Normale verdeling - Leergang Wiskunde

Domein Statistiek en
kansrekening
havo A
4
Normale verdeling
Inhoud
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Een bijzondere verdeling
Gemiddelde en standaardafwijking
Normale verdeling
Rekenen met normale verdelingen
Steekproef en populatie
Schatten van een proportie
Overzicht
In opdracht van:
Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs
© cTWO Utrecht 2009
Dit lesmateriaal is ontwikkeld in het kader van de nieuwe examenprogramma’s zoals voorgesteld
door de Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs.
De gebruiker mag het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven en remixen (afgeleide werken
maken) onder de volgende voorwaarden:
•
Naamsvermelding. De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever
aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij
daarmee instemmen met uw werk of uw gebruik van het werk).
•
Niet-commercieel. De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.
•
Gelijk delen. Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend
krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden
verspreid.
Testversie: sep 2010
Overzicht lesmateriaal in het domein Statistiek en kansrekening
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Kijken naar data
Wat is statistiek?
Data
Diagrammen
Interpretaties
Overzicht
2
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Data en datasets verwerken
Data voor onderzoek
Data presenteren
Centrum en spreiding
Verdelingen typeren
Relaties
Overzicht
3
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Data verwerven
Statistisch onderzoek
Experimenteren en simuleren
Toeval
Kansen berekenen
Steekproeven
Enquêtes
Overzicht
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Normale verdeling
Gemiddelde en standaardafwijking
Normale verdeling
Rekenen met normale verdelingen
Steekproef en populatie
Schatten van een proportie
Overzicht
5
Conclusies trekken uit data
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
2
4.0 Een bijzondere verdeling
!
Practicum
Bij deze paragraaf hoort het VUStat-practicum KLOKVORMIGE VERDELINGEN
In het voorgaande heb je geleerd:
presentaties van data te interpreteren;
data in tabellen, diagrammen te presenteren;
datasets samen te vatten met behulp van centrummaten (modus, mediaan,
gemiddelde) en spreidingsmaten (spreidingsbreedte, kwartielafstand);
!
frequentieverdelingen te typeren;
!
door het nemen van steekproeven data te verwerven;
!
de betrouwbaarheid van steekproevenresultaten te beoordelen.
!
!
!
Wanneer een gemeten grootheid op te vatten is als de som van een groot aantal
los van elkaar staande factoren dan is de verdeling van de waarden van die
grootheid bij benadering klokvormig. Deze klokvormige verdeling is symmetrisch
om het gemiddelde. Een mooi voorbeeld is deze verdeling van de lengtes van
5001 vrouwen uit het onderzoek uit 1947 in opdracht van De Bijenkorf.
!
Opgave 1
Om meer zicht te krijgen op het ontstaan van dergelijke verdelingen doe je nu
eerst het ! practicum KLOKVORMIGE VERDELINGEN.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
3
4.1 Gemiddelde en
standaardafwijking
!
Practicum
Bij deze paragraaf hoort het VUStat-practicum GEMIDDELDE EN AFWIJKING
Verkennen
Je ziet hier de SE-cijfers (schoolexamencijfers) van enkele leerlingen aan het
eind van HAVO 5. Het eindcijfer is het gemiddelde van deze cijfers.
Opgave 2
Neem aan dat elk SE-cijfer even zwaar meetelt voor het eindcijfer.
a) Welke eindcijfers krijgen deze leerlingen?
b) In de onderstaande figuur is voor elke leerling elk SE-cijfer aangegeven
door een bolletje op een getallenlijn (de komma in het cijfer is weggelaten).
Geef in deze figuur per leerling de gemiddelde SE-cijfers aan.
c)
d)
e)
f)
De leerlingen A en B hebben hetzelfde gemiddelde. Toch is hun cijferbeeld
nogal verschillend. In welk opzicht?
De spreiding van de cijfers van A en C is vrijwel hetzelfde. Waarin verschilt
hun cijferbeeld vooral?
Bepaal bij elke leerling de spreidingsbreedte van hun cijfers.
De leerlingen B en D hebben vrijwel dezelfde spreidingsbreedte. Zou je de
spreiding van hun cijfers ook hetzelfde willen noemen?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
4
Opgave 3
Een andere maat voor de spreiding kun je vinden door te kijken hoe ver elk cijfer
van het gemiddelde afligt. Je doet dit door van elk cijfer het verschil met het
gemiddelde te berekenen. Hieronder zie je die verschillen voor leerling A met
gemiddelde 6,1.
a)
Bereken het gemiddelde van deze
verschillen. Wat valt je daarbij op?
b) Het gemiddelde van deze verschillen is
geen goede spreidingsmaat. Dat komt
omdat de negatieve afwijkingen wegvallen
tegen de positieve. Door te kwadrateren
verdwijnen die mintekens. Hier zie je hoe
je dat bij leerling A aan kunt pakken.
Je ziet dat eerst een kolom met de
verschillen met het gemiddelde wordt
gemaakt. Daarna een kolom met de
kwadraten van deze verschillen. De
variantie var is het gemiddelde van de
kwadraten van de verschillen. Reken dat
getal na.
c) Welke verschillen leveren een grote bijdrage aan de variantie en welke niet?
De wortel uit de variantie van A heet de standaardafwijking van de set cijfers van
A, hier afgekort met sd.
d) Maak voor leerling B ook zo’n tabel en bereken op dezelfde manier de
standaardafwijking.
e) Bereken eveneens de standaardafwijking van de cijfers van de leerlingen C
en D.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
5
Uitleg
Een maat voor de spreiding van bijvoorbeeld cijfers ten opzichte van het
gemiddelde is de standaardafwijking. De standaardafwijking houdt rekening
met de afwijking vanaf het gemiddelde van elk cijfer. In opgave 3 heb je gezien
hoe je de standaardafwijking berekent:
data
….
….
!
!
!
!
!
data - gemiddelde
….
….
(data – gemiddelde)2
….
….
som van de kwadraten
Je bepaalt eerst het gemiddelde.
Dan bepaal je van elke waarde (elk cijfer) het verschil met het gemiddelde,
de zogenaamde deviatie.
Elke deviatie kwadrateer je om negatieve afwijkingen te voorkomen.
Van die kwadraten van de deviaties bereken je het gemiddelde: dat is de
variantie van de verzameling cijfers:
som van de kwadraten van de deviaties
variantie =
totale aantal n
De standaardafwijking is dan de wortel uit de variantie.
Hier zie je in één figuur van de vier sets met cijfers de gemiddelden en de
standaardafwijkingen links en rechts van het gemiddelde.
Opgave 4
Bekijk eerst de uitleg.
Hieronder staan de gegevens van een vijfde leerling E.
a)
b)
De verdeling van de cijfers van leerling E kent een echte uitschieter.
Daarom is de standaardafwijking ongeschikt om de spreiding van de
verdeling te beschrijven. Licht dit toe.
Stel dat leerling E de 2,3 mag herkansen en hij dan een 7,9 haalt. Welke
waarden krijgen dan zijn gemiddelde en de standaardafwijking? Geeft de
standaardafwijking de spreiding nu beter weer?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
6
Opgave 5
Stel je nu voor dat de laatste drie behaalde cijfers twee keer zo zwaar meetellen
als de eerste vier. Bij leerling E zijn die laatste drie cijfers 9,0 en 8,8 en 2,3. Je
zegt dan dat het eindcijfer een gewogen gemiddelde is.
a) Waarom moet je de laatste cijfers nu twee keer in de berekeningen van het
gemiddelde en de standaardafwijking opnemen?
b) Bereken nu opnieuw zijn cijfergemiddelde en de bijbehorende
standaardafwijking.
!
Opgave 6
Bekijk de dataset "Gegevens154Leerlingen. Je vindt daar de lengtes van 154
leerlingen. Bekijk de lengtes van jongens en meisjes afzonderlijk.
a) Maak een histogram van de relatieve frequenties van de lengtes van de
jongens en de meisjes afzonderlijk. Krijg je redelijk symmetrische
histogrammen?
b) Laat de computer van zowel de jongens als de meisjes de gemiddelde lengte
berekenen. Geef die in je histogrammen aan.
c) Laat de computer van zowel de jongens als de meisjes de
standaardafwijking van de lengtes berekenen. Geef ook die links en rechts
van het gemiddelde in je histogrammen aan.
d) Alle lengtes zijn in cm. Welke eenheid heeft de variantie? En de
standaardafwijking? Waarom is de standaardafwijking een passender
spreidingsmaat dan de variantie?
Theorie ***************************************
Klokvormige verdelingen laten zich goed beschrijven door als centrummaat het
gemiddelde en als spreidingsmaat de standaardafwijking of
standaarddeviatie te nemen. De verdeling hieronder is daar een voorbeeld
van.
In deze behoorlijk symmetrische verdeling zie je het gemiddelde en de
standaardafwijking aangegeven.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
7
Het gemiddelde van een variabele X geef je aan met µ.
De standaardafwijking geef je aan met !.
Je berekent de standaardafwijking ! zo:
!
Je bepaalt eerst het gemiddelde
!
Dan bepaal je van elke waarde van X het verschil met het gemiddelde, dat
heet de deviatie van die waarde.
!
Al die deviaties kwadrateer je om negatieve afwijkingen te voorkomen.
!
Van die kwadraten van de deviaties bereken je het gemiddelde. Het getal
dat je dan krijgt heet de variantie van de verzameling cijfers.
!
De standaardafwijking is de wortel uit de variantie.
Telt een bepaalde waarde van X vaker mee dan moet daarmee rekening worden
gehouden. Het kan daarbij gaan om een waarde waaraan meer gewicht wordt
toegekend, maar ook om de frequentie van een waarde.
Bekijk het voorbeeld hieronder.
*********************************************
Voorbeeld
Van 250 potten met augurken (uitlekgewicht 370 gram) is geteld hoeveel
augurken ze bevatten. Van het resultaat zie je hier een tabel en een histogram.
Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van het aantal augurken per
pot.
Uitwerking:
In de praktijk laat je dit over aan een computer. Zowel VUstat als Excel en je
grafische rekenmachine kunnen van zo’n frequentietabel het gemiddelde en de
standaardafwijking berekenen.
Dit voorbeeld is bedoeld om je nog een keer te laten zien hoe dit wordt gedaan.
Bekijk de volgende tabel. Je moet daarbij goed letten op het meewegen van de
frequenties.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
8
"
Opgave 7
Bekijk het voorbeeld.
a) Leg uit hoe het gemiddelde µ wordt berekend.
b) Bij het berekenen van de variantie wordt van elk aantal augurken het
kwadraat van het verschil met het gemiddelde (de deviatie) berekend. Laat
zien dat voor de waarde 39 daar inderdaad 16 uit komt.
c) Waarom is de laatste kolom in de tabel hierboven nodig?
d) Hoe wordt de standaardafwijking ! berekend? Controleer die berekening.
