Vrije Ruimte - Home scarlet

Vrije Ruimte
WISKUNDE
Schooljaar 2007 – 2008
Van Hijfte D.
LINEAIRE ALGEBRA
H1 Reële vectorruimten
1.1 Definitie en voorbeelden
uur uur
Stel V is een verzameling waarvan we de elementen vectoren noemen en die we noteren als v1 , v2 …..
R,V,+ is een reële vectorruimte
a.s.a.
uur
uur
uur
uur
1) de optelling in V is intern: (∀v1 ∈ V)(∀v2 ∈ V)(v1 + v2 ∈ V)
uur uur uur
uur
uur
uur
uur
uur
uur
2) de optelling in V is associatief : (∀v1 , v2, v3 ∈ V)(v1 + (v2 + v3 ) = (v1 + v2 ) + v3 )
r
r
r r r r r
3) V bevat een neutraal element voor de optelling : (∀v ∈ V)(∃o ∈ V)(v + o = o + v = v)
r
r
r
r
r
r
r
4) V bevat voor elk element een tegengesteld element : (∀v ∈ V)(∃ ( −v) ∈ V)(v + ( −v) = o = ( −v) + v)
uur
uur
uur
uur
uur
uur
5) de optelling in V is commutatief: (∀v1 ∈ V)(∀v2 ∈ V)(v1 + v2 = v2 + v1 )
Er wordt een scalaire vermenigvuldiging op V gedefinieerd die voldoet aan volgende eigenschappen:
r
r
6) De scalaire vermenigvuldiging is intern (∀r ∈ R)(∀v ∈ V)(r.v ∈ V)
7) De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in V :
r ur
r ur
r
ur
(∀r ∈ R)(∀v, w ∈ V)(r.(v + w) = r.v + r.w)
8) De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in R :
r
r
r
r
(∀r, s ∈ R)(∀v ∈ V)((r + s).v = r.v + s.v)
r
r
r
9) De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief: (∀r, s ∈ R)(∀v ∈ V)(s.(r.v) = (sr).v)
r
r
r
10) (∃r ∈ R)(∀v ∈ V)(r.v = v) Dit getal wordt voorgesteld als 1
Voorbeelden:
1.
R² = { (x,y) ⎜ x∈R en y∈R }
Definitie som (∀a,b, c, d ∈ R)((a,b) + (c, d) = (a + c,b + d))
Definitie scalaire vermenigvuldiging: (∀r ∈ R)(∀(a,b) ∈ R²)(r.(a,b) = (ra,rb))
Men kan eenvoudig aantonen dat R,R²,+ een reële vectorruimte is.
2.
R, πo , + is een reële vectorruimte.
3. R, R2x2,+ is een reële vectorruimte
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 2
4. Stel R[x] de verzameling van alle veeltermen in één veranderlijke x
R[x] = {anxn + an-1xn-1 + ..... + a2x2 + a1x + a0 | an , ..... , a0 ∈ R en n∈N }
R, R[x],+ is een reële vectorruimte.
Oefening : is R,Z,+ een reële vectorruimte? en R,Q,+?
en R,R,+ ?
Volgende eigenschappen zijn geldig in om het even welke vectorruimte:
r r
r
r
r
b) −(rv) = ( −r)v = r( −v)
r
r
a) Als r = 0 of v = o dan is rv = o en omgekeerd
1.2 Lineaire combinaties – afhankelijk - onafhankelijk
vb1:
In R² geldt er dat (3,-7) = -2. (1,1) + 5.(1,-1)
Men zegt dat (3,7) te schrijven is als lineaire combinatie van (1,1) en (1,-1) of ook (3,7) is lineaire
combinatie van de verzameling {(1,1),(1,-1)}
In dit geval zegt men ook dat (3,7) lineair afhankelijk is van (1,1) en (1,-1)
vb2:
Beschouw de verzameling {(1,0),(0,1),(3,5)}
Men kan narekenen dat v3 te schrijven is als lineaire combinatie van v1 en v2.
In dit geval zegt men dat de verzameling {(1,0),(0,1),(3,5)} lineair afhankelijk is.
vb3:
In R[x] is de veelterm 2+3x-5x² een lineaire combinatie van {2,1+x,x+x²}
Definities:
r
Stel R,V,+ een vectorruimte en v ∈ V
{
r r
r
}
D = v1 , v2,......, vn is een niet ledige deelverzameling van V.
r
v is een lineaire combinatie van D
r
of v is lineair afhankelijk van D
a.s.a.
r
r
r
r
(∃ ( a1, a2,....., an ) ∈ R )(v = a1 v1 + a2 v2 + ...... + an vn )
n
of
r
v=
n
∑a v
r
i i
i =1
D is lineair afhankelijk a.s.a minstens één vector van D te schrijven is als lineaire combinatie van de
overige vectoren van D.
D is lineair onafhankelijk a.s.a. geen enkele vector van D te schrijven is als lineaire combinatie van de
overige vectoren van D. Men zegt hier ook D is een vrij deel.
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 3
Oefeningen
1.
r
ur
r
Schrijf z als lineaire combinatie van x en y in volgende gevallen:
a)
b)
c)
d)
x(3,5) , y(2,1) en z(-2,3)
x(1,2) , y(5,3) en z(3,-2)
x(1,0,0) , y(0,2,3) en z(2,4,3)
x(2x-5) , y(x²+x-3) en z(x²-1)
e)
x⎜
⎛0 1 ⎞
⎛ 1 0⎞
⎛ 5 6⎞
⎟ , y⎜
⎟ en z ⎜
⎟
⎝ −1 3 ⎠
⎝2 0⎠
⎝0 1 ⎠
2. Schrijf (1,2) als lineaire combinatie van
a)
b)
c)
{(1,0),(1,1))
{(1,1),(1,2),(2,1)}
{-1,3),(2,-6)}
3. Een deelverzameling D die de nulvector van de vectorruimte bevat is altijd lineair afhankelijk.
Waarom?
