lineaire algebra

LINEAIRE ALGEBRA
QUIZ 2
1. Als A en B niet-singuliere n x n-matrices zijn, dan is A+B eveneens niet-singulier.
2. De verzameling van de matrices die commuteren met een gegeven matrix A van Rnxn is een
deelruimte van Rnxn.
3. Als A een antisymmetrische matrix is dan is tr(A) = 0
4. De dimensie van de deelruimte van Rnxn (n > 2) van matrices die commuteren met alle
matrices van Rnxn is minstens 2
5. Als u een kolommatrix is dan is u uT inverteerbaar.
6. Voor een matrix A vinden we een basis van RA door de onafhankelijke rijen van HA te
nemen.
7. Voor elke benedendriehoeksmatrix L1 <> 0 (in R3x3) bestaat er een benedendriehoeksmatrix L2 zodat L1 .L2 = I3 .
8. Als B = (e1 ,...,en ) en B' = (f1 ,...,fn ) basissen van de vectorruimte V zijn en T en S
endomorfismen zijn op V met matrixvoorstellingen
A = [T]BB', B = [S]B'B
dan is [T + S]BB' =
A+B
A^(-1)+B
A+B^(-1)
geen van vorige
9. Als B = (e1 ,...,en ) en B' = (f1 ,...,fn ) basissen van de vectorruimte V zijn met B' = B.Q en T
en S endomorfismen zijn op V met matrixvoorstellingen
A = [T]BB', B = [S]B'B
dan is
[ToS]BB' =
A.B
A.B.(Q^(-1))
A.Q.B.Q
A.(Q^(-1)).B.(Q^(-1))
geen van vorige
10. ATad = Aad T
11. AHad = Aad H
12. Als rang(A) = n-1 (A in Knxn) dan is rang(Aad ) = 1.
13. Neem even pen en papier bij de hand om aan te tonen dat uit X^2-1 = 0 niet noodzakelijk
volgt dat X = 1 of X = -1. Zij X de volgende matrix :
3 x4

2 x2


 1x
-2 3 x7

-3 2 x6

2 4x 
Bereken de getallen x waarvoor X^2-1=0.
14. a. Zij A een gegeven nxn matrix. De kolommen van de matrices B waarvoor A B = 0
behoren dan tot:
De rijenruimte van A
De kolommenruimte van A
De Image van A
De kern van A
geen van vorige
14. b. De verzameling Nd (A) van al deze matrices vormt een deelruimte van Rnxn
14. c. Neem nu n=4 en voor A de volgende matrix:
2
 2 4 18


1 2
9
1



 1 -5 -26 -13


-1 2 11
7

Geef de rang van A.
14. d. Wat is de dimensie van Nd (A)?
14. e. Geef een basis van Nd (A)
15. Als A een hermitische matrix is en B een antihermitische matrix dan is A + i B een
hermitische matrix.
16. Een n x n matrix van de vorm Aij = x als i>j is nilpotent.
17. Een nilpotente matrix heeft geen inverse.
18. Zij A een gegeven antisymmetrische nxn matrix (A<>0). Dan bestaat er een n > 1 zo dat
elke symmetrische matrix X kan geschreven worden als X = A Y + Y A, met Y een
antisymmetrische matrix.
19. Er bestaan matrices waarvoor KA = R 8 en RA = R 4.
20. Voor elke benedendriehoeksmatrix L1 (in Rnxn) met alle diagonaalelementen verschillend
van 0 bestaat er een benedendriehoeksmatrix L2 zodat L1 .L2 = I3 .
21. Als B = (e1 ,...,en ) en B' = (f1 ,...,fn ) basissen van de vectorruimte V zijn en Q is de
overgangsmatrix van de basis B naar B' dan is
Q = [[e1 ][B'],...,[en ][B']];
22. Als A (A <> 0) niet inverteerbaar is dan is Aad een nuldeler.
23. det ([A*1 ,A*2 ,A*3 ]) = 0 impliceert dat A*3 een lineaire combinatie is van A*2 en A*1 .
24. Als de elementen van een matrix A en van zijn inverse A-1 allemaal gehele getallen zijn
dan zijn det A en det A-1 beide 1 of beide -1.
25. Beschouw vier vectoren u1, u2, u3, u4 gegeven door respectievelijk









