Samenvatting Foutenanalyse

Samenvatting Foutenanalyse - Natuurkundig Practicum
Carlos Bril,
Uit het blauwe boekje
en/of de samenvatting van ?? (waarschijnlijk Ypke de Jager)
26-10-2011,
Revised/Rebuild - October 26, 2011
1
CONTENTS
CONTENTS
Contents
1 Significantie
1.1 Absolute fouten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Relatieve fouten & Procentueel relatieve fouten . . . . . . . . . .
3
3
3
2 Doorrekenen van fouten in formules
3
3 Normaliseren, normeren en “A uitrekenen”
3.1 Theorie achter Normaliseren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4 Gemiddelde waardes voor grootheden
5
5 Standaarddeviaties
5.1 Formulering van de Standaarddeviatie . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Theoretische ondergrond van de Standaarddeviatie . . . . . . . .
5
5
6
6 Gewogen gemiddelde
6
7 Kleinste kwadraten methode
7
Carlos Bril
2
October 26, 2011
2
1
DOORREKENEN VAN FOUTEN IN FORMULES
Significantie
1.1
Absolute fouten
Voor absolute fouten geldt:
1. Fouten worden altijd weergeven in 1 significant cijfer; Nooit in bijvoorbeeld 2 of 3. In de Natuurwetenschappen ronden we altijd af naar boven.
Dit is omdat ervoor gekozen is dat men liever een te grote fout heeft dan
(mogelijk) een te kleine, waardoor de kwaliteit van meetresultaten gewaarborgd wordt. Voorbeeld: 65, 1±0, 153 wordt afgerond naar 65, 1 V ±0, 2 V
(65, 100 V ± 0, 153 V ⇒ 65, 10 V ± 0, 16 V ⇒ 65, 1 V ± 0, 2 V). Eenzelfde
geldt voor 34, 2000 m ± 0, 0054 m ⇒ 34, 200 m ± 0, 006 m
2. Gebruikelijk is om fouten in een SI-eenheid of een duizendtal groter of
kleiner te kiezen (als voorbeeld is gebruikelijk de mm, m, km te bekijken).
Voorbeeld: 71, 3 cm ± 1 cm ⇒ 713 mm ± 10 mm
3. Pas de grootheid aan aan de fout, deze moet hetzelfde aantal decimalen
bevatten. Voorbeeld: 12 Ω ± 0, 2 Ω ⇒ 12 Ω ± 0, 2 Ω
4. Vergeet niet de eenheid bij de meting te vermelden. Voorbeeld: 3 ± 1 ⇒
3T ± 1T
1.2
Relatieve fouten & Procentueel relatieve fouten
Voor deze fouten gelden net iets andere regels. Hierbij hoeven de grootheden
niet aangepast te worden aan de fouten, en hoeft er geen eenheid vermeld te
worden. Voorbeeld: 65 ms−1 ± 0, 5 en 11 A ± 25% zijn correct.
Bereken de relatieve fout met “relatieve fout in x is ∆x
|x| ” en “procentuele
∆x
fout in x is 100 ∗ |x| ”. Let op dat dit met een statistische fout verspringt naar
sx
sx
resp. |x|
en 100 ∗ |x|
2
Doorrekenen van fouten in formules
Stel ∆f de fout te zijn in f , in de vorm (f ± ∆f ). De fout in f wordt dan
berekend aan de hand van de volgende formules f:
Carlos Bril
3
October 26, 2011
3
NORMALISEREN, NORMEREN EN “A UITREKENEN”
Functie f vorm:
fout in f
r
f =x+y∨f =x−y
∆f =
r
f = xy ∨ f =
m n
f =x y ∨f =
x
y
xm
yn
∆f = f
r
∆f = f
f = ln x
3.1
+
∆x 2
x
∆y
y
+
m2 +
∆x 2
x
∆f =
f = ex
3
∆x 2
x
2
∆y
y
∆y
y
2
2
n2
∆x
x
∆f = f ∆x
Normaliseren, normeren en “A uitrekenen”
Theorie achter Normaliseren
Als we een functie moeten normaliseren, normeren of “A” moeten uitrekenen,
betekent dat dat er geldt dat voor alle oplossingen, die allen een bepaalde kans
hebben om te gebeuren, er niet meer dan 100% aan kansen mogen zijn. Hiermee
wordt het volgende bedoeld: Stel we hebben een deeltje in een doosje, deze heeft
40% kans om bij A te zitten en 30% kans om bij B te zitten. Nu kan het deeltje
maar op 3 plaatsen zitten, A, B en C. Hoe groot is dan de kans dat dit deeltje bij
C zit (neem aan dat A6=B6=C)? Juist, 30%. Maar waarom? Waarom niet 40%
of 20%? Omdat het deeltje niet meer of minder dan 100% kans heeft om ergens
te zijn; Het deeltje is (door zichzelf) genormaliseerd; De waarde van alle kansen
moet gelijk zijn aan 100%. Hetzelfde geldt voor verdelingsfuncties. Dus voor
een verdelingsfunctie mag er alleen voor de som van alle kansen 100% uitrollen:
Z ∞
f (x)dx = 1
−∞
Let hierbij wel op dat de grenzen van de integraal moeten aangepast worden
aan waar de verdelingsfunctie f (x) bestaat; Stel dat een f (x) alleen op [0, 5]
R5
bestaat, dan zou 0 f (x)dx = 1.
