Afgeleides in R R n

advertisement
Analyse: van R naar Rn hoorcollege
Differentiëren in Rn (15)
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat.
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )>
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi
een functie R → R is.
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi
een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken
f 0 (a)
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi
een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken
 0 
f1 (a)
 .. 
0
f (a) =  .  .
f`0 (a)
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi
een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken
 0 
f1 (a)
 .. 
0
f (a) =  .  .
f`0 (a)
Voor een functie Rk → R is het lastiger.
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi
een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken
 0 
f1 (a)
 .. 
0
f (a) =  .  .
f`0 (a)
Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ).
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi
een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken
 0 
f1 (a)
 .. 
0
f (a) =  .  .
f`0 (a)
Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ). We
kunnen nu bijv. x2 , . . . , xk vast nemen
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi
een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken
 0 
f1 (a)
 .. 
0
f (a) =  .  .
f`0 (a)
Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ). We
kunnen nu bijv. x2 , . . . , xk vast nemen en kijken naar
g (t) = f (t, x2 , . . . , xk ).
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi
een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken
 0 
f1 (a)
 .. 
0
f (a) =  .  .
f`0 (a)
Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ). We
kunnen nu bijv. x2 , . . . , xk vast nemen en kijken naar
g (t) = f (t, x2 , . . . , xk ).
Dan is g : R → R
Differentiëren in Rn
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
f 0 (a) := lim
indien deze limiet bestaat. We willen dit generaliseren naar functies van Rk naar R` .
Voor een functie R → R` is er geen probleem: f = (f1 , . . . , f` )> , waar iedere fi
een functie R → R is. Dus we kunnen bekijken
 0 
f1 (a)
 .. 
0
f (a) =  .  .
f`0 (a)
Voor een functie Rk → R is het lastiger. We hebben nu f (~x) = f (x1 , . . . , xk ). We
kunnen nu bijv. x2 , . . . , xk vast nemen en kijken naar
g (t) = f (t, x2 , . . . , xk ).
Dan is g : R → R en kunnen we naar g 0 (x1 ) kijken.
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R.
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ).
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 )
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 )
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat.
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat.
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
D2 f (a1 , a2 )
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 )
.
h→0
h
D2 f (a1 , a2 ) := lim
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 )
.
h→0
h
D2 f (a1 , a2 ) := lim
In vectornotatie
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
.
h
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 )
.
h→0
h
D2 f (a1 , a2 ) := lim
In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector:
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
.
h
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 )
.
h→0
h
D2 f (a1 , a2 ) := lim
In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector:
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
.
h
Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 )
.
h→0
h
D2 f (a1 , a2 ) := lim
In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector:
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
.
h
Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken
naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 )
.
h→0
h
D2 f (a1 , a2 ) := lim
In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector:
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
.
h
Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken
naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2 , dan is
D1 f (~a)
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 )
.
h→0
h
D2 f (a1 , a2 ) := lim
In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector:
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
.
h
Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken
naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2 , dan is
D1 f (~a) = 1 + a2
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 )
.
h→0
h
D2 f (a1 , a2 ) := lim
In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector:
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
.
h
Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken
naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2 , dan is
D1 f (~a) = 1 + a2 ,
D2 f (~a)
Partiële afgeleides
Bekijk f : R2 → R. We nemen x2 = a2 vast en bekijken g (t) = f (t, a2 ). Dan
definiëren we
f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 )
,
h→0
h
D1 f (a1 , a2 ) := g 0 (a1 ) = lim
de partiële afgeleide van f naar de eerste coördinaat. Zo ook
f (a1 , a2 + h) − f (a1 , a2 )
.
h→0
h
D2 f (a1 , a2 ) := lim
In vectornotatie, met ~ei de i-de standaardbasisvector:
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
.
h
Partiële afgeleides van nette functies berekenen is eenvoudig: als we bijvoorbeeld kijken
naar f (x1 , x2 ) = x1 + x22 + x1 x2 , dan is
D1 f (~a) = 1 + a2 ,
D2 f (~a) = 2a2 + a1 .
Richtingsafgeleide
Definitie (Syllabus 8.1)
Voor f : Rk → R definiëren we
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
,
h
de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat.
Richtingsafgeleide
Definitie (Syllabus 8.1)
Voor f : Rk → R definiëren we
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
,
h
de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat.
We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen
Richtingsafgeleide
Definitie (Syllabus 8.1)
Voor f : Rk → R definiëren we
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
,
h
de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat.
We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen, maar we kunnen ook
algemener voor ~u ∈ Rk definiëren
D~u f (~a)
Richtingsafgeleide
Definitie (Syllabus 8.1)
Voor f : Rk → R definiëren we
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
,
h
de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat.
We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen, maar we kunnen ook
algemener voor ~u ∈ Rk definiëren
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h→0
h
D~u f (~a) = lim
Richtingsafgeleide
Definitie (Syllabus 8.1)
Voor f : Rk → R definiëren we
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
,
h
de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat.
