Algebra Determinanten en stelsels

Algebra
Determinanten en stelsels
Liliane Van Maldeghem
Hendrik Van Maldeghem
Cursus voor de vrije ruimte
2
Hoofdstuk 1
Determinanten
1.1
Determinant van de orde twee
We gaan na wat de voorwaarde is waaraan de elementen van een vierkante matrix moeten
voldoen opdat de rijvectoren lineair afhankelijk zouden zijn. Daartoe bespreken we de
rang van de matrix.
a b
a b
a6=0
∼
A=
0 ad − bc
c d
1. In geval a 6= 0
(a) RangA=2 als ad − bc 6= 0
(b) RangA=1 als ad − bc = 0
2. In geval a = 0
(a) c 6= 0 (c is Jordan-element)
0 b
c d
c6=0
∼
c d
0 b
i. RangA=2 als b 6= 0
In dit geval is ab − bc = 0 − bc 6= 0
ii. RangA=1 als b = 0
In dit geval is ab − bc = 0 − 0 = 0
(b) c = 0. In dit geval is steeds ab − bc = 0 − 0 = 0
3
4
HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN
i. b 6= 0
0 b
0 d
b6=0
∼
0 1
0 0
RangA=1.
ii. b = 0 en d 6= 0
RangA=1.
iii. b = d = 0
0 0
0 d
∼
0 d
0 0
0 0
0 0
d6=0
∼
0 1
0 0
RangA=0.
Besluit
1. De rijvectoren van een matrix zijn lineair onafhankelijk (rangA=2) als en slechts als
ab − bc 6= 0 en zijn lineair afhankelijk (rangA ≤ 1) als en slechts ad − bc = 0.
Het is handig om uitdrukking ad − bc schematisch te kunnen voorstellen. Daarom definiëren we het begrip van determinant van de orde twee.
Is de matrix A een vierkante matrix van de orde 2 × 2 dan is de determinant van een
matrix A het reëel getal
a b = ad − bc ∈ R.
detA = c d STELLING 1.1 Als we in een (2 × 2)-matrix de rijen en de kolommen met elkaar verwisselen dan blijft haar determinant onveranderd.
detAt = detA
Inderdaad,
a b = ad − bc
c d a c = ad − bc
b d Opdat het al dan niet nul zijn van een determinant niet verandert als we de rijen met de
kolommen verwisselen, kunnen we de volgende stelling definiëren.
1.1. DETERMINANT VAN DE ORDE TWEE
5
STELLING 1.2 De rijvectoren (kolomvectoren) van een matrix zijn lineair onafhankelijk als en slechts als zijn determinant verschillend is van nul en zijn lineair afhankelijk
als en slechts als zijn determinant gelijk is aan nul.
Opmerking:
1. In geval c 6= 0 en d 6= 0 betekent
a b b
a
c d = 0 ⇐⇒ c = d met (c 6= 0, d 6= 0)
Dit betekent inderdaad dat de rijvectoren (a, b) en (c, d) lineair afhankelijk zijn.
2. In geval c = 0 is ab − bc = 0 als a = 0 ∨ d = 0
a
b
=
0
d
(a) c = a = 0 dan verkrijgen
0
b
=
0
d
De vectoren (0, b) en (0, d) zijn inderdaad lineair afhankelijk.
(b) c = d = 0 dan verkrijgen we
b
a
=
0
0
De vectoren (a, b) en (0, 0) zijn inderdaad lineair afhankelijk.
De nulvector is afhankelijk van elke vector.
Als in een evenredigheid de noemer nul is dan kan de evenredigheid maar voldaan
zijn als ook de corresponderende teller gelijk is aan nul of als alle noemers gelijk zijn
aan nul.
STELLING 1.3 Als we in een (2 × 2)-matrix de 2 rijen (kolommen) met elkaar verwisselen dan gaat de determinant over in zijn tegengestelde.
Inderdaad,
a b = ad − bc
c d c d = bc − ad
a b Hieruit volgt
a b
c d
= − c d
a b
6
1.2
1.2.1
HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN
Determinant van de orde drie
Cofactor van een element van een (3 × 3)-matrix
In een (3 × 3)-matrix zitten 9 determinanten van de orde 2 vermits er 9 deelmatrices
zijn van de orde (2 × 2). Zo een deelmatrix bekomen we door een rij en een kolom te
schrappen. Vandaar de volgende definitie. De cofactor van een element aij van een
matrix van de orde (3 × 3) is de determinant van de matrix van de orde (2 × 2) die we
bekomen door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen. Vóór deze determinant plaatsen
we een + of een − teken al naar gelang i + j even of oneven is. Is i + j even (oneven)
dan zeggen we dat het element op een even (oneven) plaats staat. De cofactor van het
element aij in de vierkante matrix (aij ) noteren we Aij .
Hieronder geven we een schematische voorselling van alle cofactoren, di. de matrix waarin
elk element van A vervangen werd door zijn cofactor.


A11 A12 A13
 A21 A22 A23 
A31 A32 A33
(1.1)
Opmerking: De minor van een element aij van de vierkante matrix (aij ) is de determinant
die we bekomen door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen zonder rekening te houden
met het teken van de plaats waar het element zich bevindt.
1.2.2
Definitie van determinant van de orde 3
De korte notatie Aij voor cofactor van een element van een matrix kunnen we goed
gebruiken om de canonieke matrix te bepalen van een algemene (3 × 3)-matrix. De
canonieke matrix van de (3 × 3)-matrix


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
in geval a11 6= 0 en A33 6= 0, is gelijk aan


