Toegepast Rekenen Theorie: Hfst 1: Rekenen De volgorde van de

Toegepast Rekenen
Theorie:
Hfst 1: Rekenen
De volgorde van de basisbewerkingen is:
 Eerst tussen haakjes
 Daarna de volgorde volgens het ezelsbruggetje:
Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord
- Machtsverheffen
- Vermenigvuldigen
- Delen
- Worteltrekken
- Optellen
- Aftrekken
Wanneer je een negatief getal van een getal moet aftrekken, kun je de 2 mintekens
vervangen door 1 plusteken:
Voorbeeld:
7 - -3 = 7 + 3 = 10
Ook wanneer je 2 negatieve getallen met elkaar moet vermenigvuldigen, mag je de 2
mintekens wegstrepen:
Voorbeeld:
-2 x -6 = 2 x 6 = 12
§1.3 & 1.4: Breuken:
Een breuk bestaat uit 2 delen,
boven de breukstreep:
onder de breukstreep:
teller .
noemer
Gelijknamige breuken zijn breuken die dezelfde noemer hebben. Wanneer breuken dezelfde
noemer hebben, kun je bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken. Bij optellen en aftrekken
tel je alleen de tellers bij elkaar om en af, de noemer blijft hetzelfde.
Wanneer de breuken niet gelijknamig zijn, kun je dit doen door de teller en noemer van 1
breuk met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of te delen.
Breuken moet je altijd zo veel mogelijk vereenvoudigen.
Voorbeeld:
2
6
8
4
1
2
3
2
5
10 + 10 = 10 = 5
3 + 9 = 9 + 9 = 9
:2
x3
Bij vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de
noemers met elkaar.
Bij delen, draai je 1 van de breuken om, en vermenigvuldig je de breuken met elkaar
Voorbeeld: 2
2
4
2
2
2
3
6
4
5 x 3 = 15
5 : 3 = 5 x 2 = 10 = 5
§1.5: Afronden
Afronden doe je altijd op het dichtstbijzijnde getal, als het getal in het midden ligt rond je af
naar boven
Voorbeeld: 3,210 = 3
3,5 = 4
3,468 = 3
Hfst 2: Algebra
§2.1: Haakjes wegwerken:
Bij algebra ga je rekenen met letters. Één van de dingen die je moet kunnen is haakjes
wegwerken. Alle termen die binnen de haakjes staan, moet je vermenigvuldigen met de
term voor de haakjes. Wanneer er alleen een minteken staat, betekent dat -1.
Het kan zijn dat er voor de haakjes een andere som tussen haakjes staat, dan moet je alle
termen met elkaar apart vermenigvuldigen.
Voorbeeld: 5 (a + 3)
=5xa+5x3
= 5a + 15
(2 + a)(3 + b) = 2x3 + 2xb + ax3 + axb
= 6 + 2b + 3a + ab
§2.2: Ontbinden in factoren
Bij ontbinden in factoren ga je het tegenovergestelde doen van haakjes wegwerken. Het gaat
er om dat je gaat rekenen met zo klein mogelijke getallen. Dit kun je doen door 2 factoren
van een som te delen door hetzelfde getal, dat plaats je tussen haakjes met daarvoor het
getal waardoor je het hebt gedeelt
Voorbeeld: -3a + 12b
= -3(a + 4b)
2p2 + 6p
= 2p(p + 3)
§2.3, 2.4 & 2.5: Vergelijkingen:
Er zijn problemen die op te lossen zijn door een vergelijking op te stellen met de gegevens
van het probleem. De vergelijkingen los je op door aan beide kanten van de ‘=’ hetzelfde op
te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen of te delen. Uiteindelijk moet je aan 1 kant van
de formule 1 ‘x’ overhouden en aan de andere zijde alleen een getal.
Een speciale vergelijking is die voor de break-even. Bij break-even zijn de opbrengsten
precies gelijk aan de kosten van een bedrijf. Er wordt zo geen winst en geen verlies gemaakt.
De uitkomst van de vergelijking geeft aan hoeveel producten er verkocht moeten worden, of
hoeveel euro de omzet moet bedragen om break-even te behalen.
