Wiskunde D Dynamische modellen

Dynamische modellen VWO
Een lesmodule voor Wiskunde
en Natuur, Leven & Technologie
Ook geschikt als startmodule voor modelleren bij natuurkunde en/of biologie
Versie 1.4 februari 2012
Werkgroep Dynamische Modellen
Gecertificeerde NLT module voor vwo
Colofon
De module Dynamisch Modelleren is bestemd voor de lessen Natuur,
Leven en Technologie (NLT). De module is op 11 oktober 2007
gecertificeerd door de Stuurgroep NLT voor gebruik op het vwo in
domein B (Fundament van wetenschap en technologie). Het
certificeringsnummer van de module is 1102-008-VB.
De originele gecertificeerde module is in pdf-formaat downloadbaar
via ► http://www.betavak-nlt.nl.
Op deze website staat uitgelegd welke aanpassingen docenten aan
de module mogen maken, voor gebruik in de les, zonder daardoor de
certificering teniet te doen.
Deze module is ontwikkeld door
 Kees Hooyman (auteur, docent Bonifatius College, Utrecht)
 Elwin Savelsbergh (adviseur, vakgroep Modelleren bètafaculteit
UU)
 Alice Veldkamp (redacteur)
Aangepaste versies van deze module mogen alleen verspreid worden, indien in dit
colofon vermeld wordt dat het een aangepaste versie betreft, onder vermelding van de
naam van de auteur van de wijzigingen.
Versie 1.2 bevat tov versie 1.1 de volgende wijzigingen:
toegevoegde figuren: 5.16 blz 110 en 5.39 blz 129
Versie 1.3 is aangepast voor gebruik met Coach ipv Powersim
Versie 1.4 een aantal spelfouten en andere kleine verbeterpunten zijn
doorgevoerd.
Bij het ontwikkelen van de module is dankbaar gebruik gemaakt van
het werk van Paul Drijvers en Carel van de Giessen.
Voor bronvermeldingen en copyrights: zie docentenhandleiding
Materialen die leerlingen nodig hebben bij deze module zijn
beschikbaar via het vaklokaal NLT:
►http://www.digischool.nl/nlt
Materialen die leerlingen nodig hebben bij deze module zijn
beschikbaar via het vaklokaal NLT:
►http://www.vaklokaal-nlt.nl/. Op dit vaklokaal staat ook de meest
recente versie van de URL-lijst.
© 2010. Versie 1.4
Het auteursrecht op de module berust bij SLO (nationaal
expertisecentrum leerplanontwikkeling). SLO is derhalve de
rechthebbende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative
commons licentie.
De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik
gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming
verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten,
illustraties, enz. is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht.
Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen
te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een
module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met SLO.
2
De module is met zorg samengesteld en getest. Landelijk
Ontwikkelpunt NLT, Stuurgroep NLT, SLO en auteurs aanvaarden
geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of
onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden Landelijk
Ontwikkelpunt NLT, Stuurgroep NLT, SLO en auteurs geen enkele
aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik
van) deze module.
Voor deze module geldt een
Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel-Gelijk delen
3.0 Nederland Licentie
►http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl
Bij gebruik van de module of delen van de module dient bij de
naamsvermelding te worden vermeld:
 dat het gaat om een gecertificeerde NLT module;
 de licentiehouder, zoals vermeld in dit colofon;
 de titel van de module, zoals vermeld in dit colofon;
 de instellingen die de module ontwikkeld hebben, zoals vermeld in
dit colofon.
Foto voorpagina: La condition Humaine1935, René Magritte
3
Wat gaan we doen?
Beste leerlingen,
Bij vrijwel al het wetenschappelijk onderzoek wordt gebruik gemaakt van computermodellen. In veel
gevallen zijn dat dynamische modellen. Dit zijn modellen waarbij een situatie in de loop van de tijd
verandert. In deze module maak je kennis met enkele eenvoudige modellen en leer je om zelf
modellen te bouwen. Daarbij komt natuurlijk ook aan bod hoe die modellen werken. Daarbij blijkt de
wiskunde een belangrijke rol te spelen.
Opbouw van de module
Hieronder een kort overzicht van de inhoud van de hoofdstukken.
1. Een eenvoudig model – Kennismaking met modellen en dynamische modellen.
Met een eenvoudig model simuleer je met een griepepidemie. Na enkele rondes testen,
evalueren en aanpassen blijkt zo’n eenvoudig model een griepepidemie redelijk na te bootsen.
2. Hoe werkt een model? – Hierbij wordt gekeken naar de manier waarop de computer de
berekeningen uitvoert en de manier waarop de verschillende variabelen invloed op elkaar
hebben.
3. Zelf modellen bouwen – Hier leer je hoe je zelf ingewikkelder modellen bouwen, testen en
verbeteren.
4. De wiskunde in een model – Om een model te bouwen is natuurlijk wat wiskunde nodig, maar
ook in de resultaten van het model valt veel wiskunde te ontdekken.
5. Toepassingen – Twee belangrijke gebieden waar modellen gebruikt worden zijn allerlei
bewegingen (denk aan sport en verkeer) en populatiedynamica (denk aan het voorspellen van
bevolkingsgroei of het uitsterven van diersoorten).
Werkwijze tijdens de module
Bij een groot gedeelte van de opdrachten in een computer nodig. Daarbij wordt meestal in tweetallen
gewerkt. Op sommige plaatsen bestaat de mogelijkheid van differentiatie of keuzeopdrachten.
Na hoofdstuk 3 en/of 4 is er een (voortgangs)toets. Hoofdstuk 5 bestaat uit keuzeopdrachten die als
een praktische opdracht gebruikt kunnen worden.
Leerdoelen
Het beschrijven van een realistische/natuurwetenschappelijk verschijnsel met behulp van een rekenen/of computermodel.
Daarbij leer je:
1. Problemen te herkennen die opgelost kunnen worden met behulp van een computermodel
2. Verschijnselen te modelleren in termen van toestandsvariabelen, stroomvariabelen,
rekengrootheden en beïnvloedingsrelaties.
3. Modellen te schetsen en te bouwen in de modelleeromgeving Coach.
4. De gekozen modelvariabelen en -relaties in te vullen met waarden en formules
5. Het model door te rekenen en de juiste instellingen (tijdstap) te kiezen om bruikbare
modeluitkomsten te krijgen
6. De uitkomsten te interpreteren en het model te testen door vergelijking met de werkelijkheid.
(Om daarna eventueel het model te verbeteren en verder te gaan bij 2.)
7. De beïnvloedingsrelaties binnen een model te beschrijven als een recursieve betrekking en
daarbij de tijdstap te betrekken.
8. De invloed van modelvariabelen op het resultaat te verklaren aan de hand van de
beïnvloedingsrelaties.
9. De invloed van terugkoppeling op het proces te herkennen en te beschrijven.
4
10. De begrippen helling en oppervlakte te gebruiken om de relatie tussen de grafieken van de
toestandsvariabelen en de stroomvariabelen te beschrijven.
11. Met behulp van differentiaalrekening het modelgedrag te verklaren en voorspellen aan de
hand van de modelrelaties.
12. De beïnvloedingsrelaties binnen een model te schrijven als een differentiaalvergelijking.
13. Bij een proces van continue en evenredige groei de differentiaalvergelijking te gebruiken om
een exacte oplossing te vinden.
14. Een algemeen model voor bewegingen te gebruiken om verschillende situaties te modelleren.
Ook krijg je zicht op de vele studies en beroepen waarin wordt ‘gemodelleerd’. Meer informatie over
modelleren in studie en beroep, kun je vinden op:
http://www.cdbeta.uu.nl/vo/modelleren/leerling/vervolgopleiding.php
Bij deze module hoort ook digitaal lesmateriaal. Vraag je docent waar deze voor jou ter beschikking
staat. Noteer dat hier
Voorkennis
In deze module wordt de volgende kennis bekend verondersteld:
- Verbanden en formules kunnen interpreteren als evenredigheid (of omgekeerd evenredigheid)
en omgekeerd een eenvoudige relatie kunnen beschrijven als een formule
- Basiskennis over kwadratische en exponentiële verbanden.
- De afgeleide van een functie bepalen en de betekenis van de afgeleide als
veranderingsgetal.toepassen.
- Eenvoudig gebruik van Excel
- Keuzeopdrachten mechanica: kracht, versnelling, snelheid, grafieken, (lucht)weerstand. (om
de ontbrekende voorkennis bij te werken: zie bijlage 1)
- Bij de keuzeopdrachten populatiedynamica wordt de benodigde voorkennis in de opdracht zelf
beschreven. Voor leerlingen die geen biologie in hun vakkenpakket hebben, is op de laatste
bladzijde een verklarende woordenlijst met biologische begrippen opgenomen.
Succes en plezier met deze module,
De auteurs
5
INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 1
Kennismaken met dynamische modellen
1.1
Wat is een dynamisch model?
1.2
Model voor een griepepidemie
1.3
Het model verbeteren
1.4
Griep met een modelleerprogramma
1.5
Een realistischer griepmodel
7
14
19
23
29
Hoofdstuk 2
De toestand en de verandering
2.1
Hoe rekent het model?
2.2
Herhaald optellen; rekenen volgens recept
2.3
Grafiek van toestand en verandering
34
39
44
Hoofdstuk 3
Modellen bouwen in een systeemdynamische modelleertaal
3.1
Waterstromen als voorbeeld
51
3.2
Meer doen met waterstromen
59
3.3
De toestand en de verandering
64
Hoofdstuk 4
De wiskunde in een model
4.1
Tijdstap, helling en oppervlakte
4.2
De helling en de afgeleide
4.3
Het gedrag voorspellen
4.4
Differentiaalvergelijkingen
4.5
Differentiaalvergelijkingen oplossen
70
76
81
89
96
Hoofdstuk 5
Toepassingen van dynamische modellen
5.1
Modelleren in studie en beroep
5.2
Een beweging onderzoeken
5.3
Een algemeen model voor bewegingen
5.4
Keuze-opdrachten bij bewegingen
5.5
Bevolkingsgroei in Noordwijkerhout
5.6
Biologen en modelleren
5.7
De vrije val van de lemming
104
106
115
122
133
139
156
Bijlage I
Bijlage II
Bijlage III
Herhaling van de theorie van bewegingen
Verklarende woordenlijst biologische begrippen
Overzicht knoppen op de taakbalk Coach
159
161
163
6
Hoofdstuk 1
Kennismaken met modellen
1.1 Wat is een dynamisch model?
Wat gaan we doen?
Deze module gaat over dynamische modellen. Met name over
dynamische modellen waarbij de computer gebruikt wordt om
berekeningen aan het model uit te voeren en om met het model
voorspellingen te kunnen doen.
In hoofdstuk 1 wordt in drie stapjes een model opgebouwd om een
griepepidemie te voorspellen. Het is een voorbeeld van de manier
waarop modellen gebouwd, getest en verbeterd worden.
In de eerste paragraaf zijn de centrale vragen:


Wat is een dynamisch model?
Welke gegevens heb je nodig om een model voor een
griepepidemie te bouwen?
Inleiding
Wetenschappers werken aan vragen zoals:
Zijn hersenen van jongeren geschikt voor planningstaken?
Is te voorspellen hoe het nieuwe vogelgriepvirus eruit zal zien?
En of deze variant voor mensen gevaarlijk is?
De wetenschap probeert verschijnselen te beschrijven, te verklaren en te
voorspellen. Het beschrijven van verschijnselen krijgt vaak de vorm van regels
of wetten. Voorbeelden van dergelijke wetten zijn de wetten van Newton voor
kracht en beweging. Deze wetten zijn bruikbaar om vrij eenvoudige situaties
direct te verklaren. Maar in meer ingewikkelde situaties wordt dat lastiger. Dan
gebruikt men modellen als hulpmiddel. Modellen zijn hulpmiddelen om de
processen in de wereld om je heen en ook de wereld in jezelf te leren begrijpen.
Figuur 1.1 – Een schaalmodel van een havenmonding.
Schaalmodellen en rekenmodellen
Bij de modellen in figuur 1.1 en 1.2 gaat het om schaalmodellen; verkleinde
‘kopieën’ van de werkelijkheid. Met zulke schaalmodellen is het
stromingspatroon van het water bij een nieuw aan te leggen havenmonding te
voorspellen, of de krachten op een nieuw type vliegtuig. Onderzoek aan zo’n
7
schaalmodel kan leiden tot verbeteringen in het ontwerp. Voor het testen van
zo’n verbeterd ontwerp is dan weer een nieuw schaalmodel nodig.
In de praktijk worden de schaalmodellen steeds vaker vervangen door
rekenmodellen. Het schaalmodel wordt dan als het ware virtueel in de computer
gebouwd. Daardoor is zo’n schaalmodel vrij gemakkelijk te wijzigen, en is snel
na te gaan welk effect die wijziging heeft. Deze rekenmodellen beschrijven
vooral verschijnselen waarbij grootheden in de tijd veranderen en/of elkaar
beïnvloeden.
Figuur 1.2 – Een schaalmodel van
een vliegtuig in een windtunnel.
In deze rekenmodellen wordt gebruik gemaakt van bekende wetten en van
gegevens die in het verleden verzameld zijn. De berekeningen die hiermee
worden uitgevoerd zijn vaak ingewikkeld. Bovendien gaat het meestal om een
zeer groot aantal berekeningen. Door het gebruik van computers zijn
rekenmodellen veel realistischer geworden. Ontwerpers willen computers
verbeteren door ze informatie te laten verwerken zoals hersenen dat doen.
Hersenmodellen zijn hiervoor helaas nog niet gedetailleerd genoeg.
Natuurwetenschappelijk model
Een model in de natuurwetenschap is een hulpmiddel bij het beschrijven,
verklaren en voorspellen van natuurverschijnselen.
1 Ga bij elk van de onderstaande modellen na of het een wetenschappelijk model
is.
.
I. Model werking lichaam van Galenus
(129-199 na Chr )
II. Model baby Triceratops (2007)
III. Model ideale vrouw (2006).
IV. Model DNA –molecuul (1954)
De robot reageert op 1000 commando’s
8
Dynamische modellen
En dan nu de weersverwachting voor morgen, overwegend zonnig…..’’
Bij het maken van voorspellingen voor de toekomst wordt vaak gebruik gemaakt
van dynamische modellen. Het woord dynamisch geeft aan dat het gaat om
veranderingsprocessen. Bij een dergelijk proces hebben meer factoren invloed
op de veranderingen in de bestaande situatie. Die factoren zijn bovendien vaak
zelf niet constant.
Neerslagradar
Een vrij eenvoudig voorbeeld van het maken van een voorspelling met behulp
van een model, is de neerslagradar. Deze is op internet te vinden op
www.buienradar.nl.
Figuur 1.3 – Beelden van de buienradar van 10.25, 10.55 en 12.45 uur
2 De beelden laten eerst de neerslag van het afgelopen uur zien, met een tijdstap
van 5 minuten. Daarna verschijnt een prognose van de neerslag voor het
komende anderhalf uur met een tijdstap van 15 minuten.
a. Bekijk de beelden van de neerslagradar op internet. Welk verschil zie je
tussen de beelden van de metingen en de beelden van de prognose?
De buien in de prognose veranderen niet meer van vorm, ze bewegen alleen
nog over het scherm.
b. Welk gegeven gebruikt de computer om de prognose op te stellen?
In figuur 1.4 wordt de weerssituatie beschreven door verschillende variabelen
zoals de temperatuur en de windsnelheid op verschillende plaatsen.
c. Noem twee andere variabelen die de beginsituatie bepalen.
De weerssituatie kan veranderen door bijvoorbeeld aanvoer van warme of
koude lucht.
d. Noem twee andere factoren die invloed kunnen hebben op de verandering
van de weerssituatie.
Figuur 1.4 – De weerssituatie
wordt beschreven door
verschillende variabelen.
De huidige computers kunnen het weer voor zeven dagen voorspellen, maar
door de vele variabelen zit er altijd een onnauwkeurigheid in de voorspelling.
9
Dynamische modellen
Een dynamisch model beschrijft hoe een bepaalde situatie verandert in de
loop van de tijd. Het model wordt vaak gebruikt om te voorspellen hoe de
variabelen die de situatie beschrijven in de loop van de tijd veranderen.
Op allerlei terreinen wordt gebruik gemaakt van dynamische modellen en
computersimulaties. Een nadeel van computermodellen is, net als bij alle
andere modellen, dat het nooit een exacte weergave van de situatie is. De
plaatjes uit de computer lijken heel nauwkeurig, maar schijn bedriegt …….
De jaarlijkse griepgolf: een dynamisch model in praktijk
Afgelopen winter werd in een gerespecteerd tijdschrift het volgende advies
gegeven:
‘Alle docenten met een mondkapje voor de klas bij dreiging van een
griepepidemie!’
Helpt zo’n maatregel effectief tegen verspreiding? Hoe verloopt een epidemie
eigenlijk? Welke factoren spelen een rol? Dynamische modellen worden
gebruikt om dit soort vragen te beantwoorden. De overheid gebruikt ze om te
voorspellen hoe de jaarlijkse griepgolf verloopt. Jaarlijks overlijden er in
Nederland namelijk 500 – 1000 mensen aan het griepvirus. De overheid wil in
een vroeg stadium weten hoe ernstig de situatie kan worden, zodat er nog
maatregelen genomen kunnen worden.
Figuur 1.5 - Kamagurka,
De Volkskrant 1 juni 2006
Opdracht: bouw een griepmodel
In dit hoofdstuk ontwikkel je een computermodel dat een realistische
voorspelling doet voor het verloop van een griepgolf. Na een oriëntatie op het
verschijnsel ‘griep’ wordt een zeer eenvoudig model gebouwd. Het model wordt
steeds getest en verbeterd totdat een realistisch model ontstaat.
3 Welke vragen wil je beantwoord hebben voordat je een model van griep kunt
bouwen? Noteer een aantal vragen.
Oriëntatie op de ziekte griep en het griepvirus
Je model is een vereenvoudigde beschrijving van de werkelijkheid, die je kunt
gebruiken voor het maken van een voorspelling. Het bouwen van een
computermodel begint dan ook meestal met een oriëntatie op het verschijnsel,
in dit geval ‘griep’. Markeer in de teksten op de volgende pagina de informatie
die je nodig hebt voor je model.
Fig 1.6 Elektronenmicroscopische foto griepvirus. Daarnaast een model van het
griepvirus
10
Van griepgolf tot epidemie
Elk jaar komt de griep in grotere of kleinere golven, treft sommigen wel en
anderen niet. Gemiddeld krijgt ongeveer 10% van de mensen jaarlijks griep. In
Nederland wordt het verloop van de griep de laatste jaren bijgehouden via
internet. Op de website www.degrotegriepmeting.nl vind je gegevens over de
griep in Nederland.
De onderstaande grafiek laat zien hoe de griepgolf uit het seizoen 2004-2005
verliep. Het hoogste punt in de grafiek noemt men de ‘piek’ .
piek op 10 februari 2005
2,6% heeft de griep
Figuur 1.8 - Tijdens de
GroteGriepMeting wordt via
internet bijgehouden hoeveel
procent van de deelnemers
verkouden is of de griep heeft.
0
20
40
60
80
100
120
dag
Figuur 1.7 – De griepgolf van het seizoen 2004-2005
‘ Hij heeft een griepje’. Het klinkt onschuldig. Griep kan levensgevaarlijk zijn.
Een variant van het griepvirus heeft in het begin van de vorige eeuw 30- 40
miljoen slachtoffers geëist. Meer slachtoffers dan in WOI.
Er wordt gesproken van een epidemie wanneer het aantal gevallen van griep in
een bepaald gebied gedurende een bepaalde periode veel hoger is dan
gebruikelijk. Voor Nederland is dat bij een aantal van meer dan 6 per 10.000
inwoners. Buiten een griepepidemie hebben er gemiddeld 3 op de 10.000
mensen griep in Nederland.
Een pandemie, zoals de Spaanse griep van 1918-1920, is niets meer dan een
epidemie die zich afspeelt in een groot gebied. Maar wat is groot? Enkele
landen samen? Een heel werelddeel? Meer werelddelen? Pandemie is dus een
wat vage term voor een fikse epidemie.
Mogelijke maatregelen
Er zijn antivirale middelen op doktersrecept te krijgen. Ze worden maar weinig
gebruikt. Het werkt vaak maar bij één type griepvirus. Met welke typen virus je
besmet bent, is met het blote oog niet te zien. Dit laten onderzoeken duurt te
lang. De middelen moeten namelijk binnen 24-48 uur na de eerste
ziekteverschijnselen ingenomen worden. Alleen dan verkorten ze de ziekte met
(gemiddeld) 1 dag.
Sommige mensen, bijvoorbeeld ouderen, krijgen jaarlijks een oproep voor de
‘griepprik’. Dit is een vaccin dat ingespoten wordt. Het werkt na ongeveer 10
dagen. Kortom, voorkomen is beter dan genezen!
4 De overheid wil in een vroeg stadium een voorspelling hebben van het verloop
van een griepepidemie.
a. Geef twee redenen waarom de overheid bijtijds een voorspelling wil hebben.
11
Een voorspelling van het verloop van een griepepidemie zal verschillende
gegevens opleveren.
b. Noem twee gegevens waarin de overheid geïnteresseerd zal zijn.
Griepgegevens verzamelen
De overheid kan pas een voorspelling laten maken als er voldoende gegevens
zijn verzameld over de situatie aan het begin van het griepseizoen. Die
griepgegevens komen uit verschillende landen en gaan over vragen zoals:
I. Welke type griepvirussen zijn er gesignaleerd?
II. Hoe snel verandert het virus?
(Oftewel hoe snel veranderen de antigenen?)
III. Hoe besmettelijk zijn de virussen?
IV. Welk deel van de bevolking is het meest vatbaar voor de ziekte?
V. Op welke plaatsen is het virus gesignaleerd?
VI. Hoeveel personen zijn er met het virus besmet?
VII. Hoe groot is de kans dat een persoon die ziek is, overlijdt aan de griep?
5 Bij het begin van een griepgolf worden verschillende gegevens over de
bevolking verzameld.
a. Welke van de bovenstaande griepgegevens hebben betrekking op de
beginsituatie van de bevolking? Noteer de nummers.
Bij de beginsituatie horen ook enkele eigenschappen van het virus, die tijdens
de griepepidemie meestal niet veranderen.
b. Welke van de bovenstaande griepgegevens hebben betrekking op de
beginsituatie met betrekking tot het virus? Noteer de nummers.
Grafiek van een griepgolf
Het model moet voorspellen hoe snel het aantal zieken verandert. Het aantal
zieke personen verandert in de loop van de tijd. In figuur 1.9 zie je de griepgolf
van het seizoen 2004-2005. Kenmerkend voor een griepgolf is dat de grafiek
eerst langzaam en daarna steeds sneller stijgt.
Figuur 1.9 - Bij een griepepidemie neemt het aantal zieken steeds sneller toe.
12
6 De grafiek van een griepgolf heeft een karakteristieke vorm; zie fig.1.9.
a. Beschrijf en verklaar de vorm van de grafiek. Gebruik de begrippen
besmettingen en zieken.
Voor een voorspelling berekent het computermodel hoe de situatie verandert.
b. Welke van de griepgegevens hebben invloed op de snelheid waarmee het
aantal zieke personen verandert?
Tijdstap
Bij een computermodel hoort ook een tijdstap. Dat is vaak de periode waarover
de computer de verandering moet berekenen, uitgaande van de beginsituatie en
het tempo van verandering. De computer berekent telkens opnieuw hoe de
situatie zal zijn één tijdstap later. De tijdstap wordt door de bouwers van het
model zo gekozen dat het past bij het onderwerp.
7 Bij een dynamisch model van een griepepidemie is een tijdstap van een maand
niet handig omdat er binnen één tijdstap erg veel kan veranderen in de situatie.
Een tijdstap van een seconde of een minuut zou het model erg nauwkeurig
maken, maar daar kleeft een ander nadeel aan.
a. Welk nadeel kleeft er aan een te kleine tijdstap in je griepmodel?
b. En welk nadeel aan een te grote?
c. Welke tijdstap is voor je griepmodel een logische keuze? Licht kort toe.
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:


Wat is een dynamisch model?
Welke twee soorten gegevens heb je nodig om een dynamisch
model te bouwen?
13
Kennismaken met modellen
1.2 Een model voor een griepepidemie
Wat gaan we doen?
Met enkele gegevens over de griep kan een eerste model voor het
verloop van de epidemie gebouwd worden. Dit eenvoudige model laat
ook zien op welke manier het rekenwerk in een model loopt.
In de eerste paragraaf zijn de centrale vragen:


Hoe kan een eenvoudig model voor de griep gebouwd worden?
Op welke manier rekent het model?
Een simpel griepmodel
Het bouwen van een model begint meestal met een zeer simpel model dat het
basisprincipe weergeeft. Dat model wordt vervolgens net zolang verbeterd
totdat de resultaten van het model redelijk overeen komen met de werkelijke
resultaten uit het verleden. Dat biedt overigens nog niet de garantie dat het
model goede voorspellingen voor de toekomst kan maken.
Bij griep kan het basisprincipe als volgt beschreven worden: je bent gezond, je
wordt ziek, je wordt beter en dan ben je, voor korte of langere termijn, immuun
voor de ziekte. Dat proces is hieronder in beeld gebracht met behulp van een
zogenaamd stroomschema.
elke dag geneest 20% van de zieken
worden 10 mensen ziek
elke dag worden 10 mensen ziek
beginsituatie
na 1 dag
990
10
0
gezond
ziek
immuun
980
18
2
gezond
ziek
immuun
gezond
ziek
immuun
gezond
ziek
immuun
na 2 dagen
na 3 dagen
Figuur 1.10 – Een simpel griepmodel
De aantallen in de mandjes stellen de gezonde, zieke en immune mensen voor.
De beginsituatie gaat uit van 990 gezonde mensen en 10 zieke mensen. Er is
nog niemand immuun.
14
Veranderingen
Een dynamisch model wordt beschreven door de veranderingen vanuit de
beginsituatie. De pijlen in het schema geven deze veranderingen aan. In deze
situatie beginnen we met een heel simpele aanname:
- elke dag worden er 10 mensen ziek
- van de zieke mensen geneest elke dag 20%
8 Met dit simpele griepmodel valt de situatie op de volgende dagen uit te rekenen.
Voor de situatie na 1 dag is het stroomschema deels ingevuld.
a. Leg uit dat er na één dag 18 personen ziek zijn.
b. Lees af hoeveel personen na één dag immuun zijn.
c. Bereken voor de situatie na 2 en 3 dagen het aantal personen dat gezond,
ziek of immuun is. Reken door met de niet afgeronde getallen. Noteer de
afgeronde getallen in het schema (figuur 1.10).
Het verloop van een griepgolf berekenen
De berekeningen bij het simpele model voor griep kunnen vrij eenvoudig
gedaan worden door een programma als Excel.
Figuur 1.11. Let op: Excel geeft de afgeronde getallen weer, maar rekent door met de
niet afgeronde getallen.
9 Bij de kolommen gezond, ziek en immuun zijn op dag 0 de aantallen voor de
beginsituatie ingevuld. De aantallen op de volgende dagen worden berekend
met behulp van formules.
a. Open het Excel-bestand Simpel griepmodel.
b.
Welke inhoud (formule) staat er in cel B6, gezond op dag 1?
Vul de formule in: B6 =
c. Leg uit dat je de formule voor gezond op dag 1 ook kunt lezen als:
De inhoud van elke cel is
zichtbaar in de formulebalk.
gezond(1) = gezond(0) - besmetting
15
d. Kopieer de inhoud van gezond op dag 3 naar beneden, naar de andere
cellen van de kolom. Gebruik de vulgreep (zie fig. 1.12) of de combinatie
Ctrl-C en Ctrl-V. Het model bevat 50 dagen.
De inhoud van elke cel wordt berekend uit de vorige situatie. In de wiskunde
wordt zoiets een recursieve betrekking genoemd.
e. Noteer de formule voor het aantal gezonde personen op dag n+1 als een
recursieve betrekking
gezond(n+1) =
Fig.1.12 – Met de ‘vulgreep’
kun je een formule snel naar
beneden kopiëren. Klik
hiervoor de cel aan, pak de
rechterhoek vast en sleep
deze naar beneden.
10 De variabele immuun heeft beginwaarde 0. De variabele neemt toe doordat
zieke personen genezen en daarna immuun zijn geworden.
a. Welke inhoud staat er in cel D6, voor immuun op dag 1?
D6 = D5 +
b. Schrijf deze formule op dezelfde manier als hierboven:
immuun(1) = immuun(0) + . . . .
c. Kopieer op dezelfde manier de inhoud van ziek op dag 3 naar beneden,
naar de andere cellen van de kolom, zie fig.1.12.
d. Kopieer op dezelfde manier de inhoud van immuun op dag 3 naar beneden,
naar de andere cellen van de kolom, zie fig.1.12.
Ook hier is sprake van een recursieve betrekking.
e. Vul aan:
immuun(n+1) = immuun(n) + . . . .
11 Het aantal zieke personen groeit door besmetting van gezonde personen, maar
neemt af door genezing.
a. Welke inhoud staat er in cel C6, voor ziek op dag 1?
C6 = C5 +
b.
Schrijf deze formule op dezelfde manier als hierboven:
ziek(1) = ziek (0) + . . . .
Ook hier is sprake van een recursieve betrekking.
c. Vul aan:
ziek (n+1) =
16
Werken met het Excel-model
12 Met Excel is het eenvoudig om een grafiek van de resultaten te maken.
Figuur 1.13 – Selecteer de cellen voor de grafiek.
Selecteer met de muis alle cellen (A4 t/m D55) waarmee je een grafiek wilt
maken.
a. Kies onder Invoegen voor Grafiek.
b. Selecteer bij Grafiektype Spreiding.
c.
Kies steeds voor Volgende en tot slot Voltooien tot de grafiek op het scherm
staat.
d. Bij welke variabele is de grafiek een rechte lijn (vanaf het begin)?
Figuur 1.14 – Kies een
spreidingsgrafiek met als
subtype een vloeiende lijn door
de punten.
e. Waardoor loopt de grafiek van ziek vanaf een bepaald moment horizontaal?
Wat is er dan aan de hand?
f.
Waardoor loopt de grafiek van immuun in het begin niet recht?
13 Met het model in Excel kan worden onderzocht wat er verandert als er sprake is
van een meer besmettelijke griep of een griep waarbij mensen langer ziek zijn.
a. Verander het aantal besmettingen per dag in 20. Wat zie je nu veranderen
aan de tabel en aan de drie grafieken?
b. Verander vervolgens het genezingspercentage in 10%. Welke grafiek
verandert niet als het genezingspercentage verandert?
c. Opnieuw zie je dat het aantal zieken na verloop van tijd constant wordt. Bij
welk aantal zieken is dit? Licht je antwoord met een berekening toe.
17
Model testen en evalueren
14 Hoe realistisch is je griepmodel? Modellen worden getoetst aan de
werkelijkheid. We wachten niet op de volgende griep, maar gebruiken de grafiek
van het seizoen 2004-2005; zie figuur 1.15.
Figuur 1.15 – Griepepidemie in Nederland, seizoen 2004-2005.
Als je deze grafiek vergelijkt met de grafiek ‘zieken’ in jouw model dan zijn er
twee opvallende verschillen te zien.
a. Noem deze twee verschillen.
b. Geef een biologische verklaring voor de (bijna) exponentiële stijging in
figuur 1.15.
c. Na het hoogtepunt van de griepepidemie is een daling zichtbaar (figuur
1.15). Geef twee biologische oorzaken van deze daling.
De voorspelling van je model is niet realistisch genoeg. Het model is te simpel.
Om het model te verbeteren, kunnen een aantal variabelen preciezer
beschreven worden.
d. Noem 2 variabelen die je preciezer zou beschrijven om je model
betrouwbaarder te krijgen.
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:



Hoe kan een eenvoudig model voor de griep gebouwd worden?
Wat is een recursieve betrekking?
Op welke manier berekent een model de toestand in de nieuwe
situatie?
18
Kennismaken met modellen
1.3 Het model verbeteren
Wat gaan we doen?
Het eerste model is te eenvoudig om een griepgolf na te bootsen. In
deze paragraaf wordt het model aangepast door de formules waarmee
de veranderingen berekend worden te verbeteren.
In deze paragraaf is de centrale vraag:

Hoe kun je de formules in een model verbeteren?
Genezingsfactor
Om het simpele model te verbeteren kijken we als eerste naar de genezing, de
stroomvariabele die bepaalt hoe snel het aantal zieke personen afneemt.
15 Het genezingsproces in het model bepaalt hoe snel zieke mensen weer beter
worden. In het model is de aanname gemaakt dat elke dag 20% van de zieke
mensen geneest en dus immuun geworden is. De genezingsfactor is het deel
dat een dag later genezen is .
a. Hoe groot is de genezingsfactor? Noteer het antwoord als een decimaal
getal.
Fig.1.16
b. Hoe lang is iemand dan gemiddeld ziek?
c. Vind je dit een realistische aanname? Gebruik indien nodig de informatie
van de website www.griep.nl.
Wat is griep?
vanaf twee dagen voordat de symptomen zich openbaren tot 5
dagen daarna.
Griep is een acute infectie van de bovenste luchtwegen (neus,
keel, longen) en wordt veroorzaakt door het influenza virus.
Griep is waarschijnlijk de meest onderschatte ziekte die er is.
Ieder jaar krijgt 5 tot 10% van de Nederlandse bevolking griep;
dit zijn dus 1 tot 1,5 miljoen mensen.
Hoe lang duurt de griep?
Bij griep zijn gezonde mensen al gauw een week ziek. De
koorts (38-40 °C) is binnen één dag na het begin van de
klachten het hoogst en duurt 1 tot 5 dagen. Als je griep hebt, wil
je het liefst gewoon in bed blijven.
Het griepvirus ondergaat regelmatig mutaties, veranderingen.
De antistoffen die het lichaam het ene jaar aanmaakt tegen het
griepvirus, herkennen niet automatisch het virus van het jaar
daarop. Hierdoor kan het griepvirus ons afweersysteem steeds
opnieuw verrassen en kun je elk jaar opnieuw griep krijgen.
Griep is zeer besmettelijk
Via de lucht, maar ook via direct contact (zoenen, hand geven)
of indirect contact (via een deurkruk of telefoon bijvoorbeeld)
kun je het griepvirus oplopen. Het inademen van maar drie
griepvirussen is al genoeg om zelf besmet te raken.
Bijvoorbeeld: Als een vliegtuig met één grieppatiënt 3 uur aan
de grond staat met een kapot ventilatiesysteem, dan krijgt 72%
van de passagiers in de daaropvolgende dagen griep.
Tijd tussen besmetting en begin griepklachten
Na het binnenkrijgen van het griepvirus duurt het gewoonlijk 2 –
3 dagen voordat je ziek wordt,. Dit wordt de incubatietijd
genoemd. Ondertussen kun je wel, zonder dat je het weet,
weer andere mensen besmetten. Volwassenen zijn besmettelijk
Informatie van de site www.griep.nl
19
Een beter formule voor besmetting
De volgende variabele die we bekijken is ‘ besmetting’ . In het eerste model
worden elke dag 10 mensen besmet. Het is niet erg realistisch dat het aantal
besmettingen constant is.
Een meer realistische aanname is dat elke zieke voor nieuwe besmettingen
zorgt. Als er meer zieke mensen zijn, zullen er ook meer mensen besmet
worden. De besmettingsfactor geeft weer hoeveel nieuwe besmettingen er per
dag en per zieke plaatsvinden (gemiddeld).
16 De recursieve betrekkingen voor de variabel gezond in het model wordt dan:
gezond(n+1) = gezond(n) – ziek(n)×besmettingsfactor
.
Figuur 1.17 – Gedeelte Excel-bestand
a. Open het Excel-bestand Verbeterd Griepmodel
b. Noteer in de cellen C6 en D6 de formules voor ziek en immuun op dag 1 in
de tabel met behulp van deze recursieve betrekking (de besmettingsfactor
$F$5, de genezingsfactor is $F$6). Noteer de formules hieronder.
C6 =
D6 =
c. Kopieer de formules voor gezond, ziek en immuun naar de cellen eronder
tot dag 100.
17 In dit model spelen de besmettingsfactor en de genezingsfactor een
vergelijkbare rol. Met Excel kan de invloed van deze factoren op de epidemie
onderzocht worden. De onderstaande grafiek is gemaakt met een
besmettingsfactor van 0,25 en een genezingsfactor van 0,20.
Verbeterd Griepmodel
6000
personen ziek, gezond of immuun
4000
gezond
ziek
immuun
2000
0
0
20
40
60
80
100
-2000
Figuur 1.18 – Grafieken van
de aantallen voor gezond,
ziek en immuun
-4000
-6000
tijd in dagen
Bekijk de grafiek met de aantallen voor gezond, ziek en immuun. Het model
‘explodeert’, de lijnen lijken op exponentiële functies.
a. Kies een andere waarde voor de besmettingsfactor. Bij welke waarde(n)
explodeert het model niet meer?
20
b. Leg kort uit hoe het komt dat in dit model het aantal zieke personen blijft
toenemen als de besmettingsfactor groter is dan de genezingsfactor.
c. Hoe zou je het model realistischer kunnen maken?
Besmettingsfactor en immuniteit
Figuur 1.19 - Besmettingsbron.
www.deGroteGriepMeting
Besmetting kan alleen optreden als zieke en gezonde mensen elkaar
ontmoeten. Als het aantal gezonde mensen afneemt moet ook het aantal
besmettingen afnemen. Na enige tijd is een deel van de bevolking immuun en
kan niet meer besmet worden. Het aantal besmettingen daalt als het aantal
gezonde mensen ten opzichte van het totaal afneemt.
Een betere formule voor het aantal besmettingen is dan:
besmetting  c  ziek 
gezond
totale bevolking
In deze formule is c de besmettingsfactor (het aantal nieuwe besmettingen per
zieke per dag, gerelateerd aan de totale bevolking)
18 Bekijk de formule voor het aantal besmettingen.
a. Stel dat bij 990 gezonde personen en 10 zieke personen er per dag 5
besmettingen zijn, welke waarde heeft c dan?
b. In het begin van de epidemie neemt het aantal besmettingen per dag snel
toe. Hoe is dat met deze formule te verklaren?
Na verloop van tijd daalt het aantal besmettingen per dag.
c. Hoe kun je met de formule uitleggen dat op een bepaald moment het aantal
besmettingen weer daalt?
Conclusie: besmetting en genezing
Om het model te verbeteren moet rekening gehouden worden met de
volgende verbanden:
 Het aantal personen dat per dag geneest hangt af van de
genezingsfactor. De gemiddelde ziekteduur hangt ook van de
genezingsfactor af.
 Het aantal personen dat per dag besmet raakt hangt af van de
besmettelijkheid van het virus, het aantal personen dat ziek is én het
aantal personen dat gezond is en nog niet immuun.
21
Op weg naar een computermodel
Het onderstaande schema geeft het verbeterde model weer. De figuur is
afkomstig van het modelleerprogramma Coach dat net als Excel alle
berekeningen kan uitvoeren.
Symbolen Coach
De symbolen in dit model
zijn de toestandsvariabele,
de stroomvariabele en de
constante.
Figuur 1.20 – Een verbeterd griepmodel
Figuur 1.21 - De waarde van
een toestandsvariabele
verandert door instroom en
uitstroom.
De variabelen gezond, ziek en immuun zijn weergegeven als een rechthoek.
Zo’n variabele wordt een toestandsvariabele of niveauvariabele genoemd.
De veranderingen in het model zijn weergegeven met stroompijlen. Elke
stroompijl of stroomvariabele bevat een formule waarmee berekend wordt
hoeveel personen er per dag verschuiven.
In het model zijn twee constante factoren opgenomen. Het symbool voor een
constante is een rondje.
- de genezingsfactor is het deel van de zieken dat de volgende dag genezen is
- de besmettingsfactor is de variabele c uit de formule voor het aantal
besmettingen: besmetting  c  ziek 
gezond
totale bevolking
De dunne pijlen in het stroomschema zijn de relatiepijlen. Die pijlen geven aan
welke factoren invloed hebben op de veranderingen.
Figuur 1.22 - De waarde van
de stroomvariabele geeft de
verandering aan. De
stroompijl bevat een formule
om dit te berekenen
19 De twee constanten genezingsfactor en besmettingsfactor hebben een
bepaalde waarde (een decimaal getal).
a. Welke waarde heeft de constante genezingsfactor als per dag 20% van de
zieke personen geneest?
In de vorige opgave is voor de besmettingsfactor een waarde van 0,5
gevonden. Bij 1000 gezonde en 10 zieke personen betekent dit dat er elke dag
5 personen besmet raken.
Hoeveel besmettingen zijn er per dag bij 400 gezonde personen, 100 zieken en
500 personen die immuun zijn?
Figuur 1.23 - Het rondje stelt
een constante voor. De
relatiepijl geeft aan dat de
genezingsfactor invloed heeft
op de variabele ‘genezing’.
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vraag:

Hoe kun je de formules in een model verbeteren?
22
Kennismaken met modellen
1.4 Griep met een modelleerprogramma
Wat gaan we doen?
In deze paragraaf wordt het verbeterde griepmodel gebouwd met behulp
van het modelleerprogramma Coach. In het model zijn de verbeterde
formules opgenomen waarmee de invloed van de modelvariabelen
beschreven wordt.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Geeft het verbeterde model realistischer resultaten?
Welke invloed hebben de verbeterde modelvariabelen op de
resultaten?
Computermodellen ophalen
Bij dit lespakket horen computermodellen die via een website of schoolnetwerk
beschikbaar zijn. Op de eerste pagina van deze module heb je genoteerd waar
de bestanden op te halen zijn. Start het model Griepepidemie1. Je krijgt op het
scherm een model voor een griepepidemie dat je kunt laten doorrekenen.
Figuur 1.24 – Model griepepidemie 1
20 Het model Griepepidemie1 is gereed voor gebruik.
a. Open met de rechtemuisknop in het modelvenster het modeluitvoer-paneel.
Plaats de schuif van de afspeelsnelheid helemaal links. Klik op de knop ,
de play-knop in het modeluitvoer-paneel. Dit paneel is zodanig ingesteld dat
de berekening altijd start vanuit de beginsituatie en de toestand in
opeenvolgende stappen doorrekent. Tevens staan de momentane
toestandswaarden in het model bij de grafische elementen.
b. Stop de computerberekeningen na 7 dagen door op de blauwe stop-knop
in het modeluitvoer-paneel te klikken. Neem de berekende getallen over.
Figuur 1.25 – Afspeelbuttons
in de menubalk.
23
c. Heeft de epidemie na een week het maximum al bereikt?
Je kunt met het model verder rekenen tot 100 dagen.
d. Maak eerst een voorspelling over de situatie op dag 100.
e. Sluit het modeluitvoer-paneel en klik op
rekenen en controleer de voorspelling.
f.
om het model snel door te
Noteer vanaf welke dag de situatie stabiel is.
21 Belangrijke vragen die de overheid beantwoord wil zien door het gebruik van
een model zijn:
- Hoe wordt de ‘ piek’? Met andere woorden: wat is het maximum aantal
mensen dat tegelijkertijd ziek is?
- Hoeveel procent van de bevolking krijgt uiteindelijk griep?
Beantwoord de twee vragen met dit model.
22 Open met de rechtermuisknop in het modelvenster het modeluitvoer-paneel.
Plaats de schuif van de afspeelsnelheid helemaal links. Klik op de knop , de
play-knop in het modeluitvoer-paneel.
Stop de computerberekeningen na 21 dagen door op de blauwe stop-knop in
het modeluitvoer-paneel te klikken. Volg nu in de grafiek de waarden van
gezond, ziek en immuun .
24
Figuur 1.26 – Model griepepidemie 1
23 De grafieken in figuur 1.26 laten zien hoe het verloop van de griepgolf volgens
het model Griepepidemie1 is. In het diagram is het aantal zieke, gezonde en
immune personen weergegeven.
a. Is de vorm van de grafiek van de griepgolf (het aantal zieke personen)
realistischer dan in vraag 14? Licht toe.
b. Controleer of de hoogte van de piek in de griepgolf overeen komt met de
waarde die je bij de vorige opgave gevonden hebt. Noteer de waardes.
c. Hoe zou je in de grafiek kunnen aflezen hoeveel procent van de bevolking
uiteindelijk de griep gehad heeft?
d. De grafieken van gezond en immuun hebben de vorm van een langgerekte
S. Verklaar voor beide grafieken afzonderlijk het verloop van de grafiek.
25
Invloed van veranderingen
Het model kent twee factoren die invloed hebben op de griepepidemie, de
genezingsfactor en de besmettingsfactor. Met het computermodel kunnen we
snel nagaan wat de invloed van deze twee factoren is, maar eerst wordt er een
voorspelling opgesteld over de invloed die deze twee factoren hebben.
24 De besmettingsfactor hangt onder andere af van het type virus. Er zijn veel
verschillende griepvirussen. Bij het ene virus is de kans op besmetting groter
dan bij een ander virus.
Voorspel hoe de griepgolf zal verlopen als de besmettingsfactor niet 0,5
maar 1,0 is. Teken je voorspelling in de grafiek van figuur 1.26. Zal een
grotere besmettingsfactor ook invloed hebben op het aantal personen dat
uiteindelijk de griep krijgt?
25 De genezingsfactor heeft ook invloed op de griepgolf. Als mensen korter ziek
zijn, kunnen ze minder personen besmetten. Door het gebruik van antivirale
middelen kan de genezingsfactor groter worden.
a. Voorspel hoe de griepgolf zal verlopen als de genezingsfactor 0,10 is.
Teken met een andere kleur je voorspelling in figuur 1.26.
b.
Zal een lagere genezingsfactor ook invloed hebben op het aantal personen
dat de griep krijgt? Leg uit.
26
Modelvariabelen veranderen
Om de waarde van de besmettingsfactor en de genezingsfactor te veranderen
moet je de eigenschappen van de variabele veranderen. Klik daarvoor dubbel
op het modelsymbool waarvan de waarde veranderd moet worden.
Figuur 1.28 – Door dubbel te klikken op het symbool voor de besmettingsfactor opent het
volgende scherm en kan de waarde van de variabele veranderd worden.
26 De getalswaarde van de constante besmettingsfactor is zichtbaar. Het scherm
kan alleen geopend wordt als het model gestopt is.
a. Open het eigenschappenvenster van de besmettingsfactor
b. Stel de besmettingsfactor in op 1.0 en laat het model lopen.
c. Klopte jouw voorspelling van de griepgolf bij opgave 24 ongeveer? Zo nee,
leg dan uit waarom de grafiek anders is.
d. Hoeveel % van de bevolking krijgt volgens dit model de griep?
Fig. 1.29 - De waarde van
de variabelen verandert pas
als het model loopt.
27 De invloed van de genezingsfactor kan op dezelfde manier veranderd worden.
a. Open het eigenschappenvenster van de genezingsfactor.
b. Stel de genezingsfactor in op 0.10 en laat het model lopen.
c. Klopte jouw voorspelling van de griepgolf bij opgave 25 ongeveer? Zo nee,
leg dan uit waarom de grafiek anders is.
d. Hoeveel % van de bevolking krijgt volgens dit model de griep?
27
28 Bij een ernstige griepepidemie kan de overheid besluiten om op grote schaal
antivirale middelen te verstrekken. (Zie blz.11 Mogelijke maatregelen)
Een dergelijke aanpak is echter wel erg duur. In je model wordt de
genezingsfactor 0,30.
a. Verwacht je dat een dergelijk medicijn veel invloed kan hebben op de
griepgolf? Wat zal die invloed dan zijn? Op welk deel van de grafiek?
b. Test je antwoord bij a. door het programma te laten lopen. Noteer de
uikomsten.
Werken met een computermodel
Een computermodel biedt veel mogelijkheden tot testen en uitproberen.
Het model kan verschillende malen gerund worden onder verschillende
condities. Zo kan de invloed van één onderdeel goed onderzocht worden.
Enkele mogelijkheden zijn:
 De beginsituatie (de niveauvariabelen) kan anders gekozen worden.
 De invloed van de constante factoren kan vergeleken worden.
 De tijdsduur en de tijdstap kan aangepast worden.
Model testen en evalueren
Een model moet niet alleen de werkelijkheid zo goed mogelijk beschrijven, het
moet ook geschikt zijn om voorspellingen te doen voor de toekomst. Dat
betekent dat verschijnselen die in werkelijkheid optreden ook zichtbaar moeten
zijn in het model. Daarnaast moet getest worden of het model betrouwbaar is.
29 Het model Griepepidemie 2 houdt op een bepaalde manier rekening met de
genezingsfactor en de kans op besmetting.
a. Noem twee eigenschappen van het model Griepepidemie 2 die goed
passen bij de werkelijkheid.
b. Noem één aspect aan het model dat verbeterd kan worden of waarmee het
model uitgebreid kan worden.
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de
volgende vragen:


Welke invloed hebben de modelvariabelen op het resultaat?
Hoe kun je de resultaten van het model verklaren aan de hand
van de formules in het model?
28
Kennismaken met modellen
1.5 Een realistischer griepmodel
Wat gaan we doen?
Het model Griepepidemie1 geeft een realistischer voorspelling van een
griepgolf dan de voorgaande Excel modellen. Maar enkele belangrijke
biologische aspecten ontbreken nog. Hierdoor is het model nog niet
goed betrouwbaar genoeg.
Het derde griepmodel is een voorbeeld van een uitgebreid model waarbij
veel factoren een invloed hebben. Dit model wordt getest met behulp van
een échte griepgolf.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Welke factoren maken het griepmodel meer realistisch?
Hoe test je een model testen aan de werkelijkheid?
Het verbeterde griepmodel geeft al een veel realistischer beeld van een
griepepidemie, maar er ontbreken nog veel factoren en verschijnselen die bij
een echte epidemie een rol spelen. Het model kan dus nog verder verbeterd
worden.
Verbeteringen aan het griepmodel
Om het model van de griepepidemie nog beter aan te laten sluiten op de
werkelijkheid moeten de onderstaande verschijnselen en factoren aan het
model worden toegevoegd:
 Personen die besmet raken zijn niet direct ziek. De virussen vermenigvuldigen
zich. Na een dag of twee beginnen de eerste ziekteverschijnselen. In deze
(incubatie)tijd kunnen anderen wel besmet worden.
 Niet iedereen die besmet raakt wordt ook ziek. Bij een behoorlijk deel van de
bevolking werkt het afweersysteem goed genoeg om het virus uit te
schakelen. Deze personen zijn daarna immuun (immuun_1).
 De griep kan ook dodelijk zijn. Elk jaar overlijden er in Nederland honderden
mensen aan de griep. De kans op overlijden is sterk afhankelijk van het type
virus dat de ziekte veroorzaakt.
In het model Griepepidemie2 zijn deze drie verschijnselen opgenomen.
Figuur 1.30 – Griepepidemie 2
29
30 Het model Griepepidemie2 kent een nieuwe niveauvariabele besmet, het
aantal personen dat al wel besmet maar nog niet ziek is.
a. Hoe is in het model te zien dat een deel van de personen die besmet is
geraakt niet ziek wordt? Wat gebeurt er bij deze personen?
b. Welke constante in het model bepaalt welk deel van de besmette personen
wel ziek wordt en welk deel niet?
Bij mensen die besmet én vatbaar zijn neemt het aantal virusdeeltjes toe,
waarna ze ziek worden en dus anderen kunnen besmetten.
c. Welke twee niveauvariabelen zorgen voor nieuwe besmettingen?
31 Het model houdt ook rekening met het feit dat er elk jaar mensen overlijden aan
de griep. De stroomvariabele sterfte is in het model afhankelijk van het aantal
zieke personen en de sterftefactor (de kans per dag om te overlijden aan de
griep).
a. Geef in je eigen woorden aan wat de stroomvariabele sterfte voorstelt.
Gebruik in je uitleg ook de eenheid van de variabele.
b. Met welke formule zal de variabele sterfte berekend worden?
c. Leg uit dat de constante sterftefactor een zeer klein getal moet zijn.
Ontwikkelen en testen
Het ontwikkelen van modellen gaat vaak op dezelfde manier. Het eerste
model is vrij eenvoudig, daarna worden er steeds verbeteringen
aangebracht. Verschijnselen en factoren die in de werkelijkheid een rol
spelen worden aan het model toegevoegd. Dat proces gaat door totdat het
model goed genoeg is voor het doel waarvoor het gebruikt moet worden.
Om een verbeterd model te testen wordt de uitkomst van het model
vergeleken met gegevens uit de werkelijkheid. Daarbij wordt onderzocht of
het mogelijk is het model zo in te stellen dat de resultaten redelijk overeen
komen met de werkelijkheid.
30
Open het model Griepepidemie 2. Je krijgt op het scherm het uiteindelijke
model voor een griepepidemie.
32 Het model start met 100.000 gezonde personen, 100 personen die besmet zijn
en 10 personen die ziek zijn. Boven in het scherm vind je de menubalken
waarmee je het model kunt laten werken.
a. Open met de rechtemuisknop in het modelvenster het modeluitvoer-paneel.
Plaats de schuif van de afspeelsnelheid helemaal links. Klik op de knop ,
de play-knop in het modeluitvoer-paneel. Noteer hoeveel personen er aan
het einde gezond, besmet, ziek of immuun zijn.
Figuur 1.31 – Afspeelknoppen in de
menubalk
gezond:
besmet:
ziek:
immuun:
b. Hoeveel personen liggen tijdens de piek van de griepgolf in bed?
c. Hoeveel personen overlijden er in totaal aan de griep?
d. Vind je de resultaten van dit model realistisch? Leg uit waarom wel/niet.
Het model testen
Het model is nu compleet genoeg om een test uit te voeren. Bij een test wordt
onderzocht of het model in staat is om een werkelijke situatie na te bootsen. Als
voorbeeld worden de gegevens gebruikt van de griepgolf die in februari 2005
Zuid-Nederland trof. Lees eerst het artikel.
In februari hogere sterfte in Zuid-Nederland
Bron: www.cbs.nl
In Zuid-Nederland zijn in februari 2005 bijna 3 duizend
mensen overleden. Dit is bijna 600 meer dan in de vier
weken daarvoor en ook 600 meer dan gemiddeld voor
februari.
De hogere sterfte in Zuid-Nederland valt vrijwel samen met een
griepgolf die door het NIVEL is waargenomen. In de week van 14 tot
en met 20 februari bereikte deze een piek. Toen waren er per
10 duizend inwoners van Zuid-Nederland 48 patiënten met een
ziektebeeld dat op griep wijst.
Week na griepgolf hoogste sterfte
De sterfte in Zuid-Nederland was het hoogst in de week van 21 tot en
met 27 februari, een week na de piek in de griepgolf overleden 210
personen aan de gevolgen van de griep. Uit onderzoek is bekend dat er
enige tijd verstrijkt tussen het optreden van griep en het eventuele
overlijden aan de gevolgen van griep.
Figuur 1.32 - Griepepidemie in Zuid-Nederland, februari 2005
31
Gegevens van de griepgolf in Zuid-Nederland
De gegevens van de griepgolf die voor het model van belang zijn kunnen als
volgt samengevat worden.
 De totale bevolking van Zuid-Nederland bestaat uit 4 miljoen personen.
 Bij de start van de epidemie waren 10.000 personen besmet en 2000
personen ziek. Er was (nog) niemand immuun voor deze soort griep.
 Op het hoogtepunt waren er ongeveer 20.000 personen ziek in bed.
 In totaal kreeg ongeveer 5% van de bevolking de griep.
 In totaal overleden er tijdens de griepgolf circa 1000 personen aan de griep.
33 De beginsituatie wordt gekenmerkt door het aantal personen dat gezond,
besmet, ziek of immuun is.
a. Noteer de waarden voor de beginsituatie in het model. Dubbelklik daarvoor
op het symbool waardoor de editor geopend wordt. Noteer de juiste waarde
in elke editor.
Het uiteindelijke model kent vier constanten die afhankelijk zijn van het type
virus dat de epidemie veroorzaakt.
b. Welke vier constanten zijn dat?
Figuur 1.33 - Met behulp van
de editor kan de startwaarde
van een variabele aangepast
worden.
c. Reken het model door met de waarden voor de constanten die van tevoren
ingevuld zijn. Noteer de eindresultaten.
d. Vergelijk de resultaten van het model met de gegevens van de werkelijke
griepgolf. Welke resultaten zijn te hoog, welke te laag?
e. Verander de waarden van deze vier constanten en laat het model met de
nieuwe waarden lopen. Test verschillende combinaties van de waarden en
onderzoek of je met dit model een resultaat kunt krijgen dat past bij de
gegevens van Zuid-Nederland. Noteer de waarden van de vier constanten.
Modelleren in stapjes
Bij de start van het model van de griepepidemie is gekozen voor een zeer
simpel model. Door de resultaten van het model te vergelijken met de
werkelijkheid zijn is het model uitgebreid en verbeterd. Het bouwen van
een computermodel verloopt vaak in stapjes.
32
Evaluatie model
Het uiteindelijke model voor een griepepidemie is geleidelijk opgebouwd.
Het eerste model was erg simpel en onvolledig, maar het derde model gaf toch
al een redelijk beeld van het proces van een griepepidemie. Is het model
daarmee compleet? Is het een goede benadering van de werkelijkheid?
34 Een model moet een realistische beschrijving zijn van de werkelijkheid. Is het
uiteindelijke model van de griepepidemie nu het juiste model? Dat hangt vooral
af van de eisen die aan het model gesteld worden.
a. Vind je dat het model geschikt is om het verschijnsel van een griepepidemie
te begrijpen en te verklaren? Geef aan waarom je het model wel of niet
geschikt vindt.
b. Vind je dat het model geschikt is om een oude griepepidemie na te
bootsen? Geef aan waarom je het model wel of niet geschikt vindt.
c. Vind je dat het model geschikt is om een voorspelling te doen voor een
nieuwe griepepidemie? Geef aan waarom je het model wel of niet geschikt
vindt.
d. Zou je als overheid op basis van de voorspelling van dit model beslissingen
nemen over bijvoorbeeld een grote inentingscampagne? Leg uit waarom
wel/niet.
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:


Welke factoren maken het griepmodel meer realistisch?
Hoe test je een model aan de werkelijkheid?
33
Hoofdstuk 2
De toestand en de verandering
2.1 Hoe rekent het model?
Wat gaan we doen?
In hoofdstuk 1 heb je kennis gemaakt met de manier waarop een
dynamisch model rekent en ontwikkeld wordt.
In hoofdstuk 2 wordt gekeken naar de manier waarop de veranderingen
(groei of afname) invloed hebben op de toestand. Die invloed moet
zichtbaar zijn in de manier waarop het model rekent én in de resultaten
van het model.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Welke invloed hebben de toestand en de verandering op elkaar?
Hoe kun je aan de grafieken de relatie tussen de toestand en de
verandering herkennen?
Terugblik
Het model voor een griepepidemie laat duidelijk zien op welke manier een
computermodel werkt. De computer rekent in stapjes (bij de griep waren dat
stapjes van één dag) en na elke stap wordt de situatie opnieuw berekend. Een
computermodel is op die manier een veranderingsproces, waarbij de
veranderingen en de factoren die van invloed zijn op die veranderingen het
proces sturen. Een model met een toestand en een verandering.
Een model rekent in stapjes
Een dynamisch model wordt gekenmerkt door:
1. Wat is de begintoestand?
2. Welke factoren hebben invloed op de verandering van die situatie?
3. Welke tijdstap wordt gekozen om een nieuwe situatie te berekenen?
35 Bekijk nogmaals het model Griepepidemie2.
a. Welke variabelen beschrijven daar de (begin)toestand?
b. Welke variabelen beschrijven de verandering van de toestand?
c. Hoe kun je aan het plaatje van een model (zie fig. 2.1) de
toestandsvariabelen en de veranderingsvariabelen herkennen?
d. Met welke tijdstap rekent dit model?
34
Figuur 2.1 – Griepepidemie 2
Een recursieve betrekking is een andere manier om een veranderingsproces te
beschrijven. Een voorbeeld van zo’n betrekking is:
besmet (n  1)  besmet (n)  besmetting  groei _ virus  afname _ virus
e. Hoe kun je aan een recursieve betrekking herkennen welke variabele de
toestand beschrijft en welke variabele de verandering weergeeft?
36 Elk model wordt ‘beheerst’ door de veranderingsvariabelen. De
toestandsvariabelen beschrijven de situatie, de veranderingsvariabelen geven
aan hoe snel de toestand verandert. In de onderstaande figuur is het laatste
griepmodel nogmaals weergegeven, nu met een tabel en twee grafieken van de
variabelen gezond en besmetting.
Figuur 2.2 – Resultaten van griepepidemie: tabel en grafieken
De toestandsvariabele gezond verandert alleen door de besmetting. In het
model Griepepidemie2 zie je deze twee variabelen weergegeven in een tabel
en in twee grafieken.
a. Hoe zie je aan de tabel dat de besmetting gelijk is aan de verandering van
de toestand?
35
Die verandering is ook te schrijven als een recursieve betrekking.
b. Vul aan:
gezond(n+1) = . . . . . . . . . .
De grafieken van gezond en besmetting hebben natuurlijk ook iets met elkaar te
maken.
c. Leg uit dat de grafiek van gezond sneller daalt naarmate de besmetting
groter is.
d. Teken in fig.2.2 met een rechte lijn hoe steil de grafiek van gezond op het
steilste punt is.
e. Is de helling van de grafiek van gezond in dit punt gelijk aan de besmetting?
Leg uit waardoor dat veroorzaakt wordt.
f.
Geldt voor elk punt van de grafiek van gezond dat de helling gelijk is aan de
besmetting?
Wat veroorzaakt die winterse
griepepidemie?
Er zijn talloze verklaringen voor
deze jaarlijks terugkerende
‘wintergriep’. Toch heeft tot nu
toe nog geen enkele
wetenschappers een
hypothese kunnen bewijzen.
De Canadese onderzoeker
David Earn heeft met
wiskundige modellen de
verspreiding van de griep, met
name in de winter, onderzocht.
Op zijn site legt hij uit waardoor
het nog onmogelijk om
antwoord te geven op de
bovenstaande vraag.
http://www.kennislink.nl/web/sh
ow?id=123976
Conclusie
De in- en uitstroomvariabelen geven de verandering in het proces weer.
De snelheid van de totale verandering is gelijk aan de helling in de grafiek
van de toestandsvariabele.
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:



Figuur 2.3 Mathematisch
bioloog David Earn

Hoe kun je in een model herkennen welke variabelen de toestand
beschrijven en welke variabelen de veranderingen beschrijven?
Op welke manier hebben de veranderingen invloed op de
toestand?
Hoe kun je zien of de toestand ook invloed heeft op de
veranderingen?
Hoe kun je in de resultaten zien wat de relatie is tussen de
toestand en de verandering?
36
OEFENING: Voorbeelden van toestand, verandering en tijdstap
In de onderstaande opgaven oefen je met de voor dynamische systemen
kenmerkende begrippen: toestand, verandering en tijdstap.
37 Zeevismodellen worden gebruikt om de hoeveelheid vis in de zee te
voorspellen. In de jaren 70 is de één van de grootste haringpopulaties ter
wereld, die tussen Noorwegen en IJsland, ingestort. Zeebiologen hebben
modellen ontwikkeld die de verandering van die populatie zeevissen
beschreven en op grond waarvan beheersmaatregelen zijn genomen die tot
herstel hebben geleid.
a. Noem enkele gegevens waarmee de begintoestand beschreven kan
worden.
Figuur 2.4 - Nederlandse
zeevissers vissen voornamelijk
op de Noordzee, zoals deze
trawler waarmee op haring
wordt gevist.
b. Noem tenminste twee factoren (variabelen of grootheden) die gebruikt
worden om de veranderingen te bepalen.
Bij zeevismodellen is een kleine tijdstap van bijvoorbeeld een dag niet zinvol.
c. Welke tijdstap denk je dat bij zeevismodellen gebruikt wordt? Leg uit
waarom.
38 Bij parachutespringen is het belangrijk om vooraf te weten hoe snel de
parachutespringer daalt. De valbeweging van een parachutist is een
verschijnsel waarbij grootheden elkaar beïnvloeden en in de tijd veranderen.
Figuur 2.5 – De snelheid tijdens een parachutesprong
De beginsituatie is hier het moment dat de parachutespringer uit het vliegtuig
springt.
a. Noem enkele gegevens waarmee de begintoestand beschreven kan
worden.
37
b. Noem tenminste twee factoren (variabelen of grootheden) die gebruikt
worden om de veranderingen te bepalen.
c. Welke tijdstap denk je dat bij dit parachutemodel gebruikt wordt? Leg uit
waarom.
39 Het klimaat op aarde verandert in rap tempo. De gemiddelde temperatuur stijgt
en het weer lijkt extremer te worden (meer neerslag en wind, grotere periodes
van hitte en droogte of van regen en storm).
a. Noem enkele gegevens waarmee de begintoestand beschreven kan
worden.
Figuur 2.6 - Door een
klimaatmodel berekende stijging
van de zomer-temperatuur per
jaar (2000-2100).
b. Noem tenminste twee factoren (variabelen of grootheden) die gebruikt
worden om de veranderingen te bepalen.
c. Welke tijdstap denk je dat bij dit model gebruikt wordt? Leg kort uit.
We meten al enkele jaren een geleidelijke stijging van de gemiddelde
temperatuur. Die geleidelijke stijging kun je doortrekken om een voorspelling te
doen over de temperatuur aan het eind van de eeuw.
d. Is een dergelijke voorspelling betrouwbaar? Waarom wel/niet? Wat zou je
moeten weten om die voorspelling te verbeteren?
38
De toestand en de verandering
2.2 Herhaald optellen; rekenen volgens recept
Wat gaan we doen?
Een computermodel rekent volgens de methode van herhaald optellen.
Deze manier van rekenen is duidelijk zichtbaar in de recursieve
betrekking. In deze formule is ook zichtbaar hoe steeds opnieuw de
verandering berekend wordt.
In deze paragraaf kijken we naar de formule voor de verandering. Is het
gedrag van het model te voorspellen als je de formule voor de
verandering kent?
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Hoe rekent een model met een recursieve betrekking?
Kun je het gedrag van het model voorspellen aan de hand van de
formule voor de verandering?
Recursieve betrekking
De recursieve betrekking van een dynamisch model laat zich vaak beschrijven
als:
nieuwe toestand = oude toestand + verandering
Een korte manier om dat op te schrijven is:
XN+1 = XN + f(XN)
De verandering is hier dus een functie van de oude toestand. Deze functie
beheerst het dynamische proces, als je de functie verandert dan krijg je een
ander gedrag. Enkele eenvoudige voorbeelden:
40 Als de verandering constant is dan is het gedrag makkelijk te voorspellen. Als je
bijvoorbeeld elke week 10 euro spaart en je begint met een bedrag van 160
euro op je rekening dan schrijven we dat als:
XN+1 = XN + 10
en X0 = 160
a. Hoe groot is dan X7? Geef een berekening
b. Na hoeveel weken is het spaarbedrag X gegroeid tot 390 euro?
c. Wat is de formule voor het gedrag van het model? Schrijf X als functie van
het aantal weken N.
39
d. Wat voor soort grafiek hoort bij dit gedrag?
41 Bij evenredige groei is de toename evenredig met de toestand. Een voorbeeld
daarvan is een spaarrekening waarop je elk jaar 5% rente krijgt. Er wordt verder
niets gestort of opgenomen. Als je begint met een bedrag van 240 euro op de
rekening dan is het model te schrijven als:
XN+1 = XN + 0,05×XN
en X0 = 240
a. Hoe groot is dan X3? Noteer de berekening.
b. Hoe kun je op een snelle manier X10 berekenen?
c. Schets de grafiek van het bedrag op de spaarrekening.
Figuur 2.7 – Procentuele groei bij rente.
d. Wat is de formule voor het gedrag van het model? Schrijf X als functie van
het aantal jaar N.
e. Wat voor soort grafiek hoort bij dit gedrag? Hoe noemen we die grafiek?
f.
Na hoeveel jaar is het spaarbedrag S gegroeid tot 500 euro?
40
42 Een combinatie van deze twee vormen kan ook: een vast spaarbedrag plus
jaarlijks rente.
XN+1 = XN + 0,08×XN + 120
en X0 = 240
a. Hoe groot is in dit voorbeeld het spaarbedrag per jaar?
b. Hoeveel procent rente wordt er jaarlijks bijgeschreven?
c. Bereken X3 door herhaald optellen
d. Hoe zie je aan deze recursieve betrekking dat er geen rente wordt betaald
over het bedrag dat in het ‘afgelopen’ jaar is gespaard?
EXTRA: Bij dit model is geen eenvoudige formule te vinden voor X als functie
van de tijd. De grafiek groeit anders dan in de vorige vragen.
e. Maak met Excel een model van dit voorbeeld.
f.
Na hoeveel jaar is het spaarbedrag hoger dan € 2.500,-?
Fig. 2.8
Recursie en verandering
Een dynamisch model rekent door herhaald optellen. Bij elke tijdstap
worden de veranderingen opnieuw berekend en opgeteld bij de oude
toestand. Het rekenwerk wordt gedaan met een recursieve betrekking:
Toestand(t+1) = Toestand(t) + Verandering
Een korte manier om dat op te schrijven is:
XN+1 = XN + f(XN)
De verandering is vaak afhankelijk van de toestand. De relatie tussen de
verandering en de toestand bepaalt het gedrag van het model.
41
De relatie tussen de toestand en de verandering
In sommige situaties is niet bekend hoe een systeem zich in de loop van de tijd
zal ontwikkelen, maar men weet wel hoe de verandering afhangt van de
toestand. De relatie tussen de toestand en de verandering kan dan
weergegeven worden in een grafiek.
43 In de onderstaande grafiek is zo’n relatie weergegeven voor het voorbeeld uit
de vorige opgave: sparen met inleg én rente.
Langs de horizontale as staat de toestand: het bedrag op de spaarrekening.
Langs de verticale as staat de verandering: het bedrag waarmee het bedrag op
de spaarrekening een jaar later is toegenomen.
Toestand en verandering
400
350
Groei in een jaar
300
250
200
150
100
50
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Bedrag op spaarrekening
Figuur 2.9 – De relatie tussen groei en saldo bij sparen met inleg en rente.
a. Leg uit dat de grafiek past bij: XN+1 = XN + 0,08×XN + 120
In een bepaald jaar staat er 500 euro op de spaarrekening.
b. Lees in de grafiek af met hoeveel euro dit bedrag een jaar later is
toegenomen.
c. Hoeveel staat er op dat moment op de rekening?
d. Bepaal met behulp van de grafiek welk bedrag er in het daaropvolgende
jaar op de rekening staat.
e. Laat met een berekening (met recursieve betrekking) zien hoe dit bedrag
berekend is.
42
De grafiek van de toename is een rechte lijn, de grafiek van het spaarbedrag is
een kromme lijn.
f. Leg uit hoe je aan de hand van de grafiek van de groei kunt voorspellen dat
de grafiek van het spaarbedrag een kromme lijn zal zijn.
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:


Hoe rekent een model met een recursieve betrekking?
Hoe kun je het gedrag van het model voorspellen bij constante
verandering en bij evenredige verandering?
43
De toestand en de verandering
2.3 Grafiek van toestand en verandering
Wat gaan we doen?
In de vorige paragraaf is gebleken dat in sommige situaties het gedrag te
voorspellen is aan de hand van de verandering. Bij een lineair proces is
er een constante verandering. Bij een exponentieel proces is er een
evenredige verandering.
De verandering hangt vaak af van de toestand (situatie). In deze
paragraaf kijken we naar een voorbeeld waarbij de relatie tussen de
toestand en de verandering bekend is.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Hoe kun je aan de hand van de relatie tussen de toestand en de
verandering een model bouwen?
Hoe kun je aan de hand van de relatie tussen de toestand en de
verandering het gedrag van het model verklaren of voorspellen?
Natuurwetenschappers zijn vaak benieuwd hoe processen in de tijd verlopen.
Een voorbeeld daarvan is de groeikromme van planten, dieren en mensen. Aan
de hand van zo’n groeikromme kun je zien hoe het groeiproces verloopt.
In deze paragraaf wordt onderzocht hoe een groeikromme ontstaat door de
relatie tussen de toestand en de verandering.
Groeikromme van de White Pine (of Weymouthden)
De White Pine is een boomsoort (een dennenboom) die zeer oud kan worden,
leeftijden van meer dan 100 jaar zijn geen uitzondering. Een groeikromme
bepalen is lastig omdat het wel erg lang duurt om te wachten totdat een jonge
boom volgroeid is.
44 De onderzoeker meet van een aantal bomen de hoogte. Een jaar later meet hij
Figuur 2.10 – White Pine.
opnieuw de hoogte om te zien hoeveel de boom gegroeid is. Aan de hand van
die metingen kan hij zien hoe snel de bomen groeien.
In de tabel zijn enkele metingen van de onderzoeker weergegeven.
beginhoogte boom
hoogte een jaar later
jaarlijkse groei
(meter)
(meter)
(m/jaar)
1,98
2,50
0,52
3,6
4,23
0,63
5,05
5,74
0,69
6,1
6,84
0,74
8,73
9,50
0,77
De onderzoeker gebruikt een groot aantal bomen bij zijn onderzoek. Van de
meetresultaten maakt hij een grafiek met horizontaal de hoogte van de boom en
verticaal de groei van de boom in het volgende jaar. Slechts een deel van de
metingen is weergegeven. De kromme lijn geeft het ‘gemiddelde’ van alle
metingen weer.
44
Figuur 2.11 – Relatie tussen jaargroei en hoogte van de White Pine
Aan deze gegevens is duidelijk te zien dat zowel kleine als grote bomen
langzaam groeien.
a. Bij welke hoogte groeit de boom het snelst?
Een bepaalde boom heeft een hoogte van 6,0 meter.
b. Hoe hoog zal deze boom één jaar later zijn?
c. Hoe hoog zal deze boom vijf jaar later zijn? Gebruik de grafiek en de
methode van herhaald optellen.
d. Kun je aan deze grafiek zien hoe hoog de boom maximaal kan worden?
e. Kun je aan deze grafiek zien na hoeveel jaar de boom de maximale hoogte
bereikt?
45
Van metingen naar groeikromme
Hoe kun je nu aan de hand van de vorige grafiek de groeikromme van de White
Pine bepalen? Het groeiproces kan geschreven worden als een recursieve
betrekking:
HN+1 = HN + G(HN)
De jaargroei G hangt af van de hoogte H. De grafiek uit de vorige vraag geeft
het verband tussen G en H weer. Als je voor de jaargroei een functie of formule
kunt vinden dan kun je het rekenwerk ook door de computer laten doen.
45 De onderzoeker stelt aan de hand van de meetresultaten een verband op
tussen de jaargroei en de hoogte van de boom. Bij de vloeiende lijn in de grafiek
hoort een complexe formule (een 4e-graads functie) die het groeigedrag vrij
goed benadert.
Met behulp van deze formule en de recursieve betrekking kan met Excel
eenvoudig een model gemaakt worden.
a. Open het Excel-bestand GroeikrommeWhitePine.
b. Klopt de groei in het eerste jaar met de grafiek van de jaargroei?
Het model start in jaar 0 met een hoogte van 6,0 m. De hoogte in jaar 1 en 2
wordt berekend met een formule.
c. Hoe kun je aan de formules in de cellen B3 en B4 zien dat het een
recursieve betrekking is?
Figuur 2.12 - Een andere
White Pine.
d. Kopieer de formule in B4 naar beneden.
e. Verander de startwaarde in jaar 0 in 0 meter.
f.
Schets in het onderstaande diagram de groeikromme van de White Pine.
Groeicurve White Pine
40,00
35,00
30,00
hoogte (m)
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
0
10
20
30
40
50
jaar
Figuur 2.13 - Groeikromme van de White Pine
g. Welke maximale hoogte bereikt de boom?
46
60
70
80
90
100
h. Hoe zie je aan de groeikromme bij welke hoogte de groeisnelheid maximaal
is?
Deze groeikromme is het resultaat van de relatie tussen de jaarlijkse groei en
de hoogte, weergegeven in de grafiek van figuur 2.11.
i. Leg uit dat de vorm van de groeikromme in fig. 2.13 past bij de vorm van de
grafiek van de jaargroei in fig. 2.11.
j.
EXTRA
In vraag 46 t/m 51 ga je een
model bouwen voor de groei
van deze tulp en tegelijk kijk
je naar de rol van de tijdstap.
De vragen zijn bedoeld als
extra oefening, het model
wordt in paragraaf 4.2
opnieuw gebruikt.
Verandert de vorm van de groeikromme bij een andere beginwaarde?
Teken in figuur. 2.10 de groeikromme bij een beginhoogte van 10 m.
EXTRA: Groei van tulpen
Tulpen groeien anders dan dennenbomen. In de onderstaande grafiek is de
groeikromme van een bepaalde tulpensoort (Queen of Night) weergegeven als
percentage van de uiteindelijke hoogte. Bij deze tulp is de groeikromme bekend,
maar welk groeimodel past daar nu bij?
Figuur 2.14 – Groeikromme van de Queen of Night (een tulpenras).
46 De groeikromme van de Queen of Night lijkt op de grafiek van een bepaalde
wiskundige functie.
a. Op de grafiek van welke wiskundige functie lijkt deze groeikromme?
Een plantenonderzoeker wil een dynamisch model maken van de groei van
deze tulp. Daarvoor heeft hij een formule nodig die de groeisnelheid (in % per
uur) aangeeft als functie van de hoogte.
b. Op welk tijdstip is de groeisnelheid het grootst?
47
c. Hoe kun je aan de grafiek zien dat de groeisnelheid steeds kleiner wordt?
De plantenonderzoeker kiest als hypothese dat de groeisnelheid omgekeerd
evenredig is met de hoogte.
d. Vind je de aanname van de onderzoeker realistisch? Geef één argument
om je standpunt te onderbouwen.
Bij een omgekeerd evenredig verband hoort ook een formule met een
evenredigheidsconstante.
groei  c 
1
hoogte
Hierbij is groei de toename van de hoogte per tijdstap. In dit voorbeeld is de
waarde van de constante niet zo belangrijk, het gaat om de vraag of met deze
formule een model te maken is van de groei van de tulp.
47 Met behulp van de bovenstaande formule kan met Excel een model gemaakt
worden van de groei van de tulp.
a. Open het Excel-bestand GroeimodelQueenofNight
Figuur 2.15 –gedeelte van de Excell sheet
In het model kunnen vier startwaarden ingevuld worden, dit voorbeeld start op
t=10 uur met een hoogte van 7,5%. De evenredigheidsconstante c (uit de
bovenstaande formule) heeft de waarde 0, de tijdstap is 5 uur.
b. De constante c heeft (nog) de waarde 0. Wat betekent dat voor de getallen
in de tabel?
c. Verander de waarde van de evenredigheidsconstante c in veld D3 en
onderzoek wat er gebeurt met de grafiek (de gele lijn). Noteer dit.
d. Bij welke waarde van c gaat de grafiek het best door de meetpunten?
e. Vind je het model een realistische beschrijving geven van de groei van de
tulp? Licht je antwoord toe.
48
f.
Vind je het model geschikt om een voorspelling te doen over de hoogte van
de tulp na 500 uur? Licht je antwoord toe.
In het groeimodel voor de tulp is een trucje toegepast om de groei in het begin
goed te krijgen. De tabel begint niet op tijdstip nul, maar pas na 10 uur met een
hoogte van 7,5%.
De hoogte wordt berekend met de recursieve betrekking:
hoogte(t+5) = hoogte(t) + 251/hoogte(t)
48 Kennelijk is deze groeiformule niet geschikt voor kleine waarden van de hoogte.
a. Waarom is de formule niet geschikt voor hoogte=0?
b. Verander de beginwaarden van de tabel in tijdstip = 0 en hoogte = 1.
c. Wat gaat er nu fout? Welke waarde komt er uit de recursieve betrekking als
je daar hoogte=1 invult?
De tijdstap aanpassen
Bij het rekenen met modellen ontstaan soms onverwachte resultaten
(‘uitschieters’ ) zoals bij de groei van de tulp bij kleine waarden van t.
Er spelen hier twee problemen:
- bij kleine waarden voor de hoogte geeft de formule een erg groot getal
- het model rekent in stappen van 5 uur, dat is waarschijnlijk te grof om in het
begin de groei goed te beschrijven.
Het eerste probleem is hier niet op te lossen, het tweede probleem wel.
49 Gebruik het Excel-bestand GroeimodelQueenofNight uit de vorige opgaven.
Stel de waarde van de constante in op 25.
a. Verander de tijdstap in 1 uur. Wat verandert er aan de tabel en aan de
grafiek?
Als de tijdstap kleiner wordt dan moet de groei ook kleiner worden. Dat kan door
de waarde van de constante aan te passen.
b. Maak de waarde van de constante ook vijf keer zo klein.
c. Is de ‘fout’ aan het begin van de grafiek nu kleiner geworden?
d. Maak de waarde van de constante én de waarde van de tijdstap opnieuw vijf
keer zo klein.
Door de kleine tijdstap wordt nu slechts een klein stukje grafiek getekend.
e. Is de grafiek in het begin nu wel ‘vloeiend’?
49
Recursie en tijdstap
Als de tijdstap aangepast wordt dan is het handig om de tijdstap mee
te nemen in de recursieve betrekking. De tijdstap wordt Δt genoemd.
hoogte(t+Δt) = hoogte(t) + groeiΔt
In dit voorbeeld is de formule voor de groei:
groei = c1/hoogte
Bij de variabele groei is de eenheid %/uur, de eenheid van Δt is uur.
Door gebruik te maken van deze manier van schrijven hoeft bij het
veranderen van de tijdstap niet steeds de waarde van de constante
veranderd te worden.
50 Bij een tijdstap van 5 uur had de constante de waarde 25. Bij het gebruik van de
bovenstaande notatie is groei de toename per uur.
a. Leg uit dat bij deze manier van schrijven de constante c in de formule voor
de groei de waarde 5 moet hebben.
b. Open opnieuw het Excel-bestand GroeimodelQueenofNight
c. Verander de waarde van cel B3 in: =B2+$D$3*1/B2*$D$6
d. Kopieer de formule naar alle lagere cellen in kolom B.
e. Welke waarde moet ingevuld worden in cel D3?
51 Het aanpassen van de tijdstap gaat met Coach veel eenvoudiger.
a. Open het bestand PSQueen. Het model start met: constante=5 hoogte=1
en Δt=1
b. Laat het model lopen. Wat gaat er fout?
Figuur 2.16 - Een model
voor de groei van de Queen
of Night.
c. Verklein de tijdstap (in OPTIE – INSTELLING tot Δt=0,1.
d. Kun je nu starten met hoogte=0? Leg uit.
e. Kun je starten met hoogte=0,1? Bij welke tijdstap lukt dit wel.
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:



Hoe kun je aan de hand van de relatie tussen de toestand en de
verandering een model bouwen?
Hoe kun je een hypothese voor de relatie tussen de toestand en de
verandering testen met een model?
Hoe kun je bij de berekeningen (recursieve betrekking) rekening
houden met het veranderen van de tijdstap?
50
Hoofdstuk 3
Modellen bouwen in een
systeemdynamische modelleertaal
3.1 Waterstromen als voorbeeld
Wat gaan we doen?
In de vorige hoofdstukken heb je kennis gemaakt met dynamische
modellen. Je hebt een eenvoudig computermodel gebouwd en gekeken
hoe zo’n model rekent. In dit hoofdstuk ga je met behulp van een
modelleerprogramma ingewikkelder modellen bouwen.
In dit hoofdstuk ga je ‘waterstromen’ modelleren. Dit voorbeeld is
gekozen omdat situaties waarbij water in of uit een emmer stroomt goed
zijn voor te stellen.
In de eerste paragraaf zijn de centrale vragen:




Hoe bouw je een dynamisch model?
Hoe plaats je de juiste formules in het model?
Hoe kun je eindtijd en tijdstap aanpassen?
Hoe maak je de resultaten zichtbaar; in een grafiek of tabel?
Zelf een model bouwen
In het vorige hoofdstuk is met een computermodel een griepepidemie
beschreven. In het model voor griepepidemie wordt de toestand beschreven
met verschillende groepen mensen. Het aantal mensen in een groep verandert
door genezing of besmetting. Het model rekent dus met aantallen mensen. Het
bijbehorende modelplaatje zag er zo uit:
Figuur 3.1 Model griepepidemie 1
De rechthoek ‘ziek’ kun je opvatten als een voorraadvat waarin op ieder
moment een aantal mensen zit. De stroompijl ‘besmetting’ geeft aan hoeveel
mensen er per tijdseenheid in het vat naar binnen ‘stromen’. De stroompijl
‘genezing’ wijst het vat uit en geeft aan hoeveel mensen er per tijdseenheid
uitstromen.
Figuur 3.2 – Verschillende
voorbeelden van Coachmodellen
Voor de computer maakt het niets uit dat dit model over griep gaat. Een
vergelijkbaar modelplaatje zou je ook kunnen tekenen voor de hoeveelheid geld
in je portemonnee, de hoeveelheid lading op een condensator, de hoeveelheid
warmte in een huis, of zelfs de snelheid van een fiets.
51
52 Het onderstaande modelplaatje gaat over de snelheid van een fiets. De
toename van de snelheid hangt af van hoe hard je trapt en van de massa.
Figuur 3.3 – Coachmodellen snelheden fiets
a. Hoe noem je in deze situatie ‘wat er per tijdseenheid bijkomt of vanaf gaat’?
b. Bij de afname van de snelheid zijn twee variabelen getekend die invloed
hebben op de afname. Welke variabelen zouden dat kunnen zijn?
Een lekkende emmer vullen
Het rekenen door bij te houden wat er bij komt èn wat er af gaat, is de kern van
systeemdynamisch modelleren. Hoewel het wiskundig niet uitmaakt waar het
model over gaat, is het handig een situatie te kiezen die jij je goed kunt
voorstellen. In dit hoofdstuk modelleren we daarom het stromen van water in
allerlei situaties.
53 Als je een lege emmer van 10 liter onder een stromende kraan zet loopt hij vol,
en je kunt bij gegeven instroom makkelijk uitrekenen hoeveel water er op tijdstip
t in de emmer zit. Bij een normale kraan stroomt er 9,0 liter water per minuut uit
de kraan.
a. Hoeveel liter water stroomt er per seconde uit de kraan?
b. Schets in een grafiek de hoeveelheid water V in de emmer als functie van
de tijd.
Figuur 3.4 - Emmer onder de
kraan.
Figuur 3.5 Grafiek vol lopen van een emmer.
c. Welke betekenis heeft de helling van de grafiek die je getekend hebt?
52
Als de emmer lek is wordt het een ander verhaal. De instroom uit de kraan is
constant, maar de uitstroom niet. Hoe voller de emmer wordt, des te groter
wordt de uitstroom.
54 Stel je de situatie voor dat er in de bodem van de emmer een klein rond gaatje
zit. En dat er een constante stroom water uit de kraan komt. Hoe verandert dan
de hoeveelheid water in de emmer in de loop van de tijd?
a. Het antwoord hangt natuurlijk af van hoe hard de kraan staat en hoe groot
het gaatje is. Schets in een grafiek enkele mogelijke uitkomsten.
Figuur 3.6 – Lekkende
emmer
Figuur 3.7 - Watervolume lekkende emmer
b. Hoe loopt de emmer leeg als bij een volle emmer de kraan dichtgedraaid
wordt? Schets een grafiek in hetzelfde diagram, begin bij 10 liter.
c. Als het goed is heb je hier gebogen lijnen getekend en bij de vorige vraag
een rechte lijn (tot de emmer overstroomt). Verklaar het verschil.
Je hebt nu globaal geschetst hoe het waterpeil in het emmertje verloopt. Om
een betere schets te maken, zou je de volgende punten moeten weten:
 Als de kraan loopt (niet zo hard dat de emmer niet overstroomt): wat wordt
dan het evenwichtsniveau?
 Als de kraan gesloten is: hoe lang duurt het dan voordat de emmer leeg is?
 Als je twee keer zoveel water in de emmer hebt, duurt het dan ook twee keer
zo lang voordat de emmer leeg is?
Het antwoord op deze vragen hangt af van de grootte van het gaatje, van de
instroomsnelheid, maar ook van de snelheid van weglekken bij een gegeven
hoeveelheid water in de emmer.
De uitstroom kun je theoretisch afleiden, maar je kunt hem ook door meting
bepalen. Stel dat voor het gebruikte type emmer gemeten is dat:
2
V ,
uitstroom = 0,19  rgat
met uitstroom in liter/s, rgat in cm en V in liter.
53
Een model bouwen in Coach
Bij het bouwen van een computermodel in Coach teken je eerst het
modelplaatje, dan vul je de formules in en tenslotte laat je het model
doorrekenen. Je ziet dan vanzelf de gezochte uitkomsten verschijnen.
55 Het plaatje van het model dat je gaat bouwen, ziet er als volgt uit:
Figuur 3.8
a. Start Coach. Open het model: Lege modelleer activiteit.cma
Figuur 3.9 – Het modelvenster van Coach met de buttons om het model te bouwen.
Het middelpunt van het model is de emmer, of beter gezegd, de hoeveelheid
water in de emmer. Die teken je eerst:
b. klik op
en klik op het witte veld waar je de voorraadgrootheid wilt
plaatsen. Je ziet:
Als je nu de gewenste naam typt verschijnt die in plaats van ‘Toestand_1’. In
iedere variabele die je toevoegt zal een vraagtekentje te zien zijn. Dit geeft aan
dat je daar tzt nog een waarde of een formule moet invullen.
c. Noteer de naam water_in_emmer bij de voorraadgrootheid.
De hoeveelheid water kan alleen veranderen door een instroom, of een
uitstroom, dus de volgende stap is het toevoegen van een stroompijl. We
beginnen met de instroom.
d. Selecteer de stroompijl
en trek een pijl vanuit het ‘niets’ naar de
voorraadgrootheid. De voorraadgrootheid kleurt nu zwart. Laat de muisknop
los.
Figuur 3.10
e. Geef de instroomvariabele de naam instroom.
56 Je model ziet er nu zo uit:
Figuur 3.11
Je ziet nu twee vraagtekens. Als je op beide plaatsen een getal invult dan heb je
een eerste werkend model. Bij water_in_emmer moet het model een
beginhoeveelheid weten om van daar uit verder te rekenen.
a. Dubbelklik op ‘water_in_emmer’ en type in het vak ‘definition’ een redelijke
beginwaarde (in liter). Noteer de waarde die je gebruikt.
54
b. Dubbelklik nu op ‘instroom’ en vul weer een redelijke waarde in (in liter/s).
Noteer de waarde die je gebruikt.
Het rondje is nu veranderd in een ruit: dat geeft aan dat je voor deze variabele
een constante waarde hebt ingevuld. Het model is nu klaar. Om de resultaten
goed te bekijken is een grafiek handig.
Figuur 3.12 – Buttons van Coach om de instellingen van de simulatie te veranderen,
grafieken in te voegen, etc.
c. Klik op
en pas de modelinstelling aan zodat de berekening 100 s duurt
in plaats van 10.
d. Selecteer de voorraadgrootheid water_in_emmer en klik met je
rechtermuisknop. Selecteer ‘Diagram tonen’ en plaats de diagram in een vrij
venster.
e. Je model is klaar. Je kunt de startknop klikken om het model te laten
doorrekenen.
Als het goed is, zie je zoiets:
Figuur 3.13
Dit is aardig realistisch, behalve dat in werkelijkheid de emmer bij 10 liter vol is.
Je kunt dit corrigeren door verfijningen in te bouwen. Je kunt ook gedurende het
modelleren bedenken dat het model alleen bruikbaar is, zolang de emmer niet
overstroomt.
57 Het wordt interessanter als je ook de uitstroom modelleert.
a. Bouw daarvoor je model uit tot het onderstaande plaatje.
b. Vul voor r_gat de waarde 0,5 in.
Figuur 3.14
55
De uitstroom heeft geen vaste waarde, de uitstroom wordt gegeven door de
formule
2
uitstroom  0,19  rgat
 V
Om de uitstroom te berekenen heeft Coach de waarde van water_in_emmer en
van r_gat nodig. Dat geef je in het model aan met relatiepijlen.
c. Trek relatiepijlen van water_in_emmer en van r_gat naar uitstroom (zie
figuur)
figuur 3.15
Om voor de uitstroom de juiste formule in te vullen ga je als volgt te werk:
d. Dubbelklik op uitstroom, de editor wordt geopend.
e. Door op editor te klikken zie je de variabelen die je mag gebruiken in je
formule. Door dubbelklikken kun je deze kopiëren naar het definitie-vak
maar je kunt ook gewoon typen.
f.
Vul in het definitie-vak de gegeven formule in. Coach gebruikt voor het
wortelteken de afkorting sqrt (square root, ofwel de vierkantswortel)
0,19*r_gat^2*sqrt(water_in_emmer)
g. Heeft het model na 100 seconde een evenwicht bereikt?
h. Sla dit model op. Je gaat het in de volgende paragraaf weer gebruiken.
58 Om de resultaten van het model nauwkeurig te bekijken is een tabel handig.
a. Selecteer met de rechtermuisknop de voorraadgrootheid water in emmer.
Kies “Tabel tonen” en plaats deze in een vrij venster.
b. Klik met de rechtermuisknop in de tabel. Selecteer tabelinstelling… Je kunt
een kolom C3 toevoegen, kies hiervoor “uitstroom”.
.
56
c. Kies voor de instroom de waarde 0.02 en laat het model lopen.
d. Hoeveel water zit er na 100 seconde in de emmer? Is er evenwicht?
De tijd in het model aanpassen
Als er na 100 seconde nog geen evenwicht is, kun je het model langer
laten doorrekenen: kies in het menu: Opties | Instelling of
Vul bij Stoppen de gewenste eindtijd in.
.
59 Na verloop van tijd ontstaat er evenwicht. De hoeveelheid water in de emmer
hangt natuurlijk af van de instroom uit de kraan.
a. Onderzoek voor verschillende waarde van de instroom welk evenwicht
bereikt wordt. Noteer de antwoorden in de tabel.
b. Schets het verband (globaal) in een grafiek:
instroom
evenwicht
(liter/s)
(liter)
0,05
0,10
0,15
0,20
evenwichtswaterstand
0,02
instroom
Figuur 3.17 Tabel en grafiek: evenwicht afhankelijk van de instroom
c. Wat voor soort verband (of soort evenredigheid) is er tussen het evenwicht
en de instroom?
60 In deze opgave kijken we naar de situatie waarbij de kraan dicht is en de emmer
leegstroomt. Gebruik je model om antwoord te vinden op de volgende vragen:
a. Draai de kraan dicht. Hoe lang duurt het voordat een volle emmer helemaal
leeg is?
b. Hoe lang duurt het voordat een half volle emmer helemaal leeg is?
57
c.
Hoe lang duurt het voordat een emmer die voor een kwart gevuld is
helemaal leeg is?
d. Is de leeglooptijd evenredig met de hoeveelheid water? Zo ja, laat dat zien.
Zo nee, welk verband is er dan wel?
61 Wat kun je met dit model en wat kun je er niet mee? Wat is er niet realistisch
aan het model? Is dat erg? Hoe zou je dat eventueel kunnen verbeteren?
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:




Hoe bouw je een model op met de modelsymbolen voor de
voorraadgrootheid, de in/uitstroompijl, de rekenvariabele en de
constante?
Hoe vul je de formules die de relatie tussen de grootheden
weergeven in?
Hoe maak je de resultaten van het model zichtbaar in een tabel en
in een grafiek?
Hoe pas je in een model de eindtijd en de tijdstap aan?
58
Modellen bouwen
3.2 Meer doen met waterstromen
Wat gaan we doen?
In de voorafgaande paragraaf zijn de belangrijkste onderdelen van het
bouwen van een model aan de orde geweest. In deze paragraaf wordt
de vaardigheid in het bouwen van modellen verder uitgebreid.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Hoe maak je een model met meerdere emmers?
Kun je de resultaten van het model voorspellen of verklaren?
Meer emmertjes: een waterkunstwerk
Een lekkende emmer is voor nuttige toepassingen meestal niet zo handig. In de
‘kunst’ of ‘tuinarchitectuur’ kun je er van alles mee. Met drie identieke lekkende
emmertjes kun je bijvoorbeeld een getrapte waterval bouwen voor in de tuin.
Hieronder zie je deze waterval net nadat de kraan is aangezet:
Figuur 3.18 – Waterkunst met drie lekkende emmers
62 Hoe verwacht je dat de waterstanden in bovenstaand plaatje er na verloop van
tijd uit zullen zien?
a. Schets je verwachting van de waterstanden in de emmertjes.
b. Is de evenwichtstoestand in alle emmertjes even hoog?
c. Wordt de evenwichtstoestand in alle emmertjes tegelijk bereikt?
59
waterstand
Op t = 0 begin je met lege emmertjes en de kraan wordt opengedraaid. Nadat in
alle emmertjes de evenwichtstoestand bereikt is, wordt de kraan weer
dichtgedraaid. Vervolgens wordt er gewacht tot alle emmers weer leeggelopen
zijn.
d. Schets in één grafiek jouw voorspelling van het verloop van de hoeveelheid
water in iedere emmer (gebruik voor iedere emmer een andere lijnkleur,
geef in een legenda aan welke lijn bij welke emmer hoort).
tijd
Figuur 3.19 – Grafiek: Drie lekkende emmers ; waterstand afhankelijk van de tijd
Om je voorspellingen bij de vorige vraag te controleren kun je een
computermodel bouwen met meerdere emmertjes. De ingrediënten zijn precies
hetzelfde als hierboven, alleen heb je nu drie emmers. De instroom van emmer
2 wordt de uitstroom van emmer 1 (net als bij het griepmodel).
63 Begin met het model voor één emmertje uit de vorige paragraaf. Door kopiëren
en verbinden kun je een groter model bouwen.
a
Selecteer het hele model (Ctrl-A) en kopieer het (Ctrl-C en Ctrl-V).
b
Sleep de kopie naast het origineel. Zie onder.
Figuur 3.20 – Coach model: lekkende emmer
c Verwijder de instroom van de gekopieerde emmer en de uitstroom van de
eerste emmer.
d Maak een nieuwe uitstroom van de originele emmer en verleng de
uitstroompijl van de originele emmer zo dat hij in de andere emmer
uitkomt. Herstel de formule door te dubbelklikken.
60
Figuur 3.21 a) – Coach model: Waterkunst: twee lekkende emmers
Figuur 3.21 b) – Coach model: Waterkunst: twee lekkende emmers
a. Maak op dezelfde manier een derde emmer (met de muis kun je een deel
van het model selecteren en kopiëren).
64 Laat het model lopen en onderzoek of je verwachtingen kloppen.
a. Kies als instroom een waarde waarbij de emmers niet overlopen (b.v. 0,15
liter/sec).
b. Stel de looptijd van het model in op een ruime tijd, b.v. 1500 seconde.
c. Schets de grafieken van de drie emmers.
61
waterstand
tijd
Figuur 3.22 Grafiek: Drie lekkende emmers
Draai de kraan na bijvoorbeeld 1000 seconde dicht. Vul daarvoor in de editor
van de instroom in:
Als t<1000 dan instroom = 0,15 anders instroom = 0.
Hiervoor moet je conditie gebruiken aanvinken.
62
Het model stopt als het de wortel van een negatief getal moet berekenen.
d Gebruik om dat te vermijden de onderstaande formule bij de uitstroom van
elke emmer (wel de naam van de emmer aanpassen)
Als Water_in_emmer > 0,
Dan instroom = 0,19*gat_in_emmer^2*SQRT(water_in_emmer),
Anders instroom = 0
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:


Hoe maak je een model met meerdere lekkende emmers?
Kun je de resultaten van het model voorspellen of verklaren?
63
Modellen bouwen
3.3 De toestand en de verandering
Wat gaan we doen?
Ook in het model van de lekkende emmer is er sprake van een toestand
(de hoeveelheid water in de emmer) en een verandering (het
instromende of weglekkende water).
In deze paragraaf staat de relatie tussen de toestand en de verandering
centraal. Deze relatie bepaalt uiteindelijk hoe het model zich zal
gedragen.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Hoe hebben de toestand en de verandering invloed op elkaar?
Kun je aan de hand van de relatie tussen de toestand en de
verandering het gedrag van het model verklaren of voorspellen?
Wat is terugkoppeling?
Met terugkoppeling wordt bij modelleren bedoeld dat de in- of uitstroom niet
constant is, maar verandert als de voorraadgrootheid verandert. De
voorraadgrootheid en de stroomvariabele hebben dan beide invloed op elkaar.
Als de voorraadgrootheid verandert dan verandert daardoor ook de in- of
uitstroom en daardoor verandert de voorraadgrootheid ook weer.
65 In het voorbeeld van de lekkende emmer is er sprake van zowel instroom als
uitstroom.
a. Is de terugkoppeling zichtbaar bij de instroom of bij de uitstroom?
b. Wat gebeurt er met de uitstroom als de hoeveelheid water toeneemt?
Als er veel water in de emmer
zit heb je een grote Uitstroom,
dus neemt Water_in_emmer
snel af. Daardoor wordt de
Uitstroom kleiner, maar dan
neemt water in emmer weer
minder snel af. Je kunt dat ook
zo in een plaatje zetten:
+
Water_in_emmer
De hoeveelheid water in de emmer heeft een positieve invloed op de uitstroom:
hoe meer water in de emmer des te groter wordt de uitstroom.
c. Heeft de uitstroom een positieve of een negatieve invloed op de
hoeveelheid water in de emmer?
Uitstroom
Als je een keer rond bent dat
zie je dat: hoe meer water in de
emmer, hoe harder het
afneemt. Dit noemen we in
modelleertermen een negatieve
terugkoppeling.
De terugkoppeling bij de lekkende emmer bestaat dus uit twee invloeden, één
positieve en één negatieve invloed. Daarmee wordt de totale terugkoppeling
negatief. Een negatieve terugkoppeling leidt vaak tot een (stabiel) evenwicht.
Zie ook het kader in de marge.
64
66 Bij de lekkende emmer is sprake van negatieve terugkoppeling.
a. Leg uit dat (bij een constante instroom) de negatieve terugkoppeling zorgt
voor het ontstaan van een evenwicht.
Een ander voorbeeld van terugkoppeling is bijvoorbeeld fietsen op een vlakke
weg. De toestand is daarbij de snelheid van de fietser die verandert door de
twee krachten die er werken, de trapkracht en de tegenwerkende kracht (luchten rolweerstand samen).
b. Welke van deze twee krachten zorgt voor een negatieve terugkoppeling?
c. Leg uit hoe er (vanuit stilstand en bij een constante trapkracht) evenwicht
ontstaat.
Er bestaat ook positieve terugkoppeling, bijvoorbeeld een sneeuwbal die van
een helling afrolt. De toestand is de snelheid van de bal. Door het rollen
verandert de massa en een zwaardere bal gaat sneller rollen.
+
………………….
……………
+
Figuur 3.23 Positieve terugkoppeling
d. Welke twee grootheden kunnen bij dit voorbeeld in fig.3.23 geschreven
worden?
e. Leg uit dat hier sprake is van twee positieve invloeden.
f.
Wat gebeurt er bij positieve terugkoppeling? Hoe verwacht je dat deze
variabelen zich na verloop van tijd ontwikkelen?
Terugkoppeling en evenwicht
Terugkoppeling bestaat uit tenminste twee stappen die zowel positief als
negatief kunnen zijn. Als de totale terugkoppeling positief is dan
veroorzaakt een kleine toename een nog grotere toename waardoor het
model explosief groeit.
Als de totale terugkoppeling negatief is dan veroorzaakt een kleine
toename een afname. Daardoor kan er een evenwichtssituatie ontstaan.
65
De relatie tussen de toestand en de verandering
In het model van de lekkende emmer is er sprake van een toestand die
gedurende de tijd verandert. De instroom en de uitstroom veranderen de
hoeveelheid water in de emmers.
67 Neem het laatste model van de drie lekkende emmers en verwijder enkele
onderdelen totdat het onderstaande model overblijft (of bouw het opnieuw).
Figuur 3.24
a. Start met 10 liter water in emmer_1. Emmer_2 is nog leeg.
b. Het gat in de emmer heeft een straal van 0,15 cm.
c. Stel de tijd in op 1500 seconde en laat het model lopen.
d. Teken een tijd-diagram van de hoeveelheid water in emmer_1. De lijn die je
krijgt moet lijken op de grafiek in het linkerfiguur.
Figuur 3.25 Tijd-diagram Hoeveelheid water emmer 1 en 2
e. Voorspel hoe de grafiek van emmer_2 zal verlopen. Teken de grafiek in
hetzelfde diagram. Geef een toelichting op het verloop van de grafiek.
f.
De grafiek van emmer_1 daalt, de helling is dus overal negatief. Bij de
grafiek van emmer_2 is de helling overal positief.
Is de helling van de grafiek van emmer_2 overal even groot als de helling bij
emmer_1? Leg uit.
g. Welke betekenis heeft de helling van de grafiek?
66
Verband tussen toestand en verandering
De waarde van de verandering (de uitstroom of de instroom) bepaalt
hoe snel de toestand groeit of afneemt. De helling van de grafiek van
de toestand is dan gelijk aan de totale verandering.
68 In het model van de vorige opgave is de uitstroom de variabele die het proces
controleert.
a. Voorspel hoe de uitstroom in de loop van de tijd verandert. Schets een
grafiek in het rechterdiagram (bij de vorige vraag).
b. Teken met het Coach een tijd-diagram van de uitstroom. Klopte jouw
voorspelling?
c. Wat voor soort lijn is de grafiek van de uitstroom? Kies uit: evenredig,
lineair, omgekeerd evenredig, kwadratisch of een wortelverband.
d. Hoort er bij de grafieken van de hoeveelheid water in emmer 1 of 2 ook een
verband of formule? Kies uit: evenredig, lineair, omgekeerd evenredig,
kwadratisch of een wortelverband.
De kern van het model is de formule waarmee de uitstroom berekend wordt:
2
uitstroom  0,19  rgat
 V
Is dat niet vreemd? De formule voor de uitstroom is een wortelverband en het
resultaat daarvan is een parabool en een rechte lijn. Hoe is dat te verklaren?
e. Kun je in je eigen woorden verklaren waarom een parabool en een rechte
lijn passen bij de bovenstaande formule? (Dit is een lastige vraag, als je
geen verklaring hebt dan is dat niet vreemd. In hoofdstuk 4 wordt deze
vraag verder uitgewerkt).
f.
Sla het model op. Noteer hier de naam van het bestand.
67
De tijdstap veranderen
In Coach is het mogelijk om de tijdstap van een model te veranderen, maar wat
verandert er aan het proces als de tijdstap verandert? Klopt het model dan nog
wel? Geldt dan nog steeds dat de helling van de grafiek gelijk is aan de waarde
van de uitstroom (of instroom)?
Figuur 3.26
69 In het model van de lekkende emmer is de tijdstap steeds 1 seconde geweest.
Het model rekent dan alsof de uitstroom uit het gat gedurende die ene seconde
constant is geweest.
a. Leg uit dat de uitstroom gedurende die ene seconde niet precies constant
gebleven is.
b. Maakt het model een grote fout door bij elke stap te doen alsof de uitstroom
gedurende die ene seconde constant was?
c. Is de benadering ook goed als het gat veel groter is? Leg uit waarom
wel/niet.
70 Open het opgeslagen model of bouw het model opnieuw. Start met 10 liter
water in emmer_1.
a. Stel de straal van het gat in de emmer op 3,0 cm. Teken een grafiek van de
hoeveelheid water in emmer_1.
b. Hoe groot is op tijdstip t=0 de waarde van de uitstroom? Bereken de waarde
met de formule of gebruik een tabel om de waarde van de uitstroom te
vinden.
Figuur 3.27 - Een model met
grote tijdstap.
c. De grafiek bestaat uit enkele rechte lijnstukken. Welke betekenis heeft de
helling van elk lijnstuk?
68
71 Het model past nu niet meer goed bij de werkelijkheid, de uitstroom uit de
emmer verandert daarvoor te snel. Door de tijdstap te verkleinen rekent het
model nauwkeuriger.
a. Voorspel of de grafiek hoger, lager of even hoog komt te liggen als de
tijdstap verkleind wordt.
b. Verklein de tijdstap waarmee het model rekent, totdat er een vloeiende lijn
ontstaat. Bij welke tijdstap is dat ongeveer?
c. Schets de vloeiende lijn in de onderstaande grafiek.
Figuur 3.27
d. Ligt de grafiek bij een kleine tijdstap lager of hoger? Leg dit uit.
Bij een continu proces veranderen de variabelen voortdurend. Een
computermodel is een goede benadering als de tijdstap klein genoeg is.
e. Hoe kun je nagaan of de tijdstap voldoende klein gekozen is?
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:



Hoe kun je controleren of er sprake is van positieve of negatieve
terugkoppeling?
Wat heeft de waarde van de verandering (de in- en uitstroom) te
maken met de grafiek van de voorraadgrootheid?
Hoe kun je nagaan of de tijdstap van het model voldoende klein
gekozen is?
69
Hoofdstuk 4
De wiskunde in een model
4.1 Tijdstap, helling en oppervlakte
Wat gaan we doen?
In de vorige hoofdstukken is op verschillende plaatsen een wiskundig
aspect van dynamische modellen naar voren gekomen.
Zo heb je gezien dat:



Bij grote tijdstappen de grafiek bestaat uit rechte lijnstukken, bij
kleinere tijdstappen wordt de grafiek vloeiend.
De instroom of uitstroom gelijk is aan de helling van de grafiek van
het dynamisch proces.
In sommige gevallen de grafiek van het dynamisch proces een
mooie wiskundige functie is.
In dit hoofdstuk worden de wiskundige aspecten van het modelleren
onderzocht. In de eerste paragraaf wordt onderzocht waardoor de helling
van de grafiek van de toestand gelijk is aan de verandering.
In deze paragraaf is de centrale vraag:

Waarom is de helling van de grafiek van de voorraadgrootheid
gelijk aan de totale in- of uitstroom?
De uitstroom en de helling
In het laatste model met twee emmers is de waarde van de uitstroom gelijk aan
de helling van de grafiek van de hoeveelheid water in de emmer. Zal dat ook
gelden als de tijdstap kleiner of groter is?
Figuur 4.1 Coachmodel gat in emmer
72 Bij een tijdstap van 1 seconde is het makkelijk te begrijpen dat de helling gelijk
is aan de waarde van de uitstroom. De uitstroom is immers de hoeveelheid
water die in één seconde uit de emmers stroomt.
De helling wordt berekend met: helling = Δwater/Δt.
a. Leg uit dat als Δt=1 dat dan moet gelden: helling = uitstroom.
Eigenlijk klopt de formule helling = uitstroom niet, de grafiek daalt immers, dus
de helling is negatief.
b. Schrijf op wat de juiste formule is.
Figuur 4.2 – Een model met
een grote tijdstap.
70
In het onderstaande theorieblok wordt afgeleid dat ook bij een andere tijdstap
de grootte van de helling gelijk is aan de uitstroom.
c. Leg in je eigen woorden uit waardoor de helling van de grafiek gelijk is aan
de uitstroom (afgezien van het min-teken).
De in- of uitstroom in het model is de oorzaak van de verandering van de
toestand. In het eenvoudigste geval is de instroom constant (zie fig.4.3). Een
constante instroom (zonder uitstroom) zorgt voor een regelmatige groei.
de verandering
de toestand
Figuur 4.3 – Grafieken van de instroom (verandering) en de hoeveelheid water in de
emmer (toestand).
73 In het bovenstaande voorbeeld is de instroom constant 0,025 liter/seconde.
a. Wat verandert er aan de grafiek van de hoeveelheid water in de emmer als
de instroom twee keer zo groot wordt?
b. Welke betekenis heeft de waarde van de instroom (0,025 L/s) in de grafiek
van de hoeveelheid water in de emmer?
Figuur 4.4 – Een model met
constante instroom.
c. Teken in de grafiek van de toestand de hoeveelheid water in de emmer als
er geen instroom is en op t = 0 10 liter water in de emmer zit en de uitstroom
constant is: 0,025 liter/sec.
In dit voorbeeld is de instroom gelijk aan de helling van de grafiek van de
hoeveelheid water. Omgekeerd kan de totale hoeveelheid water na 500
seconde bepaald worden uit de grafiek van de instroom.
d. Laat met een berekening zien dat de oppervlakte onder de grafiek van de
instroom gelijk is aan de totale hoeveelheid water na 500 seconde.
e. Leg in je eigen woorden uit waarom de oppervlakte onder de grafiek van de
instroom gelijk moet zijn aan de totale hoeveelheid water die in de emmer
gestroomd is.
71
Helling en oppervlakte
De instroom en/of uitstroom veranderen de hoeveelheid water in de
emmer. De grootte van de verandering bepaalt hoe snel de grafiek
van de hoeveelheid water stijgt of daalt. Die snelheid wordt ook wel
de helling genoemd.
in/uitstroom = +/- helling van grafiek van de voorraadgrootheid
De grootte van de instroom of uitstroom geeft aan hoeveel water er
elke seconde de emmer in- of uitstroomt. Als al die veranderingen bij
elkaar opgeteld worden dan krijg je de totale verandering.
Totale verandering = oppervlakte onder grafiek van de in/uitstroom
74 Bij een grote tijdstap bestaat de grafiek uit rechte lijnstukken. In dit voorbeeld zit
er 16 liter water in de emmer en er is geen instroom. Het gat in de emmer is zo
groot dat de formule voor de uitstroom geschreven kan worden als:
uitstroom  0,02  water in emmer
De tijdstap is ingesteld op 100 seconde, en het model heeft één tijdstap
berekend. Het resultaat is de onderstaande grafiek.
a.
Bedenk hoe het verdere verloop van deze grafiek zijn. Maak een schets
in figuur 4.5.
de toestand
Figuur 4.5 – Model van een lekkende emmer met een grote tijdstap.
b. Bepaal uit de grafiek de helling van het lijnstuk. Noteer deze.
c. Is de helling gelijk aan de waarde van de uitstroom?
d. Teken het lijnstuk voor de volgende tijdstap van 100 seconde. Bereken
daarvoor eerst de nieuwe waarde van de uitstroom.
e. Bereken en teken ook het lijnstuk tussen t=200 en t=300 s.
Figuur 4.6 – Een model van de
lekkende emmer.
Bij een kleine tijdstap wordt de grafiek van de hoeveelheid water een vloeiende
lijn (feitelijk rekent de computer nog steeds hele kleine lijnstukjes uit, maar die
zie je niet). Om de helling van de lijn te vinden wordt een raaklijn getekend.
72
75 De twee onderstaande grafieken zijn het resultaat van hetzelfde model als in de
vorige opgave, maar nu met een veel kleinere tijdstap. Er zit in het begin 16 liter
water in de emmer. Er is geen instroom en de formule voor de uitstroom is:
uitstroom  0,02  water in emmer
de toestand
de verandering
Figuur 4.7 - Grafieken van de uitstroom en de hoeveelheid water in de emmer
a. Is de helling van de grafiek van de hoeveelheid water in de emmer op t=0 nu
ook 0,08? Ga dit na door een raaklijn te tekenen op t=0.
Naarmate er minder water in de emmer zit, wordt ook de uitstroom kleiner. De
grafiek van de uitstroom lijkt op een rechte lijn. Blijkbaar neemt de uitstroom
gelijkmatig af.
b. Bepaal de oppervlakte onder de grafiek van de uitstroom. Wat is de
betekenis van het antwoord?
c. Bepaal met behulp van de grafiek van de uitstroom hoeveel water er na 100
seconde uit de emmer gestroomd is (bepaal de oppervlakte). Klopt dat met
de grafiek van de hoeveelheid water in de emmer?
Helling en raaklijn
Bij een discreet proces bestaat de grafiek uit rechte
lijnstukken. De helling van elk lijnstuk is gelijk aan de
waarde van de instroomvariabele aan het begin van dat
lijnstuk.
N (t )  S (t )  t
of
S (t ) 
N
t
Bij een continu proces is de grafiek een vloeiende lijn. De
helling van de lijn in een punt van de grafiek is gelijk aan de
helling van de raaklijn aan de grafiek.
Figuur 4.8 – Met een raaklijn kan de helling in een
punt van de grafiek bepaald worden.
S (t )  helling raaklijn
73
Instroom, uitstroom en helling
De instroom en uitstroom veranderen de hoeveelheid water in de emmer. De grootte van de verandering
bepaalt hoe snel de grafiek van de hoeveelheid water stijgt of daalt. Die snelheid wordt ook wel de helling
genoemd.
Als er alleen een instroom is dan geldt:
helling = instroom
Als er alleen een uitstroom is dan geldt:
helling = -uitstroom
76 Een iets ingewikkelder voorbeeld is een emmer waarbij sprake is van zowel
instroom als uitstroom.
Figuur 4.9
De instroom is constant, voor de uitstroom geldt de formule:
uitstroom  0,05  water in emmer
Op t=0 zit er geen water in de emmer. Na verloop van tijd ontstaat er een
evenwichtssituatie.
de verandering
de toestand
Figuur 4.10 - Grafieken van de uitstroom en de hoeveelheid water in de emmer
a. Hoe kun je aan deze grafieken zien dat de instroom de waarde 0,15
liter/seconde heeft? Leg uit.
Het lijkt alsof er een evenwichtssituatie ontstaat met 9,0 liter water in de emmer.
b. Gebruik de formule voor de uitstroom om te controleren of er evenwicht is bij
9,0 liter water in de emmer.
In de grafiek van de hoeveelheid water in de emmer is op tijdstip t=0 de raaklijn
getekend.
c. Bepaal de helling van de raaklijn. Noteer deze.
74
d. Waarom is de waarde van de uitstroom niet gelijk aan de helling van de
grafiek van de hoeveelheid water in de emmer?
In een situatie waarbij er sprake is van zowel instroom als uitstroom, is de
verandering van de toestand (en dus ook de helling van de grafiek daarvan),
een combinatie van de instroom en de uitstroom.
e. Vul in:
helling grafiek = . . . . . .
Is ook in deze situatie de totale hoeveelheid water in de emmer te vinden met
behulp van de oppervlakte onder de grafiek van de uitstroom?
f. Teken daarvoor eerst de grafiek van de instroom in hetzelfde assenstelsel
als de uitstroom.
g. Hoe kun je met de oppervlakte onder de grafieken (van de instroom en de
uitstroom) de totale hoeveelheid water die in de emmer gestroomd is
bepalen?
Instroom en uitstroom
Een dynamisch model wordt gestuurd door de veranderingen, de toestand
verandert door instroom en uitstroom. In sommige situaties blijken de
grafieken van de toestand en de verandering bekende wiskundige functies
te zijn. In andere situaties lijken de grafieken op wiskundige functies, maar
het is (nog) niet duidelijk of dit inderdaad het geval is.
Wel geldt in al deze gevallen:
helling grafiek T = verandering = instroom - uitstroom
oppervlak grafiek verandering = totale toe/afname van T
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:


Welke betekenis heeft de oppervlakte onder de grafiek van de
in/uitstroom?
Welke betekenis heeft de helling van de raaklijn aan de grafiek van
de voorraadgrootheid?
75
De wiskunde in een model
4.2 De helling en de afgeleide
Wat gaan we doen?
In de vorige paragrafen heb je gezien dat de helling van de grafiek van
de voorraadgrootheid gelijk is aan de (totale) in/uitstroom. In de
wiskunde kan de helling ook berekend worden met de afgeleide van de
functie.
Als de grafiek van de voorraadgrootheid een wiskundige functie is dan
moet de helling ook te berekenen zijn met de afgeleide.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Welke betekenis heeft de afgeleide van de functie van de
voorraadgrootheid?
Wat heeft de afgeleide te maken met de modelvergelijking?
77 De twee onderstaande grafieken zijn het resultaat van een model met alleen
uitstroom. Het model is hetzelfde als in een vorige opgave. Er in het begin 16
liter water in de emmer. Er is geen instroom en de formule voor de uitstroom is:
uitstroom  0,02  water in emmer
de toestand
de verandering
Figuur 4.11 - Grafieken van de uitstroom en de hoeveelheid water in de emmer
De grafiek van de verandering is een rechte lijn, met een vergelijking zoals
y  a  x  b . Hier is dat te schrijven als: U  a  t  b
a. Bepaal aan de hand van de grafiek de waarde van a en b. Schrijf de formule
voor U met deze getallen.
U=
Figuur 4.12 – Een model voor
de lekkende emmer.
De grafiek van de toestand lijkt op een halve parabool. De top van de parabool
ligt bij t  400 , daar is de emmer leeg. De formule voor de parabool kan
daarmee handiger geschreven worden als:
T  c  (t  400) 2
76
b. Hoe zie je aan deze formule dat T  0 als t  400 ?
c. Bepaal de waarde van c door een ander punt van de grafiek (bijvoorbeeld
bij t  0 ) in te vullen.
Als de uitstroom gelijk is aan de helling dan moet nu gelden dat T '  U
d. Bepaal de afgeleide van T en laat zien dat T '  U
Aan de andere kant wordt het gedrag van het computermodel bepaald door de
modelvergelijking: uitstroom  0,02  water in emmer
e. Laat zien dat de formules voor U en T ook kloppen met de modelvergelijking
U  0,02  T
Modelvergelijkingen en afgeleide
Bij een continu proces zijn de grafieken vaak vloeiende krommen. De
grafiek van de in/uitstroom is dan de hellinggrafiek van de toestand. Als de
grafieken met een wiskundige functie beschreven kunnen worden is de
functie van de in/uitstroom de afgeleide van de functie van de toestand.
T ' (t )  I (t )
of:
T ' (t )  U (t )
Daarnaast moeten de functies voor T(t), I(t) en U(t) natuurlijk ook kloppen
met de modelvergelijkingen, de formules waarmee I en U berekend
worden.
77
De groeikromme van de tulpensoort Queen of Night is (bij benadering) de
grafiek van een wortelverband. Bij het maken van het dynamisch model voor de
groei van de tulp is gebruik gemaakt van een omgekeerd evenredig verband
met als formule:
groei  c 
1
hoogte
De evenredigheidsconstante c in de formule heeft de waarde 5 als de tijd in
uren en de hoogte in procent gebruikt worden.
Blijkbaar heeft het feit dat de formule voor de groei een omgekeerd evenredig
verband is, tot gevolg dat de groeikromme een wortelgrafiek is. Hoe kan dat?
En, is de grafiek voor de groei (in het model de instroom) hier ook de afgeleide
van de grafiek van de hoogte van de tulp?
Figuur 4.13 – Een model voor
de groei van de tulp
78 De linkergrafiek toont de groeikromme van de Queen of Night, met daar
doorheen een benadering van de groeikromme met een wortelverband.
Groeikromme Queen of Night
60
50
percentage
40
30
20
10
0
0
24
48
72
96
120
144 168 192
tijd (uren)
216
240
264
288
312
336
Figuur 4.14 – Groeikromme en groeisnelheid van de Queen of Night
a. Schets globaal in het rechter diagram de grafiek van de groeisnelheid (in
procent per uur) van deze tulp. Je hoeft geen berekeningen te maken, het
gaat om de vorm van de grafiek.
Voor de formule van het wortelverband van de hoogte van de tulp geldt:
hoogte  3,16  tijd of afgekort: H (t )  3,16  t
b. Bereken de afgeleide van H(t).
c. Past de afgeleide bij de grafiek die je geschetst hebt? Teken indien nodig de
grafiek van de afgeleide in het rechter diagram.
Open het bestand PSqueen. Stel de looptijd in op 300 en de tijdstap op 0,01.
d. Teken eerst een grafiek van de hoogte en daarna een grafiek van de groei.
78
e. Past de grafiek van de groei bij de afgeleide H’(t)? Licht toe
1
hoogte
1
Invullen van H(t) geeft: groei  5 
3,16  t
De modelvergelijking is: groei
f.
 5
Laat zien dat inderdaad geldt dat groei = H’(t).
79 In het model van de White Pine lijken de grafieken ook op wiskundige functies.
De jaargroei als functie van de hoogte is bij benadering een 4e-graads functie. Is
de grafieken voor de hoogte als functie van de tijd ook een wiskundige functie?
Heeft die functie ook een afgeleide?
a. Open het model GroeikrommeWhitePine. Noteer in cel B2 de waarde nul.
Kopieer cel B4 naar beneden tot t=100.
Fig.4.15– Met de ‘vulgreep’
kun je een formule snel naar
beneden kopiëren
Figuur 4.16 – Jaargroei en groeicurve van de White Pine
79
De onderstaande grafiek geeft de jaarlijkse groei gedurende de eerste twintig
jaar.
jaarlijkse groei White Pine
0,9
0,8
0,7
jaargoei (meter)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
tijd (jaar)
Figuur 4.17 Grafiek jaarlijkse groei White Pine
b. Voorspel met een schets hoe de grafiek loopt tot t=100.
c. Gebruik Excel om een grafiek voor de jaarlijkse groei te maken.
- Noteer in cel C1 het woord groei
- Noteer in cel C3 de formule =B3-B2
- Kopieer cel C3 naar beneden tot t=100.
- Maak een grafiek van de cellen A3:A101 en C3:C101.
(Tip: kies Grafiek – Brongegevens en verander bij de y-waarden de B in
een C. Pas daarna de schaal van de verticale as aan)
d. Neem de grafiek over.
De grafiek van de hoogte is een vloeiende kromme, maar er bestaat geen
wiskundige functie die dezelfde grafiek heeft. Dat geldt ook voor de grafiek van
de groei als functie van de tijd.
e. Is de ene grafiek nu wel de afgeleide van de andere? Welke van de drie
grafieken geeft nu de afgeleide weer van welke andere grafiek?
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:


Welke betekenis heeft de afgeleide van de functie van de
voorraadgrootheid?
Hoe kun je de functie en de afgeleide controleren met behulp van
de modelvergelijking?
80
De wiskunde in een model
4.3 Het gedrag voorspellen
Wat gaan we doen?
In het vorige paragraaf heb je gezien dat de in/uitstroom de afgeleide is
van de voorraadgrootheid. Daarnaast beschrijft de modelvergelijking de
relatie tussen de in/uitstroom en de voorraadgrootheid.
In deze paragraaf bekijken we enkele voorbeeldsituaties waarbij de
modelvergelijking bekend is (zowel met als zonder terugkoppeling). In
deze situaties kijken we of we het gedrag van het model kunnen
verklaren of voorspellen.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Hoe kun je aan de hand van de modelvergelijkingen het gedrag
verklaren of voorspellen?
Welke eigenschappen heeft een model waarbij de groei (of
afname) evenredig is met de hoeveelheid?
Modellen zonder terugkoppeling
Het dynamisch model wordt gestuurd door de instroom en de uitstroom. Als de
instroom en uitstroom bekend zijn, dan moet het verloop van het proces te
voorspellen zijn. Een eenvoudige te onderzoeken situatie is een model zonder
terugkoppeling. De in- of uitstroom is dan constant of een functie van de tijd.
80 In een saunacabine heerst een temperatuur van 20 C op het moment dat de
verwarming wordt aangezet. In dit model wordt aangenomen dat bij een
bepaalde stand van de verwarming de temperatuur regelmatig stijgt. De waarde
van de verwarming is gelijk aan de stijging van de temperatuur in C/min. Er is
in dit model geen uitstroom van warmte.
Figuur 4.18 - ‘Modellen’
zonder terugkoppeling in de
sauna
Figuur 4.19 – Verwarming en temperatuur van een saunacabine.
81
De verwarming wordt ingesteld op 1,5 C /minuut (linkergrafiek).
a. Hoe hoog is de temperatuur na 10 minuten geworden?
b.
Schets in de rechtergrafiek (4.19) het verloop van de temperatuur.
c.
Welke wiskundige functie hoort bij de grafiek van de temperatuur?
d. Laat zien dat hier geldt: T ' (t )  instroom  uitstroom
e. Bij 90 C is de sauna warm genoeg. Na hoeveel minuten is dat?
f.
Stel dat de begintemperatuur 15 C is en de kachel staat ingesteld op 1,8
C/min. Wat is dan de formule voor de temperatuur?
81 De saunaregeling wordt zo ingesteld dat de verwarming begint op 3 C/min en
daarna geleidelijk terugloopt naar 0 C/min (gemiddeld dus ook 1,5 C/min). De
begintemperatuur is opnieuw 20 C.
Figuur 4.20 – Afnemende verwarming en temperatuur van een saunacabine.
a. Schets globaal hoe de temperatuur nu zal verlopen.
b. Welke wiskundige functie hoort bij de instroom?
Ook in deze situatie geldt dat T ' (t )  instroom  uitstroom . Omdat er geen
uitstroom is betekent dit dat de afgeleide van de temperatuur dezelfde functie
moet opleveren als de instroom.
82
c. Laat zien dat de formule
voor de temperatuur is.
T (t )  3  t  0,025  t 2  20 de goede formule
d. Hoe verandert de formule als de begintemperatuur 10 C is?
e. Ga na dat ook hier de oppervlakte onder de grafiek van de instroom gelijk is
aan de totale temperatuurstijging met begintemperatuur na 60 minuten.
82 In een sauna is meestal ook sprake van warmteverlies, in het model betekent
dat een uitstroom. Een eenvoudige aanname is dat de uitstroom evenredig met
de tijd is. Een model zou dan kunnen zijn:
instroom  2,5
(C / min)
uitstroom  0,05  t (C / min)
in- en uitstroom (ºC/min)
a. Schets een grafiek van de instroom en van de uitstroom in één diagram.
tijd (min)
Figuur 4.21 – Grafiek instroom- uitstroom van een saunacabine.
b. Stel een formule op voor de afgeleide van T:
T ' (t )  
De begintemperatuur is 20 C.
c. Wat wordt nu de formule voor T?
T (t )  
De temperatuur bereikt na 50 minuten een maximum. Neem aan dat na 50
minuten de temperatuur constant blijft.
d. Hoe kun je het tijdstip t=50 afleiden uit de grafieken van de instroom en de
uitstroom?
83
e. Bepaal aan de hand van de grafiek van de instroom en de uitstroom de
temperatuur na 50 minuten.
f.
Hoe kun je het maximum vinden met de formule voor T?
EXTRA: Met Coach kunnen modellen gemaakt worden van de vorige opgaven.
Gebruik in de formule-editor de functie t om de tijd weer te geven.
Terugkoppeling en evenredige groei
Bij modellen met terugkoppeling hangt de instroom of uitstroom af van de
waarde van de toestandsvariabele. Een eenvoudig groeimodel is het model
waarbij de groei evenredig is het de toestand. De formule voor de groei is dan
bijvoorbeeld:
groei=c×toestand
Voorbeelden van evenredige groei kunnen zowel discreet als continu zijn, zoals
rente op een spaarrekening (discreet) of de groei van eendenkroos (continu).
Figuur 4.22 - Een voorbeeld
van evenredige groei: rente.
Discrete evenredige groei
Een voorbeeld van evenredige groei is de rente die jaarlijks op een
spaarrekening wordt gestort. Het rentebedrag is evenredig met het saldo op de
rekening.
83 Op een spaarrekening staat 250 euro. Aan het eind van elk jaar wordt er 4%
rente bijgeschreven. Er worden geen andere bedragen bij- of afgeschreven.
a. Welk bedrag wordt er aan het eind van het eerste jaar bijgeschreven?
b. Welk bedrag wordt er aan het eind van het tweede jaar bijgeschreven?
Kun je het gedrag van het model (het saldo op de rekening) voorspellen?
c. Hoe groot zal het saldo zijn na 10 jaar? Leg uit.
Figuur 4.23 – Reclame voor
aantrekkelijk rente.
d. Met welke formule kun je het saldo na t jaar berekenen?
Open het bestand EvenredigeGroei.
e. Klopt de grafiek en het eindbedrag met de formule?
f.
Verander de groei in 40%. Noteer wat er verandert aan de grafiek.
84
g. Verander de groei in -50%. Noteer wat er gebeurt.
Een discreet en een continu model
Bij een discreet model rekent het model met een recursieve betrekking:
Toestand(t+1) = Toestand(t) + (instroom – uitstroom)
Of korter geschreven:
T(t+1) = T(t) + (I(t) – U(t))
Als de tijdstap niet gelijk is aan 1 dan wordt dat:
T(t+Δt) = T(t) + (I(t) – U(t))×Δt
De toename van T wordt ΔT genoemd, daarvoor geldt:
ΔT(t) = (I(t) – U(t))×Δt
Bij een continu proces is de tijdstap Δt oneindig klein geworden. Daar
geldt:
T’(t) = I(t) – U(t)
84 Een zonnebloem groeit snel. Globaal gesproken neemt in de eerste weken de
hoogte exponentieel toe. In dit voorbeeld begint de zonnebloem op t=0 met een
hoogte van 16 cm. Elke week wordt de bloem 25 % hoger.
In het model van figuur 4.25 geldt: groei = constante  hoogte
a. Welke waarde heeft de constante?
b. Bereken de hoogte van de zonnebloem na 8 weken.
Figuur 4.24– Zonnebloem
c. Bouw met Coach het model voor de zonnebloem (voor 8 weken) en maak
een grafiek en een tabel van de hoogte en de grafiek voor de groei. Start
weer met Lege modelleer activiteit.cma. Neem de grafieken over.
Figuur 4.25 – Een model voor
de groei van een zonnebloem.
Figuur 4.26 – Hoogte en groei van een zonnebloem.
85
d. Welke formule past bij de grafiek voor de hoogte?
e. Welke formule past bij de grafiek voor de groei?
f.
Hoe komt het dat de grafiek van de hoogte en de grafiek van de groei zo
sterk op elkaar lijken?
g. Maak met Coach een grafiek van de groei en de hoogte.
Dit doe je door met de rechtermuisknop in een bestaand diagram
Diagraminstelling te selecteren.
Vervolgens maak je van C1 (de eerste reeks gegevens) de variabele:groei
en zet je deze uit op de y-as.
86
Stel dan C2 (hoogte) in op de x-as.
Waarschijnlijk moet je nu nog inzoomen om de grafiek goed te kunnen zien.
Dit doe je met rechtermuisklik in het diagram en dan Automatisch Zoomen.
Neem de grafiek over.
Figuur 4.27 – Relatie tussen hoogte en groei van een zonnebloem.
Bij de dynamische modellen
van deze paragraaf kun je
drie grafieken tekenen:
- De grafiek van de
stroomvariabele tegen de tijd
- De grafiek van de
niveauvariabele tegen de tijd
- De grafiek van de
stroomvariabele tegen de
niveauvariabele
h. Welke formule past bij het verband tussen groei en hoogte?
i.
Bewaar het model. Noteer hier de naam van het bestand.
Evenredige groei en een exponentiële verband
Bij evenredige groei of afname neemt de Toestand T elke periode met een
vast percentage toe of af. Er is dus sprake van een vaste groeifactor g.
Het gedrag van het model kan geschreven worden als een exponentiële
functie:
T (t )  b  g t
Waarbij b de beginhoeveelheid op t=0 is en g is de groeifactor als de
tijdstap 1 is.
87
De tijdstap verkleinen
Bij dynamische processen speelt de tijdstap altijd een belangrijke rol. Bij
sommige processen hoort een logische tijdstap, zoals in het voorbeeld van de
jaarlijkse renteberekening, bij andere processen kunnen verschillende keuzes
gemaakt worden.
Het groeien van een zonnebloem is een continu proces. De zonnebloem groeit
geleidelijk en de groeisnelheid neemt ook geleidelijk toe. In het model is dat
eenvoudig te realiseren door de tijdstap aan te passen.
85 Gebruik het model voor de zonnebloem uit de vorige opgave.
a. Stel de tijdstap in op 0,1 week en laat het model lopen.
Figuur 4.28 - Een model voor
de groei van een
zonnebloem.
b. Welke hoogte bereikt de zonnebloem na 8 weken?
c. Hoe kan het dat de zonnebloem nu harder groeit? Leg duidelijk uit wat er
verandert aan de groeisnelheid als de tijdstap kleiner wordt gekozen.
d. Leg uit waarom de grafiek voor de groei als functie van de hoogte gelijk is
gebleven.
e. Kies ook een tijdstap van 0,01 week en van 0,001 week.
f.
Rond de eindwaarde af op centimeters. Welke tijdstap is nauwkeurig
genoeg om de hoogte na 8 weken te voorspellen?
g. Met welke factor groeit de zonnebloem nu elke week?
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:



Hoe kun je bij een model zonder terugkoppeling het gedrag
voorspellen aan de hand van de formules voor instroom en
uitstroom?
Welk soort modelgedrag ontstaat bij evenredige groei?
Hoe bepaal je bij evenredige groei de groeifactor met behulp van
de tijdstap?
88
De wiskunde in een model
4.4 Differentiaalvergelijkingen
Wat gaan we doen?
Bij een continu model met terugkoppeling beschrijft de modelvergelijking
de relatie tussen de in/uitstroom en de voorraadgrootheid. Bovendien is
de in/uitstroom de afgeleide van de voorraadgrootheid.
Deze twee gegevens kunnen gecombineerd worden tot één vergelijking
waarin zowel de functie als de afgeleide staan. Zo’n vergelijking noemen
we een differentiaalvergelijking.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:


Wat is een differentiaalvergelijking?
Hoe kun je met een differentiaalvergelijking het gedrag van het
model voorspellen of verklaren?
Van modelvergelijking naar differentiaalvergelijking
Bij een model met terugkoppeling beschrijft de modelvergelijking de relatie
tussen de in/uitstroom en de voorraadgrootheid. Bij een proces met evenredige
groei geldt:
groei=c×toestand
Deze vergelijking geldt zowel voor een discreet proces als bij een continue
proces. Bij een discreet proces met stapgrootte 1 betekent dit:
H  c  H of ook H (t  1)  H (t )  c  H (t )
Bij een andere tijdstap hangt de groei ook af van de grootte van de tijdstap:
H  c  H  t of ook
H
 cH
t
Door de tijdstap heel klein te kiezen gaat een discreet model over in een continu
model. Op dat moment kan de modelvergelijking geschreven als
differentiaalvergelijking.
H ' (t )  c  H (t )
86 In het voorbeeld van de zonnebloem is de modelvergelijking:
groei=0,25×hoogte
Als de stapgrootte 1 gekozen wordt is het resultaat exponentiële groei.
a. Hoe groot is hierbij de groeifactor (per tijdstap)?
Bij een continu proces is de groei ook de afgeleide van de hoogte en dan kan de
modelvergelijking geschreven worden als:
H ' (t )  0,25  H (t )
Dat betekent dat de groeisnelheid steeds 25% van de hoogte is.
b. Zal de groeifactor nu weer 1,25 zijn?
89
Continue evenredige groei
Bij discrete evenredige groei is de groeifactor makkelijk te bepalen uit de groei
per tijdstap. Bij continue groei gaat de recursieve betrekking over in een
differentiaalvergelijking. Het resultaat van deze differentiaalvergelijking is ook
weer een exponentiële functie, maar een andere functie dan bij een discreet
proces met tijdstap 1.
Bij een model waarbij H ' (t )  0,25  H (t ) is de groeifactor niet 1,25 maar een
ander getal. In deze paragraaf wordt onderzocht wat de groeifactor in een
continu model is. In de volgende paragraaf zal blijken hoe dit getal vooraf
berekend had kunnen worden.
87 Bij de geboorte van Nienke stort haar vader 4000 euro op een spaarrekening
met een looptijd van 20 jaar. Hij kan daarbij kiezen tussen 5% rente per jaar of
25% rente per vijf jaar.
a. Leg uit waarom het voordelig is om te kiezen voor jaarlijkse rente.
b. Bij jaarlijkse rente wordt de formule voor het saldo: S (t )  4000 1,05t .
Bereken daarmee het eindbedrag na 20 jaar.
Figuur 4.29 – Een model voor
sparen met rente.
c. Bij 25% rente per vijf jaar is de groeifactor 1,25. Wat wordt dan de formule
voor S(t)?
d. Bereken daarmee het verschil in eindbedrag na 20 jaar.
Bij de spaarrekening hoort het model van evenredige groei.
e. Laat met Coach zien dat met één model zowel de situatie van 5% rente per
jaar als de situatie van 25% rente per 5 jaar na te bootsen is door alleen de
tijdstap te veranderen.
90
88 Bij het model van de renterekening van de vader van Nienke is gerekend met
een tijdstap van 1 jaar en een tijdstap van 5 jaar. In de onderstaande grafiek zie
je voor beide situaties het verloop van het saldo gedurende 20 jaar.
t = 1 jaar
t = 5 jaar
Figuur 4.30 – Grafiek van het saldo bij een tijdstap van 1 jaar en van 5 jaar.
Wat zal er met de grafiek gebeuren als de tijdstap nog kleiner wordt gemaakt
totdat er een continu proces ontstaat?
a. Schets welke grafiek je verwacht bij een continu proces en voorspel het
eindbedrag na 20 jaar.
b. Ga met Coach na wat het eindbedrag wordt
Figuur 4.31 – Coach
Renterekening
c. Met welke factor neemt het saldo jaarlijks toe als het proces continu is?
d. Schrijf het continue proces als een differentiaalvergelijking
S ' (t )  
EXTRA: Bij een steeds kleinere tijdstap verandert ook de formule voor S.
Bij een tijdstap van 1 jaar is de formule:
S (t )  4000 1,05t
Bij een tijdstap van 5 jaar is de formule:
S (t )  4000 1,25 5
1
t
e. Wat wordt de formule bij een tijdstap van 0,1 jaar? En bij 0,01 jaar?
f.
Bereken met de laatste formule met welke factor het saldo na 1 jaar
toegenomen is.
91
Lineaire afname
Bij een evenredige groei of afname hoort een exponentieel verband. Wat zal er
gebeuren bij een lineaire afname? Een voorbeeld daarvan is het afkoelen van
voorwerpen waarbij de afkoeling (bij benadering) niet evenredig met de
temperatuur is, maar met het temperatuurverschil met de omgeving.
89 Na sluitingstijd wordt de verwarming van de saunacabine uit de eerdere
opgaven uitgezet. Op dat moment is de temperatuur in de cabine 90 C. De
sauna begint vanaf dat tijdstip af te koelen.
Op grond van de afkoelingswet van Newton wordt aangenomen dat de snelheid
waarmee de temperatuur in de cabine daalt evenredig is met het verschil tussen
de temperatuur in de cabine op dat moment en de omgevingstemperatuur van
20 C. Voor deze sauna geldt:
afkoeling  0,05  (temperatuur  20)
a. Hoe groot is de afkoeling (in °C/min) op het moment dat de verwarming
wordt uitgezet?
Figuur 4.32 ‘Modellen’
zonder terugkoppeling in de
sauna
b. De beginsituatie komt overeen met een punt op de lijn van de 3e grafiek
(afkoeling tegen temperatuur). Welk punt is dat?
Figuur 4.33 – Afkoeling en temperatuur van een saunacabine
Kies een tijdstap van 10 minuten. Neem aan dat de afkoeling in die tijd steeds
constant blijft.
c. Hoe groot is de temperatuur na 10 minuten?
d. Na één tijdstap wordt de afkoeling opnieuw berekend. Hoe groot is de
afkoeling dan?
e. Geef de situatie na 10 minuten met een stip aan in grafiek 1, 2 én 3.
f.
Voer dezelfde berekening uit voor t=20 en t=30.
g. Teken de grafieken van de afkoeling en de temperatuur van t=0 tot t=30.
92
90 De formule afkoeling  0,05  (temperatuur  20) vormt het hart van het
Coach-model voor de afkoeling van de saunacabine.
a. Maak een model voor dit afkoelingsproces in Coach. Gebruik de
bovenstaande formule voor de stroomvariabele.
Start weer met Lege modelleer activiteit.cma.
b. Kies eerst een tijdstap van 10 minuten en controleer of je berekeningen in
de vorige opgave juist waren.
c. Verklein de tijdstap totdat het model een goede benadering is van het
continue proces van het afkoelen.
d. Stel de differentiaalvergelijking op:
T ' (t )  
e. Neem de grafieken van de afkoeling en van de temperatuur over in de
onderstaande grafieken.
f.
De grafieken van de temperatuur en de afkoeling lijken erg op elkaar. Wat
voor soort functie past bij deze grafieken?
93
Een andere differentiaalvergelijking
Vaak zal de differentiaalvergelijking bij een model geen eenvoudig evenredig
verband zijn. Het resultaat daarvan zal meestal geen exponentieel verband zijn
en soms is er helemaal geen wiskundige functie die het proces beschrijft.
91 Een zonnebloem zal in werkelijkheid niet onbeperkt groeien. De grafiek
rechtsonder geeft een meer realistisch model: als de zonnebloem nog heel klein
is, is de groei ook klein. Naarmate de zonnebloem groter wordt neemt ook de
groeisnelheid toe. De groeisnelheid is halverwege maximaal en daarna neemt
de groeisnelheid weer af.
Figuur 4.34 – Relatie tussen hoogte en groei van een zonnebloem.
Voor de groei van deze zonnebloem geldt de volgende formule:
groei  0,005  hoogte  (180  hoogte)
In deze formule is de hoogte in cm en de groei in cm/week gegeven.
a. Controleer dat deze formule klopt met de rechtergrafiek.
Figuur 4.35 – Zonnebloem
Het model start met een hoogte van 10 cm. Daarbij hoort een groeisnelheid van
8,5 cm/week.
b. Hoe zal de grafiek van de hoogte lopen? Teken een voorspelling in de
eerste grafiek.
c. Teken in de middelste grafiek een voorspelling van de groeisnelheid als
functie van de tijd.
Bouw met Coach een model voor deze zonnebloem. Gebruik de formule voor
de groei en de startwaarde voor de hoogte.
d. Teken met Coach grafieken van de hoogte en de groei. Kies een voldoende
kleine tijdstap en neem de grafieken over.
e.
Hoe hoog wordt deze zonnebloem uiteindelijk?
94
EXTRA: De grafiek van de groei heeft twee nulpunten. Als de groei nul is dan
kan er een evenwichtssituatie ontstaan. Of er inderdaad evenwicht ontstaat kun
je onderzoeken door een punt net ernaast te kiezen.
f. Neem als startwaarde voor de hoogte 190 cm. Wat gebeurt er? Ontstaat er
evenwicht?
g. Neem als startwaarde voor de hoogte -10 cm. Wat gebeurt er? Ontstaat er
evenwicht?
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:


Wat is een differentiaalvergelijking?
Hoe kun je bij lineaire groei of afname het gedrag van het model
voorspellen of verklaren?
95
De wiskunde in een model
4.5 Differentiaalvergelijkingen oplossen
Wat gaan we doen?
Bij evenredige groei hoort een exponentiële functie, maar de groeifactor
van deze functie is tot nu toe alleen te benaderen door de tijdstap heel
klein te nemen.
Om een exacte waarde voor de groeifactor te vinden moet een functie
gevonden worden die exact past bij de differentiaalvergelijking. In deze
paragraaf gaan we naar bijzonder groeiproces kijken waarmee alle
soorten van evenredige groei en afname exact op te lossen zijn.
In deze paragraaf is de centrale vraag:

Hoe vind je een exacte oplossing bij een continu model met
evenredige groei of afname?
Een bijzonder groeiproces
Figuur 4.36 - Een bijzonder
groeiproces waarbij geldt: I=T
In de modellen met procentuele groei is de stroomvariabele steeds evenredig
met de niveauvariabele. De toename of afname is dan steeds een bepaald
gedeelte van de hoeveelheid die aanwezig is. Een bijzonder groeiproces is het
proces waarbij de groeisnelheid steeds precies even groot is als de hoeveelheid
die er op bepaald moment is. In Coach betekent dit dat de stroomvariabele I
even groot is als de toestandsvariabele T.
De modelvergelijking wordt dan: I (t )  T (t )
De differentiaalvergelijking is:
T ' (t )  T (t )
Het bijzondere aan deze differentiaalvergelijking is dat de oplossing een functie
is waarvan de afgeleide precies gelijk is aan de functie zelf (!)
92 In het onderstaande diagram zie je de grafieken van dit proces bij een tijdstap
van 1 jaar en bij een tijdstap van 0,5 jaar. De startwaarde is 1.
Figuur 4.37 – Groeimodel waarbij I=T, met tijdstap 1 en 0,5
96
Fig 4.38 Groeiproces
I(t)=T(t)
Voor de onderste lijn in de grafiek is de tijdstap t = 1.
a. Welke groeifactor geldt er voor T bij de tijdstap Δt = 1?
met tijdstap t = 0,5
tijd
T
0,0
1,00
0,5
1,50
1,0
2,25
1,5
3,38
2,0
5,06
2,5
7,59
3,0
11,39
b. Stel een formule op voor de onderste lijn
T(t) =
De gegevens bij de bovenste lijn (Δt = 0,5) staan in de tabel.
c. Met welke getal wordt de waarde van T bij elke tijdstap vermenigvuldigd?
d. Stel ook een formule op voor T als functie van t bij de bovenste grafiek.
T(t) =
93 Dit bijzondere groeiproces, waarbij de groeisnelheid op elk moment even groot
is als de hoeveelheid, is natuurlijk geen discreet maar een continu proces. Dit is
met Coach te benaderen door de tijdstap heel klein te nemen.
a. Bouw het model met Coach. Maak de tijdstap steeds kleiner totdat de
grafiek niet meer zichtbaar verandert.
In figuur 3.22 zie je het resultaat van dit model bij een zeer kleine tijdstap.
b. Teken met Coach ook de grafiek van de instroom. Wat valt je op?
Figuur 4.39 - Een bijzondere grafiek: de helling is overal gelijk aan de waarde van de
functie.
De bovenstaande grafiek is voor de wiskunde een zeer bijzondere grafiek. In elk
punt is de helling van de grafiek gelijk aan de waarde van de functie zelf.
c. In de grafiek is de raaklijn getekend in het punt waar T=10 jaar. Hoe groot is
de helling van de raaklijn?
97
d. Welke groeifactor (per jaar) hoort bij dit speciale groeiproces? Bepaal met
behulp van Coach de groeifactor in drie decimalen nauwkeurig.
e. Verander de startwaarde in een willekeurig getal en ga na of daardoor de
groeifactor verandert.
De groeifactor van dit bijzondere proces wordt het getal e genoemd. Het
x
x
bijzondere van dit getal is dat de afgeleide van e ook weer e is.
f. Laat zien dat bij een andere startwaarde de afgeleide ook weer precies
gelijk is aan de functie.
g. Het getal e staat ook op de rekenmachine.
Reken uit met de rekenmachine: e1 =
Het getal e
De bovenstaande grafiek is zo bijzonder dat de wiskunde een aparte
letter heeft gekoppeld aan de groeifactor van deze grafiek. Het is één van
de zeer speciale getallen in de wiskunde (voor de meeste wiskundigen
belangrijker dan bijvoorbeeld π).
Deze speciale groeifactor heeft de naam e (van exponentiële groei)
gekregen. Het getal e heeft oneindig veel cijfers achter de komma.
e  2,71828......
Voor het getal e geldt bijvoorbeeld:
Als
N (t )  e t dan is N ' (t )  e t
Deze eigenschap geldt ook voor:
Als
f ( x)  5  e t dan is
f ' ( x)  5  e t
98
EXTRA: eigenschappen van het getal e
94 Een ander manier om aan dit bijzondere grondtal te komen is door te kijken
naar de grafieken bij steeds kleinere tijdstappen.
bij tijdstap
bij tijdstap
bij tijdstap
bij tijdstap
bij tijdstap
t  1
t  0,5
t  0,1
t  0,01
t  0,001
N (t )  2 t
N (t )  (1,5 2 ) t  2,25t
N (t )  (1,110 ) t  
N (t )  (1,01100 ) t  
N (t )  (1,0011000 ) t  
a. Leg uit dat bij tijdstap t  0,5 de waarde van N bij elke tijdstap van 0,5
jaar met 1,5 vermenigvuldigd wordt.
b. Bereken de groeifactor per jaar bij deze tijdstap.
c. Leg uit dat bij tijdstap t  0,1 de waarde van N op tijdstip t = 1 met een
factor 1,110 vermenigvuldigd is..
d. Bij tijdstap t  0,01 wordt de waarde van N bij elke tijdstap met 1,01
vermenigvuldigd. Hoeveel tijdstappen zijn er dan gepasseerd op t = 1?
Het grondtal is te vinden door steeds kleinere stappen te nemen.
e. Bepaal met behulp van een rekenmachine de waarde van e in vijf
decimalen.
Figuur 4.40 - Het getal e is
een uniek getal waarbij de
waarde van de afgeleide (de
helling van de raaklijn) van
f(x)=ex bij elke waarde van x
gelijk is aan de waarde van
f(x).
99
Een bijzonder grondtal: e
Bij een bijzondere exponentiële functie hoort een bijzonder grondtal. Het
getal dat in de vorige opgaven gevonden is wordt e genoemd. Het is voor
de wiskunde net zo’n belangrijk getal als bijvoorbeeld .
In wikipedia staat de volgende tekst:
Het getal of de wiskundige constante e is het grondtal van de
natuurlijke logaritme; het is gedefinieerd als:
Het wordt ook de constante van Neper genoemd, naar de uitvinder
van de logaritme, de Schotse wiskundige John Napier. Het getal e
werd door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het
exponentiële getal genoemd, vandaar vermoedelijk de naam.
Een benadering is: e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 .....
Deze tekst vermeldt niets over de eigenschap dat de afgeleide van deze
functie gelijk is aan de functie zelf.
Er geldt:
als
f ( x)  e x dan is
f ' ( x)  e x
De definitie
past bij de berekening van het grondtal door
steeds kleinere tijdstapjes te nemen. Met deze definitie kan e met
oneindig veel decimalen berekend worden.
Oplossingen bij evenredige groei
Met behulp van het getal e zijn oplossingen te vinden voor alle situaties waarbij
sprake is van evenredige of lineaire groei. Daarbij wordt gebruik gemaakt van
de volgende eigenschappen:
3x
is de afgeleide f ' ( x)  3  e
f ( x)  e 3 x
2 x
2 x
bij de functie f ( x)  e
is de afgeleide f ' ( x)  2  e
0, 6 x
0, 6 x
bij de functie f ( x)  5  e
is de afgeleide f ' ( x)  3  e
bij de functie
In al deze gevallen lijkt de afgeleide sterk op de functie zelf.
Voor de algemene functie f ( x)  b  e ax is de afgeleide f ' ( x)  b  a  e ax .
Dat betekent dat: f ' ( x)  a  f ( x)
Deze regel is makkelijk om te keren.
Bij de differentiaalvergelijking
f ' ( x)  a  f ( x)
Is de oplossing:
f ( x)  b  e ax
Waarbij b elk willekeurig getal mag zijn.
Voorbeeld:
Bij de differentiaalvergelijking
N ' (t )  0,25  N (t )
is dan de oplossing:
N (t )  b  e 0, 25t
De groeifactor per tijdseenheid is dan:
e 0, 25  1,284
100
95 Voor de groei van de massa m (in kg) van een plant als functie van de tijd t (in
weken) geldt:
groei (t )  0,1  m(t )
a. Welke differentiaalvergelijking hoort bij dit proces?
b. Schrijf de groeifactor per week als een e-macht
Op tijdstip t=0 bedraagt de massa van de plant 0,25 kg.
c. Ga na dat m(t )  0,25  e 0,1t een oplossing is van deze
differentiaalvergelijking.
d. Zijn er andere functies die ook een oplossing zijn van de
differentiaalvergelijking? Licht toe.
96 Van een vissenpopulatie is N(t) het aantal vissen in een bepaald gebied op
tijdstip t (in jaar). Op t=0 zijn er ca. 2 miljoen stuks van dit soort vis. Door
overbevissing geldt: verandering  0,3  N (t ) .
a. Welke differentiaalvergelijking hoort bij dit proces?
b. Schrijf de groeifactor per jaar als een e-macht.
c. Stel een functie op voor N(t).
Na een jaar is de populatie met minder dan 30% afgenomen.
d. Met hoeveel procent is de populatie na 1 jaar afgenomen?
101
97 Voor de afkoeling van een sauna geldt het volgende verband:
afkoeling  0,05  (temperatuur  20) .
De begintemperatuur van de sauna is 90 °C.
a. Welke differentiaalvergelijking hoort bij dit proces?
De oplossing van deze differentiaalvergelijking kan geschreven worden als:
T (t )  20  b  e at
b. Bereken de waarde van a en b door deze formule in te vullen.
c. Laat zien dat deze oplossing past bij de grafieken in vraag 90e.
98 De groeikromme van de tulpensoort Queen of Night is (bij benadering) de
grafiek van een wortelverband. Bij het maken van het dynamisch model voor de
groei van de tulp is gebruik gemaakt van een omgekeerd evenredig verband
met als formule:.
groei  5 
1
hoogte
Kennelijk heeft het feit dat de formule voor de groei een omgekeerd evenredig
verband is tot gevolg dat de groeikromme een wortelgrafiek is. Hoe kan dat? Is
dat van tevoren te voorspellen?
a. Laat zien dat geldt:
H '  5  ( H ) 1
Groeikromme Queen of Night
60
50
percentage
40
30
20
10
0
0
24
48
72
96
120 144 168 192 216
tijd (uren)
240 264
288 312
Figuur 4.41 - Groeikromme Queen of Night
102
336
De differentiaalvergelijking is alleen op te lossen door aan te nemen dat H een
machtsfunctie is.
n 1
H (t )  a  t n
en dus H ' (t )  a  n  t
Invullen van deze twee vergelijkingen in de differentiaalvergelijking geeft:
a  n  x n1  5  (a  x n ) 1
b. Leg uit hieruit af te leiden valt dat
waarde van n.
n 1  n en bereken daarmee de
c. Bereken ook de waarde van a.
Afronding
Het doel van dit hoofdstuk is om te laten zien hoe de wiskunde in een model
werkt, hoe de relatie tussen niveauvariabele en stroomvariabele in feite een
differentiaalvergelijking is.
Het is niet de bedoeling om in dit hoofdstuk diep in te gaan op alle mogelijke
differentiaalvergelijkingen en hun oplossingen, dat komt later bij wiskunde D
aan bod.
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:


Hoe vind je een exacte oplossing bij een continu model met
evenredige groei of afname?
Hoe kun je met behulp van het getal e de groeifactor bepalen?
103
Hoofdstuk 5 Toepassingen van dynamische
modellen
5.1
Modelleren in studie en beroep
Wat gaan we doen?
In de vorige hoofdstukken heb je zicht gekregen situaties waarin
dynamische modellen worden gebruikt. Dit hoofdstuk start met studies
en beroepen die gebruik maken van dynamische modellen met behulp
van de computer.
Daarna pas je geleerde vaardigheden en kennis uit vorige hoofdstukken
toe op twee belangrijke gebieden waar modellen veel gebruikt worden.
- Bewegingen, denk aan sport en verkeer (5.2 tm 5.4)
- Populatiedynamica, denk aan het voorspellen van bevolkingsgroei (5.5)
of het uitsterven van diersoorten (5.6, 5.7).
In de eerste paragraaf is de centrale vraag:

In welke studies en beroepen wordt gebruik gemaakt van
modelleren?
Modelleren tijdens je studie
In allerlei studierichtingen kun je aan de slag met in de computer gemodelleerde
dynamische modellen. Voorbeelden zijn: Bewegingswetenschappen, Biologie,
Civiele Techniek, Cognitiewetenschappen, Informatica, Lucht- en
ruimtevaarttechniek, Milieukunde, Meteorologie, Natuurkunde, Oceanografie,
Scheikunde, Werktuigbouwkunde, Wiskunde, e.v.a.
Voorbeelden mensen die in hun beroepen met (resultaten van) dynamische
modellen werken zijn: economen, rechercheurs, technici, beleidsmakers,
economen en wetenschappers. En wetenschappers op zeer verschillende
gebieden. Hieronder enkele voorbeelden.
Deze en nog meer voorbeelden zijn te vinden op:
http://www.cdbeta.uu.nl/vo/modelleren/leerling/vervolgopleiding.php
Mensen in Panieksituaties
Rampen door paniek op massa-evenementen zijn de laatste jaren niet alleen
snel in aantal toegenomen, ze eisen ook steeds meer slachtoffers.
Paniekgedrag lijkt een ongrijpbaar en oncontroleerbaar fenomeen. De
Hongaarse onderzoeker professor Tamàs Vicsek heeft er een wiskundig model
voor opgesteld dat griezelige overeenkomsten vertoont met de werkelijkheid.
Figuur 5.1 - Grote mensenmassa
bij muziekevenement
Meer info over dit onderwerp in een tv-uitzending van VPRO's Noorderlicht (te
bekijken via het web).
104
De kosmos in een tijdmachine
Wie door een telescoop naar de kosmos kijkt, ziet een ogenschijnlijk niets
veranderen. De ontwikkelingen die er zijn duren langer dan een mensenleven.
De ontwikkelingen zijn echter wel te berekenen. Het zijn de gewone wetten van
de zwaartekracht. Alleen vereist het een enorme rekencapaciteit, want het gaat
om miljoenen sterren die allemaal op elkaar van invloed zijn. Simon Portegies
Zwart, als academieonderzoeker verbonden aan de Universiteit van
Amsterdam, houdt zich daarmee bezig. Voor de berekening kan hij beschikken
over de snelste computer ter wereld: de GRAPE 6 in Japan. Daarmee simuleert
hij het gedrag van sterrenhopen: grote groepen sterren bij elkaar die door hun
onderlinge aantrekkingskracht een geheel vormen.
Figuur 5.2 - Simon
Portegies Zwart
Meer informatie en een video over dit onderwerp bij de site van het Teleac
programma Jota.
Figuur 5.3 - Bolvormig stercluster
Weer en klimaat
Nergens wordt zoveel over gepraat en gespeculeerd als over het weer. De
mens doet al heel lang pogingen om het weer voor de komende dagen te
voorspellen. Een redelijk betrouwbare voorspelling is te maken voor ongeveer
vier dagen. Onderzoek en verbetering van modellen om het weer te voorspellen
wordt onder meer bij het KNMI gedaan. Voor de langere termijn wordt
onderzoek gedaan naar het veranderen van het klimaat op aarde.
Gerbrand Komen heeft hier onderzoek aan gedaan bij het KNMI. Hij werkt nu
aan de dynamica van het klimaat aan de Universiteit van Utrecht.
Figuur 5.3 – Gerbrand
Komen
Meer info over dit onderwerp in een tv-uitzending van VPRO's Noorderlicht (te
bekijken via het web.
Figuur 5.4 - Regen in Nederland
105
Toepassingen van dynamische modellen
5.2 Een beweging onderzoeken
Wat gaan we doen?
In de natuurkunde worden vaak dynamische modellen gebruikt om
bewegingen te onderzoeken. Met name bewegingen waarbij meerdere
krachten optreden die tijdens het bewegen veranderen.
Als eerste wordt een aansprekend voorbeeld onderzocht, daarna wordt
een algemeen model voor bewegingen opgesteld. Het algemene model
kan gebruikt worden in de keuze-opdrachten.
In de eerste paragraaf zijn de centrale vragen:


Hoe bouw je een model voor bewegingen op?
Hoe kun je met het model bewegingen onderzoeken?
Modellen van bewegingen
Bij het onderwerp bewegingen en krachten zijn veel situaties te vinden waarbij
een model gebruikt wordt om voorspellingen te doen of om verbeteringen aan te
brengen. Enkele voorbeelden van dit soort situaties:
- de lancering van raketten
- veiligheidsmaatregelen bij attractieparken
- een flight-simulator voor het trainen van piloten
- de invloed van luchtweerstand en gewichtbesparing bij wielrennen
- de baan van een komeet rond de Zon
Figuur 5.6 - Voor het trainen
van piloten wordt een
vluchtsimulator gebruikt
In dit hoofdstuk wordt gekeken naar enkele eenvoudige praktijksituaties waarbij
een model gebruikt wordt om de beweging te onderzoeken. Omdat er in vrijwel
alle praktijksituaties die over bewegingen gaan sprake zal zijn van de vier
genoemde begrippen (kracht, versnelling, snelheid en verplaatsing), ligt het
voor de hand om een algemeen geldend computermodel voor bewegingen te
maken dat makkelijk is aan te passen voor elke soort beweging. Om een
dergelijk model op te stellen maken we gebruik van een probleem uit een
praktijksituatie.
Mechanica
Voor de meeste bewegingen in de mechanica gelden dezelfde principes.
De krachten op een voorwerp zorgen voor een versnelling of een
vertraging, en daardoor neemt de snelheid van het voorwerp toe of af.
Met behulp van de snelheid en de tijd is de afstand uit te rekenen die het
voorwerp daarbij aflegt.
Zolang de krachten constant zijn, is ook de versnelling constant. Dan
gelden er de bekende formules uit de natuurkundeboeken voor de
eenparig versnelde beweging (zoals F  m  a , v  a  t en s  1 2  a  t 2 ).
Dat verandert zodra de krachten op het voorwerp tijdens de beweging
niet constant zijn, zoals bij vrijwel alle bewegingen in het dagelijkse leven.
Als er bijvoorbeeld sprake is van wrijvingskrachten dan hebben we te
maken met een kracht die verandert zodra de snelheid verandert. In een
dynamisch model is het vrij eenvoudig om veranderende krachten te
modelleren.
106
Praktijksituatie: Neerkomende kogels
Iemand plaatste op internet de volgende vraag:
Vreugdeschoten
Bij vreugdevolle gebeurtenissen schieten mensen
soms met een pistool in de lucht ten overstaan van
een grote menigte. Waarom raakt er nooit iemand
gewond als de kogel weer naar beneden valt?
Bron: www.intermediair.nl rubriek Knagende vragen
Figuur 5.7 Vreugdeschot
99 Bespreek de Knagende Vraag in je groep. Noteer daarbij zoveel mogelijk
verklaringen, oorzaken of vragen.
Om tot een antwoord te komen, kijk je eerst naar de beweging van de kogel.
Daarbij komen vragen naar voren als “Hoe hard komt een kogel uit een
pistool?”, “Met welke snelheid komt de kogel op de grond?”, “Hoe hoog komt de
kogel?” en “Hoe lang is de kogel in de lucht?”. En je gaat deze beantwoorden
met behulp van een model.
Een simpel model: geen luchtweerstand
Je begint met een eenvoudig model dat je later uitbreidt. Voor het eenvoudige
model begin je met twee aannames:
- Er is geen luchtweerstand.
- De kogel wordt verticaal omhoog geschoten.
100 Met deze twee aannames wordt de beweging van de kogel een rechtlijnige
beweging met slechts één kracht: de zwaartekracht.
a. Wat voor soort beweging is de beweging omhoog van de kogel?
b. Wat voor soort beweging is de beweging omlaag van de kogel?
Herhaling theorie
In de bijlage vind je een
herhaling van de theorie van
kracht en beweging. Deze
theorie wordt in dit deel
bekend verondersteld.
Controleer eerst of je alle
theorie kent en beheerst.
c. Leg in je eigen woorden uit wat met het begrip versnelling bedoeld wordt.
Gebruik in je uitleg ook de eenheid van versnelling.
107
101 In figuur 5.8 is het eenvoudige model voor een versnelde beweging
weergegeven. Een constante kracht F werkt op een massa m die daardoor een
versnelling a krijgt. De versnelling zorgt ervoor dat de snelheid v verandert.
Figuur 5.8 – Een model voor snelheid en versnelling
a. Is het model in figuur 5.8 geschikt voor de beweging omhoog, de beweging
omlaag, of voor beide bewegingen? Leg uit.
Om het model in twee richtingen te laten werken is het nodig om een positieve
en een negatieve richting te kiezen. In dit soort situaties wordt omhoog als
positief gezien, naar beneden als negatief.
b. Welke van de vier vakjes in het model van figuur 5.8 hebben of heeft, in het
geval van de kogel die omhoog geschoten wordt, aan het begin een
negatieve waarde?
102 In figuur 5.9 vind je enkele gegevens over het pistool dat door de Nederlandse
politie gebruikt wordt.
a. Welke van de vier modelvariabelen uit figuur 5.8 zijn met deze gegevens te
bepalen? Noteer de gegevens.
Figuur 5.9 – Een Walther P5
kaliber kogel
frontaal oppervlak
massa
afschietsnelheid
cw-waarde
luchtdichtheid
9 mm
6,410-5 m²
9 gram
350 m/s
0,2 à 0,3
1,3 kg/m³
b. Met welke formule bereken je de zwaartekracht?
108
Open het model Versnelde Beweging 1. Dit model is het begin van een model
voor een versnelde beweging.
103 Model Versnelde Beweging 1 gaat alleen over snelheid en versnelling. De
versnelling a hangt af van de kracht F en de massa m volgens de formule
F  m a.
a. Welke formule moet je nu in het model invullen om de versnelling a te
berekenen?
Het model gaat over de relatie tussen snelheid en versnelling. In het model is de
versnelling tevens de instroomvariabele voor de snelheid.
b. Leg uit dat de versnelling tevens de instroomvariabele van de snelheid is.
Gebruik in je uitleg het woord tijdstap.
kaliber kogel
frontaal oppervlak
massa
afschietsnelheid
cw-waarde
luchtdichtheid
9 mm
6,410-5 m²
9 gram
350 m/s
0,2
1,3 kg/m³
d. Kies de massa en de beginsnelheid van de kogel van een Walther P5 (zie
figuur 5.8). Laat het model lopen.
104 De snelheid van de kogel neemt af naarmate de kogel hoger komt. Zodra de
kogel weer naar beneden komt neemt de snelheid weer toe. De snelheid wordt
dan negatief.
a. Breid het model uit met een grafiek van de snelheid. Teken de grafiek in
figuur 5.11.
300
200
100
snelheid_v
Figuur 5.10 – Een Walther P5
De enige kracht in dit model is de zwaartekracht. In plaats van steeds de
waarde uitrekenen, kun je deze ook laten berekenen met een formule.
c. Trek een relatiepijl van massa naar kracht en noteer de formule waarmee je
de zwaartekracht kunt berekenen uit de massa in het model. Denk aan de
negatieve waarde voor de zwaartekracht!
0
-100
-200
-300
0
10
20
30
40
50
Time
Figuur 5.11 – Snelheid-tijd-diagram van de kogel
109
60
70
b. Klopt de grafiek met je verwachtingen? Noteer wat wel en niet overeenkomt.
Op een gegeven moment wordt de snelheid van de kogel nul.
c. Bepaal zo nauwkeurig mogelijk op welk tijdstip de snelheid nul wordt.
d. Wat betekent dat voor de beweging van de kogel?
105 De grafiek van de snelheid kun je gebruiken om een schatting te maken van de
maximale hoogte die de kogel bereikt en de tijd die de kogel onderweg is.
a. Maak met behulp van de grafiek van de snelheid een schatting van de
hoogte die de kogel bereikt.
Herhaling theorie
In de bijlage vind je een
herhaling van de theorie van
kracht en beweging. Deze
theorie wordt in dit deel
bekend verondersteld.
Controleer of je alle theorie
kent en beheerst.
b. Maak met behulp van de grafiek een schatting van de tijd die de kogel
onderweg is.
c. Wat zal er aan de grafiek van de snelheid veranderen als je voor de massa
van de kogel 1,0 kg invult? Onderzoek of je voorspelling klopt.
Het model uitbreiden
Het model Versnelde Beweging 1 gaat alleen over snelheid en versnelling. In de
eerste uitbreiding van het model wordt de hoogte die de kogel bereikt
opgenomen.
106 Tijdens het vallen wordt de snelheid van het voorwerp steeds groter, en de
afstand die het voorwerp binnen één seconde aflegt wordt dus ook steeds
groter.
figuur 5.12- model met snelheid en afstand
110
a. Voeg een niveauvariabele hoogte_h aan het model toe en vul de
beginwaarde voor de hoogte in.
b. Teken een instroompijl bij de hoogte.
c. Leg in je eigen woorden uit waarom de instroom van de afstand de snelheid
moet zijn. Gebruik in je uitleg het begrip tijdstap en/of de eenheden van
snelheid en afstand.
107 Met het uitgebreide model is het mogelijk om een grafiek van de hoogte van de
kogel te tekenen.
6.000
5.000
hoogte_h
4.000
3.000
2.000
1.000
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Time
Figuur 5.13 – Hoogte-tijd-diagram van de kogel
a. Laat het model een grafiek tekenen van de hoogte. Neem het resultaat over
in figuur 5.13.
b. Hoe hoog komt de kogel?
c. Klopt je antwoord met de voorspelling?
d. Controleer of de tijdstap van het model klein genoeg is om de maximale
hoogte nauwkeurig te bepalen.
e. Sla het model op als Versnelde Beweging 2.
108 Het eenvoudige model van het pistoolschot gaat uit van een beweging zonder
luchtweerstand, in de praktijk zal de luchtweerstand wel degelijk invloed
hebben. Voordat het model uitgebreid wordt stellen we een voorspelling op.
a. Zal de kogel in werkelijkheid hoger of minder hoog komen dan in het
eenvoudige model?
b. Zal de kogel in werkelijkheid korter of langer in de lucht zijn dan in het
eenvoudige model?
111
c. Zal de kogel in werkelijkheid met een hogere of lagere snelheid op de grond
komen dan in het eenvoudige model?
d. Schets in de grafieken van de snelheid en de afstand een voorspelling van
de beweging met luchtweerstand.
Luchtweerstand
Tijdens de hele beweging werken er twee krachten op de kogel: de
zwaartekracht en de luchtweerstand.
Voor de luchtweerstand van een kogel geldt:
Daarin is:
cw
A

v
Fw,l  12  cw  A    v 2
de stroomlijnfactor (zonder eenheid)
het frontaal oppervlak in m²
de luchtdichtheid in kg/m³
de snelheid in m/s
109 In de formule komt het frontaal oppervlak A voor. Bij een kogel van een Walther
P5 is dat een cirkel met een diameter van 9 mm.
a. Voor de zekerheid: Controleer dat het frontaal oppervlak A in de tabel
overeen komt met het kaliber kogel.
b. Bereken met de formule de grootte van de luchtweerstand van de kogel van
de Walther P5 direct na het verlaten van de loop.
Figuur 5.14 - Een Walther P5
kaliber kogel
9 mm
frontaal oppervlak 6,410-5 m²
massa
9 gram
afschietsnelheid 350 m/s
cw-waarde
0,2
luchtdichtheid
1,3 kg/m³
c. Breid het model uit met een rekenvariabele F_lucht.
d. Breid het model uit met drie constanten: cw_waarde, oppervlak_A en
luchtdichtheid.
e. Trek alle benodigde relatiepijlen, denk ook aan de snelheid.
f.
Hoe moet de formule voor de versnelling aangepast worden?
De luchtweerstand heeft ook een richting. Als de kogel omhoog beweegt dan is
de luchtweerstand naar beneden gericht (negatief). Omgekeerd moet de
luchtweerstand positief zijn als de kogel omlaag beweegt. In het model kan de
luchtweerstand op een juiste manier ingevoerd worden met de onderstaande
formule:
110 In de formule staat de functie ABS(snelheid_v). De afkorting ABS staat voor
‘absolute waarde’, wat wil zeggen dat de waarde binnen de haakjes positief
gemaakt wordt.
a. Leg uit dat met deze formule de luchtwrijving negatief is als de kogel
omhoog gaat, en positief als de kogel naar beneden gaat.
112
b. Noteer de formule voor Flucht in het model.
c. Laat het model lopen en teken grafieken voor de hoogte en voor de
snelheid. Pas indien nodig de assen aan en schets de grafieken in figuur
5.13.
d. Welke maximale hoogte bereikt de kogel?
e. Hoe lang is de kogel onderweg?
f.
Met welke snelheid bereikt de kogel de grond?
g. Sla het model op als KOGEL1.
1.400
300
1.200
1.000
hoogte_h
snelheid_v
200
100
800
600
0
400
200
-100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
0
5
10
15
20
25
30
35
Time
Time
Figuur 5.15 – Snelheid-tijd-diagram en hoogte-tijd-diagram van de kogel met luchtweerstand
Evaluatie: Resultaten van het model
Het model voor de kogel lijkt realistisch. Kan de Knagende
Vraag over het vreugdevuur hiermee beantwoord worden?
Knagende vraag: Vreugdeschoten
Bij vreugdevolle gebeurtenissen schieten mensen soms met
een pistool in de lucht ten overstaan van een grote menigte.
Waarom raakt er nooit iemand gewond als de kogel weer naar
beneden valt?
111 Geef antwoord op de onderstaande vragen met behulp van de resultaten van je
model èn de informatie in de bron ‘Losse flodders of dodelijke schoten’ op de
volgende bladzijde.
a. Kan een neervallende kogel dodelijk zijn? Licht toe.
113
b. Is een kogel lang genoeg in de lucht om met de wind meegenomen te
worden? Licht toe.
c. Maak een afweging naar aanleiding van de vraag:
Is het vreugdevuur nu wel of niet gevaarlijk?
Losse flodders of dodelijke
schoten?
Hieronder 3 antwoorden nav de
Knagende Vraag:
Waardoor raakt er nooit iemand
gewond als de kogel weer naar
beneden valt?
Antwoord R. Kollerie, Arnhem:
Als deze pistoolschoten of zelfs
machinegeweersalvo's afgevuurd
worden met echte kogels, vallen soms
wel degelijk doden. Tijdens de onrusten
in Albanië waren er waarnemers die
hun verontrusting uitspraken over het
aantal doden en gewonden dat op deze
manier werd veroorzaakt.
Antwoord Nico Verschuren, Amsterdam:
Een verticaal afgevuurde kogel kan een
grote hoogte bereiken. Afhankelijk van
het type, komt het projectiel tot duizend
à 2.500 meter boven de grond. Het
duurt daarbij soms meer dan een
minuut voordat de kogel weer
terugkeert op aarde.
Al die tijd is de kogel ten prooi aan
zijwind. Zelfs een kogel die recht
omhoog wordt afgevuurd, krijgt
daardoor meestal een behoorlijke
horizontale snelheid. Daardoor is de
kans gering dat de kogel neerkomt
binnen een straal van honderd meter
van de schutter.
Antwoord Peter Kooistra, Amsterdam:
Aan het begin van de vorige eeuw
werd dit door verschillende
kogelexperts gemeten, meldt Peter. De
7,6 mm kaliber kogels deden er bijna
twintig seconden over om een hoogte
te bereiken van ruim 2,5 km. Daarna
deden ze er meer dan dertig seconden
over om weer neer te komen in het
meer, met een snelheid van honderd
meter per seconde. Hoe dodelijk is zo'n
kogel? Kooistra: 'Bij zo'n vijftig meter
per seconde dringt de kogel door de
huid. De inslag van zo'n kogel kan dus
soms dodelijk te zijn'
Bron: www.intermediair.nl
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:


Hoe bouw je een model voor bewegingen op?
Hoe kun je met het model bewegingen onderzoeken?
114
Toepassingen van Dynamische modellen
5.3 Een algemeen model voor bewegingen
Wat gaan we doen?
Bij elke beweging spelen de begrippen kracht, massa, snelheid en
versnelling een rol. Het is dan ook handig om een model te gebruiken dat
voor allerlei soorten bewegingen bruikbaar is.
In deze paragraaf is de centrale vraag:

Hoe gebruik je een algemeen model voor bewegingen?
Algemeen model bewegingen
In het onderstaande figuur 5.16 is het algemeen model voor bewegingen
weergegeven. In dit model zijn, naast snelheid, versnelling en afstand, drie
krachten opgenomen die samen een totale kracht of resultante leveren. Het
model is gemaakt voor bewegingen langs een rechte lijn.
Figuur 5.16 – Een algemeen model voor bewegingen en krachten
112 Het model in figuur 5.16 lijkt veel op het laatste model van de verticale baan
van de kogel. Er zijn ook verschillen.
a. Vergelijk het algemene model met het model van de kogel. Welke
verschillen zie je?
b. Dit model kun je ook gebruiken voor de remweg van een auto. Hoe zorg
je dat de snelheid van de auto afneemt?
115
Toepassing algemeen model: Schaatsen
De eerste toepassing van het algemeen model gaat over schaatsen. Het
ijsstadion van Calgary in Canada is een zogenaamde ‘hooglandbaan’. Door
de grote hoogte waarop de baan ligt, is de luchtwrijvingskracht op een
schaatser er relatief klein.
Topsprinters beweren dat je in Calgary na de sprint wel een volle ronde van
400 m kunt doorglijden. Klopt deze bewering?
Figuur 5.17 – De Olympic Oval
in Calgary
Om dit te onderzoekenzetten we eerst op een rij welke krachten er werken.
De twee krachten op een uitglijdende schaatser zijn de glijwrijvingskracht
Fw,g (tussen de schaatsen en het ijs) en de luchtwrijvingskracht Fw,l (op het
lichaam). De glijwrijvingskracht Fw,g op de schaatser wordt gegeven door de
volgende formule:
Fw, g  c g  Fn  c g  m  g
Hierin is cg de glijwrijvingscoëfficiënt, Fn de normaalkracht (van het ijs op de
schaatser), m de massa van de schaatser, en g de zwaartekrachtconstante
(9,8 N/kg). Uit deze formule blijkt dat de glijwrijvingskracht tijdens het
uitglijden constant is.
Voor de luchtweerstand Fw,l op de schaatser geldt de volgende formule:
Figuur 5.18 - Het testen van
de luchtwrijving van een
schaatspak gebeurt in een
windtunnel
Fw,l  12  cw  A    v 2
Hierin is cw de luchtwrijvingscoëfficiënt (stroomlijnfactor), A de frontale
oppervlakte van de schaatser,  de luchtdichtheid en v de snelheid van de
schaatser. Uit deze formule blijkt dat de luchtwrijvingskracht tijdens het
uitglijden niet constant is.
113 Naast de benodigde formules heb je een groot aantal gegevens nodig van
grootheden die in de berekeningen gebruikt worden.
a. Stel een lijst op van alle grootheden waarvan de waarde voor dit
probleem van belang is. Noteer het symbool van de grootheid met de
bijbehorende eenheid (voor bijvoorbeeld de massa is dat: m in kg).
Snelste rondje aller tijden
Jeremy Wotherspoon
verbeterde het afgelopen
weekeinde in Salt Lake City
het meest onderschatte
schaatswereldrecord: dat van
de snelste volle ronde van 400
meter. Tijdens zijn
wereldrecordrace over 1000
meter (1.07,72) legde de
Canadees de afstand tussen
200 en 600 meter af in 24,71
seconden.
Als eerste moet je weten met welke snelheid de schaatser de finishlijn
passeert. Lees daarvoor het krantenartikel ‘ Snelste rondje aller tijden’.
b. Geef op basis van het artikel een redelijke schatting van de snelheid van
een topschaatser bij het passeren van de finishlijn.
Twee andere benodigde gegevens zijn de glijwrijvingscoëfficiënt cg en de
massa m van de schaatser: cg = 0,0034 en m = 75 kg.
c. Bereken de grootte van de glijwrijvingskracht Fw,g .
bron: de Volkskrant, 3
december 2001
116
Voor de luchtwrijvingskracht gaat het om de luchtwrijvingscoëfficiënt cw en
het frontaal oppervlak A van de schaatser, en om de dichtheid  van de
lucht: cw = 0,70, A = 0,60 m² en  = 1,02 kg/m³.
d. Bereken de grootte van de luchtwrijvingskracht Fw,l bij het passeren van
de finishlijn.
114 Direct na het passeren van de finishlijn begint de snelheid van de schaatser
af te nemen.
a. Bereken de vertraging direct na het passeren van de finishlijn.
v
b. Schets in de grafiek van figuur 5.19 hoe je verwacht dat de snelheid van
de schaatser zal afnemen. Gebruik daarbij de gegevens die je hiervoor
berekend hebt en noteer getallen langs de assen.
0
0
t
Figuur 5.19 - Voorspelling van het (v,t)-diagram van een uitglijdende schaatser.
Met behulp van de grafiek kun je een voorspelling maken over het uitglijden
van de schaatser na het passeren van de finishlijn.
c. Schat hoe lang het duurt voordat de schaatser stilstaat.
d. Schat welke afstand de schaatser tijdens het uitglijden aflegt.
117
115 Open het ‘ Algemeen model voor bewegingen’. Je gaat dit model aanpassen
voor de schaatser na het passeren van de finishlijn.
a. Plaats de luchtwrijvingskracht en de glijwrijvingskracht in het model.
Gebruik voor elke symbool in de formules een aparte variabele (een
constante) in het model.
b. Trek de benodigde relatiepijlen en vul het model met formules en
getallen.
c. Breid het model uit met een grafiek voor de snelheid en een grafiek voor
de afstand.
d. Laat het model lopen. Welke afstand haalt de uitglijdende schaatser?
e. Hoe lang duurt het totdat de schaatser stilstaat?
f.
Nadat de snelheid nul is geworden, gebeurt er iets vreemds in het model.
Wat gebeurt er eigenlijk? Hoe kan dat?
118
Toepassing algemeen model: afdaling l’ Alpe d’ Huez
De vrienden van Niels hebben in de vakantie in Frankrijk de beroemde
beklimming van l’ Alpe d’ Huez gedaan. Vol trots vertellen ze dat ze tijdens
de afdaling snelheden hebben gehaald van wel 80 km/h. Bij zulke hoge
snelheden is bijtrappen onmogelijk, je laat je als een steen naar beneden
vallen. Niels gelooft hun verhaal niet helemaal, maar hij heeft in Nederland
geen mogelijkheden om hun verhaal te controleren. De centrale vraag in zijn
onderzoek is:
Figuur 5.20 - Afdalen op l’
Alpe d’Huez, een weg met 21
beroemde bochten.
Met welke maximale snelheid kun je van l’Alpe d’Huez afdalen zonder bij te
trappen?
Niel zoekt op internet naar gegevens over lucht- en rolwrijvingskrachten bij
wielrennen. Hij vindt de volgende gegevens:
- Het steilste deel van l’ Alpe d’ Huez: 10,5%,
de hellingshoek is dan
6,0, dat is 0,105 radiaal
- De luchtdichtheid op die hoogte:
 = 1,16 kg/m³
- De cw-waarde van een wielrenner:
cw = 0,8
- De rolwrijving bij wielrenners:
cr = 0,004
- De massa van wielrenners plus fiets: m = 70 kg
Het frontaal oppervlak is te bepalen door met een camera een frontale
opname te maken en het oppervlak te meten (zie figuur 5.21). Niels komt op:
A = 0,34 m².
Voor de beweging van een wielrenner op een helling moeten we rekening
houden met de krachten op de wielrenner langs de helling zoals
weergegeven in figuur 5.20: de component Fz,x van de zwaartekracht langs
de helling, de rolwrijvingskracht Fw,r en de luchtwrijvingskracht Fw,l. Voor
deze drie krachten op een afdalende wielrenner gelden de volgende
formules:
- Fz,x  Fz  sin   m  g  sin  . Hierin is Fz de zwaartekracht, m de
-
Figuur 5.21 - Meting van het
frontal oppervlak van een
wielrenner.
massa van de wielrenner, g de zwaartekrachtconstante (9,8 N/kg), en 
de hellingshoek in radiaal.
Fw,r  cr  Fn  cr  m  g  cos  . Hierin is cr de
rolwrijvingscoëfficiënt, Fn de normaalkracht, m de massa van de
wielrenner, g de zwaartekrachtconstante (9,8 N/kg), en  de
hellingshoek in radiaal.
-
Fw,l 
1
2
 cw  A    v2 . Hierin is cw de luchtwrijvingscoëfficiënt, A het
frontaal oppervlak van de wielrenner,  de dichtheid van de lucht, en v
de snelheid van de wielrenner.
Fn
Fw,r + Fw,l
Fz,x

Fz,y
Fz
Figuur 5.22 – De krachten op een afdalende wielrenner.
119
116 Op de wielrenner werken in de bewegingsrichting drie krachten waarvan
alleen de luchtweerstand niet constant is.
a. Bereken de totale kracht op het moment dat de wielrenner nog stilstaat.
b. Bereken de versnelling op het moment dat de wielrenner vanuit stilstand
vertrekt.
v
c. Schets in de onderstaande grafiek hoe je verwacht dat de snelheid van
de fietser zal toenemen. Gebruik daarbij de gegevens die je hiervoor
berekend hebt en noteer getallen langs de assen.
0
0
t
Figuur 5.23 - (v,t)-diagram van een afdalende fietser
Met behulp van de grafiek kun je een voorspelling maken over de tijd en de
afstand die nodig is voordat de wielrenner een snelheid van 80 km/h (22,2
m/s) haalt.
d. Schat hoe lang het duurt voordat de wielrenner een snelheid van 80
km/h haalt.
e. Schat welke afstand de wielrenner daarbij aflegt.
117 Open het ‘ Algemeen model voor bewegingen’. Je gaat dit model nu
aanpassen voor de wielrenner.
a. Plaats de drie krachten op de wielrenner in het model. Gebruik voor elk
symbool in de formules een aparte variabele in het model.
b. Trek de benodigde relatiepijlen en vul het model met formules en
getallen. Noteer de hellingshoek in radiaal.
c. Breid het model uit met een grafiek voor de snelheid en een grafiek voor
de afstand.
120
d. Laat het model lopen. Welke snelheid haalt de wielrenner?
e. Hoe lang duurt het ongeveer totdat de wielrenner de maximumsnelheid
haalt? Welke afstand heeft de wielrenner dan afgelegd?
f.
Welke conclusie zal Niels nu trekken?
EXTRA: Afdalen en massa
118 Men zegt wel eens dat zware wielrenners sneller kunnen dalen dan lichte
wielrenners, omdat zware voorwerpen nu eenmaal sneller vallen dan lichte.
a. Hoe kan dat? Vallen alle voorwerpen niet juist even snel?
b. Onderzoek met het model of een zwaardere wielrenner een hogere
snelheid kan halen.
c. Onderzoek ook of de eindsnelheid evenredig toeneemt met de massa
van de wielrenner. Gaat een twee keer zo zware wielrenner ook twee
keer zo hard?
d. Welk wiskundig verband is er tussen de massa en de eindsnelheid? Stel
een formule op van het type
y  a  xn .
Leerdoelen
Wat heb je nu geleerd?
Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende
vragen:

Hoe gebruik je een algemeen model voor bewegingen?
121
Toepassingen van Dynamische modellen
5.4 Keuzeopdrachten bewegingen
Wat gaan we doen?
In deze paragraaf vind je vijf keuzeopdrachten over bewegingen (A t/m
E) die een onderdeel kunnen vormen van een praktische opdracht.
Presenteer de resultaten aan elkaar of aan de docent in de vorm van een
verslag of een presentatie voor de klas.
Toelichting bij de praktische opdracht
Een overzicht van het model in
vergelijkingen en getallen. Te
vinden in het modelvenster
onder
.
Als deze keuzeopdracht een onderdeel vormt van een praktische opdracht
dan is het belangrijk om van tevoren te weten waar het eindresultaat op
beoordeeld wordt. Enkele tips:
 Bouw het model met behulp van het algemeen model voor
bewegingen. Kies een geschikte tijdstap.
 Let bij het bouwen van het model goed op de richting van krachten,
snelheden en versnellingen (let op plus- en mintekens!).
 Zorg dat het model overzichtelijk opgebouwd is en geef alle variabelen
een herkenbare plek. Constanten die veranderd worden moeten in elk
geval een eigen icoontje krijgen.
 Geef in het verslag uitleg over de manier waarop je het model
gebouwd hebt, noem formules en geef aan welke waardes je voor
constante grootheden gebruikt hebt.
 Maak van alle relevante grafieken en tabellen een afbeelding voor in
het verslag of de presentatie. Zie de uitleg over het knippen van
plaatjes.
 Geef in het verslag uitgebreid antwoord op alle vragen in de opdracht,
dus niet alleen een antwoord maar ook uitleg en/of berekeningen.
 Met de extra opdrachten kun je de beoordeling positief beïnvloeden.
 Neem in het verslag of de presentatie ook een evaluatie op. Hoe
realistisch is het model en de resultaten van het model? Hoe zou je
het model verder kunnen verbeteren?
Afdrukken of kopiëren van vensterinhouden
Vensterinhoud afdrukken
 Rechtsklik in het venster dat afgedrukt moet worden of klik
op de menuknop. Kies Venster afdrukken.

Klik op de knop Afdrukken of gebruik <Ctrl>+<P> om het
gehele Coachvenster af te drukken, precies zo als het op
dat moment getoond wordt.
Informatie naar het klembord kopiëren
Rechtsklik in het venster dat moet worden gekopieerd, of klik
op de menuknop. Kies Naar klembord kopiëren.
 Plak het item in een ander Windowsprogramma (bijv.
tekstverwerker, tekenprogramma, spreadsheet, enz.), door
Plakken in de applicatie te kiezen.

