Loopt dit wel goed af

Natuurkunde
Wisselwerking & Beweging
HAVO
1 Kracht en beweging
Lesplanning
Les
Datum
Keuze
Onderwerp
Klassikaal
Opgaven
1
1 Introductie
Wat heb je aan mechanica?
1 t/m 3
4
2
2 Verplaatsing
De methode van Newton
5
6 t/m 9
3
10, 11
12, 13
evt. 14, 15 11
3
Gravitatie
Constructie van een komeetbaan
4
4 Kracht en snelheid
Een grafiek van de snelheid
16, 17, 18
19 t/m 21
5
5 Snelheid en versnelling
Een formule voor de snelheid
22
23 t/m 28
6
6 Versnelling en afstand
Een formule voor de afstand
29, 30
31 t/m 34
7
7 Versnellen en vertragen
Een balletje opgooien
35
36 t/m 39
8 Remmende auto
Een veilige remweg
Keuze: Twee seconde afstand
40, 41
evt. keuze
44, 45
8
46 t/m 50
51 t/m 54
9
Keuze
9 Botsen zonder autogordel
Krachten bij een botsing
10
Keuze
10 Videometen
Videometen en analysetechnieken
Oefenopdracht videometen
11+12
Keuze
10 Videometen
Praktische opdracht videometen
13
Keuze
11 Afsluiting
Terugblik en samenvatting
Lesmateriaal van Nieuwe Natuurkunde, bewerkt
versie juni 2010
St. Bonifatiuscollege, burg. F. Andreaelaan 7, 3582 KA Utrecht
tel 030-2512315, website: www.boni.nl
Uitvoerders:
Ad Migchielsen
Carolien Kootwijk
Cor Buijs
Kees Hooyman
Otto Kool
Technische ondersteuning:
Marti van IJzendoorn
2
60, 61
42
55 t/m 59
Inhoud
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Introductie ......................................................................... 5
Wat heb je aan mechanica? ..................................................... 5
Verplaatsing ........................................................................ 9
De methode van Newton ......................................................... 9
Gravitatie ......................................................................... 13
De baan van een komeet ...................................................... 13
Kracht en snelheid ........................................................... 18
Snelheid en versnelling ......................................................... 18
Snelheid en versnelling .................................................... 22
Snelheid op een tijdstip ........................................................ 22
Versnelling en afstand ..................................................... 27
Bij een constante kracht ....................................................... 27
Versnellen en vertragen ................................................... 31
Een balletje opgooien ........................................................... 31
Remmende auto ............................................................... 35
Toepassing: een veilige remweg ............................................ 35
Botsen zonder autogordel ................................................ 40
Toepassing: een zeer korte remweg ....................................... 40
Praktische opdracht: Videometen ................................... 48
Bewegingen vastleggen ........................................................ 48
Afsluiting ......................................................................... 51
Terugblik, samenvatting en oefening ...................................... 51
Samenvatting ...................................................................... 52
Gebruik leerboek Newton
De onderwerpen in deze bundel zijn terug te vinden in het leerboek Newton

Newton (havo-1) blz. 104-111, 131, 146 t/m 160

Newton (havo-2) blz. 105-120
3
1 Introductie
Wat heb je aan mechanica?
Wat gaan we doen?
Mechanica is de theorie over de bewegingen van voorwerpen – van de
kleinste atomen tot de grootste sterren – over de oorzaken van die
bewegingen en over de invloed van andere krachten op de beweging. Dit
hoofdstuk gaat over de manier waarop de mechanica gebruikt wordt om
bewegingen te beschrijven, te verklaren en te voorspellen.
 Wat heb je aan mechanica?
 Hoe kun je met mechanica de beweging van een voorwerp beschrijven,
verklaren en voorspellen?
1
Toepassingen in de sport
De Ronde van Frankrijk in 1989 werd beslist in de laatste tijdrit. De drager van
de gele trui, de Fransman Laurent Fignon, had een voorsprong van 50 s op zijn
naaste concurrent, Greg Lemond. Dat leek voldoende maar dankzij voor die tijd
revolutionaire aanpassingen won Lemond de tijdrit met 58 seconde voorsprong
en de Tour met 8 seconde – het kleinste verschil ooit.
Figuur 1 – Laurent Fignon (links) en Greg Lemond (rechts) tijdens de tijdrit in 1989. Fignon
reed toen nog in de gele trui.
a In figuur 1 zie je Fignon en Lemond tijdens die tijdrit. Welke verschillen
merk je op tussen beide wielrenners en fietsen?
b Leg uit hoe die verschillen zorgen voor een grotere snelheid.
In sporten zoals wielrennen en schaatsen zie je voortdurend veranderingen aan
het materiaal die moeten zorgen voor een hogere snelheid.
c Noem twee voorbeelden van zulke veranderingen aan het materiaal.
5
Onderzoekers willen ook graag weten hoeveel verschil die veranderingen
opleveren. Daarvoor gebruiken ze vaak een windtunnel.
d Wat zouden de onderzoekers met de windtunnel eigenlijk meten?
e Op de foto’s in de kantlijn zie je een antieke en een moderne rolstoel. Noem
twee verschillen en leg uit wat het voordeel van die verschillen is.
2
Toepassingen in het verkeer
Sinds de jaren 70 is het verkeer is relatief veel veiliger geworden, mede door een
groot aantal veiligheidseisen aan auto’s.
Figuur 2 - Een antieke rolstoel en de
moderne van Esther Vergeer.
Figuur 3 - Een Toyota Corolla uit 1972 (links) en een uit 2006 (rechts).
Veiliger verkeer
In 1972 reden er
ongeveer 2,8 miljoen
auto’s rond in Nederland.
In dat jaar waren er bijna
3200 verkeersdoden te
betreuren. In 2006 waren
er ongeveer 7,2 miljoen
auto’s en vielen er 811
doden in het verkeer.
In figuur 3 zie je een personenauto uit 1972 en een van hetzelfde type uit 2006.
Aan de buitenkant zie je dat de vorm flink veranderd is.
a Wat zou de vorm van de nieuwe buitenkant te maken kunnen hebben lager
brandstofverbruik?
De veiligheidsmaatregelen zijn aan de buitenkant nauwelijks zichtbaar.
b Noem tenminste twee veiligheidsmaatregelen in moderne auto’s.
c Zou de nieuwe buitenkant van de auto ook veiliger zijn voor voetgangers?
d Ander maatregelen verbeteren de prestaties van de auto: een hogere snelheid,
betere besturing, zuiniger met brandstof, minder CO2-uitstoot of een betere
wegligging. Noem tenminste twee voorbeelden.
6
3
Het ontstaan van de mechanica
Mechanica is ontstaan in de 17e eeuw. Dat gebeurde aan de hand van een
beroemde gebeurtenis uit die tijd: de komeet Kirch, waargenomen in 1680.
Niemand wist waar de kometen vandaan komen en waarom ze in een vreemde
baan langs de hemel bewegen. Komeet Kirch was dagenlang helder en goed
zichtbaar aan de hemel, maar het was lastig om te bepalen hoe ver de komeet
van de aarde af stond. Uit waarnemingen van over de hele wereld is de
onderstaande tekening gemaakt. Daarin zijn de posities van de aarde, de zon en
de komeet op verschillende dagen weergegeven.
Figuur 4 – Schets van komeet Kirch
4 nov
19 nov
Zon
posities komeet Kirch
Zon
4 nov
12 dec
21 dec
5 jan
25 jan
5 feb
19 nov
baan van de aarde
12 dec
21 dec
5 jan
5 feb
25 jan
Figuur 5 - De posities van komeet Kirch ten opzichte van de zon en de aarde. Naar een tekening van Newton.
De baan van de komeet is nog onduidelijk. Met name in de periode tussen 19
november en 12 december moet de komeet in de buurt van de zon zijn geweest.
a Denk je dat de komeet voor of achter de zon langs is gegaan?
b Wat lijkt je de meest waarschijnlijke baan van de komeet? Schets jouw
voorspelling van de baan (van 4 november tot 5 februari) in figuur 5.
Uit de tekening kun je ook iets zeggen over de snelheid van de komeet.
c Is de snelheid van de komeet steeds even groot geweest? Zo nee, waar
versnelde de komeet, waar vertraagde de komeet?
Voor het veranderen van de snelheid moet een oorzaak te vinden zijn.
d Wat veroorzaakte de verandering van de snelheid?
7
4
Kracht en snelheid
In de onderbouw heb je al ontdekt dat een kracht de snelheid kan veranderen.
Dat is een van de manieren waarop je kunt zien dat er een kracht werkt. Een
nettokracht zorgt voor een verandering van de snelheid.
a Welke drie soorten veranderingen heb je in de vorige vraag ontdekt?
De invloedloze beweging
Kan een voorwerp ook
bewegen als er geen
enkele kracht op werkt? Als
de nettokracht nul is?
Newton realiseerde zich
dat je eerst moet weten
hoe een voorwerp beweegt
als er geen enkele kracht
werkt. Hij noemde dat de
invloedloze beweging.
Een belangrijke vraag bij het verklaren van bewegingen is: “Hoe zou de komeet
verder bewegen als er (plotseling) geen enkele kracht meer op zou werken?” Dit
wordt ook wel de invloedloze beweging genoemd. Een voorwerp dat stilstaat zal
natuurlijk niet gaan bewegen als er geen kracht op werkt, maar hoe zit dat met
een voorwerp dat al in beweging is?
b Op 19 november heeft de komeet een bepaalde snelheid. Stel dat er vanaf dat
moment opeens geen enkele kracht meer op de komeet werkt. Wat zou er
vanaf dat moment gebeuren met de snelheid? Leg kort uit.
Wetenschappers in de tijd van komeet Kirch, en met name de nu beroemde Isaac
Newton, keken niet naar de snelheid maar naar de verplaatsing van een
voorwerp binnen een bepaalde periode.
4 nov
19 nov
Zon
4 nov
12 dec
21 dec
5 jan
19 nov
Figuur 6 – Posities van de komeet
Figuur 7 - Sir Isaac Newton
(1643-1727) op 46-jarige
leeftijd. .
c Stel dat er geen enkele kracht op de komeet werkt, maar de komeet heeft wel
een snelheid. In figuur 6 is de positie van de komeet op 4 en 19 november
getekend. Op welke positie zou de komeet dan 15 dagen later zijn, op 4
12 dec
december?
21 dec
d Teken ook de positie van de komeet op 19 december, dat is weer 15 dagen
later.
jan
e Ken je in de dagelijkse praktijk 5
voorwerpen
die bewegen volgens de
invloedloze beweging? Zo ja, geef een voorbeeld. Zo nee, leg uit waardoor
5 feb
dat
komt. 25 jan
8
25 jan
2 Verplaatsing
De methode van Newton
Wat gaan we doen?
Als er geen enkele kracht werkt dan blijft de snelheid constant. Newton
noemde dat de invloedloze beweging. Newton bedacht een methode om de
beweging onder invloed van een kracht te tekenen.
 Hoe werkt de methode van Newton?
Newton voorspelde dat een kracht zou moeten zorgen voor een extra
verplaatsing in de richting van de kracht. De verplaatsing binnen één periode
bestaat volgens Newton uit een combinatie van de verplaatsing door de
invloedloze beweging en de extra verplaatsing door de kracht.
5
Extra verplaatsing
In figuur 8 is de baan van een willekeurige komeet getekend met de methode
van Newton. Rechts zie je de invloedloze beweging en de extra verplaatsing.
Figuur 8 – Extra verplaatsing door de invloed van de zon.
a Welke pijlen horen bij de invloedloze beweging? Hoe weet je dat?
b Teken de invloedloze beweging vanaf positie 6. Geef ook uitleg.
9
Vanuit positie 2 en 3 is met behulp van de twee pijlen een parallellogram
getekend. De nieuwe positie wordt bepaald met behulp van dit parallellogram
(zie ook figuur 9).
c Teken vanuit positie 5 het parallellogram met de twee verplaatsingspijlen.
d Waar ligt positie 8? Teken vanuit positie 7 het parallellogram.
e Teken vanuit positie 6 de pijl die de extra verplaatsing weergeeft. Laat zien
hoe je die gevonden hebt.
f Alle pijlen bij de extra verplaatsing zijn getekend in de richting van de zon.
Leg uit waardoor dat komt.
O
P
Figuur 9 - Constructie van de baan
van de komeet in stappen. De nieuwe
positie wordt getekend met een
parallellogram van de twee
verplaatsingspijlen.
g De pijlen voor de extra verplaatsing zijn niet allemaal even groot. Waardoor
komt dat?
De methode van Newton voor bewegingen
De aanpak van Newton om bewegingen te beschrijven bestaat uit de
volgende stappen:
1. Kies een constante tijdstap, bijvoorbeeld de tijd tussen twee bekende
posities.
2. De invloedloze beweging is gelijk aan de verplaatsing in de voorgaande
tijdstap (alsof er geen enkele kracht invloed heeft op de beweging).
3. Een kracht zorgt voor een extra verplaatsing in de richting van de
kracht (gerekend aan het begin van de tijdstap).
4. De nieuwe positie wordt bepaald uit de som van de invloedloze
beweging en de extra verplaatsing met behulp van een parallellogram.
6
Begripstest: De invloed van een kracht op de beweging
Als er een kracht is dan wijkt de beweging af van de invloedloze beweging.
Een kracht zorgt dus voor een snelheidsverandering.
a Kan het ook gebeuren dat een kracht alleen de grootte van de snelheid
verandert? In welk geval zal dat gebeuren?
b Hoe noemen we zo’n beweging waarbij alleen de grootte van de snelheid
verandert?
c Aan welke voorwaarde moet de kracht voldoen zodat alleen de richting van
de snelheid verandert?
10
Beweging bij een constante kracht
In de onderstaande oefenopgaven wordt steeds met een constante kracht
gewerkt. De extra verplaatsing door de invloed van de kracht is daardoor in elke
tijdstap even groot.