1 

0 

0 
0 
0 

1 

2 
6 
0 

0 

1 
4 
0

0

0
1
Als u1TA = u4T, u2TA = u3T, u3TA = u2T, u4TA = u1T,
bepaal dan, zonder gebruik te maken van stelsels, de matrix A.
26. a. Zij A een gegeven nxn matrix. De kolommen van de matrices B waarvoor A B = 0
behoren dan tot:
De rijenruimte van A
De kolommenruimte van A
De Image van A
De kern van A
geen van vorige
26. b. De verzameling Nd (A) van al deze matrices vormt een deelruimte van Rnxn
26. c. Neem nu n=4 en voor bepaal de rang van volgende matrix:
 2 5 9 -16


2 1 5
-8



 1 -4 -2
5

-2 0 -4
6

26. d. Wat is de dimensie van Nd (A)?
26. e. Geef een basis van Nd (A)
27. Elke antisymmetrische, reële 2x2 matrix (<>0) is inverteerbaar.
28. Als A en B niet-singuliere n x n-matrices zijn, dan is AB eveneens niet-singulier.
29. Als voor A in Rnxn geldt dat Aij = -1 voor i <> j, n voor i = j dan is voor alle n > 0 de
inverse van A gegeven door de matrix B met:
Bij = 1/(n+1) als i  j
Bii = 2/(n+1)
30. Elke antisymmetrische, reële 3x3 matrix (<>0) is inverteerbaar.
31. Voor een matrix A vinden we een basis van RA door de niet nul rijen van de smithnormale vorm SA te nemen.
32. Voor elke bovendriehoeksmatrix L1 (in Rnxn) bestaat er een bovendriehoeksmatrix L2  0
zodat het product L1 .L2 een diagonaalmatrix is.
enkel als L1 inverteerbaar is
enkel als de diagonaalelementen van L1 niet 0 zijn
voor geen enkele n > 1
voor alle n > 1
33. Als B = (e1 ,...,en ) en B' = (f1 ,...,fn ) basissen van de vectorruimte V zijn en Q is de
overgangsmatrix van de basis B naar B' dan is
Q = [[f1 ][B],...,[fn ][B]];
34. Voor T: V -> V een endomorfisme is en B = (e1 ,...,en ) en B' = (f1 ,...,fn ) 2 basissen van
de vectorruimte V met B' = B.Q definieren we de volgende matrixvoorstellingen van T:
A11 = [T]B
A12 = [T]BB'
A21 = [T]B'B
A22 = [T]B'B'
Welke van de volgende uitdrukkingen is correct:
A12 = Q.A11
A21 = Q.A12.Q
A21 = Q.A11.(Q^(-1))
A22 = Q.A11.(Q^(-1))
35. Een matrix A waarvoor alle elementen gehele getallen zijn en waarvoor de det A = 1 of -1
heeft een inverse met enkel gehele getallen als elementen.
36. det ([A*1 ,A*2 ,A*3 ]) = 0 impliceert dat A*3 een lineaire combinatie is van A*2 en A*1 .
37. Gegeven : matrices A,B,C met tr A = 2, tr B = 5, tr C = 10, tr(ABC) = 14 en A en B
commuterend. Bepaal tr(CBA).
38. We definieren de twee "dambordmatrices" DB1 en DB2 van Rnxn als volgt: DB1 ij = 0 als
i+j = even, 1 als i+j = oneven en DB2 ij = 1 - DB1 ij.
a. De volgende uitspraken zijn allemaal geldig: Rang(DBi ) = 2 (i=1,2), Im(DB1 ) = Im(DB2 ),
N(DB1 ) = N(DB2 ), Rang(DB1 +DB2 ) = 2
b. Waar of vals? N(DBi k) = N(DBi ) en Im(DBi k) = Im(DBi ) (i=1,2) voor elk natuurlijk getal
k.
c. Neem nu n even t.t.z. n = 2m.
Bestaat er een getal (m,k) zodat DB1
k
= DB1 (k een natuurlijk getal)?
Er bestaat zo'n getal voor alle k
Er bestaat zo'n getal als k even is
Er bestaat zo'n getal als k oneven is
Er bestaat niet zo'n getal
d. Bepaal in functie van m en k
e. Bestaat er een getal (m,k) zodat DB2 k = DB2 (k een natuurlijk getal)?
Er bestaat zo'n getal voor alle k
Er bestaat zo'n getal als k even is
Er bestaat zo'n getal als k oneven is
Er bestaat niet zo'n getal
f. Bepaal in functie van m en k
g. Neem nu n oneven t.t.z. n = 2m+1.
Bestaat er een getal (m,k) zodat DB1 k = DB1 (k een natuurlijk getal)?
Er bestaat zo'n getal voor alle k
Er bestaat zo'n getal als k even is
Er bestaat zo'n getal als k oneven is
Er bestaat niet zo'n getal
h. Bepaal in functie van m en k
i. Bestaat er een getal (m,k) zodat DB2 k = DB2 (k een natuurlijk getal)?
Er bestaat zo'n getal voor alle k
Er bestaat zo'n getal als k even is
Er bestaat zo'n getal als k oneven is
Er bestaat niet zo'n getal
j. Bepaal in functie van m en k (Indien niet bestaat typ je `geen` in)
39. a. Bepaal de rang van matrix A
 5 0 -9 1


