Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op dinsdag 29

Faculteit der Wiskunde en Informatica
Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E,
op dinsdag 29 Januari 2013, 14.00-17.00
Dit tentamen bestaat uit 10 opgaven waarvoor in totaal 50 punten behaald kunnen worden. Het cijfer voor het
tentamen 2DE04 wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 5 te delen.
De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Het
geven van alleen de antwoorden is niet voldoende: licht gemaakte keuzes toe en vermeld ook relevante
stappen in je berekeningen.
Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is wel en van een laptop is niet toegestaan.
Opgave 1: (5 = 1+1+3 punten)
Beschouw het stelsel lineaire vergelijkingen:
x1  x2
x1  x2
2 x1 3 x2
4 x3
8 x3
6 x3
 2
 8
 1
a.
Schrijf dit stelsel als vectorvergelijking.
b.
Schrijf dit stelsel als matrixvergelijking.
c.
Bepaal de oplossingsverzameling van het aangegeven stelsel lineaire vergelijkingen. Geef ook een
geometrische beschrijving van deze oplossingsverzameling.
Opgave 2: (6 = 3+3 punten)
 1 3 2
 3 




Beschouw een matrix A  1 2 2 en vector b  6 :




 2 5 1 
 10 




a.
Bepaal een LU-decompositie van de matrix A. Los met behulp van deze LU-decompositie de
matrixvergelijking Ax=b op. Beargumenteer welke stappen je maakt.
b.
Bereken de inverse matrix, A-1. Laat tussenstappen van je berekening zien. Los met behulp van deze
inverse, A-1, de matrixvergelijking Ax=b op.
vervolg: ommezijde!
2DE04: 29-1-2013
1
Opgave 3: (3 = 1+1+1 punten)
Beschouw de matrix A en twee vectoren a1 en a2 (die overeenstemmen met de rijen van de matrix A):
 4 5 1 
A

 5 4 1
a.
 4
 
a1   5 
 1
 
5
 
a1   4 
 1 
 
Beargumenteer voor elk van de volgende vier matrixproducten:
P1=AA, P2=AAT, P3=ATA en P4=ATAT
of ze berekend kunnen worden en bepaal, zo mogelijk, de resultaten.
b.
Bepaal, met behulp van inproducten, de lengtes van de vectoren a1 en a2.
c.
Bepaal, met behulp van inproducten, de hoek tussen de vectoren a1 en a2. Zijn deze vectoren
orthogonaal?
Opgave 4: (8 = 2+2+2+2 punten)
Geef in elk van de volgende gevallen aan of de uitspraak waar is of niet. Beargumenteer je antwoord !
a.
Als de lineaire transformatie T, gedefinieerd als T(x)=Ax waarbij A een m x n matrix is, dan is het domein
van deze transformatie T: Rn.
b.
Een consistent stelsel van 3 lineaire vergelijkingen in 4 onbekenden heeft oneindig veel oplossingen.
c.
Als de uitgebreide coëfficiëntenmatrix (augmented matrix) [A b] een spil (pivot) positie in elke kolom heeft
dan is de matrixvergelijking Ax=b consistent.
d.
Van een 4 bij 5 matrix A is gegeven dat in de bijbehorende trapvorm (echelon form) precies vier rijen een
spil (pivot) bevatten. De dimensie van de nulruimte (nul space, Nul A) van deze matrix is vier.
Opgave 5: (4 = 2+2 punten)
Beschouw een lineaire afbeelding T: R2  R2 die is samengesteld uit de volgende twee stappen:
Stap 1: eerst spiegel je een punt in de lijn x2 = x1.
Stap 2: daarna projecteer je het punt op de x1 as.
a.
Bepaal de bij elk van deze afzonderlijke stappen behorende standaard matrices, respectievelijk A1 en A2.
b.
Bepaal de standaardmatrix van de samengestelde lineaire afbeelding T: R2  R2.
2DE04: 29-1-2013
2
Opgave 6: (5 = 3+2 punten)
Beschouw een matrix A met bijbehorende trapvorm (echelon form):
 1 3 2 1
 1 3 2 1




A   2 6 4 1 ~  ~  0 0 0 1 
 1 3 2 2 
0 0 0 0 




a.
Bepaal bases voor de kolomruimte (column space, Col A) en de rijruimte (row space, Row A) van A.
b.
Bepaal een basis voor de nulruimte (nul space, Nul A) van A. Wat is de dimensie van de nulruimte van de
getransponeerde matrix, Nul AT ?
Opgave 7: (4 = 2+2 punten)
 1   2   1  
 1
      
 
Beschouw een basis B   2 , 1 , 4  en een vector x met coördinaten:  x B  2 .
 
   
 1   1   2  
 1
 
      
a.
Bepaal de overgangsmatrix (‘change-of-coordinates matrix’) van de basis B naar de standaard basis in
R3.
b.
Bepaal de coördinaatvector van x ten opzichte van de standaardbasis in R3.
Opgave 8: (4 = 2+2 punten)
Beschouw het volgende stelsel vergelijkingen dat afhangt van een parameter :


4
x1
6
x1 12
x2
x2
 1
 5
a.
Bepaal de waarde(n) van de parameter  waarvoor dit stelsel vergelijkingen precies één oplossing heeft.
b.
Bepaal in die gevallen waarvoor dit stelsel vergelijkingen precies één oplossing heeft deze oplossing voor
x2 met behulp van de regel van Cramer.
vervolg: ommezijde!
2DE04: 29-1-2013
3
Opgave 9: (8 = 2+4+2 punten)
Beschouw voor t0 het stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen:

 1 2 
x  Ax  
x
 2 1
a.
Bepaal voor A de eigenwaarden en een bijbehorende basis voor de eigenruimte in C2, de ruimte van
complexwaardige vectoren.
b.
Bepaal de algemene reëelwaardige oplossing (fundamental set of solutions) voor dit stelsel lineaire
differentiaalvergelijkingen.
c.
Bepaal bij de beginconditie
4
x  0     de oplossing van het bijbehorende beginwaarden probleem
3
(initial value problem).
Opgave 10: (3 = 1+2 punten)
Beschouw de matrixvergelijking Ax=b, met:
2 1


A   1 2 
 2 2 


0
 
b   1
6
 
a.
Bepaal of de matrixvergelijking Ax=b consistent is.
b.
Bepaal de projectie van de vector b op de kolomruimte van A, Col A.
2DE04: 29-1-2013
4