1 getallenleer - Wiskunde Plantyn

INTEGRAAL
INTEGRAAL
SNEAK PREVIEW
DEEL 2
HOOFDSTUK 1
www.plantyn.com/integraal
1 G E TA L L E N L E E R
LEERWERKBOEK
INTEGRAA
L
InteGraa
l
Wat vindt u van
deze preview?
1 G e ta l l e
n
1 G e ta l l e
n
leer
leerwerk
boek
leer
Laat het ons weten op
Sneak pr
eVIew
hoofDStU
k 1
ISBN 978-9
0-301-4226
9 7890
30
-3
142263
http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal
wISkUnDe
Voor Go!
ISBN 978-90-301-4226-3
WISKUNDE VOOR GO!
Integraal cover marketing.indd 1
27/11/13 11:47
INTEGRAAL
• Integraal, wiskunde voor het GO! • Integraal, wiskunde voor het GO! • Nu ook beschikbaar als leerwerkboek
• Nu ook beschikbaar als leerwerkboek
• Hedendaagse vormgeving
• Hedendaagse vormgeving
• Duidelijke, overzichtelijke structuur
• Duidelijke, overzichtelijke structuur
• Logische opbouw van de oefeningen
• Logische opbouw van de oefeningen
• Bewezen didactiek
• Bewezen didactiek
• Nu met uitgebreide ondersteuning • Nu met uitgebreide ondersteuning via een LerarenKit
via een LerarenKit
– Bordboek
– Bordboek
– Oplossingen
– Oplossingen
– Jaarplan
– Jaarplan
– Modeltoetsen
– Modeltoetsen
– Extra oefeningen
– Extra oefeningen
– Rekentrainer
– Rekentrainer
AL
RA
EG
INT
AL
A
R
G
E
INT
reVIew
Sneak p
Uk 1
hoofDSt
n
1 G e ta l l e
leer
Vraag
Vraag uw
uw gratis
gratis exemplaar
exemplaar aan!
aan!
l elllelerennlleeeerr
ta1l lGeenta
ta
l G r a a1ll G e 1 G e
I n t e G rIInanattee G r a a
leerw
lenleer
1 G e ta l
oek
b e
leerwerk o
N
v
INT
InteGra
l 1 Ge
ta l e n l e
er
wISkUnDe
ISBN
9
Voor Go!
1. Surf naar www.plantyn.com/integraal.
1. Surf naar www.plantyn.com/integraal.
2. Vraag uw persoonlijk exemplaar van het leerwerkboek aan.
2. Vraag uw persoonlijk exemplaar van het leerwerkboek aan.
3. U ontvangt uw persoonlijk exemplaar in februari 2014.
3. U ontvangt uw persoonlijk exemplaar in februari 2014.
4. U krijgt ook het eerste katern van Integraal 1 Meetkunde in sneak preview.
4. U krijgt ook het eerste katern van Integraal 1 Meetkunde in sneak preview.
o o r G o !!
I S k U n D e VV o o r G o
w
wISkUnDe
0-301-4226-3
978-9
7 8 9 0 3 0
1 4 2 2 6 3
www.plantyn.com/integraal
www.plantyn.com/integraal
Integraal_Deel2_H1.indd 25
B
Integraal
Integraal 1
1 Getallenleer
Getallenleer leerwerkboek!
leerwerkboek!
-3
263
30 142 3
9 7 8 9 03 0 1 4 2 2 6
9 7890
In
N
H
D
L
Maak gratis kennis met het
Maak gratis kennis met het
0-301-4226
-3
0-301-4226-3
0-301-4226
ISBN 978-9
263
ISBN 978-9
30 142
9 7890
Getallenverzamelingen en coördinaten
• Getallenverzamelingen en coördinaten
Getallenverzamelingen N en Z• Getallenverzamelingen N en Z
• Coördinaten
Coördinaten
Natuurlijke en gehele getallen• Natuurlijke en gehele getallen
• Optellen en aftrekken in Z
Optellen en aftrekken in Z
Vermenigvuldigen en delen in Z
• Vermenigvuldigen en delen in Z
De vier hoofdbewerkingen in Z
De vier hoofdbewerkingen in Z• Machtsverheffingen en vierkantswortels in Z
Machtsverheffingen en vierkantswortels in Z
Herhalingsoefeningen
Herhalingsoefeningen
Rationale getallen
Rationale getallen
Rationale getallen
Rationale getallen
Bewerkingen met rationale getallen
Bewerkingen met rationale getallen
Gemengde opgaven
Gemengde opgaven
Vergelijkingen en vraagstukken
Vergelijkingen en vraagstukken
Vergelijkingen
Vergelijkingen
Vraagstukken
Vraagstukken
eVIew
Sneak pr
k 1
hoofDStU
erkboek
ISBN 978-9
Deel I
Deel I
Hoofdstuk 1.
Hoofdstuk 1.
Hoofdstuk 2.
Hoofdstuk 2.
Deel II
Deel II
Hoofdstuk 1.
Hoofdstuk 1.
Hoofdstuk 2.
Hoofdstuk 2.
Hoofdstuk 3.
Hoofdstuk 3.
Hoofdstuk 4.
Hoofdstuk 4.
Hoofdstuk 5.
Hoofdstuk 5.
Deel III
Deel III
Hoofdstuk 1.
Hoofdstuk 1.
Hoofdstuk 2.
Hoofdstuk 2.
Hoofdstuk 3.
Hoofdstuk 3.
Deel IV
Deel IV
Hoofdstuk 1.
Hoofdstuk 1.
