Jacobi polynomen en representaties van SU(2)

Jacobi polynomen en representaties van SU(2)
Bachelorproject (wi3606), onderdeel Analyse
Begeleider: Wolter Groenevelt
e-mail: [email protected]
kamer: HB 04.040
toestel: 85822
(α,β)
Jacobi polynomen zijn polynomen Pn
door
Pn(α,β) (x) = (1 − x)−α (1 + x)−β
van graad n die gedefinieerd zijn
dn
(1 − x)n+α (1 + x)n+β ,
dxn
α, β > −1.
Veel belangrijke eigenschappen van de Jacobi polynomen kunnen worden afgeleid m.b.v. representatie theorie van de groep SU (2), de groep van unitaire
2 × 2-matrices met determinant 1.
Een representatie van een groep G op een N -dimensionale vectorruimte V is
een groeps-homomorfisme T : G → GL(V ), waarbij GL(V ) de groep van inverteerbare lineaire transformaties van V voorstelt. We kunnen een representatie
Tl van de groep SU (2) definiëren door
!
!
a b
a b
Tl
p (x1 , x2 ) := p(ax1 + cx2 , bx1 + dx2 ),
∈ SU (2),
c d
c d
waarbij p een homogeen polynoom van graad 2l is in twee variabelen. De
operator Tl ac db kan geschreven worden als een matrix waarvan de elementen
Jacobi polynomen zijn. Op deze manier zien we dat eigenschappen van de
de representaties van SU (2) direct aanleiding geven tot eigenschappen van de
Jacobi polynomen. We kunnen bijvoorbeeld laten zien dat de Jacobi polynoR 1 (α,β)
(α,β)
men orthogonaal zijn op [−1, 1], d.w.z. −1 Pm (x)Pn
(x)w(x)dx = 0 als
n 6= m, waarbij w een zekere positieve gewichtsfunctie is op [−1, 1].
Het doel van dit project is het bestuderen van representatie theorie van de
groep SU (2), en hieruit vervolgens eigenschappen van Jacobi polynomen af te
leiden.
Referenties
[1] G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 71. Cambridge University Press, Cambridge,
1999.