRUIK .............................................................................................................................. 13
HOOFDSTUK 6 – LICHT .................................................................................................................................................. 14
§1 VOORTPLANTING EN TERUGKAATSING VAN LICHT ........................................................................................................ 14
§2 SPIEGEL EN SPIEGELBEELD ............................................................................................................................................ 14
§3 BREKING VAN LICHT (1): DE BREKINGSWET .................................................................................................................. 15
§4 BREKING VAN LICHT (2): TOEPASSINGEN....................................................................................................................... 15
§5 LENZEN (1): EEN AANTAL BELANGRIJKE BEGRIPPEN ..................................................................................................... 15
§6 LENZEN (2): BEELDVORMING EN BEELDCONSTRUCTIE................................................................................................... 16
§7 LENZEN (3): LENSFORMULE EN LINEAIRE VERGROTING ................................................................................................. 17
HOOFDSTUK 7 – DE WERKING VAN HET OOG ....................................................................................................... 18
§1 BOUW VAN HET OOG; ACCOMMODATIE VAN HET OOG ................................................................................................... 18
§2 NABIJHEIDSPUNT EN VERTEPUNT; OUDZIENDHEID ......................................................................................................... 18
§3 BIJZIENDHEID EN VERZIENDHEID ................................................................................................................................... 19
§4 GEZICHTSHOEK; LOEP; WERKING VAN DE PUPIL ............................................................................................................ 19
HOOFDSTUK 8 – ELEKTRICITEIT ............................................................................................................................... 21
§1 SPANNINGSBRON EN STROOMKRING .............................................................................................................................. 21
§2 ELEKTRISCHE LADING ................................................................................................................................................... 21
§3 ELEKTRISCHE GELEIDING IN METALEN, STROOMRICHTING EN STROOMSTERKTE ........................................................... 21
§4 WET VAN OHM, METEN VAN WEERSTAND ..................................................................................................................... 22
§5 WEERSTAND VAN EEN DRAAD ....................................................................................................................................... 22
§6 WEERSTAND EN TEMPERATUUR: ‘BIJZONDERE’ WEERSTANDEN .................................................................................... 23
§7 ELEKTRISCHE ENERGIE EN ELEKTRISCH VERMOGEN ...................................................................................................... 23
§8 WEERSTANDEN PARALLEL; WEERSTANDEN IN SERIE ..................................................................................................... 24
§9 DE JUISTE SPANNING; VEILIG TOEPASSEN VAN ELEKTRISCHE STROOM .......................................................................... 25
HOOFDSTUK 9: ELEKTRISCHE VELDEN .................................................................................................................. 27
§1 ELEKTRISCH VELD; ELEKTRISCHE VELDSTERKTE .......................................................................................................... 27
§2 ELEKTRISCHE VELDLIJNEN ............................................................................................................................................ 27
§3 POTENTIAAL EN POTENTIAALVERSCHIL ......................................................................................................................... 27
§4 POTENTIAAL EN VELDSTERKTE...................................................................................................................................... 28
§5 VERSNELLEN VAN GELADEN DEELTJES .......................................................................................................................... 28
HOOFDSTUK 10: MAGNETISCHE VELDEN ............................................................................................................... 29
§1 HET MAGNETISCHE VELD VAN MAGNETEN .................................................................................................................... 29
§2 HET MAGNETISCHE VELD VAN EEN RECHTE STROOMDRAAD EN VAN EEN STROOMSPOEL .............................................. 29
§3 LORENTZKRACHT OP EEN STROOMDRAAD ..................................................................................................................... 29
§4 LORENTZKRACHTEN OP EEN STROOMSPOEL .................................................................................................................. 30
§5 DRAAISPOELMETER EN ELEKTROMOTOR ....................................................................................................................... 30
§6 LORENTZKRACHT OP EEN GELADEN DEELTJE ................................................................................................................ 31
AANTEKENINGEN ............................................................................................................................................................... 31
HOOFDSTUK 11: TRILLING EN GOLF ........................................................................................................................ 33
§1 KENMERKEN VAN EEN TRILLING ................................................................................................................................... 33
§2 REGISTREREN VAN TRILLINGEN ..................................................................................................................................... 33
§3 FASE EN FASEVERSCHIL ................................................................................................................................................. 33
§4 DE HARMONISCHE TRILLING; WISKUNDIG GEZIEN ......................................................................................................... 34
§5 DE HARMONISCHE TRILLING; OORZAAK EN GEVOLG ..................................................................................................... 34
§6 SNELHEID, VERSNELLING EN ENERGIE VAN EEN HARMONISCH TRILLEND VOORWERP ................................................... 34
§7 ENERGIEOVERDRACHT; RESONANTIE ............................................................................................................................ 35
§8 GOLVEN ........................................................................................................................................................................ 35
§9 GOLFLENGTE, GOLFSNELHEID EN FASEVERSCHIL .......................................................................................................... 35
HOOFDSTUK 12: GELUID ............................................................................................................................................... 36
§1 GELUID: EEN LONGITUDINALE GOLF .............................................................................................................................. 36
§2 GELUIDSINTENSITEIT; KWADRATENWET ....................................................................................................................... 36
§3 GELUIDSNIVEAU; DECIBELMETER.................................................................................................................................. 36
§4 GELUIDSHINDER; GELUIDSBEPERKING........................................................................................................................... 37
§5 INTERFERENTIE; ANTIGELUID ........................................................................................................................................ 37
§6 MUZIEK MAKEN: SNAARINSTRUMENTEN ....................................................................................................................... 38
§7 MUZIEK MAKEN: BLAASINSTRUMENTEN........................................................................................................................ 38
2
Het centraal examen heeft betrekking op de subdomeinen B1, B3, C1, C2, C3, C4, E1, E2 en E4, in
combinatie met de daarbij behorende vaardigheden uit domein A.
Syllabus
natuurkunde 2012
In de onderstaande tabel is weergegeven hoe de subdomeinen over het CE en SE verdeeld worden:
Domeinen
Subdomeinen
CE
A
Vaardigheden
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Taalvaardigheden
Reken-/wiskundige vaardigheden
Informatievaardigheden
Technisch-instrumentele vaardigheden
Ontwerpvaardigheden
Onderzoeksvaardigheden
Maatschappij, studie en beroep
X
X
X
X
X
X
X
B
Elektriciteit en
magnetisme
1.
2.
3.
4.
Elektrische stroom
Signaalverwerking
Elektromagnetisme
Inductie en wisselstromen
X
Rechtlijnige beweging
Kracht en moment
Arbeid en energie
Kromlijnige beweging
X
X
X
X
C
Mechanica
1.
2.
3.
4.
D
Warmteleer
1. Gas en vloeistof
2. Thermische processen
E
Golven en
straling
1.
2.
3.
4.
Trilling en golf
Licht
Elektromagnetisch spectrum
Radioactiviteit
Moet
in SE
X
X
X
X
X
X
X
Mag
in SE
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Voor meer details over de onderdelen in het centraal examen klik op onderstaande link.
examenblad.nl - syllabus natuurkunde 2012
syllabus natuurkunde vwo centraal examen 2012
3
4
Hoofdstuk 1 – Beweging
§1 Eenparige rechtlijnige beweging
Om de snelheid te berekenen delen we de afstand door de benodigde tijd om die afstand af te leggen. Hierbij
geldt de formule: v = s / t. Alleen bij een eenparige beweging komt hier bij verschillende periodes dezelfde
waarde uit (m.a.w. een eenparige beweging heeft een constante snelheid).
Als we een niet eenparige beweging bekijken, kunnen we niet spreken van een constante snelheid maar wel van
een gemiddelde snelheid over een bepaalde tijd (vgem). In een bepaalde tijd wordt dan de afgelegde afstand
gemeten, waarmee de gemiddelde snelheid te berekenen is volgens vgem = s / t.
Hierbij moeten ook de tijdsintervallen vermeld worden! (als je de snelheid van t = 0,20s tot t = 0,35s meet, moet
je dit aangeven als: vgem (0,20s0,35s) = s / t)
Bij een beweging kun je een snelheid-tijd-diagram - (v,t)-diagram - maken.
Bij een eenparige beweging hoort een grafiek die recht evenredig aan de
tijdas is; de snelheid is op ieder tijdstip constant.
Als we nu naar de oppervlakte onder de rode lijn kijken, dan geldt er voor
de grootheden: tijd · snelheid. Als we de eenheden bekijken, dan volgt er:
meter
seconde ·
. Je ziet dat de tijd wegvalt. Hieruit volgt dat de
sec onde
oppervlakte onder deze lijn de afstand is die afgelegd is!
Zoals we een (v,t)-grafiek hebben, kunnen we ook afgelegde weg-tijddiagram maken. Hierin kun je direct aflezen wat de afgelegde afstand is
op een bepaald tijdstip. Uit dit diagram kun je ook de snelheid
berekenen, de steilheid van de grafiek geeft namelijk de snelheid (v = s /
t). Je deelt de afgelegde weg dus door de tijd. In dit geval is dat: 21,0 cm
/ 0,50 s = 42 cm/s
Omdat dit een rechte lijn door de oorsprong is, kunnen we hier heel
eenvoudig een formule voor opstellen: steilheid ∙ tijd = afgelegde
afstand. In formule: s(t) = 42 · t, ofwel: s(t) = v · t.
Relatieve snelheid is de snelheid waarmee je je ten opzichte van een
ander voorwerp verplaatst. Stel dat je iemand wilt inhalen die een halve kilometer voor je fietst met een
snelheid van 18 km∙h-1. Jij fietst met 25 km∙h-1. Je relatieve snelheid is dan (25-18 =) 7 km∙h-1. Je doet er dus 0,5
km / 7 km∙h-1 = 4m 17s over om hem in te halen.
§2 Het plaats-tijd-diagram
Een plaats-tijd-diagram geeft de plaats waar je bent aan. Er wordt echter
niet begonnen op een afstand 0. Dit is te begrijpen als je denkt aan de
hectometerpaaltjes naast de grote wegen. Ze geven een plaats aan, maar
niet de afstand die je hebt afgelegd! Dit is meteen het grote verschil met
een afgelegde weg-tijd-diagram. De plaats wordt aangegeven met
symbool x. De situatie van de fietsers van hierboven kunnen we nu ook
grafisch oplossen: we hebben een grafiek waar twee lijnen de fietsers
voorstellen, en allebei een eigen steilheid en beginplaats hebben. Het
punt waar ze elkaar snijden halen ze elkaar in (er zijn hiernaast andere
getallen gebruikt dan in het voorbeeld hierboven).
4
§3 Afgelegde weg en verplaatsing
We maken een onderscheid tussen de afgelegde weg en verplaatsing. De afgelegde weg is de afstand die
iemand bijvoorbeeld fietst. Stel ik fiets naar Amsterdam en terug en ik stop halverwege de terugweg. Dan heb
ik anderhalf keer de afstand naar Amsterdam (ongeveer 160km) gefietst, dit is dus 240km.
Als ik dan echter naar de verplaatsing op dat moment ga kijken, dan blijkt dat deze veel minder is dan 240 km.
Het is namelijk de kortst mogelijke (hemelsbrede dus) afstand van het beginpunt tot het eindpunt. In het geval
van de fietstocht is dit ongeveer 80 km (½ · 160). De verplaatsing op dat moment is dus 80 km! Bekijk ook het
onderstaande figuur:
De verplaatsing heeft echter niet alleen een grootte, maar ook een richting. Een grootheid die zowel een grootte
als een richting heeft noemen we een vector.
§4 Snelheid op een tijdstip
Als je je niet met constante snelheid voortbeweegt wordt het lastiger om een goede
snelheid op een bepaald tijdstip te geven. De gemiddelde snelheid over deze rit
wordt gegeven door de afgelegde afstand te delen door de tijd die daar voor nodig
was. Willen we echter de snelheid op een specifiek
tijdstip weten, dan moeten we dit probleem anders
aanpakken. We moeten dan de steilheid van de
grafiek op dát tijdstip weten. Grafisch kun je deze
te weten komen door een raaklijn aan de grafiek te
tekenen op het tijdstip waarvan je de snelheid wilt
weten. De gemiddelde snelheid van de
rechtergrafiek is 50m / 20 s = 2,5 m/s.
Links is de raaklijn op tijdstip A getekend. De
steilheid van deze raaklijn geeft de snelheid, en is
in dit geval: 50m / 15,5 s ≈ 3,2 m/s.
Van een plaats-tijd-diagram kun je een snelheids-tijd-diagram maken met
behulp van de raaklijntechniek. Je hoeft dan niet te getailleerd te werken, omdat
je anders veel te lang bezig zou zijn met het omzetten van het diagram. Je krijgt dus een globale benadering.
Om van een snelheids-tijd-diagram een plaats-tijd-diagram te maken, gebruik je de oppervlakte onder de
grafiek!
§5 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (1)
Een eenparige rechtlijnige beweging heeft een constante snelheid. Als de snelheid echter met een constante
waarde verandert, spreken we over een eenparig versnelde of een eenparige vertraagde beweging. Om deze
versnelling of vertraging te kunnen beschrijven bestaat het begrip versnelling (symbool a). De versnelling is het
v
snelheidsverschil gedeeld door het tijdsverschil waarin de snelheid veranderd. In formule: a 
. De eenheid
t
van versnelling is m∙s-2.
Als de versnelling gegeven is kun je met de formule v  a  t berekenen wat het snelheids verschil is op een
bepaald tijdstip. Weet je ook de beginsnelheid, dan kun je de snelheid op een bepaald moment uitrekenen met
de formule: vtijdstip  vbegin  a  t . Als er gestart wordt vanuit rust geld er v(t )  a  t
Om uit een snelheids-tijd-diagram de versnelling op een tijdstip uit te rekenen kunnen we weer de raaklijn
methode gebruiken. In dit diagram wordt namelijk de snelheid tegen de tijd uitgezet, en de versnelling wordt
5
gegeven door de snelheidsverandering gedeeld door de tijd. Op deze manier kun je dus van een snelheids-tijddiagram een versnelling-tijd-diagram maken.
§6 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (2)
Als we een eenparig versnelde beweging bekijken, dan kunnen we de
snelheid op een tijdstip schrijven als v(t )  a  t . De afgelegde weg op
een tijdstip is de oppervlakte onder de grafiek, en in het geval van een
eenparige versnelde beweging is dit ½ · v · t.
Voor v kunnen we echter ook a · t schrijven, dus krijgen we:
s(t) = ½ · a · t2.
Voor de formules s(t) = ½ · a · t2 én v(t) = a · t geldt dat ze alleen
gebruikt kunnen worden als het voorwerp op t=0 geen snelheid heeft.
Volgens s(t) = ½ · a · t2 is de grafiek van de afgelegde weg een parabool.
Door een raaklijn te tekenen kun je de snelheid te weten komen op een
bepaald tijdstip. De grafiek van de snelheid als functie van de tijd is in
dit geval een stijgende of dalende rechte lijn. De steilheid van deze grafiek geeft aan wat de versnelling van het
voorwerp is.
§7 Valbeweging: onderzoek van een vrije val
Een vrije val is een beweging waarbij de invloed van de luchtwrijving is te verwaarlozen. Hierdoor verloopt een
vrije val voor elk voorwerp (ongeacht gewicht en afmetingen) op dezelfde manier.
Als we een vrije val in een luchtledige koker bekijken, dan blijkt dat deze val een eenparig versnelde beweging
is! De versnelling is zoals eerder gezegd voor alles constant; het is een natuurconstante. De waarde van de
valversnelling (gravitatie - g) is in Nederland 9.81 m∙s-2.
Voor een vrije val geld dus s(t) = ½ · g · t2 en v(t) = g · t.
§8 Valbeweging met wrijving
Hierboven is een vrije val besproken. Hierbij was er
geen invloed van luchtwrijving. In de praktijk is deze er
vaak wel. Hierdoor neemt de snelheid van een voorwerp
minder snel toe dan je zou verwachten. De snelheid
neemt steeds minder toe ofwel de versnelling wordt
steeds kleiner! Als de versnelling 0 is geworden, blijft de
snelheid constant! Dit kun je zien in nevenstaande
grafiek. De groene lijn is een vrije val, terwijl de rode
lijn dezelfde val is mét luchtwrijving.
6
Hoofdstuk 2 – Kracht en moment
§1 Kracht als vector
Een kracht kan een voorwerp vervormen (tijdelijk of blijvend). Ook kan een kracht een voorwerp een
snelheidsverandering geven. De eenheid van kracht is Newton (N).
Een kracht is een vector; het heeft namelijk zowel een grootte als een richting! Als we een kracht tekenen doen
we dat met een pijl. Deze pijl begint dan waar de kracht begint, in het aangrijpingspunt.