Voorbeeld:
2x – 12 = -2x + 28
3(x + 2) = 2x - 12
+ 2x
+ 2x
4x – 12 =
+ 12
4x
+ 12
=
:4
x
28
Haakjes wegwerken
3x + 6 = 2x - 12
-2x
40
x+6 =
:4
=
10
-2x
-6
x
- 12
-6
=
- 18
§2.6: Ongelijkheden
Ongelijkheden zijn ongeveer hetzelfde als vergelijkheden, alleen is er in plaats van een ‘=’,
een ‘groter dan’ of ‘kleiner dan’ teken staat. Let er wel op dat wanneer je door een negatief
getal deelt of vermenigvuldigd, dat het teken dan omdraait.
Voorbeeld: -2x > 5
: -2
: -2
x < 2,5
§2.7: Tweedegraads vergelijkingen:
Wanneer er in een vergelijking ook met machten wordt gewerkt, spreek je van tweedegraads vergelijkingen. Er zijn 3 manieren waarop je deze kunt oplossen:
1) Je gaat te werk zoals bij een eerstegraads vergelijking:
x2 + 4 = x2 + x
-x2
=
-x2
4 =
x
2) Je vereenvoudigd de opdracht tot een som tussen haakjes. Dat doe je zo:
a. Je vereenvoudigt de som naar de standaardformule: ax2 + bx + c = 0.
De rode letters moeten worden vervangen door cijfers.
b. De som tussen haken wordt: (x + y)(x + z) = 0.
Hierbij geldt dat: y + z = b
en
yxz=c
c. Tenminste 1 van de twee delen tussen haakjes, moet gelijk zijn aan 0. De
waarde van x bereken je door de haakjes weg te werken
d. Vervolgens controleer je de uitkomsten door ze in te vullen in de formule
Voorbeeld
x2 + 4x
=5
2
x + 4x -5 = 0
(x + 5)(x - 1) = 0
(want 5 + -1 = 4 en 5 x -1 = -5)
(x + 5) = 0
of
(x - 1) = 0
x = -5
of
x=1
Controle:
(-5)2 + 4x-5 = 5
25 - 20 = 5, dus klopt
12 + 4x1 = 5
1 + 4 = 5, dus klopt
3) Je gebruikt de abc-formule:
a. Je gaat weer uit van de standaardformule: ax2 + bx + c = 0. Je gaat de
discriminant D berekenen, met de volgende formule:
D = b2 – 4ac
Wanneer D negatief is, zijn er geen oplossingen. Bij D = 0 is er 1 oplossing,
als D positief is, zijn er twee oplossingen.
b. Vervolgens bereken je x met de formules:
x = -b +
x = -b 2a
of
2a
c. Ten slotte voer je de controle uit door x in te vullen.
Voorbeeld:
4x2 + 12x = -9
4x2 + 12x + 9 = 0
D = 122 – 4 x 4 x 9 = 144 – 144 = 0
D = 0, dus maar 1 oplossing, dus hoef je maar 1 van de formules in te
vullen:
x = -12 +
-12 + 0
2x4
=
8
=
- 1,5
2
Controle:
4 x (-1,5) + 12 x -1,5 = -9
4 x 2,25 – 18 = -9
9
–
18
=
-9,
dus
klopt
Hfst 3: Lijnen
§3.1 & 3.2: Vergelijking & Richtingscoëfficiënt
Van een eerstegraads vergelijking kun je een lineaire grafiek maken, een rechte lijn. De
formule van de grafiek is altijd:
y = ax + b
Het punt waar de grafiek de verticale as snijdt is bij de coördinaten (0, b)
De richtingscoëfficiënt geeft aan hoe stijl de lijn loopt, die is gelijk aan a.
Je kunt de richtingscoëfficiënt zelf berekenen met de formule:
verandering verticaal .
verandering horizontaal
§3.3: Twee vergelijkingen met twee onbekenden
Van 2 lineaire functies kun je het snijpunt bepalen. Dat kan op 2 manieren:
 Eliminatiemethode:
a) Je zet de twee formules onder elkaar
b) Je vermenigvuldigt één of allebei de formules met een getal, zodat het
getal voor ‘x’ of ‘y’ bij de 2 formules gelijk is.
c) Vervolgens ga je de twee formules van elkaar aftrekken.
d) Nu je ‘x’ of ‘y’ hebt, kun je die waarde in één van de formules invullen om
de andere waarde te berekenen.
e) De ‘x’ en ‘y’ die je hebt gevonden zijn de coördinaten van het kruispunt.
