Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking

Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als:
y ’ = Φ(x, y)
OF (vermits y ’ =
dy
dx
)
P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x, y) = R(x) . S(y) en Q(x, y) = T (x) . V (y) , dan
heet de differentiaalvergelijking een differentiaalvergelijking met gescheiden veranderlijken .
We kunnen de vergelijking dan herschrijven als volgt:
R(x) . S(y) dy + T (x) . V (y) dx = 0
T (x)
⇔ VS(y)
(y) dy + R(x) dx = 0
Merk op dat de veranderlijken ieder in een aparte term staan.
Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een diff.vgl. met gescheiden veranderlijken, kunnen we de
veranderlijken afzonderen in de verschillende leden van de vergelijking:
S(y)
V (y) dy
⇔ VS(y)
(y)
+
T (x)
R(x)
dx = 0
T (x)
dy = − R(x)
dx
NuRkunnen we beide
integreren:
R Tleden
(x)
⇔ VS(y)
dy
=
−
dx
(y)
R(x)
Wanneer we beide integralen hebben berekend, dan zullen we de oplossing y
• in impliciete vorm: F (y) = G(x) + k
• of eventueel in expliciete vorm kunnen schrijven: y = Φ(x, k)
waarbij k een willekeurige constante is.
Oefening:
y 2 dx − (1 − x)dy = 0
⇔ y 2 dx = (1 − x)dy
dx
dy
⇔
= 2
1−x
y
R dx
R dy
=
⇔
1−x
y2
y −1
+ k met k een willekeurige constante
⇔ − ln |1 − x| =
−1
−1
⇔ y = ln |1 − x| + k met k een willekeurige constante
1
⇔ y=
met k een willekeurige constante
ln |1 − x| + k
1
De standaardvorm voor we een eerste orde lineaire differentiaalvergelijking is:
P (x) y 0 + Q(x) y = R(x)
Merk op dat dit een algebraïsche veelterm van de eerste graad in de onbekenden y en y ’ is.
We onderscheiden nu twee gevallen:
• P (x) y ’ +Q(x) y = 0 , waarbij R(x) = 0 . Dit heet een homogene lineaire diff.vgl.
• P (x) y ’ +Q(x) y = R(x) , waarbij R(x) 6= 0 . Dit heet een niet-homogene lineaire diff.vgl.
Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een lineaire diff.vgl., lossen we de vergelijking op
afhankelijk van onderstaande gevallen:
• HOMOGENE lineaire diff.vgl.: P (x) y ’ +Q(x) y = 0
Dit is in feite een vergelijking met gescheiden veranderlijken:
P (x) y ’ +Q(x) y = 0
dy
⇔ P (x) dx
+ Q(x) y = 0
⇔ P (x) dy + Q(x) y dx = 0
⇔
⇔
1
y
1
y
dy +
Q(x)
P (x)
dy = −
dx = 0
Q(x)
P (x)
dx
Wanneer we nu beide leden integreren, dan bekomen we de oplossing. Deze oplossing kan steeds
geschreven worden onder de vorm y = k f (x) met k een willekeurige constante.
• NIET-HOMOGENE lineaire diff.vgl.: P (x) y ’ +Q(x) y = R(x) en R(x) 6= 0
Om een niet-homogene vergelijking op te lossen, lossen we eerst de geassocieerde homogene
vergelijking P (x) y ’ +Q(x) y = 0 op (methode zie hierboven) en daarna passen we de methode der
veranderlijke constante toe:
De oplossing van de homogene lineaire differentiaalvergelijking is y = k f (x) . De constante k
(afkomstig van de ’0’ uit de homogene vgl.) is echter geen constante meer wanneer we voor de
algemene lineaire diff. vgl. ook de term R(x) beschouwen. We krijgen dus als oplossing:
y = k(x) f (x) , waarbij k een functie van x wordt. Omdat k(x) ongekend is, substitueren we de
nieuwe uitdrukking voor y in de oorspronkelijke ( algemene) lineaire diff. vgl., maar berekenen eerst
de eerste afgeleide y ’ van y :
y ’ = k ’ (x) f (x) + k(x) f ’ (x)
Substitutie van y en y ’ in de niet-homogene differentiaalvergelijking geeft:
P (x) y ’ +Q(x) y = R(x)
⇔ P (x) [ k ’ (x) f (x) + k(x) f ’ (x) ] + Q(x) k(x) f (x) = R(x)
We zullen dan zien dat er twee termen tegenover elkaar wegvallen, zodat we opnieuw een diff.vgl. met
R(x)
gescheiden veranderlijken ( k(x) en x ): k ’ (x) = P (x)
f (x) bekomen die we oplossen. De verkregen
k(x) vullen we in in y = k(x) f (x) , opdat we uiteindelijk de oplossing y van de niet-homogene
vergelijking verkrijgen.