!
Opgave 8
In de theorie tref je de verdeling aan van de lengtes van de 5001 vrouwen uit
het onderzoek in 1947 van Freudenthal en Sittig in opdracht van De Bijenkorf.
Open het bestand "Lengtes5001vrouwen.
a) Bereken zelf µ en ! met de computer.
b) Geef in een histogram het gemiddelde aan en ter weerszijden daarvan de
standaardafwijking.
Opgave 9
Een bedrijf heeft door tellingen een frequentieverdeling opgesteld voor de tijd die
nodig is om een klant te helpen. Voor deze transactietijd (in minuten) geldt:
t (min.)
aantal
a)
b)
c)
1
16
2
19
3
19
4
15
5
11
6
8
7
5
8
4
9
3
10
1
Bereken de gemiddelde transactietijd en de standaardafwijking.
Teken een histogram. Geef het gemiddelde aan en ter weerszijden daarvan
de standaardafwijking.
Beschrijven deze centrummaat en spreidingsmaat de verdeling van de
transactietijden goed? Licht je antwoord toe.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
9
Verwerken
!
Opgave 10
Hier zie je een tabel met mouwlengtes van de 5001
vrouwen uit het onderzoek in 1947 van
Freudenthal en Sittig in opdracht van De Bijenkorf.
a) Bereken met de computer de gemiddelde
mouwlengte µ en de standaarddeviatie !.
b) Teken een histogram en geef daarin beide
waarden aan.
c) Hoeveel procent van de mouwlengtes zit
tussen µ – ! en µ + !?
d) Hoeveel procent van de mouwlengtes zit
tussen µ – 2! en µ + 2!?
e) Kun je met behulp van µ en ! deze gegevens
goed samenvatten?
!
Opgave 11
Open het bestand "Sportprestaties. Bekijk de
resultaten van het verspringen. De gesprongen
afstand is een variabele D.
a) Maak een histogram van alle verspringresultaten. Is er sprake van een
symmetrische verdeling?
b) Bereken het gemiddelde en de standaarddeviatie van D.
c) Welke centrum- en spreidingsmaten zijn hier zinvoller?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
10
4.2 Normale verdeling
!
Practicum
Bij deze paragraaf hoort het VUStat practicum NORMAAL VERDEELD.
Verkennen
Opgave 12
Van een partij aardbeien zijn de gewichten van de aardbeien gemeten. In het
histogram hieronder zijn de percentages aangegeven.
a)
b)
c)
d)
e)
Hoeveel procent van de aardbeien woog meer dan 25 gram?
Het histogram bestaat uit 25 hokjes. Hoeveel hokjes horen er bij de
gewichten groter dan 25 gram? Welk deel van het totale histogram hoort
dus bij de gewichten groter dan 25 gram? Wat valt je op?
Bereken op twee manieren het percentage gewichten kleiner dan 10 gram:
1: Door de percentages van de kolommen op te tellen.
2: Door te berekenen welk deel van het histogram 10 gram of minder
beslaat.
Maartje heeft een figuur die twee keer zo klein is. Krijgt ze bij opgave c dan
hetzelfde antwoord?
Veronderstel dat het hele histogram uit 100 hokjes bestaat. Hoe kun je dan
eenvoudig de percentages bepalen?
Opgave 13
In 1947 onderzochten Freudenthal en Sittig 5001 vrouwen in opdracht van het
warenhuis De Bijenkorf met als doel het ontwerpen van een maatsysteem voor
kleding. Van deze vrouwen werd onder andere de lichaamslengte in cm gemeten.
Op de volgende bladzijde zie je de verdeling van de lichaamslengtes van 5001
vrouwen uit het onderzoek van Freudenthal en Sittig nog eens.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
11
Dit is dezelfde symmetrische klokvormige verdeling die je al eerder zag. De
getekende symmetrische kromme lijn sluit zo goed mogelijk bij het histogram
aan. De gemiddelde lengte is 162 cm en de standaarddeviatie is 6,5 cm. Het
gemiddelde kun je in de figuur eenvoudig aangeven, de standaardafwijking zet je
links en rechts van het gemiddelde uit.
a) Geef het gemiddelde en de standaardafwijking in je figuur aan.
b) Waarom is het gebied onder de kromme gelijk aan 1 ofwel 100%?
c) Beschrijf de vorm van de kromme.
d) Kijk naar de punten op de kromme die liggen bij de lengten 162 + 6,5 en
bij 162 – 6,5. Waarom zouden deze punten bij buigpunten genoemd
worden?
Opgave 14
De lengte van een volwassen mens wordt bepaald door een heleboel factoren.
Dat geldt ook voor het gewicht van busje peper van 35 gram: elk korreltje is er
eentje. In dat soort gevallen is de variabele normaal verdeeld.
a) Een vaas is gevuld met 10 rode en 20 blauwe knikkers. Je trekt twee keer
een knikker met terugleggen. Kan de verdeling van het aantal rode knikkers
normaal verdeeld zijn?
b) Kan het aantal rode knikkers normaal verdeeld zijn als je duizend keer met
terugleggen trekt?
c) Waarom is lengte van volwassen mannen wel normaal verdeeld maar hun
gewicht niet?
Opgave 15
De vloeiende kromme waarmee je het
histogram van de lichaamslengtes van de
5001 vrouwen kunt benaderen heeft een
mooie symmetrische klokvorm:
symmetrisch met één top, met twee
buigpunten en hoe verder de data van de symmetrieas afliggen hoe minder vaak
ze voorkomen.
In welke van de volgende gevallen zal er volgens jou ook van zo’n klokvormige
verdeling sprake kunnen zijn?
a) De lengte van Nederlandse jongens van 18 jaar.
b) De lengte van Nederlandse kinderen van 0 tot 12 jaar.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
12
c)
d)
e)
Het inkomen van Nederlanders.
De vulgewichten van pakken waspoeder.
De wachttijden bij een loket.
Uitleg
De relatieve frequenties van elk histogram zijn opgeteld 1 ofwel 100%.
Je kunt het totale gebied van het histogram op 1 of 100% stellen.
Hier zie je het histogram van de lengtes van 5001 vrouwen nog eens.
Wil je bepalen welk percentage van de lengtes tussen 165 cm en 175 cm is, dan
geeft het bijbehorende gebied aan welk deel van 100% bij deze lengtes hoort.
Het histogram is goed te benaderen door een vloeiende kromme. Omdat je die
kromme kunt tekenen zonder je potlood op te lichten heet die continu.
De klokvorm komt vaak voor. Vandaar dat er een theoretisch model voor
gemaakt is: dat wordt de normaalkromme genoemd en de lengte van de
vrouwen heet daarom normaal verdeeld. Het bijzondere is dat de
normaalkromme volledig wordt vastgelegd door het gemiddelde en de
standaardafwijking van de lengte. Dat betekent dat er een vaste relatie is tussen
het percentage waarnemingen in een gebied en hoeveel standaardafwijkingen de
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
13
grenzen van dat gebied van het gemiddelde afliggen. Hoe dat precies zit gaan we
in de rest van deze paragraaf uitzoeken.
!
Opgave 16
Open het bestand ! suikers. Je vindt hier de vulgewichten in gram van 100
kilopakken suiker.
a) Maak hierbij een histogram. Is het histogram ongeveer klokvormig?
b) Bereken met de computer het gemiddelde en de standaarddeviatie.
Geef beide zo goed mogelijk in je figuur aan.
c) Hoeveel % van de vulgewichten zit boven de 1007,4 gram?
d) Hoeveel % van de vulgewichten wijkt minder dan één standaardafwijking
van het gemiddelde af?
e) Hoeveel % van de vulgewichten wijkt minder dan 2 standaardafwijkingen
van het gemiddelde af?
f)
Hoeveel % van de vulgewichten wijkt minder dan 3 standaardafwijkingen
van het gemiddelde af?
!
Opgave 17
Het vulgewicht van de kilopakken suiker bij opgave 16 is goed te benaderen door
een normaalkromme.
a) Laat de computer die normaalkromme tekenen. Ga na, dat de symmetrieas
van deze normale verdeling precies bij het gemiddelde µ zit.
b) Hoeveel procent van de vulgewichten zit waarschijnlijk tussen µ – ! en
µ + !? (Bekijk je antwoord bij opgave 16e).
Opgave 18
Van twee soorten lampen is de levensduur van 500 exemplaren gemeten. Het
aantal branduren blijkt vrijwel normaal verdeeld te zijn. Hier zie je de
bijpassende normaalkrommen. Enkele percentages zijn gegeven.
Van soort A is het gemiddelde µ = 600 branduren en de standaardafwijking
! = 20 uur.
a) Hoeveel % van de lampen van soort A brandt minder dan 600 uur?
b) Hoeveel % van de lampen van soort A brandt minder dan 620 uur?
Je ziet bij soort A dat 68% van alle branduren tussen µ – ! en µ + ! ligt. Dat
percentage is voor alle normale verdelingen hetzelfde omdat de normaalkromme
alleen bepaald wordt door het gemiddelde en de standaardafwijking.
c) Hoeveel is dus de standaardafwijking van de lampen van soort B? En
hoeveel is het gemiddelde aantal branduren van de lampen van soort B?
d) Waarom heeft de normale verdeling bij soort B een top die minder hoog is
dan die van de normale verdeling van soort A?
e) Hoeveel procent van de branduren ligt tussen µ – 2! en µ + 2! ?
f)
Hoeveel % van de lampen van soort B brandt langer dan 1250 uur?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
14
Theorie ***************************************
Een klokvormig histogram heeft een symmetrieas, één top en hoe verder de data
van de symmetrieas afliggen hoe minder vaak ze voorkomen. Je kunt het
histogram benaderen door een vloeiende kromme.
Van die kromme bestaat een theoretisch model, de normaalkromme. Je zegt
dat de variabele normaal verdeeld is als de frequentieverdeling een
normaalkromme is.
Elke normaalkromme wordt volledig bepaald door het gemiddelde µ en de
standaardafwijking !. De buigpunten van de kromme zitten precies één
standaardafwijking van de symmetrieas af.
Het percentage waarden van X tussen twee grenzen a en b kun je aangeven als
het gebied onder de normaalkromme tussen a en b. Het percentage waarden
tussen a en b is gelijk aan de kans dat een aselect getrokken element tussen a
en b zit.
Alleen de waarden van µ en ! leggen de kromme vast en onder elke kromme zit
100%. Daarom gelden deze handige vuistregels voor alle normale verdelingen:
!
Ongeveer 68% van alle
waarden van X ligt tussen µ ! !
en µ + !.
!
Ongeveer 95% van alle
waarden van X ligt tussen
µ ! 2! en µ + 2!.
!
Bijna 100% alle waarden van X
ligt tussen µ ! 3! en µ + 3!.
