Complexe Stromen

Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
1
Complexe Stromen
Complexe getallen
en
elektrische netwerken
VWO 6: Wis-D en NLT
Complexe stromen
Nationale Wiskunde Dagen XV, 6 februari 2009
Aad Goddijn (Fi, Junior College Utrecht)
[Joost van Hoof (Julius instituut, UU)]
NWD 2009 – Aad Goddijn
2
1956: Herman luistert naar het weerbericht
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
3
Kristalonvanger
demodulatie
Afstemkring
Complexe stromen
•
•
Wikipedia
http://www.qsl.net/pd2acw/nummer012002/kristalontvanger.html
NWD 2009 – Aad Goddijn
4
Amplitudo (de-)Modulatie
Complexe stromen
Na gelijkrichting door de diode heeft
het signaal wél een trage component
NWD 2009 – Aad Goddijn
5
Diodes, bout, afstemcondensator en
harskernsoldeer
• De Muiderkring
• Het Radio Bulletin
• AMROH
Complexe stromen
•
http://www.techna.nl/Techniek/mobiele%20telefoon/kristalontvanger.pdf
NWD 2009 – Aad Goddijn
6
Complexe stromen
Alle
energie
kwam
uit de
antenne,
die aan
mijn
vlieger
hing!
NWD 2009 – Aad Goddijn
7
50 jaar later: nieuwe CD-DVD-speler
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
8
Weerstand R, Condensator C , Spoel L
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
R
C
L
9
0: Feiten Complexe Stromen
• Samenontwikkeling en uitvoering van
module natuur+wiskunde
• Joost van Hoof (Julius Instituut, UU)
• Aad Goddijn (Fi, JCU)
• JCU:
• pittig exact gemotiveerde leerlingen omgeving Utrecht
Complexe stromen
•
•
•
•
•
NLT en Wis-D
8 keer 2  75 minuten
2 keer op JCU gedaan (19 ll.)
experimenten elders aan de gang
certificatie NLT beoogd zomer 2009
NWD 2009 – Aad Goddijn
10
Motivaties keuze voor deze module
• T.
Ik heb een film gezien over complexe getallen en ik wil wel
eens zien hoe je die kunt gebruiken.
• J.
Ik hoop dat ik, door deze module te kiezen, de vorige
hoofdstukken van natuurkunde wat beter ga begrijpen.
• S. 'Complexe stromen' vind ik mysterieus klinken. Vooral de
complexe getallen lijken mij erg interessant. Ik ben erg benieuwd
hoe zoiets vreemds als het getal i kan helpen bij het beschrijven van
een realistisch natuurkundige situatie.
• A. Ik ben al lange tijd anti-fan van aardrijkskunde. En ook al zit er
ontzettend veel beta bij, het blijft aardrijkskunde voor mij. Wiskunde
en natuurkunde zijn gewoon ontzettend tof!
Complexe stromen
• T.
Ik heb altijd al willen weten wat nou niet reele getallen zijn. Het
lijkt me ook leuk weer les te krijgen van A.
NWD 2009 – Aad Goddijn
11
Verschillen in aanpak mogelijk
wiskundig
natuurkundig
gescheiden
Complexe stromen
Complexe Stromen JCU
NWD 2009 – Aad Goddijn
12
Wiskundige opzet
• Vaak:
– Sterk algebraïsche aanzet
– Start met oploswens bij de vergelijking x2 = -1
– Vliegende start met i.
• “Een complex getal is een uitdrukking van de vorm
a + bi, met a en b reëel i2 = -1.“
– Start met Cartesische representatie
• Soms:
Complexe stromen
– Meer meetkundig vanuit draaien en gelijkvormigheid.
(Argand)
– Start met polaire representatie
NWD 2009 – Aad Goddijn
13
Complexe Stromen JCU; Wi+Na
• Wis en Na-deel samen/afwisselend opgebouwd
• Argand-aanpak, uitgelokt door gebruik in
natuurkunde
• Notatie: overlap en verschil
–
–
–
–
Schakelingen: R, C, L, U, I , w en t
Complexe getallen: i
Wiskunde: soms signaal i.p.v. functie
Natuurkunde: bevat de meeste oefeningen in algebra
Complexe stromen
• Vak-visieverschillen:
– interessante confrontatie, ook voor de leerlingen
NWD 2009 – Aad Goddijn
14
7 hoofdstukken
1: Componenten in complexe schakelingen
2: De sinus en cosinus onder de loep
3: Een condensator in een wisselstroomnetwerk
4: Constructie van de complexe getallen
5: Complexe stromen en impedanties in netwerken met
een spoel
6: Complexe getallen en transformaties
Complexe stromen
7: Netwerken met zowel condensatoren als spoelen
NWD 2009 – Aad Goddijn
15
Uit hfst 1:
Componenten in de schakeling
• Voorkennis:
–Wet van Ohm: U = I  R
– Parallelschakeling en serie schakeling weerstanden
• Condensator en spoel
Complexe stromen
• Herhalingsoefening rekenen in netwerken
NWD 2009 – Aad Goddijn
16
Netwerken en Overdracht
• Schakeling met een ingang (input) en een
uitgang (output)
• De overdracht H van het netwerk (voorlopig!)
Complexe stromen
Uuit
H
Uin
NWD 2009 – Aad Goddijn
JuCo 2008
17
De algebra
van de
spanningsdeler:
met de wet van Ohm
Complexe stromen
•
Stroom door R1 en R2:
Uin
I
R1  R2
•
Uitgangsspanning berekenen:
Uuit  I  R2 
De overdracht is dus:
Uuit
R2
H=

