Getallen

Getallen
Korte lessenserie voor 5 vwo, wiskunde D
Oscar Dijkhoff
Andrea Lubberdink (studentnummer: 9270930)
0
Inhoudsopgave
Deel 1 Motivatie, doel en korte beschrijving van de lessenserie
1.1 inleiding
1.2 Bespreking van de lessenserie
Deel 2 Lessenplan voor de vier lessen
Les 1 Pythagoras en getallen van de Pythagoreeërs
1. Verhaal
2. Enkele aspecten uit de theorie van getallen van de Pythagoreeërs
2.1 Stellingen over even en oneven getallen
2.2. Wat zijn getallen volgens de Pythagoreeërs?
3. Huiswerk
Les 2 Bewijs van irrationaliteit en benadering van √2
1. Klassikale bespreking van de vraag of we met breuken alle getallen hebben
2. Herhaling van drie resultaten uit de vorige les
3. Het bewijs dat √2 niet als een breuk geschreven kan worden
4. De Benadering van √2 met een werkblad
5. Filmpje kijken
6. Huiswerk
Les 3 (Getallen)verzamelingen
1. Bespreking van het huiswerk en irrationale getallen
2. Uitleg verzamelingen
3. Oneindige verzamelingen, ℕ, ℤ, ℚ 𝑒𝑛 ℝ
4. Gelijkmachtigheid bepalen
5. Aftelbaar en overaftelbaar oneindig
6. Huiswerk
Les 4 Aftelbare en overaftelbare getallen
1. Aftelbaarheid van ℚ
2. Hilbert's Grand Hotel
3. Cantor en de overaftelbaarheid van ℝ
4. Maak er 0 van!
5. Algebraïsche en transcendente getallen
6. Afsluiting
Noten
Literatuurlijst
Bijlagen:
Bijlage 1: ppt file met dia’s
Bijlage 2: wordfile met:
Werkblad 1
Werkblad 2
Werkblad 3
1
Blz.
2
2
3
5
5
5
8
8
8
10
10
10
10
11
11
11
12
12
12
13
13
14
14
15
15
15
16
18
19
20
21
24
Deel 1 Motivatie, doel en korte beschrijving van de lessenserie
1.1 inleiding
Kom je door te tellen langs alle getallen? Wat zijn getallen precies? Zijn er verschillende soorten? Hoe
kunnen we deze dan onderverdelen? Dit zijn vragen waar in de schoolboeken voor het vwo weinig aandacht
aan wordt besteed. Ze kunnen leerlingen (die in wiskunde geïnteresseerd zijn) wel aanspreken en ze zijn
belangrijk voor een goed begrip van de wiskunde.
Wij hebben een lessenserie samengesteld voor eind klas 5, wiskunde D op een Nederlands vwo. De serie
bestaat uit 4 lessen en is bedoeld om de bèta-georiënteerde leerlingen (namelijk degenen die wiskunde D
gekozen hebben) aan de hand van de geschiedenis inzicht te geven in getallen1. Vroeger werden getallen
gedefinieerd op een manier die ook nu nog dicht bij onze dagelijkse intuïtie ligt. Je begint met een eenheid en
gaat tellen. De wiskunde laat echter zien (en liet toen ook al zien!) dat er meer getallen zijn, de irrationale2.
Voor de oude Grieken was de ontdekking van het irrationale een schok. Nog steeds is het bestaan van
irrationale getallen niet gemakkelijk te accepteren of te begrijpen. Met rationale getallen lijk je immers ‘overal
te kunnen komen’. Er zijn er oneindig veel, zelfs op een klein interval op de getallenlijn. En tussen elke twee
rationale getallen zit weer een rationaal getal.
De geschiedenis kan de leerlingen helpen inzicht te krijgen in (het bestaan van) irrationale getallen. Net als de
leerlingen zelf (waarschijnlijk) wilden ook de Pythagoreeërs niet geloven dat er meer getallen zijn dan gehele
getallen en verhoudingen daartussen (breuken dus, in moderne taal). Door bewijzen te geven, de bewijzen van
de oude Grieken zelf, moeten we de irrationale getallen wel aannemen3. We zullen moeten concluderen dat
door te tellen (ook als we breuken mee tellen) we niet alle getallen krijgen! Wat zijn getallen dan? De interesse
is gewekt.
In de tweede helft van de lessenserie worden de moderne inzichten over getallen behandeld. Getallen
worden geordend in verzamelingen en de aftelbaarheid en overaftelbaarheid van verschillende
getalverzamelingen komt aan de orde.
Er wordt in de lessenserie gewerkt met werkbladen, er is klassikale uitleg waarbij de docent gebruikmaakt
van bord en PowerPointdia’s, er is ruimte voor inbreng van leerlingen waarbij korte discussie mogelijk is, een
filmpje, een verhaal en een spel. De volgende paragraaf geeft een korte, nadere beschrijving van de inhoud van
de vier lessen. De positieve rol van het gebruik van geschiedenis zal hierin steeds vermeld worden, waarbij
verwezen wordt in noten naar [Tzanakis & Arcavi, 2000].
Deel 2 bevat het uitgewerkte lessenplan aan de hand waarvan de docent de lessen kan geven. Hierin staan
ook noten met literatuurverwijzingen, extra historische informatie voor de docent en tips om naar keuze iets
toe te voegen of weg te laten. Bij de verschillende lesonderdelen is een tijdindicatie aangegeven. Er wordt
uitgegaan van ongeveer 45 effectieve minuten per les.
De PowerPointpresentatie die gebruikt wordt kan gedownload worden via
http://andrealubberdink.nl/Pythagoras/pythagoras.html . Een overzicht van de dia’s staat in bijlage 1, maar de
inhoud van de dia’s wordt in de tekst ook altijd genoemd of getoond. De werkbladen, de lijst met noten en de
literatuurlijst zijn ook achterin te vinden.
De stof is boeiend en inspirerend en zet aan tot nadenken, maar is gevoelig voor hoe het gebracht wordt. Er
wordt veel van de docent gevraagd en het is belangrijk dat deze zelf enthousiast is over de stof en dit goed
over kan brengen aan de leerlingen. De docent zal merken dat deze lessenserie ook voor hem/haarzelf
inspirerend en verhelderend is4.
2
1.2 Bespreking van de lessenserie
De eerste les bestaat uit twee delen. In het eerste deel vertelt de docent een verhaal. Het verhaal is in
verteltrant geschreven (waarbij de docent natuurlijk naar eigen inzicht kan variëren) zodanig dat het leuk is
voor de leerlingen om naar te luisteren – het bevat een opbouw naar een climax (de wiskunde!) – en het is
leerzaam.
Het verhaal vertelt over:
- Pythagoras, een deel van zijn leer, en de manier waarop hij tot zijn leer gekomen is, namelijk vanuit
een filosofische behoefte om de wereld te doorgronden5.
- verschillende manieren van wiskunde bedrijven: De praktische wiskunde van de Babyloniërs en de
Egyptenaren tegenover de filosofisch, theoretisch gemotiveerde wiskunde van de Grieken6.
- de vermenging van mystiek, religie en wiskunde in de oudheid. De leerlingen zien dat de wiskunde zich
niet altijd alleen vanuit logische, wetenschappelijke of praktische motieven heeft ontwikkeld7.
In het tweede deel worden enkele aspecten besproken van de theorie van getallen van de Pythagoreeërs.
Deze theorie sluit aan bij de intuïtie over getallen. Namelijk: je kiest een eenheid en dan ga je tellen. Daarmee
heb je alle getallen, want je kan de eenheid zo klein kiezen als je wilt. Het lijkt geheel juist en compleet maar
het zal blijken dat het niet waar is. Er zijn meer getallen. De leerlingen leren hiervan dat het overwinnen van
aanvankelijk verkeerde, intuïtieve opvattingen deel uitmaakt van de ontwikkeling van de wiskunde8.
De leerlingen krijgen als huiswerk mee na te denken over de vraag of alle getallen als breuk geschreven
kunnen worden. Ook maken ze een werkblad9, waarin ze geleid worden tot een bewijs voor het bestaan van
irrationale getallen aan de hand van de regelmatige stervijfhoek. De stervijfhoek is bijzonder symmetrisch en
heeft inspirerende aspecten, zowel voor de leerlingen nu als voor Pythagoras.
In de tweede les wordt, nadat er eerste ruimte is voor een korte klassikale discussie of gedachtewisseling over
of de huiswerkvraag, het (oude) bewijs van de irrationaliteit van √2 gegeven.
Daarna krijgen de leerlingen een tweede werkblad, waarin ze nog een ander(meetkundig) bewijs hiervan
afleiden, in dezelfde lijn als het bewijs in het eerste werkblad, nu niet met een stervijfhoek, maar met een
gelijkbenige, rechthoekige driehoek. Aansluitend, op hetzelfde werkblad, wordt dan een algoritme besproken,
dat de Grieken al gevonden hadden, om √2 te benaderen in stappen (met recurrentieformules). Na elke stap
is de benadering nauwkeuriger. De leerlingen maken dit werkblad zelfstandig (of evt. in groepjes), waarbij de
docent aanwijzingen geeft en vragen beantwoordt.
Tot slot van deze les kijken de leerlingen naar het leuke, grappige, vlotte en leerzame filmpje What was up
with Pythagoras (van YouTube). In 8 minuten wordt hierin het probleem van de irrationale getallen behandeld.
Allerlei aspecten die de leerlingen in de les tegengekomen zijn, komen in sneltreinvaart voorbij.
In de derde les worden eerst klassikaal de huiswerkbladen besproken en de conclusie wordt geformuleerd: er
zijn meer getallen op de getallenlijn zijn dan alleen breuken, irrationale getallen. Er wordt kort aandacht
besteed aan de vraag welke getallen irrationaal zijn en hoe ze eruit zien in decimale notatie. We hebben gezien
hoe de bewijzen van irrationaliteit hebben geleid tot een andere opvatting over getallen10 (zowel vroeger als
nu). De interesse is gewekt in het antwoord op de vraag wat de huidige wiskundige inzichten zijn over getallen
en hoe ze gedefinieerd worden en onderverdeeld in klassen.