Hoofdstuk 2.
Hoofdstuk 2.
27/11/13 16:19
.w
Plantyn ontwikkelt en verspreidt leermiddelen voor het basisonderwijs, het secundair
onderwijs, het hoger en het wetenschappelijk onderwijs en het volwassenenonderwijs.
Daarnaast geeft Plantyn ook publicaties uit over schoolmanagement, leerlingenbegeleiding, personeelsbeleid voor het onderwijs en didactische ondersteuning van leerkrachten
en educatief materiaal voor de thuismarkt. De uitgeverij is zowel in het Nederlandstalige
als in het Franstalige landsgedeelte actief.
Doorheen al onze activiteiten streven we ernaar om maximale kansen te bieden aan alle
lerenden, rekening houdend met de individuele situatie en interesses, en willen we ertoe
bijdragen dat leerkrachten in optimale omstandigheden kunnen werken. Het is immers
onze overtuiging dat leren op een eigentijdse en aangename manier kan, wat tot uiting
komt in onze slogan “’t leren is mooi”.
“Infinitas learning”.
Plantyn maakt deel uit van de educatieve uitgeefgroep “Infinitas
Het leerwerkboek Integraal 1 Getallenleer Leerwerkboek (incl. online ICT) is bestemd voor
de leerlingen van het eerste leerjaar A van de eerste graad van het Gemeenschapsonderwijs.
Ontwerp en opmaak cover: The Line
Ontwerp en opmaak binnenwerk: Crius Group
Tekenwerk: Stefaan Provijn
Technisch tekenwerk: Crius Group
Illustratieverantwoording:
iStockphoto,
Wikipedia/Albrecht
Dürer, WikipeIllustratieverantwoording:Imageglobe.be,
Imageglobe.be,
iStockphoto,
Wikipedia/Albrecht
Dürer,
dia/Vascer,
© Fotolia.com/
patrickpatrick
Wikipedia/Vascer,
© Fotolia.com/
Plantyn
Motstraat 32, 2800 Mechelen
T 015 36 36 36
F 015 36 36 37
[email protected]
www.plantyn.com
Dit boek werd gedrukt op papier
van verantwoorde herkomst.
Integraal_Deel2_H1.indd 26
© Plantyn nv, Mechelen, België
Alle rechten voorbehouden. Behoudens de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen mag niets uit
deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar
gemaakt, op welke wijze dan ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming
van de uitgever. Uitgeverij Plantyn heeft alle redelijke inspanningen geleverd om de houders van intelidentificeren, te contacteren
lectuele rechten op het materiaal dat in dit leermiddel wordt gebruikt, te identificeren,
en te honoreren. Mocht u ondanks de zorg die daaraan is besteed, van oordeel zijn toch rechten op dit
materiaal te kunnen laten gelden, dan kunt u contact opnemen met uitgeverij Plantyn. Zij zal uw legitieme aanspraken honoreren tegen de gangbare markttarieven.
27/11/13 16:19
DEEL II
Natuurlijke en
gehele getallen
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Integraal_Deel2_H1.indd 27
1.
2.
3.
4.
5.
Optellen en aftrekken in Z
Vermenigvuldigen en delen in Z
De vier hoofdbewerkingen in Z
Machtsverheffingen en vierkantswortels in Z
Herhalingsoefeningen
29
60
87
99
105
27/11/13 16:19
1
Optellen en aftrekken in Z
OP VERKENNING!
1
Hiernaast zie je een magisch vierkant.
Het komt voor op een gravure van de
Duitse schilder Albrecht Dürer (1471-1528).
In het midden onderaan zie je ‘1514’, het jaar
waarin Dürer deze gravure maakte.
Een magisch vierkant of tovervierkant is
een vierkant waarin getallen zijn ingevuld
en dat op zo’n manier dat de kolommen,
rijen en de beide diagonalen allemaal
dezelfde som opleveren.
Deze som wordt de magische constante of het karakteristieke getal genoemd.
2
Wat is de som van de getallen van een rij?
Wat is de som van de getallen van een kolom?
Wat is de som van de getallen van een diagonaal?
3
Maak de volgende vierkanten magisch.
4
7
5
6
2
8
4
9
6
4
3
8
4
28
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 28
Z
27/11/13 16:19
1.1
Toestandstekens
1
2
Een tegoed van € 500 kun je noteren als +500.
Een tekort van € 250 kun je noteren als –250.
De tekens + en – duiden een toestand aan.
Je noemt ze toestandstekens.
Ze geven aan of het geheel getal positief of negatief is.
1.2
Het toestandsteken +
mag weggelaten worden.
Voorbeeld +2 = 2
Algemeen +a = a
Absolute waarde van een geheel getal
3
Voorbeeld
7 is de absolute waarde van +7 en van –7.
Notatie
| +7 | = 7
Je leest
De absolute waarde van +7 is gelijk aan 7.
En ook
| –7 | = 7
Je leest
De absolute waarde van –7 is gelijk aan 7.
Begrip
•
Als je het toestandsteken van een geheel getal weglaat, verkrijg je de absolute
waarde.
De absolute waarde van a noteer je als | a |.
1.1 toestandstekens
Integraal_Deel2_H1.indd 29
4
29
27/11/13 16:20
1.3
Tegengestelde van een geheel getal
Voorbeelden
+2 en –2 zijn tegengestelde getallen.
–7 en +7 zijn tegengestelde getallen.
1
Begrip
•• Twee getallen met eenzelfde absolute waarde, maar met een verschillend
toestandsteken, noem je tegengestelde getallen.
