Overzicht statistiek - Praktijk Natura Sanat

Overzicht statistiek
5N4p
EEB2
©GGHM2012
Inhoud
1
Frequenties, absoluut en relatief ................................................. 3
1.1
Frequentietabel............................................................................ 3
1.2
Absolute en relatieve frequentie ................................................. 3
1.3
Cumulatieve frequentie ............................................................... 4
2
Centrum en spreiding .................................................................. 5
2.1
Het (rekenkundig) gemiddelde ................................................... 5
2.2
Mediaan ...................................................................................... 6
2.3
Modus ......................................................................................... 7
2.4
Variatiebreedte of spreidingsbreedte .......................................... 7
2.5
Kwartielafstand ........................................................................... 8
2.6
Standaarddeviatie of standaardafwijking .................................... 9
3
Grafische voorstellingen ............................................................. 10
3.1
Histogram en staafdiagram ......................................................... 10
3.2
Cirkeldiagram ............................................................................. 11
3.3
Boxplot........................................................................................ 11
3.4
Steelbladdiagram ........................................................................ 12
4
Opgaven ...................................................................................... 13
2
1 Frequenties, absoluut, relatief en cumulatief
1.1 Frequentie-tabel
Voorbeeld
Hieronder zie de resultaten van een proefwerk wiskunde:
9, 7, 5, 6, 8, 3, 8, 7, 5, 6, 5, 6, 4, 9, 4, 7, 6, 6, 7, 8, 5, 2, 6, 7 en 6
Om een goed overzicht te krijgen over de resultaten kan je de gegevens in een
frequentie-tabel zetten. Dat wordt dan een lijstje met per cijfer het aantal keren dat het
cijfer voorkomt, de frequentie.
resultaat
2
frequentie 1
3
1
4
2
5
4
6
7
7
5
8
3
9
2
Vervolgens kan je deze gegevens in een staaf- of lijngrafiek weergeven, zodat je nog een
beter 'beeld' krijgt van de verdeling:
1.2 Absolute en relatieve frequentie
In het voorbeeld hierboven hebben de absolute frequenties gebruikt. Dat wil zeggen de 'echte'
aantallen zoals deze in de populatie of steekproef voorkomen. Soms zijn we meer
geïnteresseerd in de aantallen in vergelijking met het totaal aantal. We spreken dan van
relatieve frequenties. Meestal zijn dit procenten...
resultaat
absolute
frequentie
relatieve
frequentie
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
4
7
5
3
2
4% 4% 8% 16% 28% 20% 12% 8%
3
1.3 Cumulatieve frequentie
Soms zijn we geïnteresseerd in de som van de frequenties, de zgn. cumulatieve frequenties.
De betekenis van deze cumulatieve frequentie is het aantal waarnemingen 'dat je tot dan toe
hebt gehad'.
absoluut:
resultaat
absolute
frequentie
cumulatieve
frequentie
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
4
7
5
3
2
1
2
4
8
15
20
23
25
relatief:
resultaat
relatieve
frequentie
cumulatieve
relatieve
frequentie
2
3
4
5
6
7
8
9
4%
4%
8%
16%
28%
20%
12%
8%
4%
8%
16% 32% 60% 80% 92% 100%
4
2 Centrum en spreiding
Met centrummaten geef je het 'midden' van een verdeling aan. Bij veel verdelingen liggen de
getallen 'rond' een bepaald getal. Met een centrummaat geef je aan waar de getallen zo'n
beetje om heen liggen.
Een spreidingsmaat geeft aan of getallen in een verdeling dicht bij elkaar liggen of juist ver
uit elkaar. Met centrummaten geef je het 'centrum' van een verdeling aan. Een spreidingsmaat
is een maat voor het al dan niet 'dicht of verder weg liggen' van het centrum.
Het gemiddelde, de mediaan en de modus zijn cantrummaten.