Er volgt een korte inleiding in de verzamelingenleer waarin aan de hand van voorbeelden de begrippen
element, verzameling, deelverzameling, kardinaliteit, gelijkmachtigheid, aftelbaar en overaftelbaar oneindig
worden geïntroduceerd. Ook worden een aantal getallenverzamelingen specifiek genoemd: ℕ, ℤ, ℚ 𝑒𝑛 ℝ. De
stof is een vorm gegoten die behapbaar is voor wiskunde D leerlingen in 5 vwo. Een meer rigoreuze uitleg is te
vinden in [Coplakova, 2012], waarop deze les deels is gebaseerd.
Hoewel het reuze interessant zou zijn om nog veel meer te vertellen over de verzamelingenleer beperkt de
stof in deze les zich tot de minimale voorkennis die nodig is om les 4 te kunnen volgen. De lessenserie gaat
immers niet over verzamelingen maar over getallen.
3
In deze lessenserie is ervoor gekozen om de verzamelingenleer als fundament van getaltheorie niet te
behandelen. Evenmin wordt een axiomatische definitie van de getallenverzamelingen behandeld. Deze stof is
te abstract en past ook niet echt in (het tijdsbestek van) deze lessenserie. Niettemin is enige voorkennis over
verzamelingen noodzakelijk om het in les over de overaftelbaarheid van ℝ te kunnen hebben.
In de vierde les wordt eerst teruggeblikt op de huiswerkopgave. Daarbij wordt getoond dat ℚ aftelbaar is en
dus “even groot” als ℕ. Vervolgens wordt de discussie over oneindigheid in een historische context geplaatst
door iets te vertellen over de worsteling onder wiskundigen over de ideeën van Cantor. Leerlingen kunnen dit
relateren aan de worsteling die ze door deze lessenserie zelf doormaken met het begrip oneindig. Het
historische perspectief leidt tot (een eigen interpretatie) van het verhaal over Hilbert's Grand Hotel. Het doel
daarvan is om de intuïtie van de leerlingen over het begrip oneindig te versterken. Bovendien is het gewoon
een leuk verhaal.
Tot slot worden de leerlingen aan de hand van een spel bekend gemaakt met de algebraïsche en
transcendente getallen. Dit wordt verder niet meer in een historisch perspectief geplaatst. Het doel is slechts
om de leerlingen nieuwsgierig te maken naar nog meer kennis over getallen. Om dezelfde reden worden in de
afsluiting van de lessenserie nog een aantal getallenverzamelingen genoemd met voor de leerlingen
waarschijnlijk curieuze namen (hyperreëel, imaginair, etc.).
De historische aspecten in deze les zijn ontleend aan [Strogatz, 2010], [Meschkowski, 1972],[Freudenthal,
1972], [Biermann, 1972] en [Grattan-Guinness, 1980].
4
Deel 2 Lessenplan voor de vier lessen
Les 1 Pythagoras en getallen van de Pythagoreeërs
1.(20 minuten) Verhaal.
Het onderstaande verhaal wordt verteld aan de klas. De docent kan zelf naar eigen inzicht en voorkeur variëren
in woordkeuze en eventueel het verhaal verkorten of verlengen.
-------------
begin verhaal ----------
Meer dan 2600 jaar geleden, in het jaar 600 voor Christus, leefde er op het Griekse eiland Samos een rijke
koopman (genaamd Mnesarchos)1. Hij kreeg een zoon, Pythagoras2. Zijn vader gaf hem alle mogelijkheden om
zich te ontwikkelen en Pythagoras was daar blij mee3. Hij groeide op als een leergierige, ijverige en intelligente
jongen. Hij wilde alles te weten komen. Toen hij 18 was werd het eiland te klein voor hem. Hij wilde verder, hij
wilde meer leren dan hier op het eiland mogelijk was4. Zijn vader had hem verteld over de beroemde Thales in
Milete. Daar wilde Pythagoras naar toe.
Thales? Van de stelling van Thales? Ja, die Thales.
Thales was op dat moment een oudere, invloedrijke, geleerde5. Hij had leerlingen om zich heen en ‘collegageleerden’6. Hij was ook filosoof, natuurfilosoof. Hij stelde de vraag naar de oorsprong der dingen. Hij had een
antwoord gevonden: Alles komt voort uit water. Alles is water. Dat is natuurlijk niet waar, maar voor die tijd
misschien toch best knap bedacht. Water is belangrijk, belangrijker dan je op het eerste gezicht zou denken
misschien. Water kan borrelen, stromen, stomen, bevriezen, druppelen, condenseren ……. 7.
Thales was expert in de wiskunde, de meetkunde8.
Die had hij geleerd in Egypte en Babylonië9, want daar bestond al duizenden jaren wiskunde, op een best
hoog niveau. Dat komt omdat daar al heel lang een hoge beschaving was. Er waren boeren, handwerkers,
soldaten, ambtenaren…. Land van boeren werd afgemeten, de oogst en de producten van de handwerkers
werden gesorteerd, opgestapeld, verhandeld, vervoerd... Er werd belasting geheven... Ga maar na, overal is
wiskunde voor nodig. De Egyptenaren en de Babyloniërs konden al vergelijkingen oplossen en ze hadden
meetkundige stellingen ontdekt. Zelfs de stelling van Pythagoras kenden ze al10. Ze hadden geen bewijzen. De
stellingen klopten gewoon en dat vonden ze genoeg. Ze vroegen zich niet af waarom en hoe en waarvandaan.
Thales wel. Thales hoorde over hun stellingen, ontdekte zelf ook nieuwe, en hij ging aan de slag om ze te
bewijzen. Thales wilde de wiskunde van de grond af opbouwen op een streng, logische manier (een wiskundige
manier, zouden wij nu zeggen). Voor Thales was het doel van de wiskunde niet de praktische toepasbaarheid.
Thales had een filosofisch doel: wiskunde kan helpen begrijpen hoe de wereld in elkaar zit. Wiskunde schept
orde in de chaos van de wereld. Wiskunde heb je nodig voor het vinden van grondbeginselen11.
Thales was ook goed in astronomie12. Daarover had hij ook geleerd van de Egyptenaren en de Babyloniërs.
Die hadden al duizenden jaren de hemel bestudeerd. Ze hadden gekeken naar de loop van de sterren, de
planeten, de zon en de maan.
Je kan je voorstellen13 dat als je in die oude tijd leeft, zonder televisie en internet en straatverlichting, dat je ’s
avonds naar de hemel gaat kijken. Elke avond ziet het er vrijwel hetzelfde uit, maar toch is er altijd weer iets
veranderd. De maan verandert het duidelijkst, maar ook de planeten ‘schuiven’ ten opzichte van de sterren, en
de gehele sterrenhemel schuift als het ware de hemel langs in een nacht en ook dat is elke nacht net iets
anders. (Je kan eraan zien wat het seizoen is en dat is belangrijk voor de landbouw. Je moet op het goede
moment zaaien.)
Er zit regelmaat in de veranderingen. Je kan omlooptijden bepalen. Bijvoorbeeld kan je ontdekken dat als het
volle maan is, de zon telkens ongeveer 29 ½ rondes doet voordat het weer volle maan is.
De maan doet dus 2 rondjes in de tijd dat de zon 59 rondjes doet. Zo kan je allerlei verhoudingen ontdekken
tussen de omlooptijden van de planeten, de zon en maan.
Maar terug naar Pythagoras. Die stapte, toen hij 18 was, op de boot naar Milete en werd een leerling van
Thales. Thales was onder de indruk van hem. Pythagoras werd zijn beste leerling. Op een gegeven moment zei
Thales: “Ik word oud, ik kan je niet meer leren. Ga naar Egypte. Daar heb ik ook veel geleerd.”
Goed Pythagoras zou naar Egypte gaan. Hoe deed hij dat?
5
Hij vond een boot die naar Egypte zou zeilen en vroeg aan de bemanning of hij mee mocht. Hij hoefde niks,
sprak hij, alleen een klein plekje op de boot. Twee nachten en drie dagen heeft Pythagoras, stil, in dezelfde
houding gezeten, zonder eten, zonder drinken, zonder slaap en de tocht verliep voorspoediger dan ooit, de wind
was gunstig, er waren geen golven, geen enkele tegenslag. Het was alsof God aanwezig was op de reis. Het
komt door Pythagoras, dachten de zeelieden, hij is goddelijk.
En zo werd Pythagoras van begin af aan met eerbied ontvangen in Egypte en daarna in Babylonië. Hij bezocht
daar alle heiligdommen, priesters, profeten en liet zich door iedereen onderwijzen, vooral ook in de wiskunde, in
de astronomie en in de muziekleer. Toen hij 56 jaar oud was keerde hij terug naar Griekenland14.
Zo is het gegaan. Ach, het is waarschijnlijk niet precies zo gegaan. We weten eigenlijk niet hoe het precies is
gegaan. We weten wel dat Pythagoras in Egypte en Babylonië geweest moet zijn en daar veel van zijn wijsheid
vandaan heeft gehaald15. We weten ook dat men onder de indruk was van hem 16. Dit ( toon [dia 1] =
omslagfoto) is een beeld uit de 4e of 5e eeuw v Chr. Misschien is het Pythagoras17, met tulband omdat hij in het
Oosten is (geweest). We weten het niet zeker.
Er bestaan legendes over hem, zoals die van Pythagoras op de boot. Zo werd er bijvoorbeeld verteld dat hij een
halfgod was (de zoon van Apollo) en dat hij een gouden kuit had. Hij kon wonderen verrichten. Hij is op twee
plaatsen tegelijk gezien. Hij kon praten met dieren. Hij heeft een keer een gevaarlijk berin, waar een heel dorp
bang voor was, toegesproken en geaaid. Ze was daarna ongevaarlijk. Toen Pythagoras eens met een groep
vrienden een rivier overstak hoorde iedereen hoe de rivier sprak: ‘Gegroet Pythagoras’. Pythagoras kon
aardbevingen voorspellen en stormen tot rust brengen18,19.
De legendes geloven we natuurlijk niet, maar er is veel bekend over Pythagoras wat we wel kunnen geloven.