7
Methode van Newton bij een constante kracht
In figuur 10 is een begin van een beweging volgens de constructiemethode
getekend. Het gaat om een situatie waarbij de kracht constant is..
O
P
Q
Figuur 10 – Constructie bij een constante kracht.
Er zijn drie posities getekend, met gelijke tijdstappen. Positie Q is bepaald met
de constructiemethode. De twee pijlen horen bij de invloedloze beweging en de
extra verplaatsing door de kracht. Ze zijn achter elkaar getekend.
a Is de invloedloze beweging de gestreepte of de doorgetrokken pijl?
b Waarom zie je hier geen parallellogram?
c Teken in figuur 10 vanuit Q de pijl voor de invloedloze verplaatsing in de
volgende tijdstap. Bedenk eerst hoe lang die pijl moet zijn.
d Leg de pijl voor de extra verplaatsing in het verlengde en teken positie R.
e Teken op dezelfde manier positie S.
f Bekijk de beweging. Ken je bewegingen die ongeveer zo verlopen? Hoe
noemen we zo’n beweging?
8
Newton bij een tegenwerkende kracht
In figuur 11 is een ander voorbeeld van de constructiemethode getekend. Ook
hier is de kracht constant.
O
Figuur 11
P
Q
a Hoe kun je zien dat je hier te maken hebt met een tegenwerkende kracht?
b Teken zelf de volgende twee posities met de constructiemethode.
c Bekijk de beweging. Ken je bewegingen die er zo uitzien? Welke?
11
9
Constructie van een kromlijnige beweging
In figuur 12 is het begin van een beweging met een constante kracht getekend.
Zowel de grootte als de richting van de extra verplaatsing veranderen niet.
O
A
B
Figuur 12
a In welke richting werkt de kracht?
b Teken vanuit positie B de pijl voor de extra verplaatsing.
c Teken vanuit positie B de pijl voor de invloedloze beweging.
d Teken met een parallellogram positie C en construeer op dezelfde manier
positie D en E.
e Het voorwerp gaat steeds sneller bewegen. Hoe zie je dat?
Ken je bewegingen die er zo uitzien? Hoe noem je zo’n beweging?
f
Benadering van de werkelijke beweging
De methode van Newton is natuurlijk slechts een benadering van de
werkelijke beweging. Newton nam in feite aan dat de snelheid gedurende een
gehele tijdstap constant zou zijn, maar de snelheid verandert natuurlijk
doorlopend. Door hele kleine tijdstappen te nemen kon hij toch een goede
benadering van de beweging maken.
Newton wist natuurlijk nog niet hoe groot de massa van de komeet en de
aantrekkingkracht van de zon zou zijn. Door verschillende aannames te
maken voor de extra verplaatsing en die te vergelijken met de werkelijke
baan kon hij uiteindelijk niet alleen aantonen dat zijn methode succesvol
was, hij kon ook bepalen hoe groot de invloed van de zon op de komeet was.
Zeker in die tijd was dat een grote prestatie.
12
3 Gravitatie
De baan van een komeet
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Zwaartekrachtsconstante
Gravitatiewet
Gravitatieconstante
Interactie
Remvertraging
Remweg
Wat gaan we doen?
Om de baan van een komeet te tekenen moeten we weten hoe de
gravitatiekracht op de komeet verandert. Die kracht hangt af van de afstand
tussen de zon en de komeet en verandert ook de richting van de snelheid.
 Hoe hangt de gravitatiekracht af van de afstand?
 Kun je met de gravitatiekracht de baan van de komeet verklaren?
10 Gravitatiekracht, massa en afstand
Op aarde werkt op elke kg een zwaartekracht van 9,81 N. De zwaartekracht is
dus evenredig met de massa van het voorwerp. Maar de zwaartekracht hangt
ook af van de eigenschappen van de aarde.
a Welke twee eigenschappen van de aarde zijn belangrijk voor de
zwaartekracht?
b Hoe verandert de zwaartekracht als de massa van de aarde groter wordt,
terwijl de straal gelijk blijft? (kies: groter/kleiner, evenredig of iets anders)
c Hoe verandert de zwaartekracht als de straal van de aarde groter wordt,
terwijl de massa gelijk blijft? (kies: groter/kleiner, evenredig of iets anders)
Figuur 13 – De maan is een stuk
kleiner dan de aarde. De diameter
van de maan is ongeveer een kwart
van de diameter van de aarde.
De gravitatiekracht is de kracht waarmee twee voorwerpen op een bepaalde
afstand r elkaar aantrekken, hier is r de afstand tot het midden van de aarde. In
dit voorbeeld is M de massa van de aarde en m je eigen massa.
Fgravitatie  G 
M m
r2
(G is een constante)
Deze formule is geen leerstof, de formule is nodig om een constructietekening
te maken.
d Leg uit dat alle bovenstaande eigenschappen in die formule zitten.
De maan is een stuk kleiner dan de aarde. Stel dat de diameter van de aarde vier
keer zo klein zou zijn geweest, maar dat de aarde wel van hetzelfde materiaal
zou zijn gemaakt. De massa zou dan 64× zo klein zijn geworden.
e Hoe groot zou dan de zwaartekracht op 1 kg zijn?
Figuur 14 – Is de baan van de
komeet Hale-Bopp te verklaren met
de aanpak van Newton?
13
11 Constructie van een komeetbaan
O
N
Bij het maken van een constructietekening hangt de extra verplaatsing af van
veel factoren die allemaal constant zijn (massa’s, tijdstap, schaal tekening). De
extra verplaatsing is evenredig met de gravitatiekracht. Daarvoor geldt:
P
Q
Figuur 15 –Constructie van de baan in
stappen.
extra verplaatsing 
25
r2
De factor 25 in de formule is een combinatie van de verschillende constanten.
De berekening daarvan valt buiten de leerstof. De afstand r is in cm, de extra
verplaatsing is ook in cm.
De onderstaande figuur geeft een deel van de constructie van een beweging van
een komeet in de buurt van de zon. In deze tekening is de tijdstap Δt = 1 dag.
B
A
O
C
D
extra verplaatsing in
iedere stap: sextra = 25/r2
S
Figuur 16 – Constructie van de komeetbaan in stappen
14
a Meet de afstand van positie C tot de Zon en bereken de extra verplaatsing in
de eerste stap. Controleer of de pijl in figuur 16 goed getekend is.
b Meet de afstand van positie D tot de zon. Bereken de grootte van de pijl en
teken die in figuur 16.
c Teken de invloedloze beweging vanuit positie D en construeer positie E
volgens de methode van Newton.
d Teken daarna met dezelfde methode nog vier posities.
e Op welke dag is de snelheid het grootst? Wat kun je zeggen over de afstand
tussen de komeet en de zon op die dag?
f
Leg in je eigen woorden uit hoe de komeet kan ‘omkeren’ rond de zon.
Komeet (uit Wikipedia, de vrije encyclopedie)
Kometen zijn kleine hemellichamen die in vaak erg elliptische banen rond
een ster draaien en uit ijs, gas en stof bestaan. Wanneer een komeet dicht
genoeg bij een ster komt verdampt een deel van de materie waaruit ze bestaat
om een zogenaamde coma (een atmosfeer) en/of een komeetstaart te vormen.
De ellipsvormige baan wordt veroorzaakt door de gravitatiekracht van de
ster. De banen van planeten zijn in feite ook ellipsbanen die sterk lijken op
een cirkelbaan.
Figuur 17 - Komeet Hale-Bopp
(11 maart 1997) met blauwe
plasma- en witte stofstaart.
Newton’s tekening van komeet Kirch
De constructiemethode van Newton werkt alleen goed bij zeer kleine
tijdstappen. Voor de tekening van komeet Kirch, die vlak bij de zon een zeer
grote snelheid had, is zelfs een extreem kleine tijdstap nodig.
Newton had geen computer om de baan te tekenen. Hij wist wel dat de baan
een ellips moest zijn en kon op die manier de baan tekenen.
Figuur 18 – Newton’s eigen tekening van de beweging van de komeet Kirch.
15
12 Invloed van de aarde op de komeet Kirch
Zou de aarde ook invloed hebben gehad op de beweging van komeet Kirch, of
kunnen we die verwaarlozen?
BINAS
massa (kg)
aarde
5,976·10
24
zon
1,989·1030
a Vergelijk de massa van de aarde met de massa van de zon. Hoeveel keer zo
zwaar is de zon?
Op 4 november stond komeet Kirch ongeveer vijf keer zo dicht bij de aarde als
bij de zon.
b Met welke factor neemt de gravitatiekracht toe als de afstand vijf keer zo
klein wordt?
c Vergelijk de gravitatiekracht van de Zon op Kirch met de kracht van de aarde
op Kirch. Wat is je conclusie?
13 De nauwkeurige baan van een komeet
Nu we weten hoe de berekening tot stand komt, kunnen we het reken- en
tekenwerk aan de computer overlaten. Die doet precies dezelfde berekeningen
als je tot nu toe hebt gedaan, maar met veel kleinere stappen.
Figuur 19 – Beeld van de computersimulatie ‘ConstructieKomeet’ met een deel van de baan
van de komeet. De pijlen stellen de invloedloze en de extra verplaatsing in elke stap voor.
Figuur 20 – Met het Control
Panel kan het model bediend
worden.
Open de computersimulatie ConstructieKomeet (te vinden op de ELO). In het
computerprogramma zijn de tijdstap en de snelheid van de komeet aan te passen.
a Laat de tijd lopen door op ‘play’ te klikken..
b Leg uit hoe je aan de getekende baan kunt zien dat deze tijdstap te groot is.
c Stop het model en halveer de tijdstap (in het venster ‘Initial Conditions’) en
laat de simulatie lopen. Geeft dat een duidelijke verbetering?
d Maak de tijdstap steeds kleiner. Bij welke waarde van de tijdstap vind je dat
de simulatie nauwkeurig genoeg is?
e De snelheid van de komeet is niet constant. Beschrijf hoe de snelheid
verandert.
f Is de baan van de komeet altijd een ellips? Onderzoek wat er gebeurt als je
de startwaarde voor de snelheid verandert.
16
14 EXTRA: Een satelliet lanceren
Figuur 21 – Simulatie van de baan
van het ISS.
De baan van een satelliet hangt af van de snelheid. De meest bekende satelliet is
het International Space Station (ISS). De gemiddelde hoogte van dit
ruimtestation is ongeveer 342 km boven het aardoppervlak, eigenlijk vlakbij de
aarde.
De computersimulatie SpaceStation rekent in meters en uren. In het model zijn
waardes voor de afstand en de snelheid ingevuld.
a Open de computersimulatie SpaceStation. Op welke hoogte en met welke
snelheid start de baan van het ISS?
Het ISS moet op constante hoogte ronddraaien. Daarvoor moet de snelheid van
het ISS precies de juiste waarde hebben. De simulatie blijkt nog niet goed te
werken: de hoogte verandert teveel. Kennelijk is de opgegeven snelheid niet
nauwkeurig genoeg.
b Is de waarde voor de snelheid te hoog of te laag gekozen?
Figuur 22 – Het International Space
Station ISS draait op een hoogte van
ongeveer 342 km. Elke dag daalt het
vaartuig ongeveer 100 m, waardoor
continu moet worden gecorrigeerd.
c Pas de waarde van de snelheid aan tot de hoogte tijdens de omloop niet meer
dan 1 km afwijkt van de startwaarde. Noteer deze waarde.
15 EXTRA: Is Newton’s theorie echt waar?
Figuur 23 – Albert Einstein.
Is Newton’s theorie nu ook echt waar? Dat is geen eenvoudige vraag, er zit zelfs
een filosofisch tintje aan. Newton was in elk geval overtuigd van zijn gelijk.
Over zijn beschrijving van de beweging van de komeet Kirch (figuur 39) zei hij:
‘The theory that corresponds exactly to so nonuniform a motion throughout the
greatest part of the heavens, and that observes the same laws as the theory of the
planets, and that agrees exactly with exact astronomical observations cannot fail
to be true.’
a Ben jij ervan overtuigd dat Newton’s aannames echt waar zijn? Geef
minstens één argument om je mening te ondersteunen.
b Wat zou er moeten gebeuren om je ervan te overtuigen dat Newton’s
aannames niet echt waar zijn?
Achtergrond – Bij de baan van Mercurius om de zon blijkt een merkwaardig
effect op te treden. Na een groot aantal omwentelingen wordt zichtbaar dat
de baan langzaam verschuift. Dat effect wordt ook wel de periheliumverschuiving van Mercurius genoemd. Het effect was in Newton’s tijd nog
niet waargenomen, maar als Newton het met zijn theorie had willen
verklaren was dat niet gelukt.
Albert Einstein formuleerde in 1916 nieuwe aannames over bewegingen in
zijn Algemene Relativiteitstheorie. Einstein’s aannames zijn anders dan die
van Newton, maar voor alle andere planeten worden de bewegingen even
goed verklaard als bij Newton. Voor Mercurius verklaart Einstein de
periheliumverschuiving die in feite bij alle planeten optreedt. Voor
Mercurius is die verschuiving beter waarneembaar, omdat de ellipsbaan van
die planeet langgerekter is.
17
4 Kracht en snelheid
Snelheid en versnelling
Wat gaan we doen?
De methode van Newton gaat over verplaatsingen in een bepaalde tijdstap.
Tegenwoordig kijken we meer naar de snelheid bij een beweging. In dit
hoofdstuk kijken we alleen naar bewegingen waarbij de kracht constant is.
 Welke invloed heeft een constante kracht op de snelheid van een
voorwerp?
 Wat betekent het begrip versnelling bij natuurkunde?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Snelheidstoename
Versnelling
16 De snelheid bij een constante kracht
In figuur 24 zie je vier situaties waarbij een kracht invloed heeft op de snelheid
van een voorwerp.