 1 -4 1 3




-14
6
21
-7


b. Bepaal matrices U, een 3xr matrix, en V een 4xr matrix, zodat A = U VT.
40. Als A en B hermitische matrices zijn dan is B A een hermitische matrix
41. Als A en B antihermitische matrices zijn dan is [A,B] een antihermitische matrix
42. Als A2 = A en A <> 0 dan is A = In
43. Zij p in Cn [x] en A een matrix van de volgende vorm, waarbij a en b reële getallen zijn:
 a b


b a
Elke vergelijking van de vorm p(A)= 0 heeft n oplossingen (eventueel samenvallende) in C2x2
44. Als A een inverteerbare matrix is en B (<>0) een matrix zodat [A,B] = 0 dan is B
inverteerbaar.
45. Voor een matrix A vinden we een basis van KA door de onafhankelijke kolommen van HA
te nemen
46. Voor elke benedendriehoeksmatrix L1 (in Rnxn) met alle diagonaalelementen verschillend
van 0 bestaat er een benedendriehoeksmatrix L2 zodat L1 .L2 = I3 .
47. Als T: V -> V een endomorfisme is en B = (e1 ,...,en ) en B' = (f1 ,...,fn ) basissen van de
vectorruimte V zijn dan is de matrixvoorstelling A van T t.o.v. deze basissen gegeven door:
[T]BB'= [[Te1 ][B],...,[Ten ][B]];
48. det(A + B) = n detA + n detB
49. Als Aad een nuldeler is dan is A ook een nuldeler.
50. Als A de nxn matrix (met n>2) is waarvoor Aij = i + j dan is det A gelijk aan:
n^n
(-n)^n
0
1
geen van vorige
51. Beschouw vier vectoren u1, u2, u3, u4 gegeven door respectievelijk









