Elementaire deeltjes 2 College 6 `Feynman regels`

Elementaire deeltjes 2
College 6
Maandag 9 maart 2009
Stan Bentvelsen
Nikhef
Kruislaan 409 - 1098 SJ Amsterdam
Kamer H250 – tel 020 592 5140
[email protected]
‘Feynman regels’
#$%&$'()*&+%,"-++%"$./$"-$%&$'"01&%+23*$$%"$$1"()*&+%"!"#$µ4""
$"","/+55$.016"-)1"2$$.&7$"))1"8$&"$494"-$.2:""
#µ,";+9"-)1"<=0953.;$1"-++%"$1"1)"2$"-$%&$'"
>%+5)6)&+%,"-++%"$./$"01&$%1$".071"01&%+23*$$%"$$1"()*&+%"?06µ!@A!"9$&"A"2$"<=
0953.;"-)1"8$&"30&6$B0;;$.2$"A3)1&39"
C"
ie( pB + pD ) µ
F"
G+32&"%$/$1016"9$&"0953.;H$8+32"01"$./$"
-$%&$'"I30&2%3//016"-++%"A"01"&$%9$1"-)1"5D:"5C:"
5E:"5FJ"
!
D"
C$%$/$1016"20K$%$1L$.$"B$%/M)9$"2++%;1$2$"
02$1L$/"))1"20$"-++%"NDCEO"9+2$.4"
ie( pA + pC ) µ
E"
!
!"
$="
$P"
Impuls en energie behoud
""
!"#$
50"
i
% #i( pi +k )$x
M " & (e#i p $x) e
f
=50"
dx
50"
!
! ! !
4
=(2' ) ((E i+) # E f )*( pi+ k # p f
(
=5P"
!
/"
(
(
)
=5("
5("
% #i p#$x
+
)
dx
! ! !
4
=(2' ) ((E ++ E ##))*( p++ p## k
5="
5="
')
+(
+ #i k# p *x
M " , (e#i p *x) e
dx
/"
)
M " & e#i(k# p )$x e
5P"
$&
%
)
! ! !
4
=(2' ) ((E i+) # E f )*( pi+ k # p f
5("
/"
#
(
% #i p f +k $x
M " & (e+i p $x) e
!
dx
5P"
! ! !
4
=(2- ) .(/ # E +# E #)0. k # p+# p#
(
)
(
/"
=5P"
!
Chromodynamics
Hoofdstuk 6 uit Bettini
F$$.&7$;(Q;0*)"!"="G++%*+..$6$"R"
<"
)
Productie van fermionen
•! Meest eenvoudige methode:
–! Via e+e- annihilatie: kunnen gemakkelijk in botsing worden
gebracht.
–! Alle deeltjes die elektromagnetisch of via de zwakke
wisselwerking interacties aangaan kunnen worden
geproduceerd
–! Er wordt een virtueel foton ! of een Z0
deeltje geproduceerd.
–! De volledige ‘eindtoestand’ moet dezelfde
quantumgetallen als van foton of Z0 deeltje
hebben
•! Kinematica
–! Mandelstam variabelen, bv s (centre-of-mass-energy)
Good ol’ LEP
!!
LEP versneller: Elektron-positron annihilaties
!!
!!
!!
27 km omtrek
Operationeel in periode 1989-2000
CM energie: 91 - 207 GeV
!!
Detectoren bij LEP
!!
Vier detectoren: Aleph, L3,
Delphi, Opal
Muon productie
•! Annihilatie: e+e- #µ+µ-:
–! Muon en anti-muon zijn als ‘zware’
elektronen, massa 105.7 MeV
(elektron 0.5 MeV)
–! Muonen dringen diep in materiaal
in – veel verder dan elektronen
(kleinere massa) en hadronen (sterke
wisselwerking)
–! Hierom experimenteel eenvoudig
te detecteren: buitenste lagen
van detectoren.