Uin R1 + R2
•
NWD 2009 – Aad Goddijn
R2
 Uin
R1  R2
18
Vervangingsweerstand; serie- en parallelschakeling
Rs 2  R3  R4
1
1
1
 
Rs1 R1 R2
Rs 2
R3  R4
H 

R1  R 2
Rs 1  Rs 2
 R3  R4
R1  R 2
Complexe stromen
!!! Belangrijk !!!
1. Reductie en rekenwerk berusten op
de WET van OHM: U = I R
2. Bij weerstanden: tijdsonafhankelijk!
NWD 2009 – Aad Goddijn
19
Vervangingsweerstand
A:
Bereken de vervangingsweerstand
Complexe stromen
B:
Bedenk een netwerk dat zich zo niet laat
reduceren ….
NWD 2009 – Aad Goddijn
JuCo 2008
20
A: 15
V
B: Voorbeeld
R3
Complexe stromen
Ohm, ohm … oplosbaar via stelsel lineaire vergelijkingen >>
NWD 2009 – Aad Goddijn
21
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
22
(Etc. ….)
De condensator
Complexe stromen
• Twee geleiders met een isolerende tussenstof.
• Als er lading op een condensator staat is er ook
een spanning:
Q
Q  UC  C
UC 
C
• C is de capaciteit. Eenheid: de farad (F).
NWD 2009 – Aad Goddijn
23
De condensator: op- en ontladen
Blokspanning op een condensator
Complexe stromen
• Hoe ziet UC er uit?
NWD 2009 – Aad Goddijn
24
Veranderende lading, spanning en stroom bij de
Condensator
• We weten: Q  U C C
,
Q
UC 
C
• Stroom is verandering van lading:
Q
I
t
•
Complexe stromen
•
Op een ‘moment’ geldt:
 Q dQ
I  lim