2
De standaardvorm voor we een eerste orde differentiaalvergelijking van Bernoulli is:
P (x) y 0 + Q(x) y + R(x) y n = 0 (n 6= 0 , n 6= 1)
Merk dus op dat een diff.vgl. van Bernoulli zeker een term met y ’ en een term met y n moet bevatten.
METHODE 1:
Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een differentiaalvergelijking van Bernoulli kunnen we de
vergelijking oplossen door middel van een substitutie.
We kunnen in feite volgende methode voor ogen houden:
1. We hebben onze vergelijking in de standaardvorm:
P (x) y ’ +Q(x) y + R(x) y n = 0 (n 6= 0 , n 6= 1)
2. We delen dan door y n :
1
P (x) y1n y ’ +Q(x) yn−1
+ R(x) = 0
3. Als substitutie nemen we z = y 1−n , maar berekenen ook eerst z 0 = (1 − n) y −n y ’ = (1 − n) y1n y ’.
De vergelijking wordt dan:
1
P (x) 1−n
z ’ +Q(x) z + R(x) = 0
4. Los nu deze lineaire differentiaalvergelijking in de onbekende z op.
5. Herwerk de oplossing z tot de oplossing y via de relatie z = y 1−n .
METHODE 2:
We zouden de differentiaalvergelijking ook op een andere manier kunnen oplossen, namelijk tewerk gaan
alsof het om een lineaire differentiaalvergelijking gaat. Voor de geassocieerde homogene diff. vgl. laten we
dan de term Q(x) y n vallen. Nadien moet je ook weer de methode der veranderlijke constante toepassen,
waar nu een kleine verandering is doorgevoerd maar voor de rest analoog is aan de vroegere toepassing van
deze methode voor lineaire differentiaalvergelijkingen.
Oefeningen:
1. x y ’ −x2 y 2 = −y
2. x y ’ = y + x3 y ln x
3. y ’ +y + y 2 (sin x − cos x) = 0
4. y y ’ −x y 2 + x = 0
5. y ’ +y = y 4 e2x
2
6. −3 y ’ −y x (2 + ex y 3 ) = 0
7.
dy
dx
+
1
3
y=
1
3
(1 − 2x) y 4
3
Een tweede orde homogene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten heeft de volgende
vorm:
a y ” +b y ’ +c y = 0 met a , b , c ∈ < .
We gaan dus de volgende aspecten na:
• tweede orde? ( y ”)
• homogeen? (tweede lid is 0 )
• lineair? (term c y van vorm v y + w met v , w ∈ < )
• constante coëfficiënten? ( a, b, c ∈ < )
Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een tweede orde homogene lineaire diff.vgl. met constante
coëfficiënten, kunnen we de volgende methode hanteren:
Voor een tweede orde homogene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten ( a y ” +b y ’
+c y = 0 ) heeft de oplossing een vorm y = er x . Om r te bekomen moeten we deze oplossing invullen in
de vergelijking, maar daarvoor berekenen we eerst y ’ en y ” :
y ’ = r er x
en
y ” = (r er x ) ’ = r r er x = r2 er x
We substitueren deze uitdrukkingen dan in de vergelijking:
a y00 +b y0 +c y=0
⇔ a r2 er x + b r er x + c er x = 0
⇔ a r2 + b r + c = 0 (delen door er x )
We krijgen dan de karakteristieke vergelijking (2de graadsvergelijking) a r2 + b r + c = 0 die we oplossing
naar r :
De discriminant is: D = b2 − 4 . a . c
√
√
−b + D
−b − D
en r2 =
2a
2a
Als algemene oplossing krijgen we dan: y = α er1 x + β er2 x
• Voor D > 0 zijn de wortels: r1 =
−b
2a
Als algemene oplossing krijgen we dan: y = α er1 x + β x er1 x
p
p
−b + |D| i
−b − |D| i
• Voor D < 0 zijn de wortels: r1 =
= µ + γ i en r2 =
=µ−γi
2a
2a
Als algemene oplossing krijgen we dan: y = eµ x (α cos(γ x) + β sin(γ x))
Oefeningen
• Voor D = 0 zijn de wortels: r1 = r2 =
• y ” +6 y ’ +10 y = 0
• 5 y ” +4 y ’ − y = 0
• y ” +3 y ’ +4 x y = 0
• y ” −4 y = 0
• y ” +8 y ’ +16 y = 0
4
Een tweede orde algemene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten heeft de volgende
vorm:
a y ” +b y ’ +c y = R(x) met a , b , c ∈ < en R(x) 6= 0 .
