Matrices • V : n-dimensionale vectorruimte over F, met basis {x 1

Matrices
• V : n-dimensionale vectorruimte over F, met basis {x1 , . . . , xn },
• W : m-dimensionale vectorruimte over F, met basis
{y1 , . . . , ym },
• T : V −→ W lineaire afbeelding.
Voor alle j ∈ {1, . . . , n} zijn er getallen αij ∈ F, (i = 1, . . . , m), zó
dat
T xj =
m
X
αij yj .
i=1
2
Coëfficiënten αij , (i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}) representeren de
afbeelding T t.o.v. de gekozen bases in V en W .


α
· · · α1n
 11

.. 
 ..
A = (αij ) =  .
. 


αm1 · · · αmn
heet de matrix van T t.o.v. de bases {x1 , . . . , xn } van V , en
{y1 , . . . , ym } van W .
3
Alternatieve definitie:
Zij F een lichaam.
Een m × n matrix over F is een afbeelding A van de verzameling
{1, . . . , m} × {1, . . . , n} naar F:
A : (i, j) → αij ∈ F, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n
De volgende (suggestieve) schrijfwijze wordt veel meer gebruikt:


α
· · · α1n
 11

.. 
 ..
A = (αij ) =  .
. 


αm1 · · · αmn
4
De αij ∈ F heten de elementen van de matrix A. Hierbij is i de
rij-index, en j de kolom-index.
n
αi1 · · · αin ∈ F , i = 1, . . . , m
is de i-de rij van A.


