Functionaalanalyse Inhoudsopgave

'
$
1e Licentie Wiskunde (FTW)
R. Lowen en J. van Casteren
Functionaalanalyse
Inhoudsopgave
1 Basisbegrippen in vectorruimten
1
2 Topologische vectorruimten
3
3 De Stelling van Hahn-Banach
6
4 Dualiteit
8
5 Getonde ruimten
&
Gebaseerd op syllabus van Prof. Dr. R. Lowen
11
%
HOOFDSTUK 1
Basisbegrippen in vectorruimten
In wat volgt veronderstellen we steeds dat E een reële vectorruimte is.
1.1. Definitie. Als x ∈ E, A, B ⊂ E, λ ∈ R en A ⊂ 2E , dan noteren we
x + A + {x + A | a ∈ A},
A + B + a + b | a ∈ A, b ∈ B},
λA + {λa | a ∈ A},
x + A + {x + A | A ∈ A}.
1.2. Definitie. A ⊂ E noemt men convex als ∀α, β ∈ [0, 1] zodat α + β = 1 en ∀x, y ∈ A
geldt dat αx + βy ∈ A. Men noemt A gebalanceerd als ∀λ ∈ R zodat |λ| ≤ 1 en ∀x ∈ A
S
geldt dat λx ∈ A, i.e. als |λ|≤1 λA ⊂ A. Men A absoluut convex als A zowel convex als
gebalanceerd is.
1.3. Propositie. A ⊂ E is absoluut convex als en slechts als ∀α, β ∈ R zodat |α| + |β| ≤ 1
en ∀x, y ∈ E geldt dat αx + βy ∈ A.
1.4. Propositie. Als A ⊂ E absoluut convex is dan geldt:
(1) 0 ∈ A.
(2) ∀λ, µ ∈ R : |λ| ≤ |µ| ⇒ λA ⊂ µA.
P
P
(3) ∀(λi )ni=1 ⊂ R : ni=1 λi A = ( n=1 |λi |) A.
1.5. Propositie. (1) De intersectie van een willekeurige familie convexe delen is convex.
(2) De intersectie van een willekeurige familie gebalanceerde delen is gebalanceerd.
(3) De intersectie van een willekeurige familie absoluut convexe delen is absoluut convex.
1.6. Definitie. Stel A ⊂ E. De kleinste convexe verzameling die A omvat noemt men de
convexe omhullende van A en we noteren deze c(A), de kleinste gebalanceerde verzameling die A omvat noemt men de gebalanceerde omhullende van A en we noteren deze b(A),
en de kleinste absoluut convexe verzameling die A omvat noemt men de absoluut convexe
omhullende van A en we noteren deze ac(A).
1.7. Propositie. Stel A ⊂ E.
P
P
(1) c(A) = { ni=1 λi xi | ni=1 λi = 1, ∀i : λi ≥ 0, xi ∈ A}.
1
Hoofdstuk 1. Basisbegrippen in vectorruimten
(2) b(A) = {λx | |λ| ≤ 1, x ∈ A}.
P
P
(3) ac(A) = { ni=1 λi xi | ni=1 |λi | = 1, ∀i : xi ∈ A}.
(4) ac(A) = c(b(A)).
1.8. Definitie. Een maximale strikte deelruimte van E noemt men een hyperruimte. Een
translatie van een hyperruimte noemt men een hypervlak.
1.9. Propositie. Voor een deelruimte H ⊂ E zijn de volgende eigenschappen equivalent:
1. H is een hyperruimte.
2. ∃e ∈ E \ H : E = H + Re.
3. ∃f : E −→ R : f lineair en f 6= 0 zodat H = ker f .
4. dim(E/H) = 1.
2
HOOFDSTUK 2
Topologische vectorruimten
2.1. Definitie. Men noemt E een topologische vectorruimte als de volgende voorwaarden
voldaan zijn:
1. E is een vectorruimte,
2. E is een topologische ruimte,
3. Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn continu, i.e.
(a) + : E × E −→ E : (x, y) 7→ x + y is continu,
(b) · : R × E −→ E : (λ, y) 7→ λx is continu.
In wat volgt noteren we de omgevingenfilter van een punt x in een topologische ruimte door
V(x).
2.2. Propositie. Stel E een topologische vectorruimte.
1. ∀x ∈ E : V(x) = x + V(0).
2. ∀V ∈ V(0), ∃W ∈ V(0) : W + W ⊂ V .
3. ∀V ∈ V(0), ∀λ ∈ R : λV ∈ V(0).