*********************************************
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
15
Voorbeeld
Eieren kunnen op grond van hun gewicht in
klassen verdeeld worden. Die gewichten zijn
vrijwel normaal verdeeld met een gemiddelde
van 64 gram met een standaardafwijking van 8
gram. In deze figuur zie je zes gewichtsklassen
voor de gewichten van de eieren. Geef bij elke klasse de grenzen aan van het
gewicht van de eieren die er in zitten en bepaal hoeveel % van de eieren het
betreft.
Uitwerking:
De klassengrenzen zijn zo gekozen dat ze precies passen bij de vuistregels voor
de normale verdeling. Ga na dat dit de volgende verdeling oplevert:
!
Klasse I: !< 48 gram met 2,5% van de eieren
!
Klasse II: 48 !< 56 gram met 13,5% van de eieren
!
Klasse III: 56 !< 64 gram met 34% van de eieren
!
Klasse IV: 64 !< 72 gram met 34% van de eieren
!
Klasse V: 72 !< 80 gram met 13,5% van de eieren
!
Klasse VI: 80 gram of meer met 2,5% van de eieren
"
Opgave 19
Bekijk het voorbeeld.
a) Leg uit waaraan je ziet dat de klassengrenzen precies passen bij de
vuistregels.
b) Hoeveel % van de eieren is lichter dan 80 gram?
c) Hoeveel procent van de eieren is zwaarder dan 72 gram?
d) Je koopt bij de eierboer 100 ongesorteerde eieren. Hoeveel daarvan zullen
waarschijnlijk minder dan 56 gram wegen?
e) Waarom is in het vorige onderdeel het woord
waarschijnlijk gebruikt?
Opgave 20
Hier zie je een tweetal normale verdelingen.
a) Geef bij elk van deze normaalkrommen de
waarden van µ en !. Bepaal ook het percentage dat hoort bij het
aangegeven gebied.
b) Vul het ontbrekende in: hoe groter de
spreiding van een normale verdeling,
hoe … de top. Leg ook uit waarom dit
klopt.
Opgave 21
De gemiddelde lengte van vrouwen is bij benadering normaal verdeeld. In 1995
was de gemiddelde lengte van de vrouwen in Nederland 170 cm met een
standaardafwijking van 6,5 cm.
a) Teken hierbij zelf een normaalkromme met gemiddelde en
standaardafwijking erin aangegeven.
b) Hoeveel procent van de vrouwen had toen een lengte tussen 163,5 en
176,5 cm?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
16
c)
d)
e)
Hoeveel procent van de vrouwen was waarschijnlijk kleiner dan 157 cm?
Hoeveel procent van de vrouwen was waarschijnlijk kleiner dan 183 cm?
Hoe groot is de kans dat een willekeurige vrouw groter is dan 183 cm?
!
Opgave 22
Open het bestand ! voetlengtes.
Je vindt daarin de voetlengtes in cm van 100 mannen en 100 vrouwen.
a) Bepaal van elk van beide groepen zowel de gemiddelde voetlengte als de
standaarddeviatie van de voetlengtes, beide in één decimaal nauwkeurig.
b) Maak bij elke van beide groepen een histogram om en laat aan de hand van
die histogrammen zien dat de voetlengtes bij goede benadering normaal
zijn verdeeld. Maak daartoe eerst frequentietabellen van alle voetlengtes
afgerond op gehele cm.
Werk nu verder met normale verdelingen als model voor de voetlengtes.
c) Hoeveel procent van de mannen heeft grotere voeten dan de helft van de
vrouwen?
d) Wat is de kleinste voetlengte die voorkomt in de groep van de 2,5%
vrouwen met de grootste voeten?
e) Wat is de grootste voetlengte die voorkomt in de groep van de 2,5%
mannen met de kleinste voeten?
Verwerken
Opgave 23
Een maat voor iemands intelligentie is het IQ (intelligentiequotiënt). Dat is de
score op een intelligentietest vergeleken met die van leeftijdsgenoten. Het IQ is
normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van
15.
a) Hoeveel procent van de mensen heeft een IQ tussen 85 en 115?
b) Hoeveel procent van de mensen heeft een IQ van meer dan 130?
c) Hoe groot is de kans dat het IQ van een willekeurige voorbijganger minder
is dan 130?
d) Met welk IQ behoor je tot de mensen die de 16% laagste scores hebben?
!
Opgave 24
Open het bestand ! kniehoogtes.
Hierin zie je een tabel met kniehoogtes in cm van de 5001 vrouwen uit het
onderzoek in 1947 van Freudenthal en Sittig in opdracht van De Bijenkorf.
a) Bereken met de computer de gemiddelde kniehoogte en de
standaarddeviatie.
b) Teken een histogram en geef daarin beide waarden aan.
Neem nu verder aan dat de kniehoogte K van vrouwen normaal is verdeeld met de
eerder berekende waarden voor het gemiddelde µ en de standaarddeviatie !.
c) 95% van de kniehoogtes zit tussen µ – a en µ + a. Hoe groot is a?
d) Welke minimale lengte hebben de 16% grootste kniehoogtes?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
17
Opgave 25
Van twee leeftijdsgroepen zijn de scores voor een test verzameld. De scores van
beide groepen zijn bij benadering normaal verdeeld. De gemiddelden en de
standaardafwijkingen staan in dit overzicht.
aantal tests
µ
!
a)
b)
c)
12 jarigen
500
48
8
16 jarigen
800
56
12
Tussen welke waarden liggen de scores van de 12-jarigen ongeveer?
Tussen welke waarden liggen de scores van de 16-jarigen ongeveer?
Hoe groot is de kans dat een 12-jarige beter scoorde dan een gemiddelde 16jarige?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
18
4.3 Rekenen met normale
verdelingen
!
Bij deze paragraaf horen het VUStat-practicum WERKEN MET DE NORMALE
VERDELING, en de VU-stat module NORMALE VERDELING.
Verkennen
Meestal wil je een gebied onder de normaalkromme berekenen waarvan de
grenzen niet precies op een geheel aantal standaardafwijkingen vanaf het
gemiddelde liggen. Gebruik de VUStat-module NORMALE VERDELING om ook in dat
geval percentages te berekenen bij normale verdelingen. Je hebt die module in
(bijna) alle opgaven in deze paragraaf nodig.
!
Opgave 26
Neem aan dat het gewicht van theebuiltjes normaal is verdeeld met een
gemiddelde van 3 gram en een standaarddeviatie van 0,2 gram.
Je wilt weten hoeveel procent van de theebuiltjes minder weegt dan 2,9 gram.
a) Waarom is het antwoord niet 16% + de helft van 34% = 33%?
b) Bepaal nu het antwoord.
c) Hoeveel procent van de theebuiltjes weegt meer dan 2,9 gram?
d) Hoeveel procent weegt meer dan 2,9 gram?
Uitleg
De VUStat-module NORMALE VERDELING stelt je in staat om percentages te bepalen
bij normaal verdeelde variabelen. Bij de voorgaande opgave ging je als volgt te
werk:
!
Eerst stel je de µ = 3 en ! = 0,2 in en maak je de normaalkromme.
!
Vervolgens stel je de grenswaarde 2,9 in.
!
Tenslotte beantwoord je de vraag.
Op papier werk je dat als volgt uit:
!
Je schetst een normaalkromme en zet er µ = 3 en ! = 0,2 bij.
!
Je geeft in je figuur aan welk gebied er hoort bij het percentage dat je wilt
berekenen. Zet de grenswaarde 2,9 er bij.
!
Schat eerst op het oog het gevraagde percentage.
!
Bereken het percentage, beantwoord de vraag en vergelijk het antwoord
met je schatting.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
19
Voorbeeld 1
Hier zie je het antwoord op de vraag: Hoeveel procent van de theebuiltjes weegt
meer dan 2,7 gram?
Maak eerst een schets van de normaalkromme.
Geef het gewenste gebied aan.
Schat het bijbehorende percentage: in de buurt
van 90%.
Bereken het percentage: ongeveer 93,3%.
Dus ongeveer 93,3% van de theebuiltjes weegt
meer dan 2,7 gram.
Voorbeeld 2
Hier zie je het antwoord op de vraag: Hoeveel procent van de theebuiltjes weegt
tussen 2,7 en 2,9 gram?
Maak eerst een schets van de normaalkromme.
Geef de beide grenzen aan.
Schat het antwoord: 20 à 30 %.
Bereken het antwoord: 24,22%.
Dus ongeveer 24,2% van de theebuiltjes weegt
tussen de 2,7 en 2,9 gram.
De normaalkromme is continu, dus de kans op de exacte waarde 2,9 is nul. Het
gebied dat loopt vanaf 2,9 tot 2,9 gram is immers 0.
!
Opgave 27
Neem aan dat het gewicht van koffiepakken normaal is verdeeld met een
gemiddelde van 252 gram en een standaarddeviatie van 0,6 gram.
a) Hoeveel procent van de koffiepakken weegt minder dan 251 gram?
b) Hoeveel procent van de koffiepakken weegt tussen 250 en 251 gram?
c) Ga na, dat de vuistregel dat 68% van de koffiepakken tussen µ ! ! en µ + !
zit, inderdaad klopt.
d) Ga na, dat ook de andere vuistregels opgaan.
!
Opgave 28
De inhoud van flessen Coca Cola is normaal verdeeld met gemiddelde 1,01 liter
en standaarddeviatie 0,04 liter.
a) Waarom is de inhoud van 50% van de flessen Coca Cola minder dan 1,01
liter?
b) Je wilt weten voor welke grenswaarde g geldt dat 10% van de flessen een
inhoud minder dan g heeft. Met de computer kun je die waarde vinden.
Welke waarde voor g krijg je?
c) Hoeveel inhoud heeft 25% van deze flessen op zijn hoogst?
d) Hoeveel inhoud heeft 25% van deze flessen op zijn minst?
!
Opgave 29
Waarom kun je geen eenduidig antwoord geven op de vraag tussen welke
gewichtsgrenzen 40% van alle flessen zit?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
20
Theorie ***************************************
Bij elke normaal verdeelde variabele met gegeven µ en ! kun je bij gegeven
grenswaarde(n) de bijbehorende percentages bepalen.
Je uitwerking op papier ziet er dan zo uit:
Je tekent de normaalkromme met de gegeven µ en !.
Teken de gegeven grenswaarde(n) in je
figuur en arceer het gebied dat het
percentage aangeeft dat je wilt berekenen.
!
Schat eerst op het oog het gevraagde
percentage.
!
!
!
Bereken het percentage, beantwoord de
vraag en vergelijk het antwoord met je
schatting.
Omgekeerd kun je bij elke normaal verdeelde
variabele met gegeven µ en ! en een gegeven
percentage de grenswaarde van een linker gebied
bepalen.
*********************************************
Voorbeeld 3
De vulgewichten G van kilopakken suiker zijn normaal verdeeld met een
gemiddelde van µ = 1004 en een standaarddeviatie van ! = 3.