4. Stel D = {1,1+x,1+x+x²} Schrijf als lineaire combinatie van D:
a)
b)
c)
x²-x+1
x+5
0
5. Welke veeltermen zijn niet te schrijven als combinatie van D (oef 4) ?
6. Voor welke waarde van r zal (1,2,r) te schrijven zijn als combinatie van (3,0,-5) en (1,-2,-3)?
7. Bij deze oefening is R,V,+ een reële vectorruimte en D een niet ledige deelverzameling van V.
a)
b)
c)
d)
e)
Toon aan dat de nulvector steeds een lineaire combinatie is van D.
De som van twee lineaire combinaties van D is zelf een lineaire combinatie van D. Bewijs
Elk reëel veelvoud van een lineaire combinatie van D is zelf een lineaire combinatie van D.
Bewijs.
r
Als v ∈ V op meer dan één manier te schrijven is als lineaire combinatie van D, dan is de
nulvector ook op meer dan één manier te schrijven als lineaire combinatie van D. Bewijs.
Formuleer de contrapositie van d
8. { (a,b) , (c,d) } is lineair afhankelijk ⇔ ad – bc = 0 Bewijs
Wat is de contrapositie van deze uitspraak?
9. Is Q,Q²,+ een vectorruimte?
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 4
1.3 Deelruimte van een vectorruimte.
vb: We hebben gezien dat R,R²,+ een vectorruimte is.
Beschouw van R² de volgende deelverzameling D = {(x,0) ⎜ x∈R}
Het is eenvoudig te controleren (zelf doen) dat R,D,+ een vectorruimte is ( de 10 eigenschappen zijn
voldaan)
Men zegt hier : D is een deelruimte van R².
Definitie:
R,D,+ is een deelruimte van R,V,+
a.s.a.
D⊂V
R,D,+ is een vectorruimte
Criterium van deelruimten:
D is een deelruimte van V
a.s.a.
D bevat elke lineaire combinatie van 2 willekeurige elementen van D
of
elke lineaire combinatie van 2 willekeurige elementen van D is terug een element van D
In symbolen:
r ur
r
ur
D is deelruimte van V ⇔ (∀r, s ∈ R)(∀v, w ∈ D)(rv + sw ∈ D)
Voorbeelden:
D = {(x,2x)⎜x∈R}is deelruimte van R²
D = {(x,y) ⎜ x+y=0} is deelruimte van R²
⎧⎪⎛ x
⎫⎪
0 ⎞
2x2
⎟ | x, y ∈ R ⎬ is deelruimte van R,R ,+
y
x
y
+
⎪⎩⎝
⎠
⎭⎪
D = ⎨⎜
D = { (1,x,2x) ⎜ x∈R} is geen deelruimte van R,R³,+
Eigenschap:
Als D een niet ledige deelverzameling is van V dan is de verzameling van alle mogelijke lineaire
combinaties van D een deelruimte van V. Men noteert deze deelruimte als Vect{D} (vectorruimte
voortgebracht door D)
Bewijs en voorbeelden : zie klas.
{
uur uur
uur
} {
uur
uur
uur
Notatie : Vect D = Vect v1 , v2 ,........, vn = a1 v1 + a2 v2 + ......... + an vn
}
Met behulp van deze nieuwe notatie kunnen we nu schrijven
r
r
v is lineair afhankelijk van D a.s.a. v ∈ Vect(D)
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 5
Oefeningen.
1.
2.
Controleer of volgende deelverzamelingen deelruimten zijn:
a)
b)
{(0,x,2x) ⎜ x∈R }
{ (0,x,x²) ⎜ x∈R }
c)
y ⎞
⎪⎧⎛ x
⎪⎫
| x, y ∈ R ⎬
⎨⎜
⎟
⎩⎪⎝ x + y x − y ⎠
⎭⎪
d)
e)
f)
g)
{ax²+b ⎜ a,b ∈ R}
{ ax²+b ⎜ a,b ∈ Z}
{ (x,y,z) ⎜ x-2y+z=0 }
{ (x,y,z) ⎜ x-2y+z=2 }
r
r
∀v ∈ V : Rv is een deelruimte van V. Bewijs.
3. Als A en B deelruimten zijn van V dan is de doorsnede van A en B ook deelruimte van V. Bewijs.
Zoek een passend voorbeeld.
1.4 Voortbrengend deel en vrij deel van een vectorruimte.
1.4.1 Voortbrengend deel van een vectorruimte
Definitie:
A is voortbrengend deel van de vectorruimte V
a.s.a.
Vect(A) = V
a.s.a.
elke vector van V is te schrijven als combinatie van A
vb:
{(1,0),(0,1)} is voortbrengend deel van R²
{(1,0),(1,1)} is voortbrengend deel van R²
{(1,1),(2,2)} is niet voortbrengend voor R²
Eigenschappen
Als A een voortbrengend deel is van V
en
A⊂B
dan is B een voortbrengend deel van V
Aanzuiveringseigenschap:
ur
Als een vector vi van een voortbrengend deel A van V
een lineaire combinatie is van de overige vectoren van A
ur
dan is A \ { vi } een voortbrengend deel van V.