+a en –a zijn tegengestelde getallen.
2
Oefeningen
1
Werk uit.
| −12 | = | +6 | = |7|=
| +32 | = | 1 |
| −230 | = |0|=
|−15| = =
2 Vul in.
3
Het tegengestelde getal van
3
−5 is +13 is +b is 0 is −c is | −4 | is −1 is is −7
Duid het tegengestelde getal van x en y aan op de getallenas.
y
0
x
Z
4
4
Stelt −a altijd een negatief getal voor?
Geef een voorbeeld. a = dus −a = 30
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 30
Z
27/11/13 16:20
5 Vul de tabel aan.
a
−12
+7
0
−a
−3
−4
+a
1
−9
|a|
6
Op een winterdag is het verschil tussen de hoogste en de laagste temperatuur 12 °C.
De hoogste en de laagste temperatuur van die dag zijn precies elkaars tegengestelde.
Wat zijn die temperaturen?
Een grafiek tekenen
2
Om een grafiek te tekenen moet je eerst koppels getallen (coördinaten) zoeken.
Een praktische schikking hiervoor is een visgraatdiagram.
Het verband
Het getal y is het tegengestelde van het getal x.
Wiskundige schrijfwijze
y = −x
Voorbeeld
Als je x = 2 kiest, dan is y = –2
Je schrijft dit als een koppel
Voor dit voorbeeld Noteer zelf nog enkele koppels.
(x, y)
(2, –2)
(13, …); (–5 , …); (7, …)
3
Oefening
7
We noteren een aantal koppels van y = –x in een visgraatdiagram.
Vul het diagram verder aan en plaats de beeldpunten die bij de koppels horen in het
geijkte vlak.
x
y
−3
−2
−1
0
1
2
–2
1.3 Tegengestelde van een geheel getal
Integraal_Deel2_H1.indd 31
4
3
31
27/11/13 16:20
y
6
5
1
4
3
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
x
−1
−2
2
−3
−4
−5
−6
1.4
3
Tekenregel voor twee opeenvolgende tekens
Het tegengestelde getal verkrijg je door een minteken voor dit getal te plaatsen.
Voorbeeld
Het tegengestelde van +7 is –+7
Als er twee tekens achter elkaar komen, moeten ze gescheiden worden door haakjes.
Dus – (+7)
AFSPRAAK
•• Als er twee tekens achter elkaar komen, moeten ze gescheiden worden
4
door haakjes.
32
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 32
Z
27/11/13 16:20
Deze vormen moet je proberen eenvoudiger te schrijven.
Voorbeelden
+ (+7) = +7 = 7
+ (–2) = –2
– (+3) = –3
– (–5) = +5 = 5
+ voor een haakje mag weggelaten worden
+ voor een haakje mag weggelaten worden
het tegengestelde van +3 is –3
het tegengestelde van –5 is +5
1
Je kunt dit kort samenvatten in volgende tekenregel.
TeKeNregeL
•
Als twee tekens achter elkaar staan,
1. mag je de haken weglaten;
2. dan is + (+a) = +a
+ (–a) = –a
– (+a) = –a
– (–a) = +a
2
3
1.5
Het optellen van getallen
4
Kies twee getallen a en b.
• a + b is de som van a en b.
• a en b zijn de termen.
• Het optellen is de bewerking.
• + is het plusteken.
1.5 Het optellen van getallen
Integraal_Deel2_H1.indd 33
33
27/11/13 16:20
Oefeningen
8
Maak eerst een schatting en controleer daarna met je zakrekenmachine.
eerst schatten
1
eerst schatten
345
76 799
771
53 898
+ 987
89 976
+ 195 788
9 Vul het ontbrekende cijfer in.
2
8 + 1
7
6 3
2
+
9
6 6 9
8 7
5
+ 6
3
4
6
5
5
4 +
0 6
1
0
10 Schrijf eenvoudiger.
3
1.6
+ (+4) = − (−9) = + (−6) = + (−7) = − (+12) = − (+8) = − (−1) = + (+19) = Het optellen van gehele getallen
Aïsha, Mathieu, June en Lukas hebben twee kaartspelletjes gespeeld.
Het aantal gewonnen punten kun je voorstellen door een positief getal.
Het aantal verloren punten
kun je voorstellen door een
negatief getal.
Dus
(+2) + (+3) = +5
(–1) + (–3) = –4
(–3) + (+5) = +2
(+5) + (–2) = +3
4
+ is het bewerkingsteken.
+ en – zijn toestandstekens.
34
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 34
Z
27/11/13 16:20
REKENREGEL
•• Als je gehele getallen moet optellen, reken je als volgt.
1. De gehele getallen hebben hetzelfde toestandsteken.
• Behoud dit teken.
• Tel de absolute waarden op.
2. De gehele getallen hebben een verschillend toestandsteken.
• Neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde.
• Trek de absolute waarden af (grootste min kleinste).
1
Oefeningen
11 Bereken.
(+4) + (+2) = (+5) + (−2) = (−7) + (+3) = (+5) + (+3) = (−20) + (+6) = (+10) + (+1) = (−3) + (−2) = (+5) + (−10) = (−1) + (−5) = (+8) + (−14) = (−6) + (−4) = (+6) + (−12) = 2
12 De slag bij Marathon
In 490 v.C. vond de beroemde slag bij
Marathon plaats.
De Atheners versloegen toen te Perzen.
De renbode die het goede nieuws naar
Athene moest overbrengen, viel bij zijn
aankomst dood neer.
Hij had toen 42 km en 195 m gelopen.