We gaan dus de volgende aspecten na:
• tweede orde? ( y ”)
• niet-homogeen? ( R(x) 6= 0 )
• lineair? (term c y van vorm v y + w met v , w ∈ < )
• constante coëfficiënten? ( a, b, c ∈ < )
Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een tweede orde algemene lineaire diff.vgl. met constante
coëfficiënten, kunnen we de volgende methode hanteren:
• Oplossen van de geassocieerde homogene diff.vgl.
• Toepassen van de ’Methode der veranderlijke constante’
UITWERKING
1) Los de geassocieerde homogene differentiaalvergelijking op:
Voor een tweede orde homogene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten ( a y ” +b y ’
+c y = 0 ) heeft de oplossing een vorm y = er x . Om r te bekomen moeten we deze oplossing invullen in
de vergelijking, maar daarvoor berekenen we eerst y ’ en y ” :
y ’ = r er x
en
y ” = (r er x ) ’ = r r er x = r2 er x
We substitueren deze uitdrukkingen dan in de vergelijking:
a y00 +b y0 +c y=0
⇔ a r2 er x + b r er x + c er x = 0
⇔ a r2 + b r + c = 0 (delen door er x )
We krijgen dan de karakteristieke vergelijking (2de graadsvergelijking) a r2 + b r + c = 0 die we oplossing
naar r :
De discriminant is: D = b2 − 4 . a . c
√
√
−b + D
−b − D
• Voor D > 0 zijn de wortels: r1 =
en r2 =
2a
2a
Als algemene oplossing krijgen we dan: y = α er1 x + β er2 x
−b
2a
Als algemene oplossing krijgen we dan: y = α er1 x + β x er1 x
• Voor D = 0 zijn de wortels: r1 = r2 =
p
p
−b + |D| i
−b − |D| i
= µ + γ i en r2 =
=µ−γi
2a
2a
Als algemene oplossing krijgen we dan: y = eµ x (α cos(γ x) + β sin(γ x))
• Voor D < 0 zijn de wortels: r1 =
5
2) Pas de ’Methode der veranderlijke constante’ toe:
De constanten van de algemene oplossingen van de homogene vergelijking worden vervangen door
veranderlijken. De oplossingen worden dan respectievelijk ( naargelang de waarde van D ):
y = α(x) er1 x + β(x) er2 x
y = α(x) er1 x + β(x) x er1 x
y = eµ x (α(x) cos(γ x) + β(x) sin(γ x))
Aan de nieuwe veranderlijken α en β wordt een bijkomende voorwaarde opgelegd: hun eerste afgeleiden
mogen niet in y ’ voorkomen, m.a.w. men stelt respectievelijk:
α ’ (x) er1 x + β ’ (x) er2 x = 0
α ’ (x) er1 x + β ’ (x) x er1 x = 0
α ’ (x) cos(γ x) + β ’ (x) sin(γ x) = 0
Hiermee rekening gehouden levert de substitutie van y , y ’ en y ” in de oorspronkelijke
differentiaalvergelijking een lineaire vergelijking in α ’ en β ’ op, samen met de bijkomende voorwaarde dus
een stelsel van 2 lineaire vergelijkingen in de onbekenden α ’ en β ’. De oplossingen van dit stelsel, α ’ en β
’, moeten dan nog slechts geïntegreerd worden om de te zoeken α(x) en β(x) zelf te vinden.
Opmerking: soms kan je ook y ” op voorhand vereenvoudigen met de bijkomende voorwaarde.
Oefeningen:
1. y ” −3 y ’ +2 y = 6 e3 x
2. y ” −3 y ’ +2 x y = e2 x
3. y ” −6 y ’ +10 y = 1
4. y ” +y = sec x
5. y ” +5 y ’ +4 y = 3 x2 − 2 x
6