TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit der Wiskunde en Informatica
Lineaire Algebra voor E (2Y960),
op dinsdag 25 maart 2003, 9.00-12.00 uur
De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
opgeschreven te worden. Het geven van alleen de antwoorden is niet voldoende.
Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is wel en van een laptop is niet
toegestaan.
Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
1a:
1b:
1c:
2a:
2b:
2c:
4
1
2
3
3
1
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
3a:
3b:
4a:
4b:
4c:
3
3
3
2
2
Vraagstuk 5a:
Vraagstuk 5b:
Vraagstuk 6a:
Vraagstuk 6b:
Vraagstuk 6c:
2
4
2
3
2
Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
1. Beschouw het volgende stelsel lineaire

 3x1 + 6x2 −
2x1 + 4x2 +

x1 + 2x2 +
vergelijkingen:
x3 + 9x4 = 5
x3 + 16x4 = 10
x3 + 11x4 = a
(a) Beschouw de uitgebreide matrix van dit stelsel. Geef voor alle mogelijke
waarden van de parameter a de rijgereduceerde normaal vorm en laat zien
hoe je hieraan komt.
(b) Voor welke waarde(n) van a heeft dit stelsel een oplossing?
(c) Geef in het geval a = 7 een parametervoorstelling van alle oplossingen.
2. Beschouw de volgende matrix


1 1 4 6
A =  2 1 5 8 .
1 2 7 10
(a) Bepaal de dimensie en een basis van de nulruimte van A.
(b) Bepaal de dimensie en een basis van de kolommenruimte van A.
(c) Wat is de rang van A?
3. (a) Bepaal het reële en imaginaire deel van (2 + 3i)/(4 + 5i).
√ 4
(b) Bereken de modulus en het argument van 1 + i 3 .
4. Zij P3 de vectorruimte van alle veeltermen in t van de graad 3 of kleiner. Laat
v1 = t3 + t2 + 3t, v2 = 3t3 + 2t2 + 1, v3 = t2 + 2t + 2 en v4 = 7t3 + 6t2 + 5t + 4.
(a) Laat zien dat v4 een lineaire combinatie is van v1 , v2 en v3 .
(b) Toon aan dat het stelsel {v1 , v2 , v3 } lineair onafhankelijk is.
(c) Bepaal een basis en de dimensie van de deelruimte voortgebracht door
v1 , v2 , v3 en v4 .
5. Gegeven zijn de vectoren w1 = [1, 0, 1, 1] en w2 = [1, 1, 0, 1] en w3 = [0, 1, 1, 2]
in R4 . We beschouwen R4 met het standaard inproduct. De lineaire deelruimte
W van R4 heeft w1 , w2 , w3 als basis.
(a) Bepaal de hoek tussen de vectoren w1 en w2 .
(b) Bepaal een orthonormale basis van W .
6. Beschouw de volgende matrix


1 −1 −1
4
1 .
B= 2
−2 −2 1
(a) Laat zien dat 1 een eigenwaarde is van B en geef een vector x ∈ R3 ongelijk
aan 0 waarvoor geldt Bx = x.
(b) Bereken het karakteristieke polynoom van B.
(c) Bereken de overige twee eigenwaarden van B.