2.3. Definitie. Stel E een topologische vectorruimte. Men noemt V ⊂ E absorberend
indien ∀x ∈ E, ∃α > 0 : |λ| ≤ α ⇒ λx ∈ V .
2.4. Propositie. Stel E een topologische vectorruimte, dan geldt:
1. Iedere omgeving van 0 is absorberend.
2. Er bestaat een basis voor de omgevingenfilter van 0 bestaande uit gebalanceerde omgevingen.
2.5. Propositie. Stel E een vectorruimte. Stel dat een filterbasis B(0) op E gegeven is met
de volgende eigenschappen:
1. ∀V ∈ B(0), ∃W ∈ B(0) : W + W ∈ V ,
2. Iedere V ∈ B(0) is absorberend en gebalanceerd.
3
Hoofdstuk 2. Topologische vectorruimten
Dan bestaat er een unieke topologie op E waarvoor B(0) een basis is voor de omgevingenfilter
van 0 en waarvoor E een topologische vectorruimte is.
2.6. Propositie. Een topologische vectorruimte is regulier.
2.7. Definitie. Een semi-norm op een vectorruimte E is een functie
p : E −→ R+
die voldoet aan de volgende eigenschappen:
1. ∀x, y ∈ E : p(x + y) ≤ p(x) + p(y),
2. ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R : p(λx) = |λ|p(x).
2.8. Propositie. Stel E een topologische vectorruimte en stel p een semi-norm op E. Dan
zijn de volgende eigenschappen equivalent:
1. p is continu.
2. {p < 1} is open.
3. {p < 1} ∈ V(0).
4. {p ≤ 1} ∈ V(0).
5. p is continu in o.
2.9. Propositie. Stel E een topologische vectorruimte, en p en q semi-normen op E. Als
p continu is en q ≤ p, dan is ook q continu.
2.10. Propositie. Indien E een vectorruimte is en (pi )i∈I is een familie semi-normen op
E, dan is
(n
)
\
B(0) +
Bpij (0, ) | > 0, ij ∈ I, n ∈ N
j=1
een filterbasis die voldoet aan de voorwaarden uit 2.5. De topologie hierdoor voortgebracht is
bovendien de grofste waarvoor alle pi , i ∈ I continu zijn, i.e. het is de initiale topologie voor
de source
(pi : E −→ R+ )i∈I
waar R+ de Euclidische topologie draagt.
2.11. Propositie. Een genormeerde ruimte is een topologische vectorruimte.
2.12. Definitie. Gegeven een topologische vectorruimte E en A ⊂ E dan noemt men de
sluiting c(A) van c(A) de gesloten convex omhullende van A. De sluiting ac(A) van ac(A)
noemt men kortweg de omhullende van A.
2.13. Propositie. Zij E een topologische vectorruimte en A een convex (resp. gebalanceerd)
deel, dan zijn ook A◦ en A convex (resp. gebalanceerd; als 0 ∈ A◦ voor het geval ◦ ).
2.14. Definitie. Een topologische vectorruimte waarvoor een basis voor V(0) bestaat met
uitsluitende convexe omgevingen noemt men lokaal convex.
2.15. Propositie. Als E een lokaal convexe ruimte is dan bestaat er een basis voor V(0)
bestaande uit (open) absoluut convexe omgevingen.
4
Hoofdstuk 2. Topologische vectorruimten
2.16. Propositie. Als E een topologische vectorruimte is en V een open absoluut convexe
omgeving van 0 dan bestaat er een unieke semi-norm p waarvoor V = {p < 1}.
De semi-norm geassocieerd met V in het voorgaande noemt men de gauge van V .
2.17. Propositie. Stel E een topologische vectorruimte. Dan is E een lokaal convexe ruimte
als en slechts als de topologie van E voortgebracht is door een familie semi-normen zoals in
2.10. E zal bovendien Hausdorff zijn als en slechts als voor iedere x ∈ E een semi-norm p
bestaat zodat p(x) > 0.
2.18. Propositie. Een lokaal convexe ruimte heft een basis voor V(0) bestaande uit gesloten
absoluut convexe omgevingen.
2.19. Propositie. Als E een eindigdimensionale vectorruimte is dan bestaat er één en
slechts één Hausdorff topologie op E waardoor E een topologische vectorruimte wordt. Als
dim(E) = n, dan is E isomorf met Rn .
2.20. Propositie. Stel dat E een eindigdimensionale vectorruimte is en F een willekeurige
topologische vectorruimte, dan is iedere lineaire functie van E naar F continu.