Figuur 24
a In welk van de situaties is de kracht op het voorwerp constant? Hoe kun je
dat weten of onderzoeken?
b Welke invloed kan volgens jou een constante kracht op de snelheid van een
beweging hebben? Noem zoveel mogelijk invloeden.
c In figuur 25 zie je drie grafieken van de snelheid van drie verschillende
bewegingen. Geef bij elke grafiek aan om wat voor soort beweging het gaat
en wat je daarbij over de richting van de kracht kunt zeggen.
Figuur 25
18
Wetten van Newton
De aanpak van Newton om bewegingen te beschrijven en verklaren heeft in de
voorgaande hoofdstukken twee belangrijke inzichten of wetten opgeleverd:
Snelheid v
De snelheid geeft aan welk
afstand in een bepaalde tijd
wordt afgelegd. De
gemiddelde snelheid vgem
is:
v gem 
s
t
Daarin is v de snelheid (in
m/s), s de afstand (in m) die
afgelegd is in tijd t (in s).
De eerste wet van Newton luidt: “Als op een voorwerp geen enkele kracht
werkt of als de som van de krachten nul is dan staat het voorwerp stil óf het
beweegt met constante snelheid langs een rechte lijn.”
De tweede wet van Newton luidt: “Een nettokracht zorgt voor een versnelling
of vertraging. De snelheid neemt dan regelmatig toe of af.
De eerste en tweede wet van Newton
Fnetto  0
Fnetto  constant
betekent v = 0 of v = constant
een constante versnelling of vertraging
17 Hoe bereken je de versnelling?
In de onderstaande grafiek zie je hoe de snelheid van een auto regelmatig
toeneemt. De auto versnelt dus. De versnelling van de auto is:
versnelling = groei van de snelheid per seconde.
Figuur 26
a Lees in de grafiek af hoeveel de snelheid elke seconde groeit.
Versnelling a
De versnelling geeft aan
hoeveel de snelheid per
seconde groeit. De eenheid
voor de versnelling is m/s
per seconde.
a = 5 m/s per seconde
Dat betekent dat de
snelheid elke seconde met
5 m/s groeit. Dat wordt ook
geschreven als:
b Hoe groot zal de snelheid zijn na vijf seconde versnellen?
c Hoe groot is dus de versnelling a? Vul in en geef ook de eenheid erbij.
de versnelling a = …
Een andere auto heeft na drie seconde een snelheid van 6,0 m/s bereikt.
d Hoe groot is de versnelling van deze auto?
a = 5 m/s²
e Teken in de grafiek hoe de snelheid van deze auto groeit (tot t = 2,5 s).
f Teken ook de grafiek bij een versnelling van 4,0 m/s per seconde.
19
18 Remkracht
In figuur 27 zie je het v,t-diagram van twee verschillende remmende voertuigen.
a Hoe kun je aan de grafiek zien dat het om een vertraging gaat?
b Bij welke voertuig daalt de snelheid het snelst?
Figuur 27
c Bepaal voor elk voertuig de remvertraging. Daarmee wordt bedoeld hoeveel
de snelheid elke seconde afneemt.
Voor versnellen en vertragen is ook een kracht nodig. Daarvoor geldt:
kracht = massa × versnelling
Voertuig A heeft een massa van 900 kg, bij voertuig B is de massa 1500 kg.
d Bij welk voertuig is de remkracht het grootst? Geef een berekening.
Versnelling en kracht
Bij een constante kracht hoort een gelijkmatige groei van de snelheid.
Daarvoor gebruiken we het begrip versnelling.
versnelling = groei van de snelheid per seconde
v
a
t
De eenheid van versnelling is m/s per seconde. Dat wordt geschreven als
m/s². In een (v,t)-diagram is de helling v/t gelijk aan de versnelling.
Voor versnellen en vertragen is een kracht nodig (tweede wet van Newton).
De grootte van de kracht is evenredig met de massa en de versnelling.
kracht = massa × versnelling
F  m a
De eenheid van kracht is newton (N), dat past bij de andere eenheden. De
massa is in kilogram (kg), de versnelling in m/s².
19 Begripstest
a Een fietser versnelt in 4,0 s vanuit stilstand tot 5 m/s. Bereken de versnelling.
b In 2,5 s neemt de snelheid van een auto toe van 60 tot 65 km/h. Bereken de
versnelling.
20
c De eenheid van versnelling m/s2. Waar komt het kwadraat vandaan?
d Een brommer trekt op met een versnelling van 2,5 m/s². Hoe lang duurt het
totdat zijn snelheid 40 km/h is?
e Op een voorwerp van 25 kg werkt een kracht van 150 N. Hoe groot is de
versnelling?
20 Voetbal
Bij de uittrap van een keeper bereikt de bal in 0,10 s een snelheid van 80 km/h.
a Laat zien dat de versnelling tijdens de trap 222 m/s² is. Reken daarvoor eerst
de snelheid om in m/s.
Figuur 28 – De uittrap van een
keeper
De bal heeft een massa van 450 gram.
b Bereken de kracht op de bal tijdens de trap.
Op een ander moment geeft een speler een pass langs de grond. De bal heeft
direct na de trap een snelheid van 13 m/s. Tijdens het uitrollen is de vertraging
van de bal 3,0 m/s².
c Bereken de afremmende kracht op de bal.
d Stel dat de bal niet aangeraakt zou worden, hoe lang zou het dan duren tot de
bal stil komt te liggen? Neem aan dat de kracht constant is.
e In werkelijkheid wordt de pass na 1,4 s onderschept door een tegenstander.
Bereken de snelheid die de bal op dat moment had.
21 Botsing
Bij een frontale botsing tegen een boom staat de auto na 80 ms stil (de voorkant
van de auto deukt flink in). De totale massa van de auto is 1450 kg, de snelheid
van de auto vlak voor de botsing was 90 km/h.
Bereken de kracht op de auto tijdens de botsing.
Figuur 29 – Botsing is de remtijd
zeer kort.
21
5 Snelheid en versnelling
Snelheid op een tijdstip
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Versnelling
Valversnelling (op Aarde:
g = 9,81 m/s2)
Tweede wet van Newton
Bij een constante kracht verandert de snelheid regelmatig. Op elk tijdstip is
de snelheid anders.
 Hoe bereken je de snelheid tijdens het versnellen?
 Hoe bereken je de gemiddelde snelheid?
22 Snelheid tijdens het versnellen
In de onderstaande grafiek zie je hoe de snelheid van een scooter toeneemt
tijdens de eerste twee seconden. Aangenomen is dat de kracht constant is zodat
de snelheid regelmatig toeneemt. De versnelling is 2,5 m/s².
Figuur 30 – Scooter
Figuur 31 – De snelheid bij een versnelling van 2,5 m/s².
Neem aan dat de versnelling constant blijft totdat de scooter 36 km/h rijdt.
a Hoe duurt het voordat die snelheid bereikt wordt?
b Leg in je eigen woorden uit dat op elk moment tijden het versnellen de
volgende formule geldt: v(t )  2,5  t .
c Hoe zou deze formule veranderen als de versnelling 4,0 m/s² was?
d Bereken met die formule na hoeveel seconde de snelheid 36 km/h is.
22
De snelheid tijdens het versnellen is een heel ander begrip dan de gemiddelde
snelheid.
e Hoe groot was de gemiddelde snelheid bij het versnellen van 0 tot 36 km/h?
f
De gemiddelde snelheid wordt bijvoorbeeld ook berekend bij trajectcontroles
op de snelweg. Welke formule wordt dan gebruikt om de gemiddelde
snelheid te berekenen?
Snelheid en gemiddelde snelheid
Tijdens het versnellen bij een constante kracht neemt de snelheid regelmatig
toe. Als het versnellen op tijdstip t = 0 start vanuit stilstand dan geldt voor de
snelheid op tijdstip t:
v(t )  a  t
Hierin is a de versnelling in m/s² en t de tijd in seconde.
De gemiddelde snelheid wordt meestal berekend uit de afstand en de tijd.
Daarvoor geldt de formule:
v gem 
s
t
Bij een beweging met constante versnelling is de gemiddelde snelheid ook
het gemiddelde van de beginsnelheid en de eindsnelheid.
23 Begripstest
a Je gooit een bal recht omhoog de lucht in. De snelheid neemt af van 15 m/s
tot 0 m/s in het hoogste punt. Hoe groot is de gemiddelde snelheid van de
bal?
b Een fietser trekt op met een constante versnelling van 1,8 m/s². Hoe groot is
de snelheid na 3,0 s?
c Een auto versnelt van 54 km/h tot 90 km/h in 5,0 s. Bereken de versnelling.
d Een auto versnelt van 54 km/h tot 90 km/h in 5,0 s. Bereken de gemiddelde
snelheid.
23
24 Grafieken
In de onderstaande grafieken zie je het v,t-diagram van drie bewegingen.
Figuur 32
a Bij welke van die bewegingen is de snelheid op elk tijdstip gelijk?
b Welke van die bewegingen is met een constante versnelling vanuit stilstand?
c Bepaal de versnelling bij grafiek C.
Zwaartekracht Fz
Op aarde is de zwaartekracht op elke kilogram
gelijk aan 9,81 N. Dat wordt
de zwaartekrachtsconstante g genoemd:
g  9,81 N / kg
Bij de middelste grafiek is op t = 24 s de snelheid 8,0 m/s.
d Stel een formule op voor de snelheid op elk tijdstip t.
e Bepaal bij elk diagram de gemiddelde snelheid tussen t = 0 en t = 20 s.
Voor de zwaartekracht Fz
geldt dus:
Fz  m  g
25 De versnelling van een vallende bal
Een bal die valt versnelt door de zwaartekracht. In de figuur zie je een bal van
2,5 kg en een bal van 25 gram.
a Hoe groot is de zwaartekracht op de bal van 2,5 kg?
b Bereken de versnelling van de bal van 2,5 kg.
a = mF
a=
F
m
c Bereken op dezelfde manier de versnelling van de bal van 25 gram.
d Leg in je eigen woorden uit dat de valversnelling altijd even groot is.
Figuur 33 – De verhouding tussen
de kracht en de massa is gelijk.
24
Zwaartekracht en valversnelling
Bij een valbeweging zonder luchtweerstand werkt alleen de zwaartekracht.
Op aarde werkt op elke kg een kracht van 9,81 N. Dat wordt ook wel de
zwaartekrachtsconstante g genoemd:
zwaartekrachtsconstante g = 9,81 N/kg
Fz  m  g
De zwaartekracht zorgt voor een versnelling. Elk vallend voorwerp versnelt
met dezelfde versnelling van g = 9,81 m/s2.
valversnelling g = 9,81 m/s².
Zonder luchtweerstand vallen alle voorwerpen even snel naar beneden.
26 De snelheidstoename van een vallende bal
0
2,4
In figuur 34 zie je een stroboscoopfoto van een vallende bal. De foto is gemaakt
met behulp van een stroboscoop die 30 flitsen per seconde geeft. De foto is
verkleind weergegeven.
Naast de foto zie je de afstanden die de bal tussen de flitsen aflegt.
a Hoe kun je aan de afstanden zien dat de versnelling constant is?
3,5
10
4,6
b Ga na dat de gemiddelde snelheid tussen de eerste twee flitsen 0,72 m/s is.
c Vul de tabel verder in.
5,7
verplaatsing (cm)
2,4
gemiddelde snelheid v (m/s)
0,72
3,5
4,6
d De snelheid van de bal neemt regelmatig toe. Welk gegeven heb je nog nodig
om de versnelling te berekenen?
20
e Laat met een berekening zien dat hier de versnelling 9,9 m/s² is.
27 Vallen en gooien
30
figuur 34 – Stroboscoopfoto
van een vallende bal met 30
beeldjes per seconde.
a In vacuüm vallen een veertje en een muntstuk op dezelfde manier zij aan zij.
Wat is dan gelijk, de zwaartekracht of de versnelling?
b Je gooit een bal recht omhoog de lucht in. Hoe groot is de snelheid van de
bal in het hoogste punt van de baan? Hoe groot is de versnelling in dat punt?
25
28 De versnelling bij auto’s
We vergelijken het versnellen van auto’s met de valversnelling. Een Mini
Cooper versnelt in 9,9 s van 0 tot 100 km/h.
a Bereken de gemiddelde versnelling van de Mini Cooper tijdens het
optrekken van 0 tot 100 km/h.
Figuur 35 – De Mini Cooper D
versnelt van 0 tot 100 km/h in
9.9 s.
b Bereken hoe lang het duurt voordat een vallend voorwerp een snelheid van
100 km/h bereikt heeft (zonder luchtweerstand).
Sportauto’s trekken veel sneller op dan een Mini Cooper. De allersnelste auto’s
kunnen in een ideale een versnelling halen die vrijwel gelijk is aan de
valversnelling.
c Bereken binnen hoeveel seconde een auto moet optrekken van 0 tot 100
km/h om een gemiddelde versnelling van 9,81 m/s² te halen.
Figuur 36 - Het nieuwe automerk
IFR presenteert de Aspid, een
bloedsnelle compacte raceauto
van slechts 700 kg met 400 pk. De
aandrijving vindt plaats op de
achterwielen en zorgt voor een
acceleratie van 0-100 km/h in 2,8
seconden.
Bij het dragracen treden de grootste versnellingen. Een korte afstand (¼ mijl)
wordt door de sterkste machines afgelegd in iets meer dan 5 s. Dat gaat niet
altijd goed, is erg milieuonvriendelijk en maakt een hoop lawaai. Maar hard gaat
het wel.
Het onderstaande v,t-diagram is gemaakt voor een dragster die tot de
allersterksten behoort. We hebben aangenomen dat de voortstuwende kracht
constant is. Dat is een ruwe benadering, maar de waarden zijn verder wel
realistisch.