Pythagoras heeft gereisd en overal vandaan wijsheid vergaard. Hij was (net zoals Thales) op zoek naar
antwoorden op de grote filosofische vragen20:
Hoe zit de wereld in elkaar?
Welke eeuwige wetten liggen eraan ten grondslag21?
Wat is de plaats van de mens in het heelal22?
Hoe moet je leven?
Wat is de essentie van alles?
En hij heeft antwoorden gevonden. De hoogste waarheid, zijn waarheid. Die ging hij verkondigen, als een religie.
Maar niet aan iedereen. In het geheim24.
Hij richtte een club op, een broederschap, de orde der Pythagoreeërs 25. Je kon er niet zomaar bij komen. Je
moest eerst een zware test doorstaan: jarenlang zwijgen. Je mocht al die tijd Pythagoras niet zien, alleen naar
hem luisteren van achter een gordijn26.
En ook daarna, als je er dan bij hoorde moest je je houden aan strenge leefregels. Zo mocht je bijvoorbeeld
geen vlees eten27, ook geen bonen28 , je hield je aan een strakke dagindeling29 en bovenal mocht je het geheim
nooit naar buiten brengen30.
Wat was nou dat geheim?
Het geheim was dat de ziel onsterfelijk is, dat je na je dood als een ander mens of als een dier weer geboren
wordt. Je moet een rein leven leiden en zo kan je aan de kringloop van wedergeboorten ontkomen. Zo leerde
Pythagoras, maar hier was hij niet origineel in. Er bestonden in die tijd meerdere sekten waarin iets dergelijks
verkondigd werd31.
Het bijzondere van Pythagoras zit hem in zijn grootste geheim:
Dat was de wiskunde,
het mysterie van de getallen,
van de harmonie en van de getallen.
Op de filosofische vraag hoe de wereld in elkaar zit was het antwoord van Pythagoras:
Het wezen van het heelal is het getal32.
God heeft de kosmos volgens getallen geordend. De wereld bestaat uit getalverhoudingen 33.
Alles is getal
Alles is volgens getallen geordend34.
Kunnen we ons hier iets bij voorstellen?
Vinden we dit beter dan Thales met zijn: ‘alles is water’?
Is alles getal?
Hoe zien we dat nu?
6
Wat is het wetenschappelijke antwoord op de grote filosofische vraag naar hoe de wereld werkt
tegenwoordig?
Wij zien het antwoord tegenwoordig in de natuurwetten. Die liggen aan elk proces ten grondslag. Alles
gehoorzaamt de natuurwetten. En daarin is alles uitgedrukt in getallen.
Niet alleen het aantal kinderen in de klas, de oppervlakte van een weiland of de prijs van een appel drukken we
uit in getallen - dat begrepen ze in de tijd van Pythagoras ook - maar tegenwoordig hebben we ook getallen voor
geluid (de sterkte en de toonhoogte), kleur, temperatuur, stroming, het CO 2 gehalte in de lucht, vetpercentage,
spiermassa, noem maar op.
Getallen spelen dus een grote rol in de natuur, veel groter dan je zou denken als je dat nog niet weet.
Als je het zo ziet dat Pythagoras dit heeft aangevoeld, dan is het eigenlijk heel knap gevonden van hem.35
Waar had hij het vandaan?
Hij had het gezien in de astronomie36. Net als Thales. Getalsverhoudingen in de hemel, in de omlooptijden van
de zon, de maan, de planeten en de sterren.
Ook had Pythagoras getallen ontdekt in muziek37. Pythagoras had een goed muzikaal gehoor. Hij kon van
twee tonen horen, hoeveel de ene hoger was dan de andere, bijvoorbeeld of het een octaaf was (een kwint of
een kwart). En hij ontdekte dat als een snaar of een fluit tot op de helft verkort wordt, dus in verhouding 2:1, dan
wordt de toon een octaaf hoger. Op dezelfde manier vond hij bij verkortingsverhoudingen 3:2 een kwint en bij
verhouding 4:3 een kwart.
Hierom waren de getallen 1,2,3,4 voor Pythagoras heilig, goddelijk. Hij noemde ze de Tetraktys38 en het was
hun eed.
Waar wij tegenwoordig zeggen: “zo waarlijk helpe mij god almachtig”39, zo zwoeren de Pythagoreeërs bij:
“hem, die aan onze ziel de Tetraktys heeft toevertrouwd”.
1,2,3 en 4 vormen namelijk ook nog de volmaakte driehoek: [dia 2]:
.
. .
. . .
. . . .
De som van 1,2,3, en 4 = 10 is een driehoeksgetal.
Zo zijn er meer driehoeksgetallen.
Pythagoras noemde de kwadraten: 4, 9, 16 ….. vierkante getallen40. Kijk maar: [dia 3]
. .
. . .
. . . .
. .
. . .
. . . .
. . .
. . . .
. . . .
In het Engels noemen ze kwadraten nog steeds vierkantsgetallen (square numbers)
Pythagoras had een afschuw van het getal 17, omdat het precies tussen de mooie getallen 16 en 18 ligt 41. Het
getal 16 is mooi want voor een vierkant van 4x4 geldt: oppervlakte = 16 en omtrek = 16. Het getal 18 is mooi
want voor twee vierkanten naast elkaar van 3x3 geldt: omtrek = 18 en oppervlakte = 18 (gebruik [dia 4] – deze
bevat plaatjes van de vierkanten)42.
Pythagoras had bijvoorbeeld ook volmaakte getallen43 en bevriende getallen44.
Pythagoras beschouwde het even en het oneven als beginselen van alle dingen. De even getallen noemde hij
vrouwelijk, de oneven getallen mannelijk. En het getal 5, de som van het eerste mannelijke en het eerste
vrouwelijk getal (want 1 was geen getal voor Pythagoras) was het symbool voor het huwelijk 45.
Ook bij ‘gerechtigheid’ hoorden bepaalde getallen.
We zien: het is niet altijd wetenschappelijk. Pythagoras geloofde in de magie van getallen, in heilige getallen,
geluksgetallen46.
Aan de ene kant was Pythagoras een wetenschapper, iemand die op zoek is naar wijsheid.
Maar aan de andere kant noemde hij zichzelf ook profeet, iemand die in contact staat met God en Zijn
boodschappen doorgeeft. De leer van Pythagoras moest je dus zien als een goddelijke openbaring, iets wat je
met eerbied aanvaardt, waar je geen bewijs voor verlangt.
Dat is geen wetenschap natuurlijk.
Ook geheimhouding hoort niet bij de wetenschap47.
7
Na de dood van Pythagoras heeft dat dan ook niet stand gehouden. Onder de Pythagoreeërs splitste zich een
groep af die zich op de zuivere wiskunde richtte48. Zij haalden de zweverige kanten ervan af en ontwikkelden de
wiskunde verder. Zij hebben nog eeuwenlang bestaan en hun wiskunde is overgenomen door Plato49 en is te
vinden in de Elementen van Euclides50. Dat is ‘hét wiskundeboek uit de oudheid’ dat enorm veel invloed heeft
gehad op de verdere ontwikkeling van de wiskunde tot nu toe. Onze schoolmeetkunde hebben we nog steeds
voor het grootste deel daaruit51. Je kan dus zeggen dat de Pythagoreeërs aan de basis hebben gestaan van de
wiskunde van nu.
Ze hebben ook een theorie van getallen opgesteld52. De eerste theorie van getallen.
--------------einde verhaal ---------------2. Enkele aspecten uit de theorie van getallen van de Pythagoreeërs53
2.1. (5 minuten) Stellingen over even en oneven getallen.
Zie [dia 5]54:
Enkele stellingen van de leer van even en oneven
Deze stellingen worden (gedeeltelijk) nagelopen met de klas en met eenvoudige getallenvoorbeelden
inzichtelijk gemaakt. Stelling 29 krijgt speciale aandacht. Hiervan gaan we in de volgende les gebruik maken.
2.2. (15 minuten) Wat zijn getallen volgens de Pythagoreeërs? (Docent gebruikt bord).
Getallen zitten voor de Pythagoreeërs vast aan een eenheid. Bijvoorbeeld: wanneer je als eenheid een appel
hebt, dan staat het getal 3 voor 3 appels. Als je als eenheid 1 cm hebt (of een stokje, want ze hadden toen nog
geen cm) dan staat het getal 7 voor 7 cm (of 7 keer de lengte van het stokje).
Getallen zijn altijd gehele getallen. Namelijk een geheel aantal keer de eenheid. De eenheid zelf, 1 dus,
noemden de Pythagoreeërs geen getal.
Het lijkt misschien dat je niet nauwkeurig kan meten met alleen gehele getallen, maar dat is niet zo.
Je kan als eenheid bijvoorbeeld 0,1 cm nemen, of 0,000000001 cm. Die kan je in de praktijk niet afmeten, maar
dat is niet belangrijk. Je kan het wel als eenheid kiezen. Je kan een zo kleine eenheid nemen als je wilt en dus
zo nauwkeurig een getal ‘meten’ als je wilt.
Kenden de Pythagoreeërs geen breuken? Kenden ze bijvoorbeeld niet 7,13? Jawel.
Ze noemden breuken alleen geen getallen, ze noemden het verhoudingen.
Neem een lengte van 7,13 cm. Om die te meten neem je als eenheid 0,01 cm. Je meet dan 713 eenheden. In 1
cm passen 100 eenheden. De verhouding is 713:100 . Wij schrijven 713/100 = 7,13
Docent illustreert dit met figuurtje op het bord:
7,13
1
713
100
Dit kenden ze niet.
Dit wel.
8
De Pythagoreeërs rekenden met hun verhoudingen net zo als wij met breuken55. Ze konden optellen,
aftrekken, vermenigvuldigen, vereenvoudigen….
Bijvoorbeeld:
20:24 = 5:6.
Dit vind je door aan beide kanten door 4 te delen. Maar hoe weet je dat je door 4 moet delen?
4 is de grootste gemeenschappelijke deler (GGD). Hoe vind je de GGD?