Het begrip ‘marathon’ vindt hier zijn oorsprong.
Hoeveel jaar geleden vond deze slag plaats?
(Let op! Het jaar 0 bestaat niet.)
3
13 Bereken.
(+12) + (−15) = (−16) + (+3)
=
(–13) + (+17) = (−3) + (+25) = (+9) + (–17)
=
(+31) + (−32) = (−14) + (−20) = (−11) + (+11) = (−14) + (–26) = (+16) + (−10) = (+175) + (+25) = (−100) + (+19) = 1.6 Het optellen van gehele getallen
Integraal_Deel2_H1.indd 35
4
35
27/11/13 16:20
14 Eline is twee jaar jonger dan Karim.
1
Als Karim 12 jaar is, dan is Eline jaar.
Als Karim x jaar is, dan is Eline jaar.
Als Eline 14 jaar is, dan is Karim jaar.
Als Eline y jaar is, dan is Karim jaar.
15 Vul in.
x
5
2
0
−4
−7
2
x+4
x
x + (−4)
3
1
0
−4
−6
16 Bereken en vul in met <, > of = .
(−12) + (−4) (−20) + (+5) (+10) + (+4) (−4) + (+7)
(+3) + (−10)
(+15) + (−9)
(−15) + (+6) (−4) + (−5) (−13) + (−7) (−11) + (+4)
(+2) + (−11)
(+9) + (−9)
17 Los het vraagstuk op.
Een touw is 36 m lang.
Je snijdt het touw in stukken die allemaal
2 m lang moeten zijn.
Hoe dikwijls moet je het touw doorsnijden?
3
18 Bereken.
Aan de voet van een boom ligt een slak.
’s Nachts kruipt ze 4 m omhoog;
overdag kruipt ze 3 m naar beneden.
Na 10 nachten is ze aan de top van de boom.
Hoe hoog is de boom?
4
36
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 36
Z
27/11/13 16:20
1.7
Het aftrekken van getallen
Kies twee getallen a en b.
• a – b is het verschil van a en b.
• a en b zijn de termen.
• a is het aftrektal en b is de aftrekker.
• Het aftrekken is de bewerking.
• – is het minteken.
1.8
1
Het aftrekken van natuurlijke getallen
Hoe bereken je 13 – 8?
Je moet een getal zoeken dat, opgeteld bij 8,
weer 13 geeft.
Dat getal is 5.
13 – 8 = 5 Û 5 + 8 = 13
–8
13
5
2
+8
–b
Hoe bereken je a – b?
Je moet een getal zoeken dat, opgeteld bij b,
weer a geeft.
Dat getal is c.
a
c
+b
MET SYMBOLEN
•• a – b = c Je zegt
Û c + b = a met a, b, c Î N
3
Het aftrekken is de inverse bewerking van het optellen.
Het optellen is de inverse bewerking van het aftrekken.
Het symbool Û lees je als ‘is gelijkwaardig met’
of als ‘als en slechts als’.
Je kunt dit symbool het best vergelijken met het verkeersbord.
Rechts of links verder rijden is toegelaten.
4
ÛJe mag de tekst van rechts naar links lezen,
en ook van links naar rechts.
1.7 Het aftrekken van getallen
Integraal_Deel2_H1.indd 37
37
27/11/13 16:20
Voorbeeld
a – b = c Û c + b = a
1
Je leest
als
en
als
dan is
c + b = a
c + b = a dan is
a – b = c
Samengevat
a – b = c is gelijkwaardig met c + b = a
a – b = c
Oefeningen
19 Vul in.
Hoe noem je in 25 − 8 = 17
het getal 25? 2
het getal 8? het getal 17? 20 Vul de ontbrekende cijfers in.
7 5 8 4
− − 8 8 4 1
3 3 7 9
3
1 1 2 3
6 − 8 9
5 1 −
1 2 5 8
0
3 9 6 4
21 Het verschil van twee getallen is 3 630. Het grootste getal is 8 724.
Wat is het kleinste getal? 22 Het verschil van twee getallen is 12 678. De aftrekker is 4 567.
Wat is het aftrektal? 23 Geef het verschil van het kleinste natuurlijke getal met 7 cijfers en het grootste
natuurlijke getal met 5 cijfers.
4
38
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 38
Z
27/11/13 16:20
1.9
Het aftrekken van gehele getallen
Het aftrekken is de omgekeerde bewerking van het optellen.
Voorbeeld
1
–(+3)
+4
+1
(+4) – (+3 ) = +1 Û (+1) + (+3) = +4
+(+3)
Algemeen
2
–b
a
c
a – b = c Û c + b = a
+b
MET SYMBOLEN
•• a – b = c 3
Û c + b = a met a, b, c Î Z
Voorbeelden
(+4) – (+3) = +1
(–3) – (+5) = –8
(+5) – (–2) = +7
(–2) – (–3) = +1
Û (+1) + (+3) = +4
Û (–8) + (+5) = –3
Û (+7) + (–2) = +5
Û (+1) + (–3) = –2
+ en – zijn de bewerkingstekens.
+ en – zijn de toestandstekens.
4
1.9 Het aftrekken van gehele getallen
Integraal_Deel2_H1.indd 39
39
27/11/13 16:20
1.10 Korte schrijfwijze bij het optellen en het aftrekken
We proberen het optellen en aftrekken van gehele getallen korter te schrijven.
REKENREGEL
1
•• Optellen of aftrekken van gehele getallen
1)Het toestandsteken + wordt weggelaten als het bij de eerste term staat.