Hoeveel procent van de pakken is te licht?
Hoeveel wegen de 5% lichtste pakken suiker?
Uitwerking:
Te licht betekent minder dan 1000 gram. Dit geef
je in de figuur aan door het bijbehorende gebied te
arceren. Het percentage lijkt minder dan 16 te zijn.
Met de computer vind je dat dit gebied ongeveer
0,0912 x 100% is 9,12% beslaat.
Conclusie: ongeveer 9% van de pakken is te licht.
Je kunt ook de 5% lichtste pakken in de figuur
aangeven en dan bepalen welke grenswaarde er bij
hoort. Dat zal een getal onder de 1000 gram zijn.
Met de computer vind je dat 5% van de pakken
999 gram of minder weegt.
"
!
Opgave 30
Het vulvolume V van een pak melk is normaal verdeeld met een gemiddelde van
1,02 liter en een standaardafwijking van 0,015 liter. De consument verwacht 1
liter melk te kopen.
a) Hoeveel procent van de melkpakken bevat minder dan 1 liter melk?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
21
b)
c)
d)
e)
f)
Hoeveel procent van de melkpakken bevat meer dan 1,03 liter melk?
Je koopt zo’n melkpak. Wat is de kans dat er 2 centiliter te weinig melk in je
pak zit?
Je kunt niet bepalen hoeveel procent van de melkpakken een inhoud van
precies 1 liter heeft. Je kunt wel bepalen hoeveel procent van de
melkpakken afgerond op twee decimalen 1 liter bevat. Dan zie je dat het
gaat om het gebied vanaf de grens 0,995 tot de grens 1,005. En daar hoort
wel degelijk een bepaald percentage bij. Bereken dat percentage.
5% van de melkpakken heeft een vulvolume van minder dan g. Bereken g.
Hoeveel liter melk bevat een melkpak dat hoort bij de volste 10%?
!
Opgave 31
Volgens het onderzoek van Freudenthal en Sittig uit 1947 waren de lengtes van
vrouwen die bij de Bijenkorf winkelden normaal verdeeld met een gemiddelde
van 162 cm en een standaarddeviatie van 6,5 cm.
a) Hoeveel procent van deze vrouwen was langer dan 170 cm?
b) Hoeveel procent van deze vrouwen had een lengte tussen 160 en 170 cm?
c) Hoe groot is de kans dat een vrouw die je toen bij de Bijenkorf tegen kon
komen 160 cm lang was? (Neem aan dat alle lengtes op gehele cm zijn
afgerond.)
d) Hoe lang waren de 10% kleinste vrouwen?
e) En hoe lang waren de 10% langste vrouwen?
Voorbeeld 4
Een fabrikant vindt dat 5% van alle kilopakken suiker te licht mag zijn. Welk
gemiddeld vulgewicht moet je nu instellen bij een gegeven standaarddeviatie van
4 gram (de nauwkeurigheid van de vulmachine)?
Is het in de praktijk mogelijk om 0% te licht te eisen? En in theorie als je rekent
met een normale verdeling?
Uitwerking:
Je weet nu het gemiddelde vulgewicht niet, noem
dit µ. Het op te lossen probleem ziet er nu in een
figuur zo uit.
Met de computer vind je µ " 1006,6
Conclusie: de vulmachine moet worden ingesteld
op 1006,6 gram.
Het is in de praktijk onmogelijk om 0% te lichte
pakken te eisen. Ook bij het rekenen met de normale verdeling kan dit niet,
hoewel het gebied wel heel erg klein kan worden gemaakt.
"
!
Opgave 32
Bekijk Voorbeeld 4.
a) De Europese Unie stelt een scherpere eis: slechts 2% van de pakken mag te
licht zijn. Welk gemiddelde vulgewicht moet de fabrikant nu instellen?
De fabrikant wordt niet blij van het verhogen van het gemiddelde vulgewicht,
want dat kost hem nogal wat extra geld. Hij moet dan immers gemiddeld meer
suiker in een pak stoppen. Daarom besluit hij om niet het gemiddelde vulgewicht
aan te passen, maar de vulmachine nauwkeuriger af te stellen. Het gemiddelde
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
22
vulgewicht blijft 1003 gram en hij gaat uit van zijn oorspronkelijke eis dat 5%
van de pakken te licht mag zijn.
b) Nu is de standaardafwijking de onbekende.
Bepaal de standaardafwijking met de computer.
c) Doe dit nogmaals, maar nu met de eis van de consumentenbond.
!
Opgave 33
Bij de serieproductie van een bepaald type auto wordt het plaatsen van het stuur
door mensen gedaan. Deze handeling kost gemiddeld 55 seconden. De
handelingstijd T blijkt ongeveer normaal te zijn verdeeld rond dit gemiddelde
met een standaard afwijking van 4 seconden.
a) Er worden in een bepaalde maand 1200 van deze auto’s geproduceerd.
Schat het aantal auto’s waarbij het langer dan 60 seconden geduurd heeft
om het stuur te plaatsen.
b) Hoeveel tijd hebben de 5% snelste handelingstijden gekost?
c) De fabrikant van deze auto’s onderzoekt of een machine de mens kan
vervangen. De gemiddelde afhandelingstijd is ook dan 55 seconden, maar
de standaardafwijking wordt veel kleiner. Nu duurt maar 1% van alle
afhandelingstijden meer dan 60 seconden. Welke standaarddeviatie geldt
voor deze machine?
Verwerken
!
Opgave 34
Bioloog Peter Adriaanse heeft van 1000 koolwitjes de spanwijdte van de vleugels
gemeten. Hij vond dat deze spanwijdte ongeveer normaal is verdeeld met een
gemiddelde van 5,2 cm en een standaardafwijking van 0,8 cm.
a) Hoeveel procent van de gemeten koolwitjes had een spanwijdte van meer
dan 6 cm?
b) Hoeveel van de gemeten koolwitjes hadden een spanwijdte tussen de 5 en
de 6 cm?
c) Hoe groot is de kans op een koolwitje met een spanwijdte van minstens
6,5 cm?
!
Opgave 35
Bloemzaadjes worden verkocht in zakjes van 30 g. Het gewicht van een zakje uit
een grote partij is normaal verdeeld met een gemiddelde van 31 g en een
standaardafwijking van 0,6 g. Uit de partij wordt willekeurig een zakje genomen.
a) Hoe groot is de kans dat het zakje meer dan 32 g weegt?
b) Hoe groot is de kans dat het gewicht van het zakje meer dan 4%
c)
d)
afwijkt van het gemiddelde?
Hoeveel procent van de zakjes weegt te weinig?
De fabrikant vindt het percentage bij c) te groot en besluit het gemiddelde
vulgewicht wat te verhogen tot maar 1% van de zakjes te licht is. Welk
vulgewicht moet hij dan instellen?
!
Opgave 36
In een fabriek worden schroeven gemaakt met verschillende afmetingen. In
opdracht moet er een partij schroeven gemaakt worden waarvan de kop een
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
23
diameter heeft tussen de 9,98 mm en 10,03 mm. Schroeven met een te dikke of
te dunne kop worden afgekeurd. De gemiddelde diameter is afhankelijk van de
waarde waarop de machine is ingesteld. De fabrikant stelt de machine in op een
diameter van 9,99 mm. De standaardafwijking van de machine bedraagt 0,02
mm.
a) Hoeveel procent van de schroeven zal goedgekeurd worden?
b) Hoeveel procent van de schroeven zal worden goedgekeurd als de fabrikant
er in slaagt de standaardafwijking van de machine terug te brengen naar
0,01 mm?
De fabrikant wil dat 99% van de schroeven goedgekeurd wordt. Hij denkt dat te
kunnen bereiken door een andere instelwaarde van de machine te kiezen. Ook
kan de machine fijner worden afgesteld, waardoor de standaardafwijking
verandert.
c) Bij welke afstellingen zal hem dat lukken?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
24
4.4 Steekproef en populatie
!
Bij deze paragraaf horen het VUStat-practicum STEEKPROEF EN POPULATIE en de
de VUStat-module NORMALE VERDELING.
Verkennen
Je kunt het gemiddelde en de standaardafwijking van een populatie met
meetwaarden in de praktijk alleen schatten met de resultaten van een
steekproef. Je bent immers vrijwel nooit in staat om de volledige populatie te
onderzoeken.
Bij steekproeven nemen treedt door de rol van het toeval altijd variatie op, dat is
onvermijdelijk. Je kunt dus van het resultaat nooit zeker zijn. In deze paragraaf
gaat het over de manier van schatten van het gemiddelde en de
standaardafwijking van een populatie.
!
Opgave 37
Doe nu ! STEEKPROEF EN POPULATIE, ONDERZOEK 1.
a) Is het gemiddelde m van een steekproef ook een goede schatter van het
gemiddelde van de populatie µ?
b) Is de standaardafwijking s van een steekproef ook een goede schatting van
de standaardafwijking van de populatie !?
De standaardafwijking s van de steekproef wordt berekend met de formule
s=
c)
som van de kwadraten van de deviaties
.
n
Ga na dat je een betere schatting van de standaardafwijking van de
som van de kwadraten van de deviaties
te
populatie krijgt door S =
n - 1
gebruiken.
Uitleg
Je kunt een steekproef gebruiken om het gemiddelde en de standaardafwijking
van een populatie met meetwaarden te schatten.
Daarbij moet je goed onderscheiden:
1. Het gemiddelde µ en de standaardafwijking ! van de populatie. Die zijn
meestal onbekend.
2. Het gemiddelde m en de standaardafwijking s van de resultaten van de
steekproef.
3. De schatter M van het gemiddelde en de schatter S van de standaardafwijking
van de populatie met behulp van de steekproefresultaten.
Met het steekproefgemiddelde m kun je het populatiegemiddelde µ goed
schatten: µ " m.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
25
som van de kwadraten van de deviaties
van de
n
steekproef kun je de standaardafwijking van de populatie niet zo goed schatten
som van de kwadraten van de deviaties
.
als met de schatter S =
n - 1
In de praktijk beschikt de computer over zowel de standaarddeviatie op basis
van n als die op basis van n – 1.
Met de standaardafwijking s =
gehele populatie
steekproef
schatters van de populatie
gemiddelde
standaardafwijking
gemiddelde
standaardafwijking
gemiddelde
standaardafwijking
µ
!
m
s met noemer n
M" µ
S met noemer n-1
!
Opgave 38
Gebruik de dataset "voetlengtes.
De voetlengtes van mannen en van vrouwen zijn normaal verdeeld. Deze dataset
is een steekproef uit de populatie Nederlandse mannen en vrouwen.
a) Gebruik het steekproefgemiddelde en de standaardafwijking van de
steekproef om het gemiddelde en de standaardafwijking van de voetlengte
van de Nederlandse mannen te schatten.
b) Is er veel verschil tussen s en S? Hoe zou dat komen?
c) Geef een schatting van het percentage van de Nederlandse mannen met een
voetlengte van meer dan 44 cm.
d) Schat ook op basis van de gegevens in de database het gemiddelde en de
standaarddeviatie voor de normale verdeling voor de voetlengte van de
populatie Nederlandse vrouwen.
e) Schat het percentage Nederlandse mannen met grotere voeten dan de
gemiddelde Nederlandse vrouw.