T
T
T
T
Als u1 A = u4 , u2 A = u3 ,
van stelsels, de matrix A.
1

0

0
0









T
u3 A =
0

1

1
3
 0
 
 0
 
 
 1
 
 7
 
T
u2 , u4TA
 0
 
 0
 
 
 0
 
 1
 
= u1T, bepaal dan, zonder gebruik te maken
52. Bepaal een nxn matrix A (n = 8) met als elementen enkel 0 en 1 waarvoor detA = n-1.
Hint: probeer eerst het probleem op te lossen voor n = 2 en n = 3 en tracht je resultaat uit te
breiden naar hogere waarden voor n
53. Gegeven zijn de volgende veeltermen {p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9} in R8 [x] die een
basis vormen voor deze ruimte:
p1( x )22 x2 x 23 x 34 x 44 x 52 x 64 x 7
p2( x )3x4 x 2x 32 x 43 x 5x 62 x 72 x 8
p3( x )43 x4 x 24 x 32 x 44 x 53 x 6x 74 x 8
p4( x )4x 33 x 42 x 52 x 62 x 7x 8
p5( x )14 x2 x 24 x 3x 4x 54 x 74 x 8
p6( x )43 x2 x 2x 3x 44 x 5x 62 x 74 x 8
p7( x )410 x3 x 24 x 34 x 42 x 7
p8( x )2x3 x 24 x 3x 43 x 52 x 6x 7x 8
p9( x )42 xx 22 x 43 x 5x 62 x 8
a. Stel de matrixvoorstelling A op van de projectie evenwijdig met span([p4, p6, p8, p9]) op
span([p1, p2, p5, p3, p7]) t.o.v. de basis B = ([p1, p2, p5, p3, p7, p4, p6, p8, p9]):
b. Stel de overgangsmatrix Q op van de standaardbasis naar B.
c. Wat is de matrixvoorstelling van de projectie t.o.v. de standaarbasis?
Q.A.(Q^(-1))
Q^(-1).A.Q
geen van de vorige
54. Als A, B en C inverteerbare n x n-matrices zijn, wat is dan de inverse van
inverse(A)*inverse(B*C)?
B*C*A
C*B*A
A*C*B
55. Als A een 2x2 antisymmetrische matrix is dan is [A2,X] = 0 voor elke 2x2 matrix.
56. Zij T en S lineaire functionalen op een n-dimensionale vectorruimte V zodat (T) = (S)
= n - 1, dan bestaan er getallen en (niet beide = 0) zodat T + S = 0.
57. Als de som van elke rij van een matrix A gelijk is aan 0 dan is det A = 0
58. Als rang(A) = n-1 (A in Knxn) dan is rang(Aad ) = 1.
59. Hoeveel verschillende matrices bestaan er die voldoen aan de matrixvergelijking :
A5I
3
 z1 0 0 


0 z

(Zogenaamde 5-de machtswortels van I3) en van de vorm zijn:
0


2




 0 0 z3 


60. Zij B={p1,p2,p3,p4} een basis van R3 [x] waarbij:
p112 tt 22 t 3
p212 t2 t 3
p322 t2 t 2t 3
p41t2 t 22 t 3
De matrixvoorstelling van een endomorfisme T op R3 [x] t.o.v. de basis B wordt gegeven
door de volgende matrix
-2 0 2 2


 2 -2 -1 -1


TB := 

 0 1 0 2


 2 -2 1 2


Bepaal T(v) waarbij v de volgende veelterm is: v44 t5 t 25 t 3
OPLOSSINGEN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
vals
waar
waar
vals
vals
waar
vals
Teacher's answer is:
A+B
A^(-1)+B
A+B^(-1)
geen van vorige
.
9. Teacher's answer is:
A.B
A.B.(Q^(-1))
A.Q.B.Q
A.(Q^(-1)).B.(Q^(-1))
geen van vorige
.
10. waar
11. waar
12. waar
13. x = {1, 2}
14. a. Teacher's answer is:
De rijenruimte van A
De kolommenruimte van A
De Image van A
De kern van A
geen van vorige
14. b. waar
14. c. 2
14. d. 8
14. e.  -13

 2

 0


 1


 -5

 2















0
0
0
0
-3
2
1
0
-1
2
15. waar
16. waar
17. waar
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


