Uitwerkingen opdrachten
advertisement
Uitwerkingen opdrachten docenten Opdracht 1 y De acht hoekpunten van een kubus worden genummerd van 4 tot en met 11. Dit gebeurt op zo’n manier, dat de som van de getallen bij de hoekpunten van elk zijvlak steeds hetzelfde is. z Er is al een begin gemaakt. w Welk getal staat bij het hoekpunt met de x? v Noem de nog niet bepaalde hoekpunten v, w, x, y en z (zie plaatje). De som van de getallen 4 t/m 11 is volgens Gauss gelijk aan π β π π β (π + ππ) = ππ Stel nu dat de getallen 4 t/m 11 al bij de hoekpunten geschreven zouden staan. Ik noem de som van de getallen van de hoekpunten van een zijvlak a (en die is steeds hetzelfde, dat is gegeven). Als ik nu de 6 ‘zijvlakken’ bij elkaar optel, dan komt daar dus 6a uit. Elk getal (van 4 t/m 11) bij de 8 hoekpunten behoort tot 3 zijvlakken en heb ik dus 3 keer meegeteld in die 6a. Hieruit volgt dat ππ = π β ππ = πππ, dus π = ππ. Dus de som per zijvlak is 30. Ik weet dus nu, dat π = ππ, want ook in het ondervlak moet de som (van de getallen bij de hoekpunten) gelijk zijn aan 30, dus π + π + π + π = ππ + π = ππ. Bekijk nu het rechter zijvlak en het achtervlak. Eerst het rechter zijvlak: er moet gelden dat π + ππ + π + π = ππ, ofwel π + π = ππ. Dit betekent dat x gelijk moet zijn aan 5 of 8 (de andere getallen zijn al geplaatst of kunnen niet). Neem nu het achtervlak: er moet weer gelden dat π + ππ + π + π = ππ, ofwel π + π = ππ Dan zien we gelijk dat x gelijk moet zijn aan 5 (x kan geen 8 zijn, want dan moet y gelijk zijn aan 3 en die is er niet). Dus π = π, π = π, π = π ππ π = ππ. Opdracht 2. Gegeven is de gelijkzijdige driehoek ABC met zijden van lengte 2 en een cirkel met diameter CD die de zijde AB raakt in het punt D. Wat is de oppervlakte van het gearceerde gedeelte? Uitwerking Teken middelpunt M van de cirkel en de lijnen ME, MC en MF. Verder is V het voetpunt van loodlijn uit M op zijde EC. V a Eerst de oppervlakte van οABC berekenen. Met Pythagoras vind je dat CD gelijk is aan √π¨πͺπ − π¨π«π = √ππ − ππ = √π . Dus oppervlakte οABC is π β π π β √π = √π Van deze driehoek moet worden `afgehaald`: οMEC en οMFC (met gelijke oppervlakte) en cirkelsegment MEF. Eerst de oppervlakte van de οMEC en οMFC berekenen. π π΄π¬ = π΄πͺ = √π (helft diameter CD) en οEMC=360o : 3=120o (kun je op verschillende manieren zien) en π dus οEMV=120o : 2=60o Lengte a van loodlijn MV kun je nu met de cosinus berekenen: ππππππ = π π π √π π → π = π √π π π π π π π Met Pythagoras vind je dat πͺπ¬ = π β π½π¬ = π β √(π √π) − (π √π) = π β π = π π π π π Dus oppervlakte οMFC = oppervlakte οMEC = π β π β π √π = ππ √π Nu nog oppervlakte cirkelsegment MEF. οEMF=120o, dus cirkelsegment is 1/3 deel van de hele cirkel. π π π π Oppervlakte hele cirkel is π β ( √π) = π . Dus oppervlakte cirkelsegment MEF is π π π π Conclusie: Oppervlakte gearceerd gedeelte is π π π π opp οABC – 2 . opp οMFC– opp MEF = √π − π β √π − π = √π − π ≈ π, π ππ π π π Opdracht 3. 100 bomen (eiken en berken) staan langs de kant van de weg. Het aantal bomen tussen elk tweetal eiken is ongelijk aan 5. Wat is het grootste aantal eiken dat langs de kant van de weg kan staan? Uitwerking De volgende rij, die aan de voorwaarde voldoet, heeft de meeste eiken: EEEEEE BBBBBB EEEEEE BBBBBB …………EEEEEE BBBBBB EEEE Dus steeds 6 eiken gevolgd door 6 berken, dat zijn setjes van 12 bomen. Hiervan passen er 8 in een rij van 100 bomen. Dat zijn dan 12x8=96 bomen en de laatste 4 bomen zijn dan weer eiken. Dus in totaal 8x6+4=52 eiken.