Teksten en tabellen kunnen ook naar het klembord worden
gekopieerd met de Tekstbewerkingsopties, of de toetsen
(Knippen (<Ctrl>+<X>), Kopiëren (<Ctrl>+<C>) en Plakken
(<Ctrl>+<V>)).
122
A
Schaatsen op laag- en hooglandbanen
Het verschil tussen schaatsen op laag- en hooglandbanen is de
luchtdichtheid. Op een hoog gelegen ijsbaan als in het Canadese Calgary is
de luchtdichtheid kleiner dan op een laaglandbaan als het Thialf IJsstadion in
Heerenveen. Dat heeft invloed op de luchtwrijvingskracht, en daarmee op de
snelheid van een schaatser.
Voor de luchtdichtheid  op hoogte h geldt:   1,29  0,5
In deze formule is h de hoogte (in m) boven het aardoppervlak en 1,29 de
dichtheid (in kg/m3) van de lucht bij het aardoppervlak. Voor een schaatser in
schaatshouding kun je uitgaan van een luchtwrijvingscoëfficiënt cw van 0,70
en een frontaal oppervlak A van 0,40 m2. Voor de andere grootheden vind je
realistische waarden bij de eerdere schaatsmodellen.
( h / 5500)
Figuur 5.24– Het Thialfstadion in Heerenveen.
Op 22 november 2004 benaderde Gianni Romme op de laaglandbaan in
Berlijn het wereldrecord op de 5000 meter tot 0,04 seconde. De Brabander
klokte een tijd van 6:14,70. Een jaar later schreef Sven Kramer in Salt Lake
City wel een nieuw record in de boeken: 6:08,78.
a. Bouw een computermodel voor de rit van Gianni Romme (87 kg) van
start tot finish. Zoek de hoogte van de baan in Berlijn op het internet.
b. Neem aan dat de schaatser gedurende de gehele rit dezelfde
voorwaartse kracht levert en bepaal met het model welke kracht Romme
nodig had om zijn tijd te realiseren.
c. Sven Kramer was in Salt Lake bijna zes seconde sneller dan Romme in
Heerenveen. Ga met het model na welke tijd Romme in Salt Lake had
kunnen realiseren (aangenomen dat hij een even grote kracht had
kunnen leveren als in Berlijn).
Op de 10.000 m zijn er ook zowel op hoogland- als op laaglandbanen
wereldrecords gevestigd. Op 19 maart 2006 noteerde Sven Kramer in
Calgary een tijd van 12:51,60. Een jaar later reed hij tijdens het WK in
Heerenveen (nota bene een laaglandbaan) een nieuw wereldrecord van
12.49,88.
d. Onderzoek met het computermodel de kracht die Kramer in elk van de
recordpogingen ontwikkelde. Hoeveel procent is het verschil?
e. Ondanks het nadeel van een hogere luchtweerstand kunnen er dus toch
wereldrecords gereden worden op een laaglandbaan. Hoe kan dat? Hoe
zou je daar in het model rekening mee kunnen houden.
123
Door op benen en hoofd lange ribbelstroken te plakken, is per ronde een
halve seconde winst te halen. Dit beweren dr. ir. Leo Veldhuis en ir. Nando
Timmer, stromingsdeskundigen van de Technische Universiteit in Delft. Zij
baseren dit op basis van windtunnelonderzoek. Gunstige effecten door
ribbelstroken tijdens wedstrijden zijn niet bewezen.
Figuur 5.25– Een krantenartikel over de werking van strips.
De strips zorgen voor een verlaging van de luchtweerstand (de cw-waarde).
f. Onderzoek met een model hoe groot procentuele afname van de
luchtweerstand moet zijn om een tijdwinst van een halve seconde per
ronde te boeken. Sla je computermodel veilig op en noteer de filenaam.
B
Valbeweging
De toren van Pisa is niet alleen beroemd omdat de toren scheef staat. Men
beweert dat Galileï er rond 1600 een belangrijk natuurkundig experiment
uitgevoerd heeft. Galileï was in zijn tijd een eigenzinnig onderzoeker. Hij liet
twee verschillende kogels tegelijk naar beneden vallen. De ene kogel was
tienmaal zo zwaar als de andere.
Aristoteles: “Een ijzeren kogel
van 10 kg, vallend van een
hoogte van 10 meter, bereikt de
grond voordat een kogel van 1
kilo één enkele meter gevallen
is.” Kortom, de zware kogel is
tienmaal zo snel beneden als de
lichte kogel
Galilei: “Ik betwijfel of
Aristoteles dat met een proef
heeft gecontroleerd. Ik zeg dat ze
tegelijk aankomen. De zware is
misschien twee vingerbreedten
voor op de lichte.”
Figuur 5.26 - De toren van Pisa werd gebruikt om de hypotheses van Galilei en
Aristoteles te onderzoeken.
124
In de tijd van Galileï werd de hypothese van Aristoteles (4e eeuw v.Chr)
algemeen aanvaard. Lees de hypotheses van beide geleerden in fig. 5.26.
In deze keuzeopdracht zoek je uit wie van de twee gelijk heeft.
Bij een valbeweging gaat na verloop van tijd de luchtwrijvingskracht een
steeds belangrijke rol spelen. Bij een groter voorwerp is zowel de
zwaartekracht als de luchtweerstand groter, een voorwerp met een grotere
massa heeft immers ook een groter frontaal oppervlak (als ze dezelfde vorm
hebben en van hetzelfde materiaal zijn gemaakt). Dit laatste heeft invloed op
de luchtwrijvingskracht, en daarmee op de valsnelheid.
a. Ontwerp een model voor het vallen van bolvormige voorwerpen. Stel het
model zo op dat de straal van de bol en de dichtheid van het materiaal
van de bol als modelvariabelen in te stellen zijn, de massa en het volume
worden daarmee berekend. Gebruik daarbij de volgende gegevens:
- Voor het volume van een bol geldt:
Vbol  43    r 3
- Het frontaal oppervlak van een bol:
Abol    r 2
- De cw-waarde van een bol:
cw  0,53
- De dichtheid van staal:
  7.800 kg / m 3
Een stalen bol van 1,0 kg heeft een straal van 3,13 cm.
b. Bereken of bepaal met het model de straal van een stalen kogel van 10
kg. Onderzoek of Aristoteles of Galileï gelijk had door de valtijd van een
stalen kogel van 1 kg van 10 m hoogte te vergelijken met de valtijd van
een kogel van 10 kg van dezelfde hoogte.
Om de invloed van de luchtweerstand op de valbeweging uit te schakelen
vergeleek Galileï twee kogels met dezelfde afmetingen en verschillende
massa.
c. Onderzoek het verschil in valtijd tussen een houten kogel (voor
eikenhout geldt   780 kg / m 3 ) en een ijzeren kogel met dezelfde
diameter van 8,0 cm vanaf de toren van Pisa (55 m hoog).
Na lange tijd ontstaat uiteindelijk een evenwicht tussen de zwaartekracht en
de luchtwrijvingskracht op het vallende voorwerp. Vanaf dat moment is de
valsnelheid van het voorwerp constant.
d. Onderzoek het verband tussen straal en de evenwichtssnelheid van een
ijzeren kogel. Kijk vooral naar het type verband, bijvoorbeeld een
evenredig verband of een kwadratisch verband. Noteer uitkomsten.
e. Verklaar het verband dat je gevonden hebt vervolgens met behulp van
de theorie.
125
C
Vrije val door de geluidsbarrière
Lees eerst het volgende krantenartikel.
Figuur 5.27 – Een artikel over de stunt van de Fransman (bron: natuurkunde.nl)
Volgens het artikel vormt ‘de luchtweerstand geen probleem’. Maar betekent
dat dan ook dat die luchtwrijvingskracht nul is?
a. Volgens wetenschappers wordt na 37 seconde de geluidssnelheid
bereikt. Is dat met of zonder luchtweerstand? Ga met een model van de
valbeweging na binnen welke tijd de geluidssnelheid bereikt wordt als de
luchtweerstand echt te verwaarlozen zou zijn.
Voor de luchtdichtheid  op hoogte h geldt:
  1,29  0,5( h / 5500)
In deze formule is h de hoogte (in m) boven het aardoppervlak en 1,29 de
dichtheid (in kg/m3) van de lucht bij het aardoppervlak.
b. Maak een computermodel van deze valbeweging met luchtweerstand.
126
Neem voor de luchtwrijvingscoëfficiënt cw = 0,70 en het frontaal oppervlak
van de man A = 0,60 m². Maak een schatting voor de massa.
c. Welke maximale snelheid haalt de man volgens het model?
d. Na hoeveel seconde wordt de geluidssnelheid bereikt?
De massa van de man is onbekend, maar het is te verwachten dat de massa
een invloed heeft op de maximale snelheid.
e. Wat is de minimale massa om de geluidssnelheid te halen vanaf deze
hoogte?
Figuur 7.28- De
Fransman met complete
uitrusting
f.
Hoe groot wordt de maximale snelheid als de massa twee keer zo groot
is als de minimale massa? Geef een verklaring voor je resultaat.
De Fransman maakt zijn sprong vanaf een hoogte van 40 km, een hoogte
die voor vliegtuigen onbereikbaar is. Is het eigenlijk wel nodig om van zo’n
grote hoogte te vallen?
g. Ga na wat de maximale snelheid is bij een sprong van een hoogte van
30 kilometer en een massa van 85 kg.
h. Ga na of het bij een sprong vanaf 30 km hoogte haalbaar is om de
geluidssnelheid te halen door het (realistisch) aanpassen van de massa,
de cw-waarde en het frontaal oppervlak. Geef een verklaring voor je
resultaat.
Figuur 7.29- in ‘ vrije val’
127
D
Bungeejumpen
Bij de meeste bewegingen heb je te maken met een snelheidsafhankelijke
kracht, zoals de luchtwrijvingskracht. Er zijn echter ook bewegingen waarbij
je te maken hebt met een afstandsafhankelijke kracht. Een voorbeeld is de
beweging van een massa aan een veer: een op-en-neergaande beweging
rond een evenwichtstand.
Figuur 5.30 – Bij een bungeejump gaat de valbeweging over in een trilling.
Bij bungeejumpen speelt naast de zwaartekracht en de luchtweerstand ook
de veerkracht van het bungeekoord een rol. In de bovenstaande grafiek is
een voorbeeld van zo’n bungeesprong weergegeven. De sprong was van
een hoogte van 100 m door een persoon met een massa van 80 kg. Het
bungeekoord had een lengte van 40 m.
a. Bouw een model van een val aan een bungeekoord. Zorg ervoor dat het
koord pas na een val van 40 m een kracht gaat uitoefenen (gebruik een
IF-statement). Voor de veerkracht van een koord geldt: Fv  C  u ,
waarbij C de veerconstante in N/m is.
Voor een goede en veilige sprong moet het diepste punt van de val ongeveer
10 meter boven de grond zijn. Om dat te bereiken moet de veerconstante
van het bungeekoord de juiste waarde hebben.
b. Ga na welke waarde C moet hebben om te zorgen dat het laagste punt
op 10 meter ligt.
Tijdens de sprong mogen de G-krachten niet te groot worden. Daarmee
wordt feitelijk de versnelling bedoeld, uitgedrukt in de valversnelling g. Boven
4G, een versnelling van 38 m/s², wordt het gevaarlijk.
c. Onderzoek hoe groot de maximale versnelling is tijdens de sprong en ga
of dat een gevaarlijke situatie zou kunnen zijn..
Bij een zwaarder persoon wordt een ander bungeekoord met een andere
veerconstante gebruikt.
d. Onderzoek hoe men de veerconstante van het koord moet aanpassen bij
een massa van 120 kg en 160 kg. Is er sprake van (bijvoorbeeld) een
evenredig verband?
128
EXTRA
Men kan ook de lengte van het koord veranderen. Daarmee verandert ook
de veerconstante van het koord. De veerconstante is omgekeerd evenredig
met de lengte van het koord (een langer koord is ‘slapper’).
e. Breid het model uit met de variabele Iengte_koord. Pas het model zo aan
dat zowel de veerconstante als de hoogte waarbij het koord voor het
eerst uitgerekt wordt afhangen van de lengte van het koord.
Door de lengte van het koord en de veerconstante te variëren kan de
bungeejumper van 80 kg een sprong uitvoeren die zowel veilig is (10 m
hoogte) als spectaculair (maximale versnelling 4G).
f. Onderzoek met het model hoe de bungeejump veilig en spectaculair
gemaakt kan worden.
EXTRA PITTIG!
Een variatie op het bungeejumper is de bungee-trampoline. Daarbij word je
aan twee koorden de lucht in geschoten.
Figuur 5.31 Bungeejumper
Figuur 5.32 - Bij een bungee-trampoline word je aan elastische koorden omhoog
geschoten.
g. Bouw een model voor een bungeetrampoline. Houd rekening met het
gegeven dat de touwen schuin staan, waarbij de hoek tussen de touwen
groter wordt naarmate de persoon hoger komt.
Bij een spectaculaire lancering werd een proefpersoon van 80 kg naar een
hoogte van 55 m geschoten. De maximale versnelling daarbij was 4,8G.
h. Pas het model zo aan dat deze lancering nagebootst wordt.
129
E
De inworp van een voetbal
Het onderstaande artikel gaat over de optimale inworp van een voetbal. Lees
eerst het artikel.
De fysica van voetbal
Twee Britse natuurkundigen hebben
zich gebogen over de vraag hoe een
voetbalspeler het beste een bal kan
ingooien. Volgens de meeste
natuurkunde-boeken kan een ingooi
vanaf de zijlijn het beste bij een hoek
van 45 graden gebeuren. Dan komt de
bal volgens de ballistische wetten het
verst.
Nicholas Linthorne en David Everett
van Brunel Universiteit ondekten dat de
natuurkundeboeken ernaast zitten. Ze
maakten video-opnames van
voetbalspelers die onder verschillende
hoeken de bal opnieuw in het spel
brachten. Bij een ingooi onder een hoek
Figuur 5.33 - De Brit Gary
Neville is Engelands
inworpspecialist en gooit de bal
met een lage boogbaan
eenvoudig tot op veertig meter
van de zijlijn.
van 30 graden komt de bal het verst.
Om de bal nóg een stukje verder te
krijgen, is het bovendien aan te raden
de bal te voorzien van achterwaarste
spin, schrijven de onderzoekers in het
tijdschrift Sports Biomechanics.
Linthorne en Everett verwachten niet
dat voetballers en hun coaches onder de
indruk zullen zijn van hun
onderzoeksresultaten. Die hebben
allang aan den lijve ondervonden hoe je
een bal het beste zo ver mogelijk het veld
in kunt werpen. "Maar nu weten
wetenschappers dat ook"
Bron:
Noorderlicht.vpro.nl, februari 2006
Uit metingen is gebleken dat de bal het verst komt als de bal onder een
hoek van 30 graden wordt ingegooid. De theorie zegt dat de optimale
hoek 45 graden is. In de onderstaande tekening zie je de theoretische
baan van een bal bij 30 en bij 60 zonder luchtweerstand.
bron: Getty Images
Figuur 5.34 - De theoretische baan van een voetbal bij een inworp bij 30 en 60
zonder luchtweerstand.
a. Hoe kun je aan de tekening zien dat de bal in beide gevallen dezelfde
beginsnelheid heeft?
b. De ene bal is veel langer in de lucht dan de andere bal. Hoe komt het
dat de andere bal dan toch even ver komt?
130
Degree en RAD
De meeste modelleerprogramma’s rekenen niet in
graden maar in radiaal. Vaak is
er een omrekenfunctie. Zo is
b.v. DEGTORAD(30) de
waarde van 30 in radiaal.
Bij het bouwen van het model is het belangrijk dat het om twee
gelijktijdige bewegingen gaat: horizontaal met een constante snelheid en
verticaal eerst vertraagd en dan versneld. De beginsnelheid moet
daarvoor gesplitst worden in een horizontale en een verticale component.
horizontaal: v x  vb  cos( ) verticaal: v y  vb  sin(  ) .
c. Bouw het model voor de inworp zonder luchtweerstand. Sla je model
veilig op en noteer de naam van het bestand.
d. Teken een grafiek met horizontaal sx en verticaal sy.
Een optie is zelf een formule
gebruiken: hoek×/180
e. Onderzoek met welke snelheid je de bal bij een hoek van 30 moet
gooien om een afstand van 40 m te halen.
f.
Hoe ver gooi je theoretisch met dezelfde snelheid bij een hoek van
45?
Een mogelijke oorzaak voor het verschil tussen theorie (optimaal bij 45)
en praktijk (optimaal bij 30) is de luchtweerstand. Een bal die langer in
de lucht is heeft immers meer last van de luchtweerstand, en komt
daardoor minder ver.
g. Breid het model uit met de luchtweerstand. Neem daarbij realistische
waarden voor de massa m van de bal, het frontaal oppervlak A en de
luchtwrijvingscoëfficiënt cw.
h. Pas de snelheid van de bal zo aan dat bij een hoek van 30 een
afstand van 40 m gegooid wordt.
i.
Onderzoek vervolgens wat de optimale hoek is bij deze snelheid.
131
Kennelijk is de ideale hoek van 30 niet te verklaren met alleen de
luchtweerstand.
j. Lees het onderstaan de artikel en ga na welke andere verklaring
daarin gegeven wordt.
Inworp mag lager
www.kennislink.nl
Figuur 5.35 - Op deze manier
krijg je een voetbal nóg verder
het veld in.
Kogelstoters, voetballers en speerwerpers,
allemaal gooien ze verkeerd. Elke werper
moet met twee zaken rekening houden: de
bal, speer of kogel moet veel tijd in de lucht
doorbrengen en dat gaat het beste door hem
in een hoge boogbaan te gooien. Om ver te
komen moet het projectiel ook een flinke
horizontale snelheid hebben. De ideale
verdeling krijg je als je onder een hoek van
45 graden lanceert. Waarom werpen die
rare sporters dan onder een veel lagere
hoek?
De bouw van onze spieren en skelet maken
dat we veel makkelijker horizontale kracht
leveren met de enorme borstspieren dan dat
we iets omhoog tillen met de kleinere
schouderspieren. Een sporter kan méér
kracht ontwikkelen in horizontale dan in
verticale richting.
Natuurlijk zijn sporters er door duizenden
uren training al lang achter hoe ze ver
kunnen gooien. Rond gemiddeld 30 graden
ontwikkelt een sporter de meeste energie.
Die hoek verschilt van atleet tot atleet, maar
iedereen gooit het lekkerst in een klein
gebied tussen de 25 en 35 graden.
EXTRA
Het model van de inworp kan ook gebruikt worden voor de baan van een
golfballetje. Omdat een golfballetje een veel hogere snelheid heeft en de
massa veel kleiner is dan van een voetbal is de invloed van de
luchtweerstand veel groter. De ideale hoek zal dus lager liggen dan bij een
voetbal.
k. Zoek eerst relevante gegevens over de afslag bij golfen, zoals de
snelheid en de massa van het golfballetje.
l.
Pas het model van de inworp aan en stel het zo in dat het golfballetje
een afstand haalt die representatief is voor de afslag van een prof-golfer.
Denk eraan dat een golfballetje een lagere cw-waarde heeft dan een
gladde bol.
m. Onderzoek wat die ideale hoek is om het balletje zo ver mogelijk weg te
slaan.
132
Toepassingen van Dynamische modellen
5.5 Bevolkingsgroei in Noordwijkerhout
Wat gaan we doen?
Modellen worden ook gebruikt om de bevolkingssamenstelling te
voorspellen. In deze paragraaf wordt als voorbeeld gekeken naar de
samenstelling van de bevolking van Noordwijkerhout.
In de eerste paragraaf zijn de centrale vragen:



Hoe bouw je een model om de bevolkingsgroei te voorspellen?
Wat zijn beperkingen, voor- en nadelen van zo’n model?
Welke beslissingen kunnen er aan de hand van een voorspelling
genomen worden?
Model voor samenstelling bevolking
Noordwijkerhout is een middelgrote gemeente met ruim 15.000 inwoners in
de Duin- en Bollenstreek. De samenstelling van de bevolking volgt in grote
lijnen het landelijke beeld, met uitzondering van de leeftijdscategorie van 20
t/m 29 jaar. Opvallend is dat het inwoneraantal de afgelopen jaren met enige
tientallen per jaar daalde.
Figuur 5.36 - Noordwijkerhout
is een gemeente in de
bollenstreek met veel dure
koopwoningen
In figuur 5.35 is de leeftijdsopbouw weergegeven van de bevolking van de
gemeente Noordwijkerhout per 1 januari 2004. De beginsituatie uit de
grafiek wordt door de gemeente gebruikt om een voorspelling te doen over
de samenstelling van de bevolking over 5, 10 en 15 jaar.
119 Met die voorspelling kan de gemeente nagaan of er voldoende
gemeentelijke voorzieningen zijn, zoals scholen.
a. Noem nog drie gemeentelijke voorzieningen waarvoor het belangrijk is
om te weten wat de bevolkingsopbouw in de toekomst zal zijn.
b.
Welke tijdstap zou jij bij dit model kiezen?
In een periode van vijf jaar is één van de veranderingen dat de inwoners vijf
jaar ouder zijn geworden.
c. Welke gevolgen heeft dat voor de leeftijdsopbouw in de grafiek?
d. Welke verandering zorgt ervoor dat er over vijf jaar ook inwoners zijn in
de jongst categorie 0-4 jaar?
Figuur 5.37 - De leeftijdsopbouw van de
bevolking van Noordwijkerhout in 2004
133
Voor de andere leeftijdscategorieën geldt dat er naast het ouder worden nog
meer factoren invloed hebben op de veranderingen.
e. Noteer minstens 3 factoren die invloed kunnen hebben op het
veranderingsproces.
De beginsituatie vertoont een duidelijke daling in de leeftijd van 20 tot 29
jaar.
f. Noem één mogelijke oorzaak voor die daling.
g. Welk gevolg zou die daling kunnen hebben voor de toekomst?
Fig. 5.38- De leeftijdsopbouw
van de bevolking van
Noordwijkerhout in 2004
Een eenvoudig model voor de bevolkingssamenstelling
In figuur 5.39 is een model weergegeven dat een zeer eenvoudig model is
voor de leeftijdsopbouw van de bevolking van de gemeente Noordwijkerhout.
Figuur 5.39 – Eenvoudig model voor de leeftijdsopbouw van de bevolking van
Noordwijkerhout.
Om het model overzichtelijk te houden is het aantal leeftijdsgroepen beperkt,
en er zijn enkele aannames gemaakt om het model overzichtelijk te houden.
De kenmerken van het model zijn:
- Er zijn vier leeftijdsgroepen:
kinderen
0 t/m 19 jaar
jongvolwassen 20 t/m 39 jaar
oudvolwassen 40 t/m 59 jaar
ouderen
60 jaar en ouder
- Er is sprake van verhuizingen, maar alleen jongvolwassenen verlaten de
gemeente, en alleen oudvolwassenen met kinderen vestigen zich in de
gemeente.
- Er is alleen sprake van sterfte onder de ouderen.
- Er is sprake van geboorte van kinderen, maar alleen jongvolwassenen
krijgen kinderen.
134
Open het model Bevolking 1. Je ziet dan het model zoals in figuur 5.40, een
deel van het model van Noordwijkerhout. Het is de bedoeling om het model
van figuur 5.39 na te bouwen.
Figuur 5.40– Model Bevolking 1
120 Bouwstenen toevoegen
Figuur 5.41 – Bouwstenen van
het model in de Toolbar, o.a.:
- niveauvariabele
- rekenvariabele
- constante
- stroomvariabele
- relatiepijl
Om bouwstenen aan het model toe te voegen gebruiken we de knoppen in
de Toolbar. Controleer eerst of de Toolbar zichtbaar is.
a. Voeg de niveauvariabele ouderen toe (klikken en neerzetten). Noteer
ook de naam bij de variabele.
b. Plaats de constanten geboortefactor, sterftefactor en verhuizingen.
In figuur 5.39 zie je enkele stroomvariabelen met een wolkje erbij. Dat wolkje
stelt het ‘niets’ voor en het verschijnt automatisch als je een stroomvariabele
op een lege plek laat beginnen of eindigen.
c. Plaats alle stroomvariabelen in het model. (Om de stroomvariabelen te
plaatsen selecteer je het symbool en daarna trek je de pijl tussen beginen eindpunt)
d. Plaats ook alle relatiepijlen in het model.
121 Beginsituatie
In het model Bevolking 1 zijn de beginwaarden van de niveauvariabelen
kinderen, jongvolwassen en oudvolwassen al ingevuld.
a. Welke beginwaarden hebben deze niveauvariabelen in dit model?
b. Komen deze beginwaarden ongeveer overeen met de leeftijdsopbouw
van Noordwijkerhout in 2004? (zie figuur 5.42)
Figuur 5.42 – De
leeftijdsopbouw van
Noordwijkerhout in 2004
In totaal wonen er 15.000 personen in Noordwijkerhout.
c. Welke beginwaarde heeft de niveauvariabele ouderen? Gebruik
antwoord a. Plaats deze beginwaarde in het model.
135
122 Doorstroming
De tijdstap in het model is 1 jaar. De eerste drie leeftijdsgroepen beslaan elk
20 jaar.
a. Hoeveel procent van de personen in zo’n groep zal een jaar later
doorgestroomd zijn naar de volgende groep?
b. Stel een formule op om stroom_1 te berekenen, en plaats de formule in
het model.
c. Plaats ook een formule bij stroom_2 en stroom_3.
123 Geboorte
Alleen jongvolwassenen krijgen in dit model kinderen. In Nederland geldt dat
een vrouw tijdens haar leven gemiddeld 1,8 kinderen krijgt. Voor dit model
betekent dit dat de helft van de jongvolwassenen in een tijdsbestek van 20
jaar 1,8 kinderen krijgt.
a. Leg met een berekening uit dat per 1000 jongvolwassenen er elk jaar 45
kinderen geboren worden.
b. Hoe groot is dus de geboortefactor per jongvolwassene?
c. Stel een formule op voor de geboorte in dit model, en plaats de formule
in het model.
124 Sterfte
In het model sterven alleen ouderen. In Noordwijkerhout overlijden elk jaar
gemiddeld 150 personen. De sterftefactor in het model is de kans op
overlijden binnen een jaar.
a. Welke waarde heeft de sterftefactor in Noordwijkerhout?
b. Stel een formule op voor de sterfte in dit model, en plaats de formule in
het model.
136
125 Verhuizingen
Het grote probleem voor Noordwijkerhout ligt bij de verhuizingen. De
woningen in Noordwijkerhout zijn erg duur, daardoor verlaten relatief veel
jonge mensen de gemeente. Omdat hun ouders vaak wel in Noordwijkerhout
blijven wonen komt er niet bij elke verhuizing een woning vrij. De
nieuwkomers in de gemeente zijn meestal gezinnen van oudere
volwassenen met kinderen.
De modelconstante verhuizingen stelt het aantal jongvolwassenen voor dat
per jaar de gemeente verlaat. Per 100 jongvolwassenen die de gemeente
verlaten komen er 60 oudvolwassenen en 60 kinderen in de gemeente
wonen.
a. Bepaal de formules voor ‘instroom’ en ‘uitstroom’ en plaats deze in het
model.
b. Stel de modelconstante verhuizingen in op 100.
Stroom_0 bestaat uit alle nieuwgeboren kinderen plus de kinderen die door
verhuizing in de gemeente zijn komen wonen.
c. Stel een formule op voor stroom_0 en plaats de formule in het model.
d. Bereken en leg uit dat door de verhuizingen in eerste instantie het
inwonertal zal stijgen.
e. Waardoor zal door de verhuizingen op wat langere termijn het inwonertal
toch kunnen dalen?
126 Resultaten zichtbaar maken
De resultaten van de berekeningen van het model kunnen op verschillende
manieren in beeld gebracht worden.
a. Plaats een tabel en sleep daarin de vier niveauvariabelen. Run het
model om de resultaten zichtbaar te maken.
Figuur 5.44 – Knoppen om
resultaten zichtbaar te maken:
- als een getal
- als een schuifknop
- in een tabel
- in een tijd-diagram
- twee-variabelen-grafiek
In het model wordt het totale aantal inwoners van Noordwijkerhout niet
zichtbaar.
b. Maak een nieuwe rekenvariabele voor het totale aantal inwoners, en
maak ook die variabele zichtbaar in de tabel.
c. Beschrijf wat er volgens het model de komende jaren met het inwonertal
zal gebeuren.
Een tijdgrafiek is vaak een betere manier om het verloop van resultaten
zichtbaar te maken.
d. Plaats een tijd-diagram en sleep daarin de vier niveauvariabelen.
137
e. De opmaak van het diagram is nogal kaal. Pas de assen (axis), de lijnen
en de titel aan zodat je een grafiek krijgt die er ongeveer uitziet zoals
figuur 5.43.
Leeftijdsopbouw Noordwijkerhout
aantal personen
5.000
4.500 3
3
3
4.000 1
1
1
4
3.500 2
4
4
3
3
4
1
1
1
2
2
3.000 4
3
2
4
kinderen
jongvolw assen
oudvolw assen
ouderen
2
2.500
2
2.000
0
5
10
15
20
tijd (jaren)
Figuur 5.45 - Voorbeeld van uitkomsten van het model in een tijd-diagram.
Het model heeft een looptijd van 20 jaar. In die tijd blijkt het inwonertal
redelijk constant, maar er vindt wel een verschuiving plaats in de
samenstelling van de bevolking. Zal Noordwijkerhout op de lang termijn een
stabiele samenstelling krijgen?
f.
Op welke manier verandert de samenstelling van de bevolking?
g. Kies in menu Opties voor de Instelling en stel de looptijd van het model
in op 100 (jaar).
h. Beschrijf wat het model voorspelt voor de samenstelling op lange termijn.
Figuur 5.46– Het venster van de
Modelinstelling
Model testen en evalueren
127 Een model is een realistische beschrijving van de werkelijkheid. Heeft het
uiteindelijke model van de bevolkingssamenstelling nu genoeg
voorspellende waarde? Dat hangt vooral af van de eisen die aan het model
gesteld worden.
a. Zou jij op grond van dit model meer crèches laten bouwen? En meer
bejaardencentra?
b. Vind je dat het model geschikt is voor de gemeente om een voorspelling
te doen voor de bevolkingssamenstelling? Zo ja, licht je antwoord toe. Zo
nee, geef dan aan op welke punten je het model zou aanpassen?
138
Toepassingen van Dynamische modellen
5.6 Biologen en modelleren
Wat gaan we doen?
In deze paragraaf zie je hoe biologen dynamische modellen gebruiken in
hun dagelijks werk.
In de vorige hoofdstukken hebben we modellen bekeken die uitkomen in
een evenwichtstoestand of die na verloop van tijd uitdoven. In praktijk
zien biologen vaak schommelingen in de populaties van diersoorten. In
deze paragraaf modelleer je – zeer zelfstandig - een dierpopulatie
waarvan de aantallen blijven ‘schommelen’.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:
 Hoe is de konijnenpopulatie in de Nederlandse duinen te beschrijven?
 Welke factoren bepalen de schommelingen in aantallen konijnen?
Modellen in natuurbeheer
Complexiteit is een van de meest boeiende en fascinerende aspecten van
de natuur. Maar om bepaalde waargenomen verschijnselen te begrijpen
moeten we een vereenvoudiging maken van die complexiteit en ons
concentreren op de hoofdzaken. Vanaf mijn eerste contact met modelleren
leerde ik dat complex gedrag tevoorschijn kan komen uit een combinatie van
zeer eenvoudige processen. Sindsdien heb ik veel aandacht besteed aan
wiskundig modelleren, omdat het mij helpt om ideeën en hypothesen vorm te
geven; modellen zijn voor mij een tweede laboratorium. Ze geven mij
toegang tot de belangrijkste mechanismen die spelen in een waargenomen
biologisch verschijnsel. En deze nauwe wisselwerking tussen theorie en
experiment is ook een opwindende manier om hypothesen te testen en te
valideren.
Figuur 5.47 - Sophie
Rabouille
Dr. Sophie Rabouille
NIOO Yerseke
bron:http://www.cdbeta.uu.nl/vo/
Sophie’s enthousiasme voor modelleren komt voort uit het willen weten hoe
de natuur werkt. Haar onderzoek heeft alledaagse toepassingen. Ze werkt bij
NIOO: het Nederlands instituut voor ecologie.
De ecologie onderzoekt
de samenhang van
levende wezens met
elkaar en hun omgeving.
De tak van de ecologie
die de veranderingen in
populatiegroottes
bestudeert, heet de
populatiedynamica
In de natuurbescherming is het voor het beschermen van populaties erg
belangrijk om te begrijpen hoe de populatiedynamiek werkt. Voordat er
dassentunnels worden aangelegd of een bepaalde hoeveelheid bevers
uitgezet worden, zijn de consequenties berekend met een computermodel.
Een andere toepassing is ‘biologische bestrijding’. Om te voorkomen dat het
dier dat wordt uitgezet zelf geen plaag wordt, is het modelleren van de
interacties tussen de populaties erg belangrijk.
We gaan kijken naar een prooi-roofdier model.
139
In schoolboeken wordt als voorbeeld van een prooi-roofdier model vaak het
model van sneeuwhazen en lynxen gegeven.
Figuur 5.48- De grafiek is gebaseerd op het aantal pelzen dat verhandeld is
door de Hudson Bay Company. Deze vertonen min of meer regelmatige
schommelingen met een periode van ongeveer 10 jaar. Een verklaring
hiervoor is de schommeling in populaties van de sneeuwhazen (hares) en de
lynxen. Meer over populatiebepalingen; zie bron 1, blz 143. ‘Daar komt
opeens een jager, jager aan.
Zou een dergelijk patroon ook gelden voor het konijn in de Nederlandse
duinen?
De centrale vragen deze paragraaf zijn:
Hoe is de konijnenpopulatie in de Nederlandse duinen te beschrijven?
Wat factoren bepalen de populatiegrootte?
Figuur 5.49 – Wild konijn
De grootte van een
konijnenpopulatie is niet
constant: het sterftecijfer
varieert en het
geboortecijfer varieert.
Dit hangt af van allerlei
factoren die zelf ook
variëren. De
ontwikkeling van een
populatie is daarmee
een dynamisch proces.
Deze vragen ga je met behulp van Coach onderzoeken. Je gaat in deze
opdracht zeer zelfstandig aan de slag. Je bouwt een eenvoudig model, test
en evalueert het en vervolgens pas je het model aan. Je volgt een aantal
deze stappen in drie rondes. Je past de vaardigheden en kennis toe die je in
vorige hoofdstukken hebt opgedaan. Per ronde lever je de antwoorden en
het Coachmodel in.
De eerste ronde: een eenvoudig model bouwen
Stap 1: de Coach onderdelen.
De modellen uit de vorige hoofdstukken hadden de volgende onderdelen.




een toestandsvariabele
stroomvariabelen
constanten
relatiepijlen
Lees de informatiebronnen 2 en 3. Noteer gegevens die je wilt gebruiken. Je
kunt deze noteren in de verzameltabel 5.50. Je kunt niet alle benodigde
gegevens halen uit bron 2 en 3. De rest vul je in de volgende stap aan.
140
Modelonderdeel
Naam/namen
Invulling: getal of
formule
Toestandsvariabele
Stroomvariabelen
Constanten
Relatiepijlen
tussen ……
en ….
tussen ……
en ….
tussen …….
en ….
Tussen …….
Nvt
en ….
Figuur 5.50 - Verzameltabel gegevens uit bronnen
Bron 2 Populatiegrootte
Bron 3 Fokgegevens wilde konijnen
Bij populatieonderzoek worden 4 factoren bepaald
om een goed model te bouwen.
geboortecijfer: het aantal jongen dat per jaar
geboren wordt. Het cijfer hangt uiteraard van de
soort af.
sterftecijfer: het aantal dieren per jaar dat sterft.
emigratie: het aantal dieren dat per jaar wegtrekt
en niet meer terugkomt
immigratie: het aantal dieren dat per jaar van een
andere populatie komt en blijft.
Er zijn in Nederland zo'n 200 konijnenfokkerijen.
Deze bieden onderdak aan 50.000 voedsters.
Een vruchtbaar vrouwtje wordt een voedster
genoemd. Elke voedster produceert ongeveer 60
jongen per jaar.
Na een periode van 2 1/2 maand worden de konijnen
geslacht. Wilde konijnen kunnen als ze goed
verzorgd worden zo’n 10 jaar oud worden.
Stap 2: Vereenvoudigingen en aannames
Aanname
 De tijdstap die het Coach model gebruikt is 1. Voor ons model
betekent dat 1 jaar.
 Neem aan dat het aantal mannetjes en vrouwtjes even groot is.
Bepaal nu het aantal geboorte per konijn per jaar (geboortefactor)
 Bepaal nu met bron 3 de sterftefactor
 Neem aan dat de sterftefactor en de geboortefactor door de jaren
heen constant blijven.
 Hoe meer konijnen er zijn, hoe harder de toename en de afname.
Vereenvoudigingen
De populatiegegevens waarmee je het eerste model test, komen van een
eiland. Gebruik dit gegeven in je model. Het model wordt er een stuk
eenvoudiger op in vergelijking met een model van een konijnenpopulatie in
de Noord-Hollandse duinen.
128 Twee factoren uit bron 2 spelen geen rol op een eiland.
a. Noem deze factoren en geef aan welke consequenties dit heeft voor je
model.
141


Start vanuit de Coach-opzet in figuur 5.51.
Maak eerst een kladversie op papier voordat je het model bouwt met
Coach.
Figuur 5.51- Start Coachmodel Konijnenpopulatie op een eiland
Start met het begin aantal van 10 konijnen.
Tenslotte bepaal je hoeveel jaar het model gaat doorrekenen. Dat
stel je in onder Opties | instellingen. Als hier voor Stoppen 10 invult
rekent het model van jaar 0 tot 10.
b. Sla je model op. Noteer hier je filenaam:


Stap 3: Je model testen
De instroom en uitstroom zijn in je model constant. Je verwacht evenredige
groei te zien. Hoe verloopt de grafiek van de populatiegroei?
129 Schets de verwachte grafiek in figuur 5.52.
Figuur 5.52 - Schets van de verwachtte populatie toename

Laat je model doorrekenen en maak de uitkomsten zichtbaar door
een tabel en grafiek in te voegen.
130 Teken het verloop van de grafiek in figuur 5.52. Gebruik daarbij een andere
kleur. Geef het schaalbereik van de y-as aan.
142
131 Bekijk goed de resultaten van je model in grafiek.
a. Met wat voor soort wiskundige functie kun je de curve beschrijven?
De populatiedynamica kent twee type curves die een kenmerkende
populatiegroei weergeven; de S-groeicurve en de J-groeicurve. Voor uitleg
over deze curves, zie bijlage II of een biologiemethode.
b. Op welke curve uit de populatiedynamica lijkt je grafiek?
c. Als in de natuur de situatie voorkomt die weergegeven wordt door de Jcurve, ervaart men die vaak als een plaag. Onder welke milieu
omstandigheden kan er in de natuur een plaag ontstaan?
Modellen testen aan populatiegegevens uit de natuur blijkt lastig. Er zijn
weinig gegevens beschikbaar van betrouwbare tellingen van konijnen. Of de
manier van meten is over de jaren heen veranderd en dus niet vergelijkbaar.
Voor meer informatie over de betrouwbaarheid van dichtheidsbepalingen,
zie bron 1 ‘Daar komt opeens een jager, jager aan…’ .
In de onderstaande grafiek staan de schattingen van het aantal konijnen op
Schiermonnikoog van 1967 tot ongeveer 1979.
3e15
aantal_konijnen
Fig.5.53- ‘We hadden er
maar twee meegenomen……’
3e15
2e15
2e15
1e15
5e14
0
5
10
Time
Fig 5.54- Konijnenpopulatie Schiermonnikoog (1967 – 1979) en Model resultaten
Coach
In figuur 5.54 zijn naast elkaar de schattingen van de konijnenpopulatie op
Schiermonnikoog en de modeluitkomsten van Coach geplaatst. Houd er
rekening mee dat de eerste grafiek een y-as heeft met een logaritmische
schaal. Te zien is dat de konijnenpopulatie begon met 20 konijnen.
Ongeveer 10 jaar later is dat opgelopen tot 8000 konijnen.
132 Vergelijk de beide grafieken. Er zijn 2 duidelijke verschillen. Noteer de
verschillen.
143
Je gaat het sterftecijfer en het geboortecijfer in je model aanpassen, zodat
de helling van de grafieken meer overeenkomt en de populatiegrootte na 10
jaar.