Als er op een voorwerp meerdere krachten werken kun je die
tekenen als één kracht, de resulterende kracht (of somkracht) op
dat voorwerp. Dit kun je doen met behulp van een parallellogram
of door de krachten kop-aan-staart te leggen.
Zoals je twee krachten als één kracht kan
tekenen, kun je één kracht ook als twee
krachten tekenen. Je ontbindt de krachten
dan in twee componenten. Met de sinus en cosinus kun je dan uitrekenen wat de
grootte van de componenten is.
§2 ‘Krachten in evenwicht’
Als er op een voorwerp meerdere krachten (in verschillende richtingen) werken,
en het voorwerp beweegt niet is de resulterende kracht (Fres) 0. Als je alle krachten
dan gaat ontbinden blijkt dat de krachten elkaar opheffen. Wat je doet is dus eigenlijk
meerdere krachten terugbrengen tot twee, zodat je ze met elkaar kunt vergelijken. In de
situatie hiernaast kun je uitrekenen wat de krachtmeter aangeeft door de krachten op het buigpunt
van het touw te bepalen. Er moet dus 40N omhoog gericht zijn. Dan kun je met de tangens bepalen
welk deel van de spankracht op het touw naar links is gericht. Omdat het voorwerp stil hangt moet er
dus een even grote kracht naar rechts zijn gericht! De kracht naar links is 40 · tan(25°) ≈ 19N, dus de
krachtmeter zal ook ongeveer 19N aangeven.
§3 Eerste wet van Newton (wet van de traagheid)
Als we een sleetje over een luchtkussenbaan laten glijden, blijft deze met bijna constante snelheid
voortbewegen. Er is dus geen constante kracht nodig om het voorwerp in beweging te houden! Als er totaal
geen wrijving is, blijft een voorwerp met constante snelheid in dezelfde richting bewegen. Hieruit kunnen we de
volgende wet opmaken: Op een voorwerp dat met constante snelheid rechtoor blijft bewegen, werkt geen
resulterende kracht. Er is dus geen verschil tussen ‘in rust zijn’ (v = constant = 0) en eenparig ‘rechtlijnig
bewegen’.
Een voorwerp zal altijd zijn rechtlijnige beweging of toestand van rust te behouden. Het voorwerp verzet zich
als het ware tegen een snelheidsverandering; de traagheid van een voorwerp. De traagheid van een voorwerp
hangt samen met de massa van het voorwerp; een grotere massa geeft een grotere traagheid. De eenheid van
massa – kg – is gedefinieerd door een stukje platina waarvan men heeft gezegd dat het precies één kilogram
weegt. Op elk voorwerp werkt een zwaartekracht (Fz). Hiervan is de eenheid gewoon Newton. De
zwaartekracht is afhankelijk van de aantrekkingskracht van de aarde, en is dus afhankelijk van de planeet waar
je bent. De massa (traagheid) van een voorwerp is echter overal hetzelfde!
§4 Tweede wet van Newton
Als een voorwerp een versnelling krijgt, werkt er een resulterende kracht op dat voorwerp. Als een auto optrekt
krijgt het een versnelling omdat de motor een kracht levert die de auto laat rijden. Er is dus een verband tussen
de resulterende kracht en de versnelling van een object.
Uit onderzoek blijkt dat als er op een voorwerp een constante kracht werkt, er ook een constante versnelling
optreedt. Als er verschillende grootten van krachten worden gebruikt, blijkt dat de resulterende kracht recht
evenredig is met de versnelling (Fr ~ a). Als de massa van het voorwerp wordt vergroot, en de kracht constant
blijft, blijk dat de versnelling omgekeerd evenredig is met de versnelling (a ~ m-1).
Deze twee stappen (a ~ m-1 én Fr ~ a) zijn samen te voegen tot: a ~ Fr/m. Dit is te herschrijven als:
Fr = m · a, de bekende schrijfwijze van de tweede wet van Newton.
7
Volgens deze formule is de eenheid van kracht 1 kg · m·s-2. Omdat dit echter zo lang is hebben ze er de eenheid
Newton (N) aan gegeven. Als de versnelling en de kracht dezelfde richting hebben wordt boven de a en Fr een
pijl naar rechts getekend om dit aan te geven.
§5 Zwaartekracht, normaalkracht, veerkracht en spankracht
Tijdens een vrije val werkt er maar één kracht op het vallende voorwerp. Deze is dus meteen ook de
resulterende kracht! Omdat de versnelling (in dit geval de valversnelling) gelijk is aan de aantrekkingskracht
van de aarde (g) kunnen we de tweede wet van Newton als volgt herschrijven: Fz = m · a  Fz = m · g.
Als een voorwerp in rust is (een vaas die op tafel staat bv) is er geen resulterende kracht. Er werkt een
normaalkracht (Fn) op de vaas, die veroorzaakt wordt doordat de zwaartekracht “aan de vaas trekt”. Hierdoor
wordt de vaas tegen de tafel gedrukt, die dan een tegenkracht gaat leveren. De normaalkracht staat loodrecht op
het vlak waar het voorwerp op staat. Als we aan een veer een gewicht hangen wordt deze uitgetrokken. Als het
geheel in evenwicht is geldt er dan Fv = - Fz. De veerkracht (Fv) werkt immers de zwaartekracht tegen!
Bij een touw spreken we niet van veerkracht maar van spankracht (Fs). Een touw kan immers alleen aan een
voorwerp trekken, het kan er niet tegen duwen (wat een veer wel kan)
§6 Schuifwrijving, rolwrijving en luchtwrijving
Als iemand iets heel erg zwaars wil verschuiven lukt dit vaak niet, omdat een grote wrijvingskracht (Fw) hem
tegenwerkt. Deze wrijvingskracht ontstaat door oneffenheden in het oppervlak.
Om een voorwerp in beweging te krijgen moet je een steeds groter wordende trekkracht gebruiken. Omdat het
voorwerp tot een bepaalde kracht niet beweegt, moet de wrijvingskracht even groot zijn als je trekkracht. Met andere woorden, de
wrijvingskracht varieert van 0 tot een bepaalde maximale waarde.
Als een voorwerp eenmaal beweegt heeft de wrijvingskracht zijn
maximale waarde bereikt. Rolwrijving is veel minder groot dan
schuifwrijving. Denk maar aan een zwaar vat dat je wilt
verplaatsen; dit gaat veel makkelijker als je het rolt terwijl de massa
hetzelfde is! De grootte van deze wrijving wordt bepaald door de
soorten oppervlakten die over elkaar rollen én met de kracht
waarmee de oppervlakten tegen elkaar worden gedrukt. Een andere
vorm van weerstand is de luchtwrijving. Hiernaast is te zien hoe
groot bepaalde weerstands-krachten zijn, uitgezet tegen de tijd.
Hieruit blijkt dat bij een verdubbeling van de snelheid de weerstand
vier keer zo groot wordt. Bij een grotere weerstand wordt meer
benzine verbruikt, dus het is belangrijk om deze zo klein mogelijk te
houden. De rolweerstand kan kleiner gemaakt worden door te zorgen dat de massa kleiner wordt. De
luchtwrijving kan kleiner worden gemaakt door het frontale oppervlak kleiner te maken en de stroomlijn van de
auto te verbeteren. Dit houdt in dat de lucht zo makkelijker langs de auto gaat. Er geldt dan dat
Fw,lucht  k  v 2 waarbij k  ½  c w  A  p , dit geeft samen: Fw,lucht  ½  cw  A  p  v 2 .
§7 Zwaartepunt
Als een voorwerp in rust is moeten de aanwezige krachten even groot en tegengesteld gericht zijn (ze moeten
elkaar opheffen). Er is echter nog een voorwaarde. Stel dat we een blokje hout hebben (rechts) en de krachten
F1 en F2 werken op dit blokje met de aangrijpingspunten A en B (de lijnen l en
m zijn de werklijnen van deze krachten). Het blokje zal nu gaan draaien zoals in
de tweede positie weer gegeven. Dit is te verklaren met het feit dat de werklijnen
niet over elkaar heen liggen. De aangrijpingspunten moeten dus op de werklijn
van de krachten liggen. Als we een object aan verschillende punten van dat object
ophangen, kunnen we de werklijnen van de zwaartekracht en de spankracht van
het touw tekenen. Deze lijnen snijden elkaar
allemaal in hetzelfde punt, het zwaartepunt. Dit is de plaats waar we
zeggen dat de zwaartekracht op het voorwerp werkt. Dit zwaartepunt
ligt altijd op dezelfde plaats, en is dus onafhankelijk van de stand
van het voorwerp. Het zwaartepunt van een voorwerp hoeft niet
persé in het voorwerp zelf te liggen (bijvoorbeeld bij een
hoefijzer). Als een voorwerp overal dezelfde dichtheid heeft,
noemen we het een homogeen voorwerp.
8
§8 Moment van een kracht
De arm van een kracht is de loodrechte afstand van de werklijn van de kracht tot het draaipunt van
de arm. Als je een spijker uit een stuk hout trekt, spelen de armen een belangrijke rol. Er is een
grootheid voor het product kracht · arm, het moment. Het symbool voor moment is M. M = F · r.
Hierbij is r het symbool voor de arm. De eenheid van moment is N·m, ofwel: Nm.
Als een voor werp tegen de wijzers van de klok in draait, dan wordt het moment van die kracht
positief. Draait het echter met de wijzers van de klok mee, dan wordt het moment negatief.
§9 Hefboom en hefboomwet
Voorwerpen die om hun as kunnen draaien noemen we hefbomen.
Als er op een voorwerp aan de rechterkant van het draaipunt een kracht (en daarbij ook een
arm) gaat werken, ontstaat er een moment. Hierdoor zal het voorwerp gaan draaien. Om dit
te compenseren kunnen we aan de linkerkant óók een kracht (en daarbijbehorende arm)
laten werken. Hierdoor zal het voorwerp in evenwicht raken. Als het moment linksom
gelijk is aan het moment rechtsom, blijft het voorwerp in evenwicht. We kunnen dus
zeggen: Fl · rl = Fr · rr.
Het maakt niet uit op welke hoogte de gewichtjes gehangen worden; dit laat zien dat de arm
puur de afstand van het draaipunt tot de raaklijn van de kracht is.
Als een hefboom in evenwicht is, dan geldt er dus dat Fl · rl = Fr · rr. We kunnen dit ook schrijven als ∑M
= 0.
§10 Toepassingen van de hefboom(wet)
Door een hefboom te gebruiken kun je met weinig kracht een grote kracht overwinnen. Stel je wilt een noot
kraken met een notenkraker. Dan is de arm van de kracht van je hand tot het draaipunt véél groter dan de arm
van de noot tot het draaipunt. Stel dat de arm naar je hand vijf keer zo groot is, dan is de kracht die op de noot
komt te staan ook vijf keer zo groot als jij die uitoefent op de handgrepen.
Een ketting kan krachten overbrengen van één tandwiel op een ander. Om de verandering van het toerental
(rondjes per minuut) te berekenen dat er optreedt als er een kettingsysteem wordt gebruikt, kunnen we gebruik
maken van de formule n1 · z1 = n2 · z2. Hierbij is n het toerental per minuut, en z het aantal tanden op het
tandwiel. Als we naar de diameter van een wiel kijken, kunnen we daaruit ook een formule afleiden:
n1 · d1 = n2 · d2.
Als we katrollen gebruiken geldt er voor een vaste katrol dat Ft = Fl (-Ft·r + Fl·r = 0).
Voor een losse katrol geldt er dat Ft = -½ Fl (de katrol draait om S: -Ft·2r + Fl·r = 0).
Als een voorwerp in evenwicht is (bijvoorbeeld een wip), dan moet er aan twee
voorwaarden worden voldaan. De som van de momenten op de wip moet gelijk zijn, anders
zou één van de twee kanten naar “beneden vallen”.
De som van alle krachten moet óók 0 zijn; op de wip werken de krachten Fz1, Fz2 en Fsteun
(van het steunvlak op de wip). De steunkracht moet dus gelijk zijn aan de som van beide
zwaartekrachten (en logischerwijs ook tegengesteld, dus omhoog, gericht zijn).
9
Hoofdstuk 4: Kracht en beweging
§1 Horizontale worp
Als je een voorwerp op een bepaalde hoogte met een horizontale kracht wegschiet, dan zal deze een
parabolische beweging naar beneden maken. De verticale beweging van deze worp duurt even lang als dat het
voorwerp recht naar beneden zou vallen. De horizontale beweging doet er dus niet toe!
De snelheid van de horizontale beweging is constant: het voorwerp beweegt in deze richting even snel verder
als de snelheid waarmee het wordt weg geschoten.
Voor een vrije val geldt de formule sy(t) = ½ g · t2. Omdat de verticale beweging van de horizontale worp gelijk
is aan die van de vrije val geldt ook hier deze formule! Voor een horizontale beweging geldt de formule
sx(t) = v · t. Omdat de horizontale beweging van de horizontale worp gelijk is aan die van de horizontale
beweging geldt ook hier deze formule! Met de formules van de zwaarte-energie (Ez = m · g · h) en de kinetische
energie (Ek = ½ · m · v2) kan berekend worden wat de eindsnelheid van een horizontale worp is.
§2 Eenparige cirkelbeweging
Een eenparige cirkelbeweging heeft een constante snelheid: in een bepaalde tijd legt hij steeds dezelfde afstand
(= hoek) van een cirkel af. De richting van zo’n beweging is niet constant; deze verandert de hele tijd! Voor de
snelheid geldt: v = s / t. De tijd waarin een voorwerp één rondje maakt heet de omlooptijd (T). Deze omlooptijd
is dus constant, omdat het voorwerp met een constante snelheid beweegt. In de omlooptijd wordt er precies één
rondje afgelegd, dus legt hij de omtrek van de cirkel af. Deze is gelijk aan 2πr (360º = 2π rad).
Als we in de formule van de snelheid één omlooptijd invullen, wordt er dus een afstand van 2πr afgelegd. Je
krijgt dan: v = 2πr / T. De naam van deze snelheid is de baansnelheid. Het symbool voor radialen is φ.
De hoeksnelheid van een voorwerp is het aantal radialen dat een voorwerp in één seconde doorloopt.
In formulevorm: ω = 2π / T.Als we de formules van de snelheid en die van de hoeksnelheid naast elkaar zetten,
dan zien we het verband tussen beide. v = 2πr / T en ω = φ(t) / T. Hieruit volgt dat: v = ω · r.
Naam
Baansnelheid (v)
Hoeksnelheid (ω)
1e formule
s/t
φ(t) / t
2e formule
2πr / T
2π / T
3e formule
ω·r
§3 Middelpunt zoekende kracht
Als we een eenparige cirkelbeweging bekijken dan verandert de richting van de snelheid, ofwel: er is een
versnelling. Deze versnelling, ampz, heet de middelpuntzoekende versnelling en is naar het midden van de cirkel
gericht. De formule is gegeven: ampz = v2 / r. Omdat v = ω · r kunnen we schrijven: ampz = ω2 · r. En zo ook
v = 2πr / T  ampz = 4π2r / T2.
De middelpuntzoekende kracht kunnen we berekenen met F = m · a. Hierbij is a uit te rekenen met de
voorgaande formules. We krijgen: Fmpz = m · v2 / r. En dus: Fmpz = m · ω2 · r. En ook: Fmpz = 4π2 · m · r / T2
We kunnen de resulterende kracht (= de middelpuntzoekende kracht) ook tekenen:
Als we hoek α en de massa van het voorwerp weten, kunnen we met de tangens
uitrekenen hoe groot Fmpz is. Weten we daarna ook nog wat de straal (r) is, dan
kunnen met Fmpz = m · v2 / r uitrekenen wat de snelheid is waarmee het blokje om de
cirkel draait.
Getallenvoorbeeld (α = 37º, m = 9,0 kg en r = 1,25m.):
Fz = 9∙9,81 = 88,29 N.
Fmpz = tan37 ∙ 88,29 = 66,53 N
Fmpz = m · v2 / r  66,53 = 9 · v2 / 1,25
83,164 = 9v2
v2
= 9,24
v
= 3,0 m∙s-1
§4 Toepassingen
Verticale cirkelbeweging: als je een emmer verticaal rondslingert dan blijft het water (als je snel genoeg rond
draait :P) in de emmer zitten. Dit houdt dus in dat de zwaarte kracht wordt opgeheven door de
middelpuntzoekende kracht, die naar boven is gericht als de emmer op het hoogste punt is.
10
Er geldt dus dat Fmpz = Fz, indien er precies met de snelheid wordt gedraaid zodat het water nét niet uit de
emmer valt. Dit kunnen we schrijven als: m · v2 / r = m · g  vmin  r  g .