We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen, maar we kunnen ook
algemener voor ~u ∈ Rk definiëren
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h→0
h
D~u f (~a) = lim
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Richtingsafgeleide
Definitie (Syllabus 8.1)
Voor f : Rk → R definiëren we
Di f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~ei ) − f (~a)
,
h
de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat.
We bekijken hier de afgeleide van f in k specifieke richtingen, maar we kunnen ook
algemener voor ~u ∈ Rk definiëren
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h→0
h
D~u f (~a) = lim
de richtingsafgeleide in de richting ~u. Merk op dat Di f = D~ei f .
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0.
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0)
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0).
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we
voor ~u = (x, y ) dat
D~u f (~0)
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we
voor ~u = (x, y ) dat
f (hx, hy )
D~u f (~0) = lim
h→0
h
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we
voor ~u = (x, y ) dat
f (hx, hy )
xy 2
D~u f (~0) = lim
= lim 2
h→0
h→0 x + h2 y 4
h
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we
voor ~u = (x, y ) dat
(
f (hx, hy )
xy 2
~
D~u f (0) = lim
= lim 2
=
h→0
h→0 x + h2 y 4
h
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we
voor ~u = (x, y ) dat
(
0
als x = 0
f (hx, hy )
xy 2
~
D~u f (0) = lim
= lim 2
=
2
4
h→0
h→0 x + h y
h
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we
voor ~u = (x, y ) dat
(
0
als x = 0
f (hx, hy )
xy 2
~
D~u f (0) = lim
= lim 2
=
2
4
2
h→0
h→0 x + h y
h
y /x anders.
Voorbeeld
Definitie (Syllabus 8.4)
Voor f : Rk → R definiëren we
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
,
h
de richtingsafgeleide in de richting ~u.
Bekijk weer f met f (0, 0) = 0 en
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y4
voor (x, y ) 6= (0, 0).
Gezien: f is niet continu in 0. Merk op D1 f (0, 0) = 0 = D2 f (0, 0). Verder hebben we
voor ~u = (x, y ) dat
(
0
als x = 0
f (hx, hy )
xy 2
~
D~u f (0) = lim
= lim 2
=
2
4
2
h→0
h→0 x + h y
h
y /x anders.
Dus alle richtingsafgeleiden bestaan.
Terug naar R
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f 0 (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a)
,
h
Terug naar R
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f 0 (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a)
,
h
Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als
f (a + h) − f (a)
− f 0 (a)
h→0
h
0 = lim
Terug naar R
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f 0 (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a)
,
h
Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h
− f 0 (a) = lim
.
h→0
h→0
h
h
0 = lim
Terug naar R
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f 0 (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a)
,
h
Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h
− f 0 (a) = lim
.
h→0
h→0
h
h
0 = lim
Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h)
Terug naar R
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f 0 (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a)
,
h
Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h
− f 0 (a) = lim
.
h→0
h→0
h
h
0 = lim
Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h) voldoet aan limh→0
r (h)
h
= 0.
Terug naar R
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f 0 (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a)
,
h
Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h
− f 0 (a) = lim
.
h→0
h→0
h
h
0 = lim
Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h) voldoet aan limh→0 r (h)
h = 0. Een functie is
dus differentieerbaar in a met afgeleide f (a) als we kunnen schrijven
f (a + h) − f (a) = f 0 (a)h + r (h)
Terug naar R
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f 0 (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a)
,
h
Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h
− f 0 (a) = lim
.
h→0
h→0
h
h
0 = lim
Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h) voldoet aan limh→0 r (h)
h = 0. Een functie is
dus differentieerbaar in a met afgeleide f (a) als we kunnen schrijven
f (a + h) − f (a) = f 0 (a)h + r (h),
met
r (h)
= 0.
h→0 h
lim
Terug naar R
Voor een functie f : R → R is de afgeleide in het punt a gedefinieerd als
f 0 (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a)
,
h
Dus f differentieerbaar is in a met afgeleide f 0 (a) dan en slechts dan als
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h
− f 0 (a) = lim
.
h→0
h→0
h
h
0 = lim
Oftewel: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =: r (h) voldoet aan limh→0 r (h)
h = 0. Een functie is
dus differentieerbaar in a met afgeleide f (a) als we kunnen schrijven
f (a + h) − f (a) = f 0 (a)h + r (h),
met
Of in o-notatie:
f (a + h) − f (a) = f 0 (a)h + o(h)
voor h → 0.
r (h)
= 0.
h→0 h
lim
Differentiëren: van R naar Rn
Definitie
Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat
f (a + h) − f (a) = Lh + o(h)
voor h → 0.
We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a.
Differentiëren: van R naar Rn
Definitie
Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat
f (a + h) − f (a) = Lh + o(h)
voor h → 0.
We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a.
Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk .
Differentiëren: van R naar Rn
Definitie
Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat
f (a + h) − f (a) = Lh + o(h)
voor h → 0.
We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a.
Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a
als er een L bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk),
voor ~h → ~0.
Differentiëren: van R naar Rn
Definitie
Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat
f (a + h) − f (a) = Lh + o(h)
voor h → 0.
We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a.
Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a
als er een L bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk),
voor ~h → ~0.
