Slides College 6

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
College 6
26 september 2016
Challenge the future
1
Hoofdstuk 3.1 en 3.2
Matrix operaties
•
•
•
•
•
Optellen van matrices
Matrix vermenigvuldigen met een constante
Matrices vermenigvuldigen
Machten van matrices
Getransponeerde matrix
Challenge the future
2
Matrix notatie
Het element in de 𝑖-de rij en 𝑗-de kolom van 𝑚 × 𝑛 matrix 𝐴
wordt aangeduid met 𝑎𝑖𝑗 en heet het (𝑖, 𝑗)-element van 𝐴.
𝑎11
⋮
𝐴 = 𝑎𝑖1
⋯
𝑎𝑚1
⋯
⋯
𝑎1𝑗
⋮
𝑎𝑖𝑗
⋮
𝑎𝑚𝑗
⋯
⋯
⋯
𝑎1𝑛
⋮
𝑎𝑖𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
Challenge the future
3
Matrix notatie
Het element in de 𝑖-de rij en 𝑗-de kolom van 𝑚 × 𝑛 matrix 𝐴
wordt aangeduid met 𝑎𝑖𝑗 en heet het (𝑖, 𝑗)-element van 𝐴.
Voorbeelden
1 2
,
0 3
2
4 ,
17
25
3 3 3,
10
Challenge the future
4
Matrix notatie
• De diagonale elementen van een matrix zijn 𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎33 ,…
• Een diagonaal matrix is een vierkante 𝑛 × 𝑛 matrix waarbij de
niet-diagonaal elementen 0 zijn.
5 0
0 2
Challenge the future
5
Matrix notatie
• De diagonale elementen van een matrix zijn 𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎33 ,…
• Een diagonaal matrix is een vierkante 𝑛 × 𝑛 matrix waarbij de
niet-diagonaal elementen 0 zijn.
• Een diagonaal matrix met alle diagonale elementen gelijk aan
1 heet de identiteitsmatrix.
1 0 0
𝐼3 = 0 1 0
0 0 1
Challenge the future
6
Matrix notatie
• Een nul matrix is een matrix waarbij alle elementen 0 zijn.
0 0
0 0
0 0
Challenge the future
7
Matrix notatie
• Een nul matrix is een matrix waarbij alle elementen 0 zijn.
• Twee matrices zijn aan elkaar gelijk als ze dezelfde grootte
hebben en de corresponderende elementen aan elkaar gelijk
zijn.
2 3
2 3
=
0 5
0 5
Challenge the future
8
Som van matrices
De som van twee 𝑚 × 𝑛 matrices 𝐴 en 𝐵 geeft matrix 𝐴 + 𝐵
waarvoor elk element gelijk is aan de som van de
corresponderende elementen van matrices 𝐴 en 𝐵.
• 𝐴 + 𝐵 is dus alleen gedefinieerd als matrix 𝐴 en 𝐵 dezelfde
afmetingen hebben.
Challenge the future
9
Som van matrices
De som van twee 𝑚 × 𝑛 matrices 𝐴 en 𝐵 geeft matrix 𝐴 + 𝐵
waarvoor elk element gelijk is aan de som van de
corresponderende elementen van matrices 𝐴 en 𝐵.
Voorbeeld
𝐴=
4 −2 1
2 −3 −1
en 𝐵 =
3 −5 0
6 −7 3
4 + 2 −2 − 3 1 − 1
6 −5 0
𝐴+𝐵 =
=
3 + 6 −5 − 7 0 + 3
9 −12 3
Challenge the future
10
Veelvoud matrix
De vermenigvuldiging van 𝑚 × 𝑛 matrix 𝐴 met constante 𝑐 geeft
matrix 𝑐𝐴 waarvoor elk element gelijk is aan het
corresponderende element van matrix 𝐴 vermenigvuldigd met
constante 𝑐.