2.21. Propositie. Iedere semi-norm op een eindigdimensionale Hausdorff topologische vectorruimte is continu.
2.22. Propositie. Een eindigdimensionale deelruimte van een Hausdorff topologische vectorruimte is gesloten.
5
HOOFDSTUK 3
De Stelling van Hahn-Banach
3.1. Propositie (Hahn-Banach, analytische vorm). Stel E een vectorruimte. Stel p :
E −→ R een functie die voldoet aan
(1) ∀x ∈ E, ∀λ > 0 : p(λx) = λp(x),
(2) ∀x, y ∈ E : p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Stel F een deelruimte van E en stel g : F −→ R een lineaire functie waarvoor geldt
∀x ∈ F : g(x) ≤ p(x).
Dan bestaat er een lineaire functie f : E −→ R zodat
(1) ∀x ∈ F : f (x) = g(x),
(2) ∀x ∈ E : f (x) ≤ p(x).
3.2. Propositie. Stel E een vectorruimte, p : E −→ R een semi-norm, F een deelruimte
van E en g : F −→ R een lineaire functie waarvoor geldt
∀x ∈ F : g(x) ≤ p(x),
dan bestaat een lineaire functie f : E −→ R zodat |f | ≤ p.
3.3. Propositie. Stel E een vectorruimte, p : E −→ R een semi-norm en x0 ∈ E. Dan
bestaat er een lineaire functie zodat
f (x0 ) = p(x0 ) en |f | ≤ p.
3.4. Propositie. Stel E een genormeerde ruimte, F een deelruimte en g : F −→ R een
continue lineaire functie. Dan bestaat er een continue lineaire functie f : E −→ R zodat
(1) ∀x ∈ F : f (x) = g(x),
(2) kf k = kgk.
3.5. Propositie. Stel E een genormeerde ruimte en x0 ∈ E, dan bestaat er een continue
lineaire functie f : E −→ R zodat
(1) f (x0 ) = kx0 k2 ,
(2) kf k = kx0 k.
6
Hoofdstuk 3. De Stelling van Hahn-Banach
3.6. Propositie. Stel E een genormeerde ruimte, dan geldt voor elke x ∈ E:
kxk = sup |f (x)| = max0 |f (x)|.
f ∈E ,
kf k≤1
f ∈E 0 ,
kf k≤1
3.7. Propositie (Hahn-Banach, meetkundige vorm). Stel E een topologische vectorruimte, ∅ =
6 A ⊂ E open en convex, en M een lineaire variëteit zodat A∩M = ∅, dan bestaat
er een gesloten hypervlak H zodat M ⊂ H en A ∩ H = ∅.
3.8. Definitie. Men noemt twee delen A en B van een topologische vectorruimte gesepareerd (respectievelijk strikt gesepareerd ) door het gesloten hypervlak H als A in de ene
gesloten (respectievelijk open) halfruimte geassocieerd met H ligt en B in de andere gesloten
(respectievelijk open) halfruimte.
3.9. Propositie. Stel E een topologische vectorruimte, ∅ =
6 A ⊂ E open en convex, en
∅ =
6 B ⊂ E convex zodat A ∩ B = ∅, dan bestaat er een gesloten hypervlak dat A en B
separeert.
3.10. Propositie. Stel E een topologische vectorruimte, ∅ =
6 A ⊂ E open en convex, en
∅=
6 B ⊂ E open en convex zodat A ∩ B = ∅, dan bestaat er een gesloten hypervlak dat A en
B strikt separeert.
3.11. Propositie. Stel E een lokaal convexe topologische vectorruimte, ∅ =
6 A ⊂ E compact
en convex, en ∅ =
6 B ⊂ E gesloten convex zodat A ∩ B = ∅, dan bestaat er een gesloten
hypervlak dat A en B separeert.
3.12. Definitie. Stel K een convexe verzameling. Men noemt a ∈ K een extremaal punt
(van K) als er geen b 6= c ∈ K en 0 < λ < 1 bestaan zodat a = λb + (1 − λ)c. De verzameling
van alle extremale punten van K noteren we met ext(K).
3.13. Propositie. Stel E een lokaal convexe ruimte, en ∅ =
6 C ⊂⊂ E gesloten en convex.
Dan geldt dat A ⊂ C als en slechts als voor alle u : E −→ R affien en continu, geldt dat als
u(C) ≥ 0 tevens u(A) ≥ 0.