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 6
Vervangingseigenschap
ur
Wordt in een voortbrengend deel A van V een vector vi vervangen door
ur
een lineaire combinatie van A waarin vi voorkomt
dan is de nieuwe verzameling A’ terug een voortbrengend deel van V.
1.4.2 Vrij deel van een vectorruimte
Definitie:
A is een vrij deel van een vectorruimte V
a.s.a.
A is lineair onafhankelijk
a.s.a.
geen enkele vector van A is lineaire combinatie van de overige vectoren
Eigenschappen
A is een vrij deel van V
a.s.a.
r
o is op precies één manier te schrijven als lineaire combinatie van A
Uitbreidingseigenschap
r
Als A een vrij deel is van V en p ∉ VectA
r
dan is A ∪ { p } een vrij deel van V
Stelling van Grassman
Een vrij deel van V kan niet meer elementen bevatten
dan een voortbrengend deel van V
Oefeningen
1. Controleer of volgende deelverzamelingen van R² voortbrengend en (of) vrij deel zijn:
a) {(1,0),(1,1)}
b) {(1,2),(2,3),(3,4)}
2. Controleer of volgende deelverzamelingen van R³ voortbrengend en (of) vrij deel zijn:
a) {(1,2,3),(1,0,0),(0,1,0)}
b) {(1,0,1),(-2,1,0),(-3,2,1)}
3. Controleer of volgende deelverzameling van R[x]³ voortbrengend en (of) vrij is:
a) {1,1+x,1+x²,1+x+x²+x³}
b) {0,1+x,x²,x+x³}
c) {1+x,x+x²,x²+x³,1+x³
d) {5,2x,3x²,-x³,1+4x}
4. Als A een vrij deel is van V en B⊂A dan is B een vrij deel van V. Bewijs.
5. Als {v1 , v2} een vrij deel is van V, dan is ook { v1 + v2 , v1 – v2 } een vrij deel van V. Bewijs.
6. Onder welke voorwaarde is (a,b,c) een vector van Vect{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)} ?
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 7
7. Onderzoek of volgende veeltermen lineair onafhankelijk zijn:
a) x³-x+1 , x²+1 , x³+2x²-x+5
b) x²+x , x-1 , x³-1
c) x²+3x+4 , 1 , 2+x² , 3x+1 , x²+x+1
p
8. Als A = {v1 , v2 , ……, vp } een vrij deel is van V en a =
∑a v
i=1
i i
is een vector van V dan is deze
lineaire combinatie enig. Bewijs.
9. Als {v1,v2,v3} een vrij deel is van V dan is ook {v1+v2+v3 , v1-v2-v3 , 2v1-v2+v3 } een vrij deel van V.
Bewijs.
1.5 Basis van een vectorruimte of deelruimte.
1.5.1 Definitie en vb.
Definitie basis
Stel V een vectorruimte en B een deelverzameling van V
B is een basis van V a.s.a. B is vrij en is een voortbrengend deel van V
Vervang in de definitie V door D ( deelruimte van V ) en je bekomt de definitie van basis van een
deelruimte.
Vb: zie klas.
1.5.2 Eigenschappen.
Twee basissen van eenzelfde vectorruimte V bevatten precies evenveel elementen.
Bewijs en voorbeelden : klas.
Het aantal elementen van een willekeurige basis van een vectorruimte of deelruimte noemen we de
dimensie van de vectorruimte of deelruimte.
B is een basis van V
a.s.a.
elke vector van V is op precies één manier te schrijven als lineaire combinatie van B.
Bewijs zie klas.
Gevolg: als B = {e1 , e2 , ........ , en } een basis is van een vectorruimte en v een willekeurige vector van V
dan is v =
n
∑ae
i=1
i
i
de unieke schrijfwijze van v. Het n-tal (a1 , a2 , …….. , an) noemen we de coördinaat
van v ten opzichte van de basis B. Merk op dat de coördinaten van eenzelfde vector veranderen als
de basis verandert.
Stel V is een n-dimensionale vectorruimte
Een deelverzameling van V met minder dan n elementen kan nooit voortbrengend zijn.
Een deelverzameling van V met meer dan n elementen kan nooit vrij zijn.
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 8
Oefeningen
1.
Verklaar waarom volgende deelverzamelingen al dan niet een basis zijn voor de betreffende
vectorruimte:
b) {(1,2,3),(2,3,4)}
a) { (1,2) , (2,3) , (0,1)}
c) {1,1+x,1+x+x²} in R[x]²
d) {1,1+x+x²,x+3,x²} in R[x]²
2. Vul aan tot een basis in R³:
a) {(1,2,3),(2,3,4)}
b) {(1,0,1),(-1,1,2),(1,1,4)}
3. Stel een basis op van volgende deelruimten:
a)
R[x]³
b)
{(x,y,z) ⎟ x+y+z=0}
c)
⎧ ⎡x y ⎤
⎫
x + y = z + u⎬
⎨⎢
⎥
⎩⎣z u ⎦
⎭
d)
{(x,y,z) ⎟ x+y+2z=0 en 2x-3y+z=0}
4. Schrijf de verzameling A van de oplossingen van de vergelijking x-2y+3z=0.
De bekomen verzameling is een deelruimte van R³
Geef van de verzameling een basis
Bepaal de coördinaten van (8,1,-1) ten opzichte van uw gekozen basis.
5. Als {v1 , v2} een basis is van een tweedimensionale vectorruimte dan is {v1+v2,v1-v2} ook een basis.
Bewijs.
6. Toon aan dat alle vectoren (x,y,z,u) van R4 die voldoen aan de eigenschap u = ax+by+cz met a,b,c ∈R
een deelruimte vormen.