a11 A33 0
a13 A33 + a12 A32


0
A33
−A32
0
0 A22 A33 − A32 A23
De rang van de matrix hangt af van het al of niet nul zijn van de cofactor A22 A33 − A32 A23
van het element A11 in de matrix 1.1. We berekenen A22 A33 − A32 A23 in functie van de
1.2. DETERMINANT VAN DE ORDE DRIE
7
elementen aij .
A22 A33 − A32 A23 =
a11 (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 )
Vermits in de rijherleiding a11 6= 0, hangt het al dan niet nul zijn van A22 A33 − A32 A23
enkel af van de factor
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .
(1.2)
Ga zelf na dat voor gelijk welke keuze van de Jordan elementen in de rijherleiding van
de matrix A, de canonieke gedaante steeds de factor 1.2 bezit. Dit betekent dat bij
verwisseling van rijen deze factor steeds bekomen wordt.
We definiëren 1.2 als de determinant van de (3 × 3)-matrix A en we noteren detA of
| A |.
De algemene term van deze som in 1.2 is van de gedaante: a1k a2l a3m . Om alle termen van
de ontwikkeling te bekomen, nemen we voor (k, l, m) de zes permutaties pi van (1, 2, 3)
(met i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
Staat in een permutatie pi van de elementen van een verzameling {1, 2, 3 · · · n} een groter
element links van een kleiner element, dan spreken we van een inversie.
Een even permutatie is een permutatie met een even aantal inversies. Een oneven
permutatie is een permutatie met een oneven aantal inversies.
We zeggen dat een even permutatie een signatuur gelijk aan +1 heeft en een oneven
permutatie een signatuur gelijk aan −1 heeft.
We noteren sign(pi )
= 1
⇐⇒ pi is even
sign(pi )
= −1 ⇐⇒ pi is oneven
Je kan nu gemakkelijk nagaan dat in 1.2 een (+)teken voorkomt als (k, l, m) een even
permutatie is van (1, 2, 3) en een (-)teken als (k, l, m) een oneven permutatie is.
Met het sommatieteken kunnen we de uitdrukking voor de determinant als volgt noteren:
| A |= detA =
6
X
sign(pi )a1,pi (1) a2,pi (2) a3,pi (3) .
i=1
We kunnen de determinant van een matrix van de orde 3 × 3 ook bekomen door de
zogenaamde regel van de driehoeken. De driehoeken worden bekomen door in de
matrix de elementen die in de uitdrukking 1.2 samen horen in eenzelfde term met elkaar
te verbinden. Zo ontstaan zes driehoeken.
8
HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN
DERIVE berekent determinanten met het commando det(A) te schrijven. EXCEL berekent eveneens determinanten met in een cel het commando DETERMINANTMAT(A) te
schrijven.
1.3
Uitbreiding van het begrip determinant
We kunnen gemakkelijk het begrip van determinant uitbreiden naar een hogere orde dan
de derde orde. Is een matrix van de orde (n × n) dan heeft de determinant n! termen
omdat een verzameling mat n elementen n! permutaties bezit.
detA =
n!
X
sign(pi )a1,pi (1) a2,pi (2) . . . an,pi (n) .
i=1
OPGAVEN — 1 Bepaal de determinant van een symmetrische matrix van de orde 3 × 3.
2 Bereken de volgende determinanten met de
4
0
3 −2
−3
2
OPLOSSINGEN — 2. (i). -80;
(ii) 6.
regel van de driehoeken:
3 −2 3 1 1
5 ,
0 1 2
5 4 5 1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
1.4
9
Eigenschappen van determinanten
STELLING 1.4 Vermenigvuldigen we de elementen van een willekeurige rij met resp.
hun eigen cofactor en tellen we de bekomen producten op dan verkrijgen we steeds hetzelfde
reëel getal, dat de determinant van de matrix is.
We tonen dit aan voor een determinant van de orde 3. We kunnen in de uitdrukking 1.2
de termen rangschikken naar de elementen van eenzelfde rij.
Als we bvb. rangschikken naar de elementen van de eerste rij dan krijgen we
a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 )
a
a
= a11 22 23
a32 a33
− a12 a21 a23
a31 a33
+ a13 a21 a22
a31 a32
of korter:
a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
(1.3)
De uitdrukking 1.3 is de ontwikkeling naar de eerste rij van de determinant.
Opmerking: Bij de ontwikkeling van een determinant van de orde n naar een bepaalde
rij wordt de berekening herleid tot het uitrekenen van determinanten van één orde lager,
nl. van de orde n − 1.
STELLING 1.5 De determinant van een driehoeksmatrix is gelijk aan het product van
de diagonaalelementen.
Bewijs zelf voor een determinant van de orde 3 en van de orde 4:
10
HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN
OPGAVEN — 3 Bereken de volgende determinanten door ze te ontwikkelen naar een rij of een kolom:
1
6
−1
0
2
−1
5
0 −2
,
2
−2
1
4
2
3
−2
−3
4 3 −4 ,
0
5 −3
2 3 3 −2 4 −2 −3 1 3 −4 1 4 Bewijs dat de determinant van elke scheefsymmetrische matrix van de orde 3 gelijk is aan nul (dit is
trouwens waar voor elke oneven orde).
5 Bewijs dat de determinant van elke scheefsymmetrische matrix van de orde 4 met elementen in Z een
volkomen kwadraat is (dit is trouwens waar voor elke even orde).
OPLOSSINGEN — 3. (i). 0;
1.4.1
(ii). 0;
(iii). -180.
Reciproke determinant van de determinant van een symmetrische matrix ∗
Gegeven een symmetrische matrix
a11
a12
a13
a12
a22
a23
a13
a23
a33
met determinant ∆.