Voorbeeld
𝐴=
𝑐𝐴 =
4 −2 1
en 𝑐 = 2
3 −5 0
2 ∙ 4 2 ∙ −2 2 ∙ 1
8 −4 2
=
2 ∙ 3 2 ∙ −5 2 ∙ 0
6 −10 0
Challenge the future
11
Verschil van matrices
Het verschil van twee 𝑚 × 𝑛 matrices 𝐴 en 𝐵 wordt gegeven
door
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −1 ⋅ 𝐵.
Challenge the future
12
Matrix operaties
Stelling
Laat 𝐴, 𝐵 en 𝐶 matrices zijn met dezelfde afmetingen en laat
𝑐 en 𝑑 constanten zijn. Dan geldt dat
a. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
b. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
c. 𝐴 + 𝑂 = 𝐴
d. 𝐴 + −𝐴 = 𝑂
e. 𝑐 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝐴 + 𝑐𝐵
f.
𝑐 + 𝑑 𝐴 = 𝑐𝐴 + 𝑑𝐴
g. 𝑐 𝑑𝐴 = 𝑐𝑑 𝐴
h. 1𝐴 = 𝐴
Challenge the future
13
Product matrices
Definitie
Het product van 𝑚 × 𝑛 matrix 𝐴 met 𝑛 × 𝑝 matrix 𝐵 is 𝑚 × 𝑝
matrix 𝐶 = 𝐴𝐵. Het element in rij 𝑖 en kolom 𝑗 van matrix 𝐶
wordt gegeven door
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑗 .
• Als 𝐴 𝑚 × 𝑛 is en 𝐵 is 𝑛 × 𝑝, dan is 𝐴𝐵 𝑚 × 𝑝.
Challenge the future
14
Product matrices
Definitie
Het product van 𝑚 × 𝑛 matrix 𝐴 met 𝑛 × 𝑝 matrix 𝐵 is 𝑚 × 𝑝
matrix 𝐶 = 𝐴𝐵. Het element in rij 𝑖 en kolom 𝑗 van matrix 𝐶
wordt gegeven door
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑗 .
𝑐𝑖𝑗
= 𝑎𝑖1
𝑎𝑖2
…
𝑎𝑖𝑛
𝑏1𝑗
𝑏2𝑗
⋮
𝑏𝑛𝑗
Challenge the future
15
Blokmatrix
Een blokmatrix is een matrix die bestaat uit een aantal kleinere
matrices oftewel blokken. Een blokmatrix ontstaat door een
matrix zowel verticaal als horizontaal te verdelen en de ontstane
delen als blokken op te vatten.
Voorbeeld
1
0
𝐴= 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
2
1
4
1
7
1
3
𝐼
=
0
𝑂
7
2
𝐵
𝐶
Challenge the future
16
Product matrices
Als 𝐴 een 𝑚 × 𝑛 matrix is en 𝐵 een 𝑛 × 𝑝 matrix die als volgt is
opgedeeld in zijn kolomvectoren
𝒃1
𝒃2
⋯
𝒃𝑝
⋯
𝒃𝑝 = 𝐴𝒃1
dan geldt
𝐴𝐵 = 𝐴 𝒃1
𝒃2
𝐴𝒃2
⋯
𝐴𝒃𝑝 .
Dit heet de matrix-kolom representatie van het product.
Challenge the future
17
Product matrices
Laat 𝐴 een 𝑚 × 𝑛 matrix zijn en 𝐵 een 𝑛 × 𝑝 matrix. Als 𝐴 als
volgt is opgedeeld in zijn rijvectoren
𝑨1
𝑨2
⋮
𝑨𝑚
dan geldt
𝑨1
𝑨1 𝐵
𝑨2
𝑨2 𝐵
𝐴𝐵 =
𝐵=
.
⋮
⋮
𝑨𝑚
𝑨𝑚 𝐵
Dit heet de rij-matrix representatie van het product.
