Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Trainingsweek juni 2008
Inleiding
Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als
ordm (a) = min n ∈ Z+ an ≡ 1 (mod m) .
De verzameling
Zm =
a ∈ Z 0 < a < m ∧ ggd(a, m) = 1
bestaat uit φ(m) elementen, waarbij we voor m = pe11 pe22 · · · pekk weten dat
φ(m) = (1 −
1
)(1
p1
−
1
) · · · (1
p2
= (p1 − 1)(p2 −
1
)m
pk
1) · · · (pk − 1)pe11 −1 pe22 −1
−
· · · pkek −1 .
Stelling Voor a en m met ggd(a, m) = 1 geldt:
∀n ∈ Z : an ≡ 1 (mod m) ⇐⇒ ordm (a) | n;
∀n0 , n1 ∈ Z : an0 ≡ an1 (mod m) ⇐⇒ ordm (a) | (n0 − n1 ).
In het bijzonder, omdat aφ(m) ≡ 1 (mod m), geldt dus ook
ordm (a) | φ(m).
Een element g ∈ Zm met ordm (g) = φ(m) heet een primitieve wortel modulo m. Niet voor
elke m is er zo’n primitieve wortel g. Als er wel een is, dan zijn er meteen ook een paar;
zie opgave 7.
Bovenstaande stelling laat zich direct herformuleren voor primitieve wortels; zie opgave 1.
Opgave 1 Zij g een primitieve wortel modulo m. Bewijs:
∀n ∈ Z : g n ≡ 1 (mod m) ⇐⇒ φ(m) | n;
∀n0 , n1 ∈ Z : g n0 ≡ g n1 (mod m) ⇐⇒ φ(m) | (n0 − n1 ).
1
Opgave 2 Zij g een primitieve wortel modulo m. Bewijs dat de machten 1, g, g 2 , . . . , g φ(m)−1
modulo m precies gelijk zijn aan de elementen van Zm .
Omgekeerd geldt dat als voor zekere g ∈ Zm de machten g i (i = 0, 1, 2, . . . , φ(m) − 1)
modulo m precies alle elementen van Zm zijn, g orde φ(m) heeft en dus een primitieve
wortel is.
Gegeven een primitieve wortel g modulo m, dan is elk element a ∈ Zm dus modulo m van
de vorm g i voor zekere unieke i met 0 ≤ i ≤ φ(m) − 1 (opgave 2). De algemene i waarvoor
g i ≡ a (mod m), zijn bepaald op veelvouden van φ(m) na (opgave 1). We noemen deze
bij a behorende i de index van a ten opzichte van basis g, notatie indg (a); dat is in feite
een restklasse modulo φ(m). Deze gedraagt zich net als de logaritme.
Opgave 3 Zij g een primitieve wortel modulo m. Bewijs:
• indg (1) ≡ 0 (mod φ(m)) en indg (g) ≡ 1 (mod φ(m))
• a ≡ b (mod m) ⇔ indg (a) ≡ indg (b) (mod φ(m))
• indg (ab) ≡ indg (a) + indg (b) (mod φ(m))
• indg (ak ) ≡ k indg (a) (mod φ(m))
Opgave 4 Zij m > 2. Bewijs dat φ(m) even is.
Opgave 5
(a) Stel dat er een primitieve wortel modulo m is, m > 2. Bewijs dat de congruentie
x2 ≡ 1 (mod m) precies twee oplossingen modulo m heeft.
(b) Zij g een primitieve wortel modulo m, m > 2. Bewijs dat g φ(m)/2 ≡ −1 (mod m).
(c) Geef een tegenvoorbeeld voor (a) in een geval dat er geen primitieve wortel modulo m
is.
2
Opgave 6 (Generalisatie van opgave 5(a))
Zij g een primitieve wortel modulo m en n een positief geheel getal. Bepaal het aantal
oplossingen van de congruentie
xn ≡ 1 (mod m)
modulo m.
Opgave 7 Stel dat er een primitieve wortel modulo m is. Bewijs dat er dan precies
φ(φ(m)) primitieve wortels modulo m zijn.
Opgave 8 (Bonusopgave)
Zij g een primitieve wortel modulo m. Stel dat g voldoet aan g 2 ≡ g + 1 (mod m). Bewijs
dat g − 1 ook een primitieve wortel is.
Opgave 9 (Bonusopgave)
Zij p een priemgetal van de vorm 4k + 3 en zij g een primitieve wortel modulo p. Stel dat
g voldoet aan g 2 ≡ g + 1 (mod p).
(a) Bewijs dat (g − 1)2k+3 ≡ (g − 2) (mod p).
(b) Bewijs dat g − 2 ook een primitieve wortel modulo p is.
Soms zijn er geen primitieve wortels
Het is niet moeilijk in te zien dat er modulo 2 en ook modulo 4 een primitieve wortel is
(namelijk het element 1 respectievelijk het element 3). We gaan nu bewijzen dat dit voor
hogere tweemachten niet meer geldt: voor k ≥ 3 is er modulo 2k geen primitieve wortel.