Opgave 39
Bij het onderzoek in 1947 van Freudenthal en Sittig werd op basis van een
steekproef van 5001 vrouwen voor hun lichaamslengte L een normale verdeling
als rekenmodel opgesteld met een gemiddelde van 162 cm en een
standaardafwijking van 6,5 cm. Maakt het (bij deze afrondingen) verschil of je s of
S zou hebben gebruikt? Licht je antwoord toe.
Theorie ***************************************
Je kunt een aselecte steekproef gebruiken om het gemiddelde en de
standaarddeviatie van de populatie te schatten:
!
Het gemiddelde m van de steekproef is een goede schatting van het
gemiddelde µ van de populatie: µ " m.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
26
!
som van de kwadraten
geeft een goede schatting van de
n - 1
standaardafwijking van de populatie !. De kwadraten worden genomen van
de verschillen met het steekproefgemiddelde m.
Voor grote waarden van n kan s met noemer n als schatter genomen worden.
De schatter S =
Heb je op deze manier met behulp van een steekproef het gemiddelde µ en de
standaardafwijking ! van een populatie geschat, dan kun je weer van de normale
verdeling gebruik maken om percentages te berekenen.
**********************************************
!
Opgave 40
In 1955 onderzochten R. R. Sokal en P. E. Hunter de huisvlieg. Onder andere
bepaalden ze de lengte van hun vleugels. Er wordt aangenomen dat die
vleugellengte L normaal is verdeeld. Hier zie je de resultaten van hun metingen.
Ze staan ook in het bestand ! huisvlieg.
a)
b)
c)
d)
Schat op grond van deze steekproef het gemiddelde en de standaarddeviatie
van de vleugellengte van de huisvlieg.
Is er veel verschil tussen de standaardafwijking s van deze steekproef en de
schatting S van de standaarddeviatie van de populatie?
Hoeveel procent van de huisvliegen heeft een vleugellengte van meer dan
5,0 mm?
Hoe groot zijn de 10% kleinste vleugellengtes maximaal?
Verwerken
!
Opgave 41
Om na te gaan of de kilopakken suiker geproduceerd op vulmachine A het juiste
gewicht hebben wordt een steekproef genomen. Open het bestand ! suikers.
Dit is een steekproef van 100 pakken gevuld door de machine.
a) Schat met behulp van deze steekproef het gemiddelde en de
standaarddeviatie van de kilopakken suiker geproduceerd door de machine.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
27
Men neemt aan dat de vulgewichten van alle pakken suiker die uit de vulmachine
komen normaal zijn verdeeld met het zojuist berekende gemiddelde en de zojuist
berekende standaardafwijking.
b) Hoeveel procent van de pakken die door deze machine worden gevuld is te
licht?
c) Stel dat niet meer dan 1% van deze pakken te licht mag zijn. Welk
vulgewicht moet dan op deze machine worden ingesteld als de
standaardafwijking niet kan worden aangepast?
d) Stel dat niet meer dan 1% van deze pakken te licht mag zijn. Toch wil de
fabrikant het gemiddelde vulgewicht liever niet aanpassen. Welke
standaardafwijking moet deze machine dan door nauwkeuriger afstellen
bereiken?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
28
4.5 Schatten van proporties
!
Practicum
Bij deze paragraaf horen het VUStat-practicum SCHATTEN VAN PROPORTIES, de
VUStat-simulatie STEEKPROEVENVERDELING en de VUStat-module NORMALE
VERDELING.
Verkennen
In hoofdstuk 3 heb je met behulp van een steekproef een populatieproportie
leren schatten. Je hebt toen met behulp van een tabel een
betrouwbaarheidsinterval leren bepalen. Je kunt dat interval ook bepalen met
behulp van een normale verdeling, sterker, die tabel in hoofdstuk 3 is opgesteld
door berekeningen met de normale verdeling. Met wat je in dit hoofdstuk geleerd
hebt zou je zelf zo’n tabel kunnen opstellen.
!
Opgave 42
Je wilt bepalen hoeveel procent van de Nederlandse vrouwen tussen 15 en 25
jaar rookt. In een aselecte steekproef van 1200 vind je 348 vrouwen die roken.
a) Laat zien dat de steekproefproportie p̂ gelijk aan 29% is.
b) Je hebt alleen maar deze ene steekproef en je weet dat het
steekproefresultaat afhankelijk is van toeval. Simuleer daarom een
steekproevenverdeling: neem 1000 keer een steekproef van 1200 en teken
het histogram van de steekproefproporties p̂ en de bijpassende
normaalkromme.
c) Een andere simulatie heeft de
steekproevenverdeling van de figuur
hiernaast opgeleverd. Neem aan dat de
steekproefproporties p̂ normaal verdeeld
zijn met gemiddelde 0,29 en
standaardafwijking 0,013. Tussen welke waarden liggen dan de
steekproefproporties van 95% van de vrouwen?
d) Geef het betrouwbaarheidsinterval van de populatieproportie bij
betrouwbaarheidsniveau van 95%
e) Doe nu met een betrouwbaarheid van 95% een uitspraak over het
percentage vrouwen tussen 15 en 25 jaar die roken.
!
Opgave 43
a) Simuleer 5000 aselecte steekproeven van 200 uit een populatie van 20000
met een steekproefproportie van 0,25 en maak de bijbehorende
steekproevenverdeling.
b) Ga na, dat deze steekproevenverdeling bij benadering normaal is met
gemiddelde µ = p̂ = 0,25.
c) Schat met behulp van de figuur de standaarddeviatie van deze
steekproevenverdeling.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
29
d)
Je kunt deze standaardafwijking ook schatten met de formule
e)
ˆ ! (1 " p
ˆ)
p
. Doe dat en laat zien dat de uitkomst ongeveer met je
n
schatting overeen komt.
Teken de normaalkromme van de steekproevenverdeling met gemiddelde
0,25 en de standaardafwijking van opgave d.
Bereken het betrouwbaarheidsinterval bij een betrouwbaarheidsniveau van
90%.
!=
f)
Uitleg
In hoofdstuk 3 heb je gezien hoe je een steekproevenverdeling kunt gebruiken
om uitspraken te doen over een populatieproportie.
Steekproevenverdelingen zijn altijd normaal verdeeld. Daarom kun je met de
normale verdeling uitspraken doen over de populatieproportie.
Je neemt de steekproefproportie p̂ als gemiddelde. Het is onhandig om de
steekproevenverdeling te moeten simuleren. Wiskundigen hebben een formule
gevonden om de standaardafwijking van de steekproevenverdeling uit de
gevonden steekproefproportie p̂ en de steekproefgrootte n af te leiden:
! =
ˆ " (1 # p
ˆ)
p
. De formule is ongevoelig voor kleine veranderingen van p̂ .
n
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
30
Heb je in een steekproef van 1200 bijvoorbeeld p̂ = 0,45 gevonden, dan hoort
daar theoretisch gesproken een normale steekproevenverdeling bij met µ = 0,45
0, 45 ! (1 " 0, 45)
.
1200
Dit geeft ! " 0,014.
De steekproevenverdeling is dus normaal verdeeld met µ = 0,45 en ! = 0,014.
Nu kun je bij een gegeven betrouwbaarheidsniveau de foutenmarge berekenen.
en ! =
!
Opgave 44
Om te bepalen hoeveel procent van de Nederlanders linkshandig is wordt een
aselecte steekproef van 1500 Nederlanders getrokken. Daarvan waren er 136
linkshandig.
a) Hoeveel bedraagt de steekproefproportie? Op hoeveel schat je de
populatieproportie dus?
b) Bereken nu met behulp van de formule in de Uitleg de standaarddeviatie
van de steekproevenverdeling.
c) Teken de normaalkromme van de steekproevenverdeling van het aantal
linkshandigen.
d) Tussen welke grenzen ligt nu het 90%-betrouwbaarheidsinterval?
e) Bereken de grenzen van het betrouwbaarheidsinterval bij een
betrouwbaarheidsniveau van 97,5%.
f)
Doe nu een statistisch verantwoorde uitspraak over het aantal
linkshandigen in Nederland.
!
Opgave 45
De consumentenbond wil weten of een bepaald type laptop minstens acht uur op
de batterij kan werken. Ze testen 50 aselect getrokken laptops van dat type. Het
blijkt dat 41 van die laptops inderdaad acht uur werken op de batterij.
a) Hoeveel bedraagt het percentage laptops in de steekproef dat acht uur lang
op de batterij werkt?
b) Je wilt nu een uitspraak doen over alle laptops van dat type met een
betrouwbaarheid van 95%. Met welke foutenmarge moet je dan rekening
houden?
c) Formuleer nu de uitspraak die je met die betrouwbaarheid kunt doen.
d) Welke uitspraak kun je doen met een betrouwbaarheid van 90%?
e) Nu worden er 500 aselect getrokken laptops onderzocht. Er blijken 406 van
die laptops inderdaad acht uur te werken op de batterij. Welke uitspraak
kun je nu met een betrouwbaarheid van 90% doen?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
31
Theorie ***************************************
Door middel van een aselecte steekproef kun je schatten hoeveel procent van
een populatie een zekere eigenschap heeft. Je kunt ook met een bepaalde vooraf
gekozen betrouwbaarheid zeggen tussen welke waarden deze populatieproportie
ligt of de foutenmarge berekenen.
Dat doe je als volgt:
!
Je berekent de steekproefproportie p̂ .
!
!
!
!
p̂ is je schatting van de populatieproportie.
Je bepaalt de standaarddeviatie ! van de steekproevenverdeling met de
ˆ " (1 # p
ˆ)
p
formule ! =
n
Je bepaalt de grenswaarden van het betrouwbaarheidsinterval dat hoort bij
het gekozen betrouwbaarheidsniveau (vaak 95%).
De foutenmarge is nu de helft van de lengte van het
betrouwbaarheidsinterval tussen beide grenswaarden.
*********************************************
Voorbeeld
Er wordt onderzoek gedaan naar het percentage voorstanders van de
hypotheekrenteaftrek onder stemgerechtigden. Gekozen is een
betrouwbaarheidsniveau van 95%.
Steekproef omvang 1000, aantal voorstanders 570.
De steekproefproportie is dus 0,57.
De geschatte populatieproportie is daarom ook 0,57 = 57%.
De standaardafwijking van de steekproevenverdeling is ! =
0,57 ! (1 " 0,57)
.
1000
De geschatte standaarddeviatie is dus 0,0157.
Met de module NORMALE VERDELING bepaal je het 95% betrouwbaarheidsinterval
[0,54; 0,60].
