Middellijn, koorde en apothema

Hoofdstuk 1
De cirkel
1.1
Middellijn, koorde en apothema
1.2
Middelpuntshoek en omtrekshoek
1.3
Raaklijn aan een cirkel
1.3.1 Raaklijn in een punt van een cirkel
1.3.2 Raaklijnen uit een punt aan een
cirkel
1.4
Onderlinge ligging van twee cirkels
1.5
Omgeschreven en ingeschreven cirkel
van een driehoek
1.5.1 Omgeschreven cirkel van een
driehoek
1.5.2 Ingeschreven cirkel van een driehoek
1.6
Regelmatige veelhoeken
1.6.1 Regelmatige veelhoeken
1.6.2 Omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek
1.1 Middellijn, koorde en apothema
1
1.1 Middellijn, koorde en apothema
Hoofdstuk
1
De vierhoek ABCD is een parallellogram, E FGH is een rechthoek en PQRS is een
ruit.
1 Van welke van deze vierhoeken liggen de hoekpunten op een cirkel?
Verklaar waarom dat zo is.
2 Teken het middelpunt en bereken de straal van deze cirkel(s).
S
H
D
G
C
P
R
4
3
A
2
4
B
3
E
3
De cirkel c heeft als middelpunt M
en als straal 8.
F
Q
m
A
N
De koorde [ AB] snijdt de middellijn m in N
c
en m ^ AB.
De afstand van M tot [ AB] is 6.
Bereken AN en NB .
8
B
6
8
M
De cirkel
1
• Definities
– De cirkel met middelpunt M en straal r is de verzameling van alle punten die op
een afstand r van het punt M liggen.
Hoofdstuk
Middellijn, koorde en apothema
We noteren: c(M,r).
– E en koorde van een cirkel is een lijnstuk
dat twee punten van de cirkel verbindt.
P
N
E en middellijn van een cirkel is een
koorde van de cirkel die
het middelpunt bevat.
c
r
De lengte van een middellijn is de
diameter van de cirkel.
De diameter is het dubbele van de
straal.
Ook een rechte door het middelpunt
noemen we een middellijn van de cirkel.
cirkelboog
koorde
M
apothema
van [ PQ]
Q
middellijn
R
– E en cirkelboog is een deel van een cirkel,
begrensd door twee punten.
De ‘kleine boog’ tussen twee punten P en Q op de cirkel noteren we als PQ ,
de ‘grote boog’ noteren we als PRQ .
– Het apothema van een koorde is de afstand van het middelpunt van de cirkel
tot die koorde.
Zo is MN het apothema van [ PQ] .
Ook het lijnstuk [ MN ] noemen we het apothema van die koorde.
9
1.1 Middellijn, koorde en apothema
1
• E igenschap
Hoofdstuk
De middellijn loodrecht op een koorde deelt de koorde middendoor.
Gegeven:
cirkel c(M,r)
m
koorde [ PQ]
Q
S
middellijn m ^ PQ
m snijdt PQ in S
r
P
r
Te bewijzen:
PS = QS
M
Bewijs
c
Teken de stralen [ MP ] en [ MQ] .
⎧Z
⎪
D PMS ≅ D QMS omdat ⎨ Z
⎪90°
⎩
⇓
PM = QM = r
MS = MS
^ = QSM
^ = 90°
PSM
gemeenschappelijke zijde
gegeven
PS = QS
• Gevolg
E en middellijn van een cirkel is een symmetrieas
c
van de cirkel.
E en cirkel heeft dus oneindig veel symmetrieassen
en is zo de vlakke figuur met de rijkste symmetrie.
M
10
De cirkel
1 Teken in een cirkel c(M,5) een koorde [ AB] waarvan het apothema 3 cm is.
2 Bereken AB .
^
3 Bereken AMB.
4
1 In een cirkel c(M;6,5) is een koorde 12 cm lang.
1
Hoofdstuk
3
Bereken het apothema van deze koorde.
2 Verklaar de volgende eigenschap: gelijke koorden hebben gelijke apothema’s.
5
Construeer de koorde [ AB] van de cirkel c die
a
voldoet aan de volgende twee voorwaarden:
–
–
[ AB] is evenwijdig met de rechte a;
[ AB] wordt door PQ middendoor gedeeld.
P
M
c
Q
11
1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek
1
1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek
Hoofdstuk
6
1 Bereken A^PB met de gegevens in de figuur.
A
c
110°
M
B
P
2 Bereken A^PB = ^P1 + ^P2 met de gegevens
in de figuur.
A
B
30°
50°
M
c
12
P
^ en A^PB met de gegevens in de figuur.
3 Bereken AMB
A
20°
c
M
60°
P
^
4 Welk verband vind je in de drie gevallen tussen A^PB en AMB?
12
B
De cirkel
1
• Middelpuntshoek en omtrekshoek van een cirkel
E en middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt
Hoofdstuk
Middelpuntshoek en omtrekshoek
met het middelpunt van de cirkel.
E en omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt
en waarvan beide benen de cirkel snijden.
A
B
^ is de middelpuntshoek die op de boog AB staat
A MB
A^PB is een omtrekshoek die op de boog AB staat
M
c
P
• E igenschap
E en omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.
Gegeven:
cirkel c(M,r)
cirkelboog AB
^ en omtrekshoek A^PB
middelpuntshoek A MB
Te bewijzen: A^PB =
1 ^
A MB
2
Bewijs
eerste geval: het middelpunt ligt op een been van de omtrekshoek
P^ + M^2 + B^ = 180°
⇓
2P^ + M^2 = 180 °
P
hoekensom in D PMB
D PMB is gelijkbenig zodat B^ = P^
M
⇓
2P^ = 180° - M^2
⇓
2P^ = M^1
2
1
B
A
⇓
^ = 1 AMB
^
APB
2
13
1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek
1
tweede geval: het middelpunt ligt binnen de omtrekshoek
Hoofdstuk
Teken de middellijn PM.
Dan geldt:
^ = P^ + P^
APB
1
2
1
1
= M^1 + M^2
2
2
1
= ( M^1 + M^2 )
2
1 ^
= AMB
2
P
1
2
eerste geval
M
1
A
2
B
derde geval: het middelpunt ligt buiten de omtrekshoek
Teken de middellijn PM.
Dan geldt:
^ = P^ - P^
APB
12
2
1
1
= M^12 - M^2
2
2
1
= ( M^12 - M^2 )
2
1 ^
= AMB
2
P
M
2
– Omtrekshoeken die op eenzelfde boog staan, zijn gelijk.
Q
R
^ = AQB
^ = ARB
^ = 1 AMB
^
APB
2
M
B
A
c
14
B
1
A
• Gevolgen
P
2 1
eerste geval
De cirkel
1
P
A
7
Q
B
M
c
Hoofdstuk
– E en omtrekshoek die op een halve cirkel of op een middellijn staat, is recht.
^ = AQB
^ = ARB
^ = 1 AMB
^ = 1 ⋅ 180° = 90°
APB
2
2
R
Bereken de hoeken ^D1, ^D2 en A^DC als je weet dat de
driehoek ABC gelijkzijdig is.
D
C
2
1
A
M
c
B
8
Bereken de hoeken ^P1, ^P2, ^Q2 en ^S met de gegevens
in de figuur.
Q
P
2
40°
2
1
M
28°
c
S
R
9
E en koordenvierhoek is een vierhoek waarvan alle hoekpunten op een cirkel
liggen.
Bewijs dat de overstaande hoeken van een koordenvierhoek supplementair zijn.
10
Teken een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 6 cm meet en de
hoogte op de schuine zijde 2 cm is.
15
1.3 Raaklijn aan een cirkel
1
1.3 Raaklijn aan een cirkel
Hoofdstuk
1.3.1 Raaklijn in een punt van een cirkel
Raaklijn in een punt van een cirkel
• Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel
E en rechte en een cirkel kunnen twee, één of geen punten gemeen hebben.