Muon productie
•! Heel soms zendt het
(geladen) muon
een foton uit:
Tau productie
•! Productie van tau-paren ook mogelijk
–! Levensduur van ~ 3 10-13 s – verval hier in 3 pionen en 1 pion
e+e- # e+e•! Ietwat speciaal geval: e+e- # e+e–! Twee Feynman diagrammen voor dit proces
S1"B)&"0;"20&"2)1T"
Werkzame doorsnede
•! Werkzame doorsnede via Feynman regels
–! Werkzame doorsnede identiek voor
muon en tau productie
•! Lepton universaliteit
–! Het gedrag van alle leptonen
(elektron, muon, tau) is identiek
in alle reacties; behalve daar waar
het de massa betreft
–! Voor e+e- # e+e- is er een extra Feynman diagram in het spel.
Maar in principe gedraagt het elektron zich als de andere geladen
leptonen.
Jet productie
•!
Ook quarks worden geproduceerd in e+eannihilaties
–! Zij zijn elektrisch geladen
–! Geproduceerd in paren door elektromagnetisme
•!
e+
e-
q
q
Twee quarks vliegen van elkaar weg en
hadronizeren
–! Wanneer de afstand groter wordt dan 10-15 m
(diameter of proton) worden de interacties zo sterk
(confinement) dat nieuwe quark-anti-quark paren
worden geproduceerd.
–! Op deze manier worden vele quarks geproduceerd.
Die vormen uiteindelijk gecollimeerde mesonen en
baryonen.
–! ‘Afdruk’ van de oorspronkelijke quarks zijn twee
‘jets’ van deeltjes in de detector.
Gerelateerd aan
hetgedrag van de
‘sterke
koppelingskonstante’
Jets at Opal
Hadron ratio R
•! Vergelijk proces e+e- #µ+µ- met dat van e+e- #qq:
–! Elektrische lading van quarks is anders (1/3 or 2/3)
–! Elk type quark komt een aantal keer voor, met kleuren
Nc=3:
•! Hadron productie:
–! Sommeer over alle mogelijke quark typen
•! Ratio R:
•! Experimenteel:
Het aantal
kleuren is 3
–! Tel het aantal gebeurtenissen met jets en met muonen, en
deel de twee getallen op elkaar
–! Plot R als functie van CM energie
`Indirekt’ bewijs voor kleur: Nc=3
Drempel-energie:
Quark type drempel bij
CM energie >
2*quark massa
Resonanties:
Als CM precies gelijk is
aan meson massa
Dominantie van ‘hogere
orden’
R=2 voor 3 quarks u,d,s
R=10/3 voor 4 quarks u,d,s,c
0
R=11/3 voor 5 quarks u,d,s,c,b
Ontdekking van het gluon
•! We zagen eerder dat plm !
van proton impuls niet door
quarks wordt gedragen
–! Interpretatie: gluonen
•! Direkte produktie
van gluonen
–!
–!
–!
–!
Events met 3 jets
Eerst gezien bij Petra
Cm ~12-30 GeV
JADE detector, 1975
3-jet event bij LEP
•! Ook bij LEP
–! Bv OPAL
Rutherford verstrooiing
•! Rutherford verstrooiing
–! Verstrooing van spinloze puntdeeltjes
–! Historisch via !-deeltjes aan Au.
–! Geen rekening houdend met ‘recoil’.
•! Berekening werkzame doorsnede
–! Dezelfde berekening als voor spinloze QED
–! De bron van de potentiaal is nu statisch:
∇2 φ = ρ
–! Als de bron een puntdeeltje is dan volgt
dσ
qe2 E !
=
dΩ
(2π)2 |#q |4
V3&8$%(+%2"B$%/M)9$"2++%;1$2$"
2
2
-++%"$$1";L.;&))12"531&2$$.&7$"
z Zα
1
2)&"H$;*8+&$1"B+%2&"2++%""
=
16Ek2 sin4 θ/2
H312$."9$&"I/.);;0$/$J"$1$%60$"S/"
RU"
Mott werkzame doorsnede
•! Rutherford werkzame doorsnede
–! Historische berekening voor het beschieten van goudkernen
met alpha deeltjes
–! Rutherford formule houdt geen rekening met de intrinsieke
spin van de bundel deeltjes.