§5 Gravitatiekracht
Gravitatiewet van Newton: Doordat voorwerpen een massa bezitten trekken ze elkaar, de gravitatiekracht (Fg).
Fg = G · m1 · m2 / r2. G is hierbij de gravitatieconstante, en heeft de eenheid: N · m2 · kg-2. Deze formule geldt
voor alle voorwerpen, zolang r de afstand tussen de twee zwaartepunten is.
§6 De beweging van planeten en satellieten
In werkelijkheid zijn de banen van planeten geen perfecte cirkelbanen, maar ellipsbanen. Deze banen hebben
een kleine afwijking, denk hierbij aan de vorm van een ei, maar dan minder erg.
Als je de baan van een planeet om de zon bekijkt, dan kunnen we zeggen dat de zon een grote
aantrekkingskracht uitoefent op de planeet. Omdat het (bij benadering) een eenparige cirkelbaan is, kunnen we
zeggen dat de gravitatiekracht van de zon gelijk is aan de middelpuntzoekende kracht van de planeet. We
krijgen de volgende formule:
Fmpz = Fg  mp · v2 / r = G · mp · mz / r2  v2 = G · mz / r
Omdat er voor v de formule 2πr / T geldt, kunnen we voor v2 schrijven: 4π2r2 / T2.
En dus geldt er: 4π2r2 / T2 = G · mz / r. Hieruit kunnen we afleiden: r3 / T2 = G · mz / 4π2. Deze wet staat bekend
als de derde wet van Keppler.
Omdat de massa van de planeet hier niet in voorkomt, is de verhouding tussen r3 en T2 dus constant..
Geostationaire satellieten bevinden zich op een vast punt boven de evenaar. Hun omlooptijd is dus gelijk aan
die van de aarde, 24 uur. Ze hangen allemaal op dezelfde hoogte, onafhankelijk van hun massa. Deze hoogte is
ongeveer 36000 km
Satellieten met een polaire baan leggen een baan af die precies over de twee polen van de aarde gaat. Hun
afstand tot de aarde kan tussen de 300 en 1000 km variëren.
11
Hoofdstuk 5 – Arbeid en energie
§1 Verrichten van arbeid (1)
Arbeid is de energie die je moet verzetten om een object te verplaatsen. Natuurkundig gezien: W  F  s .
Hierbij is W de arbeid, F de uitgeoefende kracht en s de afstand van de verplaatsing. Deze formule is alleen te
gebruiken als de kracht en de verplaatsing dezelfde richting hebben. Is dit niet het geval dan moeten we voor de
kracht het horizontale component nemen. Dit doen we door de formule te vermenigvuldigen met de cosinus van
de hoek , die tussen de richting van de kracht en de richting van de verplaatsing zit. We krijgen nu:
W  F  s  cos . Hierbij moet de kracht wel contant zijn. Als  90 is dan wordt er geen arbeid verricht. Als 
groter is dan 90 dan wordt de arbeid negatief. Dit houdt in dat de kracht de beweging van het voorwerp
tegenwerkt. We weten dat de arbeid gegeven wordt door F  s. De oppervlakte onder het (F,s)-diagram is gelijk
aan het product van de kracht en de afstand, en dus de arbeid. De eenheid van arbeid is niet Nm, zoals je zou
verwachten, maar Joule. Dit is gedaan omdat Nm al de eenheid is van het moment.
§2 Verrichten van arbeid (2)
De arbeid die de zwaartekracht verricht is onafhankelijk van de vorm van de baan van het voorwerp. Er geldt
altijd Wz = +Fz  h. Hierbij is h het hoogteverschil tussen het beginpunt en het eindpunt van de baan. De
wrijvingskracht is altijd tegengesteld aan de richting van de verplaatsing. Omdat deze altijd tegengesteld gericht
is en als het ware meedraait met de baan van het voorwerp, geldt er voor de arbeid van de wrijvingskracht
Ww = -Fw  s. Hierbij is s de afgelegde weg tussen het begin en het eindpunt van de baan.
§3 Arbeid en energie
Er is al gezegd dat arbeid de energie is die je nodig hebt om een voorwerp te verplaatsen. Er moet dus energie
zijn om arbeid te kunnen verrichten. Als je energie bezit ben je in staat arbeid te verzetten. Er zijn verschillende
soorten energie. Zo heb je bewegings (ofwel kinetische) energie, zwaarte-energie, veerenergie, elektrische
energie, magnetische energie, chemische energie, kernenergie, stralingsenergie en warmte. De kinetische
energie kunnen we berekenen met de formule Ek = ½ m  v2. Een voorwerp moet daarbij een massa m en een
snelheid v hebben. Als de massa en/of de snelheid toenemen dan neemt de kinetische energie dus toe. Een
voorwerp dat valt verplaatst zich, en verricht dus arbeid (bij “aankomst” op de grond oefent het een kracht uit
op de grond). Om deze energie-inhoud te kunnen berekenen gebruiken we de formule m  g  h. Hierbij is g de
valversnelling. Als een voorwerp valt, stellen we dat het laagste punt een energieniveau van 0 J heeft.
Als een veer ingedrukt of uitgetrokken (t.o.v. zijn natuurlijke positie) dan bezit deze veerenergie.
Je kan je handen over elkaar wrijven, waarbij er dan warmte (symbool Q) ontstaat. De arbeid van je handen
wordt dus omgezet in warmte. Deze warmte is even groot als de arbeid van de wrijving (Ww)!
§4 Wet van behoud van energie
De energie die een voorwerp bezit, kan van soort veranderen maar blijft in grootte constant.
Dit noemen we de wet van behoud van energie. Als we in de praktijk kijken naar een bolletje dat
aan een slinger hangt, en we laten het heen en weer slingeren door het naar punt A te trekken en
dan los te laten, dan blijkt het bolletje niet boven een bepaalde hoogte uit te komen. Op het
moment dat het op zijn hoogst is (A), dan is de kinetische energie 0 en de zwaarte-energie het
grootst. Is het bolletje echter helemaal beneden (in de evenwichtstand, B) dan is de
kinetische energie het grootst en de zwaarte-energie 0. In symbolen (energiebalans):
1
Ez in A = Ek in B  m  g  h A  m  v B2
2
Nu kan je zeggen dat dit niet klopt met de wet van behoud van energie, het bolletje blijft niet eindeloos
doorslingeren. Dit is te verklaren met het feit dat er wrijving optreedt met de lucht en in het ophangpunt,
waardoor er constant energie (in dit geval warmte) aan de omgeving wordt afgestaan.
Als er ook warmte vrij komt bij het verrichten van arbeid, dan schrijven we de energiebalans als volgt:
1
Ez in A = Ek in B + Q  m  g  h A  m  v B2 + Q
2
Omdat het bolletje in B tot rust komt, is alle zwaarte-energie omgezet in warmte en kunnen we het schrijven als:
energie in A = warmte  m  g  hA  Q .
12
Bij wrijving ontstaat ook warmte, en in dat geval is de grootte van deze warmte gelijk aan de arbeid die de
wrijving verricht (dus Ww = Q  Fw ∙ s = Q).
§5 Wet van behoud van energie: toepassingen
Als we de hefboom uit het vorige hoofdstuk bekijken, waarbij we minder kracht moesten gebruiken naarmate
de arm groter werd, en dan vooral naar de zwaarte-energie dan valt op dat er wel een krachtbesparing optreedt,
maar geen energiebesparing. Dit bekijken we aan de hand van het volgende voorbeeld. In de situatie hiernaast is
ma 20kg, mb 5kg, AC 50 cm en BC 200 cm. Omdat kracht ∙ arm aan beide kanten gelijk is, is de hefboom in
evenwicht (20∙50 = 5∙200). Bij B hoeven we dus maar weinig
kracht te zetten om bij A een grote kracht te kunnen verplaatsen.
Kijken we echter naar de energie-inhouden, dan blijkt dat deze ook
gelijk zijn!
m∙g∙ha = - m∙g∙hb  20 ∙ 9,81 ∙ 0,25 = 5 ∙ 9,81 ∙ 1,00 (als B
1,00m omlaag gaat, gaat A 0,25m omhoog; gelijkvormige driehoeken). Met andere woorden, de energie-inhoud
van de hefboom blijft onveranderd.
Als je een auto-ongeluk krijgt en je draagt geen gordel dan blijf je tijdens de botsing met gelijke snelheid
vooruit bewegen totdat je tegen de voorruit komt (traagheidswet). Omdat de auto dan al stilstaat heb je maar een
hele kleine remweg. Omdat er geldt ½ m  v 2  F  s , is F dus erg groot; er gaat een hele grote kracht op je
lichaam werken. Als je daarentegen wel netjes de gordel draagt, dan krijg je een veel langere remweg; je wordt
al bijna meteen afgeremd als de auto snelheid begint te verminderen. Hierdoor krijgt de passagier een veel
grotere remweg en wordt de kracht F die op zijn lichaam staat veel kleiner.
De kreukelzone van een auto zorgt er ook voor dat de remweg vergroot wordt, en heeft dus hetzelfde effect als
de gordel (gecombineerd geven ze natuurlijk het beste resultaat).
§6 Vermogen
Het vermogen is een grootheid om verschillende apparaten met elkaar te kunnen vergelijken in het opzicht
hoeveel energie ze verbruiken (hoeveel arbeid ze verrichten). Een auto kan in een veel kortere tijd dezelfde
arbeid verrichten als een stofzuiger; het vermogen van de auto is dus groter.
Het vermogen wordt gegeven door de formule: P = W / t. Uit de formule volgt dat de eenheid van vermogen
Joule per seconde is. Hier wordt ook wel de naam Watt voor gebruikt (1 J/s = 1 Watt).
Met de formules W = F · s en v = s/t vinden we wat het verband tussen vermogen en snelheid is.
W F s
s
P

 F   F  v . Bij een gloeilamp ligt het anders, daar spreken we niet van arbeid, maar van
t
t
t
energie die om wordt gezet in licht (stralingsenergie) en warmte. Hiervoor kunnen we schrijven: P = ΔE / t,
waarbij ΔE de omgezette hoeveelheid energie is.
§7 Rendement en energieverbruik
Het rendement van een apparaat is niets anders dan de hoeveelheid energie die nuttig wordt gebruikt. Er geldt:
Wnuttig
Pnuttig

 100 % maar ook  
 100 % , omdat P = W / t en P = ΔE / t.
Ein
Pin
Het energieverbruik van een auto is afhankelijk van: 1) de totale weerstand, 2) de rijstijl van
de bestuurder, 3) onderhoud v/d auto, 4) het rende ment van de motor en
5) het aantal ingeschakelde elektrische apparaten. Een vliegwiel wordt gebruikt om
bewegingsenergie tijdelijk om te zetten in rotatie-energie, om het daarna snel weer om te
zetten in bewegingsenergie. Het is een tijdelijke opslag van energie.
13
Hoofdstuk 6 – Licht
§1 Voortplanting en terugkaatsing van licht
Licht is iets wat we niet kunnen zien, maar het stelt ons wél in staat om voorwerpen waar licht op valt
te kunnen zien. Dit komt doordat een deel van het licht dat op een voorwerp valt weerkaatst wordt en
in onze ogen komt. Als je rook of mist ziet wordt het licht door de rook/water deeltjes in
alle richtingen weerkaatst en zou je kunnen denken dat je het licht zelf ziet. Maar dit is dus
niet het geval, je ziet alleen de weerkaatsing van het licht op die deeltjes.
Licht kan zich alleen voortplanten in doorschijnende stoffen (of vacuüm), in een stof als ijzer
wordt geen licht doorgelaten. Het voortplanten van licht in vacuüm en lucht blijkt te gaan
met een snelheid van 3,00∙108 m/s. Wat heel belangrijk is, is dat licht zich rechtlijnig
voortplant. Als je een lichtstraal ziet, dan is deze eigenlijk een lichtbundel, omdat een
lichtstraal heel erg smal is. Hele kleine bundels worden echter toch lichtstralen genoemd. Als
verschillende lichtstralen uit één punt komen en ze gaan uit elkaar, spreken we van een
divergerende lichtbundel. Komen de lichtstralen echter steeds dichterbij elkaar, om
uiteindelijk in één punt samen te komen dan spreken we van een convergerende
lichtbundel. Als alle stralen precies dezelfde richting hebben (en elkaar dus niet
snijden/kruisen) dan noemen we het een evenwijdige lichtbundel.
Behalve dat licht teruggekaatst wordt kan het ook geabsorbeerd worden, of doorgelaten waarna er
waarschijnlijk een andere richting waargenomen wordt; breking. Als licht op een ruw oppervlak
valt wordt het licht in alle mogelijke richtingen weerkaatst; diffuse terugkaatsing. Wil je
een evenwijdige lichtbundel weerkaatsen zodat het evenwijdig blijft dan heb
je een beperkte keuze van materiaal. Een voorbeeld is de “gewone” spiegel.
Wat je daarbij waarneemt noemen we spiegelende terugkaatsing.
Als een lichtstraal wordt weerkaatst, dan blijkt te gelden dat
invallende en teruggekaatste lichtstraal in één vlak liggen. Ook is de
hoek van inval ( i ) gelijk aan de hoek van weerkaatsing (  t ) of in
symbolen: i  t . Deze hoeken zijn de hoeken tussen de lichtstraal en de normaal
van het vlak waar de lichtstraal op valt! Loopt de lichtstraal andersom, dan treedt er nog steeds
dezelfde weerkaatsing op.
§2 Spiegel en spiegelbeeld
Als je een voorwerp voor een spiegel hebt staan, dan mag je een punt áchter de
spiegel tekenen (punt B) dat symmetrisch is met het originele punt (L) ten op
zichtte van de spiegel (S). Daarna kun je vanuit dat punt alle mogelijke
weerkaatsingen tekenen, en als laatste stap kun je vanuit het originele punt een
lijn tekenen naar het punt waar de virtuele straal de spiegel snijdt.
Lichtpunt L wordt ook wel het voorwerpspunt genoemd, en punt B het
beeldpunt.Om een lichtbundel te construeren kun je bovenstaande volgen, hier
links staat het uitgebeeld.
Omdat het beeld gelijkvormig is met het origineel en één voorwerpspunt
correspondeert met één beeldpunt spreken we van ideale beeldvorming.
Het beeld B dat hier wordt gebruikt is een virtueel beeld. Dit houdt in dat het
niet op een scherm te vangen is omdat het niet echt bestaat. Ga maar na; het is
een beeld dat wij tekenen om een makkelijke constructie uit te kunnen voeren.
Een beeld dat wel echt bestaat noemen we een reëel
beeld, wat wel op een scherm te vangen is. Een
lichtstraal die achter een spiegel “doorloopt” omdat wij
hem daar tekenen, bestaat eigenlijk niet. Daarom moet
die gestreept getekend worden.
14
§3 Breking van licht (1): de brekingswet
Als we licht laten vallen op een stukje glas, dan zien we dat het licht in het glas een andere
richting heeft dan in de lucht voor het glas. Er treedt breking op. Dit is alleen het geval
als er een hoek is tussen de lichtstralen en de normaal van het oppervlak van het glas.
Als deze hoek namelijk 0° is dan gaat het licht precies rechtdoor. Als het licht het glas
weer uit gaat treedt er opnieuw breking op. Bij de eerste keer wordt er
naar de normaal toe gebroken; de hoek van inval (i1) is groter dan de
hoek van terugkaatsing (r1). Bij het uitgaan geldt precies het omgekeerde;
de hoek van inval (in het glas!) is kleiner dan de hoek van breking; er
wordt van de normaal af gebroken.
Het verband tussen de invalshoek en de brekingshoek wordt gegeven door de
sin i
 n.
brekingsindex. Deze brekingsindex wordt gegeven door deze formule
sin r
Hierbij is n de brekingsindex. Ieder paar stoffen heeft een eigen brekingsindex. Voor de brekingsindex van
lucht naar glas schrijven we: nlg = 1,51, en voor lucht naar water: nlw = 1,33. Als er wordt geschreven over
de brekingsindex van water, dan hebben we het over de breking die optreed bij de overgang van lucht naar
water! Als er naar de normaal toe wordt gebroken is de brekingsindex groter dan 1.
De overgang van glas naar lucht is precies het omgekeerde van 1,51: 1/(1,51) = 0,66. We kunnen dit schrijven:
n g l 
1
nl  g
.
§4 Breking van licht (2): toepassingen
De breking van licht is te zien als je bijvoorbeeld een rietje in een glas hebt gestoken. Het lijkt dan
alsof het rietje gebogen is, maar dit is het niet! Rechts is te zien wat er eigenlijk gebeurt. Je
ogen denken dat het licht, dat gebroken wordt bij het uitgaan van het water, een rechte
straal is; alsof het licht uit het verlengde van de gebroken stralen komt (de gestippelde
lijnen). In werkelijkheid zit het rietje dus lager dan dat je denkt!