As
t
c
u
c
c
T
B
Definities
E en snijlijn van een cirkel is een rechte die met de cirkel twee punten gemeen
heeft.
De gemeenschappelijke punten zijn de snijpunten van de rechte en de cirkel.
E en raaklijn aan een cirkel is een rechte die met de cirkel één punt gemeen heeft.
Het gemeenschappelijk punt van de rechte en de raaklijn noemen we het raakpunt.
• E igenschap
De loodlijn op een middellijn, door een eindpunt ervan, is een raaklijn aan de cirkel.
Gegeven:
cirkel c(M,r)
middellijn [ AB] van c
a door A en a ^ AB
A
a
P
r
Te bewijzen: a is een raaklijn aan c
M
Bewijs
Voor een willekeurig punt P op a dat verschillend is van
A geldt:
MP > MA
⇓
c
B
In de rechthoekige driehoek MAP is
de schuine zijde [ MP ] de langste zijde.
MP > r
⇓
P ligt buiten c
A is bijgevolg het enige punt dat a en c gemeen hebben, zodat a een raaklijn is aan c.
16
De cirkel
1
7
c
10
6
20
5
0
17
4
30
16
Om een raaklijn in een punt van een cirkel te
construeren, moeten we de loodlijn op de
middellijn door dat punt tekenen.
Hoofdstuk
Gevolg
0
15
0
14
0
3
40
2
130
50
1
120
60
5
0
110
70
A
1
40
90
30
35
80
20
25
10
15
100
2
90
80
3
70
100
60
110
4
50
120
40
30
130
20
10
140
5
150
6
M
160
7
170
t
t is een raaklijn aan c in A
• Omgekeerde eigenschap
E en raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de middellijn door het raakpunt.
Gegeven:
cirkel c(M,r)
raaklijn t aan c met raakpunt T
t
T
Q
Te bewijzen: t ^ MT
Bewijs
Veronderstel dat MT niet loodrecht op t zou staan.(*)
M
Dan is er een andere loodlijn uit M op t met voetpunt
Q π T.
c
– Omdat t een raaklijn is aan c, is T het enige punt dat
t en c gemeen hebben.
Alle andere punten van t liggen dus buiten de cirkel,
zodat geldt :
MQ > MT . (1)
– In de rechthoekige driehoek MQT is de schuine zijde [ MT ] de langste zijde,
zodat geldt:
MQ < MT . (2)
Dit is in strijd met (1).
De veronderstelling (*) leidt tot een tegenstrijdigheid en is dus vals.
Hieruit volgt: t ^ MT.
17
1.3 Raaklijn aan een cirkel
1
Opmerkingen
Hoofdstuk
– Het bovenstaande bewijs is een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde.
Hierbij veronderstellen we dat het te bewijzen niet waar is en laten we zien dat
deze veronderstelling tot een tegenstrijdigheid leidt.
– Uit de bovenstaande eigenschappen volgt dat er maar één raaklijn is in een
punt van een cirkel. Vandaar dat we nu kunnen spreken over de raaklijn in een
punt van de cirkel.
• Besluit
In de cirkel c met middelpunt M en straal r = MT geldt:
t
t is de raaklijn aan c met raakpunt T
T
t ^ MT en t gaat door T
r
Hieruit volgt:
M
t is de raaklijn aan c met raakpunt T
c
d(M,t) = r
11
D is een punt op de cirkel c met middelpunt M.
D
c
1 Construeer de raaklijn d aan de cirkel in D.
2 Construeer een tweede raaklijn e aan c die
evenwijdig is met d.
12
M
In de figuur is TA een raaklijn aan de cirkel c(M,10) met TA = 21.
Bereken x en T^AM.
T
A
x
c
M
18
De cirkel
a is een raaklijn aan c(M,7) met raakpunt A.
De rechte b is evenwijdig met a en snijdt de cirkel in B en C.
De afstand tussen a en b is 8.
Bereken de zijden en de hoeken van driehoek ABC.
A
a
7
8
M
b
B
14
1
Hoofdstuk
13
C
Construeer een cirkel die door A gaat en raakt aan de rechte t in P.
A
t
P
1.3.2 Raaklijnen uit een punt aan een cirkel
15
Hoeveel raaklijnen aan de cirkel c gaan door
1 A?
2 B?
c
A
C
3 C?
M
B
19
1.3 Raaklijn aan een cirkel
1
Raaklijnen uit een punt aan een cirkel
Hoofdstuk
• E igenschap
De raaklijnen uit een punt aan een cirkel zijn even lang.
Onder ‘raaklijnen’ verstaan we in dit geval de lijnstukken tussen het punt en de
raakpunten.
Gegeven:
Te bewijzen:
cirkel c(M,r)
punt P buiten c
raaklijnen [ PA] en [ PB] aan c
met raakpunten A en B
A
c
P
r
M
PA = PB
r
B
Bewijs
We tekenen [ PM ] en de stralen [ MA] en [ MB].
⎧Z
⎪
D PAM @ D PBM omdat ⎨ Z
⎪90°
⎩
AM = BM = r
PM = PM
A^ = B^ = 90°
⇓
gemeenschappelijke zijde
een raaklijn staat loodrecht
op de middellijn door het raakpunt
PA = PB
• Gevolg
Als PA en PB raaklijnen zijn aan de cirkel c(M,r) met raakpunten A en B,
dan is PM de middelloodlijn van [ AB ] .
Verklaring
De middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van alle punten die even ver
liggen van de uiteinden van dat lijnstuk.
– P ligt op de middelloodlijn van [ AB]
want PA = PB .
– M ligt op de middelloodlijn van [ AB]
want MA = MB = r .
Bijgevolg is PM de middelloodlijn van [ AB]
zodat PM ^ AB en AN = NB .
20
c
A
M
N
P
B
De cirkel
PA en PB zijn raaklijnen aan de cirkel c(M,5) met raakpunten A en B.
MP = 13 .
P
A
1 Bereken PA en PB .
2 Bereken ^P1.
3 Bereken de lengte van de
koorde [ AB] .
5
1
1
Hoofdstuk
16
M
B
c
17
PA en PB zijn raaklijnen aan de cirkel c(M,5) met raakpunten A en B.
AB = 8 .
P
1 Bereken A^MB en A^PB.
2 Bereken PA en PM .
8
A
5
B
M
c
18
ABCD is een raaklijnenvierhoek van de cirkel c(M;3,5), dit betekent dat elke zijde van
de vierhoek ABCD een raaklijn is van de cirkel c. De raakpunten zijn P, Q, R en S.
Twee zijden van de vierhoek ABCD zijn gegeven:
AB = 6 en CD = 9 .
D
9
R
1 Stel AP = x en DR = y .
Druk nu DA en BC uit in functie van x en y.
2 Bereken de omtrek van de vierhoek ABCD.
3 Bereken de oppervlakte van de vierhoek ABCD.
C
3,5
Q
S
A
P
B
6
21
1.3 Raaklijn aan een cirkel
1
Constructie van raaklijnen uit een punt aan een cirkel
Hoofdstuk
Om de raaklijnen uit een punt P aan een cirkel c(M,r) te construeren,
kun je als volgt te werk gaan:
c’
– bepaal het midden M’ van [ MP ] en
teken de cirkel c’(M’, M’P );
P
c
M’
M
– bepaal de snijpunten A en B van
c en c’ en teken PA en PB.
PA en PB zijn de gevraagde
raaklijnen want M^AP = M^BP = 90°
omdat ze omtrekshoeken op de
middellijn [ MP ] zijn.
c’
A
P
c
M’
M
B
19
1 Teken een cirkel c met straal 2,5 cm.
Construeer de raaklijnen aan die cirkel uit een punt P dat op 7 cm ligt van het
middelpunt van c.