•! Mott werkzame doorsnede:
–! Correctie op Rutherford, rekening houdend met spin
•! Complete terugstoot over 180 graden onmogelijk
–! Belangrijk voor beschieting met elektronen als bundel-deeltjes
–! Het ‘target deeltjes’ heeft in deze uitdrukking oneindige massa
(E’=E)
!
dσ
dΩ
"
=
M ott
!
dσ
dΩ
"
cos2 θ/2
Rutherf ord
RW"
Vorm-factoren
•! Wat als het tref-deeltje geen punt-lading meer is?
•! De ladingsverdeling hoeft geen punt meer te zijn:
∇2 φ = ρ(#x)
–! De werkzame doorsnede wordt hierdoor
•! Hoekverdeling uitgaande elektronen
–! Aangepast door ‘ruimtelijke uitgebreidheid’ van tref-deeltje
–! F(q) is de vorm-factor
–! Door meting van de werkzame doorsnede kan de vormfactor worden bepaald
Vorm factoren
•! Gedrag van vorm factoren:
–! Normalizatie:
–! Als q niet al te groot is kunnen we de exponent
ontwikkelen:
–! En als ladingsdistributie bolsymmetrisch is dan
•! Waarmee de gemiddelde straal kan worden bepaald.
–! Stel de ladingsdistributie heeft een exponentiële vorm:
•! Dit zullen we gebruiken voor de vormfactor van het proton
Earnest Rutherford (1871-1937)
•! Nobel Prize 1908 (Chemistry!)
–! For his investigations into the
disentegration of the elements and
the chemistry of radioactive
substances
Impulsoverdracht Q2
•! Vier-momentum Q2:
–! Bij relativistische energie is de vier-momentum nodig voor
beschrijving van de impulsoverdracht
q = (k-k’)
–! De impulsoverdracht q geeft de ‘resolutie’
van de reactie weer
–! Golflengte van het ‘virtuele foton’
λ∼
1
|q|
X92)&"A").L72"1$6)L$("0;:"B+%2&"6$2$Y10$$%2,"
Intermezzo: Magnetisch moment
•! Magnetisch moment (klassiek):
–! µ evenredig met stroom I en oppervlak A
–! Voor een (klassiek) elektron in een
Bohr baan wordt de stroom I gegeven door:
–! In termen van draaimoment:
–! Definitie van Bohr magneton, waarvoor geldt
Niels Bohr (1885-1962)
•! Nobel prize 1922
–! for his services in the
investigation of the structure
of atoms and of the
radiation emanating from
them"
Gyromagnetische verhouding
•! Magnetisch moment elektron
–! Het elektron heeft een spin
dus men verwacht:
–! Maar: elektron wordt door de Dirac vergelijking beschreven. Deze
vergelijking is gebaseerd op relativistische mechanica en geeft
uiteindelijk een factor ~2 verschil: de gyromagnetische verhouding
–! Voor ‘laagste orde’ geldt precies g=2
en wordt berekend aan hand van diagram:
•! Succes van de Dirac vergelijking
Erwin Schrodinger (1887 – 1961)
Paul Dirac (1902 – 1984)
•! Nobel Prize 1933
–! for the discovery of
new productive
forms of atomic
theory
Magnetisch moment
•! Beschrijving magnetisch moment in verstrooiing:
–! Interactie tussen elektron en magnetisch moment nucleon:
–! Voorwaartse verstrooiing
("~0) geen ‘spin-flip’ en magnetische
interactie met nucleon is dus klein
–! Terugkaatsing ("~180) geeft spin-flip
van elektron en dus is magnetische
interactie met nucleon groot
–! Werkzame doorsnede wordt
evenredig met:
Magnetisch moment nucleonen
•! Nucleonen hebben een magnetisch moment g"2 (meting)
–! Het zijn dus geen ‘puntdeeltjes’ die aan de Dirac vergelijking
voldoen
–! Zeer verschillende waarden voor magnetisch moment protonen
en neutronen
–! De elastische wisselwerking van elektronen
met nucleonen wordt beschreven door
elektrische en magnetische vorm-factoren:
Rosenbluth formule
•! Interactie dmv GE en GM vormfactoren
–! Werkzame doorsnede kwadratisch
–! Expliciete berekening: Rosenbluth
(nb: vgl met puntdeeltjes voor GE (Q2) =GM (Q2)=1)
–! Deze vormfactoren hangen van de impulsoverdracht Q2 af:
oftewel van de ‘resolutie’ van de interactie
–! Voor limiet Q2#0 kunnen nucleonen als puntdeeltjes worden
beschouwd (‘slechte’ resolutie) en worden de vormfactoren
dus:
Rosenbluth (1927-2003)
•!
