Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels
Les 1:
Wegendiagrammen, bomen en
geordende grepen
(deze les sluit aan bij de paragrafen 1 en 2 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en
Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?S=y456v-d)
Wegendiagrammen
Op hoeveel manieren kun je van A via B en C naar D komen?
Wegendiagrammen
3
4
3  4  3 = 36
3
Wegendiagrammen
Vermenigvuldigprincipe:
Het aantal routes van A via B naar C vind je door het aantal
wegen van A naar B te vermenigvuldigen met het aantal
wegen van B naar C.
Boomdiagrammen
Russische federatie
Nederland
Hoeveel vlaggen kun je maken met één baan rood,
één baan wit en één baan blauw?
Boomdiagrammen
Boven
Midden
Onder
Boomdiagrammen
Een 3-2-1 boom
(let op het aantal takken per splitsing)
Boomdiagrammen
Een 3-2-1 boom
Aantal mogelijkheden: 3 x 2 x 1 = 6
Nog eens vlaggen
Een vlag, 3 banen, 4 kleuren
• Je mag elke kleur één keer gebruiken:
Aantal mogelijkheden = 4 x 3 x 2 = 24.
• Je mag elke kleur opnieuw gebruiken:
Aantal mogelijkheden = 4 x 4 x 4 = 64.
Faculteiten en Permutaties
Op hoeveel manieren kun je van de letters t,u,r,f een
(betekenisloos) woord maken?
Faculteiten en Permutaties
Op hoeveel manieren kun je van de letters t,u,r,f een
(betekenisloos) woord maken?
Uitwerking:
Voor de eerste letter heb je 4 mogelijkheden, voor de tweede 3,
voor de derde 2, voor de laatste 1 mogelijkheid.
Totaal: 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
Faculteiten en Permutaties
Op hoeveel manieren kun je van de letters t,u,r,f een
(betekenisloos) woord maken?
Uitwerking:
Voor de eerste letter heb je 4 mogelijkheden, voor de tweede 3,
voor de derde 2, voor de laatste 1 mogelijkheid.
Totaal: 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
Notatie: 4 x 3 x 2 x 1 = 4!
Spreek uit: “4 faculteit”.
Faculteiten en Permutaties
Op hoeveel manieren kun je van de letters t,u,r,f een
(betekenisloos) woord maken?
4! is het aantal verwisselingen (permutaties) waarmee je
de vier letters op volgorde kunt zetten.
Op je rekenmachine zit een aparte optie !
Faculteiten en Permutaties
Algemeen:
𝑛! = 𝑛 × 𝑛 − 1 × 𝑛 − 2 × ⋯ × 2 × 1
Afspraak:
0! = 1
Geordende grepen
Voorbeeld (opgave 1 van paragraaf 2)
In een bak zitten zeven ballen met daarop de getallen 1,2,3,4,5,6,7.
Je kiest er drie en legt ze in volgorde op een rij.
De greep is geordend want de volgorde doet ertoe:
(1,2,3) is een ander rijtje dan (3,2,1).
Geordende grepen
Voorbeeld (opgave 1 van paragraaf 2)
In een bak zitten zeven ballen met daarop de getallen 1,2,3,4,5,6,7.
Je kiest er drie.
Manier 1: Je pakt telkens een bal en legt niet terug.
Geordende grepen
Voorbeeld (opgave 1 van paragraaf 2)
In een bak zitten zeven ballen met daarop de getallen 1,2,3,4,5,6,7.
Je kiest er drie.
Manier 1: Je pakt telkens een bal en legt niet terug.
Voor de eerste bal heb je 7 mogelijkheden.
Voor de tweede bal heb je 6 mogelijkheden.
Voor de derde bal heb je 5 mogelijkheden.
Totaal: 7 x 6 x 5 = 210 mogelijkheden
(Een 7-6-5 boom)
Geordende grepen
Voorbeeld (opgave 1 van paragraaf 2)
In een bak zitten zeven ballen met daarop de getallen 1,2,3,4,5,6,7.
Je kiest er drie.
Manier 2: Je pakt telkens een bal en legt wel terug.
Geordende grepen
Voorbeeld (opgave 1 van paragraaf 2)
In een bak zitten zeven ballen met daarop de getallen 1,2,3,4,5,6,7.
Je kiest er drie.
Manier 2: Je pakt telkens een bal en legt wel terug.
Voor de eerste bal heb je 7 mogelijkheden.
Voor de tweede bal heb je 7 mogelijkheden.
Voor de derde bal heb je 7 mogelijkheden.
Totaal: 7 x 7 x 7 = 73 = 343 mogelijkheden.
Geordende grepen
Trekken zonder terugleggen
 Geordende grepen zonder herhaling
 Rekenen met faculteiten
Trekken met terugleggen
 Geordende grepen met herhaling
 Rekenen met machten
Geordende grepen
Trekken zonder terugleggen
 Geordende grepen zonder herhaling
 Rekenen met faculteiten
Voorbeeld
Alfabet met 26 letters.
Hoeveel woorden van 4 letters kun je maken met
elke letter verschillend?
Geordende grepen
Voorbeeld
Alfabet met 26 letters.
Hoeveel woorden van 4 letters kun je maken met
elke letter verschillend?
Trekken zonder terugleggen
 Geordende grepen zonder herhaling
 Rekenen met faculteiten
26 x 25 x 24 x 23 = 358 800.
Geordende grepen
Voorbeeld
Alfabet met 26 letters.
Hoeveel woorden van 4 letters kun je maken met
elke letter verschillend?
Trekken zonder terugleggen
 Geordende grepen zonder herhaling
 Rekenen met faculteiten
26 x 25 x 24 x 23 =
26×25×24×23×⋯×2×1
22×21×⋯×2×1
26!
= 22! =
26!
.
26−4 !
Geordende grepen
Trekken zonder terugleggen
 Geordende grepen zonder herhaling
 Rekenen met faculteiten
Algemeen
Het aantal permutaties van k objecten uit een verzameling
van n objecten kun je schrijven als:
• nPrk (zie je rekenmachine bij MATH en PRB)
•
𝑛!
𝑛−𝑘 !
• 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 … (𝑛 − 𝑘 − 2 ) ∙ (𝑛 − 𝑘 − 1 )
Geordende grepen
Voorbeeld
Alfabet met 26 letters.
Hoeveel woorden van 4 letters kun je maken?
Trekken met terugleggen
 Geordende grepen met herhaling
 Rekenen met machten
Geordende grepen
Trekken met terugleggen
 Geordende grepen met herhaling
 Rekenen met machten
Voorbeeld
Alfabet met 26 letters.
Hoeveel woorden van 4 letters kun je maken?
26 x 26 x 26 x 26 = 264 = 456 976
Oefenen
Maak de opgaven van paragraaf 1 en 2 en in ieder geval:
• Opgaven 6, 7, 10, 11 en 12 van paragraaf 1
• Opgaven 6, 7, 8, 9 en 12 van paragraaf 2
Huiswerk
Inleveren:
• Opgave 13 van paragraaf 1
• Opgaven 10 en 11 van paragraaf 2