Algoritmen in de klassenlichamentheorie

EINDVERSLAG van een project met de titel:
Algoritmen in de klassenlichamentheorie
docent:
drs. J. Bouw
Watermunt 4
2959 GB Streefkerk
email: [email protected]
universitair contactpersoon:
Prof.dr. P. Stevenhagen
Mathematisch instituut
Universiteit Leiden
Postbus 9512
2300 RA Leiden
email: [email protected]
contactpersoon school:
drs. L. H. Kroos
Chr. Scholengemeenschap “De Lage Waard”
3352 VH Papendrecht
Onderzoeksgroep:
Prof.dr.H.W.Lenstra, Jr.
Prof.dr. P. Stevenhagen
Mathematisch Instituut
Universiteit Leiden
1.
Inleiding
Of een getal a al dan niet een kwadraat is, is een niet zonder meer te beantwoorden vraag.
Het hangt immers af van de gekozen verzameling waarbinnen je een getal x zoekt met de
eigenschap dat x 2 = a .
Zo is bijvoorbeeld het getal 3 geen kwadraat binnen de verzameling van de rationale getallen - er is immers geen breuk waarvan het kwadraat gelijk is aan drie – maar 3 is wel een
kwadraat als de “speelruimte” wordt uitgebreid tot de verzameling van de reële getallen.
Wanneer a en b twee gehele getallen zijn en m is een geheel getal ongelijk aan nul,
dan noemt men a congruent met b modulo m als b − a deelbaar is door m.
(Notatie: a ≡ b(mod m) ). Alle gehele getallen die dezelfde rest geven bij deling door m
vormen samen een zogenoemde restklasse module m.
Zo zijn er bij het rekenen modulo 5 een vijftal restklassen , waaronder bijvoorbeeld de
restklasse 4 , de verzameling van alle gehele getallen die rest 4 geven bij deling door 5.
Een geheel getal a wordt een kwadraatrest modulo m genoemd, als er een geheel getal x
bestaat met de eigenschap dat x 2 ≡ a (mod m) .
Het getal 2 is bijvoorbeeld een kwadraatrest modulo 7, want 32 ≡ 2(mod 7) . Het getal 3 is
geen kwadraatrest modulo 7, omdat de congruentie x 2 ≡ 3(mod 7) geen oplossing heeft.
Men definieert een kwadratisch machtrestsymbool
a
p
met p een oneven priemgetal door het
2
symbool de waarde 1 te geven als a een kwadraatrest modulo p is, terwijl de waarde van het
symbool -1 is als a geen kwadraatrest modulo p is.
Bijvoorbeeld geldt er dat
2
7
= 1 , terwijl
2
3
7
= −1 .
2
Deze symbolen (ook wel Legendre symbolen genoemd) gehoorzamen aan allerlei
eigenschappen, waarvan toch wel de opmerkelijkste de zogenoemde kwadratische
reciprociteitswet is die voor het eerst door Euler werd genoemd en voor het eerst door Gauss
volledig werd bewezen en die het verband beschrijft tussen de kwadratische
machtrestsymbolen
p
q
en het “omgekeerde” symbool
2
q
p
2
Er geldt de volgende
STELLING: Als p en q verschillende, oneven priemgetallen zijn, dan
p −1 q −1
⋅
p
q
geldt:
= (−1) 2 2 ⋅
q 2
p 2
Deze stelling kan nuttig zijn als je kwadratische machtrestsymbolen wilt berekenen.
Zo is bijvoorbeeld:
17
103
= (−1)408 ⋅
2
103
17
=
2
1
17
= 1 zodat 17 een kwadraatrest modulo 103 is en inderdaad
2
geldt 292 ≡ 17(mod103) .
Men kan de theorie van de kwadratische symbolen uitbreiden tot hogere machtsrestsymbolen.
De uitkomst van een dergelijk m-de machtsrestsymbool is gelijk aan een complexe m-de
eenheidswortel, dus een oplossing van de vergelijking z m = 1 .
Ook dan zijn er reciprociteitsstellingen zoals de kubische ( m = 3) en de bikwadratische
reciprociteitsstelling( m = 4) .
Er is een relatie tussen de machtsrestsymbolen en normrestsymbolen: bijvoorbeeld is
p −1 q −1
⋅
in de zojuist geformuleerde kwadratrische reciprociteitswet de uitdrukking (−1) 2 2 in feite
een normrestsymbool. Normrestsymbolen van de m-de orde zijn evenals machtsrestsymbolen
van de orde m complexe m-de eenheidswortels.
In mijn onderzoek is het de bedoeling een correct algoritme te beschrijven waarmee in
eindige, polynomiale tijd normrestsymbolen kunnen worden berekend.
2.
Het onderzoek naar normrestsymbolen
In de eerste fase van mijn onderzoek heb ik mij verdiept in de theorie van de machtsrest- en
normrestsymbolen. Dit heb ik gedaan door de “exercises” te maken die achterin het boek van
Cassels& Fröhlich over algebra sche getaltheorie staan om een beter begrip te krijgen van
beide soorten symbolen en hun onderling verband.