3.2
Voorbeeld
Stel de volgende functie:
f (x) = A(x + 2) voor − 2 < x < 0
f (x) = A(−x + 2) voor 0 < x < 2
f (x) = 0 voor x < −2 en x > 2
Carlos Bril
4
October 26, 2011
5
STANDAARDDEVIATIES
Dus:
Z
0
2
Z
A(x + 2)dx +
−2
Z
A(−x + 2)dx = 1
0
0
A
Z
(x + 2)dx + A
−2
A
2
(−x + 2)dx = 1
0
0
2
1 2
1 2
x + 2x + A − x + 2x = 1
2
2
−2
0
A(0 − −2) + A(−2 + 4) = 1
4A = 1
1
A= ⇒
4
1
1
f (x) = x + voor − 2 < x < 0
4
2
1
1
f (x) = − x + voor 0 < x < 2
4
2
f (x) = 0 voor x < −2 en x > 2
En daarmee is de functie genormaliseerd.
4
Gemiddelde waardes voor grootheden
Eenzelfde soort formule bestaat voor de berekening van een gemiddelde van een
waarde (bijvoorbeeld ‘x’):
Z ∞
µ=
x ∗ f (x)dx
−∞
Bij dit type formule staat dus dat de gemiddelde waarde van een bepaalde
variabele gelijk is aan de som van alle kansen van die waarden, oftewel de waarde
(‘x’) maal de kansverdeling (‘f (x)’). Dit kan als het volgende worden gezien:
Z
∞
g(x) ∗ f (x)dx ∧ g(x) =
g(x) =
−∞
5
5.1
N
1 X
g(xi )f (xi )
N i=1
Standaarddeviaties
Formulering van de Standaarddeviatie
De standaarddeviatie is een maat voor de spreiding van een variabele of van een
verdeling. Deze kan als volgt worden opgeschreven:
Z ∞
σ2 =
(x − µ)2 ∗ f (x)dx = x2 − x2
−∞
Merk hier alweer op dat de integraal moet aangepast worden naar waar de
verdelingsfunctie f (x) bestaat. De standaarddeviatie heeft veel te maken met
het verschil tussen de theoretische en de verwachtte kansverdeling, zie de volgende subsectie.
Carlos Bril
5
October 26, 2011
5.2
Theoretische ondergrond van de Standaarddeviatie
6 GEWOGEN GEMIDDELDE
5.2
Theoretische ondergrond van de Standaarddeviatie
Onder deviatie t.o.v. de gemiddelde waarde
van de kansverdeling verstaan we di = xi −
µ. Bij een verticaal spiegelbare kansverdeling
volgt dus dat de som van alle deviaties:
X
di = 0
Dit komt doordat een deviatie van elke
waarde aan de linkerkant (“negatief”) wegvalt
tegen die van een waarde aan de rechterkant
(“positief”).
Stel je een theoretisch geval voor dat een Figure 1: Kansverdeling van 2
bepaalde waarde 13 verschillende waardes kan dobbelstenen
aannemen, bijvoorbeeld een paar dobbelstenen. Deze heeft het meeste kans om samen
op 7 te komen als ze gegooid worden. Immers, deze heeft de grootste hoeveelheid van combinaties waarmee dit getal gekregen kan worden. Zie Figure 1. Nu
is de theoretische kans dat de gevonden waarde buiten deze waarde (n.l. 7) ligt,
groter dan de kans dat je een 7 gooit. Hierbij definiëren we de standaarddeviatie
als een maat voor de spreiding van een variabele of van een verdeling. De standaarddeviatie zegt dus iets over wat ik van een meting verwacht: de spreiding
van de meetresultaten. Een grotere standaarddeviatie is een grotere spreiding
tussen punten. In de realiteit verwachten we:
N 2
x − x2
s2x =
N −1
Waarbij x2 =
P
P
(xi −m)2
,
N −1
xi
N
∧ x2 = m2 ∧ m =
P
xi
N
= x =< x >. Ook geldt voor s2x :
s2x =
maar deze is vaak minder handig dan de eerder genoemde. De
fout in m, of statistisch sm is sm = √sxN met N telkens de hoeveelheid metingen
die er zijn gedaan.
6
Gewogen gemiddelde
Soms tellen sommige kansen minder mee dan andere: Dan wordt het gewogen
gemiddelde gebruikt. Het gewogen gemiddelde is een gemiddelde waarvan de
waarde het meest benvloed wordt door de getallen met het grootste gewicht.
Dit kans als volgt uitgedrukt worden:
P
w1 m1 + w2 m1 + . . . + wN mN
wi mi
m=
= P
w1 + w2 + . . . + wN
wi
Waarbij w telkens de wegingsfactor is van zijn m. N is het aantal metingen dat
uitgevoerd is.
De gewichtsfactoren wi worden berekend met : wi = s12 . Deze gebruik je als
i
alle waarden (hier m) een bepaalde fout hebben. De fout in m is gelijk aan
s
X 1
1
1
sm = P 1 ⇔
=
sm2
s2i
s2
i
Carlos Bril
6
October 26, 2011
7
KLEINSTE KWADRATEN METHODE
Hieruit volgt ook dat de gemiddelde waarde en de gewogen gemiddelde waarde
met hun respectievelijke fouten als volgt kunnen worden geschreven:
m ± sm ∧ m ± sm
7
Kleinste kwadraten methode
Let op: Deze methode werkt alleen voor lineaire functies. De kleinste kwadraten
methode is een methode om lineaire relaties om te zetten tot een te gebruiken
lineaire functie. Deze werkt met de volgende formules:
Lineaire functie : y = ax + b
xy − xy
Richtingscoëfficient : a =
x2 − x2
Beginhoogte “b” : b = y − ax
(1)
(2)
(3)
En:
P
xi
N
P 2
xi
=
N
P 2
xi
=
N
P
xi yi
=
N
P
yi
=
N
x=
x2
x2
xy
y
Hiermee maakt men dus van een set gegevens (de meetdata) een goede lijn
door de meetpunten op een spreidingsgrafiek.
Carlos Bril
7
October 26, 2011