Stel een basis op van deze deelruimte.
7. We werken in R³. X is een deelruimte met dimensie 2, Y is een deelruimte met dimensie 2.
Wat kan je zeggen van dim(X∩Y) ?
8. Stel een basis op voor Vect{(1,0,1,0),(1,2,1,-1),(-2,0,3,2),(0,0,5,2)}
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 9
H2 LINEAIRE AFBEELDINGEN
2.1 Definitie ,voorbeelden en eigenschappen
Vb.1 Beschouw in e πo en evenwijdige projectie met drager Ao en richting Bo.
Bo
x
y
Ao
Construeer p(x), p(y), p(x+y), p(x)+p(y), p(2x), 2.p(x)
Besluit : het beeld van een lineaire combinatie van vectoren is de lineaire combinatie van de beelden.
We zeggen dat de projectie op een rechte volgens een niet evenwijdige richting een lineaire afbeelding
is van πo op πo
vb. 2
uur uur
Stel e1 , e2 is een basis van πo . Beschouw de “coördinatenafbeelding” γ: is de afbeelding die elke
(
)
vector van πo afbeeldt op de zijn coördinaten ten opzichte van de gegeven basis.
Toon aan dat deze afbeelding lineair is.
vb.3 Beschouw de homothetie in πo met centrum o en factor r:
ur
ur
ur
( ∀x ∈ πo )(hr (x) = rx )
Toon aan dat deze afbeelding een lineaire afbeelding is .
Definitie lineaire afbeelding
Stel R,V,+ en R,W,+ zijn reële vectorruimten
uur
ur r
ur
r
ur
f: V → W is lineair ⇔ ∀x, y ∈ V ( ∀r, s ∈ R ) f(rx + sy) = r.f(x) + s.f(y)
(
schooljaar 2007-2008
)
(
vrije ruimte wiskunde
)
blz 10
Notaties:
Als V = W dan is f een lineaire transformatie van V vb. zie vorige bladzijde
Als W = R dan is f een lineaire vorm over V vb. f: R²→ R f(x,y) = x+y
De verzameling van de lineaire afbeeldingen van V op W duiden we aan met Lin(V,W)
Als f een lineaire bijectie is van V naar W dan noemen we f een ISOMORFISME tussen V en W.
Als er tussen 2 vectorruimten V en W een isomorfisme bestaat dan zijn V en W isomorf.
EIGENSCHAP
Zijn R,V,+ en R,W,+ reële vectorruimten
uur uur
uur
uur uur
uur
e1 , e2 , ...... , en een basis van V en w1 ,w2, ...... ,wn ∈ W
{
}
Er bestaat precies één lineaire afbeelding f van V op W zodat
ur
uur
f(ei ) = wi met 1 ≤ i ≤ n
Bewijs : zie klas.
Gevolg van deze eigenschap:
een lineaire afbeelding van V in W is volkomen bepaald door
het beeld van een basis van V
Als f een isomorfisme is tussen V en W dan is het beeld van een basis van V een basis van W.
Bewijs: zie klas
ur
ur
Als f een lineaire afbeelding is van V naar W dan is f( 0 ) = 0
Waarom?
Kern en beeld van een lineaire afbeelding:
De kern van een lineaire afbeelding f van V naar W zijn de vectoren van V die onder f worden
ur
afgebeeld op de nulvector van W: kern f = f−1 0
( )
Het beeld fV van een lineaire afbeelding f van V naar W is de verzameling van alle beelden van de
vectoren van V onder f
vb: f R³ →R³
(x,y,z) → (x,y,0)
Eigenschappen van kern en beeld :
1. fV is een deelruimte van W
2. kernf is een deelruimte van V
3. dim fV + dim kern f = dim V
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 11
2.2 Matrix van een lineaire afbeelding
uur uur
vb1 Beschouw het vlak πo waarin we een orhonormale basis kiezen: {e1 , e2 }
Neem als lineaire transformatie f de spiegeling rond de X-as.
We hebben gezien dat elke lineaire afbeelding volledig bepaald is door het beeld van de basisvectoren.
Wat zijn deze beelden?
ur
uur
uur
Stel x = xe1 + ye2 dan is x(x,y)
ur
Stel de coördinaten van f x gelijk aan ( x’ , y’ )
( )
Welk verband bestaat tussen (x’,y’) en (x,y) ?
⎡ x'⎤
⎡x ⎤
Probeer dit verband in matrixnotatie te noteren : ⎢ ⎥ = M. ⎢ ⎥ Wat is M ?
⎢⎣ y'⎥⎦
⎣y ⎦
uur uur
vb2 We werken in het vlak met basis {e1 , e2 } .
uur
uur
uur
uur
uur uur
We constueren een lineaire transformatie van het vlak: f e1 = 2e1 + 3e2 en f e2 = −4e1 + e2
ur
ur
Stel x(x, y) . Bereken f x (x’,y’) en probeer het in matrixnotatie te schrijven.
( )
( )
( )
vb3
f: R³ → R³ (x,y,z)→ (x+y,z,x-y)
Gevraagd : Schrijf in matrixnotatie.
vb4
f : R³ → R² (x,y,z) → (x,y+z)
Gevraagd : Schrijf in matrixnotatie.
Definitie matrix van een lineaire afbeelding
Stel f een lineaire afbeelding van R,V,+ naar R,W,+
uur uur
uur
uur uur
uur
Stel {e1 , e2 , ... en } een basis van V en {u1 ,u2 , ... um } een basis van W
ur
Stel f ( ei ) =
k =m
∑
k =1
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
uuur
⎢ .
a ki uk dan is ⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢⎣ am1
a12
a22
.