His first post-doctoral position was
as instructor at Stanford University
(1949-1950), where he derived the
elastic scattering cross section of
electron off protons. This famous
‘Rosenbluth formula’ was the basis
of the analysis used by Robert
Hofstadter in his Nobel prizewinning experimental investigation.
Meting vormfactoren
•! Experimentele meting elastische verstrooiing nucleonen
–! Normeer naar punt-deeltjes Mott verstrooiing
! dσ "
! dσdΩ
"
= a + b tan2 Θ/2
a =
b
dΩ M ott
=
G2E (Q2 ) + τ G2M (Q2 )
1+τ
2
2τ GM (Q2 )
–! Als functie van tan2"/2; extractie GE(Q2) en GM(Q2)
"!
F$"-+%9()*&+%$1"H.07/$1"I6$1+%9$$%2J"8$&M$.(2$"
-++%"5%+&+1$1"$1"1$3&%+1$1"
GpM (Q2 )
GnM (Q2 )
=
2.79
−1.91
= Gdipool (Q2 )
Grootte van het proton
•! Experimentele bepaling Gdipool(Q2)
–! We hadden eerder gezien dat:
–! En dus is de ladingsverdeling exponentieel:
–! Uitdrukking voor de gemiddelde straal2:
–! Levert gemiddelde elektrische straal proton:
•! Ladings-straal proton:
Robert Hofstadter (1915-1990)
Rudolf Ludwig Mössbauer (1929)
•! Nobel Prize 1961
•! "for his pioneering studies of
electron scattering in atomic
nuclei and for his thereby
achieved discoveries concerning
the structure of the nucleons"
•! “for his researches concerning the
resonance absorption of gamma
radiation and his discovery in this
connection of the effect which
bears his name"
Samenvatting:
•! Verstrooiing puntdeeltjes
–! Met magnetisch moment:
•! Voor deeltjes met ruimtelijke uitgebreidheid:
–! Vormfactoren GE en GM
–! Rozenbluth formule:
•! Hiermee is de straal van het proton bepaald
–! Vormfactor blijkt een dipool
–! Ladings-straal proton:
Ge-exiteerde toestanden
•! Elastische verstrooing
–! De energie E’ wordt bepaald
door behoud van impuls als
–! Bij een experiment waarbij een bundel op een trefplaatje valt, is
de uitgaande energie E’ scherp bepaald voor een bepaalde hoek ".
•! Quasi-elastische verstrooiing:
–! Bij samengestelde kernen in het trefplaatje (bv zuurstof) – kan er
een enkel nucleon worden uitgestoten:
De energie E’ voldoet niet meer aan bovenstaande vergelijking.
•! Ge-exiteerde toestanden
–! Bij een trefplaatje met nucleonen (en hogere bundelenergieën)
kan een exitatie van het nucleon optreden.
–! Een exitatie, of resonantie, is een piek in de werkzame doorsnede.
Het correspondeert met een kinematica die ‘aanslaat’. Dit is de
definitie van een deeltje.
–! Een resonantie wordt bepaald door de positie van de piek, en
diens breedte.
Resonanties
•! Exitaties (resonanties)
–! Definieer de ‘invariante massa’ W
van de het uitgaande systeem P’:
–! Deze is dus:
!"