125
Δv
100
snelheid
(m/s)
75
Δt
Figuur 37 - Dragracen: een
wedstrijdje ‘versnellen’.
50
25
0,0
0,0
1,0
2,0
t1
3,0
4,0
tijd (s)
5,0
t2
Figuur 38 - Snelheidsverloop bij dragracen.
d Bepaal uit het v,t-diagram de versnelling van de dragster.
26
6 Versnelling en afstand
Bij een constante kracht
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Nu we weten dat bij een constante kracht de snelheid regelmatig toeneemt
zijn we ook benieuwd naar de manier waarop de afstand toeneemt.
 Hoe kun je de afstand berekenen bij een versnelde beweging?
Afstand
Bewegingsvergelijkingen
29 De afstand bij een constante versnelling
In de onderstaande figuren zie je twee bewegingen met een constante
versnelling: een bal die omhoog gegooid wordt en een auto die optrekt. Het zijn
voorbeelden van een versnelde en een vertraagde beweging.
Figuur 39
Bij elke beweging hoort een (v,t)-diagram en een (s,t)-diagram. Hieronder zie je
drie grafieken waarin de snelheid is weergegeven en drie grafieken met de
afstand die het voorwerp op dat moment heeft afgelegd.
a Welk (v,t)-diagram hoort bij een versnelde beweging? Welke bij een
vertraagde beweging?
b Wat voor soort beweging hoort bij het resterende diagram?
Hieronder zie je drie grafieken met de afstand die het voorwerp op dat moment
heeft afgelegd
c Welk (s,t)-diagram hoort bij welk (v,t)-diagram? Leg uit.
27
30 Een formule voor de afstand
In figuur 41 zie je een constructie van een versnelde beweging die gemaakt is
door met behulp van de snelheid de positie te berekenen met stapjes van 0,40 s.
De versnelling van het voorwerp is 2,5 m/s². De grafiek van de snelheid is ook
getekend. De posities zijn getekend in een afstand-tijd-diagram.
0
2
4
De positie is berekend met behulp van de gemiddelde snelheid.
a Laat zien dat tussen t = 0 en t = 0,40 s de gemiddelde snelheid 0,5 m/s is.
6
b Bereken daarmee de positie op t = 0,40 s.
Figuur 41 - Constructie van een
versnelde beweging, a = 2,5 m/s²
en Δt = 0,40 s.
c Bereken ook de positie op t = 0,80 s met behulp van de gemiddelde snelheid.
d Vul de onderstaande tabel verder in. Controleer de punten in de grafiek.
tijd t (s)
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
snelheid v (m/s)
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
afstand s (m)
0
0,2
0,8
Het (s,t)-diagram heeft de vorm van een halve parabool, met de top in de
oorsprong. Bij wiskunde heb je geleerd dat de formule daarbij is:
y  a  x2
e Leg uit dat de formule voor de afstand wordt: s(t )  c  t
f
2
(c = constant)
Bereken de waarde van c. Laat zien dat in dit voorbeeld voor de constante c
geldt: c = ½ × versnelling.
De formule voor de afstand bij een beweging met constante versnelling is dus:
s(t )  12 a  t 2
g Laat zien dat de factor ½ in deze formule te maken heeft met de gemiddelde
snelheid. Gebruik daarbij de formule s = vgem∙t.
28
Bewegingsvergelijkingen
Bij een beweging vanuit rust met een constante versnelling is de afstand die
op tijdstip t is afgelegd te bepalen met de gemiddelde snelheid. Voor de
afstand s en de snelheid v op tijdstip t gelden de volgende formules:
s (t )  12  a  t 2
v(t )  a  t
Deze formules vormen samen de bewegingsvergelijkingen. Ze beschrijven op
elk tijdstip t de positie en de snelheid van het voorwerp.
31 Begripstest
a Een scooter trekt op met een constante versnelling. Voor de afstand geldt de
formule s(t) = 1,4∙t². Hoe groot is de versnelling?
b De een valbeweging is de versnelling 9,8 m/s². Wat wordt bij een
valbeweging de formule voor s(t)?
c Een auto versnelt van 0 tot 90 km/h in 8,0 s. Bereken de versnelling.
d Een auto versnelt van 0 km/h tot 90 km/h in 8,0 s. Bereken de afstand die de
auto daarbij heeft afgelegd.
32 Grafieken
In figuur 42 zie je (v,t)-diagrammen van twee bewegingen.
a Bij welke beweging hoort de vergelijking s(t) = 5∙t? Leg uit.
Bij grafiek B is de snelheid na 24 s gegroeid tot 8,0 m/s.
b Stel voor de beweging van grafiek B vergelijkingen op voor de snelheid en
de afstand op elk tijdstip.
c Bereken voor de beweging van grafiek B de afstand op t = 24 s met behulp
van de gemiddelde snelheid. Controleer of de formule voor s(t) dezelfde
uitkomst oplevert.
d Bereken bij B op welk tijdstip een afstand van 100 m is afgelegd.
Figuur 42
29
33 Oefenen met de formules
Een snelle auto trekt op van 0 tot 90 km/h (dat is 25 m/s) in 7,2 s. De auto heeft
een massa van 1240 kg, neem aan dat de kracht constant is.
a Bereken de versnelling van de auto.
b Bereken de afstand die de auto tijdens het versnellen aflegt.
Figuur 43 - Het nieuwe automerk
IFR presenteert de Aspid, een
bloedsnelle compacte raceauto
van slechts 700 kg met 400 pk. De
aandrijving vindt plaats op de
achterwielen en zorgt voor een
acceleratie van 0-100 km/h in 2,8
seconden.
c Bereken de (netto)kracht op de auto tijdens het versnellen.
De inzittenden van een optrekkende auto moeten ook versnellen. Dat voelt alsof
je met een flinke kracht in je stoel wordt gedrukt, maar in feite is het de stoel die
je naar voren duwt. In de Aspid (zie foto) is dat een flinke kracht.
d Bereken uit de gegevens bij figuur 43 de gemiddelde versnelling en bepaal
daarmee de kracht waarmee een persoon van 80 kg naar voren geduwd
wordt.
34 Versnellen in attractieparken
Een bekend attractie die gebruik maakt van de valversnelling is de Space Shot.
De bezoekers zitten daar in een ring met stoelen die eerst omhoog gelanceerd
wordt. Na het hoogste punt valt de ring over een afstand van 40 m vrij naar
beneden met de valversnelling. Wrijving is te verwaarlozen.
a Met welke versnelling valt de Space Shot naar beneden?
De afstand s is hier de afstand die de Space Shot heeft afgelegd vanaf het
hoogste punt op 40 m hoogte.
b Welke formule geldt hierbij voor de afstand s(t)?
Figuur 44 – Vanaf het hoogste
punt van de Space Shot
ervaren de inzittenden een
vrije val over een afstand van
40 m.
c Bereken hoe lang een vrije val over 40 m duurt.
d Bereken de eindsnelheid na 40 m vallen. Reken het antwoord om in km/h.
Bewegingsvergelijkingen bij vallen
Bij een valbeweging vanuit rust zijn de bewegingsvergelijkingen:
s (t )  12  g  t 2
v(t )  g  t
30
7 Versnellen en vertragen
Een balletje opgooien
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
De bewegingsvergelijkingen v(t) = at en s(t) = ½at² horen bij een
beweging met constante versnelling vanuit stilstand. Bij een vertraagde
beweging is de beginsnelheid niet nul.
 Hoe bepaal je afstand, tijd en snelheid bij een vertraagde beweging?
Vertraging
35 Een balletje opgooien
Een bal wordt omhoog gegooi met een beginsnelheid van 8,0 m/s. In de grafiek
zie je hoe de snelheid van de bal afneemt.
Figuur 45 – Snelheid bij een vertraagde beweging
a Hoe groot is de vertraging van de bal?
b Hoe lang duurt het totdat de bal het hoogste punt bereikt?
c Hoe hoog komt de bal? Bereken de afstand die de bal tot het hoogste punt
aflegt met behulp van de gemiddelde snelheid.
d Controleer of je ook de formule s (t )  12  a  t
2
had kunnen gebruiken.
e Leg in je eigen woorden uit dat je de formule s (t )  12  a  t
gebruiken als de eindsnelheid nul is.
2
altijd kunt
31
De beweging van de bal stopt niet na het hoogste punt. Vanaf dat moment begint
een versnelde beweging naar beneden.
f Na hoeveel seconden is de bal weer beneden?
g Stel dat de bal met een twee keer zo grote snelheid omhoog wordt gegooid,
wat verandert er dan aan de hoogte? Wordt die ook twee keer zo groot? Leg
uit of geef een berekening.
Vertraagde beweging
Bij een vertraagde beweging met een constante vertraging a zijn er twee
manieren om de afstand te berekenen:
 Met de gemiddelde snelheid.
 Met formules: bereken de remtijd met de formule v = a∙t
en de remweg met de formule s = ½.a∙t²
De twee formules gelden alleen als a constant is en de eindsnelheid nul is.
36 Begripstest
a Je gooit een bal recht omhoog de lucht in. Hoe groot is de snelheid van de
bal in het hoogste punt van de baan? Hoe groot is de versnelling in dat punt?
b Vanaf een bepaalde hoogte gooi je eerst een kogel met een bepaalde snelheid
omhoog, en daarna een tweede kogel met dezelfde snelheid omlaag. De
luchtweerstand is verwaarloosbaar klein. Welke kogel raakt de grond met de
grootste snelheid?
c Als de kracht op een voorwerp driemaal zo groot wordt, hoeveel maal zo
groot wordt dan de versnelling?
d In figuur 46 zie je het s,t-diagram van een auto. Wordt de snelheid van de
auto in de loop van de tijd groter of kleiner? Hoe zie je dat aan het diagram?
Figuur 46
e Neem aan dat de versnelling n figuur 51 constant is. Bereken de versnelling
van de auto. Stel eerst een vergelijking op: s = … ·t²
32
37 Remweg en snelheid
De remweg van een auto hangt af van de beginsnelheid en de remvertraging. In
deze opgave nemen we aan dat de remvertraging constant 6 m/s² is.
Een auto remt vanaf een beginsnelheid van 25 m/s.
a Teken in figuur 48 hoe de snelheid afneemt vanaf 25 m/s.
Figuur 47 – Bij een racewagen
zorgt de vleugel voor een grotere
remvertraging.
o.
Figuur 48 – Snelheid van een remmende auto met vbegin = 25 m/s en remvertraging 6 m/s2.
b Bereken de remweg van deze auto op twee manieren.
c
Bereken de remweg van deze auto bij een beginsnelheid van 30 m/s (en
dezelfde remvertraging).
38 The Apollo 15 Hammer-Feather Drop
De valbeweging van voorwerpen is ook op de Maan onderzocht. Commander
Dave Scott van de Apollo 15 liet live op tv een hamer van 1,32 kg en een veer
van 30 g tegelijk vallen van een hoogte van 1,6 m. Beide voorwerpen bereikten
tegelijk de grond. Miljoenen aardbewoners zagen dat beide voorwerpen even
snel vallen (maar wel veel langzamer dan op aarde).
Met het experiment werd een theorie over de valbeweging gecontroleerd.
a Welke theorie werd met dit experiment bewezen?
Figuur 49 – Beelden uit de video van
het experiment Hammer-Feather
Drop.
De val op de Maan van een hoogte van 1,6 m duurde 1,4 s. Dat is bijna 2,5 maal
zo lang als op de aarde.
b Bereken met behulp van de valtijd de valversnelling g op de Maan.
c Hoeveel keer zo klein is de zwaartekracht op de Maan als op aarde?
33
39 Beeldbuis
In de beeldbuis van een tv-toestel krijgen elektronen een grote snelheid met
behulp van twee elektrisch geladen platen. In het elektronenkanon van figuur 50
komen uit de negatief geladen plaat elektronen vrij (met beginsnelheid nul).
Op het elektron werkt een constante elektrische kracht Fe van 2,7·10–13 N. De
massa van een elektron is 9,1·10–31 kg. De afstand tussen de twee geladen platen
in het elektronenkanon is 1,1 cm.
a Welk soort beweging voert het elektron tussen de twee geladen platen uit?
Leg uit waarom.
Figuur 50 – Versnellen van
elektronen in het
elektronenkanon van een
beeldbuis.
b Bereken de versnelling.
c Bereken de eindsnelheid van het elektron.
34
8 Remmende auto
Toepassing: een veilige remweg
Wat gaan we doen?
In het verkeer is een veilige remweg van groot belang. De overheid voert
regelmatig campagne, bijvoorbeeld onder het motto ‘Houd 2 seconden
afstand’. Door alle veiligheidsmaatregelen is het aantal verkeersslachtoffers
sinds de jaren zeventig spectaculair gedaald.
 Hoe bepaal je de maximale remvertraging van een auto?

Is 2 seconde afstand een veilige afstand?
40 Oriëntatie
We gaan op zoek naar een manier om de maximale remvertraging van een auto
te bepalen. Voorwaarde is natuurlijk dat de remmen van de auto goed
functioneren. Daar wordt bij de APK-controle altijd naar gekeken.
a Van welke factoren hangt, naast de kwaliteit van de remmen, de maximale
remvertraging van een auto af, denk je?
b Als je te hard remt gaan de banden slippen. Dat maakt het sturen lastig, maar
hoe zit het met remmen? Rem je beter met slippende banden of met banden
die net niet slippen?
Figuur 51 - Remmen zijn al lang
niet meer zo simpel als vroeger.
Auto’s beschikken tegenwoordig
over zaken als ABS, EBD en
Brake Assist.
c De meeste auto’s hebben ABS. Hoe helpt dat om de remvertraging te
vergroten?
d Bij racewagens zorgt de vleugel voor een grotere remvertraging. Hoe werkt
dat?
e De massa heeft natuurlijk ook invloed op de maximale remvertraging. Zou
de maximale remvertraging van een vrachtwagen groter of kleiner zijn dan
van een personenauto?