We noemen de reciproke determinant van ∆ de determinant die we bekomen door elk element van ∆ te
vervangen door zijn cofactor.
De reciproke determinant van ∆ is
A11
A12
A13
A12
A22
A23
A13
A23
A33
STELLING 1.6 De cofactor van een element van de reciproke determinant van ∆ is gelijk aan het
product van het overeenstemmend element uit ∆ met ∆.
A22 A33 − A223 = a11 ∆, A33 A11 − A213 = a22 ∆, A11 A22 − A212 = a33 ∆
A13 A12 − A11 A23 = a23 ∆, A12 A23 − A22 A13 = a13 ∆, A23 A13 − A33 A12 = a12 ∆
1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
11
STELLING 1.7 Als we in een vierkante matrix de rijen met de kolommen verwisselen dan blijft de determinant behouden. Anders geformuleerd: De determinant van een
vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde.
We kunnen ook zeggen: Als we in een determinant de elementen spiegelen t.o.v. de hoofddiagonaal dan blijft de determinant behouden.
Met symbolen:
detA = detAt
Bewijs voor determinanten van de orde 3: Voor het bewijs ontwikkelen we detA naar bvb.
de eerste rij en detAt naar de eerste kolom. In deze twee ontwikkelingen zijn overeenkomstige elementen gelijk, alsook overeenkomstige cofactoren wegens stelling 1.1.
Voorbeeld:
0 0 1
1 2 4
1 3 9
0 1 1
= 0 2 3
1 4 9
Deze eigenschap heeft tot gevolg dat alle volgende eigenschappen voor rijen ook geldig
zijn voor kolommen.
STELLING 1.8 Als we in een vierkante matrix twee rijen (of twee kolommen) met
elkaar verwisselen dan gaat de determinant over in zijn tegengestelde.
Bewijs voor determinanten van de orde 3: Verwisselen we bvb. de eerste twee rijen van A
met elkaar dan bekomen we de matrix B. Voor het bewijs ontwikkelen detA en detB naar
de derde rij. In beide ontwikkelingen zijn overeenkomstige elementen gelijk aan elkaar en
overeenkomstige cofactoren tegengesteld.
Voorbeeld:
0 4 −1 4 0 −1 1 2
3 = − 2 1
3 9 8
8 9
7 7 We hebben kolom 1 met kolom 2 verwisseld, we noteren dit als K12 = K21 .
We aanvaarden de volgende stelling:
STELLING 1.9 De rijvectoren (kolomvectoren) van een vierkante matrix zijn lineair
afhankelijk of maw. de rang van de matrix is kleiner dan de orde van de matrix als en
slechts als de determinant van de matrix gelijk is aan nul.
12
HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN
De stelling is gelijkwaardig met de volgende stelling
STELLING 1.10 De rijvectoren (kolomvectoren) van een vierkante matrix zijn lineair
onafhankelijk of maw. de rang van de matrix is gelijk aan de orde van de matrix als en
slechts als de determinant van de matrix verschillend is van nul.
Voorbeelden:
√
√
2− 3
−1
3
0 3 3 3 8 8 =0
(K2 = K3 )
−4 1 1 2
2
1
c b2 c2 1 b c =0
(R2 = R3 )
1 b2 c 2 0 1 9 1 2 3 =0
(R3 = 2R2 );
2 4 6 √
√
3
2
√
√
√
√
(R2 = ( 2 + 3)R1 ).
6+3
6√+ 2 = 0
2
2 0 −1
5 0
3
4 = 0
(K1 = 0-kolom)
0
4 −6
1 2 3 7
7
4 5 6 R3 = 3 R=2 − 3 R1 0.
7 7 7 Als theoretische toepassing kunnen we de volgende eigenschap gemakkelijk bewijzen.
1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
13
STELLING 1.11 Vermenigvuldigen we de elementen van een willekeurige rij (of kolom)
van een vierkante matrix met resp. de cofactoren van de overeenkomstige elementen van
een andere rij (of kolom) en tellen we de bekomen producten op dan is deze som gelijk
aan nul.
We vermenigvuldigen bijvoorbeeld de elementen van de eerste rij met de cofactoren van
de overeenkomstige elementen van de tweede rij
a12 a13 a11 a13 a11 a12 a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = −a11 . + a12 . − a13 . a32 a33 a31 a33 a31 a32 We zien dat het tweede lid de ontwikkeling is
minant:
a11 a12
a11 a12
a31 a32
naar de tweede rij van de volgende deter
a13 a13 a33 Deze determinant heeft twee gelijke rijen en is dus gelijk aan nul.
STELLING 1.12 Als we in een vierkante matrix een rij (of kolom) met eenzelfde reëel
getal vermenigvuldigen dan wordt haar determinant met dat reëel getal vermenigvuldigd.
Bewijs: Het bewijs wordt gegeven door de determinant te ontwikkelen naar de rij of kolom
die met het reëel getal wordt vermenigvuldigd.
Voorbeeld:
5
21 20 8 1 5 20 4 1 5 20 4 −
23 4 6 = 2 .2 −13 4 3 = 2 −1 4 3 3 10 2 5 2 5 1 4
2
GEVOLG 1.1
a11 a12 a13
∀r ∈ R : a21 a22 a23
ra31 ra32 a33
Pas dit gevolg toe om te bewijzen dat
a b2 c
1 b 1
c ac a
en
a11 a12 ra13
= a21 a22 ra23
a31 a32 a33
1 1 1
= − a b c
bc ac ab
b b c 1 b c c
bc b2 c2 = 1 b2 c2 1 b c 1 b2 c 2 c
b
14
HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN
STELLING 1.13 Als we in een vierkante matrix een rij (of kolom) opvatten als de
som van twee rijen (twee kolommen) dan is haar determinant gelijk aan de som van
de determinanten van de matrices bekomen door de somrij (somkolom) beurtelings te
vervangen door de termrijen (termkolommen).
Het bewijs wordt gegeven door de determinant te ontwikkelen naar de rij (of kolom) die
opgevat werd als de som van twee rijen (of twee kolommen).
Voorbeeld:
1 0 3 1 0 1+2
2 2 4 = 2 2 2+2
3 5 5 3 5 3+2
1 0 1
= 2 2 2
3 5 3
1 0 2
+ 2 2 2
3 5 2
1 0 1
= 0 + 2 2 2 1