2) Pas de tekenregel voor twee opeenvolgende tekens toe.
We werken de haken weg met de tekenregel.
Voorbeelden
(+4) + (+3) = 4 + 3 = 7
(–3) + (–5) = –3 – 5 = –8
(+5) – (–2) = 5 + 2 = 7
(–3) – (+5) = –3 – 5 = –8
2
Merk op –3 – 5 betekent eigenlijk (–3) + (–5) en hierop kunnen we de
rekenregel van het optellen en het aftrekken van gehele getallen
toepassen.
Dus –3 – 5 = (–3) + (–5) = –8
Oefeningen
3
24 Maak eerst een schatting en controleer daarna met je zakrekenmachine.
eerst schatten
eerst schatten
1385
384 005
−791
−191 596
25 Bereken.
−9 – 7
4
= 0 – 14
+15 + 2 = −34 + 17 = −8 + 8
= –80 + 81 = −12 + 3 = +18 + 23 = 37 + 0
= −17 + 37 = −1 + 7
= −31 + 11 = −30 + 1 = 0 – 100
−14 – 14 = 1 – 17
40
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 40
= –70 + 24 = +15 – 200 = = = +84 – 20 = –85 – 97 = Z
27/11/13 16:20
26 De temperatuur van een buisje kwik is 2 °C.
Kwik bevriest bij −39 °C.
Hoeveel graden moet het buisje afkoelen opdat het kwik bevriest?
27 Werk eerst de haakjes weg en werk dan uit.
1
(+6) − (+9)
=
(+12) − (−8)
=
(+6) − (−9)
=
(+9) + (−4)
=
(−6) − (−9)
=
(+75) + (−34) =
(−6) − (+9)
=
(+70) – 0
0 − (+21)
=
(−16) + (+40) =
(+20) − (+10) =
(−17) − (+17) =
=
28 Gegeven: een natuurlijk getal p. Noteer:
2
a het volgende natuurlijk getal.
b het vorige natuurlijk getal.
c drie opeenvolgende natuurlijke getallen waarvan het gegeven getal het grootste is.
d drie opeenvolgende natuurlijke getallen waarvan het gegeven getal het kleinste is.
e drie opeenvolgende natuurlijke getallen waarvan het gegeven getal het middelste is.
3
f het getal dat 5 meer is dan het gegeven getal.
g het getal dat 8 minder is dan het gegeven getal.
29
Het water van de Dender stond op een
bepaald ogenblik 67 cm boven het normale
waterpeil.
In de loop van de volgende maand zakte
het water 90 cm.
Hoe was dan de waterstand van de rivier
t.o.v. het normale waterpeil?
1.10 korte schrijfwijze bij het optellen en het aftrekken
Integraal_Deel2_H1.indd 41
4
41
27/11/13 16:20
30 Los op.
Joke heeft een leuk boek gekregen voor haar verjaardag.
Vandaag las zij van bladzijde 100 tot en met 124.
Hoeveel bladzijden heeft zij gelezen? 1
31 Gegeven: het geheel getal x.
Hoe noteer je …
a het tegengestelde van dit getal? b de absolute waarde van dit getal? c dit getal vermeerderd met 3? d dit getal verminderd met 7? e het voorgaande geheel getal? f dit getal vermeerderd met −2? 2
g −5 verminderd met dit getal? h −15 van dit getal aftrekken? i dit getal vermeerderd met de helft van 19? j −32 bij dit getal opgeteld? 32 Wat verkrijg je indien je a – 6
vermeerdert met 9? vermindert met 4? 3
vermeerdert met 0? vermindert met a? 33 In het gekleurde vakje in de tabel staat het verschil van −2 en −5.
(−2) − (−5) = –2 + 5 = +3
Vul de tabel verder in.
−
+2
−5
0
−7
+6
+4
4
−2
+3
+3
−1
42
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 42
Z
27/11/13 16:20
34 Bereken het verschil tussen het kookpunt en het smeltpunt (vriespunt).
kookpunt
smeltpunt
2 500 °C
1 063 °C
chloor
−34 °C
−102 °C
kwik
358 °C
−39 °C
zuurstof
−181 °C
−235 °C
goud
verschil
1
35 Vul in.
Ballonvaarders merken bij het opstijgen dat het kouder wordt.
Bij een stijging van 1 km daalt de temperatuur met 6 °C.
2
3
Aan de grond bedraagt de temperatuur 9 °C.
a Wat is de temperatuur als de ballon 2 000 m hoog is? b Op welke hoogte zweeft de ballon als de temperatuur 0 °C bedraagt? c Hoeveel meter is de ballon gestegen als de temperatuur −9 °C bedraagt? 4
d Een dag later stijgt de ballon weer op. Op een hoogte van 1 500 m is het aan
boord −5 °C.
Hoe warm is het aan de grond? 1.10 Korte schrijfwijze bij het optellen en het aftrekken
Integraal_Deel2_H1.indd 43
43
27/11/13 16:20
36 Vul het ontbrekende getal in.
1
(+3) + = +9
(+8) – = +12
(–6) + = –10
–25 + = –25
+8 + = 0
(–26) + = –14
– (–10)= +26
(–5) = +6
+19 + = –2
–2 + 6
–12 + = 9
= –9
= 2
37 Zoek koppels coördinaten (x, y) Î Z × Z zodat y = x + 3.
Teken deze koppels in het geijkte vlak. Gebruik het visgraatdiagram.
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
y
2
1
0
1
x
3
38 Zoek koppels coördinaten (x, y) Î Z × Z zodat y = x − 2.
IJk het vlak zoals in oefening 37, en teken de koppels dan in het assenstelsel.