Figuur 52 – Bij een racewagen
zorgt de vleugel voor een grotere
remvertraging.
o.
35
Remkracht en remvertraging
Als het remsysteem van de auto optimaal functioneert dan zijn er slechts twee
factoren die de maximale remvertraging bepalen:
 De ‘druk’ van de banden op de weg. Bij een zwaar beladen wagen is deze
kracht groter, dan wordt ook de wrijvingskracht groter.
 De banden en het wegdek. Stroeve banden en een ruw wegdek zorgen voor
een grote remkracht. Zie tabel.
Fn
Fn
Fz
Normaalkracht
Figuur 53 – Zwaartekracht en
normaalkracht op een auto.
wegdek weer
f
Een zwaardere auto duwt met een grotere kracht op de weg, de ‘druk’ van de
banden is groter. De weg ‘draagt’ de auto, deze draagkracht wordt de
normaalkracht genoemd en staat loodrecht op de weg (normaal betekent
loodrecht). Bij een auto op een vlakke weg is de normaalkracht even groot als
de zwaartekracht.
Bij een zwaardere auto zal de normaalkracht ook groter zijn. Daardoor wordt
de maximale remkracht ook groter. Een andere manier om de normaalkracht
groter te maken is met behulp van spoilers of vleugels (bij racewagens).
beton
droog
0,90
Remkracht en wrijving
asfalt
droog
0,85
klinkers
droog
0,80
beton
nat
0,75
asfalt
nat
0,65
De werking van de remmen berust op de wrijvingskracht tussen de banden en
het wegdek. Die wrijvingskracht heeft een maximale waarde. Als de remmen
te hard worden ingetrapt worden dan gaan de banden slippen. Voor de
maximale remkracht geldt:
klinkers
nat
0,4
sneeuw
0,2
ijs
0,1
Figuur 54 – Wrijvingscoëfficiënt
bij verschillende soorten wegdek.
De waarden gelden voor rubber
banden die niet slippen (statische
wrijving).
Fw,max  f  Fn
In deze formule is f de wrijvingscoëfficiënt die afhangt van het contact tussen
het wegdek en de band (zie tabel). Fn is de normaalkracht
41 Remkracht en remvertraging
Lees het theorieblok over remkracht, wrijving en normaalkracht.
a Hoe zie je in de formule Fw,max  f  Fn de invloed van zowel het contact
tussen de banden en het wegdek als de ‘druk’ van de banden op de weg.
Als voorbeeld nemen we een auto met een massa van 1200 kg die op een vlakke
weg maximaal remt op droog asfalt.
b Bereken de normaalkracht Fn bij deze auto.
Normaalkracht
De normaalkracht is de
kracht waarmee het
wegdek de auto ‘draagt’.
Op een vlakke weg is de
normaalkracht even groot
als de zwaartekracht op de
auto
c Bereken de maximale remkracht van deze auto.
d Bereken de maximale remvertraging van deze auto.
e Leg uit dat de maximale remvertraging altijd gelijk is aan 9,81×f.
36
42 Keuzetoepassing: Slippen en ABS
Dynamisch
Statisch
(slippend)
(niet slippend)
Een slippende band levert een kleinere wrijvingskracht dan een band die net niet
slipt. In de tabel in figuur 55 zie je dat bij een slippende band op een droge
asfaltweg voor de wrijvingscoëfficiënt geldt: f = 0,67 (dynamische wrijving).
a Laat zien dat de maximale remvertraging dan 21% lager is dan bij een net
niet slippende band.
Een auto met ABS kan continu met de maximale remvertraging remmen. Bij een
auto zonder ABS moet de bestuurder er zelf voor zorgen dat die wielen niet gaan
slippen.
b Leg uit waardoor bij een auto zonder ABS de gemiddelde remvertraging
meestal een stuk lager is dan bij een auto met ABS..
Figuur 55 – Dynamische en
statische wrijvingscoëfficiënt bij
verschillende oppervlakken. Bij
slippen geldt de dynamische
wrijving.
Bij slippen op nat asfalt is de (dynamische) wrijvingscoëfficiënt 0,53.
c Bereken de remvertraging.
d Bereken de maximale remvertraging van een auto met ABS op nat asfalt (zie
de tabel in figuur 55).
ABS
Motor en ABS
Bij motorfietsen is de
remweg soms behoorlijk
groot. Een getrainde
motorrijder met ABS bereikt
een remvertraging van 8 à 9
m/s², een gemiddelde
motorrijder zonder ABS haalt
slechts een remvertraging
van 6 à 7 m/s².
Het ABS-systeem moet voorkomen dat de banden gaan slippen. Zodra met
een sensor wordt waargenomen dat de wielen dreigen te blokkeren wordt de
remkracht elektronisch verminderd. De remkracht is dan vrijwel gelijk aan
Fw,max.
Wettelijke remvertraging
Bij de APK wordt de werking van de remmen getest. De wettelijke minimale
remvertraging voor personenauto’s bedraagt 5,2 m/s². De meeste auto’s
kunnen sterker remmen, zeker als het wegdek droog en ruw is. Een auto met
ABS kan in veel situaties harder remmen.
Wrijving en slippen
Een auto met ABS heeft een kortere remweg dan een slippende auto. Dat
komt omdat de wrijvingskracht maximaal is als een voorwerp net niet gaat
schuiven. Bekijk figuur 58. Vlak voordat het voorwerp gaat schuiven wordt
de maximale (statische) wrijving bereikt. Bij schuiven geldt de lagere
dynamische wrijving.
Fduw
Fduw
Fw
Fw = Fw,stat
Fduw
Fw = Fw,dyn
Figuur 61 – Wrijvingskracht en duwkracht in verschillende situaties. Bij een glijdend of
slippend voorwerp geldt de dynamische wrijving.
37
Keuzetoepassing: ‘Twee seconden’ afstand
In het verkeer is een veilige remweg van groot belang. De overheid voert
regelmatig campagne, bijvoorbeeld onder het motto ‘Houd 2 seconden afstand’.
In de praktijk blijkt dat automobilisten op de snelweg een veel kleinere afstand
aanhouden.
Hoe gevaarlijk is het om minder afstand te houden? Welke afstand is dan wel
veilig? En in welke situaties moet je extra afstand houden? In deze paragraaf
wordt het nut van de campagne onderzocht.
Figuur 56 – Zinvol advies van de
overheid?
Onderlinge afstand en reactietijd
Als twee auto’s achter elkaar rijden met dezelfde snelheid dan begint de
achterste auto altijd later met remmen. De reactietijd is bij de meeste
automobilisten ongeveer 1 seconde (een oplettende bestuurder kan binnen 0,5 s
reageren), maar de voorste auto is dan al aan het afremmen. Kan de achterste
auto dan wel op tijd tot stilstand komen? Daarvoor onderzoeken we één situatie.
30 m
Figuur 57
A
B
Twee auto’s rijden achter elkaar met een snelheid van 30 m/s (dat is 108 km/h).
Een veilige afstand bij die snelheid zou dus 60 m zijn maar veel automobilisten
houden maar 30 m afstand. Wat zal er gebeuren bij een noodstop?
43 Oriëntatie op de situatie
Stel dat beide auto’s met dezelfde vertraging remmen. De voorste auto start het
remmen bij A en komt tot stilstand bij B. De achterste auto begint 1,0 seconde
later met remmen.
a Kan de achterste auto dan op tijd stilstaan? Geef een berekening.
b Stel dat de remweg van de achterste auto 15 m langer is dan de remweg van
de voorste auto. Binnen hoeveel tijd moet de bestuurder dan beginnen met
remmen?
c De voorste auto heeft ABS waardoor de remvertraging 8,3 m/s² is. Bereken
de remweg van deze auto.
d De achterste auto slipt, zodat f = 0,67. Bereken de remvertraging en de
remweg van deze auto.
e Is de aanbeveling ‘Houd 2 seconden afstand’ zinvol? Geef bij je eigen
mening een argument.
38
44 Begripstest
In figuur 59 zie je het v,t-diagram van twee verschillende voertuigen.
a Welk voertuig heeft de grootste beginsnelheid?
b Welk voertuig heeft de grootste vertraging?
Figuur 59
c Welk voertuig heeft tijdens de eenparig vertraagde beweging de grootste
verplaatsing?
Op een droge asfaltweg is de remweg 2,8 m bij een beginsnelheid van 25 km/h.
d Beredeneer hoe lang dan de remweg is bij een tweemaal zo grote snelheid
(50 km/h). En bij een viermaal zo grote beginsnelheid (100 km/h)?
e Op nat asfalt is de wrijvingscoëfficiënt 1,5 maal zo klein als op droog asfalt.
Is de remweg dan ook 1,5 maal zo groot? Leg uit.
45 Remmende auto
In figuur 60 zie je het v,t-diagram van een rijdende auto die daarna maximaal
remmende auto. Op het tijdstip t = 0 s ziet de bestuurder dat er geremd moet
gaan worden. De auto heeft een massa van 800 kg.
a Bepaal de reactietijd van de bestuurder.
b Bereken daarmee de reactieafstand.
c Bepaal de vertraging tijdens het remmen.
Figuur 60
d Bereken of bepaal de remweg van de auto.
Aan deze auto wordt een aanhangwagen zonder eigen rem gekoppeld. De
aanhangwagen heeft een massa van 400 kg.
e Bereken hoeveel langer de remweg van de auto met aanhangwagen is.
39
9 Botsen zonder autogordel
Toepassing: een zeer korte remweg
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Autogordel
Kreukelzone
De autogordel is een belangrijk veiligheidsinstrument dat al veel mensen het
leven gered heeft. Is zo’n gordel ook nodig bij een botsing met lage
snelheid, of kun je jezelf schrap zet tegen het stuur of het dashboard?
 Hoe bepaal je welke kracht nodig is om zelf de klap bij lage snelheid
op te vangen?.
 Bij welke snelheid heb je voldoende kracht om de botsing op te
vangen?
Krachten bij een botsing
Bij een botsing komt de auto in zeer korte tijd tot stilstand. De ‘remweg’ is dus
heel klein. In deze situatie is de remweg bekend en is het de vraag hoe groot de
kracht moet zijn.
De kreukelzone aan de voorkant zorgt ervoor dat de rest van de auto (de
kooiconstructie) geleidelijk tot stilstand komt. Toch blijft de remweg heel kort
en de kracht groot. En hoe zit dat met de passagiers?
figuur 61
46 Oriëntatie op de situatie
Bij een botsing is de ‘remweg’ zeer kort. Op de bovenstaande foto is goed te
zien dat de voorkant van de auto een flink stuk ingedeukt is. Dat is de
kreukelzone van de auto.
a Leg uit dat de remweg van het middelste deel van de auto vrijwel gelijk is
aan de afstand waarover de kreukelzone is ingedrukt.
b Is de remweg voor de inzittenden even groot als voor de auto? Leg uit.
c Doe eerst een voorspelling: bij welke snelheid denk je dat je genoeg kracht
kunt leveren om niet met je hoofd tegen de voorruit te komen?
40
Plan van aanpak



Onderzoek hoeveel kracht een persoon maximaal kan leveren als hij armen
en benen gebruikt om zich schrap te zetten.
Gebruik een computermodel om te onderzoeken wat er bij verschillende
snelheden gebeurt als je deze kracht gebruikt om je schrap te zetten.
Ga na welke afstand de inzittenden afleggen bij een botsing en bepaal
daarmee de remvertraging en de kracht die nodig is om niet met de
voorruit te botsen.
47 Hoeveel kracht kun je zetten?
Het eerste wat je wilt onderzoeken is hoeveel kracht je maximaal kunt leveren
als je jezelf schrap zet. Met een experiment is dat na te gaan.
Armkracht – Ga met een ruggensteun voor een verticaal opgestelde weegschaal
zitten en druk de weegschaal met je armen zo hard mogelijk in, zoals in de
linker afbeelding van figuur 62. Reken de massa van de weegschaal (in
kilogram) om naar kracht (in newton)
Beenkracht – Doe hetzelfde voor de kracht die je met je benen kunt zetten.
a Noteer de resultaten.
Figuur 62 – Experiment om de
kracht te meten die je met armen
en benen kunt leveren. Als het
niet lukt om het experiment uit te
voeren, maak dan met elkaar een
schatting van de kracht die je
kunt leveren.
De kracht die je met je armen kunt zetten is ……… N.
De kracht die je met je benen kunt zetten is ……… N.
De totale kracht waarmee je jezelf schrap kunt zetten is dus ……… N.
Als deze meting niet uitgevoerd kan worden dan is het ook mogelijk om een
schatting te maken van de krachten die je armen en benen kunnen leveren door
een vergelijking met je lichaamsgewicht. Een redelijke schatting is dat je met je
benen 150% van de gewicht kunt leveren en met je armen 50% van je gewicht.
b Hoe groot is dan de maximale afzetkracht (in N)?
48 Botssimulatie met de computer
In het computermodel ‘Botsing’ zijn de beginsnelheid, de massa van de
bestuurder en de maximale kracht die de bestuurder kan leveren zelf in te
stellen.
a Noteer in het model je eigen massa en de totale kracht die je kunt leveren.
b Kies verschillende waarden voor de snelheid en onderzoek bij welke
snelheid je voldoende kracht kunt zetten om niet tegen de voorruit te botsen.
Noteer deze snelheid .
c Kies een snelheid die twee keer zo groot is als het antwoord bij de vorige
vraag. Met welke snelheid botst de bestuurder tegen de voorruit?
Figuur 63 – Sommige auto’s
komen niet goed uit de botsproef.
d Bij hogere snelheden blijkt het nauwelijks effect te hebben om je schrap te
zetten. Hoe kan dat?