3 5 1
STELLING 1.14 Als we in een vierkante matrix bij een rij (of kolom) een lineaire combinatie van de andere rijen (kolommen) optellen, dan blijft haar determinant behouden.
Voor het bewijs steunen we op stelling 1.12 en 1.13.
Voorbeelden:
1 0 1
2 2 1
3 5 1
1
0
2
6 −1
5
−1
0 −2
R2 −R1 ,R3 −R1
=
K3 −2K1
=
1 0 1
1 2 0
2 5 0
;
1
0
0
3
6 −1 −6 R1 =−R
= 0
−1
0
0 STELLING 1.15 De determinant van het product van twee vierkante matrices is gelijk
aan het product van de determinanten van die matrices.
Met symbolen:
det(A.B) = detAdetB
(1.4)
We kunnen het bewijs geven voor algemene matrices van de orde 2 × 2 en 3 × 3. Daartoe rekenen we beide leden uit en vergelijken de resultaten met elkaar. Algemeen echter
kunnen we het product A.B opvatten als een matrix die onstaat uit A door elke kolom
te vervangen door een lineaire combinatie van kolommen uit A. Door de rekenregels van
determinanten toe te passen bekomen we de stelling. Dit is opnieuw niet zo moeilijk,
maar wel langdrading en dus . . . (vul zelf in).
1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
15
Opmerkingen:
• In het algemeen geldt
A · B 6= B · A
maar er geldt steeds
det(A · B) = det(B · A).
• Door de eigenschap 1.15 kunnen we het product van twee determinanten uitvoeren
zoals we het product van twee matrices maken.
• Omdat de determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van zijn getransponeerde kunnen we voor het product van twee determinanten, i.p.v. de rijen
van de eerste determinant te vermenigvuldigen met de overeenkomstige elementen
van de kolommen van de tweede determinant, de rijen van de eerste determinant
vermenigvuldigen met de rijen van de tweede determinant of de kolommen van de
eerste met de kolommen van de tweede.
OPGAVEN — 6 Bewijs:
x1 y1 1 x − x1
a. x2 y2 1 = 2
x3 − x1
x3 y3 1 b b −b 1 = 0
b. −1 0
a a −a y2 − y1 y3 − y1 7 Bereken de volgende determinanten door gebruik te
ten.
4
3 −2
0 1 0
a. 3 −2 5 b. 1
−3
2
4
2 5 1
1
0
2 1 4 −1
5
1
d. 1 − 15 2 e. 2
3
1
4 1 30
2
5
maken van de eigenschappen van de determinan
1 a 1 3 1 c. b c b 3 d 3 5 1
0 2 3 4 1 5
3 1 1 0 3 f. 7 1 4
−2
2 0 0
0 4 2 2 6 8 Werk uit door gebruik te maken van de eigenschappen van determinanten:
7 a b −7 a b a. 3 c d + −3 c d 1 x y 0 x y 3 2 3 1 1 b. 2 1 1 + 3 5 6 3 5 16
HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN
2
c. 1
1
1
2
1
−1
1
2
5
+
4
1 −1 9 De volgende determinanten zijn
rijen?
1 2
a. 4 5
7 8
gelijk aan nul. Welke rij is lineaire combinatie van de twee andere
3
6
9
1
b. 2
0
10 Geef een ontbinding in factoren voor de
a 1 1 b.
a. 1 a 1 1 1 a a−b−c
2a
2a
e.
2b
b−c−a
2b
d. 2c
2c
c−a−b 3
6
0
−1
−2
1
−4
c. 0
1
1
0
6
7
0
3
uitwerking van de volgende determinanten:
1
1
1
1 a b 1
b
c c d c. a
b+c c+a a+b 1 −a b 2
1
a (a + 1)2 (a − 1)2 n
n2 + n
2
2
2
2
b
2 (b + 1)2 (b − 1)2 f. 1 n + 1 n2 + 3n + 2
1 n + 2 n + 5n + 6
c
(c + 1)
(c − 1) 11 * Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking van de volgende determinanten:
a b c d 2
2 a2
b2
(a + b)2
bc
a +b 2 ac 2
b c d a 2
2
a
(c + a)
c2
ab
ac
a. b + c
b. c d a b c. 2
2
2
2
(b + c)
b
c2
ab
a +c
bc
d a b c 1 a a2 a3 1+a
1
1
1
1 b b 2 b3 1
1
+
b
1
1
d.
e. 1 c c2 c3 1
1
1
+
c
1
1 d d 2 d3 1
1
1
1+d
Oplossingen:
7. a. -80
b. 6
8.
a. ad − bc
9.
a. R1 = 2R2 − R3
10.
c. 0
b. 0
b. R2 = 2R1
d.
47
90
e. 170
c. − 3
c. R2 = 0R1 + 0R3
a. (1 − a)2 (2 + a);
b. 2a(d − b);
c. 0;
d. (a + b + c)3 ;
e. −4(a − b)(b − c)(c − a);
f. 2;
11.
a. 4(abc)2
b. −(a + b + c + d)(a − b + c − d) (b − d)2 + (a − c)
f. -456
1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN
17
c. (a − b)(b − c)(c − d)(a − d)(a − c)(b − d)
d. abcd(1 +
1
a
+
1
b
+
1
c
+ d1 )
LIN.AL. HUISTAAK 1
1. Bereken de volgende determinanten door gebruik te maken van de eigenschappen van de determinanten.
1 7 8 1 a a 2 a 1 a2 a. 1 b b2 + b 1 b2 b. 0 6 5 0 0 3 1 c c 2 c 1 c2 3
1
2
−2
1 −1 3 4
8 3
0
4
1
5
c. 2 − 16 1 d. 1 1
3
9 −6 −6 −3 24
36
−3
3
2
1 2. Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking
1
1
1
b+c c+a a+b
bc
ca
ab
van de volgende determinant:
18
HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN
Hoofdstuk 2
Stelsels
2.1
Stelsels van Cramer
Bij een stelsel van Cramer is de rang van de coëfficiëntenmatrix die een vierkante (n × n)matrix is, gelijk aan n. Hieruit volgt dat de determinant van de coëfficiëntenmatrix
verschillend is van nul.
r = rangA = n ⇐⇒ detA 6= 0.
2.1.1
De regel van Cramer
De oplossing van een stelsel van Cramer kan op een specifieke manier bekomen worden,
nl. met de zogenaamde regel van Cramer.
Bij een stelsel van Cramer is het mogelijk een lineaire combinatie te maken van de n vergelijkingen zodanig dat alle onbekenden verdwijnen op één onbekende na. Op die manier
kunnen we de waarden van alle onbekenden bepalen.
Willen we de waarde van de eerste onbekende, dan vermenigvuldigen we de vergelijkingen in beide leden met resp. de cofactoren van de elementen van de eerste kolom van de
coëfficiëntenmatrix en tellen de bekomen producten op.