2 Bereken de lengte van deze raaklijnen.
3 Bereken de scherpe hoek gevormd door deze raaklijnen.
22
De cirkel
1.4 Onderlinge ligging van twee cirkels
Hoeveel gemeenschappelijke punten hebben de cirkels c1 ( M1 ,6) en c2 ( M2 ,4) als
1 M1 M2 > 10 ?
2
1
Hoofdstuk
20
M1 M2 = 10 ?
3 2 < M1 M2 < 10 ?
21
4
M1 M2 = 2 ?
5
M1 M2 < 2 ?
Welk verband is er tussen M1 M2 , r1 en r2 als de cirkels c1 ( M1 ,r1 ) en c2 ( M2 ,r2 )
met r1 ≥ r2
1 geen gemeenschappelijke punten hebben?
2 één gemeenschappelijk punt hebben?
3 twee gemeenschappelijke punten hebben?
23
1.4 Onderlinge ligging van twee cirkels
1
Onderlinge ligging van twee cirkels
Hoofdstuk
• Voor de onderlinge ligging van de cirkels c1 en c2 met middelpunten M1 en M2 en
stralen r1 en r2, met r1 ≥ r2, bestaan de volgende mogelijkheden.
1 c1 en c2 liggen volledig buiten elkaar 4 c1 en c2 zijn inwendig rakende cirkels
met raakpunt T
c1
r1
r1
r2
M2
M1
r2
M1 M2 = r1 - r2
2 c1 en c2 zijn uitwendig rakende
cirkels met raakpunt T
c1
5 c1 en c2 liggen volledig binnen elkaar
r2
r1
r2
M1 M2
M2
M1
M1 M2 = r1 + r2
M1 M2 < r1 - r2
3 c1 en c2 zijn snijdende cirkels met
snijpunten A en B
r1
A
6 c1 en c2 zijn concentrische cirkels
r2
c1
c2
c2
M2
M1
c1
c2
c2
T
c1
T
M1 M2
M1 M2 > r1 + r2
r1
c1
c2
c2
r1
r2
M1 = M2
B
r1 - r2 < M1 M2 < r1 + r2
M1 M2 = 0
• De gemeenschappelijke middellijn M1M2 noemen we de centraal van de twee cirkels.
Ze is een symmetrieas van beide cirkels.
Omwille van de symmetrie ligt bij rakende cirkels het raakpunt op de centraal en zijn
bij snijdende cirkels de snijpunten elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de centraal.
24
De cirkel
Wat is de onderlinge ligging van de cirkels c1(A,3) en c2(B,5) als
4
2
AB = 1 ?
AB = 2 ?
5
AB = 5 ?
AB = 8 ?
3
AB = 3 ?
6
AB = 10 ?
1
23
1
Hoofdstuk
22
Drie cirkels raken elkaar twee aan twee zoals op
de figuur.
Als de stralen van de cirkels respectievelijk 1 dm,
2 dm en 3 dm lang zijn, hoe groot is dan de
oppervlakte van de driehoek met de drie
middelpunten als hoekpunten?
A 4 dm2
B 6 dm2
C 8 dm2
D 10 dm2
E
12 dm2
(Bron © JWO, eerste ronde 2006)
24
1 Construeer twee cirkels met middelpunten M1 en M2 en respectievelijke stralen
2
r1 en r2 zodat M1 M2 = r12 + r22 .
2 Noem A een snijpunt van de cirkels. Welke hoek maken de raaklijnen in A aan
beide cirkels?
25
1.5 Omgeschreven en ingeschreven cirkel van een driehoek
Hoofdstuk
1
1.5 Omgeschreven en ingeschreven cirkel van een
driehoek
1.5.1 Omgeschreven cirkel van een driehoek
25
1 Teken drie verschillende punten A, B en C.
2 Teken de verzameling van alle punten die even ver liggen van A als van B.
3 Teken de verzameling van alle punten die even ver liggen van B als van C.
4 Teken, indien mogelijk, het punt dat even ver ligt van A, B en C.
5 Voor welke ligging van A, B en C is er geen punt dat even ver ligt van deze drie
punten?
Verklaar.
Omgeschreven cirkel van een driehoek
• E igenschap
Door de hoekpunten van een driehoek gaat juist één cirkel.
Gegeven:
driehoek ABC
Te bewijzen: er bestaat juist één cirkel c die door A, B en C gaat
Bewijs
C
– Construeer de middelloodlijnen m van [ AB] en
n van [ BC ] .
n
M
Noem M het snijpunt van m en n.
M ligt op m en M ligt op n
A
m
De middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van alle punten
die even ver liggen van de eindpunten van dat lijnstuk.
fl
MA = MB en MB = MC
fl
MA = MB = MC
fl
De cirkel c( M, MA
) gaat door A, B en C.
– Aangezien m en n één snijpunt M hebben, is er maar één punt dat even ver van
A, B en C ligt.
De cirkel c( M, MA
26
B
) is dus enig.
De cirkel
Door drie collineaire punten A, B en C gaat geen cirkel.
De middelloodlijnen m en n lopen dan evenwijdig en hebben dus geen snijpunt.
m
A
1
Hoofdstuk
• Drie of meer punten die tot eenzelfde rechte behoren, noemen we collineaire
punten.
n
B
C
De vorige eigenschap kunnen we dan ook als volgt formuleren.
Door drie niet-collineaire punten gaat juist één cirkel.
• Uit MA = MC volgt dat M ook op de middelloodlijn van [ AC ] ligt.
Drie of meer rechten die door eenzelfde punt gaan, noemen we concurrente
rechten.
De drie middelloodlijnen van een driehoek zijn concurrent.
• De cirkel die door de hoekpunten van de driehoek ABC
gaat, noemen we de omgeschreven cirkel van deze
driehoek.
C
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het
snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek.
De straal van de omgeschreven cirkel is de afstand
van het middelpunt tot een van de hoekpunten van
de driehoek.
M
A
B
27
1.5 Omgeschreven en ingeschreven cirkel van een driehoek
1
26
Hoofdstuk
1 Construeer de omgeschreven cirkel van een
driehoek ABC met zijden AB = 4 cm ,
BC = 5 cm en AC = 6 cm .
2 Construeer een driehoek ABC met 5 cm als straal
van de omgeschreven cirkel, AB = 7 cm en
BC = 9 cm.
27
De gelijkzijdige driehoek ABC met zijde 6 heeft
Z als zwaartepunt.
C
1 Waarom is Z het middelpunt van de
omgeschreven cirkel c van de driehoek ABC?
6
2 Bereken de straal van c.
Z
A
28
1 Construeer een gelijkbenige driehoek ABC met AB = AC = 6 cm en
BC = 4 cm .
2 Construeer de omgeschreven cirkel c van de driehoek ABC.
3 Bereken de straal van c.
28
B
De cirkel
1.5.2 Ingeschreven cirkel van een driehoek
1
Hoofdstuk
Ingeschreven cirkel van een driehoek
• E igenschap
E r bestaat juist één cirkel die de drie zijden van een driehoek raakt.
Gegeven:
driehoek ABC
Te bewijzen: er bestaat juist één cirkel c die raakt aan [ AB] , [ BC ] en [ AC ]
Bewijs
– Construeer de bissectrices dA van ^A en dB van ^B.
Noem I het snijpunt van dA en dB.
I ligt op dA
en
I ligt op dB
⇓
⇓
De bissectrice van een hoek bestaat uit
punten even ver van de benen van de hoek.
d( I, AB) = d( I, AC ) en d( I,BA) = d( I,BC )
⇓
C
dB
⇓
ID = IE
en
ID = IF
⇓
ID = IE = IF
De cirkel c( I, ID
F
I
A
⇓
I ligt even ver van de zijden van de driehoek ABC
fl
E
dA
D
B
E en rechte waarvan de afstand tot het middelpunt van een
cirkel gelijk is aan de straal, is een raaklijn aan de cirkel.