Conclusie: Het percentage voorstanders van hypotheekrenteaftrek ligt tussen de
54% en 60% met een betrouwbaarheid van 95%.
Je kunt de conclusie ook zo formuleren: het percentage voorstanders is 57 ± 3%
met een betrouwbaarheid van 95%.
"
!
Opgave 46
Bekijk het voorbeeld.
a) Ga na dat de grenzen van het 95%-betrouwbaarheidsinterval correct zijn.
b) Bepaal met behulp daarvan de foutenmarge en ga na dat de gedane
uitspraak correct is.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
32
!
Opgave 47
Bij een onderzoek naar de slagingskans voor het rijexamen wordt in een bepaald
jaar van een steekproef van 800 pogingen vastgesteld of het examen is gehaald
of niet. Van die 800 pogingen bleken er 683 succesvol te zijn.
a) Hoeveel bedraagt de steekproefproportie?
b) Bereken de standaarddeviatie van de steekproevenverdeling.
c) Bepaal de foutenmarge bij een betrouwbaarheid van 90%. Welke uitspraak
kun je doen?
!
Opgave 48
Uit een enquête in opdracht van de Stichting tegen Kanker van maart/april 2007
onder 1988 Belgen bleek 61% voorstander te zijn van het rookvrij maken van
cafés. In oktober 2006 was dat nog 55% van de toen ondervraagde personen.
a) Bepaal bij het onderzoek van maart/april 2007 de foutenmarge bij een
betrouwbaarheid van 95%.
b) Kun je zeggen dat het aantal voorstanders in de periode van oktober 2006
tot maart 2007 is toegenomen? Geef statistische argumenten voor en tegen
deze stelling.
Verwerken
!
Opgave 49
Voorafgaande aan verkiezingen worden opiniepeilingen gehouden. Daarbij
worden door een onderzoeksbureau 2000 aselect getrokken Nederlanders
gevraagd naar de partij van hun voorkeur. Het onderzoeksbureau hanteert een
betrouwbaarheidsniveau van 90%. Een partij gaat in zo’n opiniepeiling van 30
naar 31 zetels (van de 150 zetels).
Onderzoek of er reden tot vrolijkheid is in verband met het gehanteerde
betrouwbaarheidsniveau.
!
Opgave 50
Op de website van de Dienst Onderzoek en Statistiek van de gemeente
Amsterdam stond in december 2008 het volgende:
In totaal hebben 379 Amsterdammers meegedaan aan de telefonische enquête van november.
Op de vraag of men voor of tegen de aanleg van de Noord/Zuidlijn is, zegt ongeveer de helft van
respondenten (49%) voor de aanleg te zijn. Het percentage voorstanders ligt hoger dan bij de vorige
meting: in september was 38% voorstander. Het percentage voorstanders is hiermee terug op het
niveau van 2006 toen 48% voorstander was. Het effect van de gebeurtenissen rond de Vijzelgracht
lijkt te zijn vervlogen in de mening van Amsterdammers.
a)
b)
Met welke betrouwbaarheid kun je zeggen dat het aantal voorstanders in
december 2008 van de Noord/Zuidlijn tussen de 47% en de 51% ligt?
In september kon men met een betrouwbaarheid van 95% beweren dat het
aantal voorstanders tussen de 37% en de 39% lag. Hoeveel mensen zijn er
toen ondervraagd?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
33
Overzicht
Je hebt nu alle theorie van het onderwerp “Normale verdeling” doorgewerkt. Het
is nu tijd om een overzicht over het geheel te krijgen.
Begrippen
41: gemiddelde µ – gewogen gemiddelde – deviatie – variantie –
standaardafwijking of standaarddeviatie !
42: normaalkromme – normale verdeling – µ en ! van een normale verdeling –
vuistregels bij een normale verdeling
43: grenswaarde en gebied
44: gemiddelde en standaardafwijking (standaarddeviatie) van: de populatie
meetwaarden - de steekproef – de schatting van die van de populatie
45: schatten van proporties - formule voor de standaardafwijking van de
steekproefverdeling
Vaardigheden
41: gemiddelde, variantie en standaardafwijking berekenen bij een
frequentietabel
42: normale verdeling herkennen aan histogram – µ en ! herkennen in
normaalkromme – vuistregels toepassen
43: gebied onder een normaalkromme weergeven als percentage van het totaal
m.b.v. de computer – grenswaarden berekenen bij gegeven percentage onder
een normaalkromme - µ of ! berekenen bij gegeven grenswaarden en
percentages
44: gemiddelde m en standaardafwijking s van een steekproef van meetwaarden
berekenen – gemiddelde m en standaardafwijking S als schatting van die van de
populatie bepalen
45: betrouwbaarheidsintervallen en foutenmarges bepalen met behulp van de
steekproevenverdeling benaderd door een normale verdeling.
Opgave 51 Samenvatten
Maak een samenvatting van dit onderwerp door bij elk van de genoemde
begrippen een omschrijving of een voorbeeld te geven en bij elk van de
genoemde vaardigheden een voorbeeld te geven.
Toetsen
!
Opgave 52
Open het bestand ! cijfers CE wi A met de resultaten behaald op het centraal
examen wiskunde A van 100 willekeurige kandidaten in één schooljaar.
a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van deze resultaten.
b) Hoeveel procent van deze kandidaten hadden een resultaat dat meer dan
twee standaardafwijkingen van het gemiddeld aflag?
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
34
!
Opgave 53
De zwangerschapsduur bij mensen is normaal verdeeld met een gemiddelde van
266 dagen en een standaarddeviatie van 16 dagen.
a) Bij een premature geboorte wordt het kind minstens drie weken voor het
gemiddelde geboren. Hoe groot is de kans daar op?
b) In 7% van de gevallen duurt een zwangerschap zo lang dat de geboorte
moet worden ingeleid. Vanaf welke zwangerschapsduur gebeurt dit dus?
c) In 1973 beweerde een vrouw dat ze 310 dagen zwanger was geweest
omdat op de dag van de bevalling haar man al 310 dagen als marinier van
huis was. Hoe groot is de kans op een zwangerschap van minstens 310
dagen?
!
Opgave 54
Een bakker bakt kerststollen van 1000 g.
a) Wat is de standaardafwijking als het gemiddelde gewicht 1000 g is en 5%
van de stollen minder weegt dan 900 g?
b) Als de standaardafwijking van de stollen 60 g is, hoeveel procent van de
stollen weegt dan minder dan 900 g?
c) Hoe groot is het gemiddelde gewicht van de stollen bij een
standaardafwijking van 65 g als 5% van de stollen minder weegt dan 900
g?
!
Opgave 55
In een fabriek worden sokken machinaal vervaardigd. De gemiddelde lengte van
een sok blijkt 47 cm te zijn. De lengte van de sokken is normaal verdeeld met
een standaardafwijking van 0,2 cm.
De sokken worden in paren verkocht. In de fabriek worden paren gevormd door
willekeurig twee sokken bij elkaar te stoppen.
a) Als één sok een lengte heeft van 46,5 cm, hoe groot is dan de kans dat het
lengteverschil met de andere sok van het paar meer dan 0,7 cm bedraagt?
b) Als de eerste sok een lengte heeft van 49,5 cm, is dan de kans dat het
lengteverschil met de andere sok van het paar meer dan 0,7 cm is even
groot? Licht je antwoord toe.
c) Bepaal deze kans.
!
Opgave 56 Lengte van vrouwen
In deze opgave bekijk je de lengte van Nederlandse vrouwen. In de loop van
deze eeuw zijn de Nederlandse vrouwen steeds langer geworden. De confectieindustrie heeft deze ontwikkeling gevolgd. Dat heeft voor een bepaalde categorie
vrouwen onprettige gevolgen gehad.
Neem aan dat in elk jaar de lengte van vrouwen normaal verdeeld is.
Bekend is dat in 1900 de gemiddelde lengte van de Nederlandse vrouw 160 cm
was (zie figuur) met een standaardafwijking van 5,7 cm.
a) Bereken hoeveel procent van de vrouwen in dat jaar een lengte tussen 154
cm en 170 cm had.
De confectie-industrie richtte zich gedurende een lange periode op de vrouwen
van 154 cm tot 170 cm. In 1960 vielen precies de ‘middelste’ 82% van de
vrouwen in deze lengtematen. Dat wil zeggen dat 9% van de vrouwen kleiner
was dan 154 cm en 9% groter was dan 170 cm. De gemiddelde lengte van de
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
35
Nederlandse vrouw was in 1960 dus
toegenomen tot 162 cm. Ook de
spreiding was iets groter geworden.
b) Bereken de standaardafwijking van
de lengte van de Nederlandse
vrouw in 1960.
In 1995 is de gemiddelde lengte van de
vrouwen in Nederland inmiddels 170 cm
geworden met een standaardafwijking
van 6,4 cm. Hoewel de confectieindustrie zich in 1995 op een groter
percentage richt, namelijk op de
‘middelste’ 90% van de vrouwen, doet
zich toch een bijzonder verschijnsel
voor. De vrouwen met een lengte van
154 cm tot 170 cm konden in 1960
zonder problemen confectiekleding
kopen. Onder deze vrouwen echter is
een categorie waarvan de lengte zo is
dat ze in 1995 niet meer zonder problemen confectiekleding kunnen kopen. De
vrouwen uit deze categorie blijken in 1995 te klein voor confectiekleding.
c) Welke lengten leidden in 1960 niet maar in 1995 wel tot problemen bij het
kopen van confectiekleding? Licht je antwoord toe.
(bron: havo examen wiskunde A in 1998).
Opgave 57
Open het bestand ! cijfers CE wiA met de resultaten behaald op het centraal
examen wiskunde A van 100 willekeurige kandidaten in één schooljaar. Je
beschouwt deze resultaten als een steekproef voor alle examenkandidaten
wiskunde A van dat jaar. De resultaten van al die kandidaten zijn bij benadering
normaal verdeeld.
a) Gebruik de steekproef om het gemiddelde en de standaardafwijking van die
normale verdeling te schatten.
b) Hoeveel procent van alle kandidaten had dat jaar voor wiskunde A een cijfer
hoger dan 8,5?
c) Hoeveel procent van de kandidaten van dat jaar had voor het centraal
examen wiskunde A een voldoende (5,5 of hoger)?
Opgave 58
Uit een aselecte steekproef van 335 jongeren tussen de 14 en de 18 jaar blijkt
dat 40 van hen regelmatig spijbelt. Welke uitspraak kun je op grond hiervan
doen over het percentage spijbelaars in deze leeftijdscategorie met een
betrouwbaarheid van 90%?
Opgave 59 Tennisballen
Een fabrikant maakt tennisballen. Deze fabrikant wil dat zijn product bij
competitiewedstrijden en op toernooien gebruikt mag worden.