Bron 4 Konijnen in het wild
De omstandigheden thuis of
in een fokkerij zijn redelijk
constant. In de natuur er
grotere schommelingen en
omstandigheden die er thuis
niet zijn.
Weersomstandigheden zoals
hevige regenval, sneeuwval,
hitte, overstromingen,
menselijke activiteit zoals het
aanleggen van een weg of
huizen hebben sterke
invloed op de populatie.
Er blijkt een verband te zijn
tussen het aanbod van
voedsel en het aantal worpen
dat een voedster per jaar
heft. Meer voedingsrijk eten
geeft meer worpen en een
groter aantal jongen per
worp.
Het aantal zonuren op een
dag blijkt van invloed te zijn
op de ei-sprong. Meer
zonuren, vaker een eisprong.
Zo heeft een voedster in een
fokkerij door het jaar heen 6 à
7 nesten met jongen. Per jaar
gemiddeld 60 jongen. Terwijl
in de natuur de voedster
voornamelijk jongen krijgen
van maart tot juli en daarbij 2
nesten krijgt.
Zet het aantal konijnen waarmee je begint op 20. Je start dan met
dezelfde populatiegrootte als op Schiermonnikoog.
133 Liggen de nieuwe waardes van s en g hoger of lager? En hoe verhouden s
en g zich tov elkaar? Noteer wat er met de populatie gebeurt als s>g of s<g
of s=g?
De waarden van g en s blijken in de natuur anders dan in ‘ideale’
leefomstandigheden bij fokkers. Daarnaast varieert het geboortecijfer enorm
per jaar en per streek. Voor Nederland lijkt een gemiddelde van 8 jongen per
vrouwtje redelijk. Dat komt in je model neer op een gemiddelde per konijn
van 4 jongen. Je zult nu een hoge sterftefactor moeten vullen, willen de
resultaten van je model en ‘Schiermonnikoog’ overeenkomen. Kortom, de
sterfte onder de konijnen is erg groot.
134 Noem zoveel mogelijk factoren die invloed hebben op het sterftecijfer van
wilde konijnen.
Stress lijkt een remmende
invloed te hebben op de eisprong. Konijnen krijgen
meer stresshormoon als de
groep groter wordt en meer
naarmate de sociale positie
in de groep lager is.
135 Welke factoren in de natuur hebben invloed op het geboortecijfer van wilde
konijnen? Maak hierbij gebruik van bron 4.
144
De tweede ronde: het model aanpassen
In ons model blijft de populatie onbeperkt doorgroeien. In de natuur kennen
de meeste populaties een ander groeiverloop; zie evt. bijlage II of een
biologiemethode.
136 Schets in een grafiek hoe jij denkt dat een kleine populatie zich door de jaren
heen ontwikkelt.
Figuur 5.55 – Schets populatiegroei
Dichtheidsafhankelijke regulatie
137 In vraag 134 en 135 hebben heb je factoren benoemd die van invloed zijn op
de populatiegroei. Sommige van die zijn van invloed op de konijnenpopulatie
onafhankelijk van het aantal konijnen dat er is. Zo heeft ‘vorst’ in het najaar
een ongunstig effect op konijnen, onafhankelijk van het aantal.
Dichtheidsonafhankelijke factoren treffen hetzelfde percentage dieren
ongeacht hoe groot de populatie is. Dichtheidsafhankelijke factoren
beïnvloeden een groter deel van de populatie naarmate deze groeit.
De dichtheid kun je berekenen met de formule:
D=K/A
waarin A de oppervlakte is van het leefgebied en K de grootte van de
populatie konijnen.
a. Welke van de factoren die van invloed zijn op het sterftecijfer, zijn
dichtheidsafhankelijk? Licht je antwoord toe.
b.
Welke van de factoren die van invloed zijn op het geboortecijfer, zijn
dichtheidsafhankelijk? Licht je antwoord toe.
145
Vooral het sterftecijfer is dichtheidsafhankelijkheid. Je gaat dit verwerken in
het model. We hebben de gegevens van het duingebied van het eiland
Texel. Dit is een oppervlakte van 4800 ha (1 ha = 10.000 m2 = 0,01 km2).


Voeg oppervlakte als constante toe aan je model.
Zet een rekenvariabele dichtheid in je model met daarin een formule.
Het realistischer sterftecijfer kan als volgt geformuleerd worden:
sreal = s × (1 + dichtheid)
Al je geïnteresseerd bent in de ‘afleiding’ hiervan en waardoor alleen het
sterftecijfer wordt aangepast, zie bron 6.
In je model voeg je nu sreal toe. De ‘afname’ is nu niet meer afhankelijk van s
maar van sreal l. Verbindt sreal op een logische manier met de toegevoegde
variabele dichtheid en constante oppervlakte.

Figuur 5.56 - Het duingebied van
Texel.

Laat je model doorrekenen op basis va de volgende gegevens. Een
realistisch geboortecijfer van 4 konijntjes. En de konijnen worden
gemiddeld 5 jaar oud. Het aantal konijnen dat op Texel uitgezet
wordt is 20; evenveel mannetjes als vrouwtjes.
Stel onder Modelinstelling, stapgrootte de tijdstap in op 0.1. T
138 Sla dit model op, noteer de filenaam.
139 Teken hieronder het resultaat.
Figuur 5.57 – Schets populatiegroei
Je gaat onderzoeken welke van de onderstaande factoren invloed op de
vorm van de grafiek en de uiteindelijke populatiegrootte.
 g geboortecijfer
 s sterftecijfer
 A het oppervlakte van de leefruimte
 de aanvangsdichtheid dwz het aantal konijnen waarmee je start
140 Met andere woorden onderzoek het gedrag van dit model voor verschillende
waarden van g, s, A en de aanvangsdichtheid. In figuur 5.58 zijn er vier
assenstelsels getekend. Per grafiek kun je verschillende resultaten schetsen
als je één variabele verandert.
a. Noteer de variabele en de verschillende waardes bij de schetsen. Zet
onder de grafieken je conclusie.
146
Figuur 5.58 – Schetsen van populatiegroei bij verschillende waardes van g,s,
en de aanvangsdichtheid
Conclusie: De hoogte van het maximale aantal konijnen wordt
beïnvloed door ……
Maar niet door ……….
147
Je ziet dat de populatie in het model uiteindelijk steeds op een vaste waarde
uitkomt. Deze vaste waarde noemen we de draagkracht van dat gebied. De
draagkracht wordt weergegeven met C van carrying capacity.
b. Wat gebeurt er als je met een populatiegrootte ver boven de draagkracht
begint? Schets de grafiek bij een aanvangspopulatie van 30.000 en een
draagkracht van 8.000.
Figuur 5.59 – Schets populatiegroei
Het model testen en evalueren
De resultaten van je model in figuur 5.57 lijkt wel op de S-curve, maar er is
een duidelijk verschil: figuur 5.57 is steiler. Daarnaast kun je de vraag stellen
of de draagkracht van 90.000 konijnen realistisch is.
141 Van de konijnenpopulatie op Texel is de draagkracht te berekenen. Vanaf
1851 is er een konijnenpopulatie bekend op Texel en deze is de laatste jaren
stabiel. Er is bepaald dat er op Texel 10 konijnen per ha voorkomen.
a. Hoeveel konijnen zijn er dan totaal op Texel, en wat is dus de
draagkracht?
b. Je kunt je grafiek meer laten lijken op een S-curve met de juiste
draagkracht, door de waarde van slechts één modelvariabele aan te
passen. Welke aanpassing heeft geleid tot het gewenste resultaat?
Bron 1: Daar komt opeens een jager, jager aan….
Over de moeilijkheid van dichtheidsbepalingen van populaties
Om te bepalen of de populatie toeneemt, afneemt of gelijk blijft is nog niet zo eenvoudig. Je kunt
natuurlijk niet in het veld gaan zitten en tellen hoeveel er voorbij komen. Waarom niet? In het verleden is
gebruik gemaakt van de afschotgegevens van plezierjagers. Waardoor zijn is deze methode niet
betrouwbaar genoeg? Een meer betrouwbaarder methode is de ‘afschot volgens een vast protocol’:
ieder jaar op een vaste plek, gedurende een vaste tijd zoveel mogelijk konijnen schieten. Je kunt daar
niet direct uit afleiden hoeveel konijnen er in dat gebied rondliepen, maar wel of het aantal toe- of
afneemt. Een meer konijnvriendelijke methode is de merk-en- terugvangmethode.
Eerst wordt in een gebied met een bekende oppervlakte een flink aantal konijnen
gevangen. Zij krijgen een aluminium oormerkje, waarna ze weer worden losgelaten. Na een paar weken
worden er opnieuw veel konijnen gevangen. Daarvan is een bepaald aantal gemerkt. Met behulp van de
onderstaande formule wordt nu het totale aantal konijnen in een bepaald gebied geschat: aantal
konijnen gemerkt gemerkte konijnen in tweede vangst totaal aantal konijnen totaal in tweede vangst.
Vaak is in de loop van de jaren de telmethode veranderd, bijvoorbeeld van afschot
naar merken en terugvangen. Je kunt geen goede conclusies trekken als in het ene jaar volgens een
148
andere methode geteld is dan in het andere jaar.
De derde ronde: de predator sluipt het model binnen ....
In je model blijkt de konijnenpopulatie op een stabiel niveau te eindigen. Dat
niveau kon hoog of laag zijn, maar uiteindelijk werd het aantal konijnen
constant. In werkelijkheid fluctueert het aantal konijnen voortdurend; zie
figuur 5.61.
Figuur 5.60 - Predator en prooi
Figuur 5.61a - Schatting van het aantal konijnen in de Amsterdamse duinen
van 1990 -2002 5.61b - Schattingen van de konijnenpopulatie in
Schiermonnikoog 1967 -1989
142 Kleinere fluctuaties kunnen veroorzaakt worden door temperatuur tijdens het
voortplantingsseizoen, de hoeveelheid zeewater die een duingebied
binnenstroomt, of de aanleg van een weg door de leefruimte. Er zijn ook
sterke dalingen zichtbaar.
a. Bedenk minstens twee mogelijke oorzaken voor de sterke daling in
aantallen (in 5.61a na 1994, in 5.61b rond 1979).
b. Een predatorpopulatie is afhankelijk van de dichtheid van de
konijnpopulatie, èn werkt zelf regulerend op de dichtheid van de
konijnenpopulatie. Leg dit met een voorbeeld uit.
Een factor die afhankelijk van de niveauvariabele, èn zelf regulerend op die
niveauvariabele heb je niet eerder ingebouwd in een model. Voordat je deze
factor gaat inbouwen, kijk je eerst naar de wiskundige beschrijvingen van die
relatie tussen konijn en de predator; de vos.
De Italiaan Vito Volterra en de Amerikaan Alfred Lotka ontwierpen
onafhankelijk van elkaar een model waarin prooien en predatoren elkaar
beïnvloeden. Zij gingen van de volgende twee veronderstellingen uit:

Figuur 5.62 - V. Volterra

De sterfte van konijnen hangt ook af van het aantal vossen: hoe
meer vossen, hoe meer konijnen worden opgegeten;
De geboorte van vossen hangt ook af van het aantal konijnen: hoe
meer konijnen, hoe meer jonge vossen.
149
In formule (met konijnenpopulatie K en vossenpopulatie V):
waarin g = geboortesnelheid konijnen; s = ‘vraatfactor’ bij gegeven
vossenpopulatie; c = ‘omzettingsnelheid’ van opgegeten konijnen in jonge
vossen; m = sterftesnelheid vossen.
Figuur 5.63 - A.J. Lotka
143 Leg per veronderstelling uit hoe deze terug te vinden is in de formule.
144 Met behulp van de formules ga je een predator-prooi model maken. Hiervoor
bouw je het eerste konijnenmodel (opdracht 128) uit.




Figuur 5.64- Coach uitgangsmodel
voor prooi-predator model
Open het bestand. Kopieer het model en plak de kopie ernaast.
Niet aan elkaar.
Van deze 2 schema’s pas je er een aan voor de konijnenpopulatie
en de andere voor de vossenpopulatie. Gebruik dezelfde afkortingen
als in de bovenstaande formules.
Teken 2 relatiepijlen op grond van de bovenstaande formules.
Vul de constanten en formules in op grond van de onderstaande
berekeningen.
Als gebied nemen we weer het eiland Texel. Zoals bekend leven daar
gemiddeld zo’n 10 konijnen per hectare. Voor vossen is bij veldonderzoek
een dichtheid van 2 vossen/km2 gevonden, dus op 4800 ha zijn dat er 96.
Ga ervan uit dat een vos elf jaar leeft. Voor een realistischer geboortefactor
van konijntjes in het wild hanteer je het aantal van 8 konijntjes per voedster
per seizoen.
a. Noteer de waarden voor V, K, m en g. (Rond de getallen af)
V=
K=
m=
g=
De constanten s en c kun je niet afleiden uit de gegeven informatie:
s is zoiets als de kans dat een konijn als het bij een vos in de buurt komt ook
opgegeten wordt, c is zoiets als het aantal jongen dat een vos kan maken
per opgegeten konijn. Beide hangen af van allerlei externe factoren
(bijvoorbeeld hoeveel schuilmogelijkheden het landschap aan een konijn
biedt of de mogelijkheid voor een vos om een partner te vinden). We kunnen
wel afleiden dat in een evenwichtssituatie, waar K en V beide constant zijn,
geldt:
g×K=s×K×V
en
c×K×V=m×V
150
b. Welke waarden hebben s en c? Vul de afgeleide en gevonden waarden
hieronder in. (Rond de getallen af)
s=
c=



Voeg een grafiek in voor het konijn en een voor de vos.
Stel onder Stimulate | Stimulation Setup, de Method op RK4
(fixedstep) in plaats van Euler. Dit voorkomt modelproblemen, dit
heeft te maken de manier waarop Coach rekent. Vraag voor meer
uitleg je docent.
Laat het model nu een periode van 50 jaar doorrekenen.
c. Als je model is gelukt, zijn de resultaten in overeenstemming met de
figuren 5.65 en 5.66. Wat is de periode van de schommelingen die je ziet
optreden bij konijn en vos?
aantal_vossen
Figuur 5.65 – Aantal konijnen
uitgezet tegen de tijd.
d. En welk van de twee populaties bereikt steeds als eerste een top?
Verklaar de beweging die je ziet met behulp van de relatie tussen de
aantallen prooidieren en predatoren.
102
99
e. Sla je model op. Noteer hier de filenaam.
96
0
10
20
30
40
50
Time
Figuur 5.66 – Aantal vossen
uitgezet tegen de tijd.
Evaluatie van je prooi-roofdier model
Is je model een realistische weergave van de relaties tussen een wilde
konijnen- en vossenpopulatie in Nederland?
Vergelijk de resultaten van je model met grafiek 5.48. Deze geeft de
schommelingen in populaties lynxen en sneeuwhazen weer. Er zijn twee
grote overeenkomsten te zien en een duidelijk verschil.
145 Beschrijf de twee overeenkomsten en een duidelijk verschil. Probeer daarbij
een verklaring te geven voor het verschil.
Om het model te testen heb je gegevens nodig van een vossen- en
konijnenpopulatie in hetzelfde gebied in Nederland. Die hebben we niet
kunnen vinden. Alleen uit gebieden in Australië zijn gegevens beschikbaar.
De gebieden hebben een gematigd klimaat, net als Nederland. In figuur 5.65
zijn schommelingen zijn duidelijk te zien, maar let op, er zijn meer metingen
per jaar gedaan.
146 Welke twee processen veroorzaken de grote variaties binnen een jaar.
151
Figuur 5.67 – Resultaten vos en konijnentellingen uit gebieden met een
gematigd klimaat in Australië. De lichte blokjes links bovenste grafiek
rechts onderste grafiek geven de aantallen konijnen weer. De andere
de vossen. Van een bepaalde periode zijn geen betrouwbare
metingen. Er is in deze periode een besmettelijke ziekte uitgebroken
onder konijnen.
Figuur 5.68 – Vos en konijn:
houden ze elkaar in
evenwicht of niet?
De onderzoekers hebben correlatie berekeningen gedaan. Uit de
berekeningen en vervolgonderzoek kwamen de volgende conclusies:
 De populatiedynamiek van vossen is niet zo sterk afhankelijk van de
konijnenpopulatie als je op grond van het sneeuwhaas-lynx model
zou verwachten.
 Ook de populatiedynamiek van de konijnen is niet zo sterk
afhankelijk van de vossenpopulatie.
 De schommelingen in konijnenpopulatie hangen meer af van het
voedselaanbod dan van de aanwezigheid van vossen.
 Modellen voor noordelijke klimaatzones kunnen niet zonder meer
gebruikt worden voor gematigde gebieden.
Welke aspect(en) spelen in gematigde gebieden een (grotere) rol?
Figuur 5.69 – Tellingen van vos, konijn en wilde kat Australië.
147 Aan figuur 5.69 te zien, worden konijnen niet alleen door vossen gegeten. En
vossen blijken niet alleen konijnen te eten. Welk ecologisch verschijnsel is in
de modellen weggelaten?
152
Kortom, er is nog geen goed model van de populatiedynamiek van konijnen
in gematigde gebieden. De bestaande wetenschappelijke modellen zullen
worden uitgebreid met het aspect voedsel aanbod en meerdere predatoren.
Paragraaf 5.7 gaat het over dit laatste aspect met als prooidier de lemming
en als predatoren een poolvos, sneeuwuil en een andere roofvogel.
Als extra opdracht bij deze paragraaf kun je kijken naar het aspect
besmettelijke onder de konijnenpopulatie.
EXTRA ‘RONDE’: Besmettelijke ziekten
Wanneer wordt een ziekte een epidemie binnen een populatie?
Ziekten kunnen een sterke invloed kunnen hebben op het aantal konijnen. In
1953 bereikte het myxoma-virus ons land. Er brak een epidemie uit waarvan
zeer veel konijnen het slachtoffer werden. In 1991 werden de konijnen
opnieuw getroffen: nu door het VHS-virus. In veel gebieden liep de
konijnenstand in de jaren daarna terug tot 10% van het aantal dat vóór het
uitbreken van de VHS-epidemie onze duinen bevolkte. Zoals je in figuur 5.59
ziet, loopt daardoor in 1994 het aantal konijnen enorm terug.
Hoewel de ziekte inmiddels geen epidemie meer vormt is het virus nog
steeds in de populatie aanwezig. Om de een of andere reden kan het virus
op dit moment geen epidemie veroorzaken.

Waardoor kan een virus niet altijd een epidemie veroorzaken?
We proberen met behulp van Coach verklaren hoe dat komt.
In 1927 maakten de Schotten Kermack en McKendrick een wiskundig model
waarin zij de ontwikkeling van een epidemie in een populatie probeerden te
beschrijven. Uiteindelijk zag hun model er als volgt uit:
Als VAoud de vatbare konijnen weergeeft en Zoud de konijnen die door een
besmettelijke ziekteverwekker zijn aangestoken, dan geldt:
VAnieuw = VAoud + g × VAoud - b × VAoud × Zoud
Znieuw= Zoud + b × VAoud × Zoud - v × Zoud
waarbij g = groeisnelheid konijnen (geboorte – natuurlijke sterfte), b =
besmettelijkheid ziekteverwekkers en v = virulentie ziekteverwekkers (of
ziekteverwekkende kracht = 1/verwachte levensduur van een besmet dier).
Hieronder zie je een Coach weergave van het model:
figuur. 5.70 - Coachmodel konijn en epidemie
153
148 Bestudeer de onderdelen van het model en hun relaties. Beantwoord daarna
de volgende vragen.
a. Er staat vanuit vatbare konijnen en vanuit besmette konijnen een
relatiepijl naar besmetting. Verklaar beide pijlen.
b. Welke aannames worden in dit model gedaan over het herstel en de
voortplanting van zieke konijnen?

Neem als beginwaarden voor vatbaren 50 en zieken 4. Neem voor
de groeisnelheid g de waarde 14,8. Geef de besmettingsfactor b de
waarde 0.00003 en ga ervan uit dat een besmet dier nog 1/12 jaar te
leven heeft. De virulentiegraad wordt dan 12. Kies (vanwege de
beperking van het modelleerprogramma) een stapgrootte van 0.001
als methode RK (variabele stap) en laat het model een periode van
10 jaar doorrekenen.
c. Noteer de filenaam.

Geef de resultaten van de gezonde en zieke dieren weer in een
grafiek.
d. Schets het verloop van het aantal gezonde en zieke dieren in de tijd.
Figuur 5.71 - Schets van het aantal gezonde en zieke dieren door de jaren
heen.
e. Wat is de periode van het uitbreken van epidemieën?
154
f.
Onderzoek systematisch hoe de volgende factoren het verloop van de
epidemie beïnvloeden:
start aantal zieke dieren
v Virulentie
b Besmettelijkheid
g Groeisnelheid
Vanaf een bepaalde populatiegrootte schiet het aantal zieken enorm
ophoog. Door de X-as te verkleinen kun je aflezen bij e grafiek zieken op
welk tijdstip dit is, en vervolgens bij het aantal vatbare aflezen hoe groot de
populatie dan ongeveer is.
g. Formuleer nu een antwoord op de vraag waarmee de paragraaf startte.
Waardoor kan een virus niet altijd een epidemie veroorzaken?
Bron 6: Afleiding van het reële sterftecijfer
Je hebt in opgave 5 gezien dat de groei van de populatie uiteindelijk
alleen afhangt van het verschil tussen g en s. Het maakt dus voor het uiteindelijke
resultaat niet uit of je de geboorte laat dalen en de sterfte laat stijgen (figuur 5.70a) of
dat je de geboorte constant houdt en de sterfte iets harder laat stijgen (figuur 5.70b).
Figuur 5.72a - Geboorte- en sterftesnelheid beide afhankelijk van dichtheid
Figuur 5.72b - Geboorte en sterfte verlopen anders, maar het netto-effect blijft gelijk
Uitgaande van figuur 5.70b zou je het realistischer sterftecijfer kunnen beschrijven
met de volgende formule: sreal = s × (1 + dichtheid)
155
Toepassingen van Dynamische modellen
5.7 De ‘vrije val’ van de lemming
Wat gaan we doen?
Deze paragraaf is een vrije opdracht. Er worden weinig gegevens
aangedragen. Je modelleert ‘het vallen en opstaan’ van de lemming.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:
 Welk van de 4 predatoren heeft het meeste effect op het aantal
schommelingen in de lemmingpopulatie?

Of is het een combinatie van predatoren?
De lemming en zijn predatoren
.
Lemmingen –The game
Aan de basis van het
computerspel staat een fabel.
De fabel gaat dat lemmingen
bij overbevolking collectief
zelfmoord plegen door zich vanaf
rotskliffen in zee te storten.
In figuur 5.75 zijn grote fluctuaties
in aantallen lemmingen te zien.
Wat is wel de oorzaak?
Figuur 5.73 – Een lemming
Lemmingen zijn kleine knaagdieren uit Scandinavië en Groenland. Bij een
onderzoek in de Karup Vallei op Groenland telde een onderzoeksgroep van
1988 tot 2002 het aantal lemmingen. Bovendien werden de aantallen, het
voortplantingssucces en het dieet bepaald van een aantal predatoren: de
sneeuwuil, de kleinste jager (een meeuwachtige vogel) en de poolvos. Het
gemiddelde aantal lemmingen dat per dag wordt gegeten als functie van de
gemiddelde lemmingendichtheid is in onderstaande afbeelding
weergegeven.
Figuur 5.74 – Het gemiddelde aantal lemmingen dat gegeten wordt door verschillende
predatoren.
156
149 Hoeveel hectare moet een sneeuwuil minstens bejagen voor het verkrijgen
van zijn dagelijkse buit lemmingen in een gebied met een dichtheid van één
lemming per hectare?
Een andere predator van lemmingen is de hermelijn. De hermelijn heeft in
het gebied een bijzondere positie. Hij eet vrijwel alleen lemmingen, terwijl de
andere drie predatoren nog alternatieve voedselbronnen hebben. In de
volgende afbeelding is de relatie tussen de dichtheid van de lemming en die
van de hermelijn gedurende een aantal jaren weergegeven.
Figuur 5.75 – Het gemiddelde aantal lemmingen dat gegeten wordt door
verschillende
Iemand trekt uit de gegevens in het diagram van bovenstaande afbeelding
de conclusie dat de hermelijn de lemmingendichtheid reguleert. Deze
conclusie is voorbarig.
150 Geef hiervoor twee argumenten.
157
Het is de vraag of (alleen) de hermelijn de dichtheid van de lemmingen
reguleert. Om dit te onderzoeken ga je met behulp van Coach de volgende
vragen onderzoeken:

Welk van de 4 predatoren heeft het meeste effect op het aantal
schommelingen in de lemmingpopulatie?

Of is het een combinatie van predatoren?
Volg een gestructureerde manier van werken, zoals je in de vorige
hoofdstukken ook hebt gedaan.

Analyseer het probleem.

Benoem groothe(i)d(en) en factor(en) die van belang zijn.

Beschrijf de invloed van de groothe(i)d(en) en factor(en).

Stel één (of meerdere) relatie(s) op.

Schets en bouw je model.

Doe een voorspelling over de uitkomst.

Laat je model doorrekenen en controleer je voorspelling.

Pas evt je model aan, of breidt deze uit met de nieuwe
groothe(i)d(en), factor(en) en relatie(s).

Doe een voorspelling over de uitkomst.

Laat je model doorrekenen en controleer je voorspelling.

Trek een conclusie.
158
BIJLAGE I
Herhaling van de theorie van bewegingen
Om een computermodel te maken voor kracht en beweging heb je wat
kennis van de mechanica nodig. In de volgende opdrachten zet je eerst die
kennis op een rij.
151 Een deel van de mechanica beschrijft bewegingen met behulp van de
volgende drie grootheden: de afstand s tot een (willekeurig) startpunt, de
snelheid v en de versnelling of vertraging a. Deze drie grootheden hangen
met elkaar samen.
a. Leg in je eigen woorden het begrip snelheid uit.
b. Vul de volgende formule in: v 
.....
. Het symbool  (de Griekse
.....
hoofdletter delta) betekent verandering
c. Wat is het verschil tussen de snelheid en de gemiddelde snelheid?
d. Leg in je eigen woorden het begrip versnelling uit.
e. Vul de volgende formule in: a 
.....
.....
152 Een ander deel van de mechanica beschrijft de oorzaak van bewegingen
met behulp van de volgende drie grootheden: de kracht F, de massa m en
de versnelling of vertraging a.
a. Wat wordt bedoeld met de resultante van de krachten Fres op een
voorwerp (of ook: de netto-kracht)?
b. Welk verband is er tussen de netto-kracht Fres op een voorwerp, de
massa m van dat voorwerp en de versnelling of vertraging a die het
voorwerp daardoor krijgt?
Figuur 5.76 - Op een
vliegtuig werken meerdere
krachten
c. Hieronder staan de drie standaard-bewegingen uit de mechanica. Geef
voor elk van deze bewegingen antwoord op de volgende vraag: welke
eigenschappen (grootte en richting) heeft de netto-kracht Fres op het
voorwerp?
- Eenparige beweging (snelheid v constant)
- Eenparig versnelde beweging (versnelling a constant)
- Eenparig vertraagde beweging (vertraging a constant)
159
v
s
d. Schets in het volgende (s,t)-diagram voor elk van deze drie standaardbewegingen de afgelegde afstand als functie van de tijd. Doe hetzelfde
in een (v,t)-diagram voor de snelheid als functie van de tijd.
0
0
0
0
t
t
Figuur 5.77 – Diagrammen voor de drie standaardbewegingen: constante
snelheid, versneld en vertraagd.
e. Bij de drie standaard-bewegingen zijn de afgelegde afstand s en de
snelheid v van een voorwerp te berekenen met formules. Leg uit of laat
zien hoe.
- Eenparige beweging (snelheid v constant)
- Eenparig versnelde beweging (versnelling a constant)
- Eenparig vertraagde beweging (vertraging a constant)
Formules bij kracht en beweging
Naast de formules die in BINAS staan zijn er ook nog enkele formules die
voor het modelleren van bewegingen van belang zijn. Een overzicht:
s  v gem  t
Fres  m  a
Fv  C  u
Fw,l  12  cw  A    v 2
s  12  a  t 2
Fz  m  g
Fw,max  f  Fn
Fw,r  c r  Fn
153 De krachten op een bewegend voorwerp zijn meestal afhankelijk van
één of meer andere grootheden. In het overzicht staan formules voor
verschillende krachten.
a. Geef bij elke kracht aan om welke kracht het gaat.
b. Geef van elk symbool in de formules die over krachten gaan de
betekenis.
c. De formules s  v gem  t en s  12  a  t 2 zul je bij modelleren maar weinig
gebruiken. Leg uit waarom.
160
BIJLAGE II
Verklarende woordenlijst van biologische begrippen
(uit NVON begrippenlijst voor leerlingen biologie 2005, m.u.v. * )
antibioticum
organische stof afkomstig van organismen, die microorganismen doodt of hun groei beperkt
antibiotica
zijn niet werkzaam bij virale infecties.
antistof
immunoglobuline; antigeenbindend eiwit in het lichaam (o.a.
in bloed, slijm, lymfe) dat door plasmacellen geproduceerd
wordt als reactie op de aanwezigheid van het antigeen
Elk antistofmolecuul heeft een ruimtelijke bouw die ‘past’ op
de ruimtelijke bouw van het bijbehorende antigeenmolecuul.
antigeen
lichaamsvreemde stof die de afweerreacties op gang kan
brengen. Elke vreemde cel die een organisme binnenkomt,
bevat antigeenmoleculen op het celmembraan.
bacil
staafvormige bacterie
bacteriën
één van de vier rijken waarin alle organismen worden
ingedeeld; eencellige, soms meercellige organismen met
kleine cellen die geen kernmembraan en mitochondriën
bevatten.
besmettelijk*
van de een op de ander kunnen over gaan van microorganisme of virus
biologisch evenwicht zie natuurlijk evenwicht
ecologie
wetenschappelijke studie van de relatie van organismen en
hun milieu
ecosysteem *
min of meer begrensd gebied van levende organismen en niet
levende factoren die samen een eenheid vormen. Bijv. een
heideveld, een naaldbos of een sloot.
epidemie*
Er wordt gesproken van een epidemie wanneer het aantal
gevallen van griep in een bepaald gebied gedurende een
bepaalde periode veel hoger is dan gebruikelijk. Bij een
aantal van meer dan 6 griepgevallen per 10.000 inwoners
wordt er gesproken van een griepepidemie. Buiten een
griepepidemie hebben er gemiddeld 3 op de 10.000 mensen
griep in Nederland.
entstof
vaccin
griepgolf
de jaarlijkse verhoging van griepgevallen die in Nederland
plaats kan vindt in de winter. Of het een epidemie wordt
hangt af van het aantal zieken ten opzichte van de
bevolking.
immuniseren
immuun maken. Men onderscheidt actieve immunisatie
waarbij een individu zelf een afweerreactie opbouwt en
passieve immunisatie waarbij een individu antistof ontvangt.
immuniteit
onvatbaarheid voor een bepaalde ziekte. Immuniteit berust
op het bezit van geheugencellen.
immunoglobuline
antistof
immuun
onvatbaar voor een bepaalde ziekte
161
Figuur 5. 78 - J-vormige
curve
Figuur 5.79 - S-vormige curve
incubatietijd*
tijd die verloopt tussen besmetting en het optreden van de
eerste verschijnselen
J-vormige curve*
Is de naam van een grafische weergave van populatiegroei
onder gunstige omstandigheden. Op de y-as is het aantal
dieren uitgezet, tegen de tijd (x-as). De grafiek laat dan een
snelle toename zien, wiskundig te beschrijven als een
exponentiële functie.
natuurlijk evenwicht biologisch evenwicht; toestand waarbij de grootte van elke
populatie in een ecosysteem schommelt om een bepaalde
waarde
predatie
doden van dieren en ze als voedsel gebruiken
predator
roofdier
S-vormige curve*
Is een grafische weergave van een populatie die toeneemt
onder gunstige omstandigheden. Na verloop van tijd gaat de
gegroeide populatie invloed uitoefenen op de omgeving en
dit heeft weer effect op de populatiegroei. Uiteindelijk
stabiliseert het aantal dieren –al dan niet schommelend rond een bepaalde waarde. Als je deze processen in een
grafiek uitzet, heeft deze de vorm van een langgerekte S.
vaccin
entstof; onschadelijk gemaakte ziekteverwekkers of een
antigeen van een ziekteverwekker, gebruikt voor actieve
kunstmatige immunisatie. Bij het griepvirus wordt een
combinatie van verwachte antigenen in gespoten. Met
rekenmodellen wordt voorspeld welke varianten met welke
antigenen in het najaar West Europa zullen bereiken.
vaccineren
inenten; toedienen van een vaccin
virus
deeltje dat in elk geval een molecuul DNA of RNA bevat, en
omgeven is door een eiwitmantel. De vermeerdering van
virussen kan alleen in levende cellen plaats vinden.
virulentie*
de mate waarin een micro-organisme of virus het vermogen
bezit een ziekte te verwekken.
162
BIJLAGE III
Overzicht knoppen op de taakbalk Coach
163
Bronvermelding leerlingenmateriaal staat in de docentenhandleiding.
164