De Pythagoreeërs hadden daar een manier voor56 [dia 6]:
 Neem beide getallen. (20 24)
 Trek het kleinste getal af van het grootste getal (24-20=4)
 Ga verder met het antwoord en het kleinste getal (4 20)
 Trek weer het kleinste getal af van het grootste getal (20-4=16)
 ga net zo lang door tot je twee dezelfde getallen hebt. ( 16-4=12 12-4=8 8-4=4)
 Dat is de GGD (4)
Twee leerlingen kunnen achtereenvolgens aangewezen worden om dit te proberen met twee andere getallen,
bijvoorbeeld met 18 en 6 en met 3 en 4.
Als je 3 en 4 neemt, dan is de GGD gelijke aan 1. Dat betekent: de breuk ¾ kan je niet meer vereenvoudigen.
Merk op dat een vereenvoudigde breuk nooit uit twee even getallen bestaat.
De Pythagoreeërs kenden dus gehele getallen en breuken (ook al noemden ze die laatsten geen getallen).
Daarmee kan je elk punt op de positieve getallenlijn zo nauwkeurig ‘meten’ als je wilt.
Je hebt het getal 7,13 maar ook het getal 7,134 of 7,1342745639286475343
Deze getallen zijn allemaal als breuk te schrijven.
En er zijn oneindig veel getallen op de getallenlijn. Er zijn er zelfs oneindig veel op een klein stukje.
Want tussen 1 en 2 heb je: 1,2 en 1,22 en 1,222 en 1,2222 en 1,34 en 1,344 en 1,3444 etc.
En neem twee getallen. Je kan altijd een getal vinden dat er tussenin zit.
Bijvoorbeeld tussen 7,1 en 7,2 ligt 7,15. En tussen 7,15 en 7,1 zit weer 7,125 en zo kan je doorgaan.
Met gehele getallen en breuken hebben we dus alle getallen op de positieve getallenlijn!
Is dat wel zo?
3. Huiswerk
- Denk na over deze vraag. Zijn alle getallen als een breuk te schrijven? Of zijn er meer getallen?
- De stervijfhoek was het herkenningsteken van de Pythagoreeërs, het symbool van gezondheid. Maak
werkblad 1. Hierin ga je aan de slag met de stervijfhoek en kan je het antwoord vinden op de vraag57.
9
Les 2 Bewijs van irrationaliteit en benadering van √𝟐
1. (10 minuten) Klassikale bespreking van de vraag of we met breuken alle getallen hebben.
Wie zegt ja? Wie zegt nee? En waarom? Evt. kan een korte discussie ontstaan.
Hoe is de huiswerkopdracht gegaan? Het antwoordenblad wordt uitgedeeld en kort besproken.
Het is niet erg als het nog niet helemaal begrepen is. Het zal deze les duidelijk worden.
2. (3 minuten) Herhaling van drie resultaten uit de vorige les
Van deze stellingen gaan we in deze les gebruik maken [dia 7]:
We weten nog:
•
een vereenvoudigde breuk bestaat nooit uit twee even getallen
•
oneven getal . oneven getal = oneven getal
•
grootste gemeenschappelijke deler van a en b vind je door steeds het kleinste van het grootste getal af te trekken
tot je twee dezelfde getallen hebt. Je gaat steeds door met de twee kleinste getallen. Als de GGD = 1 dan is de
breuk b/a vereenvoudigd.
3. (10 minuten) Het bewijs dat √𝟐 niet als een breuk geschreven kan worden
Als alle getallen als een breuk geschreven kunnen worden, dan kan de schuine zijde van een gelijkbenige,
rechthoekige driehoek met rechthoekszijde 1 geschreven worden als b/a. [Dia 8]:
b/a
b
≅
1
1
a
1
Deze driehoek (links) is gelijkvormig met de driehoek (rechts) met rechthoekszijde = a en diagonaal = b. De
Pythagoreeërs werkten met deze driehoek omdat ze geen breuken schreven. Ook hier is de verhouding tussen
schuine zijde en rechthoekszijde: b/a.
De rechthoekszijde is verdeeld in a stukjes (eenheden). Er passen precies b eenheden in de schuine zijde. We
kiezen nu de eenheid zo groot mogelijk (dus a zo klein mogelijk).
Dat wil zeggen: we kiezen a en b zo dat de breuk b/a vereenvoudigd is.
We weten dus: a en b zijn niet allebei even (zie [dia 7] nog eens)
Wat weten we nog meer?
We weten met de stelling van Pythagoras dat geldt: a2+a2 = 2a2 = b2 (docent gebruikt bord)
Dus b2 is even (want het is het dubbele van a2).
Dus b is even want als b oneven zou zijn dan zou b2 ook oneven zijn (zie [dia 7] nog eens)
Je kan van b dus de helft nemen. Noem dit p:
2p = b
Invullen geeft: 2a2 = (2p)2= 4p2 => a2 = 2p2
Dus a is ook even.
Dus a en b zijn allebei even.
Maar we hadden een a en b waarvoor gold dat ze niet allebei even waren.
Tegenspraak.
Dus we kunnen de lengte van de diagonaal niet schrijven als een breuk.
Maar het is wel een getal!
De oude Grieken noemden de getallen die niet te schrijven zijn als een breuk ‘onmeetbare getallen’. Wij
noemen de getallen die niet te schrijven zijn als een breuk irrationale getallen. √2 is dus een irrationaal getal.
10
Hierbij kan nog verteld worden:
Rond 400 voor Christus, na de dood van Pythagoras, maar voor Plato werd door de Pythagoreeërs deze
ontdekking gedaan dat niet alle getallen als een breuk zijn te schrijven1. Dat was een bijzonder knappe en
waardevolle prestatie van de oude Grieken. Zij hebben de irrationale getallen ontdekt2, terwijl ze nog maar
beginnelingen waren in de wiskunde. De Babyloniërs en de Egyptenaren waren al duizenden jaren bezig met
wiskunde maar hebben dit nooit gezien3.
Is het voor de klas een schok dat niet alle getallen breuken zijn? Dat is goed begrijpelijk en er kan een verband
gelegd worden met de geschiedenis. Voor de Pythagoreeërs was het ook een schok, een nog veel grotere want
voor hun hadden getallen met het goddelijke te maken. Het was Hippasos die de irrationale getallen heeft
ontdekt en hij is omgekomen op zee. De legende vertelt dat ze hem overboord hebben gegooid als straf voor
het openbaar maken van deze ontdekking4.
4. (15 minuten) De Benadering van √𝟐 met een werkblad5
De leerlingen ontvangen werkblad 2 en beginnen hieraan. De docent kan aanwijzingen geven en vragen
beantwoorden. Hij kan hierbij [dia 7, 9, 10, 11 en 12] gebruiken voor klassikale uitleg. De leerlingen mogen
eraan werken tot 8 minuten voor het einde van de les.
5.( 8 minuten) Filmpje kijken
Tot slot van deze les mogen de leerlingen een filmpje kijken waarin vlot, grappig en leerzaam de punten van de
afgelopen twee lessen aan de orde komen. De titel van het filmpje is What was up with Pythagoras. Het is te
vinden op youtube: http://www.youtube.com/watch?v=X1E7I7_r3Cw .
Opmerkingen erbij: Er wordt gespot met het verbod van Pythagoras op het eten van bonen. Dit was een
onderdeel van de leefregels van Pythagoras. Ook wordt de vraag gesteld of Pythagoras een moordenaar was.
Dit refereert aan Hippasos die de irrationale getallen heeft ontdekt en die is omgekomen op zee. Pythagoras
was echter al dood toen de irrationale getallen werden ontdekt, dus hij kan Hippasos niet vermoord hebben6.
6. Huiswerk
De leerlingen krijgen de antwoordenbladen van werkblad 2 en ook van werkblad 1 mee naar huis. Huiswerk is:
Maak werkblad 2 af. Kijk het na met het antwoordenblad (of gebruik het antwoordenblad eerder als je
vastloopt). Zorg ook dat je werkblad 1, waarvan je nu de antwoorden hebt, hebt gemaakt en begrepen.
11
Les 3 (Getallen)verzamelingen
1. (10 minuten) Bespreking van het huiswerk en irrationale getallen
Zijn werkblad 1 en werkblad 2 begrepen? Zijn er nog vragen? Wat kunnen we concluderen? Er zijn nog meer
getallen dan alleen breuken. Deze getallen kan je wel benaderen met breuken, maar het zijn geen breuken.
Vroeger noemden ze deze getallen ‘onmeetbare getallen’. Tegenwoordig noemen we ze irrationale getallen.
We hebben gezien dat √2 en √5 irrationale getallen zijn (op werkblad 1 en 2).
Klassikale vraag: Welke getallen zijn nog meer irrationaal? Er wordt genoemd (door leerlingen of docent): π, e,
andere wortels, derde machtswortels …
Een irrationaal getal kan geschreven als een oneindige reeks breuken (dit is door les 1 en 2 nu aannemelijk).
Een irrationaal getal is een getal met oneindig veel cijfers achter de komma (= oneindig veel decimale breuken).
De docent laat [dia 13] zien waarop een benadering van π staat met 1000 cijfers achter de komma.
Klassikale vraag: Is elk getal met oneindig veel cijfers achter de komma irrationaal?
Antwoord: Nee. Bijvoorbeeld [dia 14]:
1/3 = 0,33333…..
15/7 = 2,142857 142857 142857 142857 …..
Wat valt je op aan deze getallen? Antwoord: er zit een herhaling in.
Hoe zit het dan? Irrationale getallen zijn getallen met oneindig veel cijfers achter de komma die niet bestaan uit
een patroon dat zich steeds herhaalt. (Dit kan bewezen worden, maar het bewijs wordt niet behandeld.)
2. (10 minuten) Uitleg verzamelingen
Je hebt geleerd over de ontdekking van irrationale getallen en de schok die dit voor wiskundigen opleverde.
Om iets te begrijpen van hoe wiskundigen tegenwoordig tegen getallen aankijken moet je eerst iets weten over
verzamelingen. Daarover gaat dit gedeelte van de les.