 t 0  t
dt
Dus:
NWD 2009 – Aad Goddijn
dQC
dUC
IC 
C
dt
dt
25
De Spoel in een notedop
• Een opgerolde draad.
•
Complexe stromen
Constante stroom door spoel
levert een magnetisch veld B;
evenredig met de stroom I.
De spoel omvat flux F.
NWD 2009 – Aad Goddijn
26
Stroom en spanning bij de spoel
Als de omvatte flux verandert, verzet de spoel
zich daartegen (wet van Lenz) door een
spanning te genereren: de inductiespanning.
N windingen tellen de spanning op.
F
Uind  N 
t
Uiteindelijk vind je:
dI
UL  L
dt
Complexe stromen
L heet de coëfficient van zelfinductie. Eenheid van
L is de henry (H).
NWD 2009 – Aad Goddijn
27
Demonstratie:
Wisselspanning op een Schakeling
Niets aan de hand!
ALARM!!
Complexe stromen
De multimeter laat zien :
De multimeter laat zien :
Uin = Ur1 + Ur2
Uin  UL + UC
NWD 2009 – Aad Goddijn
28
Sinusoiden(?) optellen: klopt wel
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
29
Van Teleurstelling naar Toekomstmuziek
• Bij wisselstroom op C en L (nog) geen
eenvoudige rekenregels voor schakelingen
• Maar de sinussignalen lijken kansrijk!
• Kunnen we ‘eenvoudig’ leren rekenen met die
signalen?
Complexe stromen
• Bestaat er een ‘betere’ Wet van Ohm?
NWD 2009 – Aad Goddijn
30
Hoofdstuk 2: Rekenen met Sinusoiden
• Deels bekend, deels uitbreiding
– sin2x+ cos2x= 1
– radialen en graden
– boog/straal
• Het gedraai van het duo sin&cos
• Vektoriele blik op de afgeleide
Complexe stromen
• Optellen sinusoiden? Ja, we kunnen.
NWD 2009 – Aad Goddijn
31
De wind steekt op!
Complexe stromen
Vóór- en zijaanzicht van de cirkelbeweging
NWD 2009 – Aad Goddijn
32
Twee beelden; algemene formule
Complexe stromen
Amplitudo – Hoeksnelheid – fasehoek
(periode, frequentie)
NWD 2009 – Aad Goddijn
33
Opgave (uit de thuistoets)
• Bepaal R, w en f
Complexe stromen
• Vergelijk daarna 2 oplossingen (z.o.z)
NWD 2009 – Aad Goddijn
34
Twee oplossingen
Jeroen
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
35
Twee oplossingen (bis)
Jeroen
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
We willen echt de hoek
en niet het tijdsverschil!
36
Sin&Co
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
37
De optelmanoeuvre zelf
(gelijke hoeksnelheden)
• Op te tellen:
A1  sin wt  1 
en
A2  sin wt  2 
• Verrijk met
horizontale component:
A1  cos wt  1 
en
A2  cos wt  2 
• Tel draaiende vektoren op:
Q1 t 

Q 2 t   Q3 t 
Complexe stromen
• Kies component van Q3.
• Gekozen moment t is niet belangrijk!!!
NWD 2009 – Aad Goddijn
38
Opgave (toets)
• Toon aan:
• Geldt de formule ook met cos-cos-cos ?
– Er zijn minstens twee verschillende argumenten ..
Complexe stromen
• Bekijk het werk van Jeroen en Rosalinde
NWD 2009 – Aad Goddijn
39
Jeroen
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
40
Jeroen (vervolg)
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
41
Rosalinde
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
42
Ware snelheid en afgeleide
snelheidssdiagram
Plaatsdiagram
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
43
Muzikaal intermezzo met ongelijke frequenties
+
=
sin  62t   sin  60t   ??????
AM!
 62  60 
 62  60 
sin  62t   sin  60t   2 cos 
t  sin 
t
2
2




Complexe stromen
Zie ook:
Gunther Cornelissen: zaterdag 9.15-10.00
Heinz Hansmann:
zaterdag 10.30-11.15
NWD 2009 – Aad Goddijn
Winplot
demo
44
Hfst 3: Wisselspanning op de condensator (en spoel)
• We weten:
IC
dUC
IC  C 
dt
• Wisselspanning IN:
UC  t   U0 sinw t
• Dus:
d U0 sin w t
IC  t   C 
dt
Complexe stromen
 I0 cos w t
Uo 
NWD 2009 – Aad Goddijn
1
wC
 w C  U0  cos w t
 I0 sin(w t   / 2)
 Io
45
Stroom en spanning zijn uit fase!
Complexe stromen
IC loopt /2 vóór op UC
NWD 2009 – Aad Goddijn
46
Impedantie
IL
L
UL
• Quotiënt van spanning en stroom in weerstand R:
weerstand R.
• Quotiënt van de amplitudes van de wisselspanning
en -stroom door een element (R, C, L) heet
impedantie Z
Complexe stromen
ZR  R
• Algemeen:
NWD 2009 – Aad Goddijn
1
ZC 
wC
ZL  w L
U0  Z Io
47
Hoe werkt dit RC-netwerk?
• We weten:
1. IR = IC !!
2. UR is in fase met IR en dus met IC
3. UC loopt /2 achter op IC en dus ook
achter op UR
Complexe stromen
4. UC + UR = UIN
NWD 2009 – Aad Goddijn
48
Pittige opgave: maak het verhaal af!
• Bepaal de verhouding tussen
de amplitudes van UC en UR . (Impedanties!)
• Pas de draai- optelmanoeuvre (Q1+ Q2= Q3) toe op
UC + UR = UIN .
Dat levert een ‘schets’.
• De amplitudes U0,C , U0,R en U0,IN hangen samen . Hoe?
• Druk de overdracht H (w ) 
U0,C
U0,in
in R, C en w uit.
Complexe stromen
• Laat f het faseverschil van UC met UIN zijn.
Bepaal f, of tan(f).
NWD 2009 – Aad Goddijn
49
De som van UR en UC
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
50
De som van UR en UC; fase
Complexe stromen
f
NWD 2009 – Aad Goddijn
51
H hangt af van w af.
H (w ) 
tan f  
U0,R
U0,C
U0,uit
U0,in