41
49 De remvertraging bij een botsing berekenen
Een botsing is een vertraagde beweging met een zeer korte remweg. De
kreukelzone is ontworpen om de remweg langer te maken. Figuur 64 is een
voorbeeld van de werking van een kreukelzone. Bij een snelheid van 65 km/h
(dat is 18 m/s) wordt de kreukelzone 65 cm ingedrukt.
Figuur 64 – Botsproef bij 65 km/h. De auto is zo’n 65 cm ingedrukt.
Ter vereenvoudiging nemen we aan dat tijdens de botsing de kracht op de auto
constant is. De onderstaande grafiek geeft aan hoe dan de snelheid afneemt.
remweg = 65 cm
Figuur 65
In deze situatie is alleen de beginsnelheid en de remweg bekend. Bij een
beginsnelheid van 18 m/s is de ‘remweg’ slechts 65 cm.
a Bereken de remtijd van de auto met behulp van de gemiddelde snelheid.
b Bereken de remvertraging van de auto.
Tijdens de botsing beweegt de bestuurder ook nog een stuk naar voren in de
auto, dat geeft een extra ‘remweg’. De afstand tussen je lichaam en het stuur of
het dashboard en de voorruit. Deze extra afstand is ongeveer 50 cm.
c Hoe groot is nu de totale ‘remweg’ van de bestuurder?
Figuur 66 – Ook aan de kleinste
inzittenden wordt aandacht besteed
bij botsproeven.
De massa van de bestuurder is 70 kg.
d Bereken de remvertraging en de kracht die jij als bestuurder zou moeten
leveren om niet tegen het stuur of de voorruit te botsen. Wat is je conclusie?
42
Krachten bij botsingen
Een botsing is een vertraagde beweging met een zeer korte remweg. Voor de
inzittenden van een auto bestaat de ‘remweg’ uit de kreukelzone van de auto
plus het uitrekken van de autogordel.
Berekenen van de botskracht
Bij een gegeven beginsnelheid en remweg is de tijdsduur van de botsing te
berekenen met behulp van de gemiddelde snelheid (de helft van de
beginsnelheid).
v
De vertraging volgt dan uit a  begin , de botskracht uit F = ma.
t bots
50 EXTRA: Botsing bij hogere snelheden
Bij hogere snelheden vangt de autogordel de klap op. Een autogordel heeft een
bijzondere eigenschap, de gordel rekt uit als er een grote kracht op werkt.
a Leg uit dat door het uitrekken van de gordel de gemiddelde kracht van de
gordel op de bestuurder kleiner wordt.
Bij een botsing met een snelheid van 60 km/h levert de autogordel een extra
remweg van 30 cm. De kreukelzone van de auto is 60 cm ingedrukt
b Bereken in deze situatie de remweg en de remvertraging.
c De bestuurder van de auto heeft een massa van 82 kg. Bereken de
gemiddelde kracht van de gordel op de bestuurder tijdens de botsing.
Figuur 67 – Gordel niet om, erg
onverstandig.
Bij botsingen met nog hogere snelheden geeft ook de autogordel onvoldoende
bescherming. De krachten worden simpelweg te groot.
d Welke veiligheidsmaatregel geeft extra bescherming bij botsingen met
hogere snelheden?
De werking van de autogordel
De werking van de autogordel berust op de volgende aspecten:
 De borstkas kan meer kracht ‘opvangen’ dan het hoofd.
 De kracht verdelen over een groter oppervlak. De autogordel is vrij
breed en daardoor ontstaat een vrij groot oppervlak.
 De kracht verdelen over een grotere remweg.
Een autogordel kan slechts één keer gebruikt worden (net als een helm). Na
een ongeval wordt de autogordel door de politie doorgesneden.
43
51 Rem-testrapport
In figuur 69 zie je een deel van een testrapport van een auto. Neem aan dat de
auto bij elk van de drie remproeven een eenparig vertraagde beweging uitvoert.
Remsysteem
Een auto moet voorzien
zijn van een bedrijfsrem
die op alle wielen werkt.
De remvertraging van de
bedrijfsrem moet minimaal
5,2 m/s² zijn. Ook moet de
auto voorzien zijn van een
(mechanische)
parkeerrem, ook weleens
handrem genoemd.
50 m
55 m
17 m
Figuur 69 – Auto-testrapport
a Bereken voor elk van de drie proeven de remvertraging van de auto.
b Voldoen de remmen van de geteste auto aan de wettelijke voorschriften?
Waarom wel of niet?
52 Veiliger op weg
Lees eerst het onderstaande gedeelte uit een folder over verkeersveiligheid. Geef
daarna antwoord op de vraag die onder het artikel staat.
Staat u op tijd stil?
Figuur 70
Als er iets onverwachts gebeurt, waarvoor u moet stoppen, heeft u tijd nodig om te
reageren. Dat duurt gemiddeld één seconde. In de tekening ziet u de totale afstand
die u nodig heeft om tot stilstand te komen, bij de minimum eisen voor de
remvertraging. Wat betekent dit in de praktijk?
 Remmen binnen 30 meter lukt alleen als u met een personenauto niet harder dan
50 km per uur rijdt.
 Als u 60 km per uur rijdt is de botssnelheid dan nog altijd 40 km per uur. Voor
voetganger en fietser kan zo’n botsing fataal zijn.
Bij 50 km/h is de totale afstand 30 m en de reactietijd van 1,0 s.
a Bereken de reactieafstand en de remvertraging bij een snelheid van 50 km/h.
b Ga met een berekening na wat er gebeurt bij een beginsnelheid van 60 km/h
en dezelfde remvertraging. Welke snelheid heeft de auto dan na 30 m? Tip:
teken een grafiek van de snelheid.
44
Oefenopgaven
53 Rijsnelheid bij mist
Op een mistige dag is het zicht beperkt tot 50 m. Dat betekent dat een
automobilist de weg over een afstand van 50 m kan overzien. Het grootste
gevaar is dan dat er plotseling een stilstaande auto op 50 m afstand opdoemt.
Laat met een berekening zien wat onder deze omstandigheden een veilige
rijsnelheid (in km/h) is.
54 Botsen
Een vrachtwagen rijdt op een afstand van 40 m achter een personenauto op de
snelweg. Beide voertuigen hebben een snelheid van 90 km/h. Plotseling moet de
bestuurder van de personenauto remmen. De personenauto remt vanaf het
tijdstip t = 0 s met een vertraging van 6,0 m/s2 af tot stilstand. De
vrachtwagenchauffeur reageert daar 0,75 s later op. Vanaf dat moment remt de
vrachtwagen met een vertraging van 4,0 m/s2.
a Teken in één v,t-diagram het verband tussen snelheid en tijd voor beide
auto’s.
b Bereken voor beide auto’s de verplaatsing vanaf het tijdstip t = 0 s en laat
zien of de vrachtwagen wel of niet tegen de personenauto botst.
55 Hoogspringen
De beweging bij het hoogspringen is een combinatie van een beweging in
verticale richting en een beweging in horizontale richting. In deze opgave
houden we geen rekening met de beweging in horizontale richting.
Een hoogspringster komt met een snelheid v van 4,0 m/s los van de grond. Deze
snelheid is verticaal omhoog gericht. Tijdens de beweging is de
luchtwrijvingskracht verwaarloosbaar klein. Om erachter te komen of de
hoogspringster in de situatie van figuur 3 over de lat heen komt, moet je bepalen
welke hoogte haar zwaartepunt Z maximaal bereikt. Dus: op welke hoogte haar
snelheid in verticale richting nul is.
Laat met een berekening zien of de hoogspringster in de situatie van figuur 71
wel of niet over de lat heen komt.
Figuur 71 – De beweging
van het zwaartepunt van de
hoogspringster bepaalt of zij
wel of niet over de lat heen
komt.
45
56 Vallen en botsen
In figuur 72 worden de gevolgen van het niet dragen van de autogordel bij een
botsing vergeleken met het vallen van een bepaalde hoogte. Een botsing met een
snelheid van 60 km/h is te vergelijken met een val vanaf 14 m hoogte.
Ga door berekening na of deze informatie juist is.
57 Sprinten
Figuur 72 – Botsen zonder gordel
voorgesteld als vallen van bepaalde
hoogte.
De beweging van een atleet op de 100 m sprint is te vereenvoudigen tot een
eenparig versnelde beweging met een versnelling van 4 m/s2, gevolgd door een
eenparige beweging met een (constante) snelheid van 12 m/s.
a Hoe lang duurt het totdat de sprinter met een constante snelheid loopt?
b Welke afstand heeft de sprinter dan afgelegd?
c Bereken de eindtijd van deze atleet op de 100 m sprint.
58 Wisselen op de estafette
Het doorgeven van het estafettestokje op de viermaal 100 m sprint geeft nogal
eens problemen. Een ploeg met goede wissels boekt vaak betere resultaten dan
een ploeg met topsprinters. Het wisselen moet gebeuren binnen bepaalde
grenzen. In figuur 74 is deze wisselzone weergegeven.
Sprinter A heeft een constante snelheid van 10 m/s. Sprinter B start volgens het
(vereenvoudigde) v,t-diagram van figuur 75.
Figuur 73 – Doorgeven van
het estafettestokje.
Figuur 74 – Start- en wisselzone bij de viermaal 100 m sprint.
Figuur 75 – Het v,t-diagram van de
beweging van sprinter B bij zijn start.
Bereken hoe groot de afstand tussen beide sprinters moet zijn op het moment
dat sprinter B start voor een zo goed mogelijke wissel.
46
59 Airbag
Lees eerst het onderstaande gedeelte uit een krantenartikel. Geef daarna
antwoord op de vragen die onder het artikel staan.
Botsballon opblazen
Figuur 76 – De airbag voorkomt
dat hoofd en romp bij een botsing
het stuur of de voorruit kunnen
raken.
Een airbag wordt opgeblazen bij botsingen
met een snelheid die hoger is dan 35 km/h.
Daaronder biedt alleen de gordel voldoende
bescherming.
Na een botsing wordt in veel minder dan
een seconde (ca. 50 milliseconden: 0,05 s)
de luchtzak opgeblazen met een mengsel
dat voor een groot deel uit stikstof bestaat.
Bij een botsing beslist binnen 10 tot 15
milliseconden de elektronica achter het
dashboard dat actie geboden is. Vijf
milliseconden later begint de airbag zich te
ontvouwen. Tien milliseconden later is hij
half vol en al bruikbaar.
Bron: De Gelderlander
De airbag of ‘botsballon’ wordt bij een botsing wel snel opgeblazen, maar is dat
snel genoeg?
Bij een botsing met een snelheid van 72 km/h deukt de kreukelzone van een auto
35 cm in en zorgt de uitrekking van de autogordel ervoor dat de bestuurder in de
cabine nog 20 cm naar voren schiet.
a De massa van de bestuurder is 70 kg. Bereken de kracht van de autogordel
op de bestuurder tijdens de botsing.
b Bereken de tijd die nodig is voor het afremmen van de bestuurder tijdens de
botsing.
c Wordt de airbag snel genoeg opgeblazen? Leg uit waarom wel of niet.
47
10
Praktische opdracht: Videometen
Bewegingen vastleggen
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Videometen
Functiefit
Actiekracht
Reactiekracht
In dit hoofdstuk zijn bewegingen onder invloed van een constante kracht
bekeken. Het zijn bewegingen met een constante versnelling of vertraging.
Een goede methode om dergelijke bewegingen te analyseren is videometen.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:
 Hoe kun je een beweging vastleggen met videometen?
 Hoe bepaal je met videometen de versnelling of vertraging?
Videometen en analysetechnieken
Videometen met de computer is een handig hulpmiddel om bewegingen te
analyseren en om de theorie over bewegingen te onderzoeken. De beweging van
een voorwerp op een filmpje wordt met videometen omgezet in een grafiek van
de positie en een grafiek van de snelheid. De analysetechnieken van de software
maken het mogelijk om de kennis uit de voorgaande paragrafen toe te passen op
de grafieken. Daarbij gaat het om vragen zoals:
 Welke vorm heeft de grafiek van de snelheid? Is er een formule bij de
grafiek te vinden?
 Hoe bepaal je de versnelling uit de grafiek van de snelheid? Past de
versnelling bij de theoretische waarde in de situatie?
 Welke vorm heeft de grafiek van de plaats? Is er een formule bij de grafiek
te vinden? Hoe bepaal je de versnelling uit de grafiek van de plaats?
 Kun je bij deze grafieken de helling of de oppervlaktemethode gebruiken?
Praktische Opdracht videometen
Figuur 83 - Bij videometen wordt de
positie van het voorwerp op
achtereenvolgende filmbeeldjes
vastgelegd. Daardoor ontstaat een ‘spoor’
van de beweging.
Deze opdracht gaat over het analyseren van een beweging onder invloed van een
constante kracht met behulp van videometen. De onderzoeksvragen bij deze
opdracht zijn?
 Hoe groot is de versnelling van het voorwerp?
 Is de versnelling in overeenstemming met de krachten die op het voorwerp
werken?
Uitvoering onderzoek
Bij het onderzoek maak je gebruik van software die geschikt is voor
videometen, zoals Coach6 of LoggerPro.
 Leg met behulp van een videocamera een beweging vast die veroorzaakt
wordt door een constante kracht. De versnelling of vertraging van het
voorwerp moet nagenoeg constant zijn.
 Kies een opstelling of situatie waarbij je ook de kracht kunt vaststellen die
voor de versnelling zorgt.
 Maak een afstand-tijd-diagram van de beweging en bepaal daarmee de
versnelling van het voorwerp. Maak gebruik van een geschikte
analysemethode zoals functiefit of coordinatentransformatie.
48

Maak een snelheid-tijd-diagram van de beweging en bepaal daarmee de
versnelling van het voorwerp. Maak gebruik van een geschikte
analysemethode.
 Ga na of de versnelling past bij de krachten die bij jouw opstelling of
situatie op het voorwerp werken. Verklaar eventuele verschillen.