–! waarbij
Z1"[DC"(%)9$,"
G+$"/.$01$%"SO:""
2$;"&$"6%+&$%"\"
De #(1232) resonantie
•! Nucleon resonantie in figuur op
voorgaande pagina
–! Positie van de piek op W=1232 MeV
(vgl proton: 938 MeV)
–! Het is een ‘aangeslagen’ proton,
en heeft spin 3/2 (vgl proton s=1/2)
–! Het komt voor in een familie
van # resonanties (deeltjes):
–! Dit zijn ‘baryonen’.
Baryonen bestaan uit 3 quarks
•! Het proton is een baryon met |uud>
quarks en het neutron |udd>.
Echter deze hebben spin s=1/2
S.);L;*8$""
50$/:"\]^5"
Verval van #(1232)
•! De breedte van deze # resonanties is groot; ongeveer 100 MeV.
–! Via Heisenberg: #E#t=h volgt dat de ‘levensduur’ !"klein is
Typisch de schaal
van ‘sterke interacties’
•! Verval dmv sterke wisselwerking:
–!
–! Een fractie van de beschikbare energie wordt omgezet in het
vormen van een quark-anti-quark paar, via gluon uitwisseling.
–! Bijvoorbeeld de creatie van down en anti-down:
–! Evenzo de creatie van up en anti-up levert de andere vervalsmode.
Structuur functies
•! Bij hogere en hogere W slaat het nucleon echt ‘kapot’
–! Individuele resonanties niet meer
observeerbaar.
–! Creatie van meerdere deeltjes
in de eindtoestand.
•! Dynamica
–! Elastische verstrooiing: slechts 1 vrije parameter: ".
•! Als " vastligt, is hiermee Q2 ook bepaald, want E’ kan worden
uitgedrukt in E en "
•! Omdat W=M geldt:
–! In-elastische verstrooiing: exitatie energie proton geeft een
extra vrijheidsgraad. Er zijn nu twee onafhankelijke
parameters:
•! Omdat W>M geldt:
Structuur functies
•! Rosenbluth formule voor het inelastische geval:
–! Waarbij W1 en W2 structuurfuncties zijn,
afhankelijk van 2 parameters
–! Experimenten bij SLAC eind jaren ’60
–! Werkzame doorsnede als functie van W
–! Meting bij "=4o; met zgn spectrometer
–! Verschillende bundel-energieen:
•! Tussen 4.5-20 GeV
–! Werkzame doorsnede kleiner voor
hogere Q2 waarden
•! Maar niet zo heel snel!
Werkzame doorsnede
•! Om gedrag van structuurfuncties goed te zien
–! Bekijk deling:
–! De ‘telsnelheid’ bij hoge waarden van Q2 bleek veel groter dan
verwacht volgens de dipool vorm-factor:
"!
C7+%/$1"?',"
"!
C7+%/$1"01&%+23*$$%&"$$1"10$3B$"
-)%0)H.$"'"6$2$Y10$$%2").;,"
!!
S.);L;*8,""
!!
Z1$.);L;*8,"
Q2 onafhankelijkheid: ‘Scaling’
•! Nieuwe definitie structuurfuncties
–! Dimensieloze F1(x,Q2) en F2(x,Q2):
•! Deze structuurfuncties blijken niet van Q2 af te hangen!
–! SLAC data jaren ’60
–! Elektronen op trefplaat
"!
E+1;$A3$1L$"-)1"2$M$"
9$L16,"
"!
"!
F$"-$%;&%++0016"0;"))1"
N531&2$$.&7$;O"01"8$&"5%+&+1_"
`$&"M+).;"$$1"*+1;&)1&$""
N-+%9()*&+%O""
Het Parton model
•! Voor spin s=! Dirac deeltjes:
–! ‘Callan Gross’ relatie:
•! Zullen we niet afleiden
–! Experimenteel ook deze relatie geverifieerd.