Als je door een prisma naar een potlood kijkt, dan blijkt er een merkwaardig fenomeen op te
treden. Er is sprake van volledige terugkaatsing. Dit wordt veroorzaakt door de grenshoek (g).
Dit is de hoek waarbij de brekingshoek precies 90° is. Deze grenshoek is als volgt te berekenen,
want er geldt (voor glas met n=1,51):
sin i
1
1
 ng l 

 0,662 . Nu kunnen we zeggen:
sin r
nl g 1,51
sin g
1
 0,662 en geeft dan g = 45°. “ sin g  ” is de algemene
sin 90
n
vorm van de formule voor de grenshoek van een stof.
Voor volledige terugkaatsing moet de hoek van inval groter zijn dan
de grenshoek en moet er van de normaal af gebroken worden.
Glasvezelkabels bestaan uit een groot aantal dunne glasvezeldraden
(deze zijn even dik als een haar!). Een glasvezeldraad bestaat uit een glazenkern met daaromheen een glazen
omhulsel. Omdat het omhulsel van een ander glas is en het licht dat er door gaat een bepaald minimum hoek
heeft is er een constante totale terugkaatsing, zodat er geen licht verloren gaat. Dit principe is goed te gebruiken
voor het vervoeren van informatie omdat er niets verloren gaat onderweg.
Als licht op een prisma valt dan blijkt dat je een waaier van verschillende kleuren (een spectrum) krijgt als het
licht de prisma verlaat. Dit komt doordat er voor verschillende kleuren licht (licht met verschillende
frequenties) een andere brekingsindex is. In tabel 18A van BINAS kun je de brekingsindices vinden van
gewoon glas, en er blijkt voor nv=1,52 en nr=1,51. Als er echter zwaar flintglas wordt gebruikt dan geldt er:
nv=1,94 en nr=1,88. Wit licht bestaat dus uit
alle kleuren van het spectrum en voor iedere kleur licht heeft
een stof een iets verschillende brekingsindex.
§5 Lenzen (1): een aantal belangrijke begrippen
Een lens is een doorschijnend voorwerp waarbij minimaal één oppervlak gebogen is. Bij een sferische lens is dit
oppervlak een deel van een boloppervlak. Als een lens aan beide kanten gekromd is dan hoeven de stralen van
de bollen waardoor “de kromming ontstaat” niet gelijk te zijn. Het optisch middelpunt ligt het dichtst bij het
15
lensoppervlak dat het meest gekromd is. Elke rechte lijn die door het optisch middelpunt gaat maar niet
samenvalt met de hoofdas noemen we een bijas van die lens.
Er zijn zes verschillende typen sferische lenzen, ingedeeld in twee groepen:
- de bolle (of positieve) groep. Deze lenzen zijn in het midden dikker dan aan de rand.
- de holle (of negatieve) groep. Deze lenzen zijn in het midden dunner dan aan de rand.
Een bolle lens breekt licht anders dan een holle; een bolle lens
werkt convergerend; het buigt lichtstralen naar elkaar toe. Een
holle lens werkt divergerend, het buigt lichtstralen van elkaar
af.
Voor dunne lenzen blijkt te gelden dat elke lichtstraal die door
het optische middelpunt gaat ongebroken door gaat.
Als we lenzen tekenen dan gebruiken we een dikke streep voor
een lens, waarboven we een + zetten als het een positieve lens
is, of een - als het een negatieve lens is.
Als een aantal stralen voor een lens evenwijdig aan de
hoofdas lopen, dan gaan ze na breking door de lens door één punt dat op de hoofdas ligt. Dit punt noemen we
het hoofdbrandpunt en geven we aan met de letter F. De afstand van het hoofdbrandpunt tot het optisch
middelpunt noemen we de brandpuntsafstand en geven we aan met de letter f. Als de stralen nu van de andere
kant evenwijdig komen, dan blijkt dat er aan de andere kant van de lens op precies dezelfde afstand ook een
hoofdbrandpunt! Als de invallende stralen nog wel evenwijdig aan elkaar lopen, maar onder een
hoek op de lens vallen dan blijkt dat alle stralen wéér door één
punt gaan. Dat punt licht op het bijbrandpunt F’ dat op
de bijas ligt. Het vlak waarin het
hoofdbrandpunt en de bijbrandpunten
liggen noemen we het brandvlak, en dat
brandvlak staat loodrecht op de hoofdas.
§6 Lenzen (2): beeldvorming en beeldconstructie
We hebben een convergerende bundel licht die het snijpunt vóór een lens heeft en we gebruiken dat punt als
voorwerpspunt (L) . De afstand van het gevormde beeld B tot het optisch middelpunt heet de beeldafstand,
symbool b.
Als de voorwerpsafstand (de afstand
van het optisch middelpunt tot de plaats
van het voorwerp, symbool v) groter is
dan de brandpuntsafstand dan is de
bundel na breking convergerend. Er
wordt een reëel beeld B gevormd.
Is de voorwerpsafstand kleiner dan de
brandpuntsafstand dan is er na breking
een divergerend bundel licht. Er wordt
dan een virtueel beeld B gevormd.
Als L in het brandpunt van de lens ligt,
dan ontstaan er na breking evenwijdige
stralen! Er is dus geen beeld omdat de
stralen na breking niet door één punt
gaan!
16
Meestal staat er niet één punt maar een voorwerp voor de lens. Zo’n voorwerp kun je zien als een verzameling
punten. Voor elk punt word er feitelijk een lichtstraal gebroken.
Als we een punt L hebben dat niet op de hoofdas ligt kunnen we als volgt het beeld construeren. We weten hoe
3 lichtstralen gebroken worden,
namelijk degene die door het optisch
middelpunt gaat, die door het brandpunt
voor de lens gaat en de straal die voor de
lens evenwijdig aan de hoofdas is. Als je
2 van deze constructie-stralen hebt
getekend dan weet je waar het beeldpunt
ligt.
Als we van de situatie hieronder het beeld BB’ van het voorwerp LL’ willen construeren moet je onthouden dat
BB’ net als LL’ loodrecht op de hoofdas moet staan! Nu hoeven we dus eigenlijk alleen het punt B’ te
construeren, B ligt namelijk op de hoofdas recht onder B’.
Omdat LL’ áchter het brandpunt
ligt moeten we de lichtstralen
doortrekken naar achteren (de
gestippelde lijnen). Er ontstaat
dus een virtueel beeld.
Als de voorwerpsafstand groter
is dan de brandpuntsafstand dan
zijn er 3 verschillende
mogelijkheden. Het beeld is dan reëel en omgekeerd (als het voorwerp boven de hoofdas is, dan hangt het beeld
daar als het ware onder, alsof het omgevallen is) en per situatie geld dan nog:
1) v > 2f, dan is het beeld verkleind (bijvoorbeeld als je een foto van iemand maakt).
2) v = 2f, dan is het beeld even groot als het voorwerp.
3) f < v < 2f, dan is het beeld vergroot (bijvoorbeeld als je dia’s projecteert).
Als de voorwerpsafstand kleiner is dan de brandpuntsafstand ontstaat er een virtueel beeld dat rechtop staat en
vergroot wordt. Dit is het geval als je door een loep naar een postzegel oid kijkt.
§7 Lenzen (3): lensformule en lineaire vergroting
1
N |

1

1
S
v b f
Als men met een bolle lens werkt, dan is f positief. Bij een holle lens is deze waarde echter negatief.
Bij een reëel beeld is b positief, maar bij een virtueel beeld is b negatief.
Vaak worden de grootte van het beeld en het originele voorwerp met elkaar vergeleken. Hiervoor heeft men de
lineaire vergroting ingevoerd. Deze lineaire vergroting (N of Nlin) geeft aan hoeveel maal het beeld groter is dan
het voorwerp. Omdat er altijd met de positieve waarde wordt gerekend schrijft men
Deze luidt als volgt:
b
|.
v
17
Hoofdstuk 7 – De werking van het oog
§1 Bouw van het oog; accommodatie van het oog
De iris is vergelijkbaar met het diafragma van een fototoestel. Het
kan de pupil groter en kleiner maken, en zo meer of minder licht
doorlaten. De grootte van de pupil varieert van 2-8mm (gemiddeld
4mm). Beide ogen reageren gelijk. Er zijn bepaalde invloeden die de
werking van de pupil beïnvloeden; drugs en alcohol zorgen voor
extra pupil vernauwing/verwijding. Als de pupilreflex niet goed is,
kan dit wijzen op hersen-beschadiging. Het middelpunt van het oog
wordt het knooppunt van het oog genoemd. In het algemeen wordt
dit punt bij lenzen het optisch middelpunt genoemd.
De gele vlek is het punt waar de meeste gezichtscellen zitten en men
dus het scherpst mee kan zien. Bij de blinde vlek verlaten de
zenuwen het oog en op dat punt is het oog ongevoelig voor licht.
Omdat je alles scherp ziet, geldt de formule 1/v + 1/b = 1/f
Hierbij geld dat de beeldafstand (b) een vaste waarde heeft, omdat het beeld altijd op dezelfde afstand
(=knooppunt tot netvlies) geprojecteerd wordt. Hieruit volgt dus dat het oog een variabele brandpuntsafstand
heeft.
Als de kringspier ontspannen is, is de ooglens het minst bol; hij is ongeaccommodeerd.
Als de kringspier max. aangespannen is, is de ooglens het bolst; hij is maximaal geaccommodeerd.
Als het oog maximaal geaccommodeerd is, dan is de brandpuntsafstand het kleinst.
§2 Nabijheidspunt en vertepunt; oudziendheid
Hoe sterker de convergerende (=naar de as toe) of divergerende (=van de as af) werking van een lens is, des te
sterker de lens genoemd wordt. De sterkte van een lens wordt gemeten in dioptrie (dpt).
S=1/f. S staat voor de lenssterkte (in dpt) en f voor de brandpuntsafstand in meters!!!
Een negatieve lens heeft een negatieve brandpuntsafstand, dus wordt de sterkte dus ook negatief!
Vb1: De sterkte van een lens met f=+50 is gelijk aan 1/0.5 = 2 dpt
Vb2: De sterkte van een lens met f=-25 is gelijk aan 1/-0.25 = -4 dpt
Het vertepunt is het punt dat het oog nog scherp kan zien als het ongeaccommodeerd is.
Verder dan het vertepunt kan het oog niet scherp zien!
Het nabijheidspunt is het punt dat het oog nog scherp kan zien als het maximaal geaccommodeerd is. Dichterbij
dan het nabijheidspunt kan het oog niet scherp zien!
Normaal oog:
Brengt evenwijdige lichtstralen in één punt op het netvlies samen. Deze stralen zijn afkomstig van een punt dat
oneindig ver weg op de hoofdas ligt. Ergo; een normaal oog heeft het vertepunt in het oneindige (VO = ∞).
Het nabijheidspunt hangt af van de elasticiteit van de ooglens; des te ouder je wordt, des te veder het weg ligt.
Oudziend oog
Kenmerk: het nabijheidspunt ligt te ver weg
Doordat het nabijheidspunt te ver weg ligt, kan je alleen voorwerpen op een bepaalde (grotere) afstand scherp
zien. Voor kleine dingen (bijvoorbeeld letters in een boek) is dat een probleem, door de grotere afstand zie je ze
(te) klein! Het oog heeft bij max. accommodatie een te zwakke convergerende werking. Om dit te verhelpen is
een positieve lens nodig. Deze maakt een virtueel beeld in het nabijheidspunt van het oog.
Voorbeeld:
18
Het nabijheidspunt van het oog ligt op 80cm. We willen dit terug
brengen naar 15cm.
1/v + 1/b = 1/f  1/15 + 1/-80 = 1/f 
f = 18,5cm. S=1/f  S=1/.185  S = 5.4 dpt
§3 Bijziendheid en verziendheid
Bijziendheid
Kenmerk: zowel het nabijheidspunt als het vertepunt liggen te dicht bij.
Het oog is te sterk; het heeft een te sterke convergerende werking! Hierdoor komt een evenwijdige lichtbundel
vóór het netvlies samen, waardoor een onscherp beeld ontstaat. Geen natuurlijke verbetering mogelijk;
accommoderen maakt de vlek alleen maar groter!
Oplossing: Een divergerende lens voor het oog plaatsen. Hierdoor worden de stralen van de as af gebroken,
waardoor de convergerende werking van het oog (die te sterk is) ongedaan wordt gemaakt.
De brandpuntsafstand moet gelijk zijn aan de vertepunt afstand; de stralen moeten hiervandaan lijken te komen!
Voorbeeld:
Sterkte van de bril:
Stel:VO = 50cm NO = 6cm
De sterkte van de bril: f = - 50cm  S= -2,0 dpt
Het nabijheidspunt met bril:
1/f = 1/v + 1/b 1/-50 = 1/-6 + 1/x
 x = 6.8 cm
Verziendheid
Kenmerk: zowel het nabijheidspunt als het vertepunt liggen te ver weg.
Het oog is te zwak; het heeft een te zwakke convergerende werking! Hierdoor komt een evenwijdige
lichtbundel ná het netvlies samen, waardoor een onscherp beeld ontstaat. Dit kan het oog corrigeren door
constant te accommoderen, maar dit moet ook voor objecten erg ver weg, waardoor je ogen moe worden, wat
hoofdpijn kan veroorzaken.
Oplossing: Een convergerende lens voor het oog plaatsen. Hierdoor worden de stralen naar de as toe gebogen,
waardoor de zwakte van het oog wordt opgeheven.
De brandpuntsafstand moet gelijk zijn aan de vertepunt afstand; de stralen moeten hiervandaan lijken te komen!
Voorbeeld:
Sterkte van de bril:
Stel:VO = 80cm NO = 30cm
De sterkte van de bril: f = 80cm  S= 1,25 dpt
Het nabijheidspunt met bril:
1/f = 1/v + 1/b 1/80 = 1/-30 + 1/v
 v = 22 cm
§4 Gezichtshoek; loep; werking van de pupil
Gezichtshoek
De gezichtshoek is de hoek tussen de 2 lichtstralen die van de uiteinden van het
voorwerp komen en die door het knooppunt van het oog gaan. Des te groter de
gezichtshoek is, des te duidelijker je het voorwerp kan zien.
Werking van de loep
19
Een loep is eigenlijk niets anders dan een positieve lens die zorgt dat je nabijheidspunt dichterbij komt
te liggen. Hierdoor wordt de gezichtshoek groter, waardoor je het voorwerp groter op je netvlies te
zien krijgt.
Als je het voorwerp iets binnen het brandpunt van de loep houdt, wordt er een virtueel beeld gevormd,
waardoor het lijkt of je het voorwerp iets verder weg houdt.
Werking van de pupil
Lichtsterkte wordt uitgedrukt in lux. De pupil reageert op de lichtsterkte. Zoals eerder gezegd kan deze
(diameter)grootte variëren van 2 tot 8 millimeter. Het verschil tussen het minste licht en het meeste
licht is dus: 42 = 16 keer.
Angulaire Vergroting
Nang = n/f  Nang is de hoekvergroting waarmee je het voorwerp ziet.
Hoekvergroting die optreed als je een voorwerp bekijkt in NO (max. geaccommodeerd) en vervolgens
naar hetzelfde voorwerp kijkt via een loep en ongeaccommodeerd. De brandpuntsafstand moet gelijk
zijn aan de vertepunt afstand; de stralen moeten hiervandaan lijken te komen!
Voorbeeld:
Hoe groot is de hoekvergroting als het voorwerp in NO staat ipv VO?
Nang = ß / α  hoekvergroting
20
Hoofdstuk 8 – Elektriciteit
§1 Spanningsbron en stroomkring
Stromingen worden veroorzaakt door drukverschillen. Zo stroomt water naar
het laagste punt, en stroomt lucht van een hoge luchtdruk naar een lage
luchtdruk. Elektrische stroom loopt van een plek met een hoge potentiaal naar
een plek met een lage potentiaal. Elektrische stroom wordt dus veroorzaakt
door een potentiaalverschil.
Het potentiaalverschil wordt ook wel de spanning genoemd!
Het symbool van spanning is: “U”. De spanning wordt uitgedrukt in volt (V)
Een standaard batterijcel levert een spanning van 1,5V. Als je een grotere
spanning wilt, moet je meerdere batterijcellen in serie schakelen. Het geheel
van batterijcellen dat je dan krijgt noem je een batterij. De batterij (of
spanningsbron) kun je zien als de pomp die de elektrische stroom rondpompt.
Een stroomkring is het geheel van de spanningsbron, de elektriciteitsdraden,
en het apparaat dat is aangesloten.