Spreidingsbreedte, kwartielafstand en standaardafwijking zijn spreidingsmaten.
2.1 Het (rekenkundig) gemiddelde
Om het gemiddelde van een aantal getallen te berekenen tel je alle getallen op en deel je de
som door het aantal. Voor het steekproefgemiddelde gebruiken we de notatie x en voor het
populatiegemiddelde de notatie µ.
Voorbeeld
Je hebt 6 pakken koffie gewogen.
De gewichten in gram zijn: 245, 255, 256, 249, 250 en 251.
245 + 255 + 256 + 249 + 250 + 251
Het gemiddelde is:
= 251
6
Voorbeeld
leeftijd
(jaren)
frequentie
12
13
14
15
16
5
12
28
16
5
Het gemiddelde is
12,5 ⋅ 5 + 13,5 ⋅12 + 14,5 ⋅ 28 + 15,5 ⋅16 + 16,5 ⋅ 5
≈ 14,56
66
Om het gemiddelde uit te rekenen moet je bij frequentietabellen altijd de klassemiddens
gebruiken (als dat kan). Je gaat er als het ware van uit dat het klassemidden van een klasse het
gemiddelde van die klasse is. Hier gaat het om leeftijd! Mensen van 15 jaar oud variëren in
leeftijd van 15 tot (net geen) 16 jaar oud. Dus het klassemidden is 15,5.
Extra
Het gemiddelde is erg gevoelig voor uitschieters. Men spreekt in dit verband wel van een niet
resistente maat van het centrum.
Voorbeeld:
Een leerling haalt voor de toetsen 4 keer een 6 en één keer een 1. Het gemiddelde is nu 5. Dit zou
kunnen leiden tot een onvoldoende op het rapport. Dat lijkt niet erg eerlijk. Deze leerling beheerst de
stof voor 80% voldoende. Een andere leerling haalt 2 keer een 4 en 2 keer een 5 en één keer een 10.
Gemiddeld is dat 5,6 en misschien wel een 6- op het rapport. Deze leerling beheerst slechts 20% van de
stof voldoende.
5
2.2 Mediaan
De mediaan is het midden van een verdeling, dat wil zeggen dat 50% van de getallen onder
de mediaan ligt en 50% erboven. Je kunt ook zeggen: de mediaan is het middelste getal als je
de getallen op volgorde van klein naar groot zet. Bij een oneven aantal getallen kan dat, maar
bij een even aantal is het lastiger. In dat geval nemen we als mediaan het rekenkundig
gemiddelde van de twee middelste getallen.
Voorbeeld
Wat is de mediaan van 1, 6, 4, 3, 2, 8, 7, 6, 12 en 3 ?
Eerst op volgorde: 1, 2, 3, 3, 4, 6, 6, 7, 8 en 12
De middelste getallen zijn 4 en 6
4+6
=5
De mediaan is dus
2
Voor grote aantallen gegevens is deze methode niet erg handig.
Een handige(re) methode is de volgende:
-
aantal + 1
2
Als n een geheel getal is dan is de mediaan het n-de getal in de rij.
Bereken n =
Als n niet een geheel getal is dan neem je de twee dichtstbijzijnde gehele getallen,
deze twee getallen geven je dan de nummers van de getallen waar je het gemiddelde
van uit moet rekenen.
Voorbeeld
Neem honderd getallen op volgorde van klein naar groot.
100 + 1
Bereken n door n =
= 50,5
2
De mediaan is het gemiddelde van nummer 50 en nummer 51.
Vaak maak je gebruik van het feit dat bij veel tabellen (en diagrammen) de gegevens al op
volgorde staan.
Voorbeeld
leeftijd
(jaren)
frequentie
12
13
14
15
16
5
12
28
16
5
53 + 1
= 27
2
De mediaan is het 27-ste getal. Het 27 getal (leeftijd) is 14 jaar.