Het normrestsymbool wordt gedefinieerd met behulp van het isomorfisme waarmee volgens de reciprociteitsstelling van Artin (1927) de Galoisgroep Gal(L/K) van een abelse
lichaamsuitbreiding L/K van p-adische lichamen isomorf kan worden afgebeeld naar
K * / N L / K L* .
De inverse afbeelding voegt dan aan een element α van K * een element van Gal(L/K) toe,
zeg σα , en heeft als kern N L / K L* .
Wanneer L = K ( m β ) en K is een lokaal lichaam dat de m-de eenheidswortels bevat, dan is L/K
een Kummeruitbreiding. Het normrestsymbool wordt gedefinieerd door de volgende
σ (m β )
DEFINITIE (α, β)m = α
.
mβ
Voor de zogenaamde tamme normrestsymbolen (waarbij de priem p de vertakkingsindex van
L/K niet deelt) bestaan formules, waarmee ze kunnen worden berekend. Het interessante geval
is om het symbool te berekenen wanneer de priem de vertakkingsindex van L/K wel deelt, het
“wilde” geval.
Omdat ik mij vooralsnog beperk tot locale lichamen van de vorm p (ζ pn ) heb ik de
theorie van de locale lichamen bestudeerd, zoals die wordt beschreven in het boek
“Algebraic Number Theory”van Edwin Weiss.
Vervolgens heb ik mij verdiept in het artikel “On computations in Kummer extensions” van
Mario Daberkow (Journal of symbolic Computation (2001) 31, 113-131). In dit artikel wordt
een algoritme beschreven om continue Steinberg-symbolen te berekenen die weliswaar niet
gelijk zijn aan normrestsymbolen , maar er wel een nauwe verwantschap mee hebben.
Deze verwantschap wordt uiteengezet in de appendix over de Steinbergsymbolen in het boek
van J.Milnor over algebraische K-theorie.
Als F een lokaal lichaam is, wordt in de K-groep K 2 F een Steinberg symbool {α, β} pn
gedefinieerd, waarvan van het Hilbert normrestsymbool (α, β) p n een homomorf beeld is .
Een stelling over deze Steinbergsymbolen zegt verder dat als π een locale parameter is, elk
symbool van de vorm {π, u} , met u een 1-eenheid, te schrijven is als een macht van het
symbool {π, δ}mod( K 2 F )m , waarbij δ een zogenaamde “distinguished unit” is, dat wil zeggen
n
een element van de multiplicatieve 1-eenhedengroep U ( p ) dat zich daarin onderscheidt, dat de
p
uitbreiding F ( δ ) onvertakt is van graad p. De groep K 2 F /( K 2 F ) p is dan ook cyclisch van
n
n
orde p n met voortbrenger {π, δ}( K 2 F ) p .
In het genoemde artikel van Daberkow wordt uiteengezet hoe symbolen van het algemene
type {α, β} kunnen worden geschreven als {π, δ}a ( K 2 F ) p .Het artikel bevat enkele opvallende
lacunes en het algoritme om normresten te berekenen kan efficiënter worden gemaakt.
In de eerste plaats ontbreekt in het artikel de berekening waarmee het continue
Steinbergsymbool {α, β} p wordt omgezet in het overeenkomstige Hilbert normrestsymbool
n
n
(α, β) pn . Er is echter een manier om het normrestsymbool uit te rekenen door te bepalen welke
n
p n -de eenheidswortel gelijk is aan de voortbrenger {π, δ}( K 2 F ) p . Er is namelijk een stelling
met behulp waarvan een Hilbert normrestsymbool van de vorm (ζ p n , α) ,met ζ pn een p n -de
eenheidswortel, berekend kan worden. We kiezen α zo, dat N α ≡ 1(mod p n ) , maar waarvoor
niet geldt N α ≡ 1(mod p n +1 ) . Stel er geldt volgens de stelling: (ζ p n , α ) = ζ p n t . Wanneer het
overeenkomstige Steinbergsymbool {ζ p n , α} met de algoritme van Daberkow wordt berekend,
is het resultaat van de vorm {π, δ}a ( K 2 F ) p .
n
n
Omdat K 2 F (mod( K 2 F ) p ) geïdentificeerd kan worden met
naar 1, is er een isomorfe afbeelding ψ van
/ pn
n
/ p n door {π, δ}( K 2 F ) p te sturen
naar µ p n , die volledig bepaald is door
de gevonden relatie ψ ( a ) = ζ p n t . Deze isomorfie bepaalt de waarde van {π, δ}( K 2 F ) p en
n
daarmee de waarde van het Hilbert normrestsymbool.