.
.
am2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a1n ⎤
a2n ⎥
⎥
⎥
⎥ de afbeeldingsmatrix van f
. ⎥
⎥
⎥
amn ⎥⎦
ten opzichte van de gekozen basissen in V en W.
uur
Merk op: in de 1ste kolom staan de coördinaten van het beeld van e1 ten opzichte van de u-basis in W
uur
In de 2de kolom staan de coördinaten van het beeld van e2 tov de u-basis in W. ……….
De matrix van een lineaire transformatie van V naar W is afhankelijk van de keuze van de basis in V en
van de basis in W. Verandering van basis levert meestal een andere matrix op.
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 12
Oefeningen
1.
Bij volgende situaties behoren de gegeven pijlen met zekerheid niet tot een lineaire transformatie.
Verklaar.
2. Welke van volgende afbeeldingen zijn linear? Welke zijn lineaire transformaties?
lineaire vormen? Geef, als het mogelijk is, een meetkundige interpretatie.
a)
c)
e)
g)
i)
f(x,y) = (y,x)
f(x,y) = (x+2,y+3)
f(x,y,z) = x+y
f(x,y) = x+y+3
f : R[x]² → R[x]1 : a + bx + cx² → b + 2cx
Welke zijn
b) f(x,y) = (x²,0)
d) f(x,y,z) = (x,y)
f) f(x,y) = (x,y,x+y)
h) f(x,y) = (x,0,2x)
3. Een lineaire transformatie van πo zal het midden van een lijnstuk altijd afbeelden op het midden
van het lijnstuk gevormd door de beelden.
ur
ur
4. Als het beeld van een vector x onder een lineaire transformatie zichzelf is, dan noemen we x een
dekpunt van de lineaire transformatie. Toon aan dat als een lineaire transformatie een dekpunt
ur
heeft verschillend van 0 , de transformatie nog andere dekpunten heeft. Welke zijn deze? Geef
een meetkundig voorbeeld.
5. Gegeven f: R³ → R³ (x,y,z) → (x+y+z, ax+y+z,x+by+z) is een lineaire transformatie.
Bespreek de dimensie van de kern en het beeld.
6. Gegeven f: R² → R (x,y) → ax+by.
Wat is de kern en het beeld?
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 13
7. Elke lineaire afbeelding van R³ naar R² heeft een van nul verschillende kern. Verklaar.
r
r
ur
ur
r
r
8. Stel f is een lineaire transformatie van πo waarbij f( x ) = z en f( y ) = z met x en y
verschillende vectoren. Toon aan dat er naast de nulvector nog andere vectoren in de kern zitten.
9. Stel de matrix op van volgende lineaire transformaties van πo :
a)
b)
c)
d)
e)
Projectie op Y-as volgens de X-as
homothetie met factor 5
puntspiegeling ten opzichte van de oorsprong
rotatie met centrum oorsprong en rotatiehoek α
spiegeling rond y = x ( orthonormaal assenstelsel !!! )
10. Stel de matrix op van volgende lineaire transformaties van de ruimte:
a)
Projectie op het yz-vlak
b)
Spiegeling rond XZ-vlak
c)
rotatie rond de Z-as over hoek α
11. Gegeven een lin transformatie van R² waarbij f( 1,0) = (3,5) en f(0,1) = (-1,2)
Gevraagd:
a)
f(-3,7)
b) kern f
c)
f R²
d) f-1 (-2,7)
12. Analoge vragen als je weet dat f(1,0) = (2,3) en f(0,1) = (4,6)
13. Analoge vragen als je weet dat f(1,2) = (3,-4) en f(5,2) = (1,1)
14. f is een lineaire transformatie van R³ en f(1,0,1)=(0,1,2) f(2,1,3)=(2,0,4) en f(0,0,1)=(1,2,3)
Bereken kern f , f(2,6,4) en f-1(0,1,2)
15. f is een lineaire afbeelding van R³ naar R³ waarbij f(1,2,-3) = (2,5) , f(0,1,0 ) = (0,3) en f(0,1,1)=
(-3,4).
Bepaal kern f
16. f is een lineaire vorm en f(1,5) = a en f(2,6) = b. Hoeveel is f(3,4)?
17. Stel e en u zijn basissen van πo .
⎡1 3 ⎤
Stel de matrix van f ten opzichte van de basis e is ⎢
⎥
⎣2 −1⎦
Zoek de matrix van f ten opzichte van de basis u als je weet dat:
uur
r
uur
uur r
uur uur
u1 = e2 en u2 = e1
u1 = 2e1 + 3e2 en
b)
a)
uur uur
uur
u2 = e1 − 3e2
18. Stel de transformatiematrix op van een spiegeling in πo rond de rechte y = mx. (we werken ten
opzichte van een orthonormale basis )
⎡ 1 −2⎤
19. Stel f is een lineaire transformatie van πo en fe = ⎢
⎥ . Bereken fu als je weet dat
⎣3 −2⎦
uur
r
uur
uur uur
uur
u1 = 2e1 + 3e2 en u2 = e1 − 3e2 ?
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 14
2.3 Samenstelling van lineaire afbeeldingen.
Stel f en g lineaire transformaties van πo met respectievelijke matrices
⎡ a1 c1 ⎤
⎡ a2 c2 ⎤
fe = ⎢
en ge = ⎢
⎥
⎥
⎣b1 d1 ⎦
⎣b2 d2 ⎦
Bereken de transformatiematrix van (g°f) ten opzichte van dezelfde basis.