 Er zijn extra punten te verdienen door een originele situatie te kiezen
(bijvoorbeeld een olifant die weggeschoten wordt met een katapult). De
enige beweging die verboden is, is een valbeweging waarbij de
luchtweerstand vrijwel te verwaarlozen is.
Neem in het verslag tenminste de volgende onderdelen op: een afbeelding van
de meetopstelling met meetpunten, grafieken van snelheid en afstand, grafieken
waarin analyse of functiefit is toegepast en een vergelijking tussen de gemeten
versnelling en de krachten op het voorwerp.
Bij videometen wordt de positie van het
voorwerp op achtereenvolgende
filmbeeldjes vastgelegd. Daardoor
ontstaat een ‘spoor’ van de beweging.
Videometen
Bij het gebruik van videometen zijn bij elk softwareprogramma de volgende
handelingen nodig om de videobeelden om te zetten in een serie metingen.
a. Het filmpje laden
b. De schaal van de videobeelden instellen
c. Het assenstelsel voor de meting plaatsen
d. De plaats van het voorwerp op elk beeldje vastleggen
e. Grafieken maken van de plaats en de snelheid
f. De metingen analyseren
De verschillende softwareprogramma’s zoals Coach6 en LoggerPro zijn in grote
mate identiek, op sommige plaatsen is het gebruik van het programma
verschillend. Raadpleeg de handleiding of vraag je docent.
60 Oefenopdracht met LoggerPro
De onderstaande opdracht is een oefening met het programma LoggerPro. Voor
andere software zijn de handelingen meestal goed vergelijkbaar. De opdrachten
zijn gebaseerd op een filmpje van een springende danseres.
In het filmpje zie je een danseres omhoog springen en weer neerkomen. Zodra
de danseres los komt van de grond werkt er nog maar één constante kracht op de
danseres: de zwaartekracht. Voor de onderzoeksvraag is alleen dat deel van de
sprong interessant.
De onderstaande opdrachten zijn ook bruikbaar bij een filmpje met een andere
versnelde beweging bij een constante kracht.
a. Een filmpje laden
Start het programma LoggerPro. Open een videofilmpje met behulp van de
menu-optie: Insert  Movie  Sample Movies. Kies voor het filmpje van de
Jumping Dancer. Vraag zonodig aan je docent waar je het filmpje kunt vinden.
Menubalk
- Meetpunten toevoegen
- Oorsprong plaatsen
- Schaal instellen
b. De schaal van de videobeelden instellen
Open de video analysis met de button rechtsonder in het videoscherm. Daardoor
verschijnt er een extra menubalk.
Kies voor het instellen van de schaal en teken een lijn van de voeten van het
meisje tot het hoofd. Vul de lengte van het meisje (1.68 m) in.
- Afstand meten
- Extra serie metingen
- Verberg meetspoor
- Verberg oorsprong
- Verberg schaal
49
Menubalk
- Meetpunten toevoegen
- Oorsprong plaatsen
c. Het assenstelsel voor de meting plaatsen
Kies voor het plaatsen van de oorsprong en plaats de oorsprong op een plek naar
keuze. Voor deze videometing is de oorsprong niet belangrijk. Met de muis kun
je de oorsprong verplaatsen of draaien (met de ronde punt langs de x-as)
- Schaal instellen
- Afstand meten
- Extra serie metingen
- Verberg meetspoor
- Verberg oorsprong
- Verberg schaal
d. De beweging vastleggen
Kies voor meetpunten toevoegen en zoek het videoframe waar je de meting wilt
starten. Bedenk welk punt van het bovenlichaam je wilt gebruiken als meetpunt
(bijvoorbeeld de neus of de bovenkant van een oor). Zorg dat het videoscherm
groot genoeg is om nauwkeurig te meten.
Klik met de muis op het meetpunt. Er verschijnt een blauwe stip en programma
gaat naar het volgende frame. Klik alle meetpunten aan.
e. Grafieken maken
LoggerPro laat direct de metingen zien in een grafiek. Er zijn twee grafieken
getekend: van de x-coördinaat en van de y-coördinaat. Voor deze videometing is
de x-coördinaat niet van belang.
Dubbelklik op de grafiek en geef de grafiek een passende titel. Laat het vakje
Connect Points open. Kies voor Axes Options en zet het vinkje voor de Xmeetserie uit.
Een grafiek van de snelheid
Als je een nieuwe grafiek maakt (Insert Graph) dan zal het programma
automatisch een grafiek tekenen van de verticale snelheid.
f. Analyseren: de helling, functiefit en oppervlaktemethode
De raaklijn aan een grafiek wordt getekend met de optie Tangent bij Analyse.
Sleep de muis langs de grafiek en onderzoek hoe de helling verandert
Selecteer voor een functiefit het relevante deel van de grafiek. Kies bij Analyse
voor Curve Fit. Bedenk zelf welk type verband het best past bij de grafiek.
Selecteer voor de oppervlaktemethode het relevante deel van de grafiek. Kies bij
Analyse voor Integral. Bedenk zelf welke betekenis het oppervlak heeft.
61 Onderzoeksvraag toepassen op danseres
Pas de onderzoeksvragen van de PO toe op het filmpje van de danseres.
a Hoe groot is de versnelling van de danseres? Bepaal de versnelling zowel uit
de grafiek van de snelheid als uit de grafiek van de hoogte.
b Is de versnelling in overeenstemming met de krachten die op het voorwerp
werken?
50
11
Afsluiting
Terugblik, samenvatting en oefening
Terugblik en samenvatting
Het gaat bij mechanica om het verklaren van bewegingen van voorwerpen als
gevolg van de krachten die op die voorwerpen werken. Het resultaat van de
aanpak van Newton bestaat uit:
De eerste wet van Newton:
Een belangrijke stap was de ontdekking van de invloedloze beweging. Een
voorwerp waarop de nettokracht nul blijft met constante snelheid in een rechte
lijn bewegen.
s  v t
Isaac Newton (1643-1727).
De tweede wet van Newton
Een voorwerp waarop een nettokracht werkt wordt versneld of vertraagd. De
versnelling van een voorwerp is de groei van de snelheid per seconde. De
versnelling is gelijk aan de helling in de grafiek van de snelheid.
v
a
t
De versnelling is recht evenredig met de nettokracht die op het voorwerp werkt,
en omgekeerd evenredig met de massa van dat voorwerp.
F  m a
Bewegingen met constante kracht
Als de kracht constant is levert de aanpak van Newton formules op die de
beweging beschrijven, zowel bij een versnelling als een vertraging.
v(t )  a  t
s (t )  12  a  t 2
Krachten
Bewegingen worden veroorzaakt door krachten zoals de zwaartekracht, de
wrijvingskracht en de normaalkracht. In de komende hoofdstukken worden ook
andere krachten onderzocht.
Fw,max  f  Fn
Fz  m  g
51
Samenvatting
Maak hieronder je eigen samenvatting van dit hoofdstuk. In het onderstaande
schema staan de belangrijkste begrippen uit dit hoofdstuk. Ga na of je goed
begrijpt wat elk begrip betekent en geef een korte omschrijving van het begrip in
je eigen woorden. Noteer zo mogelijk ook eenheden en symbolen.
Begrippen
Korte omschrijving, symbool, eenheid, formule…
Zwaartekracht
Normaalkracht
Wrijvingskracht
Versnelling
Remvertraging
Valversnelling
Gemiddelde snelheid
Remweg
Helling in het v,t-diagram
Helling in het s,t-diagram
Kreukelzone
Gebruik leerboek Newton
De onderwerpen in deze bundel zijn terug te vinden in het leerboek Newton
52

Newton (havo-1) blz. 104-111, 131, 146 t/m 160

Newton (havo-2) blz. 105-120
In het onderstaande schema staan alle belangrijke formules uit dit hoofdstuk. Ga
na of je de betekenis van de symbolen en de eenheden kent. Noteer ook in welke
situaties de formules geldig zijn/
Formules
Betekenis symbolen, eenheden, situatie waarbij de formule gebruikt wordt
Fz  m  g
Fw,s  f  Fn
Fnetto  m  a
a
v
t
v(t )  a  t
s (t )  12 a  t 2
s  v gem  t
v(t )  g  t
s (t )  12 g  t 2
Gebruik leerboek Newton
De onderwerpen in deze bundel zijn terug te vinden in het leerboek Newton

Newton (havo-1) blz. 104-111, 131, 146 t/m 160

Newton (havo-2) blz. 105-120
53
Antwoorden
1
a. Lemond heeft een druppelvormige helm op, een dicht
achterwiel, een triathlon stuur en een aangepast
fietsframe.
b. Lagere luchtwrijving.
c. Klapschaats, zwempakken.
d. De grootte van de luchtwrijving.
e. Tegenwoordig: betere vering, evenwicht, zelf
aandrijven (houvast wielen), wendbare voorwielen,
rugsteun, sterkere materialen, opklapbare voetensteun,
etc. Sportrolstoel: schuine wielen (evenwicht), lichtere
materialen, bewegingsvrijheid bovenlijf, sterkere
constructie, wendbaarheid.
2
a. Betere stroomlijn.
b. Verschillen die het verkeer veiliger maken zijn o.a.
gordels voor en achter, airbags, ABS, rembekrachtiging,
stuurbekrachtiging, kreukelzone en kooiconstructie.
c. Ja, de voetganger wordt opgetild.
d. Hybride auto, traction control, betere banden.
3 en 4
Eigen antwoorden
5
a. De gestippelde pijlen zijn de invloedloze beweging, de
andere pijlen de extra verplaatsing.
b. De pijl ligt in het verlengde van de verplaatsing van 5
naar 6, en is even lang.
f. De pijl van de extra verplaatsing moet in de richting van
de zon wijzen.
f. De verplaatsing wordt veroorzaakt door de aantrekking
van de zon.
g. De aantrekking van de zon wordt groter naarmate de
komeet dichter bij de zon is.
6
a. Ja: als de kracht in de richting van de beweging is.
b. Rechtlijnige versnelde beweging.
c. F moet dan steeds loodrecht op v staan
7
a. De gestreepte pijl.
b. De beweging is in één lijn.
O
P
Q
f. Een versnelde beweging.
S
8
a. De extra verplaatsing is tegengesteld gericht aan de
beweging, dus de invloed werkt de beweging tegen.
O
P
Q
c. De verplaatsing wordt kleiner: het voorwerp remt af.
9
a. Invloedloze beweging (gestippeld) en de extra
verplaatsing t.g.v. aanwezige kracht.
b.-d. Zie figuur.
O
A
B
C
D
e. De verplaatsing per tijdstap neemt toe.
f. Een bal die je horizontaal weggooit beweegt ongeveer
zo (de kromme is dan vloeiend niet hoekig.)
10
a.
b.
c.
d.
De massa en de afstand tot het middelpunt.
Groter.
Kleiner.
F is evenredig met de massa van de aarde en de massa
van het voorwerp. F wordt kleiner als r groter wordt.
e. M wordt 64× zo klein en r wordt 4× zo klein, dus r²
wordt 16× zo klein. Dan wordt F 4× zo klein.
11
a. Afstand 5,3 cm, dat geeft 25/5,3² = 0,90 cm, in de
richting van S.
b. Zie figuur, afstand 3,8 cm. 25/(3,8)2=1,7cm
c.-d.: zie figuur.
e. Grootste snelheid (want grootste afgelegde weg per
tijdstap): DE (dag 5). In E is de afstand tot S het kleinst.
f. De komeet wordt naar de zon toegetrokken maar
beweegt ook vooruit. De kracht is groot genoeg om de
komeet te laten omkeren (maar te klein om de komeet
op de zon te laten stoppen.)
12
a. mZon = 3·105mAarde
b. factor 5² = 25
c. De kracht van de zon is ongeveer 104 maal zo groot.
13
b. Baan niet vloeiend.
c. Ja maar niet voldoende.
d. 0.2 (of kleiner): bij nog kleinere stap blijft de baanvorm
hetzelfde, dus wordt de berekening niet meer door de
stapgrootte beinvloed.
e. Hoe dichter bij de zon, des te groter de snelheid.
B
A
O
C
D
Let op:
S
extra verplaatsing in
iedere stap: sextra = 25/r2
- stippellijn (invloedloze beweging) is
steeds kopie van de vorige stap
- extra verplaatsing tijdens de stap bepaal
je op het beginpunt van de stap
- de extra verplaatsing op dat punt wijst
naar S
- bereken de extra verplaatsing met:
Sextra = 25/(afstand tot S)2
(Dit levert, met gebruik van de figuur op
p. 15: A: 0,33 B: 0,51
19
a.
b.
c.
d.
e.
20
a.
b.
c.
d.
e.
C: 0,87 D: 1,67 E: 1,79 F: 0,99
1,25 m/s².
Δv = 5 km/h = 1,39 m/s. a = 1,39/2,5 = 0,56 m/s².
Je deelt m/s door s, dat wordt m/(s×s) = m/s².
40 km/h = 11,1 m/s. Dat duurt 11,1/2,5 = 4,4 s.
F = m·a geeft 150 = 25×a, a = 6,0 m/s².
80 km/h = 22,2 m/s. a = Δv/Δt = 22,2 / 0,10 = 222 m/s².
F = m·a = 0,45×222 = 100 N.
F = m·a = 0,45×3,0 = 1,35 N.
13 / 3,0 = 4,3 s.
De snelheid daalt elke seconde met 3,0 m/s. Na 1,4 s is
de snelheid met 4,2 m/s afgenomen tot 8,8 m/s.
G: 0,56 H: 0,35 I: 0,24)
21
90 km/h = 25 m/s. a = Δv/Δt = 25/0,080 = 312,5 m/s². F =
m·a = 1450×312,5 = 4,5·105 N.