3.14. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte en 0 6= x ∈ E, dan bestaat
er een f ∈ E 0 zodat f (x) 6= 0.
3.15. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte en ∅ =
6 A ⊂ E convex en
compact. Als f : A −→ R een convexe continue functie is dan bereikt f zijn maximum op
ext(A).
3.16. Definitie. Als E een vectorruimte is en ∅ 6= A ⊂ E dan noemt men een hypervlak
H een raakhypervlak van A als A ∩ H 6= ∅ en A aan één kant van H ligt. Merk op dat
indien H = {f = α}, H een raakhypervlak is van A als en slechts als α = min f (A) of
α = max f (A).
3.17. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte en ∅ =
6 A ⊂ E convex en
compact. Als H een gesloten raakhypervlak is van A dan geldt dat H ∩ ext(A) 6= ∅.
3.18. Propositie (Krein-Milman). Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte en ∅ 6=
A ⊂ E convex en compact. Dan geldt A = c(ext(A)).
7
HOOFDSTUK 4
Dualiteit
4.1. Definitie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte. Voor alle x ∈ E beschouwen
we de afbeelding
x̃ : E 0 −→ R : f 7→ f (x).
De afbeelding
˜: E −→ E 0∗ : x 7→ x̃
is lineair en injectief en dus kunnen we E opvatten als deelruimte van het algebraı̈sche duaal
van E. Op E 0 kunnen we nu de lokaal convexe topologie plaatsen die voortgebracht is door
alle semi-normen
px : E 0 −→ R : f 7→ |f (x)|,
x ∈ E.
Deze topologie noteert men σ(E 0 , E) en men noemt dit de zwak*-topologie. Op duale manier
kan men op E een andere topologie plaatsen dan de oorspronkelijke lokaal convexe topologie,
met name de lokaal convexe topologie voortgebracht door de familie van semi-normen
pf : E −→ R : x 7→ |f (x)|,
f ∈ E 0.
Deze topologie noteert men σ(E, E 0 ) en men noemt dit de zwakke topologie.
4.2. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte. Dan is σ(E, E 0 ) de zwakste
topologie op E waarvoor alle lineaire afbeeldingen in E 0 continu zijn, en tevens de zwakste
topologie waarvoor alle semi-normen pf , f ∈ E 0 continu zijn.
4.3. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte, en A ⊂ E convex. Dan is A
gesloten als en slechts A zwak gesloten is.
4.4. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte. Dan zijn zowel σ(E, E 0 ) en
σ(E 0 , E) Hausdorff topologieën.
4.5. Definitie. Op analoge wijze als in de voorgaande definitie kunnen we de volgende
algemenere situatie beschouwen. Stel dat E en F vectorruimten zijn, en dat
h , i : E × F −→ R
een bilineaire vorm is zodat
(1) ∀x ∈ E \ {0}, ∃y ∈ F : hx, yi =
6 0,
(1) ∀y ∈ F \ {0}, ∃x ∈ E : hx, yi =
6 0,
8
Hoofdstuk 4. Dualiteit
dan noemt men het koppel (E, F ) een duaal paar. Gegeven een duaal paar kunnen we E
steeds opvatten als deelruimte van het algebraı̈sche duaal van E, op dezelfde manier als
voorheen. Eveneens op analoge manier kunnen we de topologie σ(E, F ) op E definiëren.
Als E een Hausdorff lokaal convexe ruimte is dan zijn (E, E 0 ) en (E 0 , E) duale paren.
4.6. Propositie. Als E en F Hausdorff lokaal convexe ruimten zijn en (E, F ) een duaal
paar is, dan is F het duaal van (E, σ(E, F, )).
4.7. Definitie. Als E een Hausdorff lokaal convexe ruimte is en A ⊂ E dan definiëren we
◦
0
A + f ∈ E | sup |f (x)| ≤ 1 .
x∈A
De verzameling A◦ noemt men het polair van A.
4.8. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte en A ⊂ E, B ⊂ E en ∀j ∈
J : Aj ⊂ E. Dan geldt:
1. A◦ is absoluut convex en zwak*-gesloten.
2. A ⊂ B ⇒ B ◦ ⊂ A◦ .
3. λ 6= 0 ⇒ (λA)◦ = λ1 A◦ .
!◦
[
\
4.
Aj
=
Aj ◦ .
j∈J
4.9. Voorbeeld.
j∈J
1. Als E een genormeerde ruimte is dan geldt
(BE∗ (0, 1))◦ = BE∗ 0 (0, 1).