Je hebt hier te maken met 53 getallen. n =
6
2.3 Modus
De modus van een serie getallen is het getal met de hoogste frequentie. Het getal wat het
meeste voorkomt. De modus in een centrummaat.
Je komt de modus tegen als men het heeft over 'een modaal inkomen' of 'twee keer modaal'.
Voorbeeld
leeftijd
12 13 14 15 16
(jaren)
frequentie
5
12 28 16
5
De modus is 14
(Omdat het hier om leeftijden gaat is eigenlijk modus = 14,5 want dit is het midden
van de klasse van 14 jaar.)
Soms komen twee getallen of klassen even vaak voor. Meestal zegt men dan dat de modus
niet bestaat.
2.4 Variatiebreedte of spreidingsbreedte
De variatiebreedte of spreidingsbreedte is een voorbeeld van een spreidingsmaat. Het is niets
anders dan het verschil tussen de kleinste en de grootste waarneming. Deze spreidingsmaat is
erg gevoelig voor uitschieters en wordt maar weinig gebruikt.
Voorbeeld
Bekijk de volgende 2 steekproeven:
11, 22, 53, 64, 85 en 96
1, 50, 51, 52, 53 en 86
De variatie- of spreidingsbreedte is in beide gevallen 85 (Ga dit na!).
7
2.5 Kwartielafstand
De kwartielafstand is een spreidingsmaat. De kwartielafstand is het verschil tussen het derde
en het eerste kwartiel.
De mediaan verdeelt de gegevens in twee even grote stukken: 50% eronder en 50% erboven.
Je kunt op deze manier een hoeveelheid gegevens ook in vieren verdelen. Dus in 4 stukken
van elk 25% van de gegevens. De grenzen van deze vier gebieden worden kwartielen
genoemd: Q1, Q2 en Q3. Uiteraard is Q2 hetzelfde als de mediaan.
De afstand van Q1 en Q3 is een maat voor spreiding.
Voor het geval je te maken hebt met een oneven aantal gegevens is de mediaan makkelijk te
bepalen. Om nu Q1 te bepalen kijk je naar de ‘onderste’ helft van de getallen waarbij je de
mediaan niet meerekent. Idem voor het berekenen van Q3, dan kijk je naar de ‘bovenste’ helft
van de getallen waarbij de mediaan weer niet meetelt.
Voorbeeld
Wat is de kwartielafstand van volgende reeks gegevens:
196, 190, 196, 197, 185, 190, 192, 188, 182, 184,
195, 197, 193, 194, 195, 195, 185, 181, 182
Zet de getallen op volgorde van klein naar groot:
Bepaal de mediaan (het middelste getal of het gemiddelde van de twee middelste)
Bepaal Q1 (de mediaan van de onderste helft)
Bepaal Q3 (de mediaan van de bovenste helft)
De kwartielafstand is Q3 − Q1 = 195 – 185 = 10
8
2.6 Standaarddeviatie of standaardafwijking
De spreidingsmaat die het meest gebruikt wordt is de standaarddeviatie of in goed Nederlands
standaardafwijking. Om de standaardafwijking (van een populatie) te berekenen neem je de
volgende stappen:
- Bereken het gemiddelde.
- Neem van elk getal de afstand tot het gemiddelde
- Neem het kwadraat van die afstanden.
- Bereken het gemiddelde van die kwadraten.
- Neem de wortel van de uitkomst
Hoe groter de standaarddeviatie hoe groter de verschillen tussen de verschillende
waarnemingen.
Voorbeeld
Bereken de standaarddeviatie van de volgende rij getallen:
3, 5, 8, 9 ,10
3 + 5 + 8 + 9 + 10
=7
5
afstanden tot gemiddelde: −4, −2, 1, 2, 3
kwadraten:
16, 4, 1, 4, 9
16 + 4 + 1 + 4 + 9
gemiddelde kwadraten =
≈ 6,8
5
standaardafwijking σ = 6,8 ≈ 2, 6
- gemiddelde =
-
Let op!