Een stroomkring tekenen we met een schakelschema. Dit is een schematische
tekening van een stroomkring. In zo’n tekening worden symbolen (zie figuur
hiernaast) gebruikt om fysieke dingen voor te stellen.
§2 Elektrische lading
Elektrische stroom bestaat uit bewegende elektrisch geladen deeltjes. Er zijn 2 soorten ladingen.
Een positieve en een negatieve. Als je barnsteen met wol opwrijft, kan het kleine dingen aantrekken. Het is dus
in een staat gekomen waarin het krachten uit kan oefenen. Het stukje barnsteen is nu elektrisch geladen, ofwel:
het heeft een elektrische lading gekregen.
Glas kan je met een zijden lap opwrijven, en eboniet met een bontvelletje. Als je twee gelijkwaardige staven bij
elkaar brengt zullen ze elkaar afstoten, terwijl twee verschillende staven elkaar zullen aantrekken! Men heeft de
lading die het glas krijgt positief genoemd, en die van eboniet negatief.
Stoffen waardoor elektrische lading zich wel kan verplaatsen noemen we geleiders.
Stoffen waardoor elektrische lading zich niét kan verplaatsen noemen we isolatoren.
Als je een geladen geleider met de aarde verbind, ontlaadt deze zich!
Elektrische verschijnselen kun je verklaren met de bouw van een atoom.
Het atoom model van Rutherford – Bohr
Elk atoom bestaat uit een atoomkern, waar elektronen omheen zweven.
Het atoom is elektrisch neutraal. De kern is positief en de elektronen negatief, maar zo dat ze precies in
evenwicht zijn.
- Elektronen zitten in schillen om de kern heen (K,L,M, enz)
- De afstand tussen de elektronen en de kern is zeer groot.
- De massa en de lading van ieder atoom zijn verschillend
Ionen zijn atomen, waar minder óf meer elektronen omheen zweven dan normaal. Bij een magnesium ion wordt
de lading bijvoorbeeld 2+. Het symbool van dit ion is dan: Mg2+.
Chloor daarentegen neemt makkelijker elektronen op, en wordt dan Cl- (1e negatief).
Atoomkernen, elektronen en ionen worden ladingdragers genoemd. De lading is dus altijd aan een stukje
materie gekoppeld. Als je de glazen staaf opwrijft, wrijf je elektronen van het glas af, waardoor het glas positief
geladen wordt.
De eenheid van lading is coulomb (symbool Q). Deze eenheid hangt samen met de eenheid van elektrische
stroomsterkte. De kleinste hoeveelheid waarin een lading kan voorkomen, noemt men de elementaire lading.
Deze lading wordt voorgesteld met e. Deze lading is 1,60 · 10-19 C groot.
1 C telt dus 6,25 · 1018 elektronen.
-
§3 Elektrische geleiding in metalen, stroomrichting en stroomsterkte
Doordat een elektron dat zich in de buitenste schil van een atoom bevindt niet zo sterk wordt aangetrokken door
de kern, kan het gemakkelijk van atoom naar atoom springen. Zo kan het zich door het hele metaal verplaatsen.
21
Zo’n elektron noemen we een geleidingselektron. Je kunt dus zeggen dat een stuk magnesium bestaat uit
magnesiumionen met daartussen losse elektronen.
De ionen liggen vast in een rooster. Ze worden bij elkaar gehouden door de elektronen.
Als je een spanningsbron hebt met daaraan verbonden een metaaldraad, gaat er een elektrische stroom lopen.
Deze stroom is feitelijk niets anders als de geleidingselektronen die zich in één bepaalde richting verplaatsen.
Elektrische geleiding in een stof is alleen mogelijk als er in die stof vrij beweegbare ladingdragers aanwezig
zijn. In metalen zijn dat de geleidingselektronen.
De stroomrichting kan soms belangrijk zijn. De elektronen lopen in de tegengestelde richting (van – naar +) dan
de afgesproken stroom richting (van + naar -).
De stroomsterkte wordt weergegeven met het symbool I. De eenheid hiervan is ampère
(symbool A). Als de stroomsterkte in een draad 1 A is, dan gaat er per seconde 1C aan lading
door die draad. De bijbehorende formule is: I = Q / t wat neer komt op: 1A = 1 C∙s-1.
Bij een vertakking geldt dat I = I1 + I2 + I3. Dit is logisch, want de lading wordt gewoon
verdeeld over de 3 draden!
Als je de stroomsterkte door een apparaat (bijvoorbeeld een lampje) wilt meten, dan moet je een ampère meter
in serie schakelen met dat apparaat. De stroomsterkte moet namelijk gelijk zijn met die door het lampje gaat!
Als je de spanning op een apparaat (bijvoorbeeld een lampje) wilt meten, dan moet je een voltmeter (ook wel
spanningsmeter genoemd) parallel schakelen aan dit lampje. Je meet dan het potentiaal verschil tussen de
punten A en B, waartussen het lampje ligt.
Bij het aansluiten van deze meters moet je er voor zorgen dat je ze goed aansluit, ze slaan namelijk maar 1 kant
op uit! De stroom moet via het rode aansluitpunt de meter binnenkomen, en er via de zwarte weer uit gaan. Veel
meters hebben meerdere meetbereiken. Je begint dan met het aansluiten op het grootste bereik. Als de meter dan
maar weinig uitslaat, verklein je het bereik.
§4 Wet van Ohm, meten van weerstand
De weerstand geeft aan hoe gemakkelijk een stroom door een draad of apparaat kan gaan. De weerstand hangt
samen met de stroomsterkte en de spanning.
Als je een variabele spanningsbron hebt (voedingskastje), dan kan je een test doen met een ‘draadkokertje’
(=weerstandje). Dit is een kokertje waarop een zeer dunne draad is gewonden, die aan (veel dikkere)
aansluitdraden zijn verbonden. Als je dan een voltmeter en een ampèremeter gebruikt om te bepalen wat de
stroomsterkte is bij verschillende voltages (stroomspanningen), dan zul je zien dat er een constante verhouding
tussen de spanning en de stroomsterkte is.
Dit volgt uit U / I. Deze contante verhouding betekent dat de wet van Ohm geldt. Bij bijvoorbeeld een lampje
is U / I niet constant, dus geldt deze wet niet!
De weerstand wordt aangeduid met het symbool R en de formule U / I. De eenheid hiervan
is Volt per ampère. Deze eenheid wordt ook wel ohm (Ω) genoemd. 1 ohm is dus 1 volt per
ampère. In formule: 1 Ω = 1 Volt per Ampère.
Om een weerstand te berekenen moet je dus de stroomsterkte en de spanning weten.
Hiervoor maak je een opstelling waarin je deze kan meten, zodat ze gelijk zijn aan die over
het weerstandje. Eenmaal gemeten gebruik je de formule R = U / I.
De weerstand van de huid hangt af van de toestand waarin deze zich bevindt. Een vochtige huid heeft een lagere
weerstand dan een droge. Het vocht op de huid bevat vaak (veel) zout, en is daarom een goede geleider. In het
lichaam zit ook veel water met opgelost zout, dus ook dit is een goede geleider. Bij een vochtige huid wordt een
spanning van 30 V als ongevaarlijk beschouwd.
§5 Weerstand van een draad
De weerstand is recht evenredig met de lengte van de draad. Dit volgt uit een proef, waarbij de
weerstand van meerdere stukken constantaandraad met dezelfde dikte, maar met een andere lengte,
worden gemeten.
De weerstand van een metaaldraad is omgekeerd evenredig met de doorsnede van de draad. Dit
volgt uit een proef, waarbij de weerstand van meerdere stukken constantaandraad met dezelfde
22
lengte, maar met een andere dikte, worden gemeten.
Voor de weerstand van een metaaldraad geldt dus:
- De weerstand is evenredig met de lengte van de draad: R ~ l
- De weerstand is omgekeerd evenredig met de doorsnede van de draad:
R ~ 1/A. Hieruit volgt: R ~ l · 1/A, dus: R ~ l/A. En dus geldt: R =
constante · l/A
Als je vervolgens draden van verschillende materialen met elkaar gaat vergelijken
(uiteraard dezelfde lengte en dikte), blijkt dat de resultaten sterk kunnen verschillen! De
weerstand van een draad hangt dus ook af van het materiaal van de draad. De constante van
daarnet, heet de soortelijke weerstand. Hiervoor wordt het symbool ρ gebruikt. Je krijgt
dan:
 l
R
A
Deze soortelijke weerstand kan je gebruiken om bijvoorbeeld de lengte of de dikte van de draad uit te rekenen.
Een ander soort weerstand is de regelbare weerstand. Hierbij kan je regelen hoeveel weerstand de stroom zal
ondervinden. Op een dergelijke manier werkt de volumeknop van bijvoorbeeld een radio.
§6 Weerstand en temperatuur: ‘bijzondere’ weerstanden
De weerstand van een metaaldraad neemt toe als de temperatuur van die draad stijgt.
Als je een lampje hebt en de stroomsterkte hoog genoeg is om het te laten branden, dan is de temperatuur van
de draad tot ruim 2000 ºC opgelopen. De weerstand is dan meer dan 10x zo groot geworden!
Een PTC is een stof (bijvoorbeeld metaal) die een positieve temperatuurscoëfficiënt heeft. Dit houdt in dat
naarmate de temperatuur stijgt, de weerstand ook stijgt!
Een NTC is een stof (bijvoorbeeld grafiet, silicium en germanium) die een negatieve temperatuurs-coëfficiënt
heeft. Dit houdt in dat naarmate de temperatuur stijgt, de weerstand daalt!
Een LDR (Light Dependent Resistor)is een weerstand waar de weerstand bepaald wordt door hoeveelheid licht
die op het weerstandje valt. Hoe meer licht er op het weerstandje valt, des te lager de weerstand wordt! Een
LDR wordt bijvoorbeeld gebruikt bij de straatverlichting, maar ook bij een belichtingsmeter op een fototoestel.
Een bijzonder schakelelement is de halfgeleiderdiode. Zo’n diode is vaak gemaakt van silicium. Silicium wordt
een halfgeleider genoemd omdat deze stroom zelf redelijk kan geleiden. Door het te mengen met andere stoffen
krijgt het silicium betere geleidingseigenschappen.
De kenmerkende eigenschap van een diode is dat hij de stroom maar in één richting doorlaat. Bij het symbool
van een diode geeft de richting van de pijl aan in welke kant de geleiding mogelijk is.
Als je een stroomkring bouwt met een diode (met bijvoorbeeld een lampje), en het lampje gaat branden, dan
zegt men dat de diode in doorlaatrichting is geschakeld. Als het lampje echter niet gaat branden, dan is de diode
in sperrichting geschakeld. Een speciaal soort diode is de LED (Light Emitting Diode). Dit soort diode geeft
licht als het in doorlaatrichting geschakeld is.
Symbolen bij de verschillende soorten weerstanden:
PTC-weerstand
NTC-weerstand
LDR
Diode
LED
§7 Elektrische energie en elektrisch vermogen
Bij stroomverbruik wordt er geen stroom verbruikt, alleen maar de elektrische energie die het levert! De stroom
is alleen maar het transportmiddel voor de energie. Bij ieder elektrisch apparaat treedt warmte ontwikkeling op.
Bij apparaten die dit juist willen (denk aan strijkbout, elektrischa kachel), wordt bijna alle elektrische energie
omgezet in warmte.Als je een stroom 10 minuten laat lopen door een draad, geeft hij 2x zo veel energie af als
hij maar 5 minuten zou lopen. Ee ~ t: De elektrische energie is evenredig met de tijd.
Als de stroomsterkte 2x zo groot is, dan wordt er ook 2x zoveel energie afgegeven.
Ee ~ I: De elektrische energie is evenredig met de stroomsterkte.
Als de spanning 2x zo groot is, dan is de energie afgifte ook 2x zo groot,
Ee ~ U: De elektrische energie is evenredig met de spanning.
23
Voor Ee blijkt de formule: Ee = U · I · t. (waarbij U de spanning is, I de stroomsterkte en t de tijd. Het vermogen
kan worden geschreven als: P = E / t. De eenheid is dan watt (W). Pe = U · I · t / t = U · I . 1 Watt is dus 1 volt
· ampère. Kilowattuur (kWh) is de energiemaat die elektriciteitsbedrijven hanteren.
1 kWh = 1000W · 3600s = 1000J/s · 3600s = 3.6·106J = 3.6MJ
Voor een verwarmingselement (=1 groot weerstand) geldt dat U = I · R. Als je dan de formule van elektrische
energie bekijkt, zie je dat je dit kan schrijven: Ee = U · I · t  Ee = I · R · I · t  Ee = I2 · R · t
Bij benadering is de hoeveelheid warmte dus Q = I2 · R · t
§8 Weerstanden parallel; weerstanden in serie
Doordat op het lichtnet aangesloten apparaten parallel aangesloten zijn, kan je een apparaat zomaar uitzetten
zonder dat het invloed heeft op de andere apparaten. Als je alles in serie zou schakelen (kerstverlichting), dan
zou alles uitvallen zodra er 1 apparaat uitvalt.
Stel dat de spanning op het plaatje hiernaast 6V is. I1 = 6.0V / 30Ω = 0,20 A.
Dan is I2 = 6.0V / 20Ω = 0,30 A
De “hoofdstroom” is dan I1 + I2 = 0,50 A
Bij een parallelschakeling vertakt de hoofdstroom zich dus in 2 aparte
stromen!
Je hebt nu dezelfde stroomkring, alleen zijn de 2 parallelle weerstanden nu
vervangen door 1 weerstand. Deze weerstand noemt men de
vervangingsweerstand. De spanning en de stroomsterkte zijn dus even groot
als bij de vorige schakeling (6,0 V en 0,50 A). De weerstand moet nu dus
R = 6,0V / 0,50A = 12,0Ω zijn.
Nu kunnen we een verband tussen R1, R2 en Rv zien. Dit is namelijk:
1
1
1


Rv R1 R2
Door weerstanden (= apparaten) parallel te schakelen neemt de weerstand af; ga maar na: de totale weerstand
van het voorbeeld van daarnet (waar R1 en R2 parallel geschakeld waren) was veel kleiner dan de 2 losse.
Als je 2 weerstanden in serie schakelt, krijg je de volgende situatie:
Als de stroomsterkte 0,12A is, dan wordt Uab 0,12A ∙ 30Ω = 3,6V en Ubc
0,12A ∙ 20Ω = 2,4V. De totale spanning is dus Uab + Ubc = 6,0V.
De spanning van een serieschakeling wordt dus verdeeld over de in
serie geschakelde apparaten.
Je hebt nu weer dezelfde stroomkring, alleen zijn de 2 seriële weerstanden nu
vervangen door 1 weerstand. De stroomsterkte is nog steeds 0,12A en de
spanning, zoals uitgerekend, 6,0V. De weerstand moet dus R = 6,0V / 0,12A
zijn. De weerstand is dus 50Ω.
De vervangingsweerstand van een serieschakeling is dus de som van de
originele weerstanden! (Rv = R1 + R2)
Door weerstanden (= apparaten) in serie te schakelen neemt de weerstand toe; ga maar na: de totale weerstand
van het voorbeeld van daarnet (waar R1 en R2 in serie geschakeld waren) was even groot als de twee losse
samen.
24
Een combinatie van schakelingen:
Dit is een schakel situatie, waar R1 en R2 in serie zijn, en
samen parallel zijn met R3. Dit samen staat dan weer in serie
met R4.
R1 en R2 kunnen worden vervangen door 1 weerstand van
75Ω. (15Ω + 60Ω)
Rv12 en R3 kunnen worden vervangen door een weerstand
van: 1/75 + 1/50 = 1/Rv123  Rv123 = 30Ω.
Rv123 en R4 kunnen worden vervangen door 1 weerstand van
40Ω (30Ω + 10Ω).
I = Ubat / Rv = 12,0V / 40Ω = 0,30A
Op R4 staat dan (U = I · R) 0,30A / 10Ω = 3,0V. Op de weerstanden R1, R2, R3 staat dus 9,0V. Door Rv12 gaat
dan (I = U / R) 9,0 / 75Ω = 0,12A. Door R3 gaat dus (I = U / R) 9,0 / 50Ω = 0,18A.
§9 De juiste spanning; veilig toepassen van elektrische stroom
Als je een apparaat hebt dat niet op het lichtnet aangesloten kan worden (omdat het de hoge spanning van 230V
niet kan verdragen), kan je dat oplossen door het in serie te schakelen met een ander voorwerp zodat het toch de
juiste spanning krijgt. Maar als je dan een ander voorwerp parallel zet aan 1 van de 2 in serie geschakelde
voorwerpen, klopt de spanning niet helemaal meer.