•! Conclusie:
–! Nucleonen hebben een substructuur
die bestaat uit punt-deeltjes
–! De punt-deeltjes hebben een spin s=1/2
–! De impuls van de puntdeeltjes is een
fractie x van die van het hele nucleon
•! Dit zijn de partonen (quarks & gluonen)
–! Voorspeld begin jaren ’60 door Gell-Mann
maar door niemand voor ‘echt’ gehouden
–! Door deze experimenten en Bjorken
en Feynman werden quarks ‘reëel’
Parton model
•! Diep-inelastische verstrooiing:
–! Verstrooiing aan een quark:
•! Om even te herhalen:
–! Bij lage Q2 lijkt het proton een punt-deeltje (Q2~ MeV)
–! Bij hogere Q2 krijgt het proton een ‘uitgebreidheid’ (Q2<~GeV)
–! Bij hoge Q2 wordt aan partonen binnen het proton verstrooid
Interpretatie
•! Interne quarks
–! Verschillende ‘typen’ (flavors), aangeduidt met f
–! Quarks dragen een fractie zf
van de electrische lading.
•! zf = ±2/3 of zf=±1/3
–! Kinematica beschreven met
–! De parton dichtheids distributies qf(x)dx geven de
waarschijnlijkheid een parton f aan te treffen met een waarde
voor x tussen (x,x+dx)
–! De structuur functie F2 wordt de som van alle contributies van
quarks in het proton, met de fractie zf2:
M(!"
Parton model
/"
Het parton model kan worden
samengevat als:
•! Alle hadronen bestaan uit
partonen. De partonen zijn
quarks en gluonen.
•! De verstrooiing tussen een
elektron en een hadron is
eigenlijk een verstrooiing
tussen een elektron en een
parton.
•! Het parton is een puntdeeltje,
en heeft dus geen vormfactor
•! Wisselwerking tussen
onderlinge partonen kunnen
worden verwaarloosd tijdens
de botsing.
'>"
#++%"2$"01&$%)*L$4"G$&"5%+&+1"0;""
[+%$1&M"6$*+1&%)8$$%24"
G)%2"-$%;&%++0016"&3;;$1"$.$/&%+1"$1"
$$1"5)%&+14"F$")12$%$"M071"N&+$;*8+3B$%;O4"
/O"
`)"2$"H+&;016"8$%6%+$5$%$1"2$"A3)%/;"M0*8"
IM0$".)&$%J"
X-afhankelijkheid
"!
>)%&+1"9+2$."
"!
"!
"!
F$"A3)%/;"-$%)1&B++%2$.07/"
-++%"2$"A3)1&396$&)..$1"-)1"
8$&"13*.$+1"1+$9$1"B$"
N-).$1L$=A3)%/;O4"
F$"-0%&3$.$"A3)%/;"20$"L72$.07/"
/311$1"+1;&))1"30&"6.3+1$1"
2++%"2$";&$%/$"B0;;$.B$%/016"
1+$9$1"B$"NM$$=A3)%/;O4"
a=)b)1/$.07/8$02,"
"!
>%+&+1"$$1"*+95.$'";Q;&$$9"
-)1"-).$1L$"$1"M$$"A3)%/;"$1"
)1L=A3)%/;_"
Verstrooiingexperiment: HERA
•! Verschillende deeltjes zijn gebruikt om nucleonen te
‘bombarderen’.
–! Electronen, muonen, neutrino’s:
HERA (Hamburg): ‘s werelds eerste en enige
elektron-proton ‘versneller’ (1994-nu)
$=5"*+..0;0+1;"9$&"*9"$1$%60$"-)1"j!d"h$#"
%!&'()*"&"+'"$,--.$)$
>%+&+1;"IG=")&+9;J")%$")**$.$%)&$2"01")"[Z`DE"&+"cdd"^$#:""
;&%055$2"+("$.$*&%+1;:"017$*&$2"01&+"FSef")12")**$.$%)&$2"&+"g"h$#:""
&8$1"01&+">SiVD")**$.$%)&$2"35"&+"<d"h$#")12"Y1)..Q"01"GSVD""
35"&+"W!d"h$#4"S.$*&%+1;"(+..+B";090.)%"%+3&$"H3&"+1.Q"&+"!g4c"h$#"
ZEUS
S$1"-)1"2$"&B$$"$'5$%09$1&$1"H07"GSVD"
I2$")12$%$"0;"GRJ"
e
27.5 GeV
>%+&+1"
U!d"h$#"