Als het gaat om leeftijden (of een indeling in klassen) dan reken je met de klassemiddens!
Voorbeeld
Gegeven is:
leeftijd
12 13 14 15 16
(jaren)
frequentie
5
12 28 16
5
gevraagd is de standaardafwijking.
leeftijden
12
13
14
15
16
totaal
klassemidden
12.5
13.5
14.5
15.5
16.5
frequenties
5
12
28
16
5
afstanden
-2.06
-1.06
-0.06
0.94
1.94
66
kwadraten
4.2436
1.1236
0.0036
0.8836
3.7636
freq ∙ kwadr
21.22
13.48
0.10
14.14
18.82
67.76
67, 76
≈ 1, 03
66
De standaardafwijking σ = 1, 03 ≈ 1, 01
Het gemiddelde van de kwadraten =
9
3 Grafische voorstellingen
Als je veel gegevens (data) hebt kun je een grafische voorstelling maken van die gegeven
zodat je een overzicht hebt van de data.
Enkele grafische voorstellingen bekijken we even.
3.1 Histogram en staafdiagram
Een histogram verdeelt de waarden van een variabele in intervallen. In het histogram kun je
het aantal (of percentage) waarnemingen aflezen dat in elk interval terechtkomt. Meestal kiest
men intervallen van gelijke breedte. Op de horizontale as heb je altijd te maken met een
continue variabele en dus met een schaalverdeling.
Voorbeeld:
Staafdiagram
Een staafdiagram lijkt op een histogram, maar er zijn toch wel een paar verschillen. Bij een
staafdiagram vergelijkt men alleen de hoogte van de verschillende staafjes. De horizontale as
hoeft geen schaalverdeling te hebben, maar kan ook bestaan uit losse objecten. Denk
bijvoorbeeld aan kleuren of verschillende automerken.
Omdat elk staafje in een staafdiagram een ander object voorstelt worden de staafjes vaak
(maar niet altijd!) getekend met ruimte tussen de staafjes.
Voorbeeld:
10
3.2 Cirkeldiagram
In een cirkeldiagram geeft de grootte van de sectoren van een cirkel
de frequenties weer. Vaak staan in de een cirkeldiagram de percentages erbij.
Met een cirkeldiagram krijg je snel een overzicht van de verhoudingen.
Voorbeeld
In een klas kijk je naar de sport die leerlingen doen:
sport
voetbal hockey
handbal
tennis
korfbal
frequentie 1
3
6
12
6
anders
2
In het cirkeldiagram zijn de frequenties omgerekend naar hoeken.
3.3 Boxplot
Een boxplot is een grafische voorstelling waarmee je snel een overzicht van de verdeling van
een verzameling gegevens kunt krijgen. Met boxplots kun je makkelijk verschillende
verdelingen vergelijken.
Hiernaast staat een voorbeeld:
In een boxplot kan je de kwartielen, de mediaan en de grootste en de kleinste waarde aflezen.
Voorbeeld
In het voorbeeld hierboven kun je aflezen:
de kleinste waarde is 2
Q1 is 4,5
de mediaan is 5,4
Q3 is 6,8
de grootste waarde is 8
11
3.4 Steelbladdiagram
Laten we maar eens naar een voorbeeld kijken:
Hierboven zie je proefwerkcijfers van een klas. In de stam staan de cijfers en in de bladeren
de decimalen. Dit laatst is niet direct in de figuur te zien, dus dat kan nog wel eens verwarrend
zijn.
In de figuur staan de cijfers dus op volgorde. Links staan de cijfers van de meisjes en rechts
van de jongens. Het hoogste cijfer bij de meisjes is dus een 8,1. Verder kan je zien dat er bij
de jongens de volgende cijers zijn gehaald: 3,7-3,8-4,8-enz.
Kortom, een steelbladdiagram is een manier om de gegevens (geordend) in beeld te brengen.