2. Als E een Hausdorff lokaal convexe ruimte is en M een deelruimte dan geldt
M ◦ = {f ∈ E 0 | f (M ) = 0}.
3. Als E een Hausdorff lokaal convexe ruimte, dan geldt voor een deel A ⊂ E 0 dat A
equicontinu is als en slechts als er een omgeving U van de oorsprong bestaat in E
zodat A ⊂ U ◦ .
4.10. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte, en A ⊂ E dan geldt A◦ ◦ =
ac(A).
4.11. Propositie. Stel E en F Hausdorff lokaal convexe ruimten. Dan is een lineaire
afbeelding u : E −→ F continu als en slechts als voor iedere continue semi-norm q op F
geldt dat q ◦ u een continue semi-norm is op E.
4.12. Definitie. Stel E en F vectorruimten, en u : E −→ F lineair. De afbeelding
τ
u : F ∗ −→ E ∗ : y ∗ 7→ y ∗ ◦ u
noemt men de toegevoegde van u.
4.13. Propositie. Stel E en F Hausdorff lokaal convexe ruimten, en u : E −→ F lineair.
Dan is de afbeelding
u : (E, σ(E, E 0 )) −→ (F, σ(F, F 0 ))
continu, als en slechts als τ u(F 0 ) ⊂ E 0 .
9
Hoofdstuk 4. Dualiteit
4.14. Definitie. Stel E en F Hausdorff lokaal convexe ruimten, en u : E −→ F lineair. Als
de afbeelding
u : (E, σ(E, E 0 )) −→ (F, σ(F, F 0 ))
continu is, dan noemt men u zwak continu.
4.15. Propositie. Stel E en F Hausdorff lokaal convexe ruimten, en u : E −→ F lineair.
Als u continu is, dan is u eveneens zwak continu.
10
HOOFDSTUK 5
Getonde ruimten
5.1. Definitie. Gegeven de topologische ruimte X en A ⊂ X noemt men A nergens dicht
◦
als (A) = ∅. Men noemt A van de 1e categorie of mager als A een aftelbare unie is van
nergens dichte verzamelingen. A is van 2e categorie als A niet van 1e categorie is. Men
noemt X een Baire ruimte als iedere aftelbare familie van open en dichte verzamelingen een
dichte doorsnede heeft.
5.2. Propositie. Stel X een topologische ruimte. Dan is X een Baire ruimte als en slechts
als ieder deel van X dat van 1e categorie is een leeg inwendige heeft.
5.3. Propositie. Een lokaal compacte Hausdorff ruimte is Baire.
5.4. Propositie. Een complete metriseerbare ruimte is Baire.
5.5. Definitie. In een topologische ruimte X noemt men een functie f : X −→ R infrasemicontinu, respectievelijk supra-semicontinu, in a ∈ E indien
∀α < f (a), ∃V ∈ V(a), ∀y ∈ V : α < f (y),
respectievelijk
∀α > f (a), ∃V ∈ V(a), ∀y ∈ V : α > f (y),
Men noemt een functie infra-semicontinu, respectievelijk supra-semicontinu indien ze in alle
punten van haar domein infra-semicontinu, respectievelijk supra-semicontinu is.
5.6. Propositie. Stel X een topologische ruimte.
1. Een functie f : X −→ R is infra-semicontinu als en slechts als voor alle α ∈ R geldt
dat {f > α} open is, of equivalent hiermee als {f ≤ α} gesloten is.
2. Als fi : X −→ R een collectie puntsgewijze van boven begrensde infra-semicontinue
functies is dan is eveneens supi∈I fi infra-semicontinu.
3. Als f : X −→ R infra-semicontinu is en X is compact, dan bereikt f een minimum.
5.7. Propositie. Als X een Baire ruimte is en Y een open deel dan is ook Y een Baire
ruimte.
5.8. Propositie. Als X een Baire ruimte is en f : X −→ R is infra-semicontinu dan bestaat
er voor ieder niet-leeg open deel Y van X een niet-leeg open deel G ⊂ Y zodat sup f (G) < ∞.
11
Hoofdstuk 5. Getonde ruimten
5.9. Propositie. Als X een Baire ruimte is en (fi )i∈I is een familie infra-semicontinue reële
puntsgewijze naar boven begrensde functies, dan bestaat er een niet-leeg open deel waarop de
familie (fi )i∈I uniform naar boven begrensd is.
5.10. Definitie. Als E een topologische vectorruimte is dan noemt men een deel B ⊂ E
een ton als B gesloten, absoluut convex en absorberend is. Men noemt een Hausdorff lokaal
convexe ruimte getond als iedere ton een omgeving van 0 is.