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
= b1 ×A11


 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
= b2 ×A21
..
..
..
..
..

.
.
.
.
.


 a x + a x + ··· + a x
= b ×A
n1 1
n2 2
nn n
n
n1
(a11 A11 + a21 A21 + · · · + an1 An1 )x1
+(a12 A11 + a22 A21 + · · · + an2 An1 )x2
+ · · · + (a1n A11 + a2n A21 + · · · + ann An1 )xn = b1 A11 + b2 A21 + · · · + bn An1
19
20
HOOFDSTUK 2. STELSELS
In de vergelijking die we bekomen is de coëfficiënt van de eerste onbekende gelijk aan
de determinant van A, de coëfficiënten van de andere onbekenden zijn nul. Dit steunt
enerzijds op de definitie van de determinant van een matrix, nl. de determinant van een
matrix is gelijk aan de som van de producten van de elementen van bepaalde kolom met
hun corresponderende cofactor en anderzijds op de eigenschap dat de som van de producten van de elementen van een bepaalde kolom met de cofactoren van de corresponderende
elementen van een andere kolom gelijk is aan nul. We bekomen dus
(detA)x1 = b1 A11 + b2 A21 + · · · + bn An1
De uitdrukking in het tweede lid kan geschreven worden in de vorm van een determinant,
dezelfde als van detA maar waarin de eerste kolom vervangen is door de constanten bi van
het stelsel.
b1 a12 . . . a1n b2 a22 . . . a2n (detA)x1 = ..
..
.. .
.
. bn an2 . . . ann Aangezien detA 6= 0 kunnen we de eerste onbekende uit de vergelijking oplossen. De
eerste onbekende is dan gelijk aan het quotiënt van twee determinanten.
Op analoge wijze verkrijgen we de andere onbekenden.
* Regel van Cramer voor een lineair (2, 2)-stelsel.
Een lineair (2, 2)-stelsel met rang gelijk aan 2 heeft juist één oplossing. De waarde
van de eerste en tweede onbekende is gelijk aan het quotiënt van twee determinanten van de orde 2. De teller is de determinant van de matrix die we bekomen
door in de coëfficiëntenmatrix A resp. de eerste en de tweede kolomvector te vervangen door de kolomvector van de constanten, de noemer is de determinant van de
coëfficiëntenmatrix.
a11 x + a12 y = b1
(met detA 6= 0).
a21 x + a22 y = b2
De oplossing van dit stelsel is
b1
b2
(x, y) = ( a11
a21
a12 a11
a22 a21
, a12 a11
a22 a21
b1 b2 ).
a12 a22 2.2. DE INVERSE MATRIX VAN EEN NIET-SINGULIERE MATRIX
21
Bijzonder geval: Is het lineair (2, 2)-stelsel een homogeen stelsel met rang gelijk aan
2 dan is de enige oplossing de nuloplossing (0, 0).
* Regel van Cramer voor een lineair (3, 3)-stelsel.
Een lineair (3, 3)-stelsel met rang gelijk aan 3 heeft juist één oplossing. De waarde
van de eerste, tweede en derde onbekende is gelijk aan het quotiënt van twee determinanten van de orde 3. De teller is de determinant van de matrix die we bekomen
door in de coëfficiëntenmatrix A resp. de eerste, de tweede en de derde kolomvector
te vervangen door de kolomvector van de constanten, de noemer is de determinant
van de coëfficiëntenmatrix.

 a11 x + a12 y + a13 z = b1
a21 x + a22 y + a23 z = b2 (met detA 6= 0).

a31 x + a32 y + a33 z = b3
De oplossing van dit stelsel is
b1
b2
b3
(x, y, z) = ( a11
a21
a31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
a13 a11
a23 a21
a33 a31
, a13 a11
a23 a21
a33 a31
b1
b2
b3
a12
a22
a32
a13 a11
a23 a21
a33 a31
, a13 a11
a23 a21
a33 a31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
b1 b2 b3 ).
a13 a23 a33 Bijzonder geval: Is het lineair (3, 3)-stelsel een homogeen stelsel met rang gelijk aan
3 dan is de enige oplossing de nuloplossing (0, 0, 0).
OPGAVEN — 12 Ga na of volgende stelsels stelsels zijn van Cramer. Indien zo, bepaal de oplossing
met de regel van Cramer.
2x − y = 5
x−y =2
a.
b.
x+y =1
x + y = −2
c.


x − 3y
2x −
y

3x − 4y
+
−
+
z
z
z
= −2
=
3
=
2
d.

 x
2x

x
+
y
+ 5y
+ 7y
+
−
−
z
2z
7z
=
4
=
3
= −6
Oplossingen:
12 a. (2, −1); b. (0, −2); c. (3, 2, 1); d. geen stelsel van Cramer.
2.2
De inverse matrix van een niet-singuliere matrix
De inverse matrix van een vierkante matrix A is de matrix A−1 waarvoor geldt:
A.A−1 = In = A−1 .A
22
HOOFDSTUK 2. STELSELS
Nemen we van beide leden de determinant
det(A.A−1 ) = detIn = det(A−1 .A) ⇐⇒ detAdetA−1 = 1
Hieruit volgt dat detA 6= 0. Een nodige voorwaarde opdat een matrix een inverse matrix
zou bezitten is dus dat de determinant van de matrix verschillend is van nul.
Dit laatste doet ons denken aan een stelsel van Cramer waar de determinant van de
coëfficiëntenmatrix verschillend is van nul. We bewijzen nu met de theorie van de stelsels
van Cramer dat elke matrix met determinant verschillend van nul een inverse matrix heeft
door hem daadwerkelijk te construeren.
Een stelsel van Cramer heeft juist één oplossing. We schrijven een algemeen stelsel van
Cramer in verkorte matrixgedaante:
A.X = B met detA 6= 0



A=

en



X=

a11 a12 · · ·
a21 a22 · · ·
..
..
.
.
an1 an2 · · ·
x1
x2
..
.

a1n
a2n
..
.




ann

b1
b2
..
.




 en B = 


xn






bn
De vergelijking A.X = B is de matriciële vergelijking van het stelsel.
Vermits het stelsel een stelsel van Cramer is, geldt dat de matrix A−1 bestaat.
A.A−1 = In = A−1 .A
A.X = B ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
A−1 .(A.X) = A−1 .B
(A−1 bestaat)
(A−1 .A).X = A−1 .B
( prod. is ass.)
In .X = A−1 .B
( def A−1 )
X = A−1 .B
(In is neutr. el. vr. prod)
Volgens de regel van Cramer is



X=

x1
x2
..
.
xn





2.2. DE INVERSE MATRIX VAN EEN NIET-SINGULIERE MATRIX
met
23
1
(b1 A11 + b2 A21 + · · · + bn An1 )
det
A
1
(b A + b2 A22 + · · · + bn An2 )
detA 1 12
..
.
1
(b A + b2 A2n + · · · + bn Ann )
detA 1 1n
m


b1


 b2 
1
A11 A21 . . . An1 .  .. 
=
detA
 . 
 bn 
b1
 b2 


1
A12 A22 . . . An2 .  .. 
=
detA
 . 
bn
..
.


b1


 b2 
1
A1n A2n . . . Ann .  .. 
=
detA
 . 
bn

x1 =



 x2 =
..

.



xn =









x1
















 x2






..