De Koninklijke Nederlandse Lawn Tennis Bond (KNLTB) stelt aan ballen die
daarvoor gebruikt mogen worden de volgende eis:
“Het gewicht van de bal dient te liggen tussen 56,7 en 58,5 g.”
Het gewicht van de tennisballen van de fabrikant is normaal verdeeld met een
gemiddelde van 57,6 g en een standaardafwijking van 0,44 g.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
36
a) Laat zien dat ongeveer 96% van deze tennisballen aan de eis voldoet.
Verder stelt de KNLTB nog een eis aan de zogenaamde stuithoogte van de bal. In
de KNLTB-reglementen staat: “De bal wordt losgelaten op een hoogte van 254
cm boven een betonnen vloer. De stuithoogte van de bal dient groter te zijn dan
135 cm en kleiner dan 147 cm. De stuithoogte te meten vanaf het
vloeroppervlak tot onderkant bal.” De fabrikant heeft zelf vastgesteld dat 94%
van zijn ballen voldoet aan deze tweede eis. Daarbij is ook gebleken dat de
stuithoogte normaal verdeeld is met een gemiddelde van 141 cm.
b) Bereken de standaardafwijking van de stuithoogte van deze ballen.
We nemen aan dat het gewicht van de bal geen invloed heeft op de stuithoogte.
c) Hoeveel procent van de door deze fabrikant gemaakte tennisballen zal aan
beide eisen van de KNLTB voldoen? Licht je antwoord toe.
(bron: havo examen wiskunde A in 1998).
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
37
4 Normale verdeling
Antwoorden
4.0
Een bijzondere verdeling
Opgave 1
… Doen!
4.1 Gemiddelde en standaardafwijking
Opgave 2
a) A: 6,1; B: 6,1; C: 7,4; D: 6,1
b) Zie kruisjes
c)
d)
e)
f)
De spreiding bij A is veel groter; A heeft meer uitschieters
De cijfers van C liggen allemaal een stukje hoger; het gemiddelde is hoger
A: 5,8; B: 2,7; C: 5,6; D: 2,7
Nee, bij D liggen ze toch iets meer gegroepeerd bij het gemiddelde
Opgave 3
a) 0; net zoveel boven het gemiddelde als
eronder
b) …
c) Cijfers die ver van het gemiddelde afliggen
geven een groot verschil en leveren een erg
grotere bijdrage aan de variantie
d) Zie tabel hiernaast: sd = 0,79
e) C: sd = 1,81; D: sd = 0,75
Opgave 4
a) De uitschieter geeft een erg grote afwijking ten opzichte van het gemiddelde
en heeft daardoor een te groot effect op de waarde van de sd.
b) Na herkansing geldt voor E: gem = 8,8; sd = 0,56; ja
Opgave 5
a) Omdat ‘twee keer zo zwaar meetellen’ hetzelfde is als dat het cijfer twee
keer voor komt en dan telkens gewoon één keer mee telt.
b) Met ‘dubbeltelling’: gem = 7,6; sd = 2,68
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
1
4 Normale verdeling
Antwoorden
!
a)
b)
c)
d)
e)
Opgave 6
Zie hieronder; jongens: redelijk symmetrisch; meisjes: ook redelijk
symmetrisch, afgezien van die ene uitschieter naar boven
!: gem = 180,4; ": gem = 168,8; zie grafiek
!: sd = 7,88; ": sd = 7,08; zie grafiek
jongens tussen 164,64 en 196,16: 66 van de 69, dus (ongeveer) 95%
meisjes tussen 154,64 en 182,96: 83 van de 85, dus (ongeveer) 98%
De eenheid variantie is cm2; de eenheid sd is cm; de sd is beter omdat de
eenheid overeenkomt met de eenheid van de variabele
7,88 7,88
7,08 7,08
180,4
168,8
Opgave 7
a) ….
b) Het gemiddelde is 43, dus de afwijking (deviatie) van de waarde 39 is 4;
het kwadraat hiervan geeft 42 = 16; dus het klopt
c) Je moet elke kwadraat van de afwijking ook zo vaak meetellen als het
voorkomt; bijvoorbeeld de waarde 38 komt 8 keer voor; het kwadraat van
de afwijking moet dus ook 8 keer worden meetgeteld
d) Gemiddelde van de kwadraten berekenen (= variantie) en dan de wortel:
var = 1586 / 250 = 6,344; ! = #6,344 ! 2,52 dus klopt
!
Opgave 8
a) µ = 162,1
en ! = 6,51
b) Zie hiernaast.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
2
4 Normale verdeling
Antwoorden
Opgave 9
a) µ = gemid. = 3,7 en ! = sd = 2,21
b) Zie hiernaast.
c) Nee, de verdeling is erg scheef. Aan de
rechterkant ligt een groot deel van de
metingen buiten het gebied tussen " - $
en " + $
!
a)
b)
c)
d)
e)
sd
sd
Opgave 10
gemid.
µ = 59,05 (cm) en ! = 3,06 (cm)
Zie hieronder
Tussen 55,99 en 62,11 zitten naar schatting 5/10 · 405 + 519 + 660 + 578 +
653 + 560 + 6/10 · 421 ! 3425 van de 5001 vrouwen, dus 68,5%
Tussen 52,93 en 65,17 zitten naar schatting 6/10 · 89 + 163 + 250 + 405 +
519 + 660 + 578 + 653 + 560 + 421 + 260 + 159 + 7/10 · 106 ! 4756 van
de 5001 vrouwen, dus 95,1%
ja
!
Opgave 11
a) Zie hiernaast: erg scheve
verdeling
b) µ = 307,8 en ! = 39,25 (cm)
c) mediaan en kwartielafstand
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
3
4 Normale verdeling
Antwoorden
4.2
Normale verdeling
Opgave 12
a) 4% + 4% = 8%
b) 2 hokjes; 2/25 deel; de verhouding van de oppervlakte is precies gelijk aan
het percentage, ofwel 2/25 = 0,08 = 8%
c) 1: 12% + 24% = 36%
2: 9 van de 25 hokjes, dus 9/25 = 0,36 = 36%
d) ja
e) het aantal hokjes tellen; dit aantal is dan het percentage
Opgave 13
a) Zie figuur hieronder
b) Onder de kromme liggen alle metingen; dat is dus 100%
c) … (symmetrisch ten opzichte van het gemiddelde; top bij het gemiddelde;
meeste waarnemingen rondom het gemiddelde; begint en eindigt op hoogte
0; ‘klokvorm’)
c) Daar is de grafiek het steilst.
Of ook: Daar verandert de grafiek van ‘bol’ naar ‘hol’, of omgekeerd.
De grafiek buigt in dat punt ineens ‘de andere kant’ op.
(Doe net alsof het een weg is waarover je met de scooter of fiets rijdt: in
het buigpunt moet je met je stuur de andere kant op sturen.)
Opgave 14
a) Nee
b) Ja
c) De lengte is niet eenvoudig door gedrag te beïnvloeden en heeft een
‘natuurlijk’ verloop. Het gewicht echter wordt in grote mate bepaald door
het eet- en leefgedrag van de mannen. Daardoor zal de verdeling scheef
zijn: mannen met een groot gewicht komen veel vaker voor.
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
4
4 Normale verdeling
Antwoorden
Opgave 15
a) ja
b) nee
c) nee
d) ja
e) nee (zie grafiek hiernaast)
!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Opgave 16
Zie hieronder; bij benadering klokvormig,
hoewel de top te hoog is
µ = 1005 (of 1005,03); ! =2,4 (of 2,385) (beide in gram)
Boven 1007,4 gram (met VU-Statistiek): 14 stuks, dus 14%
Tussen 1002,6 en 1007,4 gram (met VU-Statistiek): 71 stuks, dus 71%
Tussen 1000,2 en 1009,8 gram (met VU-Statistiek): 96 stuks, dus 95%
Tussen 997,8 en 1012,2 gram (met VU-Statistiek): 99 stuks, dus 99%
Opmerking: bij aflezen uit dit histogram krijg je andere antwoorden bij vragen c
t/m f. Je moet dan schattingen maken. Je moet dan bijvoorbeeld delen van
staven inschatten. Je krijgt dan:
c) Boven 1007,4 zit 6/10#10 + 5 + 3 + 2 = 16; 16%
d) Tussen 1002,6 en 1007,4 zit 4/10#4 + 11 + 20 + 21 + 12 + 4/10#10 ! 70;
70%
e) Tussen 1000,2 en 1009,8 zit 8/10#4 + 6 + 4 + 11 + 20 + 21 + 12 + 10 + 5
+ 8/10#3 ! 95; 95%
f)
Tussen 997,8 en 1012,2 zit alles behalve 1%, dus 99%
!
a)
b)
Opgave 17
Zie hierboven; klopt redelijk
Ongeveer 71% (of 70%)
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
5
4 Normale verdeling
Antwoorden
Opgave 18
a) 50%
b) 85%
c) !B = 50 en µB = 1150 (uur)
d) Omdat de verdeling breder is en de oppervlaktes gelijk zijn, moet de hoogte
minder zijn
e) 95%
f)
2,5%
Opgave 19
a) Bijv. " – 2$ = 64 – 2·8 = 48; " – $ = 64 – 8 = 56; " + $ = 64 + 8 = 72; …
b) 97,5%
c) 16%
d) (ongeveer) 16
e) Omdat het toeval ook een rol speelt: je kunt toevallig meer zwaardere of
lichtere eieren gekregen hebben.
Opgave 20
a) µ = 3,0 en ! = 0,2; 16%
µ = 82 en ! = 6; 84%
b) Hoe groter de spreiding van normale verdeling hoe lager de top.
De oppervlakte blijft 100%, dus als de verdeling breder is, moet de hoogte
minder zijn.
Opgave 21
a) Zie hiernaast
b) 68%
c) 2,5%
d) 97,5%
e) 2,5%
!
Opgave 22
a) !: µ = 41,0 en ! = 2,4;
": µ = 38,6 en ! = 2,1
b) Zie hiernaast.
c) 84% (tip: maak een schets
d)
e)
van beide normale verdelingen
onder elkaar met daarin de
vuistregels aangegeven)
42,8 cm
36,2 cm
Opgave 23
a) 68%
b) 16%
c) 84%
d) onder IQ 85
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
6
4 Normale verdeling
Antwoorden
!
Opgave 24
a) µ = 43,57 (cm) en
! = 2,72 (cm)
b) Zie hiernaast
c) Tussen 38,1 en 49,0
cm (eigenlijk oneindig
d)
veel antwoorden mogelijk)
Groter dan 46,3 cm
Opgave 25
a) Tussen 24 en 72
b) Tussen 20 en 92
c) 16%
4.3 Rekenen met normale verdelingen
!
Opgave 26
Omdat de kromme tussen 2,8 en 3 geen rechte lijn is.