Challenge the future
18
Product matrices
Laat 𝐴 een 𝑚 × 𝑛 matrix zijn en 𝐵 een 𝑛 × 𝑝 matrix. Als 𝐴 is
opgedeeld in zijn kolomvectoren en 𝐵 in zijn rijvectoren dan
geldt
𝑩1
𝑩
2
𝐴𝐵 = 𝒂1 𝒂2 ⋯ 𝒂𝑛
= 𝒂1 𝑩1 + 𝒂2 𝑩2 + ⋯ + 𝒂𝑛 𝑩𝑛 .
⋮
𝑩𝑛
Dit heet de kolom-rij representatie van het product.
Challenge the future
19
Product matrices
Stelling
Laat 𝐴 een 𝑚 × 𝑛 matrix zijn en laat de afmetingen van 𝐵 en 𝐶
zo zijn dat de onderstaande sommen en producten gedefinieerd
zijn.
a.
b.
c.
d.
e.
𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶
𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
𝑘 𝐴𝐵 = 𝑘𝐴 𝐵 = 𝐴(𝑘𝐵) voor een constante 𝑘
𝐼𝑚 𝐴 = 𝐴 = 𝐴𝐼𝑛
Challenge the future
20
Product matrices
Waarschuwingen
1. Het product 𝐴𝐵 is niet altijd hetzelfde als 𝐵𝐴.
2. Als 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 dan hoeft 𝐵 niet gelijk te zijn aan 𝐶.
3. Als 𝐴𝐵 = 𝑂 dan kun je niet concluderen dat 𝐴 = 𝑂 of 𝐵 = 𝑂.
Challenge the future
21
Macht van een matrix
Als 𝐴 een 𝑛 × 𝑛 matrix is en 𝑘 een positief geheel getal, dan
𝐴𝑘 = 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ ⋯ ∙ 𝐴 .
𝑘
Voor positieve gehele getallen 𝑟 en 𝑠 geldt dat
1. 𝐴𝑟 𝐴𝑠 = 𝐴𝑟+𝑠
2. 𝐴𝑟 𝑠 = 𝐴𝑟𝑠
Challenge the future
22
Getransponeerde matrix
Definitie
Als 𝐴 een 𝑚 × 𝑛 matrix is, dan is de getransponeerde van de
matrix, aangeduid met 𝐴𝑇 , een 𝑛 × 𝑚 matrix waarvan de
kolommen gevormd worden door de rijen van 𝐴.
Voorbeeld
1 4
1 −2 0
𝐴=
en 𝐴𝑇 = −2 3 .
4 3 5
0 5
Challenge the future
23
Symmetrische matrix
Definitie
Een vierkante 𝑛 × 𝑛 matrix 𝐴 is symmetrisch als 𝐴 = 𝐴𝑇 .
Voorbeeld
1 3 2
𝐴= 3 5 0 ,
2 0 4
1 3 2
𝐴𝑇 = 3 5 0
2 0 4
Challenge the future
24
Getransponeerde matrix
Stelling
Laat 𝐴 en 𝐵 matrices zijn met afmetingen zo dat de
onderstaande sommen en producten zijn gedefinieerd.
a.
b.
c.
d.
e.
𝐴𝑇 𝑇 = A
𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇
𝑐𝐴 𝑇 = 𝑐𝐴𝑇 , voor een constante 𝑐
𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇
𝐴𝑟 𝑇 = 𝐴𝑇 𝑟 voor positief geheel getal 𝑟
Challenge the future
25
Samenvatting
• Als 𝐴 𝑚 × 𝑛 is en 𝐵 is 𝑛 × 𝑝, dan is 𝐴𝐵 𝑚 × 𝑝.
• Het product 𝐴𝐵 = 𝐶 wordt gegeven door
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑗 .
• De 𝑘-de macht van 𝑛 × 𝑛 matrix 𝐴 wordt gegeven door
𝐴𝑘 = 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ ⋯ ∙ 𝐴 .
𝑘
• Als 𝐴 een 𝑚 × 𝑛 matrix is, dan is de getransponeerde van de
matrix, aangeduid met 𝐴𝑇 , een 𝑛 × 𝑚 matrix waarvan de
kolommen gevormd worden door de rijen van 𝐴.
Challenge the future
26