) raakt aan [ AB], [BC ] en [ AC ].
– Aangezien dA en dB één snijpunt I hebben, is er maar één punt dat even ver van
[ AB] , [BC ] en [ AC ] ligt.
De cirkel c( I, ID
) is dus enig.
29
1.5 Omgeschreven en ingeschreven cirkel van een driehoek
Hoofdstuk
1
• Aangezien IE = IF , ligt I ook even ver van [ CA] als van [ CB].
I ligt dus ook op de bissectrice d van ^C.
c
De drie bissectrices van een driehoek zijn concurrent.
• De cirkel die raakt aan de zijden van de
driehoek ABC, noemen we de ingeschreven
cirkel van deze driehoek.
C
dB
dA
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel is
het snijpunt van de bissectrices van de
driehoek.
I
r
De straal van de ingeschreven cirkel is de
afstand van het middelpunt tot een van de
zijden van de driehoek.
29
1 Construeer de ingeschreven cirkel
van de rechthoekige driehoek ABC.
2 Bereken de straal van de
ingeschreven cirkel.
A
30
B
C
5
A
30
dC
12
Bereken de zijde van een gelijkzijdige driehoek waarvan de straal van de
ingeschreven cirkel 6 is.
B
De cirkel
1.6 Regelmatige veelhoeken
31
1 Construeer in de cirkel c(M,5) stralen [ MA] ,
[ MB] , [ MC ] , [ MD] en [ ME ] die de 360° rond
M in vijf gelijke middelpuntshoeken verdelen.
1
Hoofdstuk
1.6.1 Regelmatige veelhoeken
c
2 Toon aan dat de zijden en de hoeken van de
vijfhoek ABCDE gelijk zijn.
5
M
Regelmatige veelhoeken
• E en regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden en alle hoeken gelijk
zijn.
E en regelmatige driehoek is een gelijkzijdige driehoek.
E en regelmatige vierhoek is een vierkant.
E en regelmatige veelhoek met n zijden noemen we een regelmatige n-hoek.
De zijde van een regelmatige n-hoek noteren we als zn.
• We kunnen een regelmatige n-hoek construeren vertrekkend van de omgeschreven
cirkel c van deze veelhoek met middelpunt M.
Teken daartoe in deze cirkel n stralen [ MA] , [ MB] , [ MC ], ... die de 360° rond M
360°
verdelen in n gelijke middelpuntshoeken van
.
n
Uit D ABM @ D BCM @ ... (ZHZ) volgt dat
H
c
AB = BC = ... en ^A12 = ^B12 = ...
G
A 2
zodat ABC... een regelmatige n-hoek is.
1
r
We zeggen dat de regelmatige n-hoek
a8
ingeschreven is in de cirkel c.
N
• We noemen M het middelpunt, MA de
straal, A^MB de middelpuntshoek en
d(M,AB) = MN het apothema an van de
regelmatige n-hoek.
Met straal en apothema kunnen we ook
het lijnstuk bedoelen.
B
45°
2
1
r
45°
F
M
r
z8
C
E
D
31
1.6 Regelmatige veelhoeken
Hoofdstuk
1
• Vertrekkend van de omgeschreven cirkel kun je steeds een regelmatige n-hoek
construeren waarvan de hoekpunten op deze cirkel liggen.
Omgekeerd geldt de volgende eigenschap.
De hoekpunten van een regelmatige veelhoek liggen op een cirkel.
Voor een bewijs van deze eigenschap verwijzen we naar opdracht 36.
• Aangezien de som van de hoeken van een n-hoek
gelijk is aan ( n - 2) ⋅180° , is elke hoek van een
regelmatige n-hoek gelijk aan
( n − 2) ⋅ 180° = 180° - 360°
.
n
n
Zo is de hoek van een regelmatige achthoek
360°
= 135°.
gelijk aan 180° 8
H
G
A
135°
F
B
C
E
D
32
1 ABCDE F is een regelmatige zeshoek met omgeschreven cirkel c(M,r).
Toon aan dat de zijde z6 van de zeshoek gelijk is aan de straal r.
F
E
c
r
A
D
M
z6
B
C
2 Maak gebruik van de eigenschap uit 1 om een regelmatige zeshoek te
construeren in een willekeurige cirkel.
3 Construeer een gelijkzijdige driehoek.
4 Construeer een regelmatige twaalfhoek.
32
De cirkel
Van twee regelmatige veelhoeken met omgeschreven cirkel c is telkens een zijde
gegeven.
Voor welke regelmatige n-hoek, ingeschreven in de cirkel c, is BC een zijde?
1
2
A
C
z6
z4
B
c
34
A
z5
z4
C
M
3
A
z12
1
Hoofdstuk
33
z4
B
M
M
c
C
B
c
E en regelmatige vijfhoek en een regelmatige
?
zeshoek hebben een zijde gemeenschappelijk
(zie figuur).
Hoe groot is de aangeduide hoek?
A 108°
B 120°
C 124°
E 135°
D 132°
(Bron © JWO, tweede ronde 2008)
35
In welke regelmatige veelhoek is de kortste diagonaal even lang als de straal van
de omgeschreven cirkel?
A zeshoek
B achthoek
C tienhoek
D twaalfhoek E vijftienhoek
(Bron © VWO, tweede ronde 1997)
V
36
ABCDE is een regelmatige vijfhoek met zijde 5.
E
1 Construeer de cirkel die door A, B en C gaat.
2 Toon aan dat die cirkel ook door D en E gaat.
3 Bereken de straal van die omgeschreven cirkel
van ABCDE .
5
A
D
B
C
33
1.6 Regelmatige veelhoeken
1
1.6.2 Omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek
Hoofdstuk
37
1 Bereken de zijde en de omtrek van de regelmatige
vijfhoek ABCDE met omgeschreven cirkel c(M,4).
E
D
2 Bereken de oppervlakte van de vijfhoek ABCDE .
4
A
M
C
c
B
Omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek
• Omtrek van een regelmatige n-hoek
In de regelmatige n-hoek met zijde zn = AB en omgeschreven cirkel c(M,r)
kunnen we zn als volgt uitdrukken in r en n.
– Teken in de driehoek ABM de zwaartelijn [ MN ] .
– Aangezien de driehoek ABM gelijkbenig is, is de
driehoek MNA rechthoekig in N.
Bovendien is
1 ^ 1 360° 180°
M^1 = ⋅ AMB
= ⋅
=
.
2
2 n
n
zn
z
– In D MNA is sin M^1 = 2 = n
r 2r
^
zodat zn = 2r ⋅sin M1 .
(1)
A
B
zn
N
r
c
an r
1
M
(2)
Invullen van (1) in (2) geeft:
zn = 2r sin
180°
n
(3)
Hieruit volgt een formule voor de omtrek van een regelmatige n-hoek:
pn = 2n r sin
34
180°
n
De cirkel
1
In de regelmatige n-hoek met zijde zn = AB kunnen we ook de oppervlakte An
uitdrukken in r en n.
– We verdelen de n-hoek in n driehoeken zodat
z ⋅a
(4)
An = n ⋅ opp D ABM = n ⋅ n n .
2
180°
– In D ANM met hoek M^1 =
n
vinden we het apothema an = MN uit
a
cos M^1 = n
r
180°
zodat an = r ⋅ cos M^1 = r cos
. (5)
n
A
B
zn
N
r
Hoofdstuk
• Oppervlakte van een regelmatige n-hoek
c
an r
1
M
– Invullen van (3) en (5) in (4) geeft een formule
voor de oppervlakte An van een regelmatige veelhoek:
An = n r2 sin
180°
180°
cos
n
n
• Regelmatige veelhoeken en cirkels
In de volgende tabel berekenen we
pn
A
en 2n voor steeds grotere waarden van n.