α
 1j 
 .. 
 .  ∈ F m , j = 1, . . . , n


αmj
is de j-de kolom van A.
Een 1 × n matrix heet ook wel een rij-vector en een m × 1 matrix
heet ook wel een kolom-vector.
5
De verzameling m × n matrices geven we aan met Mm,n (F). Als
m = n schrijven we Mn (F)
Mm,n (F) heeft een vectorruimte-structuur (over F):
• Voor A, B ∈ Mm,n (F) en α, β ∈ F is αA + βB ∈ Mm,n (F)
gedefinieerd door
(αA + βB)(i, j) = αA(i, j) + βB(i, j)
• De nulvector in Mm,n (F) is de nulvector O gedefinieerd door:
O(i, j) = 0,
i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n
6
Zij T : V −→ W een lineaire afbeelding van de n-dimensionale
vectorruimte V naar de m-dimensionale vectorruimte W . Zij
x1 , . . . , xn een basis van V en y1 , . . . , ym en basis voor W . Voor
iedere j ∈ {1, . . . , n} zijn er getallen αij ∈ F, (i = 1, . . . , m), zó dat
T xj =
m
X
αij yi .
i=1
De m × n matrix (αij ) heet de matrix van T t.o.v. de bases
x1 , . . . , xn en y1 , . . . , ym .
• Matrix afhankelijk van basis en volgorde basisvectoren,
• Speciaal geval: W = V met basis x1 , . . . , xn .
7
Identiteitsafbeelding I : V → V . Zij x1 , . . . , xn een basis van V .
Dan geldt
Ixj =
n
X
δij xi .
i=1
Dus t.o.v. iedere basis van V is de matrix van de
identiteitsafbeelding
I(i, j) = δij ,
i, j = 1, . . . , n.
8
Stelling: Zij A = (αij ) een m × n matrix over F, en zij V een
n-dimensionale- en W een m-dimensionale vectorruimte over F.
Dan bestaat er voor iedere keuze van bases in V en W een unieke
lineaire afbeelding T : V −→ W , zó dat de matrix van T ten
opzichte van de gekozen bases gelijk is aan A.
9
Stelling: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten over F,
en veronderstel dat voor zowel V als W een vaste basiskeuze is
gedaan. Voor elke lineaire afbeelding T : V −→ W , wordt met MT
de matrix van T aangeduid, t.o.v. de gekozen bases. Dan is de
afbeelding T 7→ MT een bijectieve lineaire afbeelding van L(V, W )
naar Mm,n (F) met m = dim W en n = dim V .
10
Matrixproduct:
Laat A ∈ Mm,k (F) en B ∈ Mk,n (F). Dan is AB ∈ Mm,n (F)
gedefinieerd door:
(AB)(i, j) =
k
X
A(i, `)B(`, j)
`=1
11
Stelling: Zij U, V, W eindig-dimensionale vectorruimten over F, en
zij T : U −→ V en S : V −→ W lineaire afbeeldingen, met
samengestelde afbeelding S ◦ T : U −→ W . Kies bases in elk van de
ruimten U, V, W , en zij MT , MS , en MS◦T de matrices van de
afbeeldingen S, T , en S ◦ T ten opzichte van deze bases. Dan geldt:
MS◦T = MS MT .
12
Eigenschappen matrixproduct:
• A(B + C) = AB + AC,
• (A + B)C = AC + BC,
• (AB)C = A(BC),
• AI = A en IA = A,
• A0 = 0 en 0A = 0.
13
Stelling: Mn (F) is een algebra met eenheidselement I.
Zij V een n-dimensionale vectorruimte over F met basis x1 , . . . , xn .
Dan is de afbeelding T 7→ MT een bijectief algebra isomorfisme van
L(V ) naar Mn (F)
• MT −1 = MT−1 ,
• MT n = (MT )n .
14
Zij p : F → F een polynoom,
p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn ,
t∈F
Dan is voor iedere A ∈ Mn (F), p(A) ∈ Mn (F) gedefinieerd door:
p(A) = α0 I + α1 A + · · · + αn An
Opmerking: als p = q + r dan geldt p(A) = q(A) + r(A) en als
p = qr dan geldt p(A) = q(A)r(A).
15
Matrixrepresentatie van lineaire afbeeldingen F n −→ F m
F n is de vectorruimte van afbeeldingen van {1, 2, . . . , n} naar F.
Zij e1 , . . . , en en f1 , . . . , fm de standaardbases van respectievelijk
F n en F m .
Zij T een lineaire afbeelding van F n naar F m . Dan geldt voor de
matrix MT van T :
MT (i, j) = (T ej )(i),
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
16
Stelling: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten over F,
met dim V = n en dim W = m. Zij T : V −→ W een lineaire
afbeelding. Zij x1 , . . . , xn een basis van V en y1 , . . . , ym een basis
van W , en zij A = MT de matrix van T t.o.v. deze bases.
Zij e1 , . . . , en de standaardbasis in F n , en f1 , . . . , fm de
standaardbasis in F m , en definieer de bijectieve lineaire
afbeeldingen R : F n −→ V , en S : F m −→ W door
Rej = xj ,
(j = 1, . . . , n)
Sfi = yi ,
(i = 1, . . . , m).
Definieer T̃ : F n −→ F m door T̃ = S −1 T R. Dan is de matrix van
T̃ ten opzichte van de standaardbases in F n en F m gelijk aan A.
Samengevat MT = MT̃ .
17
Getransponeerde
Zij A ∈ Mm,n (F ). Definieer B ∈ Mn,m (F ) door:
B(i, j) = A(j, i)
Dan wordt B de getransponeerde van A genoemd met notatie
B = A0 .
18
Duale afbeelding
Zij V en W vectorruimten en zij T ∈ L(V, W ). Dan is voor iedere
y ∈ W 0 de afbeelding
x 7→ y(T x),
x∈V
een lineaire functionaal ŷ op V .
De afbeelding y 7→ ŷ is lineair.
De lineaire afbeelding die aan y ∈ W 0 de vector (functionaal) ŷ ∈ V 0
toevoegt, heet de duale afbeelding van T . Notatie: T 0 : W 0 −→ V 0 .
19
Stelling: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten,
T : V −→ W een lineaire afbeelding, en T 0 : W 0 −→ V 0 de duale
afbeelding. Kies bases in V en W , en construeer de duale bases in
V 0 en W 0 . Ten opzichte van deze bases is de matrix van T 0 de
getransponeerde van de matrix van T :
MT 0 = (MT )0 .
20
Rang van lineaire afbeeldingen en matrices
Definitie: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten, en
T : V −→ W een lineaire afbeelding. Dan is de rang van T de
dimensie van de beeldruimte T (V ) van T :
ρ(T ) = dim(imT ).
Stelling: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten, en
T : V −→ W een lineaire afbeelding. Dan heeft de duale afbeelding
T 0 dezelfde rang als T :
ρ(T ) = ρ(T 0 ).
21
Lemma: Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte over F, en
T : V −→ F m een lineaire afbeelding. Zij x1 , . . . , xn een basis van
V , en f1 , . . . , fm de standaardbasis in F m . Zij A de matrix van T
ten opzichte van deze bases. Dan is im(T ) het lineaire opspansel
van de kolommen van A.
22
Definitie: Zij A ∈ Mm,n (F).
• De kolommenruimte van A is de lineaire deelruimte van F m ,
opgespannen door de kolommen van A,
• De kolomrang van A is de dimensie van de kolommenruimte
van A.
• De rijenruimte van A is de lineaire deelruimte van F n ,
opgespannen door de rijen van A,
• De rijrang van A is de dimensie van de rijenruimte van A.
23
Stelling: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten, en
T : V −→ W een lineaire afbeelding. Zij A de matrix van T ten
opzichte van bases van V en W . Dan is de rang van T gelijk aan de
kolomrang van A.
24
Lemma: Zij A ∈ Mm,n (F), met getransponeerde A0 . Dan geldt
1. De rijenruimte van A is gelijk aan de kolommenruimte van A0 .
Derhalve is de rijrang van A gelijk aan de kolomrang van A0 .
2. De kolommenruimte van A is gelijk aan de rijenruimte van A0 .
Derhalve is de kolomrang van A gelijk aan de rijrang van A0 .
Stelling: De rijrang van een matrix is gelijk aan de kolomrang.
Het is dus niet nodig onderscheid te maken tussen rij- en
kolomrang, en daarom spreken we van de rang van een matrix.
25
Bepaling van de rang van een matrix
Lemma: Als I