Opgave 10 Laat gegeven zijn een positief geheel getal n en een oneven positief geheel getal
n
a. Bewijs dat a2 ≡ 1 (mod 2n+2 ).
3
Opgave 11 Bewijs voor alle positieve gehele n dat er geen primitieve wortel modulo 2n+2
is.
Ook voor een bepaalde klasse van samengestelde m laten we zien dat er modulo al zulke
m geen primitieve wortel is (opgave 12). We kijken daarbij naar alle m die we kunnen
schrijven als m1 m2 met m1 > 2, m2 > 2 en m1 en m2 relatief priem.
Opgave 12 Stel dat we m kunnen schrijven als m1 m2 met m1 > 2 en m2 > 2 relatief
priem.
(a) Bewijs dat
aφ(m)/2 ≡ 1 (mod m)
voor alle a relatief priem met m.
(b) Concludeer dat er geen primitieve wortel modulo m is.
Welke m zijn er nu nog over? (Zie opgave 13.) Het blijkt dat voor deze waarden van
m er juist wel een primitieve wortel modulo m is. In het volgende hoofdstukje zullen we
dit bewijzen voor m een driemacht. Het bewijs voor algemene m laten we achterwege.
Toepassingen vind je in het laatste hoofdstukje.
Opgave 13 Bepaal alle m > 1 zodanig dat m geen tweemacht is en we bovendien m niet
kunnen schrijven als m1 m2 met m1 > 2 en m2 > 2 relatief priem. (Geef het antwoord in
termen van de priemontbinding van m.)
De primitieve wortel 2 modulo 3n
Door de rij 1, 2, 4, 8, 16, . . . modulo 3n te lezen (of te wel: bereken steeds ak+1 = 2ak modulo
3n ) krijgen we de volgende tabel. Het lijkt erop of 2 een primitieve wortel is modulo elke
3n .
Z3
Z9
Z27
1
20
1
20
1
20
2
21
2
21
2
21
4
22
4
22
5
25
5
25
7
24
7
216
8
23
8
23
10 11
26 213
13 14
28 217
4
16 17
24 215
19
212
20 22
27 214
23
211
25
210
26
29
Opgave 14 Bewijs voor alle positieve gehele n dat 22·3
n−1
≡ 1 + 3n (mod 3n+1 ).
Opgave 15 Bewijs voor alle positieve gehele n dat 2 een primitieve wortel modulo 3n is.
Opgave 16 Zij n ≥ 2 en zij m = 3n . Bepaal alle oplossingen modulo m van de congruentie
(a) x6 ≡ 1 (mod m);
(b) x7 ≡ 1 (mod m);
(c) x8 ≡ 1 (mod m).
Opgave 17 Bewijs voor k, n positieve gehele getallen: als 2n ≡ −1 (mod 3k ) dan 3k−1 | n.
Opgave 18 Zij n een positief geheel getal. Bewijs dat 23
n−1
≡ −1 (mod 3n ).
Opgave 19 (IMO 1990-3) Bepaal alle positieve gehele getallen n zodat
2n + 1
n2
geheel is.
Primitieve wortels modulo 2, 4, pn en 2pn
De volgende stelling mag je zonder bewijs gebruiken.
5
Stelling van de primitieve wortels
Er is een primitieve wortel modulo m (m > 1) dan en slechts dan als:
• m=2
of
• m=4
of
• m = pn (p oneven priem; n positief geheel)
of
• m = 2pn (p oneven priem; n positief geheel).
Volgens Sato voorbeeld 4.9 heeft de congruentie x2 ≡ 1 (mod m) een aantal oplossingen
dat afhankelijk is van de priemfactorisatie van m = 2e pe11 pe22 · · · pekk .
e aantal oplossingen
0
2k
1
2k
2
2k+1
≥3
2k+2
De congruentie heeft dus ≤ 2 oplossingen als (e = 0 of e = 1) en (k = 0 of k = 1), of als
e = 2 en k = 0. Dat is als m = 1, m = 2 (1 oplossing), m = pe11 , m = 2pe11 of m = 4
(2 oplossingen). Merk op dat dit precies de hierboven genoemde gevallen zijn (op m = 1
na). We concluderen dat er een primitieve wortel modulo m is (m > 1) dan en slechts dan
als de congruentie x2 ≡ 1 (mod m) alleen de oplossingen x ≡ ±1 (mod m) heeft (deze
vallen voor m = 2 samen). Voor m > 2 hebben we de ene kant (⇒) van deze equivalentie
daadwerkelijk bewezen in opgave 5.
Opgave 20 Zij p > 3 een priemgetal. Bewijs dat het product van de primitieve wortels
van p (tussen 1 en p − 1) congruent is aan 1 modulo p.
Opgave 21 Zij p een oneven priemgetal. Bewijs dat
1k + 2k + · · · + (p − 1)k ≡ 0
(mod p)
voor alle k met 1 ≤ k ≤ p − 2.
Opgave 22 Zij p een oneven priemgetal. Bewijs dat de congruentie x4 ≡ −1 (mod p) een
oplossing heeft precies dan als p ≡ 1 (mod 8).
6