2r
r
n
pn
180°
= n sin
2r
n
An
180°
180°
= n sin
cos
2
n
n
r
10
100
1000
10 000
100 000
1 000 000
3,090 169 944
3,141 075 908
3,141 587 486
3,141 592 602
3,141 592 653
3,141 592 654
2,938 926 261
3,139 525 976
3,141 571 983
3,141 592 447
3,141 592 652
3,141 592 654
We vinden steeds betere benaderingen van p = 3,141 592 654 ...
p
A
Als n voldoende groot is, dan is n ≈ p en 2n ≈ p of pn ≈ 2p r en An ≈ p r2 .
2r
r
We herkennen hierin de formules voor omtrek en oppervlakte van een cirkel.
Hoe meer hoekpunten een regelmatige veelhoek heeft, hoe beter haar omtrek en
oppervlakte die van haar omgeschreven cirkel benadert.
Vandaar dat je een cirkel ook een regelmatige oneindig-hoek zou kunnen noemen.
35
1.6 Regelmatige veelhoeken
1
38
E en regelmatige twaalfhoek heeft 5 cm als straal
van de omgeschreven cirkel.
Hoofdstuk
1 Bereken de omtrek van deze twaalfhoek.
2 Bereken de oppervlakte van deze twaalfhoek.
3 Hoeveel procent van de omgeschreven cirkel
wordt door de twaalfhoek bedekt?
39
E en dodecaëder is een ruimtefiguur die bestaat uit
twaalf regelmatige vijfhoeken.
Bereken de manteloppervlakte van een dodecaëder
met ribbe 5 cm.
36
De cirkel
Samenvatting
1
Hoofdstuk
Middellijn, koorde en apothema
• De cirkel met middelpunt M en straal r is de verzameling van alle punten die op een
afstand r van het punt M liggen.
• E en koorde van een cirkel is een lijnstuk
dat twee punten van de cirkel verbindt.
A
middellijn
koorde
E en middellijn van een cirkel is een
koorde van de cirkel die door het
middelpunt gaat of een rechte die door
het middelpunt gaat.
B
apothema
van [ AB]
Het apothema van een koorde is de
afstand van het middelpunt van de
cirkel tot die koorde of het
bijbehorende lijnstuk.
M
r
samenvatting
We noteren c(M,r).
c
• E igenschap
De middellijn loodrecht op een koorde deelt
de koorde middendoor.
Gevolg
m
A
N
B
E en middellijn van een cirkel is een symmetrieas
van de cirkel.
M
c
m ^ [ AB] ⇒ AN = NB
37
Samenvatting
1
Middelpuntshoek en omtrekshoek
Hoofdstuk
• E en middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt
met het middelpunt van de cirkel.
E en omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt
samenvatting
en waarvan beide benen de cirkel snijden.
38
• E igenschap
A
E en omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek
die op dezelfde boog staat.
B
M
Gevolgen
— Omtrekshoeken die op eenzelfde boog staan, zijn
gelijk.
– E en omtrekshoek die op een halve cirkel of op een
middellijn staat, is recht.
c
P
^ = 1 AMB
^
APB
2
De cirkel
1
• E en raaklijn aan een cirkel is een rechte die met de cirkel één punt gemeen heeft.
• E igenschappen
Hoofdstuk
Raaklijn aan een cirkel
t
T
c
– E en raaklijn aan een cirkel staat
loodrecht op de middellijn door het
raakpunt.
M
t is de raaklijn aan c(M,r) met raakpunt T
samenvatting
– De loodlijn op een middellijn, door een
eindpunt ervan, is een raaklijn aan de
cirkel.
t ^ MT en t gaat door T
d(M,t) = r
– De raaklijnen uit een punt aan een
cirkel zijn even lang.
A
c
P
r
M
r
B
[PA] en [PB] zijn raaklijnen aan c(M,r)
fl
PA = PB
39
Samenvatting
1
Onderlinge ligging van twee cirkels
Hoofdstuk
Voor de onderlinge ligging van de cirkels c1 en c2 met middelpunten M1 en M2 en
stralen r1 en r2, met r1 ≥ r2, bestaan de volgende mogelijkheden.
samenvatting
1 c1 en c2 liggen volledig buiten elkaar 4 c1 en c2 zijn inwendig rakende cirkels
met raakpunt T
c1
r1
r1
r2
M2
M1
r2
M1 M2 = r1 - r2
2 c1 en c2 zijn uitwendig rakende
cirkels met raakpunt T
c1
5 c1 en c2 liggen volledig binnen elkaar
r2
r1
r2
M1 M2
M2
M1
M1 M2 = r1 + r2
M1 M2 < r1 - r2
3 c1 en c2 zijn snijdende cirkels met
snijpunten A en B
r1
A
6 c1 en c2 zijn concentrische cirkels
r2
c1
c2
c2
M2
M1
c1
c2
c2
T
c1
T
M1 M2
M1 M2 > r1 + r2
r1
c1
c2
c2
r1
r2
M1 = M2
B
r1 - r2 < M1 M2 < r1 + r2
40
M1 M2 = 0
De cirkel
1
• Door de hoekpunten van een driehoek gaat
juist één cirkel, de omgeschreven cirkel van de
driehoek.
Hoofdstuk
Omgeschreven en ingeschreven cirkel van een driehoek
A
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van
een driehoek is het snijpunt van de
middelloodlijnen van deze driehoek.
M
samenvatting
B
C
De straal van de omgeschreven cirkel is de
afstand van het middelpunt tot een van de
hoekpunten van de driehoek.
• Aan de zijden van een driehoek raakt juist één
cirkel, de ingeschreven cirkel van de driehoek.
C
dB
dA
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van
een driehoek is het snijpunt van de bissectrices
van deze driehoek.
De straal van de ingeschreven cirkel is de
afstand van het middelpunt tot een van de
zijden van de driehoek.
I
A
B
dC
Regelmatige veelhoeken
• E en regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden en alle hoeken gelijk
zijn.
• Om een regelmatige n-hoek te construeren,
verdeel je de omgeschreven cirkel in n gelijke
360°
delen met middelpuntshoek
.
n
• De hoek van een regelmatige n-hoek is
360°
.
180° n
• De zijde van een regelmatige n-hoek is
180°
.
zn = 2r sin
n
• De oppervlakte van een regelmatige n-hoek is
180°
180°
.
An = nr2 sin
cos
n
n
I
H
z9
A
140°
G
r
40°
B
M
F
C
E
D
41
Opdrachten
1
Opdrachten
Hoofdstuk
1.1 Middellijn, koorde en apothema
opdrachten
EERSTE REEKS
40
Bepaal de verzameling van de middelpunten van de cirkels die door een gegeven
punt A gaan en 5 cm als straal hebben.
41
Construeer een koorde [ AB] van de cirkel c(M,r)
zodanig dat P het midden is van [ AB] .
c
P
M
42
In een cirkel met middelpunt M heeft de koorde [ AB] een lengte van 6 cm.
Het apothema van [ AB] is 2 cm.
1 Bereken de straal van de cirkel.
2 Bereken A^MB.
43
In de cirkel c(M,r) deelt de koorde [ PQ] de
straal [ MA] loodrecht middendoor.
^
Bereken de hoek PMQ.
A
P
Q
r
M
c
42
De cirkel
Om een vierkant houten tafeltje te maken,
vertrekt men van een ronde boomstam met een
diameter van 206 cm.
Wat is de zijde van het grootste vierkant dat
hieruit gezaagd kan worden?
opdrachten
TWEEDE REEKS
45
1
Hoofdstuk
44
Laten we de driehoek TAB draaien over
180° om de middellijn TM van de cirkel c,
dan ontstaat een kegel.