Gebruik het visgraatdiagram.
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
4
44
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 44
Z
27/11/13 16:20
1
2
1.11 Eigenschappen van het optellen in Z
Overal gedefinieerd
EIGENSCHAP
•• Het optellen in Z is overal gedefinieerd.
3
Als je twee gehele getallen optelt, dan verkijg je opnieuw een geheel getal.
Voorbeeld
(+6) + (–2) = +4 = 4
MET SYMBOLEN
•• ∀ a, b Î Z : a + b Î Z
Het symbool ∀ betekent voor alle. De dubbele punt lees je als geldt.
Je leest
Voor alle gehele getallen a en b geldt dat a + b een geheel getal is.
1.11 Eigenschappen van het optellen in Z
Integraal_Deel2_H1.indd 45
4
45
27/11/13 16:20
Commutativiteit
EIGENSCHAP
•• Het optellen in Z is commutatief.
1
Als je twee gehele getallen optelt, mag je de termen van plaats verwisselen.
Voorbeeld
(+12) + (–9) = 3 en ook (–9) + (+12) = 3
MET SYMBOLEN
•• ∀ a, b Î Z 2
: a + b = b + a
Voor elke waarde die je voor a en b invult, hebben a + b en b + a dezelfde uitkomst.
Deze eigenschap heet de commutativiteit van het optellen van gehele getallen.
Associativiteit
EIGENSCHAP
•• Het optellen in
Z is associatief.
Bij een som mag je de plaats van de haken wijzigen of de haken zelfs weglaten.
3
Voorbeeld
Je kunt 12 + ​( −4 )​ + 6 op verschillende manieren berekenen.
Wat je eerst berekent, kun je aanduiden door haakjes te gebruiken.
Staan er al kleine haakjes ( ), dan gebruik je vierkante haakjes [ ].
Je berekent​[ 12 + ​( −4 )​  ]​ + 6 en 12 + ​[  (​ −4 )​ + 6 ]​
​
[  12 + ​( −4 )​  ]​ + 6 = 8 + 6 = 14
12 + ​[  (​ −4 )​ + 6 ]​ = 12 + 2 = 14
Je merkt dat 12 + ​( −4 )​ + 6 = ​[ 12 + ​( −4 )​  ]​ + 6 = 12 + ​[ ​( −4 )​ + 6 ]​
Doe je hetzelfde met drie andere gehele getallen, dan stel je opnieuw vast dat je de
plaats van de haken mag wijzigen of dat je ze kunt weglaten.
4
46
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 46
Z
27/11/13 16:20
MeT SYMBOLeN
•
∀ a, b, c Î Z
: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
1
Deze eigenschap heet de associativiteit van het optellen van gehele getallen.
2
Neutraal element
eigeNSCHAp
•
3
0 is het neutraal element voor het optellen in Z.
Als je 0 en een geheel getal optelt, in gelijk welke volgorde, dan verkrijg je
opnieuw hetzelfde gehele getal.
Voorbeeld
–5 + 0 = –5
en
0 + (–5) = –5
MeT SYMBOLeN
•
∀aÎZ
: a+0=0+a=a
4
1.11 eigenschappen van het optellen in Z
Integraal_Deel2_H1.indd 47
47
27/11/13 16:20
Tegengesteld getal
EIGENSCHAP
•• In
Z heeft elk getal een tegengesteld getal.
De som van beide getallen is gelijk aan het neutraal element nul.
1
Voorbeeld
+7 heeft als tegengesteld getal –7.
(+7) + (–7) = 0 en ook (–7) + (+7) = 0
MET SYMBOLEN
•• ∀ a Î Z , 2
$ –a Î Z : a + (–a) = 0 = (–a) + a
Het symbool $ lees je als
‘er bestaat’.
Oefeningen
39 Gelden de eigenschappen van het optellen in Z ook in N?
Zo ja, noteer dan de eigenschap met symbolen.
Zo nee, verklaar dan waarom (geef een voorbeeld).
3
a Is het optellen in N overal gedefinieerd?
Als je twee natuurlijke getallen optelt, verkrijg je dan opnieuw een natuurlijk getal?
ja / nee b Is er een neutraal element voor het optellen in N?
Als je 0 en een natuurlijk getal optelt, in gelijk welke volgorde, verkrijg je dan
opnieuw hetzelfde natuurlijk getal?
4
ja / nee c Is optellen in N commutatief?
Als je twee natuurlijke getallen optelt, mag je dan de termen van plaats verwisselen?
ja / nee 48
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 48
Z
27/11/13 16:20
d Is optellen in N associatief?
Mag je bij een som de plaats van de haakjes wijzigen of zelfs weglaten?
ja / nee 1
e Heeft elk getal in N een tegengesteld getal?
Is de som van beide getallen nul?
ja / nee Een gedurige som is een som met meer dan twee termen.
Soms kun je een gedurige som op een handige manier berekenen.
Voorbeeld
55 + 243 + 45 = 55 + 45 + 243 = (55 + 45) + 243 = 100 + 243 = 343
assoc. eig.
comm. eig. Je doet het dus zo: 55 + 243 + 45 = 100 + 243 = 343
2
40 Bereken op de handigste manier.
87 + 150 + 450
=
157 + 569 + 43
=
28 + 19 + 12 + 31
=
182 + 751 + 18 + 49 = 64 + 37 + 12 + 46
=
3
1.12 Eigenschappen van het aftrekken in Z
EIGENSCHAP
•• Het aftrekken in
Z is overal gedefinieerd.