12
Opgaven
1
Claudia heeft dit jaar 7 cijfers voor wiskunde behaald:
5,6 4,7 7,8 6,7 5,6 8,9 6,3
a
Bereken het gemiddelde.
b
Bereken de mediaan.
c
Geef de modus.
2
In de volgende frequentietabel staan het aantal leerlingen dat een aantal opgaven goed
hebben.
aantal goed
frequentie
a
b
c
0
3
1
5
2
4
3
3
4
2
5
3
6
3
7
0
Bepaal het gemiddelde
Bepaal de modus.
Bepaal de mediaan.
3
Gegeven zijn de volgende schoenmaten:
38 , 39 , 41 , 39 , 38 , 43 , 39 , 43 , 39 , 41 , 42 , 41 , 40 , 43 , 39 , 39
a
b
c
d
Bereken de gemiddelde schoenmaat op één decimaal nauwkeurig.
Geef de modus van de schoenmaten.
Bereken de mediaan van de schoenmaten.
Bereken de spreidingsbreedte.
4
Hieronder staan de scores die twee leerlingen voor een test behaalden:
Rianne:
Renate:
22 , 23 , 25 , 27 , 28
18 , 19 , 25 , 31 , 32
Bereken voor beide leerlingen
a
de gemiddelde score,
b
de standaardafwijking.
13
5
Op een snelweg is gedurende een kwartier van elke passerende auto geteld hoeveel personen
erin zitten. Het resultaat is in de volgende frequentietabel verwerkt.
aantal personen
1
2
3
4
5
6
frequentie
58
33
16
21
9
13
relatieve freq.
cumulatieve rel.
freq.
a
b
c
d
e
f
g
Bereken in twee decimalen nauwkeurig het gemiddelde aantal personen per auto
In de tabel staan absolute frequenties gegeven. Vul de regel voor de relatieve
frequentie in (afronden op één decimaal).
Doe dit ook voor de cumulatieve relatieve frequentie
Geef de modus.
Bereken de mediaan.
Teken een boxplot bij de tabel.
Wat is de kwartielafstand?
6
Bekijk de volgende 5 getallen: 1, 2, 3, 4, 1000.
a
Bereken gemiddelde en mediaan
b
Laat nu de extreme waarde 1000 weg en bereken gemiddelde en mediaan opnieuw
Verklaar de verschillen.
c
Teken een boxplot bij de 5 getallen.
Hoe zie je dat 1000 een uitschieter is?
7
Gegeven zijn de getallen
2 , 5 , 5 , 9 , 4 , 6 , 1 , a
Bereken welk getal er voor a genomen moet worden zodat het gemiddelde precies 4,75 is.
14
8
Van iemand die griep heeft verdwijnen de verschijnselen (koorts, rillingen, keelpijn,
spierpijn) zo ongeveer na 2 tot 7 dagen.
Voor een aantal grieppatiënten is bijgehouden hoe lang de koorts duurde.
aantal dagen
aantal patiënten (%)
2
15
3
43
4
22
5
12
6 of meer
10
Stel dat de laatste groep 6,5 zou zijn in plaats van 6 of meer.
Bereken in dat geval de modus, de mediaan en het gemiddelde.
Welk van de drie berekende getallen uit de vorige vraag zou veranderen als er in
plaats van "6 of meer" ook 6, 7, 8 enz zou hebben gestaan?
Welk getal moet er op de plaats van 6 of meer staan als het werkelijke gemiddelde
gelijk blijkt te zijn aan 3,75?
a
b
c
9
Een aantal mensen is gevraagd hoeveel geld ze afgelopen jaarwisseling aan vuurwerk hebben
uitgegeven. Dat leverde de volgende serie bedragen op:
14
25
28
16
50
128
87
92
54
50
40
32
60
65
75
82
20
54
50
25
78
90
90
15
20
45
48
72
81
32
34
10
10
15
46
156
145
65
Zet de bedragen in een spreadsheet in de grafische rekenmachine en bereken
gemiddelde, modus en mediaan.