T
Bereken de inhoud van de kegel als
TM = 6 dm en MN = 4 dm .
6
c
M
4
N
A
B
DERDE REEKS
46
Twee evenwijdige koorden in een cirkel
hebben 10 en 14 als lengte, en hun
onderlinge afstand is 6.
De koorde, evenwijdig met de gegeven
koorden en precies halfweg tussen hen,
heeft lengte a .
14
a
Dan is a gelijk aan
6
10
A 184
B 176
C 168
D 156
E 144
(Bron © VWO, tweede ronde 1995)
43
Opdrachten
1
1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek
Hoofdstuk
EERSTE REEKS
opdrachten
47
^ en BCD
^
1 Bereken de hoeken ^A1, ^B1, ^
C1, ^
D1, M
2
in de cirkel c met middelpunt M als
^ = 100°.
M
1
A
c
1
B
1
100°
2
1
M
1
D
1
C
^ ,M
^ en BCD
^
2 Bereken de hoeken ^B1, ^C1, ^
D, M
1 2
in de cirkel c met middelpunt M als
^A = 40°.
1
A
c
40°
B
M
1
2 1
D
1
C
48
Bereken de hoeken ^A2, ^C1, ^C2, ^D1 en ^D2 met de
gegevens in de figuur.
A
48°
2
2
1
B
44
52°
22°
1
2
C
D
De cirkel
Bereken de hoeken ^D1, ^D2, ^D3, E^1, E^2, ^F1, ^F2 en ^C
met de gegevens in de cirkel met middelpunt M.
A
65°
C
1
2
70°
F
1
opdrachten
M
2
1
2
E
50
1
B
Bereken de hoeken ^A, ^B1, ^B2, ^C2, ^D2, E^1, E^2, ^F1,
^F , M
^
^
2 1 en M2 met de gegevens in de cirkel met
middelpunt M.
3
2 1
D
E
1
2
D
54°
A
F
2
1 2
2
1
1
Hoofdstuk
49
M
35°
2
C
2
B
TWEEDE REEKS
51
Bereken de hoeken ^B1, C^1, D^1 en E^1 met
de gegevens in de figuur.
A
E
42°
B
1
F
1
D
1
74°
1
52
Bereken de hoeken ^A, ^B2, ^C, ^D1, ^D2, E^1,
^ H^ en K^ met de gegevens aangeduid
E^2, F,
1
1
in de cirkel met middelpunt M.
C
A
B
K
F
1
H
2
2
70°
2
1
1
G
2
E
2
C
M
1
1
40°
2
D
45
Opdrachten
1
53
K
Q
A
Verklaar.
Hoofdstuk
opdrachten
Is P^BQ = K^BL?
P
L
B
54
1 Als twee rechten uit een punt P, buiten (figuur 1) of binnen (figuur 2) een
cirkel gelegen, deze cirkel snijden in A en B, respectievelijk in C en D, dan is
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD .
Bewijs deze eigenschap.
c
P
A
D
A
P
C
1
2
B
C
B
c
D
figuur 1
figuur 2
2 Bereken de lengte van de koorde [ PQ] van c(M;7,5) als PQ ^ AB, AC = 3 en
CB = 12 .
P
A
3
12
C
Q
46
M
B
De cirkel
Op de figuur zijn X en Y de middelpunten
van de getekende cirkelbogen.
Bereken de hoek a.
22°
Als je in een cirkel c(O,r) een koorde
[ AB] verlengt met BC = r en de
^ = 3 ⭈ A^
middellijn CD trekt, dan is AOD
CD.
Bewijs deze eigenschap die je terugvindt
als stelling 8 in Het boek der lemma’s van
Archimedes (ca. 250 v. Chr.).
57
Y
X
B
A
O
c
D
1 Onder welke hoek zien we de koorde [ AB] vanuit
P, Q en R?
Q
2 Construeer een cirkelboog van waaruit een lijnstuk P
[CD] van 5 cm gezien wordt onder een hoek van 60°.
3 Zijn er nog andere punten van waaruit [ CD] gezien
wordt onder een hoek van 60°?
A
Zo ja, welke?
4 Wat is de verzameling van punten van waaruit een
lijnstuk [E F ] van 4 cm gezien wordt onder een hoek
van 90°?
58
C
opdrachten
56
1
a
Hoofdstuk
55
R
M
26°
B
c
E en voetbaltrainer wil op een training zijn
spelers op doel laten schieten onder
eenzelfde schiethoek.
Hij weet dat hij hierbij een cirkelboog moet
laten uitlijnen, waarvan het middelpunt M
op de middelloodlijn van [ AB] moet
liggen.
1 Op welke afstand van de doellijn ligt
M als de schiethoek 35° moet
bedragen?
2 Hoe groot is de schiethoek en de straal
van de cirkelboog als M op 5 m van de
doellijn ligt?
7,32 m
A
B
47
Opdrachten
1
59
opdrachten
Hoofdstuk
1 E en lijnstuk met lengte l is middelevenredig tussen lijnstukken met lengtes a
a l
en b als en slechts als l2 = a ⭈ b of = .
l b
Verklaar waarom op de onderstaande figuren [ AD] middelevenredig is tussen
[ AB] en [ AC ] .
D
D
l
l
M
A
B
a
C
b
M
B
A
C
a
b
2 Construeer een lijnstuk dat middelevenredig is tussen de gegeven lijnstukken
[ AB] en [CD] .
6 cm
A
B
C
2,5 cm
D
DERDE REEKS
60
^
Bereken de middelpuntshoek AMB.
S
10°
B
C
31°
D
48
A
?
M
E
De cirkel
1.3 Raaklijn aan een cirkel
61
In de cirkel c is de middelpuntshoek
^ = 118° en t is een raaklijn aan c in B.
AMB
Bereken de hoek ^B .
c
M
t
118°
A
1
De rechte t is een raaklijn uit P aan de cirkel
c(M,r) met raakpunt Q.
Bereken de hoek Q^PR met de gegevens
in de figuur.
P
B
opdrachten
1
62
1
Hoofdstuk
EERSTE REEKS
c
M
Q
25°
R
t
63
Wat is de verzameling van de middelpunten van de cirkels die een straal van 3 cm
hebben en raken aan een gegeven rechte a?
64
In de figuur is de cirkel c(M,r) getekend met
raaklijnen PA en PB.
PA = 7,8 en AB = 6.
A
P
N
1 Bereken de straal van de cirkel.
2 Bereken de hoek A^PB.
M
c
B
49
Opdrachten
1
65
E en vliegtuig V vliegt boven de Noordpool N.
Hoofdstuk
A is één van de zichtbare plaatsen op aarde
met de grootste reikwijdte.
opdrachten
Bereken de hoogte h waarop het vliegtuig
zich boven de aarde bevindt, als A
op 87° NB ligt.
De straal van de aarde is 6378 km.
V
A
h
N
TWEEDE REEKS
66
De planeten Venus (V) en aarde (A)
beschrijven bij benadering cirkelvormige
banen rond de zon (Z).
1 Teken een stand van V en een stand van A
waarbij de hoek V^AZ het grootst is.
2 Herhaalde metingen van de hoek V^AZ
laten toe te besluiten dat de maximale
grootte van deze hoek 46° is.
Bereken hieruit de straal van de Venusbaan, als je weet dat de afstand tussen
de aarde en de zon 150 miljoen kilometer
bedraagt.
V
Z
A
50
De cirkel
De rechte a is een raaklijn in A aan de cirkel die
de hoekpunten van de driehoek ABC bevat.
1
a
Hoofdstuk
67
Bereken de hoek a met de gegevens in de figuur.
A
70°
P
68
E en vierkant ABCD heeft als zijde 10.