.











xn






m





x1
x2
..
.
xn



1 


.
=
 detA 
A11 A21 · · ·
A12 A22 · · ·
..
..
.
.
A1n A2n · · ·
Uit deze laatste gelijkheid volgt dat

A11 A21 · · ·

A
1  12 A22 · · ·
A−1 =
. .
..
detA  ..
.
A1n A2n · · ·
An1
An2
..
.
An1
An2
..
.
Ann
 
 
 
.
 
b1
b2
..
.





bn


1

.AAdj
 ⇐⇒
detA

Ann
De adjunct-matrix van A, genoteerd AAdj , is de getransponeerde matrix van de matrix
die we bekomen uit de matrix A door elk element te vervangen door zijn cofactor.
Besluit: Is
detA 6= 0
24
HOOFDSTUK 2. STELSELS
dan is
A
−1
AAdj
=
detA
(2.1)
We zeggen dat de matrix A regulier of niet-singulier of invertibel of inverteerbaar
is.
2.2. DE INVERSE MATRIX VAN EEN NIET-SINGULIERE MATRIX
25
Verband tussen een matrix en zijn adjunct-matrix
Vermenigvuldigen we beide leden van de formule 2.1 met detA dan is
detA.A−1 = AAdj .
Vermenigvuldigen we achtereenvolgens de laatste uitdrukking links en rechts met de matrix A dan verkrijgen we de formule die een verband uitdrukt tussen de matrix A en zijn
adjunct.
AAdj .A = A.AAdj = detA.In
(2.2)
De determinant van de adjunct-matrix
Nemen we van beide leden van de formule 2.2 de determinant dan bekomen we
detA · detAAdj = (detA)n ⇐⇒ detAAdj = (detA)n−1 .
LIN.AL. HUISTAAK 2
1. Toon aan dat (AAdj )Adj = (detA)n−2 · A.
2. Los het volgend stelsel op met de regel van Cramer en met de matriciële methode:

 x+y−z =0
2x − 3y + z = 5

−x + y − 4z = −3
26
HOOFDSTUK 2. STELSELS
2.3
Rang van een matrix bepalen met determinanten
STELLING 2.1 Is de rang van een matrix van de orde r × n gelijk aan het aantal rijen
r dan bestaat er een vierkante deelmatrix van de orde r × r waarvan de determinant
verschillend is van nul.
Bewijs: De r rijvectoren van de matrix zijn lineair onafhankelijk vermits de rang gelijk is
aan het aantal rijvectoren.
Stel dat de determinanten van alle deelmatrices van de orde r gelijk zijn aan nul dan
zouden de rijen lineair afhankelijk zijn, wat in strijd is met het feit dat de rijvectoren
lineair onafhankelijk zijn.
STELLING 2.2 Is de rang van een matrix van de orde m × n gelijk aan r, dan hebben
alle vierkante deelmatrices van een orde strikt groter dan r × r een determinant gelijk aan
nul en dan bestaat er een vierkante deelmatrix van de orde r × r waarvoor de determinant
verschillend is van nul.
Bewijs:
1. Aangezien de rang van de matrix gelijk is aan r, is een verzameling rijvectoren waarvan het aantal groter is dan r een niet vrije verzameling. Beschouwen we de matrix
behorende bij deze rijvectoren dan is de determinant van elke vierkante deelmatrix
van de orde groter dan r × r gelijk aan nul, vermits de rijvectoren daarin lineair
afhankelijk zijn. Hieruit besluiten we dat de determinant van elke deelmatrix van
een orde groter dan r × r gelijk is aan nul.
2. Aangezien de rang van de matrix gelijk is aan r, bestaat er een deelmatrix van de
orde r × n waarvan de rang ook gelijk is aan r (de rijvectoren vormen hier een
minimaal voortbrengend deel).
Volgens de voorgaande stelling bestaat er in die matrix een vierkante deelmatrix
van de orde r × r waarvan de determinant verschillend is van nul.
Deze stelling laat toe derang van een matrix te definiëren als het grootste getal r
waarvoor er een niet-nul deelmatrix bestaat van de orde r×r met determinant verschillend
van nul.
Daar de determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van zijn getransponeerde
matrix, hebben we:
GEVOLG 2.1 De rang van een matrix is dezelfde als deze van zijn getransponeerde.
2.3. RANG VAN EEN MATRIX BEPALEN MET DETERMINANTEN
27
Anders geformuleerd geeft dit het volgend belangrijk resultaat:
GEVOLG 2.2 De dimensie van de vectorruimte voortgebracht door de rijvectoren is
dezelfde als deze van de vectorruimte voortgebracht door de kolomvectoren.
We zeggen dat de rijenrang gelijk is aan de kolommenrang van de matrix.
OPGAVEN — 13 Bespreek de rang van de volgende matrices met behulp van determinanten.
p q 1
p 1 −1
a.
b.
q p 1 
1 p p

a 1 b
1 1 1
c 
c.  1 1 ab 
d.  a b
1
a
b
bc
ac
ab




1
a 1
1 a a2
1 a  f.  1 a ab 
e.  1
2
a
+
1
a
1

 b a a b
a b c
x a a
h.  a x a 
g.  a2 b2 c2 
a a x
a3 b3 c3
Oplossingen: 13:
a. r = 2 ⇐⇒ p 6= q en r = 1 ⇐⇒ p = q;
b. r = 2;
c.
* r = 3 ⇐⇒ b 6= 0 ∧ a 6= −2 ∧ a 6= 1
* r = 2 ⇐⇒ (b = 0 ∧ a 6= 1) ∨ a = −2
* r = 1 ⇐⇒ a = 1
d.
* r = 3 ⇐⇒ de 3 parameters 2à 2 verschillend zijn van elkaar;
* r = 2 ⇐⇒ 2 parameters gelijk aan elkaar maar verschillend van de derde;
* r = 1 ⇐⇒ de 3 parameters gelijk aan elkaar.
e.
* r = 3 ⇐⇒ a 6= 0 ∧ a 6= −1 ∧ a 6= 1
* r = 2 ⇐⇒ (a = 0 ∨ a = 1 ∨ a = −1)
f.
* r = 3 ⇐⇒ a 6= 0 ∧ a 6= b ∧ b 6= 1
* r = 2 ⇐⇒ (a = b ∧ a 6= 0 ∧ a 6= 1) ∨ (b = 1 ∧ a 6= 0 ∧ a 6= 1)
* r = 1 ⇐⇒ a = b = 1 ∧ a = 0
g.
* r = 3 ⇐⇒ de 3 parameters 2à 2 verschillend zijn van elkaar en verschillend van nul;
* r = 2 ⇐⇒ 2 parameters gelijk aan elkaar maar verschillend van de derde en allemaal verschillend van nul of 1 parameter gelijk aan nul en de 2 andere parameters verschillend van
nul en verschillend van elkaar;
* r = 1 ⇐⇒ de 3 parameters gelijk aan nul.
28
2.4
HOOFDSTUK 2. STELSELS
Regel van Rouché voor de oplosbaarheid van een
lineair stelsel
We beschouwen een lineair (m, n)-stelsel waarvan de rang gelijk is aan r met r < m. De
determinant behorende bij een hoofdmatrix noemen we een hoofddeterminant van het
stelsel. Een hoofddeterminant is steeds verschillend van nul.
STELLING 2.3 (De regel van Rouché) Een lineair (m, n)-stelsel waarvan de rang
r < m, is oplosbaar als en slechts als de (m − r) karakteristieke determinanten t.o.v. een
hoofddeterminant gelijk zijn aan nul. De karakteristieke determinanten zijn van de orde
r + 1.
Is het stelsel oplosbaar, dan is elke nevenvergelijking een lineaire combinatie van de r
hoofdvergelijkingen. Elke oplossing van het stelsel hoofdvergelijkingen is ook oplossing
van de nevenvergelijkingen. D.w.z. dat het lineair (m, n)-stelsel zich herleidt tot een stelsel van r hoofdvergelijkingen.
In het geval r = n heeft het stelsel juist één oplossing en in geval r < n heeft het stelsel
oneindig veel oplossingen met (n − r) vrije onbekenden of er zijn ∞n−r oplossingen. Het
stelsel is (n − r)-voudig onbepaald.
Het stelsel is onoplosbaar als en slechts als minstens één van de karakteristieke determinanten verschillend is van nul.
Bewijs: Voor het bewijs van de regel van Rouché zullen we zonder aan de algemeenheid
van de redenering te schaden ons beperken tot een lineair (4, 3)-stelsel met bvb. rang gelijk
aan 2.