Met een potentiometer kan men snel vinden wat de juiste spanning wel moet zijn. Deze meter is een grote
weerstand, waar een glijcontact langs kan bewegen. Hierdoor wordt de weerstand feitelijk in 2 stukken
verdeeld, waarover een deel van de spanning staat. Een potentiometer is goedkoop te maken. Een nadeel is wel
dat door het ongebruikte deel toch een stroompje loopt, wat tot energieverlies lijdt.
Een adapter is eigenlijk niets anders dan een transformator. Een transformator bestaat uit 2 klossen koperdraad,
die geen elektrisch contact met elkaar maken. De transformator geeft de elektrische energie van de ene op de
andere spoel door via een andere energievorm!
Een transformator werkt alleen met wisselspanning, dus als er gelijkspanning nodig is moet er een schakeling
met dioden worden gebouwd. Als je op de tweede spoel een glijcontact maakt, kan je de spanning die je wilt
verkrijgen aanpassen!
In een huisinstallatie zijn alle groepen parallel geschakeld. Dit geld ook voor alle apparaten.
Hierdoor worden alle apparaten met dezelfde spanning aangesloten! (in Nederland 230V)
Als er door een draad een grote stroomsterkte gaat, dan is er een kans dat de isolatiemantel smelt. Hierdoor kan
dan brand ontstaan. Hiervoor zijn zogenaamde smeltzekeringen in de huisinstallatie opgenomen. Zo’n zekering
bevat een smeltpatroon, waarin een dunne draad zit die bij een bepaalde stroomsterkte smelt. De gemiddelde
stop is 16A, omdat de draden van hedendaagse huizen daar op zijn berekent. De hoofdzekering is meestal 25A.
Een te grote stroomsterkte kan worden veroorzaakt door 2 dingen: overbelasting en kortsluiting.
Overbelasting: Als je 2 apparaten aan hebt staan die samen meer dan 16A aan stroomsterkte eisen, spreekt men
van overbelasting. Dit kunnen bijvoorbeeld een wasmachine en een droger zijn.
Als de wasmachine een vermogen heeft van 1,8kW en de droger een vermogen van 2,2kW, dan volgt er dus dat
(P = U · I  4,0 · 103 = 230 · I  I = 17,4A). De zekering zal hierdoor dus smelten.
Kortsluiting: Hiervan spreekt men als de stroom die eigenlijk door een apparaat zou moeten gaan direct door
de elektriciteits draden weer terug gaat. Hierdoor ondervindt de stroom minder weerstand, waardoor er veel
hogere stroomsterktes kunnen ontstaan (100A of meer). Ook hierdoor zal de zekering smelten.
In de elektriciteitskabel die het huis binnen komt zitten 2 draden: de fasedraad en de nuldraad. De nuldraad is
geaard, en daarom voert de fasedraad de spanning van 230V
Stel dat de fasedraad van een wasmachine contact maakt met de behuizing ervan. Als jij dan die wasmachine
aanraakt, ga jij als geleider werken (immers, de stroom gaat van de fasedraad via je lichaam naar de aarde). Dit
kan dodelijk zijn, en daarom kun je beter de wasmachine aarden.
Behalve de elektriciteitskabel komt er ook nog een aardleiding je huis binnen. Die is verbonden met een
metalen staaf die diep in de grond steekt, zodat die contact maakt met het grondwater.
Als je de wasmachine dan aansluit op een wandcontactdoos mét randaarde, dan is deze verbonden met die
metalen staaf.
Als je nu de wasmachine aan zou raken, dan zou de stroom niet door jou maar door de randaarde gaan lopen,
omdat als de stroom door jou zou lopen de stroom een grotere weerstand zou ondervinden!
Door die hele kleine weerstand ontstaat er kortsluiting, en is de stroomkring dus onderbroken.
25
Apparaten met een metalen hulsel horen geaard te zijn, omdat er anders een risico op schokken is.
Sommige apparaten zijn dubbel geïsoleerd, deze hoeven niet geaard te zijn.
Het isolatiemateriaal van: fasedraad is bruin, de nuldraad blauw, aarddraad geel/groen.
Als je de fasedraad aanraakt, biedt een zekering geen beveiliging: die gaat pas “af” bij 6-16A. Voor je lichaam
is een stroomsterkte van 40mA al heel gevaarlijk. 100mA is meestal al dodelijk!
Hiervoor is de aardlekschakelaar opgenomen in de huisinstallatie. Dit apparaat reageert op het verschil in
stroomsterkte in de fasedraad en de nuldraad.
Als alles “ok” is, zijn die stroomsterkten even groot. Als er een stroom (via je lichaam) naar de aarde loopt, dan
is de stroomsterkte in de nuldraad dus kleiner! Als dit verschil groter wordt dan 30mA, dan wordt binnen 0,2 s
de huisinstallatie uitgeschakeld. Er gaat dan een schakelaar open waar zowel de fasedraad als de nuldraad in
zitten.
Behalve de aardlekschakelaar is er nog een andere beveiliging: de scheidingstransformator.
Je hebt dan 2 kanten: aan de ene kant heb je een fase en een nul draad, maar aan de andere kant kun je geen
onderscheid maken!
Als je aan de 2e kant draad 1 aanraakt, wordt dat de nul draad, en komt er op de 2e draad 230V te staan!!!
Als je aan de 2e kant draad 2 aanraakt, wordt dát de nul draad, en komt er op de 1e draad 230V te staan!!!
Maar als je allebei de draden tegelijk aanraakt heb je wel een probleem: er gaat een stroom door je lopen, maar
de aardlekschakelaar heeft niet door dat er iets fout is, omdat de stroom toch via de nuldraad van de 1e kant
“terug gaat”!!!
26
Hoofdstuk 9: Elektrische velden
§1 Elektrisch veld; elektrische veldsterkte
Een plaatcondensator bestaat uit twee dicht tegenover elkaar staande metalen platen. Tussen deze twee platen
zit een isolator (denk aan rubber, plastic of gewoon lucht). Als je zo’n plaatcondensator opneemt in een stroomkring en er gaat een stroom lopen, krijgen de
beide platen een lading. Elektronen lopen van de minpool naar de pluspool, dus aan
de kant van de minpool zal een negatieve lading komen! Zo geldt dat van de andere
plaat de elektronen worden “weg gezogen”, zodat er dus een positieve lading ontstaat
op die plaat. De negatieve en positieve lading op de platen zijn gelijk aan elkaar! Al
snel loopt er geen stroom meer, dit gebeurt als de spanning over de platen gelijk is
aan de spanning van de spanningsbron. De spanning wordt dan immers opgeheft door
de spanning van de plaatcondensator (die tegengesteld is aan die van de spannignsbron), dus is er geen netto
spanning meer voor het transport van elektronen. In deze toestand noemt men de plaatcondensator “geladen”.
Als een plaatcondensator geladen is, is er tussen de platen een elektrisch veld aanwezig. Op aanwezige geladen
deeltjes in die ruimte wordt dan een elektrische kracht uitgeoefend (Fel). Het elektrische veld tussen de twee
platen is overal even groot. De lading en de kracht van een deeltje zijn recht evenredig. Elektrische veldsterkte
geeft aan hoe sterk een elektrisch veld is. Dit kunnen we schrijven met: E = Fel / q. E is hierbij de elektrische
veldsterkte, q de lading en Fe de elektrische kracht op het voorwerp.
Omdat de kracht een richting heeft spreken we van een vector, er komt een pijl boven “Fel” en “E”.
§2 Elektrische veldlijnen
Een elektrische veld kun je weergeven met elektrische veldlijnen. Deze veldlijnen geven informatie over de
grootte en richting van de elektrische veldsterkte in punten in dat veld.
Een aantal eigenschappen van veldlijnen zijn:
 De grootte van de elektrische veldsterkte kun je bepalen door de dichtheid van de veldlijnen te
bekijken.
 De richting van de elektrische veldsterkte is te bepalen door de raaklijn van een veldlijn te tekenen.
 Een elektrische veldlijn kan alleen op een positieve lading beginnen en op een negatieve eindigen.
 Elektrische veldlijnen snijden elkaar nooit. Er zouden dan immers 2 richtingen zijn en dat kan niet!
 Elektrische veldlijnen staan loodrecht op het oppervlak van een geladen geleider.*
 Binnen een geleider is er geen elektrisch veld aanwezig.*
* Geldt alleen als de lading op de geleider in evenwicht is (als er dus geen stroom meer loopt). Een geleider is
een stof waarin een lading zich kan verplaatsen.
In een homogeen veld (bijvoorbeeld dat van een plaatcondensator) lopen de elektrische veldlijnen evenwijdig
en liggen ze even ver van elkaar verwijderd. Bij een heterogeen veld lopen de elektrische veldlijnen
daarentegen niet evenwijdig en liggen ze ook niet even ver van elkaar af.
§3 Potentiaal en potentiaalverschil
Stel we hebben een plaatcondensator die op de positieve plaat een punt A heeft waar een veldlijn begint en die
eindigt op de negatieve plaat in D. Dan sluiten we de plaatcondensator aan op een spanningsbron (van
bijvoorbeeld 20V). Nu staat er ook een spanning van 20V tussen de punten A en B. Je kunt zeggen dat het
potentiaalverschil (symbool ΔV) 20V is. Met potentiaalverschil geven aan dat we twee potentialen (symbool
V) met elkaar vergelijken. De eenheid is volt. Een geladen voorwerp dat in een elektrisch veld komt, krijgt een
elektrische energie (Eel). Eel = Fel · s. Hieruit volgt: Eel = q ·E · s.
Als een geladen deeltje in een elektrisch veld komt op punt P, dan is de Eel gelijk aan q · Vp (Eel = q · Vp).
Dit kunnen we schrijven als: Vp = Eel / q  Vp = (q · E · s) / q  Vp = E · s.
Als je een veldlijn volgt in de richting van de veldsterkte dan neemt de potentiaal af.
Het verschil in elektrische energie is de verrichte arbeid. Dit kunnen we schrijven als:
q·Va - q·Vb. Dit is te herschrijven als q·(Va – Vb). Hieruit volgt dat: Wel(ab)  q  (Va  Vb ) .
27
§4 Potentiaal en veldsterkte
Om deze paragraaf te begrijpen moet je deze doorlezen en de opgaven goed bekijken. De belangrijke formules
en de afleidingen staan hieronder:
Wel(AB)
= EelA - EelB
Fel · s · cos 0 = q · (Va – Vb)
q·E·s
= q · (Va – Vb)
E·s
= Va – Vb
E · Δx
= ΔV
E
= ΔV / Δx
E kan dus in Volt per meter en als Newton per Coulomb worden uitgedrukt. Beiden zijn gelijk, maar Volt per
meter wordt vaker gebruikt. Als een plaat geaard word, dan heeft deze per definitie een potentiaal van 0V.
§5 Versnellen van geladen deeltjes
Geladen deeltjes kunnen in een elektrisch veld versneld worden. Dit principe wordt
gebruikt bij een tv of monitor (en natuurlijk nog meer apparaten). In zo’n apparaat zit
een elektronenkanon (zie plaatje hiernaast). Dat kanon bestaat uit een kathode en een
anode. Als het apparaat aan wordt gezet komt er over de kathode een spanning te
staan, de zogenaamde gloeispanning. Hierdoor gaat de kathode elektronen uitzenden.
Dit noemt men ook wel thermische emissie. Ook komt er een spanning tussen de kathode en de
anode te staan (de versnelspanning). Hierdoor onstaat er een elektrisch veld, waarbij de anode
positief geladen is. Elektronen worden dus richting de anode versneld. Volgends de wet van behoud van
energie geldt er:
Ee bij A + Ek bij A = Ee bij K + Ek bij K
Ek bij A - Ek bij K = Ee bij K - E e bij A
Ek bij A
= q · (VK – VA)
 ½ · m · v2eind = | q · ΔV |
Als een elektron een potentiaalverschil van één Volt doorloopt, is de kinetische energie 1 eV
groter geworden.1 eV = 1,60 · 10-19 J
28
Hoofdstuk 10: magnetische velden
§1 Het magnetische veld van magneten
Magnetisme is het verschijnsel dat twee stukken van hetzelfde materiaal een kracht op elkaar uitoefenen. Zo’n
materiaal bevat dan altijd ijzer, nikkel of kobalt. Dit zijn natuurlijke magneten. De plaatsen waar de krachten
het sterkst werken noemen we de poalen van de magneet. Als je een naaldmagneet in een kompas bekijkt, kan
die vrij draaien. De ene punt gaat dan richting het noorden staan. Deze zijde noemen we de noordpool, de
andere de zuidpool. Ook geldt dat gelijke polen elkaar afstoten en ongelijke polen elkaar aantrekken.
Een stuk ijzer (kobalt of nikkel) gedraagt zich in de buurt van een magneet ook als een magneet. Het stuk ijzer
krijgt dezelfde eigenschappen als de magneet; dit noemen we magnetische influentie.
Een magneet veroorzaakt een magnetisch veld in zijn omgeving. Het oefent
een magnetische kracht uit op stukken ijzer. Net als bij elektrische velden
hebben magnetische velden veldlijnen. De veldlijnen lopen van de noordpool
naar de zuidpool. Zie nevenstaand figuur. Om magnetische veldlijnen te
kunnen beschrijven is er een bepaalde grootheid: de magnetische inductie
(vector B). De eenheid van magnetische inductie is Tesla (T).
De raaklijn aan een veldlijn geeft de richting van de magnetische inductie.
Ook net als bij elektrische veldlijnen betekent een grotere veldlijnendichtheid een grotere waarde van de
magnetische inductie.
§2 Het magnetische veld van een rechte stroomdraad en van een stroomspoel
Als je door een metaaldraad een stroom stuurt dan ontstaat er een magnetisch veld rond die draad. Het
magnetische veld staat dus loodrecht op de stroomdraad (het plankje in de linker tekening). Als je de
stroomrichting I weet dan kun je met de rechterhand regel de richting van de magnetische
inductie bepalen (plaatje rechts). Deze regel luidt als volgt: Leg je hand rond de draad,
waarbij je duim de richting van de stroom in wijst. De richting die de resterende vingers
aanwijzen is de richting waarin de veldlijnen lopen.
Je kan ook een bovenaanzicht maken, waarbij de magnetische inductie het platte vlak beslaan en de
stroomdraad loodrecht door dat vlak loopt. Om dan te weten hoe de stroom loopt
hebben we een speciale notatie. Een stroom die van je af loopt noteren we met een
kruisje. De stroom die naar je toe komt noteren we met een stip (zie rechts).
Als we een stroomspoel nemen en gaan bepalen hoe de veldlijnen lopen (in een plat vlak dat door de windingen
heen loopt) dan blijkt er eenzelfde patroon te ontstaan als dat van een gewone staafmagneet.
Bij de stroomdraad ontstonden er gesloten veldlijnen. Ook binnen in de spoel blijken de veldlijnen door te
lopen; het zijn gesloten krommen. Hieruit kunnen we concluderen dat hetzelfde het geval moet zijn bij een
staafmagneet. De noordpool van een spoel is de kant waar de veldlijnen de spoel verlaten. Als je de richting van
de stroom verandert blijken de veldlijnen ook van richting te veranderen. Ook hier kunnen we de rechterhand
regel toepassen. We leggen onze vingers rond de spoel - in de richting van de stroom - en de duim wijst dan de
richting van de veldlijnen binnen de spoel aan.
Als we in de stroomspoel een weekijzeren kern aanbrengen spreken we van een elektromagneet. Deze kern
wordt door het magnetische veld van de spoel zelf een magneet. Hierdoor wordt de magnetische werking van de
spoel vele malen versterkt. De kern is van weekijzer omdat deze zijn magnetisme weer verlies na uitschakeling
van de spoel. Een (schakel)relais werkt met zo’n elektromagneet. Als er een spanning over de spoel wordt gezet
trekt het een stukje metaal aan waardoor de stroomkring gesloten wordt. De spanning die nodig is om dit te
doen heet de schakelspanning.
§3 Lorentzkracht op een stroomdraad
Stel we hebben een magneet en een stroomkring die wordt gevormd door een
spanningsbron, een weerstand en 3 koperen staafjes (zoals in de tekening hiernaast).
Als er een stroom gaat lopen door staafje PQ dan zal deze naar links gaan bewegen.
Dit gebeurt alleen als er een stroom door het staafje loopt en als het staafje zich in
een magnetisch veld bevindt. Het rollen van
het staafje wordt veroorzaakt door de lorentzkracht.