B
C
A
D
E en cirkel c(M,r) gaat door A en B en raakt aan
[CD] .
Bereken de straal r van de cirkel.
c
10
M
B
69
opdrachten
80°
a
C
E en satelliet blijft boven hetzelfde punt op de evenaar als de aarde draait.
Als de aarde gezien wordt onder een hoek van 28°, welk deel van de evenaar is
dan zichtbaar vanuit de satelliet?
28°
51
Opdrachten
1
DERDE REEKS
Hoofdstuk
70
Twee zijden van de driehoek ABC raken aan een
halve cirkel met middelpunt M.
AB = 3 , BC = 4 en AC = 5 .
A
opdrachten
Bereken E C .
D
B
M
E
C
71
M1
T
M2
c2
S
c1
Gegeven zijn de cirkels c1 ( M1 ;4,5) en c2 ( M2 ,2) waarbij M1 M2 = 8 .
De twee cirkels hebben twee uitwendig gemeenschappelijke raaklijnen die elkaar
snijden in S en twee inwendig gemeenschappelijke raaklijnen die elkaar snijden
in T.
Omdat de gemeenschappelijke middellijn M1M2 een symmetrie-as is van de beide
cirkels, liggen S en T op deze middellijn.
1 Bereken SM2 en TM2 .
2 Bereken de hoeken ^S en ^T, gevormd door deze uitwendige en inwendige
gemeenschappelijke raaklijnen, waaronder de beide cirkels gezien worden
vanuit S en T.
72
52
Hoe lang zijn de rechte stukken van een fietsketting
die loopt over een groot kamwiel met straal 9,5 cm en
met een klein kamwiel met straal 3,5 cm als de
middelpunten van beide kamwielen 46 cm uit elkaar
staan?
De cirkel
1.4 Onderlinge ligging van twee cirkels
73
1
Hoofdstuk
EERSTE REEKS
Vervolledig de volgende tabel.
r2
M1 M2
1
8
2
6
2
7
3
12
3
4
1
0
4
9
2
5
5
6
5
11
6
10
3
8
7
5
3
inwendig rakend
4
8
onderlinge stand van
c1(M1,r1) en c2(M2,r2)
opdrachten
r1
9
uitwendig rakend
74
Wat is de verzameling van de middelpunten van de cirkels die een straal van 3 cm
hebben en die raken aan een gegeven cirkel met middelpunt M en straal 4 cm?
75
E en cirkel met straal 4 en een cirkel met
straal 5 raken elkaar uitwendig en beide raken
inwendig aan een cirkel met straal 12.
Bepaal de omtrek van de driehoek gevormd
door de middelpunten van deze drie cirkels.
A 18
B 21
C 24
D 25
E 26
(Bron © JWO, eerste ronde 2009)
53
Opdrachten
1
76
opdrachten
Hoofdstuk
1 Construeer een cirkel die de cirkels
c1 en c2 uitwendig raakt.
c1
2 Construeer een cirkel die de cirkels
c1 en c2 inwendig raakt.
c2
TWEEDE REEKS
77
1 Noem A en B de snijpunten van de
cirkels c1 en c2 met middelpunten
M1 en M2.
A
Waarom is M1M2 de middelloodlijn
van [ AB] ?
2 Twee cirkels c1(M1,8) en c2(M2,5)
snijden elkaar in A en B.
Bereken AB als M1 M2 = 12.
78
M2
M1
c1
B
c2
Binnen een cirkel met straal 2 bevinden zich twee even
grote cirkels met straal 1 die elkaar uitwendig raken en
de grote cirkel inwendig raken. Buiten de twee kleine
cirkels en binnen de grote cirkel bevindt zich een
kleinere cirkel die de andere drie cirkels raakt.
Bereken de straal van die kleinste cirkel.
(Bron © Nederlandse Wiskunde Olympiade, eerste ronde 2003)
54
De cirkel
1
79
De cirkels c1(M1,r1) en c2(M2,r2) raken elkaar uitwendig in P.
E en gemeenschappelijke snijlijn door P snijdt c1 in Q en c2 in R.
Hoofdstuk
DERDE REEKS
Is de raaklijn in Q aan c1 evenwijdig met de raaklijn in R aan c2? Verklaar.
Twee cirkels snijden elkaar in A en in B en
de gemeenschappelijke koorde heeft als
lengte 10.
Het lijnstuk dat de middelpunten van de
cirkels verbindt, snijdt de cirkels in P en
in Q.
PQ = 3 en de straal van één van de
cirkels is 13.
opdrachten
80
Bereken de straal van de andere cirkel.
55
Opdrachten
Hoofdstuk
1
1.5 Omgeschreven en ingeschreven cirkel van een
driehoek
opdrachten
EERSTE REEKS
81
Construeer de omgeschreven en de ingeschreven cirkel van de driehoek ABC met
zijden AB = 5 cm , BC = 6 cm en AC = 7 cm .
82
In een stad zijn drie basisscholen A, B en C. De ouders sturen hun kinderen naar de
dichtstbijzijnde school.
1 Waar wonen de ouders die kunnen kiezen
tussen de drie scholen?
A
Construeer deze woonplaats op de figuur.
B
2 Arceer het gebied waar de ouders wonen
die hun kinderen naar school A sturen.
83
C
E en gelijkbenige driehoek ABC heeft als
A
tophoek B^AC = 48°.
Als O het middelpunt is van de ingeschreven
cirkel, dan is de hoek B^OC gelijk aan
48°
A 96°
B 108°
C 114°
O
D 122°
E 132°
C
B
(Bron © JWO, eerste ronde 2008)
84
De straal van de ingeschreven cirkel van een gelijkzijdige driehoek is 10.
Bereken de straal van de omgeschreven cirkel van deze driehoek.
56
De cirkel
1
85
Construeer de cirkel die raakt aan de
zijde [ BC ] van de driehoek ABC en aan de
verlengden [ BD en [ CE van de andere
zijden van deze driehoek.
A
We noemen deze cirkel de aangeschreven
cirkel van de driehoek ABC.
Hoofdstuk
TWEEDE REEKS
E
C
opdrachten
B
D
86
Als a, b en c de zijden zijn van driehoek ABC en
r is de straal van de omgeschreven cirkel, dan is
abc
oppD ABC =
.
4r
A
b
c
Bewijs.
r
M
B
a
C
DERDE REEKS
87
1 Construeer een rechthoekige driehoek die een hoek van 60° heeft en waarvan
de straal van de ingeschreven cirkel 2 cm is.
2 Bereken de zijden van deze driehoek.
88
In de gelijkzijdige driehoek ABC met zijde 10 zijn drie
congruente cirkels getekend. Elk van deze cirkels raakt aan
twee zijden van de driehoek en aan de twee andere cirkels.
Bereken de straal van deze cirkels.
A
10
B
C
57
Opdrachten
1
1.6 Regelmatige veelhoeken
Hoofdstuk
EERSTE REEKS
89
E en voetbal bestaat uit 20 regelmatige
opdrachten
zeshoeken en 12 regelmatige vijfhoeken.
Om een voetbal te maken worden de vijfhoeken
en zeshoeken met de goede kant tegen elkaar
gelegd en aan elkaar genaaid.
Per naad zijn er 8 steken.
Hoeveel steken zijn er nodig om een voetbal
volledig dicht te naaien?
90
Van welke regelmatige n-hoek zijn de hoeken 162°?
91
Voor een gegeven regelmatige vijfhoek ABCDE kan
een cirkel c met middelpunt M getekend worden
die raakt aan DC in D en aan AB in A.
^
Bereken de hoek AMD.
E
M
A
D
B
92
Bereken de gekleurde oppervlakte in de regelmatige achthoek met zijde 4.