1/ wC
R 2  1/ w C 
2

1
1  w 2 R 2C 2
U0
I0  R

 w RC UC (t ) 
sin(wt   )
2
2
2
I0  1/(wC )
1 w R C
• Gelukkig maar. Daar hebben we iets aan!
Complexe stromen
• Dubbel
logaritmisch:
H van w
• Lowpassfilter (kristalontvanger!)
NWD 2009 – Aad Goddijn
52
Nasleep bij de berekening
• Achteraf: behoorlijk achterstevoren!
• En er iets iets mis met deze aanpak …
– Kijk kritisch naar de twee paginas waar de oplossing
op staat.
– Wat is de verborgen aanname ??
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
53
Aanvulling met d.v.
• We weten wel dat
• En dat
UR + UC = UIN
dUC
IR  IC  C
dt
• differentiaalvergelijking:
dU t 
R C  C
U C t   U 0  sin  wt 
dt
• Onze UC(t) ís een oplossing!
Complexe stromen
• Afwijkingen van onze oplossing voldoen aan
dU C
R C 
U C  0
dt
• Dat zijn juist de (uitdovende) inschakelverschijnselen:
1
t
U c t   U 0  e
NWD 2009 – Aad Goddijn
RC
54
O, simpele spanningsdeler!
Uin
I
R1  R2
Uuit
R2
H=