Ik heb een aantal normrestsymbolen van de vorm (π, u ) (met u een eenheid) berekend en met
de eigenschap ( π, u1 ) ⋅ ( π, u2 ) = ( π, u1 ⋅ u2 ) het algoritme in enkele gevallen gecontroleerd.
In de tweede plaats is er een niet gering probleem met de berekening van symbolen
waarvan het eerste argument een geassocieerde is van de locale parameter en het tweede
argument een 1-eenheid, dus een symbool van de vorm {π ⋅ v, u} met v en u eenheden.
Deze symbolen zijn te herleiden tot een product van symbolen die onder andere van de vorm
{ u , δ} zijn, waarvan de berekening zeer gecompliceerd is. Het zou dan ook de efficiëntie van
het algoritme vergroten als er een “distinguished unit” δ was, waarvan een p n -de wortel een
onvertakte uitbreiding van graad p n voortbrengt en waarvoor {u , δ} p n = 1 voor alle 1-eenheden u. In de loop van het onderzoek is de volgende stelling geformuleerd en bewezen:
Bij elk lokaal lichaam F ⊃ p (ζ p n ) bestaat er een eenheid δ met de eigenschap dat de
pn
valuatiewaarde van δ − 1 gelijk is aan p n en waarvoor de uitbreiding F ( δ ) van graad p n is
en onvertakt, dus cyclisch. Voor deze δ geldt {u , δ} = 1 voor alle eenheden u, omdat de
eenheden door de inverse van de Artinafbeelding worden afgebeeld op de traagheidsgroep,
die bij een onvertakte uitbreiding triviaal is.
Bovendien is er, vanwege het feit dat de uitbreiding cyclisch is, een constructieve methode
om δ met behulp van Lagrange resolventen te berekenen.
Nadelig hierbij is dat er berekeningen moeten worden uitgevoerd in een uitbreidingslichaam
van het lichaam waarin de normrestsymbolen “leven”.
3. Wat moet er nog worden gedaan?
Ik ben bezig een Engelstalig artikel te schrijven over normrestsymbolen in Kummeruitbreidingen. Het artikel is voor een deel af en de publiceerbaarheid zou zeer toenemen als ik de
gelegenheid had om een stelling te formuleren met betrekking tot een algoritme waarmee in
normrestsymbolen in lokale lichamen van het type p (ζ p n ) kunnen worden berekend.
Daarbij zou het ook interessant zijn om de rekentijd van het hele procédé te geven uitgedrukt
in de parameters p en n en te bewijzen dat het algoritme inderdaad in eindig polynomiale tijd
het correcte antwoord retourneert.
In dit verband is van belang dat ik mij tot nu toe slechts enigszins heb kunnen verdiepen in de
theorie van de complexiteit van algoritmen, zoals bijvoorbeeld beschreven in het boek
“Modern Computer Algebra” van Von zur Gathen en Gerhard, maar nog niet zo grondig dat
ik die kennis kan toepassen op het algoritme om normresten te berekenen. Dit zou verdere
studie van dit onderwerp vereisen.
Vervolgens is er weliswaar een constructieve existentiestelling bewezen om een passende
“distinguished unit” δ te vinden, maar de daadwerkelijke berekening ervan leidt tot
ingewikkelde berekeningen buiten het eigenlijke lokale lichaam.
De vraag blijft interessant of en hoe we de δ , op een andere en minder gecompliceerde
manier kunnen berekenen, dan met behulp van Lagrange resolventen en wel het liefst door in
het lokale lichaam zelf te blijven, omdat dit intuïtief het meest voor de hand ligt en
vermoedelijk het meest efficient is.
Verder is het van belang om te onderzoeken of er ook algoritmen bestaan om het
normrestsymbool te berekenen in uitbreidingslichamen van p (ζ p n ) .
Wat mij intrigeert is verder de vraag of en in hoeverre men soortgelijke algoritmen kan
toepassen voor de berekening van normrestsymbolen in functielichamen.
Ook zou ik mij graag nog eens verdiepen in toepassingen in de cryptografie.
4.
Literatuur
1.
J.W.S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Numbertheory, Academic Press, London;
Thompson Book Co.,Inc., Washington DC, 1967.
M.Daberkow, On computations in Kummer extensions, Computational algebra and
number theory, Springer Graduate Texts in Mathematics 193, New York, 2000.
Joachim von zur Gathen & Jürgen Gerhard, Modern Computer Algebra (second
edition), Cambridge University Press, 2003.
Serge Lang, Algebra (Revised third edition), Springer Graduate Texts in Mathematics
211, New York, 2002.
Kenneth Ireland & Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number
Theory, Springer Graduate Texts in Mathematics 84.
Franz Lemmermayer, Reciprocity Laws, Springer Monographs in Mathematics
J.Milnor, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies, No. 72.
Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971
Richard A.Mollin, Algebraic Number Theory, Chapman&Hall/CRC, 1999
E. Weiss, Algebraic Number Theory, Dover Publications, Inc., Mineola, New York.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.