Het woord verzameling heeft in de wiskunde een heel precies gedefinieerde betekenis. Die komt niet helemaal
overeen met het dagelijks taalgebruik. De onderdelen van een verzameling worden in de wiskunde elementen
genoemd. Het wordt opgeschreven met accolades aan het begin en het eind en komma's tussen de elementen.
Op het bord [Dia 15] zie je een aantal voorbeelden.
verzameling
{ 1, 2, 5 }
{ aap, noot, mies }
{ q, e, s, t }
elementen
de getallen 1, 2 en 5
de woorden aap, noot en mies
de letters q, e, s en t
kardinaliteit
3
3
4
Het aantal elementen in een verzameling wordt de kardinaliteit van die verzamelingen genoemd. Twee
verzamelingen met hetzelfde aantal elementen noem je gelijkmachtig. [Dia 16]:
{ 1, 2, 3, 4, 5 } is gelijkmachtig met { 2, 4, 6, 8, 10 }
{ 5, 6, 8 } en { cola, fanta, cassis } zijn gelijkmachtig.
Net als in het dagelijks taalgebruik doet bij een verzameling de volgorde van de elementen er niet toe. Een
verzameling met als elementen de getallen 7, 5 en 2 is hetzelfde als een verzameling met als elementen de
getallen 2, 7 en 5. Als de elementen van twee verzamelingen hetzelfde zijn mag je er dus ongeacht de volgorde
een =-teken tussen zetten. [Dia 16]:
{ 7, 5, 2 } = { 2, 7, 5}
{ a, b, c, d, e } = { b, d, c, e, a }
12
In de wiskunde telt hetzelfde element in een verzameling altijd als één element, zelfs als je het wel meerdere
keren opschrijft. Het maakt dus niet uit of het getal 5 één keer wordt opgeschreven of drie keer. [Dia 16]:
De kardinaliteit van { 7, 5, 5, 5, 2 } is niet 5 maar 3.
{ 7, 5, 5, 5, 2 } = { 7, 5, 2 }
Stel nu dat je twee verzamelingen hebt. De eerste is de verzameling van de gehele getallen van 1 t/m 6 en de
tweede is de verzameling van de gehele getallen van 2 t/m 4. De tweede is dan een deelverzameling van de
eerste. [Dia 17]:
{ 4, 5, 6 } is een deelverzameling van { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
{ 2, 4, 6 } is een deelverzameling van { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
De voorwaarde hiervoor is dus dat elk element van de deelverzameling ook een element is van de andere
verzameling. Iedere verzameling is dus automatisch een deelverzameling van zichzelf. [Dia 17]:
{ 8, 12, 15 } is een deelverzameling van { 8, 12, 15 }
3. (5 minuten) Oneindige verzamelingen, ℕ, ℤ, ℚ 𝒆𝒏 ℝ
We hebben tot nu toe alleen gekeken naar verzamelingen met een eindig aantal elementen. Je kunt de
elementen daarvan dus tellen. Zulke verzamelingen noem je eindige verzamelingen. Voorbeelden [Dia 18]:
De verzameling van alle leerlingen op een school.
De verzameling van alle gehele getallen van 1 tot 10000000.
Je kunt in de wiskunde echter ook verzamelingen hebben met oneindig veel elementen. Zulke verzamelingen
heten oneindige verzamelingen. Een aantal daarvan zijn zo belangrijk dat ze een speciale letter hebben
gekregen. [Dia 18]:
ℕ = de verzameling van alle natuurlijke getallen = { 0, 1, 2, ... }
ℤ = de verzameling van alle gehele getallen = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
ℚ = de verzameling van alle rationale getallen
ℝ = de verzameling van alle reële getallen
ℕ is dus de verzameling van getallen die je gebruikt bij tellen. Op de 0 en de 1 na zijn dit de getallen die de
oude Grieken ook al als getallen zagen. ℤ krijg je als je ook de negatieve getallen meetelt, ℚ als je ook de
breuken meetelt, en ℝ als je ook de irrationale getallen meetelt.
4. (13 minuten) Gelijkmachtigheid bepalen
Voor eindige verzamelingen is het makkelijk om te bepalen of ze gelijkmachtig zijn. Je telt gewoon het aantal
elementen van de verzamelingen. Als het aantal hetzelfde is zijn ze gelijkmachtig. [Dia 19]:
{ 5, 6, 3 } heeft 3 elementen.
{ auto, boot, fiets } heeft ook 3 elementen.
dus { 5, 6, 3 } en { auto, boot, fiets } zijn gelijkmachtig.
Van oneindige verzamelingen kun je de elementen niet tellen. Toch kun je je afvragen of twee oneindige
verzamelingen gelijkmachtig zijn of niet. Zijn alle oneindige verzamelingen even groot? Of is de ene misschien
“oneindiger” dan de andere?
Vraag aan de klas: Zijn ℕ en ℤ gelijkmachtig? (de leerlingen vertellen wat ze denken en waarom, het antwoord
nog niet verklappen)
Opdracht voor leerlingen [Dia 20]:
Bedenk een manier om zonder te tellen te controleren of twee eindige verzamelingen gelijkmachtig zijn.
Eerst 2 minuten zelf nadenken, dan 2 minuten overleggen met de leerling naast je.
13
Hint: Neem als voorbeeld een schoolplein waarop 200 leerlingen staan en bedenk hoe je kan controleren of er
evenveel jongens als meisjes zijn.
De oplossing die de leerlingen hopelijk hebben gevonden is om paren van jongens en meisjes te maken, als er
dan geen meisjes of jongens alleen overblijven zijn de verzamelingen gelijkmachtig. De docent legt uit dat dit in
de wiskunde een één-op-één afbeelding heet. [Dia 21]:
Zijn { 5, 6, 3 } en { auto, boot, fiets } gelijkmachtig?
Er is een één-op-één afbeelding:
5 ↔ auto 6 ↔ boot 3 ↔ fiets
Er blijft niets over dus ze zijn gelijkmachtig.
Zijn { aap, noot, mies } en { 8, 5, 12, 3 } gelijkmachtig?
Er is geen één-op-één afbeelding:
aap ↔ 12 noot ↔ 8 mies ↔ 3 ??? ↔ 5
De 5 blijft alleen over dus ze zijn niet gelijkmachtig.
Het voordeel van het bepalen van gelijkmachtigheid door te controleren of je een één-op-één afbeelding kunt
maken is dat je dit ook kunt doen met oneindige verzameling. Een oneindige verzameling kun je niet tellen,
maar je kunt dus wel kijken of twee oneindige verzamelingen gelijkmachtig zijn. [Dia 22]:
ℤ = { ..., -2, -1, 0, 1 , 2, ... } = alle gehele getallen
E = { ..., -4, -2, 0, 2 , 4, ... } = alle even gehele getallen
E is een deelverzameling van ℤ. Betekent dat dat ℤ meer elementen heeft dan E?
Er is een één-op-één afbeelding:
... -2 ↔ -4 -1 ↔ -2
0↔0
1↔2
2↔4
...
Er blijven geen getallen alleen over!
Omdat ℤ een oneindige verzameling is kun je de helft van de elementen weglaten zonder dat de verzameling
kleiner wordt. Dit is een heel bijzondere eigenschap van oneindige verzamelingen. Als je bij een eindige
verzameling de helft van de elementen weglaat krijg je altijd een kleinere verzameling.
5. (7 minuten) Aftelbaar en overaftelbaar oneindig
Een verzameling die gelijkmachtig is met ℕ heet een aftelbaar oneindige verzameling. Je kunt de elementen,
net als de natuurlijke getallen, in een oneindig lange rij zetten en ze dan zover aftellen als je maar wilt. Je
maakt dan een één-op-één afbeelding met de natuurlijke getallen. [Dia 23]:
Z is aftelbaar oneindig.
N 0 1 2 3 4 5
Z 0 1 -1 2 -2 3
6 7
-3 4
8 9
-4 5
10 ...
-5 ...
De verzameling van alle kwadraten is aftelbaar oneindig
N
0
1
2
3
4
5
6
7
...
kwadraten 0
1
4
9
16 25 36 49 ...
Oneindige verzamelingen die niet gelijkmachtig zijn met ℕ heten overaftelbaar oneindig, maar daar gaan we
het volgende les over hebben.
6. Huiswerk: Werkblad bij les 3.
14
Les 4 Aftelbare en overaftelbare getallen
1. (5 minuten) Aftelbaarheid van ℚ
Controleer of het de leerlingen bij het maken van opdracht 1 van het huiswerk is gelukt om de aftelbaarheid
van de gevraagde verzamelingen te laten zien. Waarschijnlijk is het met name bij de rationale getallen niet bij
iedereen gelukt. Deze bespreken we daarom in elk geval klassikaal.
Je kunt de rationale getallen in een tabel plaatsen met de teller in de rijen en de noemer in de kolommen.
Vervolgens kun je ze dan “diagonaal” aftellen. Omdat bijvoorbeeld 4/6 hetzelfde is als 2/3 moet je bij het
aftellen wel af en toe een vakje overslaan. [Dia 24]:
1
2
4
6
10
12
1/1
3
2/1
3/1
7
4/1
5/1
13
6/1
...
1/2
5
2/2
8
3/2
4/2
14
1/3
9
2/3
3/3
15
4/3
2/4
16
3/4
1/4
11
...
1/5
5/2
...
...
...
...
...
...
...
...
2/5
ℚ is aftelbaar oneindig.
1
2
ℕ 0
1/1
2/1
ℚ 0
3
1/2
4
3/1
5
1/3
6
4/1
7
3/2
8
2/3
Maar de negatieve rationale getallen dan? Okee, een kleine aanpassing:
1
2
3
4
5
6
7
8
ℕ 0
1/1
-1/1 2/1
-2/1 3/1
-3/1 1/3
-1/3
ℚ 0
9
1/4
10
5/1
...
...
9
4/1
10
-4/1
...
...
Er zijn oneindig veel getallen zijn die wel in ℚ zitten maar niet in ℕ. Je zou daarom misschien verwachten dat er
meer elementen in ℚ zitten dan in ℕ. Dat blijkt dus gek genoeg niet zo te zijn. Je kunt een één-op-één
afbeelding maken dus het zijn er precies even veel.
