Numerieke Analyse - Week 07

Numerieke Analyse - Week 07
Jan Brandts
Woensdag 19 oktober 2011
Samenvatting en opgaven
We bekeken Gauss-kwadratuur nog even vanuit het perspectief van orthogonale polynomen,
een onderwerp dat verderop in het college nog ter sprake zal komen. Immers, Gauss kwadratuur
zoals uitgelegd in week 06 komt in principe neer op het vinden van steunpunten x0 , . . . , xk ∈ I
en gewichten w0 , . . . , wk ∈ R zodanig dat de kwadratuurformule
GkI (f )
=
k
X
wj f (xk )
(1)
j=0
exact is voor polynomen van graad 2k +2. Door deze exactheid op te leggen aan (1) resulteert
er een stelsen van 2k + 2 niet-lineaire vergelijkingen in de in totaal 2k + 2 onbekenden. Voor
k = 0 en k = 1 is dit stelsel nog exact op te lossen, voor grotere waarden van k zal er een
numerieke methode moeten worden gebruikt om de steunpunten en gewichten in hoge precisie
te bepalen. In principe kan hiervoor de Newtonmethode voor functies f : Rn → Rn worden
gebruikt, de dekpuntiteratie met dekpuntfunctie φ gedefinieerd door
φ : Rn → Rn :
x 7→ x − [(Df )(x)]−1 f (x).
Hierbij is Df de totale afgeleide van f , die geëvalueerd in x ∈ Rn de matrix (Df )(x) van de
partiële afgeleiden van f bevat, genaamd de Jacobiaan van f in x.
Er is echter een andere interpretatie van de steunpunten x0 , . . . , xk van Gauss-kwadratuur. Ze
zijn de nulpunten van de Legendre polynomen. Voor iedere k ≥ 0 vormen de Legendre polynomen p0 , . . . , pk een orthonormale basis voor P k (I). In het bijzonder zijn de steunpunten x0
en x1 te bepalen als de nulpunten van het unieke kwadratische polynoom q 6= 0 dat loodrecht
staat op P 1 (I) ten opzichte van het standaardinproduct. Deze karakterisering maakt x0 en
x1 concreet uit te rekenen, waarna de gewichten w0 en w1 bepaald kunnen worden uit (1),
met als verschil dat dit nu een lineair stelsel is in twee onbekenden.
Gauss kwadratuur bevat nooit de randpunten van I als steunpunten, en dus zal een gerepeteerde versie niet kunnen profiteren van reeds uitgerekende functiewaarden. De Lobattokwadratuurformules zijn een mengvorm van Newton-Cotes en Gauss-kwadratuur in de zin
dat twee steunpunten worden vastgelegd, namelijk de randpunten van het integratie-interval,
en dat de resterende 2k variabelen in (1) worden gebruikt om polynomiale exactheid van
graad 2k − 1 te verkrijgen. Het is eenvoudig in te zien dat voor k = 1 de trapeziumregel
resulteert, en voor k = 2 de Simpsonregel. Voor k ≥ 3 wijken de Lobattoregels af van de
Newton-Cotesregels, zoals je gevraagd wordt te bewijzen in Opgave 1 van deze week.
1
Tot slot keken we naar het algemeen toepasbare begrip Richardson extrapolatie, een manier
om uit een rij getallen waarvan het convergentiegedrag redelijk goed bekend is, een sneller
convergente rij te construeren. Immers, als de fout van een rij xk die naar x convergeert
in iedere stap exact vier keer zo klein wordt, dan volgt hieruit dat x = xk + (xk − xk−1 )/3.
Uiteraard zal in de praktijk een rij fouten slechts op hogere orde na dergelijk gedrag vertonen,
maar in dat geval zal extrapolatie yk = xk + (xk − xk−1 )/3 precies dat hogere orde gedrag
vertonen, en dus betere benaderingen geven van x dan de originele rij.
In de context van numerieke integratie bekeken we de mogelijkheid tot extrapolatie van de
resultaten van de trapeziumregel. Het extrapoleren van de extrapolanten leidt tot een zogenaamd Romberg schema. Ook in de context van rijen die naar een nulpunt van een functie
convergeren kunnen dergelijke extrapolatiemethodes worden gebruikt, zelf in de context van
het iteratief oplossen van een lineair stelsel Ax = b.
Opgave 1: Vierpunts Lobattokwadratuur
Laat zien dat de vierpunts Lobattokwadratuurformule een andere is dan de vierpunts NewtonCotes regel.
Opgave 2: Lineaire afhankelijkheid van kwadratuurformules
Bewijs de volgende gelijkheden:
1
2
b
4(Tam + Tm
) − Tab , Sab =
2Mab + Tab .
3
3
Illustreer ze indien mogelijk met bijbehorende plaatjes.
b
Mab = 2(Tam + Tm
) − Tab , Sab =
Opgave 3: Romberg schema
Pas Richardson extrapolatie toe op een rij van benaderingen middels de trapeziumregel,
verkregen in week 05, voor de integraal van de functies f3 en f5 . Extrapoleer ook de extrapolanten tot een compleet Romberg schema.
2