Als je twee gehele getallen aftrekt, dan krijg je opnieuw een geheel getal.
Voorbeeld
(+6) – (+2) = +4 = 4
4
MET SYMBOLEN
•• ∀ a, b Î Z : a – b Î Z
1.12 Eigenschappen van het aftrekken in Z
Integraal_Deel2_H1.indd 49
49
27/11/13 16:20
Oefeningen
41 De volgende eigenschappen gelden niet voor het aftrekken in Z.
Toon dit aan met een voorbeeld.
a Waarom heeft het aftrekken in Z geen neutraal element?
1
b Waarom is het aftrekken in Z niet commutatief?
c Waarom is het aftrekken in Z niet associatief?
42 Onderzoek ook de volgende eigenschappen van het aftrekken in N.
Geef telkens een voorbeeld.
2
a Is het aftrekken in N overal gedefinieerd?
ja / nee b Waarom heeft het aftrekken in N geen neutraal element?
c Waarom is het aftrekken in N niet commutatief?
d Waarom is het aftrekken in N niet associatief?
3
43 Reken uit van links naar rechts.
Voorbeelden
17 − 8 + 12 = 9 + 12 = 21
21 − 15 − 2 = 6 − 2 = 4
Staan er haken in de opgave, dan moet je eerst de
bewerkingen die tussen de haken staan berekenen!
Voorbeeld
4
21 − (15 − 2) = 21 − 13 = 8
50
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 50
Denk eraan dat het aftrekken
niet commutatief is:
7 – 5 ≠ 5 – 7
Z
27/11/13 16:20
Bereken.
34 − 28 − 5
=
46 − (17 + 12) = 34 + 28 − 5
=
69 − 48 − 11 = 136 − (136 − 16) = 69 − 48 + 11 = 136 − 136 + 16 = 69 + 48 + 11 = 108 + 17 + 102 = 3 + 7 − 5 + 2 = 108 + (17 + 102) = 3 + (7 − 5) + 2= (10 + 6) + (9 − 2)= 3 + 7 − (5 + 2)= 1
44 Gegeven: a = 25, b = 15 en c = 5.
Bereken door substitutie (d.w.z. vervang a, b en c door de opgegeven waarden).
a + b + c = a − b + c = 2
a − (b − c) = a + (b − c) = a − (b + c) = a − b − c = b − c + a = c + a − b = b − c − 3 = a − 7 − c = 3
Meerdere termen optellen en aftrekken
Voorbeeld
(−4) + (+7) + (+9) + (−6)
Je kunt dit ook eenvoudiger schrijven als − 4 + 7 + 9 − 6
Je kunt nu − 4 + 7 + 9 − 6 op twee verschillende manieren uitrekenen.
− 4 + 7 + 9 − 6 = + 3 + 9 − 6
= + 12 − 6
=6
•Reken uit van links naar rechts.
4+7+9−6=+7+9−4−6
−
= + 16 − 10
= 6
•Tel eerst de positieve en de negatieve
termen afzonderlijk op.
4
1.12 Eigenschappen van het aftrekken in Z
Integraal_Deel2_H1.indd 51
51
27/11/13 16:20
45 Bereken door de positieve en de negatieve termen afzonderlijk op te tellen.
a 11 + 6 − 9 − 7 + 22 − 1 = b −7 + 2 − 9 + 10 − 6 + 5 = c −1 − 6 − 5 − 4 − 3 − 9 = 1
d +13 + 11 − 4 − 7 + 9 + 3 = e −50 + 30 + 20 − 10 + 70 − 100 = f 35 − 45 + 55 − 65 + 75 = 46 Schrijf eerst eenvoudiger en reken dan uit.
a (−4) + (+8) − (+9) + (−3) = b (+18) − (+10) − (−6) + (−5) = c (−2) − (+2) − (−2) + (−2) + (+2) = d (−11) + (−19) − (+10) − (−20) + (−7) = 2
e (+30) − (−100) + (−20) − (+60) + (+10) = f (+15) − (−17) − (+19) + (−21) + (+9) = g (+5) + (+7) − (−7) + (+8) − (+8) = 1.13 Regel der haken bij het optellen en het aftrekken
Haken voorafgegaan door een plusteken
7 + (–8 + 9 – 6 + 3 – 2) kun je op twee manieren uitwerken.
a) Door eerst de bewerkingen uit te voeren die tussen de haken staan.
3
7 + (–8 + 9 – 6 + 3 – 2) = 7 + (+9 + 3 – 8 – 6 – 2) = 7 + (+12 –16) = 7 + (–4) = 3
b)Door de volgende regel toe te passen.
REKENREGEL
•• Haken voorafgegaan door een plusteken mogen weggelaten worden.
Je moet dan
• het plusteken voor de haken weglaten;
• elk getal binnen de haken hetzelfde teken laten behouden.
4
Voorbeeld
7 + (–8 + 9 – 6 + 3 – 2) = 7 – 8 + 9 – 6 + 3 – 2
= 7 + 9 + 3 – 8 – 6 – 2 = 19 – 16 = 3
52
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 52
Z
27/11/13 16:20
Haken voorafgegaan door een minteken
7 – (–5 + 7 – 6 – 4 + 9) kun je op twee manieren uitwerken.
a) Door eerst de bewerkingen uit te voeren die tussen de haken staan.
7 – (–5 + 7 – 6 – 4 + 9) = 7 – (+7 + 9 – 5 – 6 – 4) = 7 – (+16 – 15) = 7 – (+1) = 6
1
b)Door de volgende regel toe te passen:
REKENREGEL
•• Haken voorafgegaan door een minteken mogen weggelaten worden.
