Afgeleides in R R n
advertisement
Analyse: van R naar Rn hoorcollege Differentiëren in Rn (15) Gerrit Oomens [email protected] Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi een functie R → R is. Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken f 0 (a) Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken 0 f1 (a) .. 0 f (a) = . . f`0 (a) Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken 0 f1 (a) .. 0 f (a) = . . f`0 (a) Voor een functie Rk → R is het lastiger. Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken 0 f1 (a) .. 0 f (a) = . . f`0 (a) Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ). Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken 0 f1 (a) .. 0 f (a) = . . f`0 (a) Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ). We kunnen nu bijv. x2 , . . . , xk vast nemen Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken 0 f1 (a) .. 0 f (a) = . . f`0 (a) Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ). We kunnen nu bijv. x2 , . . . , xk vast nemen en kijken naar g (t) = f (t, x2 , . . . , xk ). Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken 0 f1 (a) .. 0 f (a) = . . f`0 (a) Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ). We kunnen nu bijv. x2 , . . . , xk vast nemen en kijken naar g (t) = f (t, x2 , . . . , xk ). Dan is g : R → R Differentiëren in Rn Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f (a + h) − f (a) , h→0 h f 0 (a) := lim indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` . Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken 0 f1 (a) .. 0 f (a) = . . f`0 (a) Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ). We kunnen nu bijv. x2 , . . . , xk vast nemen en kijken naar g (t) = f (t, x2 , . . . , xk ). Dan is g : R → R en kunnen we naar g 0 (x1 ) kijken. Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook D2 f (a1 , a2 ) Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 ) . h→0 h D2 f (a1 , a2 ) := lim Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 ) . h→0 h D2 f (a1 , a2 ) := lim In vectornotatie Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) . h Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 ) . h→0 h D2 f (a1 , a2 ) := lim In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector: Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) . h Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 ) . h→0 h D2 f (a1 , a2 ) := lim In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector: Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) . h Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 ) . h→0 h D2 f (a1 , a2 ) := lim In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector: Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) . h Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2 Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 ) . h→0 h D2 f (a1 , a2 ) := lim In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector: Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) . h Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2 , dan is D1 f (~a) Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 ) . h→0 h D2 f (a1 , a2 ) := lim In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector: Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) . h Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2 , dan is D1 f (~a) = 1 + a2 Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 ) . h→0 h D2 f (a1 , a2 ) := lim In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector: Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) . h Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2 , dan is D1 f (~a) = 1 + a2 , D2 f (~a) Partiële afgeleides Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan definiëren we f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 ) , h→0 h D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 ) . h→0 h D2 f (a1 , a2 ) := lim In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector: Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) . h Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2 , dan is D1 f (~a) = 1 + a2 , D2 f (~a) = 2a2 + a1 . Richtingsafgeleide Definitie (Syllabus 8.1) Voor f : Rk → R definiëren we Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) , h de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat. Richtingsafgeleide Definitie (Syllabus 8.1) Voor f : Rk → R definiëren we Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) , h de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat. We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen Richtingsafgeleide Definitie (Syllabus 8.1) Voor f : Rk → R definiëren we Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) , h de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat. We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen, maar we kunnen ook algemener voor ~u ∈ Rk definiëren D~u f (~a) Richtingsafgeleide Definitie (Syllabus 8.1) Voor f : Rk → R definiëren we Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) , h de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat. We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen, maar we kunnen ook algemener voor ~u ∈ Rk definiëren f (~a + h~u) − f (~a) , h→0 h D~u f (~a) = lim Richtingsafgeleide Definitie (Syllabus 8.1) Voor f : Rk → R definiëren we Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) , h de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat. We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen, maar we kunnen ook algemener voor ~u ∈ Rk definiëren f (~a + h~u) − f (~a) , h→0 h D~u f (~a) = lim de richtingsafgeleide in de richting ~u. Richtingsafgeleide Definitie (Syllabus 8.1) Voor f : Rk → R definiëren we Di f (~a) = lim h→0 f (~a + h~ei ) − f (~a) , h de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat. We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen, maar we kunnen ook algemener voor ~u ∈ Rk definiëren f (~a + h~u) − f (~a) , h→0 h D~u f (~a) = lim de richtingsafgeleide in de richting ~u. Merk op dat Di f = D~ei f . Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we voor ~u = (x, y ) dat D~u f (~0) Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we voor ~u = (x, y ) dat f (hx, hy ) D~u f (~0) = lim h→0 h Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we voor ~u = (x, y ) dat f (hx, hy ) xy 2 D~u f (~0) = lim = lim 2 h→0 h→0 x + h2 y 4 h Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we voor ~u = (x, y ) dat ( f (hx, hy ) xy 2 ~ D~u f (0) = lim = lim 2 = h→0 h→0 x + h2 y 4 h Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we voor ~u = (x, y ) dat ( 0 als x = 0 f (hx, hy ) xy 2 ~ D~u f (0) = lim = lim 2 = 2 4 h→0 h→0 x + h y h Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we voor ~u = (x, y ) dat ( 0 als x = 0 f (hx, hy ) xy 2 ~ D~u f (0) = lim = lim 2 = 2 4 2 h→0 h→0 x + h y h y /x anders. Voorbeeld Definitie (Syllabus 8.4) Voor f : Rk → R definiëren we D~u f (~a) = lim h→0 f (~a + h~u) − f (~a) , h de richtingsafgeleide in de richting ~u. Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en f (x, y ) = xy 2 , x2 + y4 voor (x, y ) 6= (0, 0). Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we voor ~u = (x, y ) dat ( 0 als x = 0 f (hx, hy ) xy 2 ~ D~u f (0) = lim = lim 2 = 2 4 2 h→0 h→0 x + h y h y /x anders. Dus alle richtingsafgeleiden bestaan. Terug naar R Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f 0 (a) := lim h→0 f (a + h) − f (a) , h Terug naar R Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f 0 (a) := lim h→0 f (a + h) − f (a) , h Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als f (a + h) − f (a) − f 0 (a) h→0 h 0 = lim Terug naar R Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f 0 (a) := lim h→0 f (a + h) − f (a) , h Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h − f 0 (a) = lim . h→0 h→0 h h 0 = lim Terug naar R Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f 0 (a) := lim h→0 f (a + h) − f (a) , h Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h − f 0 (a) = lim . h→0 h→0 h h 0 = lim Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h) Terug naar R Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f 0 (a) := lim h→0 f (a + h) − f (a) , h Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h − f 0 (a) = lim . h→0 h→0 h h 0 = lim Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h) voldoet aan limh→0 r (h) h = 0. Terug naar R Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f 0 (a) := lim h→0 f (a + h) − f (a) , h Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h − f 0 (a) = lim . h→0 h→0 h h 0 = lim Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h) voldoet aan limh→0 r (h) h = 0. Een functie is dus differentieerbaar in a met afgeleide f (a) als we kunnen schrijven f (a + h) − f (a) = f 0 (a)h + r (h) Terug naar R Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f 0 (a) := lim h→0 f (a + h) − f (a) , h Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h − f 0 (a) = lim . h→0 h→0 h h 0 = lim Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h) voldoet aan limh→0 r (h) h = 0. Een functie is dus differentieerbaar in a met afgeleide f (a) als we kunnen schrijven f (a + h) − f (a) = f 0 (a)h + r (h), met r (h) = 0. h→0 h lim Terug naar R Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als f 0 (a) := lim h→0 f (a + h) − f (a) , h Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h − f 0 (a) = lim . h→0 h→0 h h 0 = lim Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h) voldoet aan limh→0 r (h) h = 0. Een functie is dus differentieerbaar in a met afgeleide f (a) als we kunnen schrijven f (a + h) − f (a) = f 0 (a)h + r (h), met Of in o-notatie: f (a + h) − f (a) = f 0 (a)h + o(h) voor h → 0. r (h) = 0. h→0 h lim Differentiëren: van R naar Rn Definitie Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat f (a + h) − f (a) = Lh + o(h) voor h → 0. We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a. Differentiëren: van R naar Rn Definitie Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat f (a + h) − f (a) = Lh + o(h) voor h → 0. We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a. Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . Differentiëren: van R naar Rn Definitie Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat f (a + h) − f (a) = Lh + o(h) voor h → 0. We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a. Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a als er een L bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk), voor ~h → ~0. Differentiëren: van R naar Rn Definitie Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat f (a + h) − f (a) = Lh + o(h) voor h → 0. We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a. Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a als er een L bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk), voor ~h → ~0. Hier is L nu een lineaire afbeelding Rk → R` Differentiëren: van R naar Rn Definitie Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat f (a + h) − f (a) = Lh + o(h) voor h → 0. We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a. Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a als er een L bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk), voor ~h → ~0. Hier is L nu een lineaire afbeelding Rk → R` , die correspondeert met een l × k matrix. Differentiëren: van R naar Rn Definitie Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat f (a + h) − f (a) = Lh + o(h) voor h → 0. We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a. Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a als er een L bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk), voor ~h → ~0. Hier is L nu een lineaire afbeelding Rk → R` , die correspondeert met een l × k matrix. We schrijven dan f 0 (~a) of Df (~a) voor L. Differentiëren: van R naar Rn Definitie Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat f (a + h) − f (a) = Lh + o(h) voor h → 0. We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a. Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a als er een L bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk), voor ~h → ~0. Hier is L nu een lineaire afbeelding Rk → R` , die correspondeert met een l × k matrix. We schrijven dan f 0 (~a) of Df (~a) voor L. Bovenstaande betekent dus dat f (~a + ~h) − f (~a) − L~h = 0. ~h→0 k~hk lim Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 = 2a1 h1 + h12 + 4a2 h2 + 2h22 Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 = 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22 Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 = 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22 h = [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 , h2 Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 = 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22 h = [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 , h2 en we hebben h12 +2h22 k~hk Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 = 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22 h = [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 , h2 en we hebben h12 +2h22 k~hk ≤ k~hk2 +2k~hk2 k~hk Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 = 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22 h = [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 , h2 en we hebben h12 +2h22 k~hk ≤ k~hk2 +2k~hk2 k~hk = 3k~hk Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 = 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22 h = [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 , h2 en we hebben h12 +2h22 k~hk ≤ k~hk2 +2k~hk2 k~hk = 3k~hk → 0 Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 = 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22 h = [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 , h2 en we hebben afgeleide f 0 (~a) h12 +2h22 k~hk ≤ k~hk2 +2k~hk2 k~hk = 3k~hk → 0, dus f is differentieerbaar met Differentiëren in Rn Definitie (Syllabus 8.11) Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22 = 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22 h = [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 , h2 en we hebben h12 +2h22 k~hk ≤ k~hk2 +2k~hk2 k~hk afgeleide f 0 (~a) = [2a1 , 4a2 ]. = 3k~hk → 0, dus f is differentieerbaar met Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn: f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk). Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn: f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk). Dan is (L − K )~h = o(k~hk). Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn: f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk). Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus (L − K )~h ~h→0 k~hk 0 = lim Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn: f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk). Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus (L − K )~h ~h→0 k~hk 0 = lim ⇒ 0 = lim t↓0 (L − K )t~x kt~xk Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn: f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk). Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus (L − K )~h ~h→0 k~hk 0 = lim voor ~x 6= ~0 en t > 0. ⇒ 0 = lim t↓0 (L − K )t~x kt~xk Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn: f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk). Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus (L − K )~h ~h→0 k~hk 0 = lim voor ~x 6= ~0 en t > 0. ⇒ 0 = lim t↓0 (L − K )t~x (L − K )~x = lim t↓0 kt~xk k~xk Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn: f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk). Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus (L − K )~h ~h→0 k~hk 0 = lim voor ~x 6= ~0 en t > 0. ⇒ 0 = lim t↓0 (L − K )t~x (L − K )~x (L − K )~x = lim = t↓0 kt~xk k~xk k~xk Uniciteit van de afgeleide Definitie Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0. We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a. Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn: f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk). Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus (L − K )~h ~h→0 k~hk 0 = lim ⇒ 0 = lim t↓0 (L − K )t~x (L − K )~x (L − K )~x = lim = t↓0 kt~xk k~xk k~xk voor ~x 6= ~0 en t > 0. Dus is L~x = K~x voor alle ~x.