Besluit : ( g ° f )e = ge . fe
Toepassing :
De transformatiematrix van een asspiegeling rond een rechte die een hoek α insluit met de X-as wordt
⎡cos2α sin2α ⎤
gegeven door ⎢
⎥
⎣ sin2α − cos2α ⎦
2.4 Orthogonale transformaties van het vlak.
Een orthogonale transformatie van het vlak is een lineaire isometrie van het vlak.
Een isometrie is elke afbeelding die de afstand bewaart.
In het vlak zijn de isometrieën: spiegeling rond een rechte, rotatie, translatie.
De lineaire isometrieën zijn bijgevolg de asspiegelingen rond een rechte door de oorsprong en de
rotaties met als centrum de oorsprong.
a) rotatie
⎡ a −b ⎤
De matrix is van de vorm ⎢
⎥
⎣b a ⎦
met a²+b²=1
b) asspiegeling
⎡a b ⎤
De matrix is van de vorm ⎢
⎥
⎣b −a ⎦
met a²+b²=1
Opmerking:
Bereken in beide gevallen het product van de matrix met
de getransponeerde. Besluit ?
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 15
Oefeningen:
1.
Gegeven : f: R²→R²
(x,y) → (x+y,2x)
g : R² →R²
(x,y) → (y+2x,x-y)
Bereken het voorschrift van g°f , f°g , f²
2. Gegeven:
f: R³ → R³
(x,y,z) → (x+y,2y,z-x)
g: R³ → R³
(x,y,z) → (2x-y,x+z,y)
-1
Gevraagd : bereken (g°f) (1,0,5)
3. Bepaal het beeld van (3,-2) onder de rotatie met centrum O en rotatiehoek 60°
4. Stel r de rotatie met centrum o en rotatiehoek 30°. Bereken r-1 (3,2)
5. Beschouw de projectie op de rechte y=x. Wat is het beeld van (3,-2)?
6. Toon aan dat de transformatiematrix van de projectie op de rechte y = mx gegeven wordt door
⎡ 1
⎤
m ⎥
⎢ 1 + m²
⎢
⎥
m² ⎥
⎢
⎢⎣ m
1 + m²⎥⎦
2.5 Coördinatentransformatie.
Onder coördinatentransformatie verstaan we het vervangen van een basis e door een nieuwe basis u
zodat de coördinaten van de punten wijzigen volgens bestaande formules.
uur uur
vb: Stel als basis e1 , e2 en het punt P(1,1)
(
)
uur uur
Wat zijn de coördinaten van het punt P(1,1) ten opzichte van de nieuwe basis u1 ,u2 waarbij
uur
uur
u1 (2,1) en u2 ( −1,3) Probeer de formule in matrixvorm te brengen.
(
)
Besluit:
Als
(x,y) de coördinaten zijn van P ten opzichte van de basis e en (x’,y’) zijn de coördinaten van P
ten opzichte van de basis u
uur
uur
en u1 (a,b) u2 (c,d)
⎡x'⎤
⎡x ⎤
Dan is ⎢ ⎥ = P ⎢ ⎥
⎢⎣ y'⎥⎦
⎣y ⎦
of
⎡x'⎤
⎡a c ⎤
−1 ⎡ x ⎤
⎢ ⎥ = P ⎢ ⎥ waarbij P = ⎢
⎥ ( matrix v/d coördinatentransformatie )
⎢⎣ y'⎥⎦
⎣y ⎦
⎣b d ⎦
Toepassing:
opstellen van de vergelijking van een kromme ten opzichte van een nieuwe basis.
Ten opzichte van een orthonormale basis is x² + y² = 25 de vergelijking van een cirkel.
voorbeeld:
Wat wordt de vergelijking van deze cirkel ten opzichte van:
a) u1 (3,0) u2 (0,4)
schooljaar 2007-2008
b)
u1 (1,1) u2 (-2,4)
vrije ruimte wiskunde
blz 16
Oefeningen:
1.
T.o.v. de natuurlijke basis is v (2,5). Bereken de nieuwe coördinaten tov de basis ( (3,1),(5,2))
2. T.o.v. de natuurlijke basis is v(2,-1,1). Zoek de nieuwe coördinaten tov ((2,1,3),(1,0,1),(-1,1,1))
3. Gegeven het punt P(-2,5). We voeren een rotatie door van het assenstelsel over een hoek van 45°.
Wat worden de nieuwe coördinaten. Deze oefening is op 2 manieren op te lossen. Hoe?
4. Een rechte heeft als vergelijking 2x+3y=5. We roteren het assenstelsel over een hoek van 90°?
Wat wordt de nieuwe vergelijking van de rechte?
Toepassing : matrix van een lineaire transformatie bij verandering van basis.
Stel f een lineaire transformatie van het vlak. In de meeste gevallen zal de matrix van de
transformatie er anders uitzien naargelang de basis die we nemen in het vlak.
