TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit der Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor E (2DE04)
op maandag 2 juli 2007, 14:00-17:00 uur
De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
opgeschreven te worden. Laat steeds zien hoe je aan een antwoord komt. Het geven
van alleen de antwoorden is niet voldoende. Het gebruik van een (grafische)
rekenmachine is wel en van een laptop is niet toegestaan.
1. Beschouw het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:

 3x1 + x2 + 4x3 + x4 = 5
2x1 + 4x3 + 2x4 = 6

x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = a
(a) Voor welke waarde(n) van a heeft dit stelsel een oplossing?
(b) Geef in het geval a = 7 een parametervoorstelling van alle oplossingen.
2. Beschouw de matrix A en de vector B gegeven door


 
1 1 1
3



A = 1 1 2 , B = 4 .
1 2 1
5
(a) Bereken de de inverse van A.
(b) Toon aan dat Ax = B een unieke oplossing heeft, en geef deze.
(c) Bepaal de rang van de uitgebreide matrix [A|B].
3. Zij P3 de vectorruimte van alle veeltermen in t van de graad 3 of kleiner.
Laat v1 = 1 + t + t2 + t3 , v2 = t + t2 + 2t3 , v3 = 1 + t2 − t3 en v4 = 1 + t + t3 .
Zij W de deelruimte van P3 opgespannen door v1 , v2 , v3 en v4 .
(a) Laat zien dat v4 een lineaire combinatie is van v1 , v2 en v3 .
(b) Geef een basis voor W en de dimensie van W .
(c) Geef een lineaire vergelijking in a, b, c en d die een nodige en voldoende
voorwaarde geeft opdat a + bt + ct2 + dt3 ∈ W .
4. De 4 × 4 matrix A wordt gegeven door

8
 5
A=
 5
12
5
4
3
7
3
3
3
6

2
1 
.
2 
5
(a) Bereken de determinant van A.
(b) Bepaal de rang van A.
(c) Bereken de determinant van 3A.
5. Beschouw de volgende matrix


3 3 −5
B =  1 4 −4  .
1 2 −2
(a) Toon aan dat er een vector x is, ongelijk aan de nulvector met Bx = x.
(b) Laat zien dat 2 een eigenwaarde van B is en bepaal
een bijbehorende eigenvector.
(c) Bereken alle eigenwaarden van B.
(d) Is B diagonaliseerbaar?
6. Gegeven zijn de vectoren w1 = [1, 1, 1, 1], w2 = [4, 3, 2, 1] en w3 = [6, 7, 3, 4].
Beschouw R4 met het standaard inproduct.
(a) Bereken de afstand en de cosinus van de hoek tussen w1 en w2 .
(b) Pas de procedure van Gram-Schmidt toe op de vectoren w1 , w2 en w3 .
voor het verkrijgen van een orthonormaal stelsel.
Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
1a:
2a:
3a:
4a:
5a:
5d:
3
3
3
3
2
1
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
1b:
2b:
3b:
4b:
5b:
6a:
3
2
2
1
2
2
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
Vraagstuk
2c:
3c:
4c:
5c:
6b:
1
3
2
3
4
Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.