1
58
4
2
4
C
De cirkel
1
93
Hoofdstuk
TWEEDE REEKS
E en wandelaar gaat 100 m in rechte lijn,
draait dan precies 10° naar rechts, gaat
dan weer 100 m rechtdoor, draait dan weer
10° naar rechts en marcheert zo verder tot
hij terug in zijn beginpunt komt.
opdrachten
1 Welke regelmatige veelhoek heeft hij
beschreven?
2 Hoe lang duurde zijn wandeling als hij
een gemiddelde snelheid van 4 km/h haalde?
3 Hoeveel bedraagt de grootste afstand tussen de wandelaar en zijn startpunt?
94
Als een regelmatige zeshoek ingeschreven is in een cirkel met straal r, dan is de
lengte van een diagonaal die niet door het middelpunt gaat gelijk aan
3r
E r 5
A r 2
B
C r 3
D 2r
2
(Bron © VWO, eerste ronde 1996)
DERDE REEKS
95
ABCDE is een regelmatige vijfhoek met
1
middelpunt M waarbij AP = AB en
4
1
BN = BC .
3
Wat is de verhouding van de gearceerde
oppervlakte tot de totale oppervlakte van de
vijfhoek?
A
P
B
E
N
M
D
A
1
5
B
13
60
C
7
30
D
1
4
C
E
2
5
(Bron © JWO, tweede ronde 2008)
59
Opdrachten
1
96
Onderzoeksopdracht
Hoofdstuk
Met regelmatige veelhoeken zijn veel vlakvullingen mogelijk.
Zo kun je met regelmatige zeshoeken een vlakvulling maken waarbij in elk
hoekpunt drie zeshoeken samenkomen.
opdrachten
We noemen dit een 6 ⭈ 6 ⭈ 6 of 63 vlakvulling.
6
6
6
1 Verklaar waarom we de nevenstaande
vlakvulling een 6 ⭈ 34 vlakvulling noemen.
2 Teken zelf een stuk van een
a 4 ⭈ 3 ⭈ 4 ⭈ 32 vlakvulling.
b 82 ⭈ 4 vlakvulling.
3 Geef zelf nog enkele vlakvullingen die mogelijk zijn met regelmatige
veelhoeken.
97
Onderzoeksopdracht
Door een regelmatige veelhoek
ABCDE F te spiegelen t.o.v. één
van zijn zijden, vervolgens het
spiegelbeeld weer te spiegelen
t.o.v. één van zijn zijden,
enzovoort, krijgen we een krans A
van regelmatige veelhoeken.
Hiernaast zie je een krans die
bestaat uit zes regelmatige
zeshoeken (bijencellen).
Het is gelukt om die krans te
tekenen omdat de hoek a
(= 60°) tussen twee
opeenvolgende spiegelassen a
en b een geheel aantal keren
(6 maal) past in 360°.
60
F
E
a
b
D
a = 60°
B
C
De cirkel
Is a de hoek tussen twee opeenvolgende spiegelassen, dan weet je dat er een
krans mogelijk is als er een natuurlijk getal k bestaat zó dat k ⭈ a = 360°.
Dit getal k is dan het aantal veelhoeken van de krans.
Om hieruit een verband tussen n en k af te leiden, moet je a berekenen in
functie van n.
Dit verband kun je berekenen in drie stappen a, b en c.
a Bepaal eerst een verband tussen a,
de hoek tussen twee opeenvolgende
spiegelassen en b, de hoek van de
regelmatige veelhoek zelf.
Voor regelmatige vijfhoeken zie je op
de nevenstaande tekening dat
a + 3b = 360°.
1
opdrachten
2 We gaan nu op zoek naar alle regelmatige veelhoeken, waarvoor het lukt om
een krans te maken met een regelmatig veelhoekig gat in het midden.
Daarom zoek je een verband tussen twee variabelen n en k met
n: het aantal zijden van de regelmatige veelhoek
k: het aantal veelhoeken van de krans, d.i. het aantal zijden van de
inwendige veelhoek
Hoofdstuk
1 Onderzoek met een dynamisch meetkundepakket of je een dergelijke krans
kunt maken met vijfhoeken, zevenhoeken, achthoeken, negenhoeken,
tienhoeken, elfhoeken en twaalfhoeken.
Verklaar telkens waarom de constructie mogelijk is of niet.
b
a
Pas deze formule nu aan voor een
zeshoek, een zevenhoek, ... en
veralgemeen voor een n-hoek.
b Druk b uit in functie van n.
c Substitueer nu de uitdrukking voor b
die je in b vond, in de formule voor a die je in a vond en je vindt een
verband tussen a en n.
Toon aan dat je dit verband kunt herschrijven als k ⭈ a = 360° met
2n
k=
.
n− 4
Als je het verband tussen k en n gevonden hebt, is het vinden van kransen
teruggebracht tot een rekenkundig probleem: bij welke waarden van n is k een
natuurlijk getal groter of gelijk aan 3?
Maak nu een lijst van alle mogelijke kransen en zet er een tekening bij.
61
Herhalingsopdrachten
1
Herhalingsopdrachten
Hoofdstuk
98
Teken alle cirkels met straal 3 cm die [ AB] als koorde hebben.
herhalingsopdrachten
A
99
B
Bereken de hoeken ^A1, ^A2, ^D1, ^D2, E^, ^F1 en ^M2
met de gegevens aangeduid in de cirkel met
middelpunt M.
A
1 2
108°
1
2
B
E
F
M
2
1
58°
D
C
100 Gegeven de cirkel c(M,6) met M^1 = M^2 = M^3.
1 Toon aan dat AB = BC = CD = 6 .
2 Toon aan dat SC = SB ( = x ) en
SA = SD ( = y ) .
B
C
x
y
S
2
1
A
3
D
M
3 Bereken x en y.
c
101
E en olievat dat neerligt heeft een
diameter van 50 cm. Om een schans
te maken, legt men er een plank op.
Wat is de hoek die de plank maakt
met de grond?
2m
102 Twee cirkels c en c’ hebben hetzelfde middelpunt M en als straal 4 cm en 6 cm.
[ ]
E en raaklijn aan de kleinste cirkel bepaalt een koorde AB van de grootste
cirkel.
Bereken AB .
62
De cirkel
103 In de trapzaal van een flatgebouw bevindt zich een prismavormige ruimte, met
1
Hoofdstuk
een rechthoekige driehoek als grond- en bovenvlak.
In die ruimte komt een cilindervormige stortkoker voor huisvuil.
Bereken de diameter van de grootst mogelijke stortkoker.
herhalingsopdrachten
1m
2,4 m
104 De cirkel c heeft als middelpunt O en als
D
straal 12.
C
Bereken AD met de gegevens in de figuur.
5
A
12
O
12
B
c
105 In de figuur zijn 7 rakende cirkels getekend
en een zeshoek waarvan de hoekpunten de
middelpunten van 6 cirkels zijn.
De oppervlakte van elk van de cirkels is
gelijk aan 1 cm2.
1 Bereken de oppervlakte van het
gearceerde gebied.
2 Bereken de omtrek van de zeshoek.
3 Bereken de oppervlakte van de zeshoek.
63
Herhalingsopdrachten
1
106 Lies staat midden voor een gebouw dat 48 m breed is. Als ze 25 m dichter bij het
gebouw staat, ziet ze dat onder een twee keer zo grote hoek.
herhalingsopdrachten
Hoofdstuk
1 Hoe ver staat Lies in beide gevallen van het gebouw af?
2 Onder welke hoeken ziet ze dan in beide gevallen het gebouw?
107 In de gelijkbenige driehoek PQR is PQ = 18 en PR = QR = 15 .
1 Bereken de straal van de ingeschreven cirkel c1 van de driehoek PQR.
2 Bereken de straal van de cirkel c2 die raakt aan de zijden [ PR] en [ QR] en de
cirkel c1 uitwendig raakt.
R
J
c2
15
15
I
c1
P
64
18
Q