vb:
Stel de matrix op van een rotatie over 90° ten opzichte van 2 verschillende basissen e en u
uur
uur
met u1 (1, 0) en u2 (0,2)
Opstellen van de formule:
Stel f een lineaire transformatie van het vlak met matrix A tov e en matrix A’ tov u
u is een nieuwe basis met matrix van de coördinatentransformatie P
tov basis e :
⎡x ⎤
beeld van a met coördinaten A. ⎢ ⎥
⎣y ⎦
punt a met coördinaten (x,y)
Door de coördinatentransformatie krijgen we
tov basis u:
⎡x ⎤
punt a met coördinaten P −1 . ⎢ ⎥
⎣y ⎦
Hieruit volgt dus dat
⎡x ⎤
A' . P −1 ⎢ ⎥
⎣y ⎦
=
⎡x ⎤
P −1 .A. ⎢ ⎥
⎣y ⎦
⎡x ⎤
beeld van a met coördinaten P −1 .A. ⎢ ⎥
⎣y ⎦
waaruit volgt dat A’ = P-1 . A . P
P
Formule:
Als
A de matrix van de lineaire transformatie tov de basis e is,
P de matrix van de coördinatentransformatie is naar een nieuwe basis u
Dan
A’ = P-1 . A . P
waarbij A’ de matrix is van de lineaire transformatie tov de nieuwe basis u
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 17
voorbeeld :
Gegeven de lineaire transformatie R² → R² (x,y) → (2x+y , 3x-2y)
Bepaal de matrix van de transformatie horend bij
a) de canonieke basis
b) de nieuwe basis ( (1,1) , (-2,0) )
Opmerking:
Bereken det(A’).
Wat stel je vast ?
Oefeningen:
1.
⎡1 1 ⎤
Tov de natuurlijke basis in R² is de matrix van een lineaire tf A = ⎢
⎥
⎣0 −1⎦
Bereken de transformatiematrix tov volgende nieuwe basissen:
a) ( (1,2) , (1,-2) )
b) ( (2,0) , (1,1) )
2. Gegeven de lineaire tf R³ → R³ (x,y,z) → (2x-y,x+y+z,y-z)
Bepaal de matrix van deze transformatie ten opzichte van de nieuwe basis ((1,2,1),(-1,1,2),(1,2,3))
Toon aan dat de determinant onveranderd blijft.
3. f is een lineaire tf van R³ naar R³ zodat f(x,y,z) = (x+y+3z,2x-y+z,x+2y)
Wat wordt dit voorschrift ten opzichte van de basis ( (1,1,1) , (1,0,1) , (-1,1,0) ) ?
2.6 Eigenwaarden en eigenvectoren.
Bij een lineaire transformatie met matrix A kan het voorkomen dat sommige beelden een scalair
ur ur
ur
ur
veelvoud zijn van het origineel. We krijgen dus f( x ) = λ x . Hierbij is λ ∈ R en x ≠ 0 .
ur
ur
ur
Als f( x ) = λ x dan noemen we λ een eigenwaarde van de lineaire transformatie en x een bijhorende
eigenvector.
Eigenschap:
ur
Als x een eigenvector is horende bij eigenwaarde λ
ur
Dan is r x ook eigenvector horende bij dezelfde eigenwaarde.
Gevolg: bij één eigenwaarde horen dus oneindig veel eigenvectoren: we spreken van de eigenruimte
horende bij deze eigenwaarde.
vb: Beschouw in een orthonormaal assenstelsel de projectie op de Y-as. Wat zijn de eigenwaarden en
hun bijhorende eigenvectoren?
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 18
Bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren: algemene methode ( uitgewerkt bij R³ )
⎡a
⎢
Stel f een lineaire transformatie met matrix A = ⎢d
⎢⎣ g
ur
Noem x een eigenvector horende bij eigenwaarde λ
Hieruit volgt dat
⎡x ⎤
⎢ ⎥
A. ⎢ y ⎥ = λ
⎢⎣z ⎥⎦
b c⎤
⎥
e f⎥
h i ⎥⎦
ur
ur
dan moet f( x ) = λ x
⎡x ⎤
⎢ ⎥
⎢y ⎥
⎢⎣z ⎥⎦
waaruit volgt dat
⎡0 ⎤
⎡x ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
(A - λI ) ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥
(*)
⎢0 ⎥
⎢⎣z ⎥⎦
⎣ ⎦
Dit is de matrixnotatie van een homogeen stelsel met 3 vergelijkingen en 3 onbekenden.
Dit heeft altijd de nuloplossing maar er moet een oplossing zijn verschillend van de nuloplossing dus
moet det (A - λ I ) = 0
Deze vergelijking noemen we de eigenwaardevergelijking of de karakteristieke vergelijking. De
oplossingen van deze vergelijking zijn de eigenwaarden. Als we deze oplossingen substitueren in (*)
kunnen we het stelsel oplossen: de oplossingen zijn dan de coördinaten van de eigenvectoren die horen
bij die eigenwaarde.
Oefeningen
Bereken de eigenwaarden en eigenvectoren als de matrix van de transformatie gegeven wordt door:
1.
2.
⎡4
⎢ −3
⎣
⎡ −1
⎢
⎢3
⎢⎣ 0
2⎤
−1⎦⎥
3 0⎤
⎥
−1 0 ⎥
0 2 ⎥⎦
3.
⎡2 1 1 ⎤
⎢
⎥
⎢1 2 1 ⎥
⎢⎣ 1 1 2⎥⎦
4.
⎡1 2
⎢ −1 −2
⎢
⎢0 0
⎢
⎣1 2
0 3⎤
0 −3⎥⎥
2 0⎥
⎥
0 3⎦
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 19
Eigenschappen ivm eigenwaarden en eigenvectoren.
1.
Heeft een nxn-matrix A n verschillende eigenwaarden dan zijn n bijbehorende eigenvectoren
lineair onafhankelijk en vormen dus een basis van Rn
⎡4 2⎤
Illustreer bovenstaande eigenschap als A = ⎢
⎥
⎣ −3 −1⎦
r
r
r
2. Als v een eigenvector is van A met bijhorende eigenwaarde λ dan is Ak v = λk v
Bewijs: zie klas.