Uin R1 + R2
Uin = U1 + U2 en U (t) = I(t)·R
Ach, ellendige RC- kring!
Wel: UR + UC = UIN
Ook : U 0,R  Z R I o, U 0,C  Z C I o
Complexe stromen
Zelfs : U R t   Z R I R t 
Niet:
NWD 2009 – Aad Goddijn
U C t   Z C I C t 
55
Die wet van Ohm, voor C en L,
wordt dat nog wat?
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
56
Hfst.4: Complexe Getallen
vanuit complexe overdracht H
Z en H krijgen een draai
Complexe stromen
en
de Complexe Getallen
verschijnen.
NWD 2009 – Aad Goddijn
57
Netwerken en Overdracht (herhaling)
• Schakeling met een ingang (input) en een uitgang
(output)
• De overdracht H van het netwerk (voorlopig!)
Complexe stromen
Uuit
H
Uin
NWD 2009 – Aad Goddijn
JuCo 2008
58
Overdracht bij wisselspanningen?
• Echte overdracht is een koppel van:
Complexe stromen
– Verhoudingsgetal van de amplituden (positief getal)
– Verschil van de fasen (hoek)
NWD 2009 – Aad Goddijn
59
Twee netwerken ná elkaar
( A1, f1)
In
Netwerk 1
( A2, f2)
Uit In
Netwerk 2
Uit
Netwerk 3
( A3, f
f3)3=
) =( (A
……
, f1 )f2 )
1  A,2 ..…..
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
60
Complexe getallen …….,
• Dat ‘zijn’ deze koppels!
• Je hebt zelf de vermenigvuldiging
afgesproken.
• Weerstandsnetwerken: alle fasehoeken
zijn 0.
– De gewone vermenigvuldiging!
Complexe stromen
• De complexe vermenigvuldiging sluit bij de
gewone aan en breidt hem uit.
NWD 2009 – Aad Goddijn
61
Het worden ‘getallen’, als je het rekenen oefent!!
•
Aan de notatie hangen we een kleine p, om verwarring te voorkomen.
Complexe stromen
• Eventueel: doe 4.8 ook met S2 = -1.
• Commentaar: veel details worden door de ll. zelf ‘beslist’.
NWD 2009 – Aad Goddijn
62
Complexe Vlak
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
63
Geometrisch vermenigvuldigen
Complexe stromen
• intieme vrienden:
– Gelijkvormige driehoeken,Vermenigvuldigen, draai-strekking om O
• Bereken z16
NWD 2009 – Aad Goddijn
64
Absolute waarde, conjugeren (1)
• Absolute waarde en argument van z = (A, f)p
– Notaties |z| en arg( ) [arg niet frequent]
– Afstand tot 0 (Verwarrend tov voorkennis). ( ….. A)
– Hoek vanaf positieve reele as. (……… f
• Conjugeren:
– Spiegelen t.o.v. reële as.
– Dus: z = (A, f)p .
, z = (A, -f)p
• Toon aan: (en diverse anderen ..)
Complexe stromen
z1  z 2  z1  z 2
NWD 2009 – Aad Goddijn
z1  z 2  z1  z 2
z
2
 z z
65
Optellen, het getal i, Cartesische notatie
• Geometrisch optellen:
– vektoroptelling
– sluit aan bij optellen
sinusoiden
• i = (1, /2)p is al bekend.
– Goede helper bij:
• Cartesisch coordinatenstelsel
Complexe stromen
– En de representatie
a + bi
• Etc. etc. etc.
– Er zijn in de klas
allerlei
details en kleine hobbels.
NWD 2009 – Aad
Goddijn
66
Absolute waarde, conjugeren (2)
• Absolute waarde en argument van z = (a + bi)
– Notaties |z| en arg( ) [arg niet frequent]
– Afstand tot 0 (Verwarrend tov voorkennis)…… a 2  b 2
– Hoek vanaf positieve reele as. (……… f = arctan(b/a))
• Conjugeren:
– Spiegelen t.o.v. reele as.
– Dus: z = a + bi .
, z = a – bi
• Toon aan: (en diverse andere ..)
Complexe stromen
z1  z 2  z1  z 2
NWD 2009 – Aad Goddijn
z1  z 2  z1  z 2
z
2
 z z
67
Cartesisch rekenen
• (1 + 2i) · (3-4i) = 11 + 2i;
(a +bi) · (c + di) = (ac –bd) + i (ad +bc)
• Een trucje voor delen:
3  5i
 3  5i    4  i  7  17i 7



i
4i
17
17
4  i   4  i 
• Ontbind a2 + b2 in twee factoren!
• Gebruik
z1  z 2  z1  z 2
om te ‘bewijzen’:
 a 2  b 2   c 2  d 2    ac  bd
(dwz: werk het rechterlid NIET uit)

2
  ad  bc 
2
Complexe stromen
• (5 + 2i) · (5-2i) = 29 was toch priem?? Of toch niet? Of niet meer?
NWD 2009 – Aad Goddijn
68
Intermezzo Priemgetallen van Gauss
• Gehele getallen van Gauss: a + bi; a en b gewone
gehele getallen.
• 2 is in zulke getallen ontbindbaar, maar 3 blijft
priem!
• Op de theedoek:
–
–
–
–
wit is priem.
Middenkruiskje: 0 , 1I
http://www.sannydezoete.nl/index.htm
In steenrood, lavendelblauw, goudgeel en wit
• Achtergrondbehang van deze slide:
Complexe stromen
– Priemgetallen met |a| < 400, |b|<300
– Kun je met een begrensde stapgrootte
van 0 naar oneindig?
(onopgelost probleem)
NWD 2009 – Aad Goddijn
69
Cartesisch en polair; omrekenen
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
70
De wetten van de Algebra gaan dóór
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
71
Complexgewijs oplossen of niet (1)
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
72
De kroonjuwelen van het complexe vlak (1)
1,  p  cos    i sin  
1, 1  p  1,  2  p  1, 1   2  p
cos    i sin     cos    i sin     cos 
1
1
2
2
1
  2   i sin 1   2 
Complexe stromen