De gele oppervlakte links en rechts van de lijn bij
2,9 in de figuur hiernaast is niet even groot.
b) 30,85% (of 31%)
c) 30,85% (of 31%)
d) 69,15% (of 69%)
a)
!
Opgave 27
4,78% (of 4,8%)
4,74% (of 4,8%)
Tussen 251,4 en 252,6 zit volgens VU-Statistiek 68,27%; klopt
Tussen µ !2! en µ+2!, ofwel 250,8 en 253,2 zit volgens VU-Stat 95,45%;
Tussen µ !3! en µ+3!, ofwel 250,2 en 253,8 zit volgens VU-Stat 99,73%
!
Opgave
Bij een
0,9587
0,9830
1,0370
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
28
normale verdeling zit precies de helft onder het gemiddelde
liter
liter
liter
!
Opgave 29
Een gebied van 40% kan zich op allerlei plekken bevinden, bijvoorbeeld helemaal
links, helemaal rechts, of juist rondom het gemiddelde, etc.
!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Opgave 30
9,12%
25,25%
0,38%
11,09%
0,9953 liter
1,0392 liter
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
7
4 Normale verdeling
Antwoorden
!
Opgave 31
10,92%
51,16%
Tussen 159,5 en 160,5: 5,85%
kleiner dan 153,67 cm
groter dan 170,33 cm
!
Opgave 32
µ = 1008,215 gram ofwel 1008,2 gram
! = 1,8239 gram ofwel 1,8 gram
! = 1,4607 gram ofwel 1,5 gram
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
!
Opgave 33
a) 0,1056 · 1200 ! 127 auto’s
b) 48,4206 ofwel 48,4 seconden
c) 2,1493 ofwel 2,1 seconden
!
Opgave 34
15,87% (ofwel 16%)
44,01% (ofwel 44%)
5,21% (ofwel 5,2%)
!
Opgave 35
4,78% (ofwel 5%)
Buiten het gebied van 29,76 t/m 32,24 zit 3,88% (ofwel 4%)
Onder de 30 gram zit 4,78% (ofwel 5%)
31,3958 gram, ofwel 31,4 gram
a)
b)
c)
a)
b)
c)
d)
!
Opgave 36
a) 66,87% (ofwel 67%)
b) 84,13% (ofwel 84%)
c) Meerdere mogelijkheden, bijvoorbeeld " = 10,01 en $ = 0,008; dan wordt
99,37% goedgekeurd.
4.4
!
a)
b)
c)
Steekproef en populatie
Opgave 37
Ja
Niet helemaal
…
!
Opgave 38
M = m = 41,01 (cm); S = 2,407 (cm)
s = 2,395 en S = 2,407; dat verschilt niet zoveel; het is een grote steekproef
en delen door 200 of delen door 199 maakt voor het antwoord niet zoveel uit
c) 11% (of 10,71%)
d) M = m = 38,58 (cm); S = 2,145 (cm)
e) 84% (of 84,36%)
a)
b)
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
8
4 Normale verdeling
Antwoorden
Opgave 39
Nee: bij de berekening van s en S wordt gedeeld door 5001 respectievelijk 5000;
omdat dit zulke grote getallen zijn, geeft dat een verwaarloosbaar verschil in de
uitkomst.
!
Opgave 40
m = M = 4,55 (mm); S = 0,392 (mm)
s = 0,390 en S = 0,392; het verschil is erg klein
12,6% (of 13%)
4,0 mm (of 4,0476 mm)
!
Opgave 41
m = M = 1005,03 (gram); S = 2,397 (gram)
1,79% (ofwel 1,8%)
1005,6 gram
2,1622 (gram)
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
4.5
Schatten van proporties
!
Opgave 42
a)
p̂ = 348/1200 = 0,29 dus p̂ = 29%
b) Een mogelijk resultaat van VU-Statistiek zie je hieronder:
c)
d)
e)
Tussen 0,29 – 2·0,013 = 0,264 en 0,29 + 2·0,013 = 0,316
[0,264; 0,316] (of 29% ± 2,6%)
Met een zekerheid van 95% is het percentage vrouwen dat rookt gelijk aan
29% ± 2,6%
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
9
4 Normale verdeling
Antwoorden
!
Opgave 43
a) Zie hieronder
b)
c)
d)
e)
f)
!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Zie hierboven: de getekende normale kromme ligt netjes over het
histogram
Bij betrouwbaarheid van (ongeveer) 95% is de foutenmarge 5,99%; denk
aan de vuistregels: dit is dus 2 keer de sd; ofwel sd ! 3,0% ofwel 0,030
0,25 ! 0,75
" 0,0306 ; klopt
200
Zie hiernaast
[0,1997; 0,3003]
ofwel [0,20; 0,30]
!=
Opgave 44
p̂ = 136/1500 ! 0,09;
m! 0,0907 ! 0,091
! ! 0,0074
Zie hiernaast
0,0785 en 0,1029
0,0741 en 0,1073
Met een zekerheid van 97,5% is
tussen 7,4% en 10,7% van de
Nederlanders linkshandig
!
Opgave 45
82%
! ! 0,0543; 95% betrouwbaarheidsinterval [0,7136; 0,9264];
de foutenmarge is (0,9264 – 0,7136)/2 = 0,1064 dus 10,6% (ofwel 11%)
c) Met 95% zekerheid geldt dat van dat type laptop 82% ± 11% acht uur kan
werken op de batterij.
Of: met 95% zekerheid ligt het percentage van dat type laptop dat 8 uur
kan werken op de batterij tussen 71% en 93%.
d) 90% betrouwbaarheidsinterval [0,7307; 0,9093];
de foutenmarge is (0,9093-0,7307)/2 = 0,0893 dus 8,9% (ofwel 9%)
Met 90% zekerheid geldt dat van dat type laptop 82% ± 9% acht uur kan
a)
b)
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
10
4 Normale verdeling
Antwoorden
e)
werken op de batterij.
Of: Met 90% zekerheid ligt het percentage van dat type laptop dat 8 uur
kan werken op de batterij tussen 73% en 91%.
p̂ = 0,812; ! ! 0,0175; 90% betrouwbaarheidsinterval [0,7832; 0,8408];
de foutenmarge is (0,8408 – 0,7832)/2 = 0,0288 dus 2,9% (ofwel 3%)
Met 90% zekerheid geldt dat van dat type laptop 82% ± 3% acht uur kan
werken op de batterij.
Of: Met 90% zekerheid ligt het percentage van dat type laptop dat 8 uur
kan werken op de batterij tussen 78% en 84%.
!
Opgave 46
a) Met VU-Statistiek controleren geeft [0,5392; 0,6008] ! [0,54; 0,60] klopt
b) Foutenmarge = (0,6008 – 0,5392)/2 = 0,0308 dus 3%; klopt
!
Opgave 47
a)
p̂ ! 0,85375 (of: 0,85)
b) $ ! 0,0125
c) Foutenmarge = (0,8743 – 0,8332)/2 = 0,0206;
Met 90% zekerheid is de slagingskans in dat jaar voor het rijexamen gelijk
aan 85% ± 2% (of: 85,4% ± 2,1%)
!
Opgave 48
a)
p̂ = 0,61; $ ! 0,0109; foutenmarge = (0,6314 – 0,5886)/2 = 0,0214; 2%
b)
Oktober 2006: p̂ = 0,55; $ ! 0,0112; foutenmarge = (0,5720 – 0,5280)/2
= 0,022 of 2%; dus met 95% zekerheid tussen 53% en 57%;
In maart/april 2007 zit het met 95% zekerheid tussen 59% en 63%;
De intervallen overlappen elkaar niet, dus met 95% zekerheid is het aantal
voorstanders gestegen.
Argument tegen: je hebt slechts een zekerheid van 95%, dus nog altijd 5%
kans dat het niet geldt.
!
Opgave 49
Eerste meting: p̂ = 30/150 = 0,20; $ ! 0,0089; foutenmarge = (0,2147 –
0,1853)/2 = 0,0147 ofwel 1,5%; 1,5% van 150 zetels is 2 zetels.
De foutenmarge is 2 zetels. Ook bij de 2e meting is de foutenmarge 2 zetels.
Geen reden tot vrolijkheid, want het kan zelfs zo zijn dat hun zetelaantal is
gedaald! Want die 31 zetels kan net zo goed 29 zetels zijn.
!
a)
Opgave 50
p̂ = 0,49; $ ! 0,0257; met VU-Statistiek ‘Kans midden’ zo proberen te
maken dat linker- en rechtergrens (ongeveer) 0,47 en 0,51 zijn:
Dus de betrouwbaarheid is 56%
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
11
4 Normale verdeling
Antwoorden
b)
Met VU-Statistiek eerst $ zoeken:
Dit geeft dus $ = 0,0051; Op te lossen:
0,38 ! 0, 62
0, 2356
0, 2356
= 0, 0051 "
= 0, 00002601 " n =
= 9058
n
n
0, 00002601
Opgave 51 Samenvatten
Zelf doen!
!
a)
b)
Opgave 52
" = 6,43 en $ = 0,951
Bepalen met VU-Statistiek: precies 95 stuks zitten tussen 4,528 en 8,332;
dus 95%
!
Opgave 53
a) 9,5%
b) Vanaf 290 dagen
c) 0,3%
!
Opgave 54
a) $ = 60,8 gram
b) 4,8%
c) 1006,9 gram (ofwel 1007 gram)
!
Opgave 55
Dan moet de 2e sok zitten tussen 45,8 en 47,2 cm: 15,9% (ofwel 16%)
Nee, want de eerste sok wijkt nu verder van het gemiddelde van 47 cm af,
dus de omliggende kansen ook
c) Dan moet de 2e sok zitten tussen 48,8 en 50,2 cm: 0%
a)
b)
!
Opgave 56 Lengte van vrouwen
a) 81,4%
b) 5,9668 cm ofwel 6,0 cm
c) Confectiekleding in 1995: tussen 159,5 en 180,5 cm
Dus de vrouwen met lengte 154 tot 159,5 cm hebben nu wel problemen.
Opgave 57
a) M = " = 6,43 en S ! 0,956
b) 1,5%
c) 83,5%
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
12
4 Normale verdeling
Antwoorden
Opgave 58
p̂ ! 0,1194 (of 0,12); $ ! 0,0178; foutenmarge = (0,1487 – 0,0901)/2 =
0,0293 ! 2,9% ofwel 3%
Met 90% zekerheid spijbelt tussen de 9% en 15% van deze jongeren regelmatig.
Of anders gezegd: het percentage spijbelaars in deze leeftijdscategorie is met
90% zekerheid gelijk aan 12% ± 3%.
Opgave 59 Tennisballen
a) Instellen met VU-Statistiek:
b)
c)
Dit geeft 95,92% ofwel 96%; klopt
3,19 cm, ofwel 3,2 cm
0,96 · 0,94 ! 0,90 dus 90%
CTWO – havo wiskunde A – Statistiek en kansrekening 4 – Normale verdeling
13