Je moet dan
• het minteken voor de haken weglaten;
• elk getal binnen de haken van teken veranderen.
Voorbeeld
2
7 – (–5 + 7 – 6 – 4 + 9) = 7 + 5 – 7 + 6 + 4 – 9
= 7 + 5 + 6 + 4 – 7 – 9 = 22 – 16 = 6
Haken invoeren
Je kunt ook haakjes invoeren. Daarvoor gelden dezelfde regels.
REKENREGEL
•• Voer je haken in na een plusteken, behoud dan alle tekens van de getallen die
3
binnen de haken komen.
Voer je haken in na een minteken, verander dan alle tekens van de getallen
die binnen de haken komen.
Voorbeeld
4 – 3 + 7 = 4 + (–3 + 7)
4 – 3 + 7 = 4 – (3 – 7)
4
1.13 Regel der haken bij het optellen en het aftrekken
Integraal_Deel2_H1.indd 53
53
27/11/13 16:20
Oefeningen
47 Bereken.
a 19 − (4 + 7 − 6 − 11 + 1) = 1
b 24 − (3 − 10 + 7) − (− 8 − 3 ) = c 13 − (2 − 1) + (9 − 18) − (+5 − 2) = d 15 + [−14 − (7 − 6 + 3)] + 2 = e −[10 + 3 − (2 − 5)] − 7 + (4 + 6) = f 7 − 3 − [(8 − 10) − (−6 + 1)] = g (4 − 8) − [5 − (10 + 2) − 4] = 2
h −[100 − (− 105 + 110)] − [(120 − 115) − 125] = 48 Gegeven: a = 9, b = −5, c = −3
Bepaal door substitutie.
Voorbeeld
3
Bereken a – b – c
a–b–c = 9–(–5)–(–3)
Als er twee tekens achter elkaar komen, moeten ze gescheiden worden door haakjes!
= 9 + 5 + 3 = 17
a a + b − c
=
b −a + b − c = c a − b + c
=
d a − (b + c) = 4
e (a − b) + c = f 10 − c − a
=
g 10 − (c − a) = 54
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 54
Z
27/11/13 16:20
49 Bereken op de twee manieren.
1 Eerst de bewerkingen die tussen haken staan uitrekenen.
2 Eerst de haken wegwerken (met de regel der haken).
a 15 + (7 – 3)
=
15 + (7 – 3)
=
b –14 – (–3 – 4)
=
–14 – (–3 – 4)
=
c –(8 + 6) + (–3 + 7)
=
–(8 + 6) + (–3 + 7)
=
d –(–5) – (12 – 8 + 4)
=
–(–5) – (12 – 8 + 4)
=
1
2
50 Werk de haken weg en schrijf zo eenvoudig mogelijk.
a a + (b − a)
=
b (c + d) − (c − b)
=
c x − (1 + x − z)
=
d −(r + 5) + (r + 8)
=
e (k − p) − (−m + 3 + k − p) = 51 Gegeven: x = −2 , y = 5, z = −4
Werk de haken weg en bereken daarna door substitutie.
a x – (y + z) = b y + (–z – x) = c z – (–y + x) = d x – (y – 6) = e 5 + (–6 + x) = 3
4
f –(x – y) + (–z + 8) = 1.13 Regel der haken bij het optellen en het aftrekken
Integraal_Deel2_H1.indd 55
55
27/11/13 16:20
SAMENVATTING
Begrip
1
•• Als je het toestandsteken van een geheel getal weglaat, krijg je de absolute
waarde.
De absolute waarde van a noteer je als |a|.
•• Twee getallen met eenzelfde absolute waarde, maar met een verschillend
toestandsteken, noem je tegengestelde getallen.
+a en − a zijn tegengestelde getallen.
•• Als er twee tekens achter elkaar komen, moeten ze gescheiden worden door
haken.
Voorbeeld
|–12| = 12 15 en −15 zijn tegengestelde getallen –(–8)
2
REKENREGEL
•• Optellen van twee gehele getallen
De gehele getallen hebben hetzelfde toestandsteken.
• Behoud dit teken.
• Tel de absolute waarden op.
De gehele getallen hebben een verschillend toestandsteken.
• Neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde.
• Trek de absolute waarden af (grootste min kleinste).
3
•• Als je haken weglaat, dan is
+(+a) = + a
+(–a) = – a
–(+ a)= – a
–(–a) = + a
Voorbeeld
7 + (–5 + 14) = 7 – 5 + 14 = 21 – 5 = 16
7 – (–5 + 14) = 7 + 5 – 14 = 12 – 14 = –2
4
56
Optellen en aftrekken in
Integraal_Deel2_H1.indd 56
Z
27/11/13 16:20
INTEGRAAL
INTEGRAAL
SNEAK PREVIEW
DEEL 2
HOOFDSTUK 1
www.plantyn.com/integraal
1 G E TA L L E N L E E R
LEERWERKBOEK
INTEGRAA
L
InteGraa
l
Wat vindt u van
deze preview?
1 G e ta l l e
n
1 G e ta l l e
n
leer
leerwerk
boek
leer
Laat het ons weten op
Sneak pr
eVIew
hoofDStU
k 1
ISBN 978-9
0-301-4226
9 7890
30
-3
142263
http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal
wISkUnDe
Voor Go!
ISBN 978-90-301-4226-3
WISKUNDE VOOR GO!
Integraal cover marketing.indd 1
27/11/13 11:47