Als we de stroomrichting of het magnetische veld omkeren,dan gaat het
staafje de andere kant op rollen. Doen we beiden, dan rolt het weer naar
29
links. Blijkbaar is er een verband tussen het magnetische veld, de stroomrichting en de lorentzkracht. Als we de
stroomrichting I en de richting van het magnetische veld B weten, dan kunnen we met de volgende regel de
richting van de lorentzkracht voorspellen. Deze regel heet de Linkerhand regel.
Als je met de linkerhand 1) je vingers in de richting van de stroom houd en 2) zorgt dat de veldlijnen van het
magnetische veld in je handpalm vangt dan wijst je duim in de richting van de Lorentzkracht.
De lorentzkracht staat loodrecht op I en op B, dus de lorentzkracht staat loodrecht op het vlak door I en B.
Uit onderzoek blijkt dat de lorentzkracht evenredig is met de stroomsterkte (FL ~ I). Ook is de lorentzkracht
evenredig met de lengte van het stuk draad dat zich in het magnetische veld bevindt (FL ~ l). Hieruit volgt dat
FL evenredig is met I·l. Dit is te schrijven als: FL = constante · I · l. Deze constante geeft aan hoe groot de
magnetische inductie is. Met andere woorden: uit de volgende formule blijkt de grootte van de magnetische
inductie: FL = B · I · l. Deze formule geld alleen als B en I loodrecht op elkaar staan.
Uit bovenstaande formule kunnen we de eenheid van magnetische inductie bepalen: 1 Tesla = 1 Newton per
ampère per meter (ofwel: 1 T = 1N∙A-1·m-1)
§4 Lorentzkrachten op een stroomspoel
Als we in plaats van een draad een spoel
nemen en die in een magnetisch veld hangen op zo’n manier dat de spoel vrij rond kan
draaien - dan gaan er twee lorentzkrachten
werken op die spoel. Deze lorentzkrachten
zorgen ervoor dat de spoel in een bepaalde
positie gedraaid wordt. De richting van de lorentzkrachten veranderen niet. De lorentzkracht staat altijd
loodrecht op de richting van het magnetische veld én loodrecht op de stroomrichting. Omdat de richting van I
en B niet veranderen, is de richting (en de grootte) van de lorentzkrachten constant. Doordat de richtingen
constant zijn, bereikt de spoel uiteindelijk een eindstand (de evenwichtsstand). Als we dan het magnetische veld
van de spoel in de evenwichtsstand zelf bekijken, dan blijkt dat deze dezelfde richting heeft als het magnetische
veld van buitenaf.
§5 Draaispoelmeter en elektromotor
Hiernaast is een draaispoelmeter schematisch weergegeven. Het is een
hoefijzer vormige magneet, met daaraan twee uitgeboorde poolschoenen.
Daartussen zit een niet draaibaar weekijzeren cilindertje. Daaromheen zit een
draaibaar spoeltje, waaraan een asje zit, waaraan twee spiraalveertjes en een
wijzer vast zitten. In het rechter deel kan je zien hoe de magnetische
veldlijnen door de lucht lopen. Door dit veld (en een stroom door het
spoeltje) gaan er twee lorentzkrachten werken, waardoor het spoeltje gaat
draaien. De lorentzkrachten zijn constant van grootte, en draaien met het spoeltje mee. Met het spoeltje gaat ook
de as draaien, waardoor de wijzer uitslaat. Ook gaan de veertjes de lorentzkracht tegenwerken. De wijzer komt
dus tot stilstand als de lorentzkracht en de veerkrachte gelijk zijn. Hoe groter de stroom is, des te groter de hoek
die de wijzer maakt. De hoek is recht evenredig met de stroomsterkte.
Ook een elektromotor maakt gebruik van Lorentzkrachten. Ook hier
bevindt zich een weekijzeren cilinder zich tussen twee poolschoenen
die verbonden zijn met een permanente magneet. Om de cilinder
is een spoel gewikkeld en aan de cilinder zit de motoras vast.
Aan de motoras zit ook een zogenaamde collector. Dat is een
schijf die bestaat uit 2 even grote delen die van elkaar geïsoleerd
zijn. De uiteinden van de spoel zijn met een collectorhelft verbonden.
De helften worden dmv koolborstels (die een vaste positie hebben) onder
spanning gezet, zodat er een stroom door de spoel gaat lopen. Als dit
gebeurt gaat de spoel draaien. Om te zorgen dat de spoel niet na
90 graden stopt met draaien zit de collector aan de spoel vast.
Deze zorgt ervoor dat de stroom steeds van richting verwisselt.
Zie plaatje hiernaast.
In positie A loopt er een stroom van Q naar P, zodat er een omhooggerichte lorentzkracht ontstaat. Hierdoor
komt het geheel in stand B terecht. Hier loopt er geen stroom; de borstels raken immers alleen de isolatielaag.
30
Doordat er een moment op de spoel werkt draait het geheel verder, waardoor er een stroom van P naar Q gaat
lopen! Hierdoor draait de richting van de lorentzkracht met 180°. De spoel draait nu weer verder in zijn
originele richting!
§6 Lorentzkracht op een geladen deeltje
Een stroom door een metaaldraad is niets anders dan het verplaatsen van elektronen door die draad. Hieruit
kunnen we concluderen dat een magnetisch veld een kracht uitoefent op geladen deeltjes die in beweging zijn.
Er werkt dus een lorentzkracht op geladen deeltjes!
Voor de lorentzkracht op een geladen deeltje geldt de volgende formule (je hoeft de afleiding niet te kennen):
FL = B · q · v (waarbij v  B en B is de magnetische inductie, q de lading en v de snelheid).
Bij de formule maakt het niet uit of de lading positief of negatief is. Deze geeft alleen de richting van FL aan.
Bij de lorentzkracht op een geladen deeltje kunnen we de linkerhand regel gebruiken.
De magnetische veldlijnen vang je in je handpalm. Als de lading van het deeltje positief is, dan strek je je
vingers in de richting van de snelheid van het deeltje. Als de lading negatief is, dan houd je ze in de
tegengestelde richting van de snelheid. De duim geeft nu de richting van de
lorentzkracht aan. Deze staat altijd loodrecht op het vlak door v en B. In een
cirkelstraalbuis kan men elektronen in een cirkelbaan laten bewegen door ze
loodrecht op de veldlijnen weg te schieten (dit moet je kunnen beredeneren!).
De snelheid blijft gelijk, want FL staat loodrecht op v en heeft dus geen
component in deze richting. Omdat FL en v constant zijn, en de elektronen in
een eenparige cirkelbaan gaan bewegen kunnen we stellen dat de lorentzkracht
als middelpuntzoekende kracht werkt. Hiervoor geldt de formule:
m  v2
met v = constant en r = constant
Fmpz 
r
Hieruit kunnen we afleiden dat: FL = Fmpz  B · q · v = m · v2 / r.
Dit kunnen we vereenvoudigen naar: B · q = m · v / r.
Aantekeningen
De eenheid van magnetische inductie is Tesla, maar wordt ook wel geschreven als Wb∙m-2
(Weber per vierkante meter).
Het moment op een spoel wordt gegeven door de formule: M = B · I · A
Voor een spoel waarbij de magnetische inductie van de spoel geen hoek van 90°
met de externe magnetische inductie maakt geldt de volgende formule:
M = B · I · A · sin α. Hierbij is α de hoek tussen B en Bsp.
Als I en B niet loodrecht op elkaar staan, dan geldt FL = B · sin α · I · l
Het moment van de spiraalveer op de as: Mveer = C · ø
Hierbij is C de torsieconstante van de veer, en ø de draaïngshoek.
De spoel is in evenwicht als ML = Mveer  B · I · A · N = C · ø
De draaïngshoek wordt dus gegeven met de formule: ø = (B · I · A · N) / C.
Ga altijd uit van FL = Fmpz, dus:
B · q · v = m · v2 / r
en v = 2πr / T
2
m·v
m·v
r ·B · q
2π·r·m
r= B·q· = B·q  v=
En
T=
m
r·B·q
v
E = V(a-b) / d
Fel = q · E  Fel = (e·Va-b) / d
Bij de hallsensor ontstaat er een evenwicht als FL = Fel  B·e·v = (e·Va-b) / d
B·v = Va-b / d  Va-b = B·v·d
31
=
2π·m
B·q
32
Hoofdstuk 11: Trilling en Golf
§1 Kenmerken van een trilling
Een trilling is een periodieke (= constante, gelijke) beweging,
die door een evenwichtsstand gaat. Deze evenwichtsstand is de
positie waar het voorwerp is als het in rust is. Dit punt is te
herkennen aan het gegeven dat de helling van de grafiek er
maximaal is.
Als we de beweging van hiernaast bekijken, zien we dat deze
een uitwijking heeft. Het symbool voor uitwijking is u.
Als de uitwijking maximaal is, noemen we de uitwijking de
Amplitude (aangegeven met A). De amplitude is altijd positief!
Dit kunnen we schrijven als: A = | umax |
De trillingstijd van een voorwerp is de tijd waarin één
volledige trilling wordt uitgevoerd. In het bovenstaande plaatje
is dus precies één trilling weergegeven. De tijd die hierover
wordt gedaan is de trillingstijd. De trillingstijd heet ook wel de periode en het symbool hiervan is T. Nu kunnen
we de frequentie uitrekenen. De frequentie is het aantal trillingen per seconde. Om deze uit te rekenen delen we
dus 1 seconde door het aantal secondes dat een trilling duurt: f = 1 / T. De eenheid van frequentie is Herz (Hz).
De rode lijn in het figuur hierboven is een sinusoïde. Als een trilling de vorm heeft van een sinusoïde, dan
spreken we van een zuivere toon.
Als je een voorwerp in trilling brengt (bijvoorbeeld een stemvork), dan zal de uitwijking langzaam afnemen
naar nul. Dit komt door de wrijving die het voorwerp door de lucht ondervindt, maar ook de wrijving tussen de
verschillende delen van het systeem. Deze trilling noemen we een gedempte trilling.
§2 Registreren van trillingen
Een oscilloscoop is een apparaat dat een elektrische spanning als functie van de tijd kan weergeven.
Deze spanning wordt met een stip weergegeven. Als de spanning 0 is staat deze in het midden, als deze positief
is gaat hij naar boven, en als hij negatief is dan gaat deze naar beneden. Als dit snel genoeg gaat, lijkt het alsof
er een verticale streep staat. Als de stip ook nog van links naar rechts gaat bewegen krijgen we te zien hoe de
spanning als functie van de tijd verloopt. Op een oscilloscoop kunnen we de tijdbasis instellen, ofwel de tijd
waarin de stip van links naar rechts beweegt.
Het scherm van een oscilloscoop bestaat uit 10x8 hokjes. Als de stip dus van links naar rechts gaat, dan heeft hij
10 hokjes afgelegd. Als de de tijdbasis op 1 ms/div staat, dan doet hij 1 ms over 1 hokje, dus 10 ms over het
hele scherm!
Met het beeld van een oscilloscoop kan de trillingstijd en de frequentie worden bepaald.
Als de tijsbasis 2,0 ms/div is, en er precies 5 trillingen op het scherm staan, dan duren die 5 trillingen 20 ms.
5T = 20 ms  T = 4 ms = 4,0 ∙ 10-3 s. f = 1 / T  f = 1 / 4,0 ∙ 10-3 = 250 Hz
Als er meer toppen en dalen op het beeld van een oscilloscoop komen, dan is de frequentie groter en is de toon
hoger! Hoe groter de amplitude is, des te sterker de toon is.
§3 Fase en faseverschil
Voor ieder periodiek verschijnsel kunnen we het begrip fase
gebruiken. Het symbool is φ (uitspraak: fie). De fase is het deel
van de beweging dat een (periodiek bewegend) voorwerp heeft
afgelegd. De fase is een getal zonder eenheid, en geeft aan hoeveel
omlopen er sinds “het nulpunt” zijn afgelegd. De gereduceerde
fase is als de stand onafhankelijk is van de hele getallen (dus als je
deze fases hebt: ¼, 1¼, 2¼, is de gereduceerde fase ¼). Er geld
dan ook: 0 ≤ φr < 1. Als de gereduceerde fase gelijk is, dan bevinden twee punten zich in dezelfde
“trillingstoestand” (zelfde uitwijking, zelfde richting)
Voor de fase geldt de volgende formule: φ = t / T.
33
Een verschil in fase tussen twee punten noemen we het faseverschil (Zo is de notatie voor het faseverschil
tussen punt A en B: ΔφAB). Zo geldt dus ook: Δφ = Δt / T.
Als het faseverschil 0 is, dan trillen de trillingen “in fase”. Als het faseverschil ½ is, dan trillen twee trillingen
“in tegenfase”.
§4 De harmonische trilling; wiskundig gezien
Zoals eerder gezegd is ene harmonische trilling een sinusoïde. Hierdoor is er een (eenvoudige) wiskundige
formule op te stellen voor een harmonische trilling. In BINAS staat:
u(t) = A • sin (2π • f • t) (A = amplitude, f = frequentie, t = willekeurig tijdstip)
LET OP!!! Deze formule kan je alleen gebruiken als de grafiek stijgend door de oorsprong gaat!!! In deze
formule moet ook je GR op radialen staan!
§5 De harmonische trilling; oorzaak en gevolg
Stel we hebben een blokje dat aan een veer (met C = 20 N∙m-1) hangt. In rust is de veerkracht gelijk aan de
zwaartekracht, er is immers geen resulterende kracht. Als we het blokje wat naar beneden trekken (10 cm), dan
ontstaat er een resulterende kracht naar boven! Hierbij kunnen we de formule
Fres = -C • u gebruiken. Hierbij is een uitwijking naar beneden positief, en naar boven negatief.
De resulterende kracht Fres is recht evenredig met de uitwijking u.
In de grafiek loopt de lijn door de oorsprong. Op dat punt is de snelheid maximaal, de resulterende kracht is
daar immers 0. Als het blokje een uitwijking van 10 cm heeft, gaat het blokje omhoog (er is immers een
omhoog gerichte resulterende kracht). In de evenwichtstand is de snelheid maximaal, en vanaf daar zal de
snelheid weer af gaan nemen. Op 10 cm boven de evenwichtstand (uitgaande dat er geen wrijving is) is “wint”
de zwaartekracht het weer van de veerkracht, en zal het blokje weer naar beneden gaan. In de evenwichtsstand
heeft het dan weer de maximale snelheid, waarna het zal af gaan remmen. Dit herhaalt zich steeds. De periode
is compleet.
De resulterende kracht op het blokje is de oorzaak van de harmonische trilling (het gevolg).
De trillingstijd kan door de volgende formule worden berekend: T  2 m / c .
Bij een slinger is de trillingstijd onafhankelijk van de massa. Bij een kleine uitwijkingshoek blijkt de volgende
formule te gelden: T  2 l / g . Een uitwijking is positief als hij naar rechts gaat, en negatief als hij naar links
gaat. Een kracht naar rechts is positief, en naar links negatief.
De resulterende kracht, die zorgt dat het voorwerp weer terug gaat naar de evenwichtstand, wordt ook wel de
terugdrijvende kracht genoemd.
§6 Snelheid, versnelling en energie van een harmonisch trillend voorwerp
Harmonische trillingen worden gekenmerkt door de sinusfunctie van de uitwijking tegen de tijd.
Van een (u,t)-diagram (uitwijking-tijd-diagram) kun je een (v,t)-diagram (snelheid-tijd-diagram) maken. Dit doe
je met behulp van de raaklijnmethode. Hieruit blijkt te volgen dat een (v,t)-diagram de vorm van een cosinus
heeft. Op u = umax is de snelheid 0, op u = 0 is hij het grootst. Voor de maximale snelheid geldt: vmax = (2π·A) /
T. Uit een (v,t)-diagram is een (a,t)-diagram te maken (versnelling-tijd-diagram) , ook weer door gebruik te
maken van raaklijnen. Dit blijkt een negatieve sinus te zijn.
Als de (u,t) en de (a,t)-diagrammen worden vergeleken, dan zijn deze precies tegenovergesteld!
Omdat F = m · a, en de resulterende kracht en de uitwijking in tegengestelde richting werken, zijn de
versnelling en de uitwijking tegengesteld gericht.
Om een veer uit te rekken moet je (relatief) steeds meer kracht zetten om dit met
constante snelheid te doen. Omdat de trekkracht en de uitrekking recht evenredig zijn, en
de formule F = C · u geldt, ontstaat er een rechte lijn door de oorsprong. Omdat de
oppervlakte onder de (F,u)-grafiek gelijk is aan de arbeid die verricht is, geldt er: Wv = ½
·F · u  Wv = ½ ·C · u2. Omdat dit de hoeveelheid energie is die je in de veer hebt
gestoken, is de veerenergie gelijk aan de arbeid, dus: Ev = Wv = ½ ·C · u2.Tijdens een
34
harmonische trilling van een veer wordt er constant energie omgezet (tussen kinetische- en veerenergie).