Figuur 32 Constructie van de komeetbaan in stappen
14
a. 342 km, 7690 m/s
b. Te laag gekozen (hij verliest nl hoogte, aantrekking v/d
aarde is te groot.)
c. 366 - 367 km
15
a.-b. Eigen antwoord v/d leerling.
16
a. Dat kun je soms weten (bij de zwaartekracht) of anders
afleiden uit de beweging: de afstand tussen de posities
moet dan met regelmaat groter worden.
b. Versnellen, vertragen en van richting veranderen.
c. Versneld – kracht naar voren; constante snelheid –
kracht is nul; vertraagd – kracht naar achteren.
17
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Met 2,5 m/s per seconde.
5×2,5 = 12,5 m/s
a = 2,5 m/s per seconde
2,0 m/s per seconde
Minder steil, door (0,0) en (2, 4)
Door (0,0) en (1, 4)
18
a. De snelheid daalt.
b. Bij A
c. Bij A: 20 m/s in 3,0 s geeft a = 6,7 m/s². Bij B a =
Δv/Δt = 15/6 = 2,5 m/s².
d. Bij A: F = m·a = 900×6,67 = 6,0 kN. Bij B 1500×2,5 =
4,5 kN. Bij B is de remkracht het grootst.
22
a.
b.
c.
d.
e.
f.
36 km/h = 10 m/s. Dat duurt 4,0 s.
eigen uitleg.
v = 4×t
na 2,5 s.
18 km/h
vgem = s/t
23
a.
b.
c.
d.
Gemiddelde van 0 en 15 is 7,5 m/s.
3×1,8 = 5,4 m/s.
Δv = 36 km/h = 10 m/s. a = 10/5,0 = 2,0 m/s².
Gemiddelde van 54 en 90 is 72 km/h = 20 m/s.
24
a.
b.
c.
d.
e.
Bij A
B
Van (0,5) tot (20,15): Δv/Δt = 10/20 = 0,50 m/s²
a = 8,0/24 = 0,33 m/s². v(t) = 0,33·t.
A = 5,0 m/s B = 3,3 m/s C = 10 m/s.
25
a.
b.
c.
d.
2,5×9,81 = 24,5 N.
F = m·a geeft a = 24,5/2,5 = 9,81 m/s².
Ook 9,81 m/s².
Eigen uitleg.
26
a. De afstanden nemen steeds met 1,1 cm toe.
b. De tijd is 1/30 s = 0,0333 s. v = s/t = 0,024/0,0333 =
0,72 m/s.
c. verplaatsing:
2,4 3,5 4,6 5,7 6,8
gem snelheid: 0,72 1,05 1,38 1,71 2,02
55
27
a. De versnelling
b. snelheid = 0 m/s, versnelling 9,81 m/s².
28
a.
b.
c.
d.
100 km/h = 27,8 m/s. a = 2,8 m/s².
v =9,81·t geeft t = 27,8/9,81 = 2,8 s.
ook 2,8 s
a = Δv/Δt = 150/5,0 = 30 m/s².
29
a. links = versneld, rechts = vertraagd
b. constant snelheid
c. links = vertraagd, middelste = versneld, rechts =
constant snelheid.
30
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Snelheid neemt toe van 0 tot 1,0 m/s.
0,5×0,4 = 0,20 m.
vgem = 1,0 m/s, s = 1,0×0,8 = 0,8 m.
afstand: 0 0,2 0,8 1,8 3,2 5,0
s langs y-as en t langs x-as
Bij t = 2 is s = 5,0. Invullen geeft c = 1,25, dat is de
helft van a = 2,5
g. vgem is de helft van v = a·t, dus s = vgem·t = ½·a·t·t =
½·a·t²
31
a.
b.
c.
d.
32
a.
b.
c.
d.
½a = 1,4 dus a = 2,8 m/s².
s = ½gt² = 4,9·t²
90 km/h = 25 m/s, dus a = 25/8 = 3,1 m/s².
s = ½at² = ½×3,125×8² = 100 m
Bij A
a = 0,33 m/s² geeft v(t) = 0,33·t en s(t) = 0,167·t².
vgem = 4,0 m/s dus s = 4×24 = 96 m.
100 = 0,167·t² geeft t = 4,1 s.
33
a. 25/7,2 = 3,5 m/s².
b. s = ½×3,5×7,2² = 90 m.
c. F = m·a = 1240×3,5 = 4,3·10³ N
34
a.
b.
c.
d.
9,81 m/s²
s = ½gt² = 4,9·t²
4,9·t² = 40 geeft t = 2,9 s.
v = g·t = 9,81×2,9 = 28 m/s = 101 km/h.
35
a. 9,81 m/s²
b. 8,0 / 9,81 = 0,82 s.
c. vgem = 4,0 m/s, dus s = v·t = 4,0·0,82 = 3,3 m
56
d.
e.
f.
g.
36
a.
b.
c.
d.
e.
s = 4,9·0,82² = 3,3 m.
Keer de beweging om, dan is de beginsnelheid wel nul.
Ook na 2,9 s
t wordt 2 keer zo groot, en vgem ook. s = 8,0×1,64 = 13
m (vier keer zo groot)
snelheid = 0, versnelling = 9,81 m/s².
Dezelfde snelheid.
Ook drie keer zo groot.
Groter, de grafiek gaat steeds steiler lopen.
Neem (20,16). De constante is 16/20² = 0,040, dus s =
0,040·t². De versnelling is dan 0,080 m/s².
37
a. Elke seconde neemt v met 6,0 m/s af. v = 0 bij t = 4,2 s.
b. vgem = 12,5 m/s en t = 4,2 s geeft s = 52 m. s = ½·a·t²
= 3,0·t² = 3,0×4,2² = 53 m.
c. t = 30 / 6 = 5,0 s. s = 3×5² = 75 m.
38
a. Dat alle voorwerpen dezelfde valversnelling heben.
b. s = ½·g·t² geeft 1,6 = ½·g·1,4² dus g = 1,63 m/s².
c. zes keer zo klein als op aarde
39
a. Verwaarloos luchtwrijving en zwaartekracht. Het deeltje
versnelt eenparig door de constante elektrische kracht.
b. a = F/m = 2,710-13 / 9,1 2,971017 m/s²
c. s = ½at² geeft t = 2,7219-10
v = at geeft v = 8,1107 m/s
40
a. Eigen antwoord v/d leerling
b. Banden die net niet slippen
c. Dat voorkomt dat de banden slippen, je kunt daarmee
maximaal remmen.
d. De normaalkracht wordt groter door de extra druk van
de vleugel.
e. Vrijwel gelijk, als de massa 10 keer zo groot wordt, dan
is de normaalkracht ook tien keer zo groot.
41
a. f geeft weer de invloed van het contact tussen band en
wegdek op de maximale wrijvingskracht (hoe stroever
des te groter f). Fn is de invloed van de kracht waarmee
de banden op het wegdrek neer duwen (hoe zwaarder de
auto des te groter Fn=m.g).
b. Fn = Fz = 1,18104 N.
c. f = 0,85 geeft Fw,max = 10,0 kN.
d. a = F/m geeft 8,3 m/s².
e. Dan is Fn = 9,81·m en Fw, max = f·9,81·m. a = F/m
geeft a = f·9,81.
42
a. Van 0,85 naar 0,67 is 21% lager.
b. De bestuurder moet steeds de rem zo hard intrappen dat
de banden net niet slippen. Dat is erg lastig.
c 0,539,81 = 5,2 m/s².
d. 0,659,81 = 6,4 m/s²
43
a. De remweg van beide auto’s is gelijk, na 1,0 s begint de
achterste precies op dezelfde plek te remmen. Dat gaat
dus net goed.
b. Dan heeft de automobilist 15 m om te reageren, dat is
0,5 s.
c. t = 30/8,3 = 3,6 s. s = ½at² = 54 m.
d. Met f = 0,67 wordt a = 6,5 m/s². s = 69 m (15 m meer)
e. Het is een ruime marge, maar de meeste mensen tellen
sneller. Het is dus een goed advies.
44
a. Voertuig A heeft de grootste snelheid op t=0.
b. Voertuig A heeft de grootste vertraging (raakt zijn
snelheid in de kortste tijd kwijt).
c. Verplaatsing A: ½ x 3 x 20 = 30 m. B: ½ x 6 x 15 = 45
m. B heeft de grootste verplaatsing.
d. s = vgemt. Bij een twee maal zo grote beginsnelheid
wordt zowel vgem als t twee keer zo groot. De remweg
wordt dan 4 maal zo groot (4x2,8 = 11,2 m). Bij een
viermaal zo grote snelheid is de remweg 16 keer groter
(16x2,8=44,8 m).
e. Als de schuifwrijving 1,5 keer zo klein is, de de
remkracht 1,5 keer zo klein, en de versnelling dus ook.
Zie de formule: s is omgekeerd evenredig met a en dus
1,5 keer zo groot: 1,5x2,8=4,2 m.
45
a. Reactietijd is de tijd waarin v constant is: volgens de
grafiek 1,2 s.
b. 1,2 x 20 = 24 m.
c. a = v/t = 20/3,2 = 6,3 m/s².
d. ½ x (4,4-1,2) x 20 = 32 m.
e. Zonder aanhanger: F = ma 8006,25 = 5,0 kN. .
Met aanhanger: a = 5000/1200 = 4,2 m/s²
v = at geeft t = 4,8 s en s = 1,220 + 0,54,820 = 72
m. Dus de remweg met aanhanger is 72-56 = 16 m
langer
46
a. Op het moment dat de auto het obstakel raakt is de
snelheid nog ongewijzigd (als er zonder remmen
frontaal gebotst wordt). De snelheid is nul als de
kreukelzone niet verder wordt ingedrukt. De afstand dat
die wordt ingedrukt is dus de remweg.
b. Met gordel om heeft een passagier een grotere remweg:
ook nog de afstand die de gordel meegeeft.
c. Eigen voorspelling
47 en 48
Eigen antwoorden
49
a. vgem = 9,0 m/s s = vgem·t geeft 0,65 = 9,0·t, dus t =
0,072 s.
b. a = v/t = 18/0,072 = 249 m/s².
c. Bij schrap zetten wordt de totale remweg:
0,65+0,50=1,15 m.
d. Dus: 1,15 = 0,518trem geeft trem=0,128 s en
arem=vbegin/trem=141 m/s2 zodat Frem=m.a=9,9·10³ N
50
a. Eigen antwoord leerling.
b. Remweg is 90 cm. Opp = 0,5(60/3,6)t = 0,90 geeft t
= 0,108 s. a = 16,7/0,108 = 154 m/s².
c. F  m.a  82 154  12,6 kN.
d. Een airbag.
51
a. voetrem koud: v = 27,8 m/s en s = 50 m. vgem = 13,9
m/s, dus t = 50/13,9 = 3,6 s. a = 27,8/3,6 = 7,7 m/s2
voetrem warm: t = 3,96 s. a = 37,8/3,96 = 7,0 m/s2
handrem: t = 3,06 s, a = 11,1/3,06 = 3,6 m/s2
b. De eerste twee waarden liggen boven 5,2 m/s2, voor de
handrem geldt geen minimumwaarde. Alle remmen
voldoen aan de voorschriften.
52.
a. 50 km/h = (50/3,6) m/s = 13,9 m/s.
Afstand tijdens schrikseconde: 13,9 m.
Resterend 16,1 vanaf 13,9 m/s. vgem = 6,94 dus t =
16,1/6,94 = 2,3 s/. Dat geeft a = 13,9/2,3 = 6,0 m/s2
b. Bij v = 60 is de reactieafstand 16,7 m. De remtijd is
16,7/6,0 = 2,78 s en de remweg = ½at² = 23,2 m.
Totale afstand = 40 m.
De tijd voor de laatste 10 m: s = ½at² = 10 geeft t =
1,83 s. v = at = 6,01,83 = 11 m/s = 39 km/h.
Dat komt overeen met de figuur.
53.
De automobilist heeft 50 m om tot stilstand te komen.
met a=5,2 m/s2 wordt v = 18,2 m/s = 66 km/h
54.
a. beginsnelheid: 25 m/s. De auto komt tot stilstand na t =
25/6 = 4,2 s. De vrachtauto: 0,75 + 25/4 = 7,0 s.
57
40
v
(m/s)
30
20
10
0
0
2
4
6
8 t (s)
b. auto: 52 m vrachtauto: 97 m. Het onderlinge verschil is
meer dan 40 m, dus de vrachtauto heeft onvoldoende
afstand gehouden om een botsing te voorkomen.
55.
v = at geeft t = 4/9,81 = 0,41 s.
h = ½gt² = 0,59,810,41² = 0,82 m.
Omdat haar zwaartepunt zich al op 1,0 m hoogte
bevindt bij het begin komt het tot op 1,82 m hoogte,
56.
s = ½gt² geeft 14 = 4,9t² dus t = 1,69 s.
v = gt = 9,81,69 = 16,6 m/s. Klopt wel ongeveer.
57.
a. De snelheid van 12 m/s wordt bereikt na een tijd van 3 s
als de versnelling 4 m/s2 is.
b. Afgelegd: s(3)= ½ .4.(3)2 = 18 m.
Nog te doen: 100-18=82 m. Benodigde tijd: s/v = 82/12
= 6,833 s. Totale tijd: 3 + 6,833 = 9,83 s.
58.
Bij de beste wissel bereikt A de positie van B juist als B
zijn maximale snelheid bereikt: B heeft afgelegd na 4 s:
½ x 4 x 10 = 20 m.
A legt in dezelfde tijd af: 4 x 10 = 40 m.
Dan start B dus als A 20 m achter hem is.
59.
a. Remweg: 0,55 m. a = 363 m/s² en F = 25 kN
b. t = 20/363 = 0,055 s
c. Volgens de tekst is de airbag na 25-30 ms bruikbaar:
dan is de botsing half voorbij, dat lijkt voldoende.
58