Hier is L nu een lineaire afbeelding Rk → R`
Differentiëren: van R naar Rn
Definitie
Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat
f (a + h) − f (a) = Lh + o(h)
voor h → 0.
We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a.
Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a
als er een L bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk),
voor ~h → ~0.
Hier is L nu een lineaire afbeelding Rk → R` , die correspondeert met een l × k matrix.
Differentiëren: van R naar Rn
Definitie
Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat
f (a + h) − f (a) = Lh + o(h)
voor h → 0.
We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a.
Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a
als er een L bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk),
voor ~h → ~0.
Hier is L nu een lineaire afbeelding Rk → R` , die correspondeert met een l × k matrix.
We schrijven dan f 0 (~a) of Df (~a) voor L.
Differentiëren: van R naar Rn
Definitie
Een functie f : R → R is differentieerbaar in a ∈ R als er een getal L ∈ R bestaat zodat
f (a + h) − f (a) = Lh + o(h)
voor h → 0.
We schrijven dan f 0 (a) voor L, de afgeleide in a.
Bekijk nu f : Rk → R` en ~a ∈ Rk . We willen nu zeggen dat f differentieerbaar is in ~a
als er een L bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk),
voor ~h → ~0.
Hier is L nu een lineaire afbeelding Rk → R` , die correspondeert met een l × k matrix.
We schrijven dan f 0 (~a) of Df (~a) voor L. Bovenstaande betekent dus dat
f (~a + ~h) − f (~a) − L~h
= 0.
~h→0
k~hk
lim
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 .
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a)
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
= 2a1 h1 + h12 + 4a2 h2 + 2h22
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
= 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
= 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22
h
= [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 ,
h2
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
= 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22
h
= [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 ,
h2
en we hebben
h12 +2h22
k~hk
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
= 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22
h
= [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 ,
h2
en we hebben
h12 +2h22
k~hk
≤
k~hk2 +2k~hk2
k~hk
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
= 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22
h
= [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 ,
h2
en we hebben
h12 +2h22
k~hk
≤
k~hk2 +2k~hk2
k~hk
= 3k~hk
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
= 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22
h
= [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 ,
h2
en we hebben
h12 +2h22
k~hk
≤
k~hk2 +2k~hk2
k~hk
= 3k~hk → 0
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
= 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22
h
= [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 ,
h2
en we hebben
afgeleide f 0 (~a)
h12 +2h22
k~hk
≤
k~hk2 +2k~hk2
k~hk
= 3k~hk → 0, dus f is differentieerbaar met
Differentiëren in Rn
Definitie (Syllabus 8.11)
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Voorbeeld: k = 2, ` = 1, f (~x) = x12 + 2x22 . Er geldt
f (~a + ~h) − f (~a) = (a1 + h1 )2 + 2(a2 + h2 )2 − a12 − 2a22
= 2a1 h1 + 4a2 h2 + h12 + 2h22
h
= [2a1 4a2 ] 1 + h12 + 2h22 ,
h2
en we hebben
h12 +2h22
k~hk
≤
k~hk2 +2k~hk2
k~hk
afgeleide f 0 (~a) = [2a1 , 4a2 ].
= 3k~hk → 0, dus f is differentieerbaar met
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek?
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn:
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk).
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn:
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk).
Dan is (L − K )~h = o(k~hk).
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn:
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk).
Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus
(L − K )~h
~h→0
k~hk
0 = lim
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn:
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk).
Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus
(L − K )~h
~h→0
k~hk
0 = lim
⇒
0 = lim
t↓0
(L − K )t~x
kt~xk
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn:
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk).
Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus
(L − K )~h
~h→0
k~hk
0 = lim
voor ~x 6= ~0 en t > 0.
⇒
0 = lim
t↓0
(L − K )t~x
kt~xk
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn:
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk).
Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus
(L − K )~h
~h→0
k~hk
0 = lim
voor ~x 6= ~0 en t > 0.
⇒
0 = lim
t↓0
(L − K )t~x
(L − K )~x
= lim
t↓0
kt~xk
k~xk
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn:
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk).
Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus
(L − K )~h
~h→0
k~hk
0 = lim
voor ~x 6= ~0 en t > 0.
⇒
0 = lim
t↓0
(L − K )t~x
(L − K )~x
(L − K )~x
= lim
=
t↓0
kt~xk
k~xk
k~xk
Uniciteit van de afgeleide
Definitie
Een functie f : Rk → R` is differentieerbaar in ~a ∈ Rk als er een lineaire afbeelding
L ∈ Lin(Rk , R` ) bestaat zodat
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk)
voor ~h → 0.
We schrijven dan f 0 (~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.
Is deze L uniek? Stel dat L en K beiden afgeleides van f zijn:
f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) = K ~h + o(k~hk).
Dan is (L − K )~h = o(k~hk). We hebben dus
(L − K )~h
~h→0
k~hk
0 = lim
⇒
0 = lim
t↓0
(L − K )t~x
(L − K )~x
(L − K )~x
= lim
=
t↓0
kt~xk
k~xk
k~xk
voor ~x 6= ~0 en t > 0. Dus is L~x = K~x voor alle ~x.
Download