Een voorwerp dat in trilling is bezit verschillende vormen energie (kinetische, potentiële). Deze samen wordt
ook wel de trillingsenergie van het voorwerp genoemd. Als er geen wrijving ondervonden wordt, is deze
waarde constant. Als de trilling door de evenwichtstand gaat, is de trillingsenergie gelijk aan de kinetische
energie. Er geld dan: Etril = ½ · m · v2max. Hier is vmax = (2π·A) / T. In de uiterste standen geldt: Etril = ½ ·C · u2
§7 Energieoverdracht; resonantie
Als je een blokje aan een veer in trilling brengt door het naar beneden te trekken, gaat het in zijn eigen
frequentie trillen. De eigentrilling is de frequentie waarmee een systeem van nature trilt.
Als je de veer nu aan een touwtje hangt, en daar constant een rukje aan geeft, gaat het een gedwongen trilling
uitvoeren. Dit kan met een heel andere frequentie dan de eigenfrequentie zijn!
De frequentie van het systeem is dan gelijk aan de frequentie van je arm (die het systeem laat bewegen). Bij
verschillende frequenties blijkt de amplitude anders te zijn; de amplitude is afhankelijk van de frequentie. Bij
een bepaalde frequentie is de amplitude maximaal. Er treedt resonantie op. Deze frequentie blijkt de
eigenfrequentie te zijn.
Omdat de trillingsenergie evenredig is met de Amplitude (Etril = ½ · C · A2), is de energieoverdracht blijkbaar
dus het beste als de eigenfrequentie gelijk is aan de frequentie van de veroorzaker.
§8 Golven
Een trilling kan gevolgen hebben op de omgeving: het kan worden doorgegeven. De doorgevers noemen we
golven. Er zijn 3 soorten golven: eerst is er de lineaire golf, die maar in 1 dimensie beweegt (een rechte lijn
dus). Als tweede hebben we de oppervlakte golf, die in 2 dimensies beweegt (links/rechts, boven/beneden). Als
laatste is er de ruimtegolf. Deze kan in 3 dimensies bewegen (naar boven/beneden, links/rechts,
omhoog/omlaag)
Alleen de lineaire golf wordt hier besproken.
Als je een koord hebt, en een uiteinde snel
omhoog trekt en daarna weer terug naar de
evenwichtstand, ontstaat er een halve trilling. Er
ontstaat een golfberg. Dit is de bult die in het
plaatje van links naar rechts beweegt. Ieder
volgend deeltje neemt de positie van het vorige
over. Bij een enkele trilling spreekt men van een
puls. Dit type golf heet ook wel de lopende transversale golf (rechter plaatje). De deeltjes
die zich voortbewegen, bewegen loodrecht op de richting die de golf heeft. (de golf gaat
van links naar rechts, maar de deeltjes bewegen op en neer).
Zo bestaat er ook een lopende longitudinale golf (linker plaatje). Hier bewegen de
deeltjes zich juist precies in de richting die de golf heeft (de golf gaat van links naar
rechts, en de deeltjes - in de vorm van verdichtingen en verdunningen - bewegen ook van links naar rechts).
§9 Golflengte, golfsnelheid en faseverschil
De golflengte is de lengte van een golfberg en een golfdal (ofwel: 1 trilling). Het symbool voor de golflengte is
λ (labda). Als je 2 trillingen hebt gehad (t = 2T), dan heb heeft het golfpatroon dus een lengte van 2λ.
Een golf verplaatst zich over het algemeen met een constante snelheid, dus daarom kunnen we spreken van een
constante golfsnelheid. Hierbij kunnen we gebruik maken van v= s / t. Omdat er over 1 trilling een trillingstijd T
wordt gedaan is dat de tijdsduur. Hierbij wordt de afstand λ afgelegd, dus krijgen we: v = λ / T. Hieruit volgt dat
λ = v · T, wat ook te schrijven is als: λ = v / f.
Als we naar de fase van een golf kijken, dan blijkt dat des te dichter een deeltje bij de kop van de golf zit, des te
kleiner de fase is. Het faseverschil tussen 2 plaatsen in een golf kunnen we bekijken met de formule: Δφ = Δx /
λ. Dit komt doordat 1λ precies 1 periode is.
Als je schetsen maakt van golven, dan druk je tijden uit in de trillingstijd, en afstanden in de golflengte.
35
Hoofdstuk 12: Geluid
§1 Geluid: een longitudinale golf
Geluid kan zich niet in vacuüm voortplanten. Het heeft een medium nodig om zich in voort te kunnen planten.
Voor verschillende media (water,lucht,glas) gelden verschillende snelheden waarmee het geluid zich voortplant.
Deze snelheden noemt men de geluidssnelheid en kun je opzoeken in BINAS tabel 16A.
Geluid kan zich het beste worden voorgesteld als een longitudinale golf.
De golflengte λ is afhankelijk van de frequentie en de voortplantingssnelheid. In formule vorm: λ = v / f.
Het menselijke oor heeft gehoorgrenzen: dit houdt in dat geluid een bepaalde frequentie moet hebben, anders
kunnen we het niet hebben. Deze grenzen liggen ongeveer op 20Hz (onderste gehoorgrens) en 15 kHz
(bovenste gehoorgrens). Geluid dat een frequentie boven de 20kHz heeft, noemen we ultrasoon geluid.
§2 Geluidsintensiteit; kwadratenwet
Een geluidsbron die geluid uitzendt doet dat in veel gevallen in alle richtingen. Daarbij
gebruikt hij energie; het heeft een bepaald vermogen, het geluidsvermogen (Pbron).
Voor het oppervlak van een bol met een straal r geldt: A = 4π·r2. Er geldt dus:
Pbron
uitgezonde n vermogen Pbron
I


totale boloppervl ak
A
4  r 2
De eenheid van geluidsintensiteit is dus W∙m-2. Als je verder weg staat is de oppervlakte van
de bol groter geworden waardoor de intensiteit lager is. Dit kun je in het nevenstaande plaatje zien.
Een voorbeeldje: Stel er vliegt een vliegtuig op 2 km hoogte en de motoren hebben een geluidsvermogen van
4,3·105 W. Bereken hiervan de geluidsintensiteit op de grond.
Het vliegtuig is het centrum van de bol, en de afstand tot de grond is de straal. Nu kunnen we dus invullen in de
formule:
4,3  10 3 W
-2
I
4  (2,0  10 3 m) 2
 0,0086 W  m
De geluidsintensiteit op een bepaalde plaats is omgekeerd
evenredig met de straal in het kwadraat (kwadratenwet).
Om iets te kunnen horen moet de geluidsintensiteit groot genoeg
zijn. De geluidsintensiteit die je nog net kunt horen heet de
gehoordrempel (I0). Deze gehoordrempel is per frequentie
verschillend, zie nevenstaande figuur.
De intensiteit waar je pijn begint te voelen heet de pijndrempel.
Om geluid te kunnen horen moet het aan 2 voorwaarden voldoen:
1) De frequentie moet tussen je gehoorgrenzen liggen
2) De geluidsintensiteit I moet groter zijn dan de gehoordrempel I0
§3 Geluidsniveau; decibelmeter
Om geluidsintensiteiten te vergelijken is er een relatieve geluidsintensiteit(Irel) ingevoerd. Die geeft aan hoeveel
maal groter de geluidsintensiteit is als de gehoordrempel. In formule schrijven we dan:
I
I
I
I rel 
 12
L10 log I rel 10 log( )
I 0 10 W  m  2
I
De waardes van Irel lopen heel erg uiteen, daarom gebruiken we een logaritmische
I
schaal om het ons beter voor te kunnen stellen. Deze waarde heet het geluidsniveau
L  10  log( ) (dB )
(L), en is te schrijven als:
I0
Volgens deze formule heeft L geen eenheid, maar men heeft er de eenheid bel
Voorbeeld:
(B) aan toegekend. In de praktijk gebruikt me de dB. Als I exponentieel
4
2,2  10
toeneemt, neemt L dus lineair toe. Als bijkomend voordeel werken onze oren
L  10  log(
)  83 dB
12
10
ook logaritmisch; L geeft dus beter weer wat wij horen dan I. Om een verschil
4
in geluidsintensiteit te kunnen horen moet er een minimaal verschil van 1 dB
2  2,2  10
L

10

log(
)  86 dB
zijn. Als de geluidsintensiteit van een geluidsbron verdubbelt, verdubbeld het
12
10
36
geluidsniveau niet, deze wordt dan alleen maar verhoogd met 3 dB! Omdat onze oren bij verschillende
frequenties een andere gehoordrempel hebben, houdt de dB(a) meter daar rekening mee. Deze verzwakt de lage
tonen overeenkomstig met de grafiek van de vorige pagina.
§4 Geluidshinder; geluidsbeperking
Geluidshinder is niet objectief vast te stellen, het is een subjectief onderwerp.
Geluidshinder is op twee manieren te beperken:
1) Passief, door geluidsisolatie en reflectie van geluid
2) Actief, door de productie van antigeluid. (wordt in paragraaf 5 besproken)
Als geluid een wand raakt, dan wordt een deel door de wand geabsorbeerd (absorptie), een deel doorgelaten
(transmissie) en een deel teruggekaatst (reflectie). Bij een aarden wal wordt het geluid vooral geabsorbeerd.
Een deel van het geluid kan over de rand van de wand naar beneden buigen. Dit is een eigenschap van golven.
Een goede (geluids-)isolator voor kantoorgebouwen is dubbel glas.
Er zijn twee soorten absorberende materialen; poreuze materialen (schuimrubber, zachtboard) en materialen
met een ruw oppervlak met veel kleine holten. In zo’n holte wordt het geluid meerdere malen gereflecteerd,
waardoor het iedere keer een deel van zijn energie verliest aan absorptie.
Iemand met een beroep waarin hij veel in contact staat met een te hoog geluidsniveau is wettelijk verplicht een
gehoorbeschermingskap te dragen. Dit geldt als het gemiddelde geluidsniveau 90 dB of hoger is.
Deze methoden werken vooral voor middel en hoge frequenties. Bij lage frequenties is vooral veel massa nodig
om te isoleren.
§5 Interferentie; antigeluid
Als twee bronnen tegelijk geluid produceren (en die elkaar “raken”) dan versterken en verzwakken die golven
elkaar op bepaalde plaatsen. Waar ze elkaar verzwakken noemt men dat interferentie.
Buiklijnen zijn alle plaatsen op een lijn waar de geluidssterkte maximaal is. Knooplijnen zijn alle plaatsen op
een lijn waar de geluidssterkte minimaal is.
A en B zijn de luidsprekers.
De hele cirkels zijn verdichtingen. De gestippelde
cirkels zijn verdunningen. De afstand tussen te
hele cirkels is een golflengte. Omdat de
luidsprekers in fase zijn zenden ze tegelijkertijd
een verdichting en een verdunning uit.
Als we naar punt P kijken zien we dat daar
tegelijkertijd een verdichting aan komt. Het zal dus net
lijken alsof het geluid daar harder is. Punt P ligt dus op
een buiklijn.Als we vervolgens naar punt Q kijken, dan
zien we dat daar tegelijkertijd een verdichting en een
verdunning passeren. Het zal dus net lijken alsof het geluid daar zachter is in vergelijking met als er maar één
luidspreker zou staan. Punt Q ligt dus op een knooplijn.In het kort: Als twee golven op één punt in fase zijn,
ontstaat er een buikpunt. Zijn in tegenfase, dan ontstaat er een knooppunt. Deze verschijnselen noemen we
interferentie.
Als we (in tegenstelling tot het voorbeeld
hierboven) de luidsprekers in tegenfase aansturen,
vormt zich op de middelloodlijn een knooplijn
(rechts). Een klein gebied rond deze knooplijn
ondervindt ook uitdoving. Om dit in praktisch
gebruik te stellen, moet dit gebied groter worden.
Dit kan men doen door de luidsprekers dichter bij
elkaar te brengen (links). Om zo’n
antigeluidsysteem te maken, hebben we 1) een microfoon nodig, 2) een verwerker en 3)
een luidspreker. De microfoon neemt het geluid op, en de verwerker stuurt de luidspreker
precies in tegenfase aan.
De kleinste ruimte waarin je geluid kan beperken is het oor. De eenvoudigste toepassing is dan ook de
antigeluidkoptelefoon. Deze geeft midden en hoge frequenties gewoon door, maar filtert de lage frequenties
(van de motoren).
37
§6 Muziek maken: snaarinstrumenten
Als je een gespannen snaar loslaat, gaat deze automatisch harmonisch
trillen. Hij voert dan een bepaalde trilling uit: de eigentrilling. Er zijn
een beperkt aantal trillingstoestanden waarin een snaar zich kan
bevinden, dit zijn de eigentrillingen.
Als je met een trillingsbron een snaar aan het trillen brengt dan voert de
snaar een gedwongen trilling uit. De trilling plant zich door de snaar
voort, en komt weer terug als deze aan het einde van de snaar is
aangekomen. Ondertussen worden er steeds nieuwe trilling gemaakt,
waardoor er maar een zwabberende beweging ontstaat.
Alleen bij bepaalde frequenties gaat het koord op een speciale manier
bewegen. Hierbij ontstaat dan een stilstaand golfpatroon.
We spreken van staande golven. In het deel tussen de uiteinden kunnen een of meerdere buiken ontstaan:
punten met een maximale amplitude. De punten die niet in trillingen raken (en dus in de evenwichtstand
blijven) noemen we knopen. De (in dit geval linker) knoop aan de trillingsbron is eigenlijk geen knoop, de
trillingsbron houdt deze immers in trilling. Maar omdat de amplitude daarvan relatief klein is noemen we het
toch een knoop.
De afstand tussen een knoop en een buik is ¼λ. De afstand tussen 2 knopen is ½λ.
Voor de eigenfrequenties is een formule op te stellen, want er geldt: de halve golflengte moet een geheel aantal
keren in de lengte van de snaar passen. In formule:
l = n · ½λ met n = 1,2,3,… Hierbij is n een heel getal, l de lengte van het trillende deel van een snaar, en λ de
golflengte van de staande golf. Omdat de snelheid het product is van de golflengte en de frequentie, kunnen we
heel makkelijk een formule voor de verschillende eigenfrequenties.
v
v
f   n
met n = 1,2,3,…

2l
Als je n = 1 neemt, krijgen we de grootst mogelijke golflengte, en dus de kleinst mogelijk frequentie. Deze
noemen we de grondfrequentie of grondtoon. Voor de andere waarden van n krijg je hogere frequenties; de
boventonen. Als je een snaar laat trillen bepaalt de grondtoon de toon die je hoort, en zorgen de boventonen
voor de klankkleur.
§7 Muziek maken: blaasinstrumenten
Bij een blaasinstrument heb je een luchtkolom die in trilling wordt gebracht. Dit kan op verschillende manieren
(blazen over een scherpe rand, een riet in trilling brengen). Als de lucht trilt is er nog geen toon. De
luchttrillingen vormen nog geen harmonische trilling met één bepaalde frequentie. De toon wordt bepaald door
de lengte van de luchtkolom.Bij bepaalde frequenties resoneert de luchtkolom met de trilling van de
luidspreker. Deze frequenties heten de eigenfrequenties of de resonantiefrequenties.
Net als bij de snaar is er dan sprake van een staande golf. Er kan aangetoond worden dat de lucht op sommige
plaatsen in de kolom een maximale amplitude heeft (buiken) en op sommige plaatsen een amplitude van nul
(knopen). Net als bij een snaarinstrument is de afstand buik-knoop ¼λ. Een dicht uiteinde van een luchtkolom is
altijd een knoop en een open uiteinde altijd een buik. De golflengte λ wordt bepaald door de lengte l en de
trillingswijze wordt aangegeven met de letter n.
Er zijn 2 mogelijke situaties:
1) Trillingstoestanden in een buis met één open en één dicht uiteinde.
Hier geldt de formule: l = (2n-1) · λ / 4 met n = 1,2,3,… Hier kunnen we een formule voor de
frequentie afleiden: f = v / λ = (2n-1) · v / 4l
2) Trillingstoestanden in een buis met twee open uiteinden.
Hier geldt de formule: l = n · ½ λ met n = 1,2,3,… Ook hier kunnen we een formule voor de frequentie
afleiden: f = v / λ = n · v / 2l
Zo worden de frequenties van de tonen bepaald door de snelheid (v), de lengte van de luchtkolom (l) en de teller
waarde n. Net zoals bij snaarinstrumenten bepaalt de grondtoon welke toon je hoort, en bepalen de boventonen
de klankkleur.
38