cos 1   cos  2   sin 1   sin  2   cos 1   2 


sin 1   cos  2   cos 1  sin  2   sin 1   2 
cos    i sin   
NWD 2009 – Aad Goddijn
n
 cos  n   i sin  n 
73
De kroonjuwelen van het complexe vlak (2)
• Eenheidswortels: wortels van zn = 1
  = …… in Euler – De Moivre
 Nog meer!
 Toon aan: ze zijn samen 0.
• Diverse methoden bij ll.
Complexe stromen
– (Jeroen, zoz) Ze vormen een regelmatige ster. Tel
de vectoren op: je krijgt een regelmatige veelhoek, die sluit.
– Bij even n staan er steeds twee tegenover elkaar.
– De sin-componenten vallen twee aan twee weg.
De cos componenten ook. { ????????? Niet bij oneven!}
– Werken met som van meetkundige rij
– n-afhankelijke methoden (bijvoorbeeld in kwartetten samen
nemen.
NWD 2009 – Aad Goddijn
74
Eenheidswortels kopstaart
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
75
Gevalsafhankelijk (niet goed …)
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
76
Wortels, Meetkundige rij en e-macht
Formule voor de som:
Complexe stromen
(1-( e2πi/n)n)/ (1- e2πi/n)= (1- e2πi/)/ (1-e2πi/n)=0
(want e2πi = 1)
De som van alle eenheidswortels bij één n is dus, onafhankelijk
van n, 0.
NWD 2009 – Aad Goddijn
77
De notatie(?) eiwt
Hetzelfde? Met P kun je ook rekenen!
Dat ziet er bekend uit:
Je kunt rekenen alsof:
Complexe stromen
Protest ! !
Hoe zit dat dan met die machten van e ?
NWD 2009 – Aad Goddijn
78
Afscheid van de poolnotatie
• Maar het bleef nog lang onrustig!
• [ In laatste hoofdstuk ook met  ipv wt ]
Complexe stromen
• Vervolg: Rekenen (helpt dat begrijpen?) met deze
notatie:
In een RLC - schakeling
NWD 2009 – Aad Goddijn
79
Hfst 5 en 7: Schakelingen en eiwt
Op en neer van een Draaibeweging:
Wisselstroom ‘is’ Reële deel van Complexe Stroom:
Complexe stromen
U(t )  U0 cos w t
NWD 2009 – Aad Goddijn
U (t )  U0 (cos w t  i sin w t )
*
U * (t )  U 0 e i w t
80
Complexe Impedantie van Condensator
dU C
dt
IC
C 
I
dU * C
C 
dt
*
C
d U 0e i wt 
C 
dt
  i w   C  U 0e i wt
  i wC   U * C
Complexe stromen
U *C 
1
i wC
NWD 2009 – Aad Goddijn
 I *C  Z *  I *C
Bekend!
Want: beide componenten …
Idem!
Kettingregel
De Wetten van de Algebra
De COMPLEXE WET VAN OHM !!
81
Complexe impedanties bij R, C, L
ZR  R
1
ZC 
i wC
ZL  i w L
Voor alledrie geldt
De Complexe Wet van Ohm
• Je kunt rekenen als met weerstanden.
Complexe stromen
– De complexe vermenigvuldiging doet het fasewerk
– De complexe optelling doet het optellen van de uit
fase lopende sinusoidale spanningen en stromen
• Onzichtbaar via de complexe overdracht
NWD 2009 – Aad Goddijn
82
O, simpele spanningsdeler!
Uuit
R2
H=

Uin R1 + R2
En net zo simpele RC-kring!
Complexe stromen
1
UC
1
i
w
C
H w  =


1
Uin
1  i wRC
R+
i wC
NWD 2009 – Aad Goddijn
83
| Overdracht | en fase RC-kring
H w  =
1
1  i wRC
w  arg  H w   = arg(
1
1  i wRC

1
1  wRC 
)  arg(
1  i wRC
1  wRC 
2
2
)  arctan( wRC )
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
84
De harde vraag over eiwt komt bij de schakelingen!
• Ja, maar die elektronentreintjes in die
draad, dat snap ik. Hoe zit dat dan met die
complexe stromen die draaien in die
draad?
• Antwoord …….
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
85
Resonantie; alleen resultaten
H (w ) 
1
R(w 2LC  1)
1 i
wL
Amplitudo karakteristiek
Resonantiefrequentie
Complexe stromen
w0 
1
LC
(kristalontvanger!)
NWD 2009 – Aad Goddijn
86
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
87
Richard (2007)
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
88
Saskia (2008); |H| tegen w
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
89
H(w), |H(w)| en een veel gemaakte fout
1
H w  
i wC
R  i wL 
H w  