0

0


0















.
0


0

0


0

0
0
0
0
0
0
0
0
 -3

 2

 1


 0


 -1

 2

-3
2
1
0
-1
2
0


0

0


0















0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


0

0


0















0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-13 

2 
0 

1 

-5 
2 














-3 

2 
1 

0 

-1 
2 
0
0
0
0
0
0
0
0
-13
2
0
1
-5
2
0


0

0


0

18. vals
19. vals
20. waar
21. vals
22. waar
23. vals
24. waar
25.  0 0 0 -1


 2 -2 -3 -8




-4 1 2 6


 1 0 0 0


26. a. Teacher's answer is:
De rijenruimte van A
De kolommenruimte van A
De Image van A
De kern van A
geen van vorige
26. b. waar
26. c. 2
26. d. 8
26. e.
-2

-1


1

0

.
0

0


0

0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3

2

0
1
0

0


0

0

0

0

0
0
0

0


0

0

-2
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
2
0
1
0

0

0
0
0

0


0

0

0

0

0
0
0
0
0
0
3

2


0

1

-2
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0

0
0
0

0


0

0

27. waar
28. waar
29. waar
30. vals
31. vals
32. You have not attempted this yet.
Teacher's answer is:
enkel als L1 inverteerbaar is
enkel als de diagonaalelementen van L1 niet 0 zijn
voor geen enkele n > 1
voor alle n > 1
33. waar
34. Teacher's answer is:
A12 = Q.A11
A21 = Q.A12.Q
A21 = Q.A11.(Q^(-1))
A22 = Q.A11.(Q^(-1))
35. waar
.
0

0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2

-1

1
0
36. vals
37. 14
38. a. vals
38. b. waar
38. c. Teacher's answer is:
Er bestaat zo'n getal voor alle k
Er bestaat zo'n getal als k even is
Er bestaat zo'n getal als k oneven is
Er bestaat niet zo'n getal
.
38. d. m(k-1)
38. e. Teacher's answer is:
Er bestaat zo'n getal voor alle k
Er bestaat zo'n getal als k even is
Er bestaat zo'n getal als k oneven is
Er bestaat niet zo'n getal
.
(k-1)
38. f. m
38. g. Teacher's answer is:
Er bestaat zo'n getal voor alle k
Er bestaat zo'n getal als k even is
Er bestaat zo'n getal als k oneven is
Er bestaat niet zo'n getal
.
(k/2 - 1/2)
38. h. (m (m+1))
38. i. Teacher's answer is:
Er bestaat zo'n getal voor alle k
Er bestaat zo'n getal als k even is
Er bestaat zo'n getal als k oneven is
Er bestaat niet zo'n getal
38. j. geen
39. a. 2
39. b.
 1 1


-1 1




-1 -4
40. vals
41. waar
42. vals
43. waar
44. vals
45. vals
46. waar
47. vals
48. vals
49. waar
50. 0
51.
0 0 0

 4 -1 0


7 1 1

-1 0 0

1

4

3
0
 2 3


 2 -2




-5 -4


-1 2


.
52.
1

0


1

1


1


1


1

1

0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1

1

1
1

1

1

1
0
53. a.
1

0


0

0


0


0


0

0


0

0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0

0
0

0

0

0
0

0
4
2
-1
1
-3
-2
2
-2
1
-4
-3
2
-1
1
4
-1
-2
-4
53. b.
2

2


-2

3


4


-4


2

-4


0

3 1 4 -4
-1 4 -3 2
-4 2 4 -3
1 4 4 -4
2 1 2 -4
3 -1 -4 0
-1 0 -3 0
-2 -4 -1 -2
-2 4 4 1
53. c. Teacher's answer is:
Q.A.(Q^(-1))
Q^(-1).A.Q
geen van de vorige
.
54. Teacher's answer is:
B*C*A
C*B*A
A*C*B
.
55. waar
56. vals
57. waar
58. waar
59. 125
2412 2 1211 3
60. 1438 613


t
t 
t
17
17
17
17
2 4

1 2

-3 1
-4 0

-1 -2

3 3

-2 1
1 0

1 -2