2. (10 minuten) Hilbert's Grand Hotel
Als je het moeilijk vindt om je iets voor te stellen bij al deze vreemde eigenschappen van oneindig dan ben je
niet de eerste. Veel van deze eigenschappen van oneindig werden in de tweede helft van de 18e eeuw ontdekt
door Georg Cantor, een Duitse wiskundige. Zijn ideeën leidden tot verwarring en zelfs woede. Henri Poincaré,
een belangrijke Franse wiskundige uit die tijd, noemde het bijvoorbeeld een ziekte. Gelukkig waren er ook
wiskundigen die het werk van Cantor wel waardeerden. Een van hen was de Duitser David Hilbert. Die zei ooit:
“Niemand zal ons wegsturen uit het paradijs dat Cantor heeft gecreëerd.”
15
Niettemin merkte Hilbert natuurlijk wel dat er veel ophef was over het begrip oneindig. In de jaren 1920
bedacht hij daarom een mooi verhaal om het aan mensen uit te leggen. Het verhaal gaat over een hotel en
staat bekend onder de naam Hilbert's Grand Hotel. Het Grand Hotel is geen gewoon hotel. Het Grand Hotel
heeft namelijk oneindig veel kamers. Op een goede dag komt er een wiskundige aan bij het Grand Hotel. Hij
heeft een kamer nodig om te overnachten. Helaas, er zijn al oneindig veel gasten en de eigenaar van het Grand
Hotel vertelt de wiskundige dat hij geen enkele kamer meer vrij heeft.
De wiskundige laat zich echter niet zomaar afschepen. “Doe niet zo gek joh, ik pas er nog makkelijk bij. Doe mij
maar kamer 1” De eigenaar kijkt hem verbaast aan. “Er is echt geen plek meer en kamer 1 is al bezet.” De
wiskundige neemt daar geen genoegen mee. “Dan zet je de gast in kamer 1 toch lekker in kamer 2?” De
eigenaar blijft tegensputteren: “Maar kamer 2 is ook al bezet!” “Tuurlijk,” zegt de wiskundige, “maar de gast
van kamer 2 kan wel naar kamer 3 gaan. Als iedereen gewoon een kamer opschuift dan komt kamer 1 voor mij
vrij.” Daar heeft de eigenaar natuurlijk niks tegenin te brengen.
Toon [Dia 25].
De volgende dag komt er een bus vol met wiskundigen aan bij het Grand Hotel. De eigenaar weet inmiddels
wel dat er altijd nog wel eentje bij past in zijn hotel. Toch schiet hij in paniek. Het is namelijk geen gewone bus
met wiskundigen, maar een oneindig grote bus met oneindig veel wiskundigen. “Dat gaat nooit passen,” denkt
de eigenaar. Maar natuurlijk legt een van de wiskundige hem uit dat hij gewoon even de gast in kamer 1 naar
kamer 2 moet verplaatsen, de gast in kamer 2 naar kamer 4, de gast in kamer 3 naar kamer 6, enzovoort. Alle
oneven kamers komen dan in een klap vrij en dus passen er weer oneindig veel gasten bij.
Daarna gaat het verhaal nog verder om te laten zien dat er zelfs genoeg plaats is in het hotel als er niet één
maar oneindig veel oneindig grote bussen met oneindig veel gasten bij moeten. Hoe dat in zijn werk gaat slaan
we hier even over. Misschien kun je dat zelf bedenken of googlen.
3. (10 min) Cantor en de overaftelbaarheid van ℝ
Tot nu toe hebben we gekeken naar eindige en aftelbaar oneindige verzamelingen. De term aftelbaar oneindig
suggereert al dat er ook nog een ander soort oneindig is. Dat klopt. Er bestaan ook zogenaamde overaftelbaar
oneindige verzamelingen. Dat zijn dus verzamelingen met zoveel elementen dat ze zelfs niet meer in Hilbert's
Grand Hotel zouden passen. Je kunt de elementen van zo'n verzameling namelijk niet meer op een rij zetten
om ze af te tellen zoals je zou moeten doen om ze allemaal een kamernummer te geven.
Als je bedenkt hoeveel gasten er wel niet in Hilbert's Grand Hotel passen kun je je afvragen of zoiets als
overaftelbaar oneindig sowieso wel bestaat. Als het echter niet bestaat zou dat betekenen dat alle oneindige
verzameling aftelbaar zijn. Dus ook de verzameling van alle reële getallen. En daar zit precies het probleem.
Waar je de rationale getallen nog kunt aftellen lukt dat niet meer voor de reële getallen.
Het was Cantor die ongeveer een eeuw geleden bewees dat je de verzameling van alle reële getallen niet
aftelbaar is. Hij ontdekte sowieso het bestaan van overaftelbare verzamelingen. Daarvoor was oneindig
gewoon oneindig. Zijn ontdekking dat er verschillende soorten oneindig zijn was voor de wiskundigen net zo'n
schok als destijds de ontdekking van irrationale getallen voor de Grieken moet zijn geweest. Leopold Kronecker
bijvoorbeeld, een belangrijke Duitse wiskundige in die tijd, ging zelfs zo ver dat hij het Cantor onmogelijk
probeerde te maken om zijn werk te publiceren. Hij zorgde er ook voor dat Cantor geen baan kon krijgen in
Berlijn.
Het bewijs dat Cantor bedacht om aan te tonen dat de reële getallen overaftelbaar zijn is eigenlijk heel
eenvoudig. Cantor keek naar de verzameling van alle reële getallen tussen 0 en 1. Dat is een deelverzameling
16
van ℝ dus als die overaftelbaar oneindig is dan is ℝ dat zeker ook. Cantor laat zien dat de aanname dat deze
verzameling aftelbaar oneindig is tot een tegenspraak leidt. Die aanname moet dan dus wel onjuist zijn.
Het bewijs dat er een tegenspraak is vond Cantor met dezelfde aanpak die je in de tweede huiswerkopgave
voor vier getallen met vier cijfers achter de komma hebt ontdekt. Alleen zijn het nu oneindig veel getallen met
oneindig veel cijfers achter de komma. [Dia 26]
Bekijk de verzameling van alle reële getallen tussen 0 en 1.
Schrijf de getallen als (oneindig lange) kommagetallen.
Neem aan dat de verzameling aftelbaar oneindig is. Je kunt de
elementen dan allemaal in een oneindig lange rij zetten (tabel).
Er is een getal tussen 0 en 1 dat er niet bij zit. Tegenspraak!
Natuurlijke getallen
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
...
Maar deze zit er niet bij!
Reële getallen
0 , 9 8 2 4 7 3 5 9 8 4 3 5 8 0 0...
0 , 2 0 4 2 5 8 9 4 8 5 2 7 4 5 8...
0 , 3 8 7 2 4 6 4 2 8 7 3 8 2 7 4...
0 , 3 2 7 4 8 6 2 3 8 7 0 9 8 8 9...
0 , 0 0 9 0 8 0 9 8 0 0 8 9 3 2 2...
0 , 9 1 3 4 6 0 2 0 9 3 8 7 4 3 5...
0 , 4 3 6 5 8 8 3 6 5 4 3 8 7 5 6...
0 , 4 3 7 8 6 4 8 1 9 8 7 9 8 9 9...
0 , 1 2 3 9 8 7 3 4 6 5 9 2 3 9 2...
0 , 0 9 8 3 2 4 0 3 9 0 4 0 2 3 4...
0 , 9 8 6 4 3 8 7 8 3 2 4 8 9 2 3...
0 , 7 4 9 3 5 3 9 8 4 3 9 5 8 9 3 ...
...
0 , 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0...
Om een getal te vinden dat er niet tussen staat kijk je alleen naar de vet gedrukte cijfers. Onder elke 0 zet je
een 1 en onder elk ander cijfer zet je een 0. Zo krijg je een getal dat aan geen enkel van de andere getallen
gelijk kan zijn en er dus nog niet tussen zat.
17
4. (10 min) Maak er 0 van!
Zelfs na de ontdekking van Cantor dat de reële getallen overaftelbaar zijn bleek er nog meer te ontdekken over
de reële getallen. We gaan nu een spel spelen om een van deze ontdekkingen ook zelf te doen.. [Dia 27]
Maak er 0 van
Je mag alleen gehele getallen gebruiken.
Je mag alleen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen.
Je mag niet vermenigvuldigen met 0.
Voorbeelden
Nu jullie! (5 minuten) [Dia 28]:
Opdracht 1
Maak 0 van de volgende 2 getallen:
Opdracht 2
Bedenk zelf een getal waar je op deze manier 0 van kunt maken. Laat de leerling naast je het uitproberen
Opdracht 3
Denk je dat er ook getallen zijn waar je op deze manier geen 0 van kunt maken? Zo ja, kun je een voorbeeld
geven?
Klassikaal nabespreken. [Dia 29].
18
5. (8 min) Algebraïsche en transcendente getallen
Getallen waar je met het spel 0 van kunt maken heten algebraïsche getallen. Het zijn precies de getallen die
een oplossing zijn van een vergelijking van de vorm op de het bord. [Dia 30]:
Algebraïsche getallen zijn oplossingen van vergelijkingen als
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = 0
waarin a0, a1, a2, ..., an gehele getallen zijn.
5
Zo is √8 + √2 dus een oplossing van 64x4- 336x2-761 = 0 . Zo'n vergelijking heet met een moeilijk woord een
polynomiale vergelijking met gehele coëfficiënten.
Algebraïsche getallen kom je in allerlei wiskundige berekeningen tegen. Alle gehele getallen en alle rationale
getallen vallen eronder maar daarnaast dus ook nog oneindig veel irrationale getallen. Je kunt je haast niet
voorstellen dat er ook nog getallen bestaan die niet algebraïsch zijn. Toch is dat zo. Zulke getallen heten
transcendente getallen.
Kijk nog even naar dit een overzicht van de getallenverzamelingen waarover we het in de afgelopen lessen
hebben gehad. [Dia 31]
19
Irrationale getallen: niet rationale reële getallen (groen + rood).
Transcendente getallen: niet algebraïsche reële getallen (rood).
