De toonladder - Verrijkingsstof

De toonladder
Iedereen weet wat hoge en lage tonen zijn, maar wat is eigenlijk het verschil? Geluid is
een trilling van de lucht. Als je geluid hoort, dan trilt een heel klein trommeltje in je oor
mee met het geluid: het trommelvlies. Het trommelvlies kan sneller of langzamer heen
en weer bewegen. Als het snel heen en weer gaat is de toon die je hoort hoog, als het
wat langzamer gaat is de toon lager.
Het aantal keer dat je trommelvlies per seconde heen en weer gaat, heet met
een moeilijk woord frequentie. Maar je mag ook gewoon toonhoogte zeggen, dat is
hetzelfde. Frequentie of toonhoogte meten we in hertz. Als je trommelvlies bijvoorbeeld
440 keer per seconde heen en weer beweegt, dan hoor je een toon van 440 hertz. Die
toon wordt in de muziek de ‘a’ genoemd. Kun jij uitrekenen hoe vaak je trommelvlies per
minuut heen en weer gaat, als je weet dat het per seconde 440 keer heen en weer gaat?
Mensen kunnen heel veel verschillende toonhoogtes horen. De laagste toon die
je kunt horen is ongeveer 20 hertz, de hoogste toon is ongeveer 20 duizend hertz. In de
muziek worden de tonen lang niet allemaal gebruikt, omdat de meeste tonen tegelijk
door elkaar niet mooi klinken. Maar als je bijvoorbeeld een toon tegelijk laat klinken met
een toon die precies twee keer zo hoog is, dan klinken ze wel mooi samen. Een toon
van 440 hertz klinkt bijvoorbeeld mooi samen met een toon van 880 hertz.
Die verdubbeling van toonhoogtes maakt het mogelijk de tonen in een handig
systeem onder te brengen. Dit is het systeem van de toonladder: Eigenlijk mag je ook
zeggen toonladders, want dezelfde toonladder herhaalt zich steeds naar boven en naar
beneden. Het enige verschil tussen de tonen van twee opeenvolgende toonladders is,
dat alle tonen van de ene toonladder precies twee keer zo hoog klinken als de tonen van
de andere.
Zoals je net al kon lezen is de laagste hoorbare toon ongeveer 20 hertz en de
hoogste ongeveer 20 duizend hertz. De hoogste toon is dus grofweg duizend keer zo
hoog als de laagste. Dan kun je nagaan dat er tussen de laagste en de hoogste toon
ongeveer tien verdubbelingen zitten. Daarom zijn er ook van laag tot hoog tien
toonladders. De laagste tonen van de laagste toonladder zijn niet meer hoorbaar, net
zomin als de hoogste tonen van de hoogste.
De meest bekende toonladder telt acht tonen. Zing maar eens do, re, mi, … en
tel ze! Om die reden wordt een hele toonladder ook wel octaaf genoemd, afgeleid van
het Latijnse octo, dat ‘acht’ betekent. De hoogste toon van een octaaf valt steeds samen
met de laagste toon van het volgende octaaf, omdat de hoogste toon telkens precies
twee maal zo hoog klinkt als de laagste.
De toonladder met acht tonen is niet helemaal compleet. Als je alle halve tonen
ook netjes meetelt, dan krijg je een toonladder met twaalf stappen van een halve toon,
ofwel zes stappen van een hele. Daarom kun je ook zeggen dat een compleet octaaf
bestaat uit twaalf stapjes omhoog. Ieder stapje omhoog geeft een andere verhouding
van de toonhoogte ten opzichte van de laagste toon. Zo is de achtste toon (de ‘reine
kwint’) van een compleet octaaf, bijvoorbeeld, altijd anderhalf keer zo hoog als de
laagste toon in dat octaaf.
Als je probeert telkens steeds dezelfde verhouding te nemen tussen twee tonen
die een halve stap schelen, dan moet je daarvoor een lelijk getal nemen. Dan blijkt dat
een stapje van een halve toon overeenkomt met een ongeveer 6% hogere toon. Als een
bepaalde toon bijvoorbeeld 264 hertz is, dan kun je uitrekenen dat een halve toon hoger
dus ongeveer 280 hertz is. Als alle stapjes van een halve toon precies evenveel schelen,
dan maakt het niet uit op welke toonhoogte (ze zeggen ook wel toonsoort) je een
muziekstuk speelt. Dat is een voordeel van het stemmen met gelijke verhouding, de
1
gelijkzwevende stemming. Vaak worden instrumenten zoals piano’s dan ook met zo’n
vaste verhouding gestemd.
Maar als je een instrument gelijkzwevend stemt met zo’n lelijk getal als
verhouding, dan krijg je niet een geweldig mooi klinkende toonladder. Het is namelijk al
duizenden jaren bekend dat tonen het mooist samen klinken als hun toonhoogtes zich
verhouden als mooie ronde getallen. Daarom werkt men ook vaak met een benadering
met breuken van gehele getallen. In die benadering zijn die breuken dan wel zo gekozen
dat de stapjes zo dicht mogelijk bij de gelijke halve stap van +6% komen. Dat heet reine
stemming, zie Tabel 1.
Toon
afkorting
verhouding tot
grondtoon
1
prime (grondtoon)
kleine secunde
c
des
grote secunde
d
9
8
kleine terts
es
6
5
grote terts
e
5
4
reine kwart
f
4
3
overmatige kwart
fis
7
5
reine kwint
g
3
2
kleine sext
as
8
5
grote sext
a
5
3
kleine septime
bes
16
9
grote septime
b
15
8
octaaf
c
2
16
15
Tabel 1: Octaaf in reine stemming
In deze tabel betekent de breuk 43 bij de reine kwart, bijvoorbeeld, dat de toonhoogte
zich tot die van de laagste toon verhoudt als 4:3. Als de laagste toon van het octaaf dan
bijvoorbeeld een toonhoogte heeft van 528 hertz, dan kun je uitrekenen dat de reine
kwart van dat octaaf een toon van 704 hertz is.
De vet gedrukte tonen in deze tabel zijn de acht tonen van de bekende
toonladder van het wijsje do, re, mi, … Zoals je kunt zien zit er overal een hele toon
tussen, behalve tussen de grote terts (e) en de reine kwart (f), en tussen de grote
septime (b) en de octaaf (c). Die schelen maar een halve toon.
Met het vastleggen van deze verhoudingen liggen de toonhoogtes zelf nog niet
vast. Daarvoor heeft men nog een afspraak gemaakt. Die afspraak luidt dat de grote
sext (a) van het vijfde octaaf een toonhoogte heeft van 440 hertz. Er zijn speciale
stemvorken die heel precies op die toonhoogte zijn gemaakt. Met zulke stemvorken kan
bijvoorbeeld een orkest de instrumenten stemmen.
Als je weet dat de grote sext (a) van het vijfde octaaf een hoogte van 440 hertz
heeft, dan kun je zelf nagaan dat de grote sext (a) van het zesde octaaf dus een hoogte
van 880 hertz heeft. En diezelfde toon in het zevende octaaf klinkt weer twee keer
hoger. Hoe zit het dan met die toon in het, zeg, tiende octaaf?
2