1
i wC
1
Ri wC  w 2LC  1
1
1   R wC
2
   w 2LC 
2
Of
H w  
1
1   R wC

2
  w 2LC

2
Complexe stromen
moet zijn
H w  
NWD 2009 – Aad Goddijn
1

1   w 2LC

2
  wRC

2
90
Toegift: Meetkunde en Complexe getallen
• Hfst 6 van CS; maar onder tijdsdruk
• In Wis D-(2013):
– Analytische Meetkunde en Complexe getallen apart.
– Gemiste kans?
• Veel literatuur beschikbaar:
– Meetkundigheid bij C zelf; veel nadruk op hyperbolische
meetkunde (Schwerdtfeger, Hahn, Pedoe)
– Functietheorie met veel meetkundigs (Ahlfors, Tristan Needham)
• Nu:
Complexe stromen
– drie voorbeelden
– De HSA tot slot
NWD 2009 – Aad Goddijn
91
A: Loodrechte stand, Gelijkvormigheid
• Gegeven twee punten z en d.
Bepaal w zo, dat (zdw) klok-mee 90
graden is. (‘druk w in z en d uit’)
• Gebruik i!
Complexe stromen
• (w – d) = -i (z – d)
w = d + (-i) (z – d)
NWD 2009 – Aad Goddijn
92
Teleurstellings Eiland
Bij aankomst:
Wel stenen, geen eik!
Kies
Complexe stromen
steen1 : -1
steen2 :
1
De eik : z.
Vind de schat toch!
NWD 2009 – Aad Goddijn
93
Afbeeldingen, Gelijkvormigheid
Complexe stromen
• Algemeen:
• Elke afbeelding z  w met
w= az+b
is een gelijkvormigheids-afbeelding.
NWD 2009 – Aad Goddijn
94
Bewijs 1 en 2, voorbeeld
• Neem aan a  1.
• (1) Herschrijf
w=az+b
in dekpuntvorm
w = d + a ( z- d) ,
a = ( F, f)p
w1  w 3 z1  z 3

• (2) Bewijs en interpreteer als zhz:
w2 w3 z2  z3
Complexe stromen
• Voorbeeld: Teleurstellings Eiland
w = d + (-i) (z – d)
NWD 2009 – Aad Goddijn
95
B: De Limaçon van Pascal
De baan van z2 + z als z over
de cirkel |z| = 1 loopt.
Construeer z2; test of z2 + z
correct is getekend.
Teken construeer een
snelheidsvector voor z.
Complexe stromen
Construeer de bijhorende
snelheidsvectoren van z2 en
z2 + z .
Construeer de raaklijn aan de
2 + z .
limacon
in
z
NWD 2009 – Aad Goddijn
96
De verbeterde Limaçon van Marise
Complexe stromen
• Geruststellend dat ik de snelheidsvector inderdaad aan de baan van
Z^2 + Z zag raken. […] Het was even puzzelen, maar ik vergeet
nooit meer wat de Limacon van Blaise Pascal is.
NWD 2009 – Aad Goddijn
97
Kwadrateren? Parabool! ?
• Toon aan dat de lijn van de punten t + i
(t reëel) door z  z2 op een parabool wordt
afgebeeld.
Complexe stromen
• (Onderzoek of het ook voor andere lijnen geldt.)
NWD 2009 – Aad Goddijn
98
Te korte bocht ….
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
99
Echt ‘complex’ werken bij algemeen geval
• Tip:
– Een andere lijn kun je met een geschikte
vermenigvuldigfactor a horizontaal krijgen.
• Tessa:
Complexe stromen
– Stap één:
elke horizontale lijn levert een parabool
– Stap twee:
draai met a, kwadrateer, draai terug met a2.
– Als verhaal, maar ook als formule:
z  w = (z*a)2 / a2 = z2
NWD 2009 – Aad Goddijn
100
Demo tot slot: de HSA
Hoofdstelling
van de algebra
Complexe stromen
Elke veeltermvergelijking
heeft in het
complexe vlak
een oplossing.
NWD 2009 – Aad Goddijn
101
einde
Complexe stromen
NWD 2009 – Aad Goddijn
102