Illustreer deze eigenschap.
r
r
3. Berekening van Ak v als v een willekeurige vector is: (uitgewerkt vb op R²)
r
Er bestaat een relatief eenvoudige manier om Ak v te berekenen op voorwaarde dat de
eigenvectoren van A een basis vormen.
uur
uur
Noem deze eigenvectoren v1 en v2 ( eigenwaarden λ1 en λ2 )
uur uur
r
Deze vormen een basis dus is v = a v1 +b v2
uur
uur
uur
uur
uur uur
r
Hieruit volgt dat A v = A.( a v1 +b v2 ) = a A v1 +bA v2 = a. λ1 . v1 + b. λ2 . v2
uur
uur
r
Analoog vinden we dat A² v = a. λ1² v1 + b. λ2² v2
Besluit:
uur
uur
r
Ak v = a λ1k v1 + b λ2k v2
4. Diagonaliseren van een matrix
Wanneer de matrix van een lineaire transformatie een diagonaalmatrix is dan is het beeld van een
willekeurige vector altijd eenvoudig te bepalen: we moeten de elementen gewoon vermenigvuldigen
met de elementen op de hoofddiagonaal.
We kunnen derhalve onze basis zodanig veranderen dat de transformatiematrix een
diagonaalmatrix wordt. Nu weten we dat bij de keuze van een nieuwe basis met
coördinatentransformatiematrix P de matrix van de transformatie wordt: A’ = P-1 A P
Dit moet een diagonaalmatrix D zijn. Dus D = P-1 A P Onbekenden hierin zijn D en P
Hieruit volgt PD = AP. We bekijken van beide producten de kolommen.
Stel K1 de eerste kolom van P dan is A.K1 de eerste kolom van het product AP
Stel a het eerste diagonaalelement van D dan is aK1 de 1ste kolom van het product PD
Dus hieruit volgt dat A.K1 = a. K1.
Bijgevolg is K1 een eigenvector die hoort bij eigenwaarde a.
Analoog zal K2 een eigenvector zijn die hoort bij eigenwaarde b. We kunnen zo verder redeneren
voor de overige kolommen.
Besluit:
In de diagonaalmatrix D staan de eigenwaarden van matrix A op de hoofddiagonaal en is P de
matrix waarvan de kolommen bijbehorende eigenvectoren bevatten. Het diagonaliseren van een
matrix is enkel mogelijk als er zoveel verschillende eigenwaarden zijn als de rang van A groot is.
⎡4 2⎤
Vb: A = ⎢
⎥ Eigenwaarden zijn 1 en 2.
⎣ −3 −1⎦
Bij eigenwaarde 1 hoort eigenvector (-2,3) ; bij eigenwaarde 2 hoort eigenvector (1,-1)
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 20
⎡ −2 1 ⎤
⎡ 1 0⎤
Besluit : P = ⎢
We kunnen eenvoudig nagaan dat P-1 A P = ⎢
⎥
⎥
⎣ 3 −1⎦
⎣0 2 ⎦
Besluit: als we als nieuwe basis ((-2,3) , (1,-1) ) nemen wordt de transformatiematrix een
diagonaalmatrix met als diagonaalelementen de eigenwaarden.
5. Product en som van de eigenwaarden.
Is A een nxn-matrix met eigenwaarden λ1, λ2, …… ,λn dan is det A = Πλi
Bewijs (voor 3x3)
De eigenwaarden worden berekend met de karakteristieke vgl: det (A - λI)=0
a12
a13 ⎤
⎡ a11 − λ
⎢
⎥
dit is det ⎢ a21
a22 − λ
a23 ⎥ = 0
⎢⎣ a31
a32
a33 − λ ⎥⎦
Het linkerlid is na uitwerking een veelterm van de 3de graad in λ van de vorm
-λ³+aλ²+bλ+c.
Stellen we λ = 0 dan bekomen we : detA = c.
Nu is de ontbinding in factoren van het linkerlid: -(λ-λ1)( λ-λ2)(λ-λ3). De constante term hiervan is
dus det A. Deze constante term is niets anders dan λ1λ2λ3 waarmee de eigenschap bewezen is.
Men kan tevens aantonen dat het spoor van de matrix A ( de som van de elementen van de
hoofddiagonaal) gelijk is aan de som van de eigenwaarden.
Oefeningen:
1.
uur
uur
uur
uur
⎡2 1 ⎤
. Bepaal A250 v1 en Am v2
Toon aan dat v1 (1,1) en v2 (1,-1) eigenvectoren zijn van A = ⎢
⎥
⎣ 1 2⎦
uur
uur
⎡2 2 ⎤
2. Toon aan dat v1 (2,1) en v2 (1,-2) eigenvectoren zijn van ⎢
⎥
⎣2 −1⎦
r
r
Bereken Ak v als v (5,5)
r
r
⎡ −11 −20 ⎤
3. Als A = ⎢
en v (7,-5) bereken dan Ak v
⎥
11 ⎦
⎣ 6
4. diagonaliseer volgende matrices:
⎡ 2 1 −1 ⎤
⎢
⎥
a)
b)
⎢1 2 1⎥
⎢⎣ −1 −1 2 ⎥⎦
5. We hebben gezien dat een matrix A kan worden gediagonaliseerd zodat D = P-1AP
Toon aan dat hieruit volgt dat Ak gelijk is aan P. Dk . P-1
⎡ 2 −3⎤
⎢ −3 4 ⎥
⎣
⎦
k
⎡4 2⎤
Gebruik deze eigenschap om ⎢
⎥ te berekenen.
⎣ −3 −1⎦
schooljaar 2007-2008
vrije ruimte wiskunde
blz 21