5.11. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte. De volgende beweringen
zijn equivalent:
1. E is getond.
2. Ieder zwak*-begrensd deel van E 0 is equicontinu.
5.12. Definitie. De verzameling van alle continue lineaire functies tussen topologische vectorruimten E en F noteren we hom(E, F ). Een deel H van hom(E, F ) noemt men puntsgewijze begrensd als voor alle x ∈ E de verzameling {u(x) | x ∈ E} begrensd is in F .
5.13. Propositie. Stel E een getonde ruimte, en F een Hausdorff lokaal convexe ruimte.
Als H ⊂ hom(E, F ) puntgewijze begrensd is dan is het equicontinu.
5.14. Propositie. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte. De volgende beweringen
zijn equivalent:
1. E is getond.
2. Iedere infra-semicontinue semi-norm op E is continu.
5.15. Propositie. Een Hausdorff lokaal convexe ruimte die Baire is, is getond.
5.16. Definitie. Een Hausdorff lokaal convexe ruimte wordt een Fréchet ruimte genoemd
als ze compleet metriseerbaar is.
5.17. Propositie. Iedere Fréchet ruimte, in het bijzonder iedere Banach ruimte, is getond.
5.18. Definitie. Als E en F Hausdorff lokaal convexe ruimten zijn, B is een begrensd deel
van E en q is een continue semi-norm op F , dan beschouwen we de volgende semi-norm op
hom(E, F ):
pq,B (u) + sup q(u(x)).
x∈B
Stellen we B de collectie van alle begrensde delen van E dan noemt men de Hausdorff lokaal
convexe topologie voortgebracht door de familie semi-normen
{pq,B | B ∈ B, q continue semi-norm op E}
de b-topologie. hom(E, F ) uitgerust met deze topologie noteren we homb (E, F ). Merk op
dat indien E en F genormeerd zijn de b-topologie samenvalt met de norm-topologie.
5.19. Propositie. Stel E en F Hausdorff lokaal convexe ruimten. Als H ⊂ hom(E, F )
equicontinu is dan is H b-begrensd.
5.20. Propositie (Uniform boundedness principle). Stel E een Banachruimte en F een
genormeerde ruimte. Als H ⊂ hom(E, F ) puntsgewijze begrensd is dan is H uniform begrensd.
12
Hoofdstuk 5. Getonde ruimten
5.21. Propositie (Banach-Steinhaus). Stel E een getonde ruimte en F een Hausdorff
lokaal convexe ruimte. Als (un )n een rij in hom(E, F ) is die puntsgewijze convergeert naar
een functie u dan geldt dat:
1. (un )n −→ u uniform op compacte delen van E,
2. u ∈ hom(E, F ).
5.22. Lemma. Stel E een Hausdorff lokaal convexe ruimte en F een getonde ruimte. Als
u : E −→ F lineair en surjectief is, dan geldt voor iedere omgeving V van 0 in E dat u(V )
een omgeving is van 0 in F .
5.23. Lemma. Stel E en F metrische ruimten, E volledig en u : E −→ F continu. Als
voor iedere r > 0 een ρr > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ E geldt
B(u(x), ρr ) ⊂ u(B(x, r)),
dan geldt voor alle x ∈ E en voor alle koppels r0 > r
B(u(x), ρr ) ⊂ u(B(x, r0 )).
5.24. Propositie (Open mapping theorem). Stel E en F Fréchet ruimten. Als u ∈ hom(E, F )
surjectief is dan is u open.
5.25. Propositie. Stel E en F Fréchet ruimten. Als u ∈ hom(E, F ) bijectief is dan is u
een isomorfisme.
5.26. Definitie. Als u : X −→ Y een functie is dan noemt
graf u + {(x, u(x)) | x ∈ X} ⊂ X × Y,
de graf van u.
5.27. Propositie. Als X en Y topologische ruimten zijn, Y is Hausdorff en u : X −→ Y
is continu, dan is graf f gesloten (in X × Y ).
5.28. Propositie (Banach gesloten graf stelling). Stel E en F Fréchet ruimten en
u : E −→ F lineair. Als graf u gesloten is dan is u continu.
5.29. Propositie (Gesloten graf stelling). Stel E en F Fréchet ruimten en u : E −→ F
lineair. Als voor iedere rij ((xn , u(xn )))n in graf u die convergeert naar een punt (0, y) ∈
graf u geldt dat y = 0, dan is u continu.
13