Het is wat te ingewikkeld om hier te laten zien hoe, maar je kunt de algebraïsche getallen net als de rationale
getallen op een rij zetten. Het zijn er dus “slechts” aftelbaar oneindig veel. Aangezien er overaftelbaar oneindig
veel reële getallen zijn moeten er dus wel transcendente getallen bestaan. Sterker nog het moeten er zelfs
overaftelbaar oneindig veel zijn.
De bekendste transcendente getallen zijn waarschijnlijk e en π. Het bewijs dat e en π transcendent zijn is te
ingewikkeld om in deze les te behandelen. Maar toen het werd ontdekt was dit wel een openbaring. Wie had
gedacht dat je nog iets nieuws kon ontdekken over het getal π. Een getal per slot dat al heel lang bekend was!
6. (2 min) Afsluiting
Als het goed is heb je in de afgelopen lessen een hoop nieuwe dingen geleerd over getallen en misschien heeft
dit je kijk op getallen wel een beetje veranderd. Getaltheorie is echter een belangrijk vakgebied binnen de
wiskunde en er is dus nog veel meer over getallen te leren.
De reële getallen kun je bijvoorbeeld ook nog onderverdelen in construeerbare en niet-construeerbare
getallen. En er bestaan ook allerei soorten getallen die zelfs niet eens meer reëel zijn: imaginaire getallen,
complexe getallen, quaternionen, octonionen, surreële getallen, transfiniete getallen, superreële getallen,
hyperreële getallen, p-adische getallen. Intrigerende namen allemaal en misschien zegt dat wel iets over de
verwondering van de wiskundigen die ze ontdekten.
Deze lessenserie is nu afgerond, maar er is dus over getallen nog veel meer te leren.
20
Noten
Noten bij deel 1
1 Het is een op de geschiedenis geïnspireerde lessenserie, met motieven, lijnen en aspecten zoals beschreven in [Tzanakis & Arcavi,
2000, 7.3.2]. De leerlingen krijgen ook enige historische informatie (waarover wordt uitgewijd in [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.3.1a]) maar
dat is niet het hoofddoel. Er wordt wiskunde geleerd, dus ook [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.2 a] is hier aan de orde.
2. Complexe getallen worden in deze lessenserie niet besproken. Negatieve getallen krijgen ook geen speciale aandacht.
3. Deze manier waarop de theorie gebracht wordt in de klas is volgens [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.4.6(ii)]
4 dit sluit aan bij [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.2 blz 206, argument c3 en c4)
5 dit sluit aan bij [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.3.3b]
6 dit sluit aan bij [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.2 blz 207 argument e2 en e3)
7 dit sluit aan bij [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.2 blz 207 argument e1 en blz 206 argument d1)
8 dit sluit aan bij [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.2. blz 205, argument b en blz 207 argument d, onderdeel 1 en 3]
9 de verschillende werkbladen in de lessenserie sluiten aan bij [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.4.4.a resp. b)
10 dit sluit aan bij [Tzanakis & Arcavi, 2000, 7.3.3.a)
11 naar een idee uit een filmpje dat te vinden is op: http://www.youtube.com/watch?v=seUU2bZtfgM
Noten bij deel 2, les 1
1. Er is nauwelijks iets bekend over de vader van Pythagoras, maar (ook al wil een legende dat Pythagoras de zoon is van de god Apollo)
het is zeer aannemelijk dat zijn naam Mnesarchos was en dat hij een rijke koopman was. Zie [Waerden, 1979, blz. 20 en 25], met
citaten van oude bronnen: Iamblichos en Herakleitos.
2. Als geboortejaar van Pythagoras wordt in de literatuur het jaar 600 v Chr, 588 v. Chr of rond 570 C Chr. genoemd (zie [Waerden,
1979, blz. 13,14]). We hebben dus geen zekerheid over het precieze geboortejaar, maar we weten wel dat Pythagoras in de eerste helft
van de zesde eeuw voor Christus is geboren en opgegroeid.
3. De woorden over de verhouding en wisselwerking tussen Pythagoras en zijn vader kunnen gezien worden als romantisering. Ze zijn
verzonnen om het verhaal extra aan te laten spreken.
4. Over de jonge Pythagoras is niet veel bekend en nog minder daarvan is zeker. Deze schets van de jonge Pythagoras is een
interpretatie naar de niet geheel betrouwbare, doch wel zeer waardevolle, citaten van Iamblichos, te vinden in [Waerden, 1979, blz. 22
en blz. 44]. Iamblichos was een Neoplatonist, die in de 3e eeuw na Christus veel over Pythagoras geschreven heeft, op basis van oude
bronnen waarover hij destijds beschikte. Zie [Waerden, 1979, blz. 46].
5. Over Thales zie [Waerden, 1950, blz. 97]
6. O.a. Anaximandros, de tweede grote natuurfilosoof van Milete in die tijd
7 eigen vrije gedachtegang van auteur/docent
8. zie [Waerden, 1950, blz. 98-101]
9. Over de wiskunde in het oude Oosten zie bijvoorbeeld [Struik, 1990, blz. 27-46]
10 De stelling is (hoogstwaarschijnlijk) ook niet bewezen door Pythagoras zelf. Waarschijnlijk wel door de latere Pythagoreeërs. Zie
[Struik, 1990, blz. 54]
11. Zie [Struik, 1990, blz. 49] en [Waerden, 1950, blz. 97].
12. zie [Waerden, 1950, blz. 97,98]
13. eigen, vrije gedachtegang van de auteur/docent
14. Over de reizen van Pythagoras is niet veel bekend. Het hier beschreven verhaal over de 18 jarige Pythagoras die op een boot stapt
naar Thales en daarna verder reist naar Egypte en Babylon is een ingekorte versie van de legende zoals beschreven door Iamblichos
(geciteerd in [Waerden, 1979, blz. 44,45). Over de reizen van Pythagoras zijn meerdere, gelijksoortige legendarische overleveringen. We
weten niet wat daarvan waar is en wat niet. Het is wel zeer aannemelijk dat Pythagoras inderdaad zelf in Egypte en Babylonië is
geweest en daar kennis over de wiskunde (en astronomie en muziekleer) heeft opgedaan en religieuze overtuigingen heeft
overgenomen. (zie [Waerden, 1979, blz. 36-48]). Dat Pythagoras contact heeft gehad met Thales (de grootste natuurfilosoof in die tijd in
Milete) en zijn leerling is geweest is tevens aannemelijk. Ook zou hij dan gehoord hebben bij Anaximandros (de tweede grote
natuurfilosoof van die tijd in Milete). Het is echter niet zeker of Thales en Anaximandros daadwerkelijk leermeesters zijn geweest van
Pythagoras. Wel mogen we aannemen dat Pythagoras in ieder geval (ook) leerling geweest van Pherekydes van Syros. (zie [Waerden,
1979, blz. 20]).
15 Zie [Waerden, 1979, blz. 37]
16 Zie [Waerden, 1979,. blz. 32] en [Waerden, 1950, blz. 104]
17 De figuur is uit [Waerden, 1950, blz. 107]. Tekst bij de dia: man met tulband, misschien Pythagoras. Sculptuur uit de 4 e of 5e eeuw v.
Chr.
18 Voor de legendes over Pythagoras zie [Waerden, 1979, blz. 51-60].
19 Ook zag Pythagoras een keer een stier bonen eten. Dat is niet goed voor hem, zei Pythagoras. Hij praatte lang in het oor van de stier.
De stier heeft daarna nooit meer bonen gegeten.
21
Pythagoras geloofde in tekens. Toen hij een keer In Olympia tegen zijn volgelingen sprak over tekens door vogels, vloog er net een
adelaar over hem heen. Pythagoras riep de vogel, aaide hem, en liet hem weer los.
Pythagoras kwam een keer vissers tegen die een grote buit hadden in hun netten. Pythagoras zei dat hij wist hoeveel vissen er precies
in het net zaten. Als het goed was, sprak hij af met de vissers, dan zouden ze de vissen terug in het water laten. De vissers telden en
inderdaad, het klopte precies, en nog groter wonder: alle vissen leefden nog na het tellen dat toch lang geduurd had, alleen omdat
Pythagoras erbij had gestaan.
20 zie [Struik, 1990, blz. 49]
21. Deze zin is overgenomen uit [Struik, 1990, blz. 53]. Daar wordt genoemd: het streven van de Pythagoreeërs de eeuwige wetten van
het heelal te onderkennen.
22. Deze zin is overgenomen uit een zin van [Struik, 1990, blz. 49] “De vroege Griekse studie der wiskunde had als voornaamste doel de
plaats van de mens in het heelal op redelijke wijze te begrijpen”.
23 Extra informatie (die misschien leuk is om erbij te vertellen): Rond 529 v. Chr. kwam Pythagoras aan in Kroton (zie P blz. 13) - dat ligt
in Zuid Italië, maar het hoorde toen bij Griekenland – hij hield daar redevoeringen (Zie P. blz. 186-201) en hij deed dat goed. Hij had
charisma, de mensen kwamen naar hem luisteren, bewonderden hem, hij had invloed. (Een oude bron (zie P blz. 186, 187) vertelt dat
Pythagoras het volk in Kroton dat door weelde en overvloed afgezonken was in ondeugden en uitspattingen, weer terugriep naar een
spaarzaam en bescheiden leven.)
“Eer je vader en je moeder”, sprak hij.
“Maak je vrienden nooit tot vijand, maar maak je vijanden tot vrienden.”
Hij sprak van deugdzaamheid, gehoorzaamheid, betrouwbaarheid, ijver.
Hij riep ook op om het denken meer te oefenen. “We achten ons denken hoog, we oordelen ermee, we moeten het ook oefenen.” En
hij zei: “We moeten ons leven ordenen met regelmaat en discipline in navolging van de orde boven in de hemel (zie P. blz. 191)” en “Je
vader en je moeder ben je zoveel dank verschuldigd als een gestorvene die nieuw leven heeft gekregen (zie P. blz. 190).”De laatste
zinnen zijn raadselachtig. Wat bedoelde Pythagoras met orde in de hemel? En met een gestorvene die een nieuw leven krijgt? Dat
vertelde hij niet. Niet aan het volk. Niet zomaar aan iedereen. Dat was geheim.
