Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09
College:
L. Habets
HG 8.09, Tel. 4230, Email: [email protected]
Instructie:
H.A. Wilbrink
HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: [email protected]
http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2WF09
1
Lineaire combinaties
Pn
Als x = i=1 αi xi voor zekere vectoren x1 , . . . , xn ∈ V en scalairen
α1 , . . . , αn ∈ F, dan heet x een lineaire combinatie van
{x1 , . . . , xn }. De verzameling van alle lineaire combinaties geven we
aan met:
hx1 , . . . , xn i
en heet het lineair opspansel van {x1 , . . . , xn }.
2
Het opspansel van een verzameling
Zij A een niet-lege deelverzameling van vectoren in V. Het lineaire
opspansel van A, notatie hAi, is de verzameling van alle vectoren in
V, die uitgedrukt kunnen worden als een eindige lineaire combinatie
van vectoren in A. Eigenschappen:
• hAi is een lineaire deelruimte van V,
• A ⊂ hAi,
• hAi is de kleinste lineaire deelruimte van V, die A omvat.
M.a.w. als M een lineaire deelruimte van V is, en A ⊂ M , dan
ook hAi ⊂ M .
3
Stelling:
Zij T : V −→ W een lineaire afbeelding en A ⊂ V. Dan geldt
hT (A)i = T (hAi).
Gevolg:
Als T : V −→ W een surjectieve lineaire afbeelding is, en A een
deelverzameling van V, die V opspant, dan spant T (A) de
vectorruimte W op.
4
Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid
• Een eindige lijst x1 , . . . , xn van vectoren in V heet lineair
afhankelijk als er scalairen α1 , . . . , αn ∈ F bestaan zodat:
∃i αi 6= 0 èn
n
X
α i xi = 0
i=1
Pn
• Als uit i=1 αi xi = 0 voor zekere scalairen α1 , . . . , αn ∈ F
volgt αi = 0 voor alle i dan heet de eindige collectie
{x1 , . . . , xn } lineair onafhankelijk.
Voorbeelden:
(1) {1, t, t2 } ⊂ P is onafhankelijk
(2) {sin(t), cos(t)} ⊂ C[0, π] is onafhankelijk
s+1 s−3
(3) { s−1
, s+5 } onafhankelijk over R en afhankelijk over R(s).
5
Opmerking:
Als de verzameling X in V oneindig is dan heet X onafhankelijk als
iedere eindige deelcollectie van X lineair onafhankelijk is.
Voorbeeld: {et , 1, t, t2 , . . .}
6
Stelling: Zij V een vectorruimte over F, en zij x1 , . . . , xn een
eindige lijst van vectoren in V. Definieer de lineaire afbeelding
T : F n −→ V door T (a1 , . . . , an ) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn . Dan
geldt
1. x1 , . . . , xn zijn lineair onafhankelijk dan en slechts dan als T
injectief is.
2. x1 , . . . , xn spannen V op dan en slechts dan als T surjectief is.
7
Stelling: Zij V een vectorruimte en x1 , . . . , xn een eindige lijst
vectoren in V (met n ≥ 2). Dan geldt
x1 , . . . , xn zijn lineair afhankelijk,
⇐⇒
er is een k zó dat xk is een lineaire combinatie van
de xi met i 6= k,
⇐⇒
x1 = 0 of er bestaat k > 1 zó dat xk een lineaire
combinatie is van x1 , . . . , xk−1 .
8
Stelling: Zij V een vectorruimte en x1 , . . . , xn een eindige lijst
vectoren in V (met n ≥ 2). Dan geldt
x1 , . . . , xn zijn lineair onafhankelijk,
⇐⇒
er is geen k zó dat xk is een lineaire combinatie van
de xi met i 6= k,
⇐⇒
x1 6= 0 en er bestaat geen k > 1 zó dat xk een lineaire
combinatie is van x1 , . . . , xk−1 .