Maak van de bedragen een boxplot op de grafische rekenmachine.
Geef commentaar bij de boxplot.
a
b
c
10
In de tabel hieronder zie je de frequentieverdeling van het aantal uren van de
docenten van het Hogeland College.
klasse (uren)
frequentie
a
b
10-14
18
15-19
8
20-24
41
25-29
9
Wat is het grootst mogelijke gemiddelde bij deze frequentieverdeling?
En wat is het kleinst mogelijke gemiddelde?
De conciërge Tjasse kent van alle docenten de precieze aantallen uren.
Hij beweert dat de modus 18 is. Waarom kan dat niet kloppen?
15
34
11
Als training voor de Coopertest houdt de gymleraar elk jaar een bosloop. Hieronder zie je
twee boxplots waarin de tijden staan die leerlingen nodig hadden voor deze bosloop. Er is een
aparte boxplot voor de meisjes en eentje voor de jongens.
In totaal liepen er 32 jongens en 28 meisjes mee, dus 60 leerlingen.
a
Op welke plaats eindigde het snelste meisje?
b
Rond welk tijdstip kam er een grote groep tegelijk binnen?
c
Welke tijd liep degene die als 38ste eindigde ongeveer?
d
Wat kun je zeggen over de plaats waarop de langzaamste jongen eindigde?
12
Hieronder staan vijf histogrammen (A tm E) met daaronder vijf boxplots (P tm S). Leg uit
welk histogram bij welke boxplot hoort. Doe dat zonder bij elk histogram daadwerkelijk een
boxplot te gaan tekenen.
13
Een klas krijgt de resultaten van een proefwerk wiskunde terug. De meisjes scoorden
gemiddeld 8,5.
De jongens scoorden gemiddeld 7,6.
Het gemiddelde van de hele klas is 8,0.
Er zitten 12 meisjes in de klas.
Hoeveel leerlingen zitten er in totaal in de klas?
16
14
Joris, Michel en Koen doen mee aan een hardloopwedstrijd.
Joris eindigt als eerste van de drie, en hij is precies de middelste van alle deelnemers.
Michel eindigt als 10e, en Koen als 16e.
Hoeveel deelnemers waren er?
15
Bereken van de volgende serie getallen de spreidingsbreedte, de kwartielafstand en de
standaarddeviatie. Probeer het eerst zonder de statistiek opties van de grafische rekenmachine
te gebruiken.
35, 35, 35, 38, 42, 42, 42, 42, 56, 67, 67, 68, 70
16
Bereken van de volgende frequentieverdeling
meting
frequentie
a
b
[5, 17
12
[17, 29
35
[29, 41
58
[41, 53
123
[53, 67
88
[67, 79
73
Het gemiddelde en de mediaan (mag met GRM).
De spreidingsbreedte, de kwartielafstand en de standaardafwijking
(mag met GRM).
17
Het staafdiagram hiernaast geeft de rapportcijfers
van een klas weer.
a
Hoeveel leerlingen zaten er naar aanleiding
van deze gegevens in de klas?
b
Geef et gemiddelde en de standaardafwijking
van de cijfers van deze klas.
De leraar is echter vergeten de zessen erbij te zetten.
Hij beweert dat het gemiddelde een 6,3 was.
c
Hoeveel zessen zijn er geweest als het
gemiddelde werkelijk 6,3 geweest is?
18
Hiernaast staat een cumulatief frequentiepolygoon dat gemaakt is naar aanleiding van de
gegevens van klanten van een supermarkt. Er
staat aangegeven voor hoeveel euro men
boodschappen deed.
Lees uit de figuur af:
a)
de mediaan,
b)
de kwartielafstand,
c)
de spreidingsbreedte.
17
[79, 91
22