I

C=
0
een r × r identiteitsmatrix is, dan is de rang van

0

0
gelijk aan r.
26
Lemma: Als de matrix B verkregen kan worden uit de matrix A
door het verwisselen van kolommen (of rijen) van A, dan geldt
rangA = rangB.
Lemma: Als de matrix B verkregen kan worden uit de matrix A
door bij een kolom van A een veelvoud van een andere kolom van A
op te tellen, dan geldt rangA = rangB. (Analoog voor rijen).
Lemma: Als de matrix B verkregen kan worden uit de matrix A
door alle elementen van een kolom (of een rij) te vermenigvuldigen
met hetzelfde getal c ∈ F\{0}, dan geldt rangA = rangB.
27
Als A niet gelijk is aan de nulmatrix dan kan met een eindig aantal
operaties zoals beschreven op de vorige transparant, de matrix A in
de volgende vorm worden gebracht:


I 0


0 0
28
Beschouw een stelsel van m lineaire vergelijkingen in n onbekenden
x1 , . . . , x n :



= c1
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn




 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
= c2
..
.. ..


.
. .




 am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = cm
met aij en ci elementen van het lichaam F.
29
Definieer de coëfficiëntenmatrix A en de uitgebreide
coëfficiëntenmatrix B:


a12 · · · a1n
a

 11


 a21 a22 · · · a2n 

A=
..
..  ,
 ..
..
 .
.
.
. 


am1

a
 11

 a21
B=
 ..
 .

am1
am2
a12
···
···
amn

a1n
c1


c2 

..  .
. 

cm
a22
..
.
···
..
.
a2n
..
.
am2
···
amn
30
Lemma: Als de rang van de coëfficiëntenmatrix A gelijk is aan m,
dan heeft het bijbehorende stelsel minstens één oplossing.
Stelling: Een stelsel lineaire vergelijkingen is oplosbaar dan en
slechts dan als de rang van de coëfficiëntenmatrix A gelijk is aan de
rang van de uitgebreide coëfficiëntenmatrix B.
31
Voorbeeld:


3x1 + 6x2




 2x + 4x
1
2

x1 + 2x2




 4x + 8x
1
2
+ 13x3
+ 25x4
= 15
+
9x3
+ 15x4
= 10
+
3x3
+ 13x4
=
+ 17x3
+ 35x4
= 20.
32
9
Voorbeeld:
f1 (t) = t sin t + cos t, f2 (t) = sin t + t cos t
f3 (t) = t sin t + t cos t, f4 (t) = sin t − cos t
V = hf1 , f2 , f3 , f4 i
d2
T f = ( 2 + 1)f
dt
Vraag: Bepaal een basis van ker T en ImT .
33
Stelling: Zij x1 , . . . , xn en y1 , . . . , yn twee bases van een
n-dimensionale vectorruimte V . Druk de vectoren van elke basis uit
in termen van de andere basis:
yj =
n
X
i=1
aij xi ,
xj =
n
X
bij yi .
i=1
Zij A = (aij ) en B = (bij ) de bijbehorende coëfficiëntenmatrices.
Dan geldt: AB = BA = I, met I de n × n identiteitsmatrix.
Als x1 , . . . , xn de oorspronkelijke basis is en y1 , . . . , yn een nieuwe
basis, dan heet A de verandering-van-basis matrix, die de nieuwe
basis uitdrukt in de oorspronkelijke basis.
34
Definitie: Een matrix A ∈ Mn (F) heet inverteerbaar als er een
B ∈ Mn (F) bestaat, zodanig dat AB = BA = I. Als A
inverteerbaar is, dan is B uniek bepaald, en heet de inverse van A.
Notatie A−1 .
Stelling: Zij A ∈ Mn (F). Dan zijn de volgende uitspraken
equivalent:
(i) A is inverteerbaar,
(ii) AB = I voor zekere B ∈ Mn (F),
(iii) CA = I voor zekere C ∈ Mn (F).
Indien aan deze condities is voldaan, dan geldt B = C = A−1 .
35
Stelling: Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte over F. Als
A ∈ Mn (F) de matrix is van een lineaire afbeelding T ∈ L(V ), dan
geldt: de matrix A is inverteerbaar dan en slechts dan als de
lineaire afbeelding T inverteerbaar is. Bovendien geldt
A−1 = (MT )−1 = MT −1 .
36
Stelling: Zij V een n-dimensionale vectorruimte en T : V −→ V
een lineaire afbeelding. Zij x1 , . . . , xn en y1 , . . . , yn twee bases van
V . Laat A de matrix van T zijn ten opzichte van de basis x1 , . . . , xn
en B de matrix van T zijn ten opzichte van de basis y1 , . . . , yn .
Zij C de verandering-van-basis matrix die de yi ’s uitdrukt in
termen van de xj ’s. Dan geldt:
B = C −1 AC.
37
Gelijkvormigheid van matrices
Definitie: Twee matrices A ∈ Mn (F ) and B ∈ Mn (F ) heten
gelijkvormig als er een inverteerbare matrix X ∈ Mn (F ) bestaat
zodanig dat:
XAX −1 = B
38
Stelling: A en B zijn gelijkvormig dan en slechts dan als A en B
matrices zijn van dezelfde afbeelding T ten opzichte van
verschillende bases.
Betekenis: Gegeven een n-dimensionale vectorruimte V . De
matrices A ∈ Mn (F ) en B ∈ Mn (F ) zijn gelijkvormig dan en
slechts dan als er een afbeelding T ∈ L(V ) bestaat, en bases
x1 , . . . , xn en y1 , . . . , yn van V , zodanig dat:
1. De matrix van T ten opzichte van de basis x1 , . . . , xn is gelijk
aan A.
2. De matrix van T ten opzichte van de basis y1 , . . . , yn is gelijk
aan B.
39