Pythagoras en de Pythagoreeërs (zijn navolgelingen) hebben een grote rol gespeeld in de politiek van de Griekse steden in Zuid Italië.
(zie [Waerden, 1979,blz. 202-222)
24 zie [Waerden, 1979, blz. 71,72]
25 zie [Waerden, 1950, blz. 104]
26 volgens overlevering van Diogenes en Iamblichos, zie [Waerden, 1979, blz. 171, 172] ook in [Waerden, 1950, blz. 104]
27 omdat dieren een ziel hebben. Het kan je broer of vader zijn uit een vorig leven. Zie [Waerden, 1979, blz. 30]
28 Waarom aten de Pythagoreeërs geen bonen? Dat is niet geheel duidelijk. Mogelijke redenen zijn: omdat ze zouden lijken op
genitaliën of op de poort van Hades, omdat ze schadelijk zouden zijn of omdat de heersers (oligarchen) ze gebruiken om mee te loten.
Zie [Waerden, 1979, blz. 169-171]
29 zie [Waerden, 1979, blz. 164]
30 zie [Waerden, 1979, 116]
31 zie [Waerden, 1950, blz. 104,105]
32 uit [Struik, 1990, blz. 53]
33 zie [Waerden, 1950, blz. 105]: “Wiskunde was een deel van hun religie. God heeft de kosmos volgens getallen geordend. God is de
eenheid, de wereld is veelheid en bestaat uit tegendelen. Wat eenheid in de tegendelen brengt en ze tot kosmos verenigt, is de
harmonie. De harmonie is goddelijk en bestaat uit getalsverhoudingen”.
34 zie [Waerden, 1950, blz. 107]
35 Dit is eigen gedachtegang van de auteur – kan natuurlijk aangevuld of vervangen worden door eigen gedachtegang van de docent en
inbreng van leerlingen.
36 zie [Waerden, 1979, blz. 424-427]
37 zie [Waerden, 1950, blz. 106,107] en [Waerden, 1979, blz. 364-391]
38 zie [Waerden, 1950, blz. 107,108]
39 Of natuurlijk: “Dat beloof ik”
40 zie [Waerden, 1950, blz. 111]
41 zie [Waerden, 1950, blz. 109] naar een citaat van Plutarchus
42 dit stukje kan weggelaten worden als de tijd krap is.
43 een getal is volmaakt wanneer de som gelijk is aan zijn echte delers. Bijv 6 (=1+2+3) is volmaakt
44 220 en 284 bevriende getallen omdat:
1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110 (de som van de echte delers van 220)=284 en
1+2+4+71+142 (de som van de echte delers van 284) = 220 Zie [Waerden, 1950, blz. 110]
45 zie [Waerden, 1950, blz. 109]
46 zie [Waerden, 1950, blz. 108,109]
47 zie [Waerden, 1950, blz. 121,122]
48 Het begon met Hippasos, kort na de dood van Pythagoras. Hij verstoutte zich aan de leer van Pythagoras allerlei nieuwigheden toe te
voegen en de geheimhouding te breken. Zijn volgelingen noemden zich Mathematikoi, in tegenstelling tot de Akusmatikoi die zich
streng aan de heilige leefregels bleven houden en de heilige spreuken gelovig overleverden. Later zijn er de ‘’Pythagoreeërs in Italië” die
22
de traditie van de Mathematikoi voortzetten. De vier leervakken van de Pythagoreeërs waren: Getallenleer, Muziekleer, Meetkunde en
Astronomie. Zie [Waerden, 1950, blz. 122, 123] en [Waerden, 1979, blz. 64-67
49 Zie [Waerden, 1979, blz. 284,285 en blz. 33]
50 gedateerd omstreeks 300 voor Christus, zie [Waerden, 1950, blz. 218]
51 Zie [Struik, 1990, blz. 64] en [Waerden, 1950, blz. 217,218]
52 die is te vinden in de Elementen van Euclides, boek 7 en 9, zie [Heath,1956]
53 Hier worden alleen de voor deze lessenserie relevante elementen van de theorie van getallen van de Pythagoreeërs behandeld. Ook
wordt niet strikt aan antieke termen en gedachtelijnen gehouden. Modern en antiek lopen door elkaar. De stelselmatige opbouw van
de leer der getallen is te vinden in boek 7 en 9 van Elementen van Euclides. Ook in boek 8 worden verhoudingen behandeld. Zie
[Heath,1956] .
54 overgenomen uit [Waerden, 1950, blz. 124]. Uit de Elementen boek 9, in verkorte formulering. Zie ook [Heath,1956] .
55 zie [Waerden, 1950, blz. 125-131] en boek 7 en 8 uit [Heath,1956]
56 zie [Waerden, 1950, blz. 130]
57 Het ‘bewijs’ van het bestaan van irrationale getallen met behulp van de stervijfhoek in werkblad 2 is, in vereenvoudigde en
gemoderniseerde vorm, het bewijs dat de Pythagoreeërs (hoogstwaarschijnlijk) ook hebben ontdekt. Waarschijnlijk was het zelfs de
eerste ontdekking van irrationale getallen. Zie [Fritz, 1945, blz. 257,258] en [Jones, Feb, 1956] (Voor de gulden snede in de stervijfhoek,
zie [Waerden, 1950, blz. 113]. Ook bij werkblad 2: de symmetrie-eigenschappen van de stervijfhoek worden hier gegeven, hoeven niet
aangetoond te worden.
Noten bij deel 2 les 2
1. zie [Jones, Feb, 1956, blz. 172]. Het hier gebruikte bewijs van de irrationaliteit van √ 2 kan ook gevonden in [Struik, 1990, blz 55] en
[Waerden, 1950, blz. 125]. Het bewijs is hier ingeleid met de twee driehoeken van dia 8 en zodanig opgebouwd en beschreven dat het
voor leerlingen goed te volgen is.
2. zie [Fritz, 1945, blz 242]
3. Eventueel kan erop ingegaan worden waarom dit zo was, door te refereren naar wat in het verhaal in de eerste les verteld is: De
Babyloniërs en Egyptenaren waren vooral bezig met het toepassen van wiskunde. Ze stelden niet een theorie op die van begin af aan
opgebouwd wordt. De Grieken, vanwege hun filosofische interesse – waar begint het? Waar is het op gebaseerd? Past het logisch in
elkaar? - deden dit wel.
4. zie [Waerden, 1979, blz 71,72] en [Jones, Feb, 1956, blz. 173]. Hippasos is ook degene geweest die als eerste de geheimhouding heeft
geschonden en nieuwigheden heeft toegevoegd aan de leer van Pythagoras. De Mathematici, de Pythagoreeërs die de wiskunde verder
hebben ontwikkeld, zijn volgelingen van Hippasos.
5. De historischce benadering van √ 2 en het bewijs van de irrationaliteit staan uitgebreid beschreven in [Jones, April, 1956] of
[Waerden, 1950, blz 141,142]. Voor deze lessenserie en dit werkblad is het sterk verkort en aangepast in notatie.
6. zie [Jones, Feb, 1956, blz. 172]
Noten bij deel 2 les 3
1. Eventueel leuk om erbij te noemen: Er zijn ook veel reeksontwikkelingen voor 𝜋 bekend. De oudste (uit India rond 1500 en later rond
1674 door Leibniz of Gregory) is: π/4 = 1-1/3+1/5-1/7 …… zie [Struik, 1990, blz 90 en blz 218]
23
Literatuurlijst
[Biermann, 1972] Biermann, K.R., Kronecker, Leopold, in Dictionary of Scientific Biography, vol. 8, blz. 505-509
(1972)
[Coplakova, 2012] Coplakova, E. et al., Wiskundige Structuren (collegedictaat), TU Delft (2012)
[Freudenthal, 1972] Freudenthal, F., Hilbert, David, in Dictionary of Scientific Biography, vol. 6, blz. 388-395
(1972)
[Fritz, 1945] Fritz, K. von. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum. Annals of
Mathematics, Vol 46 (April 1945) pp. 242-264. (to vinden op: www.jstor.org)
[Grattan-Guinness, 1980] Grattan-Guinness, I., et al., From the Calculus to Set Theory 1630-1910, An
Introductory History, Gerald Duckworth & Co. Ltd. (1980)
[Jones, Feb, 1956] Jones, P.S. Irrationals or Incommensurables I: Their Discovery, and a “Logical Scandal”.
Mathematics Teacher 49 (Feb 1956) pp 123-127 (to vinden op: www.jstor.org)
[Jones, April, 1956] Jones, P.S. Irrationals or Incommensurables II: the irrationality of √2 and approximations to
it. Mathematics Teacher 49 (April 1956) pp 282-285 (to vinden op: www.jstor.org)
[Heath,1956] Heath, T. L. Euclid: The Thirteen Books of The Elements, Dover, (1956)
[Meschkowski, 1972] Meschkowski, H., Cantor, Georg, in Dictionary of Scientific Biography, vol. 3, blz. 52-58
(1972)
[Strogatz, 2010] Strogatz S., The Hilbert Hotel, New York Times, (9 mei 2010),
http://graphics8.nytimes.com/packages/pdf/opinion/opinionator/TheHilbertHotel.pdf
[Struik, 1990] Struik, D.J. Geschiedenis van de wiskunde, Utrecht, Het Spectrum, (1990)
[Tzanakis & Arcavi, 2000] Tzanakis, C. &Arcavi, A. Integrating history of mathematics in the classroom: an
analytic survey. In Fauvel, J. & van Maanen, J. , editors, History in Mathematics Education : the ICMI study,
chapter 7, pp 201-204. Kluwer (2000)
[Waerden, 1950] Waerden, B.L. van der, Ontwakende wetenschap, Egyptische, Babylonische en Griekse
wiskunde. Noordhoff N.V. Groningen (1950)
[Waerden, 1979] Waerden, B.L. van der, Die Pythagoreer, Religiöse Bruderschaft und Schule der Wissenschaft.
Artemis Verlag, Zürich und München (1950)
24