9
Stelling: Zij V een vectorruimte, en x1 , . . . , xn een eindige lijst
vectoren in V. Zij 1 ≤ r < n, M = hxr+1 , . . . , xn i en Π : V −→ V/M
de quotiëntafbeelding. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:
(i) x1 , . . . , xn zijn lineair onafhankelijk,
(ii) Πx1 , . . . , Πxr zijn lineair onafhankelijk in V, en xr+1 , . . . , xn
zijn lineair onafhankelijk in V/M .
Tevens zijn de volgende uitspraken equivalent:
(iii) x1 , . . . , xn spannen V op,
(iv) Πx1 , . . . , Πxr spannen V/M op
10
Basis
Een basis in een vectorruimte V is een verzameling X van lineair
onafhankelijke vectoren zodat elke vector in V een lineaire
combinatie van elementen van X is.
Een vectorruimte V heet eindigdimensionaal als hij een eindige
basis heeft.
Opmerking:
• In iedere vectorruimte bestaat een basis (keuzeaxioma)
• V eindigdimensionale vectorruimte met basis X = {x1 , . . . , xn }.
Dan kan iedere x ∈ V op precies één manier geschreven worden
als:
n
X
ξ i xi
x=
i=1
11
Stelling:
Zij V een eindigdimensionale vectorruimte. Dan bevat elke basis
hetzelfde aantal elementen.
Definitie:
De dimensie van een eindigdimensionale vectorruimte V is gelijk
aan het aantal elementen in een basis van V.
12
Lemma: Zij X = {x1 , . . . , xn } en Y = {y1 , . . . , ym }
deelverzamelingen van V zodat
• V = hX i
• Y lineair onafhankelijk
dan geldt n ≥ m.
13
Gevolg:
Elke verzameling van n + 1 vectoren in een n-dimensionale
vectorruimte is lineair afhankelijk.
Een verzameling van n vectoren in een n-dimensionale vectorruimte
V is een basis d.e.s.d. als de verzameling lineair onafhankelijk is.
14
Stelling: Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en zij
{y1 , . . . , ym } onafhankelijk. Als
hy1 , . . . , ym i 6= V
dan bestaan er ym+1 , . . . , ym+p zodat:
{y1 , . . . , ym } ∪ {ym+1 , . . . , ym+p }
een basis is.
Gevolg: Zij M een lineaire deelruimte van een eindigdimensionale
vectorruimte V. Dan geldt:
M = V ⇐⇒ dimM = dimV.
15
Stelling: Zij V een vectorruimte, en M een lineaire deelruimte van
V. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:
(i) V is eindig-dimensionaal,
(ii) M en V/M zijn beide eindig dimensionaal.
Als aan de eigenschappen is voldaan, dan geldt bovendien
dim(V/M ) = dim V − dim M.
16
Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte, en T : V −→ W een
lineaire afbeelding. Definieer
(i) Rang van T : ρ(T ) = dim(im(T )),
(ii) Nulliteit van T : ν(T ) = dim(ker(T )).
Dan geldt:
ρ(T ) + ν(T ) = dim V.
Stelling: Als V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn over
hetzelfde lichaam F, dan
dim(V × W) = dim V + dim W.
17
Gevolg: Als V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn, en
T : V −→ W een lineaire afbeelding, dan geldt:
(i) Als T injectief, dan dim V ≤ dim W,
(ii) Als T surjectief, dan dim V ≥ dim W,
(iii) Als T bijectief, dan dim V = dim W.
Als dim V = dim W, dan geldt bovendien
T injectief ⇐⇒ T surjectief ⇐⇒ T bijectief.
18
Gevolg: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten van gelijke
dimensie. Laat T : V −→ W en S : W −→ V lineaire afbeeldingen.
Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:
(i) ST = IV ,
(ii) T S = IW ,
(iii) T is bijectief en T −1 = S.
19