a11 x + a12 y + a13 z = b1



a21 x + a22 y + a23 z = b2
(met rangA = 2).
a31 x + a32 y + a33 z = b3



a41 x + a42 y + a43 z = b4
Brengen we in elke vergelijking van het stelsel de constante bi naar het eerste lid, dan
kunnen we elke vergelijking kort schrijven als Vi = 0 met i ∈ {1, 2, 3, 4}.
Het stelsel kunnen we kort schrijven:

V1 = 0



V2 = 0
V3 = 0



V4 = 0
a11 a12 6= 0.
We nemen bvb. als hoofddeterminant de determinant δ = a21 a22 Een stelsel hoofdvergelijkingen is hier het stelsel bestaande uit de eerste twee vergelijkin-
2.4. REGEL VAN ROUCHÉ VOOR DE OPLOSBAARHEID VAN EEN LINEAIR STELSEL29
gen van het gegeven stelsel. Het stelsel hoofdvergelijkingen is oplosbaar met ∞1 oplossingen en is dus enkelvoudig onbepaald.
Beschouwen we de volgende determinanten van de derde
a11 a12 V1 a11 a12
a21 a22 V2 en a21 a22
a31 a32 V3 a41 a42
a
a
en stellen α = 21 22
a31 a32
en β = − a11 a12
a31 a32
orde
V1 V2 V4 .
Door uitwerking van beide determinanten van de derde orde op twee verschillende manieren (enerzijds door te ontwikkelen naar de laatste kolom en anderzijds door gebruik te
maken van de eigenschappen van de determinanten) leiden we volgende identiteiten af:
a11 a12 b1 − a21 a22 b2 = V1 .α + V2 .β + V3 .δ
(2.3)
a31 a32 b3 a11 a12 b1 − a21 a22 b2 = V1 .α0 + V2 .β 0 + V4 .δ
a41 a42 b4 (2.4)
In de tweede leden van 2.3 en 2.4 treden x, y en z op terwijl de eerste leden enkel de
gegeven coëfficiënten van het stelsel bevatten en onafhankelijk zijn van x, y en z. Nu zijn
2.3 en 2.4 geldig voor elke waarde van x, y en z en in het bijzonder ook voor de eventuele
oplossingen van het stelsel.
We gaan nu bewijzen dat het stelsel oplosbaar is als en slechts de determinanten van 2.3
en 2.4 gelijk zijn aan nul.
1. =⇒
Is het stelsel oplosbaar dan worden de tweede leden van 2.3 en 2.4 nul, als we een
oplossing invullen. Dit betekent dat voor een oplosbaar stelsel de constante eerste
leden steeds nul zijn.
a11 a12 b1 a11 a12 b1 a21 a22 b2 = 0 en a21 a22 b2 = 0.
a31 a32 b3 a41 a42 b4 Is het stelsel oplosbaar, dan geldt tevens:
30
HOOFDSTUK 2. STELSELS
3
∀(x, y, z) ∈ R :
V1 .α + V2 .β + V3 .δ = 0
V1 .α0 + V2 .β 0 + V4 .δ = 0
m (δ 6= 0)
3
∀(x, y, z) ∈ R :
V3 = − αδ .V1 − βδ .V2
0
0
V4 = − αδ .V1 − βδ .V2
Is het lineair (4, 3)-stelsel met r = 2 oplosbaar dan is het eerste lid van elke nevenvergelijking te schrijven als een lineaire combinatie van de eerste leden van de twee
hoofdvergelijkingen. Hier zijn de eerste leden van de derde en de vierde vergelijking te schrijven als lineaire combinaties van de eerste leden van de eerste twee
vergelijkingen, die hoofdvergelijkingen zijn.
2. ⇐=
Als
a11 a12 b1 a11 a12 b1 a21 a22 b2 = 0 en a21 a22 b2 = 0,
a41 a42 b4 a31 a32 b3 dan zijn volgens 2.3 en 2.4, V3 en V4 te schrijven als lineaire combinaties van V1
en V2 . Elke oplossing van het stelsel bestaande uit de eerste twee vergelijkingen
is ook oplossing van de laatste twee vergelijkingen. Hieruit volgt dat het lineair
(4, 3)-stelsel oplosbaar is.
Besluit: De nodige en voldoende voorwaarde opdat het lineair (4, 3)-stelsel met rang gelijk aan 2 oplosbaar zou zijn is dat de twee determinanten gelijk zijn aan nul. Deze twee
determinanten worden daarom de karakteristieke determinanten t.o.v. een hoofddeterminant van het lineair stelsel genoemd. Ze worden gevormd door een hoofddeterminant van de coëfficiëntenmatrix te randen met de overeenkomstige constanten en
de overeenkomstige coëfficiënten uit de nevenvergelijkingen. Het aantal karakteristieke
determinanten is gelijk aan het aantal nevenvergelijkingen van het stelsel.
De orde van een karakteristieke determinant is één hoger dan de orde van een hoofddeterminant.
De nodige en voldoende voorwaarde opdat het lineair (4, 3)-stelsel met rang gelijk aan 2
oplosbaar zou zijn is ook dat de twee nevenvergelijkingen lineaire combinaties zijn van de
twee hoofdvergelijkingen.
2.5. WISKUNDE-CULTUUR
OPGAVEN — 14 Bespreek de oplosbaarheid van
geval de oplossingen.