Voorbeeld:
2x + 3y = 12 x3
6x + 9y = 36
3x – 2y = 5
x2
6x – 4y = 10
13y = 26 dus y = 2
2x + 3 x 2 = 12
2x + 6 = 12
2x = 6
x = 3, dus de coördinaten zijn (3, 2)

Substitutiemethode:
a) Je maakt in één van de formules de ‘x’ vrij.
b) In de andere formule vervang je de ‘x’ door de uitkomst van ‘a’.
c) Je kunt de formule vervolgens uitwerken om ‘y’ te vinden.
d) Door ‘y’ in te vullen, kun je vervolgens ‘x’ vinden.
Voorbeeld:
De formules zijn:
2x + 3y = 12 en
3x – 2y = 5
x vrijmaken:
2x = 12 – 3y  x = 6 – 1,5y
x invullen:
3x – 2y = 5
 3(6-1,5y) – 2y = 5
Uitwerken:
18 – 4,5y – 2y = 5
18 – 6,5y
=5
-6,5 y = -13
y =2
y invullen:
2x + 3 x 2 = 12
2x + 6
= 12
2x
=6
x
=3
Coördinaten van het snijpunt zijn dus (3, 2)
Hfst 4: Functies
§4.3: Tweedegraads functies
Tweedegraads functies hebben een minimum of maximum, een punt waar de grafiek niet
boven of onder komt. Deze kun je op 2 manieren vinden:
a) Afgeleide: Het getal dat voor de letter ‘x’ staat vermenigvuldig je met de macht
die ‘x’ heeft. Wanneer er geen x achter het getal staat valt deze weg. Wanneer ‘x’
geen macht heeft, vermenigvuldig je met 1. Vervolgens haal je 1 van de waarde
van de macht af.
Als je wilt weten of de grafiek een minimum of maximum heeft, kun je de grafiek
voor een deel tekenen. Je kunt het ook zien aan het getal dat voor de x 2 staat:
wanneer deze negatief is, heb je met een maximum te maken. Wanneer deze
positief is heb je met een minimum te maken.
`
Vervolgens stel je de formule gelijk aan 0 en los je deze op totdat je weet wat x is.
Deze kun je invullen om de coördinaten te vinden.
Voorbeeld:
Y = 0,5X2 – 3X + 7
afgeleide = y’ = (0,5 x 2)X (-3 x 1)
y’ =
2X -3 = 0
2x
=3
x
= 1,5
invullen:
y = 0,5 (1,5)2 – 3 x 1,5 + 7
y = 0,5 x 2,25 – 4,5 + 7
y = 1,125 + 2,5
y = 3,625
coördinaten: (1,5 ; 3,625)
b) Symmetrieas: Als je bij y ‘0’ invult, kom je te weten bij welke x-waarden de lijn de
x-as snijdt. Het gemiddelde van die 2 waarden is de symmetrie as, op die as ligt
ook de top. Door die x-waarde in de formule weer in te vullen, weet je de ywaarde van de top.
Voorbeeld:
Y = -0,5X2 - X + 12
0 = -0,5X2 - X + 12
0=
X2 + 2X – 24
0 = (x – 4)(x + 6)
(x – 4) = 0
of
(x + 6) = 0
x=4
of
x = -6
Symmetrieas: x = (4 – 6) : 2 = -1
Y = -0,5 (-1)2 – (-1) + 12
Y = -0,5 x 1 + 1 + 12
Y = -0,5 + 13
Y = 12,5
Coordinaten: (-1 ; 12,5)
Hfst 6: Procenten
§6.1 t/m 6.5: Procenten
§6.6 t/m 6.8: Elasticiteit
Hfst 7: Kengetallen
§7.1 t/m 7.3: Kengetallen
§7.4 & 7.5: Prijsindexcijfers
Hfst 8: Interestberekening
§8.1 & 8.2: Reeksen
§8.3 t/m 8.7: Interest