 x + ay + z − u = 0
x − ay + z − u = 0
a.

 x + ay + z + bu = 0
 x + ay + z + u = 1
x + ay + az + 5u = 0
b.

 ax + 4y + 3z + 3au = 1
 x − 3y − az + u = 4


y + az + 3u = 0
c.
 ax + 2ay + z + 2u = −2


3x − 5y + 2az + au = 1
2.5
31
volgende stelsel d.m.v. determinanten en geef in elk

 x − ay + z − u = 0
x + ay − z − u = 1
d.

 x + y + az − bu = 2
 x+y−z−u=1
x−y+z−u=a
e.

 x + y + az + au = 3
 x + y + z + 4u = a


x − 3y + az + u = 4
f.
 x + 2y + z + 2u = −2


bx − 5y + 2az + 2u = 1
Wiskunde-Cultuur
1. GAUSS Carl Friedrich Vreemd is het dat geen enkel ontwikkeld mens zou willen
toegeven niets van Shakespeare af te weten - waarschijnlijk de grootste schrijver die
ooit bestaan heeft, vooropgesteld dat zo’n titel enige betekenis heeft - maar dat zeer
weinig ‘ontwikkelde’ mensen er moeite mee hebben hun onwetendheid over Gauss,
EULER (1707-1783), POINCARÉ (1854-1912), enzovoort, toe te geven.
Op de scheidingslijn tussen de achttiende en negentiende eeuw verheft zich de Olympische gestalte van Carl Friedrich Gauss. Hij was de zoon van een arbeider in Brunswijk, maar zijn vroege begaafdheid bracht hem onder de aandacht van de hertog
van Brunswijk, die voor de opvoeding van het wonderkind zorg droeg. Na van 1795’98 in Göttingen gestudeerd te hebben verkreeg de jonge Gauss in 1799 de graad
van doctor in Helmstedt, waar J.f. PFAFF (Duits evangelisch theoloog 1686-1760)
professor was. Van 1807 tot zijn dood in 1855 werkte hij ongestoord als directeur
van de sterrenwacht en professor aan de universiteit van Göttingen. Zijn tamelijk
streng isolement, zijn beheersing van de ‘zuivere’ als wel de ‘toegepaste’ wiskunde,
zijn grote astronomische belangstellingen zijn voorliefde voor het Latijn als taal
waarin hij publiceerde, geven aan zijn figuur een achttiende eeuws karakter, maar
in zijn eigen gebied van de exacte wetenschappen wist hij aan de nieuwe ideeën op
diepzinnige, doch ook klare wijze uitdrukking te verlenen. Gauss en Jacobi waren
vrijwel de laatsten die in het Latijn schreven.
Gauss begon op zeventienjarige leeftijd merkwaardige ontdekkingen te doen. Gauss
bracht het eerste strenge bewijs van de zogenaamde hoofdstelling van de algebra.
Deze stelling, volgens welke een algebraı̈sche vergelijking van graad n juist n wortels heeft in de verzameling van de complexe getallen, gaan we dit schooljaar nog
zien. Gauss hield van deze stelling en gaf later nog twee bewijzen. Gauss gaf een
merkwaardige aanvulling van de Griekse meetkunde door een constructie te geven
met passer en lineaal van een regelmatige zeventienhoek. Dit geldt voor alle regel-
32
HOOFDSTUK 2. STELSELS
matige n-hoeken waarvoor n = 2p , p = 2k , n priemgetal, k = 0, 1, 2, 3, ..., dus b.v.
ook n = 257. Een standbeeld in Göttingen stelt Gauss met zijn jongere medewerker
Wilhelm WEBER voor op het ogenblik dat zij bezig zijn de electrische telegraaf te
ontdekken. Dit gebeurde in de jaren 1833-34 in de tijd dat Gauss begon fysica te
beoefenen. Gauss was reeds in 1816 in het bezit van de niet-euclidisch meetkunde
(later herontdekt). Gauss betwijfelde de toen algemeen aanvaarde leer van KANT
(1724-1804) die onze ruimtevoorstelling a priori voor euclidisch hield. Hij schijnt wel
de eerste geweest te zijn die geloofde in de onafhankelijkheid van het parallellenaxioma en dus tot de conclusie kwam dat andere meetkunden, die op een ander axioma
berusten, logisch mogelijk waren. Gauss maakte zijn gedachten over dit onderwerp
niet publiek. De eerste die openlijk de autoriteiten van tweeduizend jaar wiskunde
durfden tegen te spreken en een niet-euclidische meetkunde construeerden waren
een Rus en een Hongaar. De eerste wiskundige van de eerste rang, die het belang
van de niet-euclidische meetkunde volledig begreep, was RIEMANN (1826-1866).
Volledige erkenning van deze andere meetkunden kwam eerst toen, na 1870, een
jongere generatie Riemanns ideeën begon te begrijpen en uit te werken.
2. JORDAN Camille is een Frans wiskundige van 1838 tot 1922.
LIN.AL. HUISTAAK 3 Bespreek de oplosbaarheid van het volgend stelsel. Geef ook
telkens de oplossingen.

2
3

 x + az + a2 u = a

y + bz + b u = 0
x + cy + c2 u = c3



y + dz + d2 u = 0
2.5. WISKUNDE-CULTUUR
33
PROEFHERHALINGSTOETS
1. Bespreek de rang van de volgende matrix met behulp van determinanten.


1 b 1
 a 1 1 
1 c 1
2. Bespreek de oplosbaarheid van het volgend stelsel. Geef ook telkens de oplossingen.

ax + y + bz = a



(a − 1)x + z = a − b + 1
ax + y + az = b



x + ay + z = a + b
Wanneer stellen de stelsels van de eerste twee vergelijkingen en van de laatste twee
vergelijkingen rechten voor
(a) die kruisend zijn?
(b) die snijdend zijn?
(c) die parallel zijn?
34
HOOFDSTUK 2. STELSELS
Inhoudsopgave
1 Determinanten
3
1.1
Determinant van de orde twee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Determinant van de orde drie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1
Cofactor van een element van een (3 × 3)-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2
Definitie van determinant van de orde 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Uitbreiding van het begrip determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Eigenschappen van determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Reciproke determinant van de determinant van een symmetrische matrix ∗ . . . . .
10
1.4.1
2 Stelsels
2.1
19
Stelsels van Cramer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
De regel van Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2
De inverse matrix van een niet-singuliere matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
Rang van een matrix bepalen met determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4
Regel van Rouché voor de oplosbaarheid van een lineair stelsel . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.5
Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.1.1
35